Bước ngoặt trong toán học thế kỷ 20 là các định lý về tính bất toàn của Kurt Gödel. Và trong các bản thảo của ông, được xuất bản sau khi ông qua đời, đã lưu giữ một bằng chứng hợp lý về sự tồn tại của Chúa. Trong các bài đọc Giáng sinh vừa qua báo cáo thú vị Phó Giáo sư Chủng viện Thần học Tobolsk, Ứng viên Linh mục Thần học Dimitry KIRYANOV đã nói về di sản ít được biết đến này. “NS” yêu cầu giải thích ý chính của nhà khoa học.
Định lý Bất toàn của Gödel: Một lỗ hổng trong toán học
— Có cách nào phổ biến để giải thích các định lý về tính bất toàn của Gödel không? Thợ cắt tóc chỉ cạo những người không tự cạo. Thợ cắt tóc có tự cạo râu không? Cái này nghịch lý nổi tiếng nó có liên quan gì đến họ không?
Luận điểm chính về bằng chứng hợp lý về sự tồn tại của Chúa, được đưa ra bởi Kurt Gödel: “Chúa tồn tại trong suy nghĩ. Nhưng sự tồn tại trong thực tế không chỉ tồn tại trong suy nghĩ. Do đó, Chúa phải tồn tại”. Trong ảnh: tác giả của định lý bất toàn, Kurt Gödel, cùng với người bạn của ông, tác giả của thuyết tương đối, Albert Einstein. Nhà tù. Mỹ. 1950
- Vâng, tất nhiên là có. Trước Gödel, đã có vấn đề về tiên đề hóa toán học và vấn đề về những câu nghịch lý có thể được viết chính thức bằng bất kỳ ngôn ngữ nào. Ví dụ: “Tuyên bố này là sai.” Sự thật của tuyên bố này là gì? Nếu nó đúng thì nó sai, nếu nó sai thì nó đúng; Điều này dẫn đến một nghịch lý ngôn ngữ. Gödel nghiên cứu số học và chỉ ra trong các định lý của mình rằng tính nhất quán của nó không thể được chứng minh dựa trên các nguyên tắc hiển nhiên của nó: các tiên đề cộng, trừ, chia, nhân, v.v. Chúng tôi yêu cầu một số giả định bổ sung để biện minh cho nó. Đây là điều nhiều nhất lý thuyết đơn giản nhất, nhưng còn những cái phức tạp hơn (phương trình vật lý, v.v.) thì sao! Để biện minh cho bất kỳ hệ thống suy luận nào, chúng ta luôn buộc phải sử dụng đến một số suy luận bổ sung không được chứng minh trong khuôn khổ của hệ thống.
Trước hết, điều này cho thấy những hạn chế của yêu cầu bồi thường tâm trí con người trong nhận thức thực tế. Nghĩa là, chúng ta không thể nói rằng chúng ta sẽ xây dựng một loại lý thuyết toàn diện nào đó về vũ trụ sẽ giải thích mọi thứ - một lý thuyết như vậy không thể mang tính khoa học.
— Các nhà toán học hiện nay cảm thấy thế nào về các định lý của Gödel? Không có ai cố gắng bác bỏ chúng hoặc bằng cách nào đó tránh được chúng?
“Nó giống như việc cố gắng bác bỏ định lý Pythagore vậy.” Các định lý có bằng chứng logic chặt chẽ. Đồng thời, những nỗ lực đang được thực hiện nhằm tìm ra những hạn chế về khả năng áp dụng các định lý của Gödel. Nhưng chủ yếu cuộc tranh luận xoay quanh ý nghĩa triết học của các định lý Gödel.
— Bằng chứng của Gödel về sự tồn tại của Chúa đã được phát triển đến mức nào? Đã xong chưa?
“Nó đã được tính toán chi tiết, mặc dù bản thân nhà khoa học không dám công bố nó cho đến khi qua đời.” Gödel phát triển bản thể học (siêu hình. - "NS") lập luận đầu tiên được đề xuất bởi Anselm ở Canterbury. Ở dạng cô đọng, lập luận này có thể được trình bày như sau: “Theo định nghĩa, Thiên Chúa là Đấng vĩ đại hơn mà không gì có thể hình dung được. Chúa tồn tại trong suy nghĩ. Nhưng tồn tại trong thực tế không chỉ là tồn tại trong suy nghĩ. Vì vậy, Chúa phải tồn tại." Lập luận của Anselm sau đó được phát triển bởi René Descartes và Gottfried Wilhelm Leibniz. Vì vậy, theo Descartes, nghĩ về Đấng Hoàn hảo Tối cao không tồn tại có nghĩa là rơi vào một mâu thuẫn logic. Trong bối cảnh của những ý tưởng này, Gödel phát triển phiên bản chứng minh của mình, nó phù hợp theo nghĩa đen trên hai trang. Thật không may, việc trình bày lập luận của ông là không thể nếu không giới thiệu những kiến thức cơ bản về logic hình thức rất phức tạp.
Tất nhiên, sự hoàn hảo về mặt logic trong các kết luận của Gödel không buộc một người trở thành một người tin tưởng dưới áp lực của sức mạnh bằng chứng. Chúng ta không nên ngây thơ và tin rằng mình có thể thuyết phục được bất cứ ai một cách thông minh. người đàn ông biết suy nghĩđể tin vào Chúa bằng cách sử dụng một lập luận bản thể học hoặc bằng chứng khác. Đức tin được sinh ra khi một người đối mặt với sự hiện diện hiển nhiên của Thực tại siêu việt tối cao của Thiên Chúa. Nhưng chúng ta có thể kể tên ít nhất một người mà bằng chứng bản thể học đã dẫn đến đức tin tôn giáo, - đây là nhà văn Clive Staples Lewis, chính ông cũng thừa nhận điều này.
Tương lai xa là quá khứ xa
— Những người đương thời đối xử với Gödel như thế nào? Anh ấy có làm bạn với bất kỳ nhà khoa học vĩ đại nào không?
- Trợ lý của Einstein ở Princeton chứng thực điều đó người duy nhất, người mà anh ấy là bạn những năm gần đây cuộc sống, là Kurt Gödel. Họ khác nhau ở hầu hết mọi thứ - Einstein là người hòa đồng và vui vẻ, trong khi Gödel cực kỳ nghiêm túc, hoàn toàn cô đơn và không tin tưởng. Nhưng họ đã có chất lượng tổng thể: cả hai đều bước thẳng và chân thành hướng tới vấn đề trọng tâm khoa học và triết học. Bất chấp tình bạn với Einstein, Gödel có quan điểm riêng về tôn giáo. Ông bác bỏ quan điểm cho rằng Chúa là một đấng vô ngã, giống như Chúa đối với Einstein. Nhân dịp này, Gödel nhận xét: “Tôn giáo của Einstein quá trừu tượng, giống như triết học của Spinoza và Ấn Độ. Chúa của Spinoza không bằng một con người; Chúa của tôi không chỉ là một con người; vì Chúa có thể đóng vai trò nhân cách.” Có thể có những linh hồn không có cơ thể nhưng có thể giao tiếp với chúng ta và ảnh hưởng đến thế giới."
— Làm thế nào mà Gödel đến được Mỹ? Chạy trốn khỏi Đức quốc xã?
— Đúng vậy, anh ấy đến Mỹ vào năm 1940 từ Đức, mặc dù thực tế là Đức Quốc xã công nhận anh ấy là người Aryan và là một nhà khoa học vĩ đại, giải phóng anh ấy khỏi nghĩa vụ quân sự. Ông và vợ Adele đã đi qua nước Nga dọc theo tuyến đường sắt xuyên Siberia. Anh không để lại ký ức nào về chuyến đi này. Adele chỉ nhớ nỗi sợ hãi thường trực vào ban đêm, họ sẽ dừng lại và quay trở lại. Sau tám năm sống ở Mỹ, Gödel trở thành công dân Hoa Kỳ. Giống như tất cả những người nộp đơn xin quốc tịch, anh phải trả lời các câu hỏi liên quan đến Hiến pháp Hoa Kỳ. Là một người cẩn thận nên anh ấy đã chuẩn bị cho kỳ thi này rất kỹ lưỡng. Cuối cùng, ông nói rằng ông đã tìm thấy sự mâu thuẫn trong Hiến pháp: “Tôi đã phát hiện ra một khả năng hợp pháp về mặt logic mà trong đó Hoa Kỳ có thể trở thành một chế độ độc tài”. Bạn bè của anh ấy nhận ra rằng, bất kể giá trị hợp lý trong lập luận của Gödel, khả năng này về bản chất hoàn toàn là giả thuyết và cảnh báo không nên nói dài dòng về chủ đề này trong kỳ thi.
— Gödel và Einstein có sử dụng ý tưởng của nhau trong công trình khoa học?
— Năm 1949, Gödel trình bày các ý tưởng vũ trụ học của mình trong một bài tiểu luận toán học, theo Albert Einstein, bài luận này là một đóng góp quan trọng cho lý thuyết tương đối tổng quát. Gödel tin rằng thời gian - "bản chất bí ẩn và đồng thời tự mâu thuẫn tạo nên nền tảng của thế giới và sự tồn tại của chính chúng ta" - cuối cùng sẽ trở thành ảo tưởng lớn nhất. Nó “một ngày nào đó” sẽ không còn tồn tại, và một dạng tồn tại khác sẽ xuất hiện, có thể gọi là vĩnh cửu. Ý tưởng về thời gian này đã khiến nhà logic học vĩ đại đi đến một kết luận bất ngờ. Ông viết: “Tôi tin chắc vào thế giới bên kia, bất chấp thần học. Nếu thế giới được thiết kế một cách thông minh thì chắc chắn sẽ có kiếp sau."
- “Thời gian là một thực thể tự mâu thuẫn.” Nghe có vẻ lạ; nó có một số ý nghĩa vật lý?
— Gödel đã chỉ ra rằng trong khuôn khổ phương trình Einstein, có thể xây dựng một mô hình vũ trụ với thời gian khép kín, trong đó quá khứ xa xôi và tương lai xa trùng khớp với nhau. Trong mô hình này, về mặt lý thuyết, việc du hành thời gian trở nên khả thi. Nghe có vẻ lạ nhưng nó có thể diễn đạt được bằng toán học - đó chính là vấn đề. Mô hình này có thể có hoặc không có ý nghĩa thực nghiệm. Đó là một cấu trúc lý thuyết có thể hữu ích trong việc xây dựng các mô hình vũ trụ mới – hoặc có thể trở nên không cần thiết. Hiện đại vật lý lý thuyết, đặc biệt là vũ trụ học lượng tử, có một sự phức tạp như vậy cấu trúc toán học rằng những cấu trúc này rất khó đưa ra một sự hiểu biết triết học rõ ràng. Hơn nữa, một số thiết kế lý thuyết của nó cho đến nay vẫn chưa thể kiểm chứng được bằng thực nghiệm vì lý do đơn giản là việc xác minh chúng đòi hỏi phải phát hiện ra các hạt năng lượng rất cao. Hãy nhớ mọi người đã cảnh giác như thế nào về việc phóng Máy Va chạm Hadron Lớn: có nghĩa là phương tiện thông tin đại chúng mọi người liên tục sợ hãi trước ngày tận thế đang đến gần. Trên thực tế, nó đã được thực hiện một cách nghiêm túc thí nghiệm khoa học về kiểm tra mô hình vũ trụ lượng tử và cái gọi là “các lý thuyết thống nhất lớn”. Nếu có thể phát hiện ra cái gọi là hạt Higgs, đây sẽ là bước tiếp theo trong sự hiểu biết của chúng ta về những hạt cơ bản nhất. giai đoạn đầu sự tồn tại của Vũ trụ của chúng ta. Nhưng mặc dù không có dữ liệu thực nghiệm, các mô hình cạnh tranh của vũ trụ lượng tử vẫn tiếp tục là các mô hình toán học đơn giản.
Niềm tin và trực giác
— “...Chúa của tôi không chỉ là một con người; vì Chúa có thể đóng vai một con người…” Tuy nhiên, đức tin của Gödel khác xa với lời tuyên xưng của Chính thống giáo?
— Rất ít tuyên bố của Gödel về đức tin của ông còn tồn tại; chúng đã được thu thập từng chút một. Mặc dù thực tế là những bản thảo đầu tiên phiên bản riêng Gödel đưa ra lập luận này từ năm 1941; cho đến tận năm 1970, vì sợ bị đồng nghiệp chế giễu nên ông đã không nói về nó. Vào tháng 2 năm 1970, khi cảm thấy cái chết đang đến gần, ông cho phép trợ lý của mình sao chép một phiên bản chứng minh của mình. Sau cái chết của Gödel vào năm 1978, một phiên bản hơi khác của lập luận bản thể học đã được phát hiện trong các bài báo của ông. Vợ của Kurt Gödel, Adele, cho biết hai ngày sau khi chồng bà qua đời rằng Gödel, "mặc dù ông không đến nhà thờ nhưng vẫn theo đạo và đọc Kinh thánh trên giường vào mỗi sáng Chủ nhật."
Khi chúng ta nói về các nhà khoa học như Gödel, Einstein hay Galileo hay Newton, điều quan trọng là phải nhấn mạnh rằng họ không phải là người vô thần. Họ thấy rằng đằng sau Vũ trụ có Tâm trí, một loại Quyền lực Cao hơn. Đối với nhiều nhà khoa học, niềm tin vào sự tồn tại Trí tuệ tối cao là một trong những hậu quả của sự phản ánh khoa học của họ, và sự phản ánh này không phải lúc nào cũng dẫn đến sự xuất hiện của mối liên hệ tôn giáo sâu sắc giữa con người và Chúa. Liên quan đến Gödel, chúng ta có thể nói rằng ông cảm thấy cần có mối liên hệ này, vì ông nhấn mạnh rằng ông là một người theo chủ nghĩa hữu thần và coi Chúa như một con người. Nhưng tất nhiên, đức tin của anh ta không thể được gọi là chính thống. Có thể nói, ông là một “người theo đạo Lutheran tại gia”.
- Bạn có thể cho ví dụ lịch sử: làm thế nào mà các nhà khoa học khác nhau lại tin vào Chúa? Đây là nhà di truyền học Francis Collins, theo lời thú nhận của ông, việc nghiên cứu cấu trúc DNA đã đưa ông đến niềm tin vào Chúa...
- Kiến thức tự nhiên về Thiên Chúa tự nó không đủ để hiểu biết về Thiên Chúa. Khám phá Thiên Chúa bằng cách nghiên cứu thiên nhiên thì chưa đủ; điều quan trọng là học cách nhận biết Ngài qua Mặc khải mà Thiên Chúa đã ban cho con người. Một người đến với đức tin, cho dù anh ta có phải là nhà khoa học hay không, luôn dựa vào điều gì đó vượt xa những lập luận logic hoặc khoa học. Francis Collins viết rằng ông đến với đức tin ở tuổi 27 sau một thời gian dài tranh luận trí tuệ với chính mình và dưới ảnh hưởng của Clive Staples Lewis. Hai người ở trong cùng một hoàn cảnh lịch sử, trong cùng những điều kiện ban đầu: một người trở thành người có đức tin, người kia là người vô thần. Thứ nhất, việc nghiên cứu DNA dẫn đến niềm tin vào sự tồn tại của Chúa. Một nghiên cứu khác và không đi đến kết luận này. Hai người nhìn vào một bức tranh: một người cho rằng nó đẹp, và người kia nói: "Thật bình thường, một bức tranh bình thường!" Một người có sở thích, trực giác, còn người kia thì không. Giáo sư Chính thống giáo St. Tikhon's đại học nhân đạo Vladimir Nikolaevich Katasonov, bác sĩ khoa học triết học, một nhà toán học đã qua đào tạo, nói: “Không thể chứng minh được trong toán học nếu không có trực giác: trước tiên nhà toán học nhìn thấy bức tranh và sau đó đưa ra bằng chứng.”
Câu hỏi về việc một người có đến với đức tin luôn là một câu hỏi vượt ra ngoài lý luận logic đơn thuần. Bạn có thể giải thích điều gì đã dẫn bạn đến đức tin như thế nào? Người đàn ông trả lời: Tôi đi chùa, suy nghĩ, đọc cái này cái kia, thấy sự hài hòa của vũ trụ; nhưng khoảnh khắc quan trọng nhất, đặc biệt nhất mà một người chợt biết rằng mình đã gặp được sự hiện diện của Thiên Chúa thì không thể diễn tả được. Nó luôn là một điều bí ẩn.
- Bạn có thể xác định những vấn đề mà bạn không thể giải quyết khoa học hiện đại?
— Suy cho cùng, khoa học là một doanh nghiệp đủ tự tin, độc lập và đang phát triển tốt để lên tiếng gay gắt như vậy. Nó là một công cụ tốt và rất hữu ích trong tay con người. Kể từ thời Francis Bacon, kiến thức đã thực sự trở thành một sức mạnh làm thay đổi thế giới. Khoa học phát triển theo quy luật nội tại của nó: nhà khoa học cố gắng hiểu các quy luật của vũ trụ, và chắc chắn rằng cuộc tìm kiếm này sẽ dẫn đến thành công. Nhưng đồng thời cũng cần nhìn nhận ranh giới của khoa học. Người ta không nên nhầm lẫn giữa khoa học và những câu hỏi mang tính hệ tư tưởng có thể được nêu ra liên quan đến khoa học. Các vấn đề chính ngày nay không liên quan nhiều đến phương pháp khoa học mà liên quan nhiều đến các định hướng giá trị. Khoa học trong suốt thế kỷ XX dài được con người nhìn nhận như một thứ tốt đẹp tuyệt đối góp phần vào sự tiến bộ của nhân loại; và chúng ta thấy rằng thế kỷ XX đã trở thành thế kỷ tàn khốc nhất về thương vong của con người. Và ở đây nảy sinh câu hỏi về giá trị tiến bộ khoa học, kiến thức nói chung. Các giá trị đạo đức không xuất phát từ khoa học. Một nhà khoa học lỗi lạc có thể phát minh ra loại vũ khí hủy diệt toàn nhân loại, và điều này đặt ra câu hỏi về trách nhiệm đạo đức của nhà khoa học mà khoa học không thể giải đáp. Khoa học không thể chỉ ra cho con người ý nghĩa và mục đích tồn tại của con người. Khoa học sẽ không bao giờ có thể trả lời được câu hỏi tại sao chúng ta lại ở đây? Tại sao vũ trụ tồn tại? Những câu hỏi này được giải quyết ở một cấp độ kiến thức khác, chẳng hạn như triết học và tôn giáo.
— Ngoài các định lý của Gödel, còn có bằng chứng nào khác cho thấy phương pháp khoa học có những hạn chế của nó không? Bản thân các nhà khoa học có thừa nhận điều này không?
— Ngay từ đầu thế kỷ 20, các triết gia Bergson và Husserl đã chỉ ra giá trị tương đối kiến thức khoa học thiên nhiên. Giờ đây, hầu như các nhà triết học khoa học đều có niềm tin phổ biến rằng các lý thuyết khoa học đại diện cho các mô hình giả thuyết để giải thích các hiện tượng. Một trong những người sáng tạo cơ học lượng tử- Erwin Schrödinger đã nói rằng hạt cơ bản chỉ là những hình ảnh, nhưng chúng ta có thể dễ dàng thực hiện mà không cần đến chúng. Theo triết gia và nhà logic học Karl Popper, các lý thuyết khoa học giống như một tấm lưới mà qua đó chúng ta cố gắng nắm bắt thế giới, chúng không giống như những bức ảnh. Lý thuyết khoa họcđang ở trong phát triển không ngừng và thay đổi. Những người tạo ra cơ học lượng tử, như Pauli, Bohr và Heisenberg, đã nói về ranh giới của phương pháp khoa học. Pauli đã viết: “...Vật lý và tâm lý có thể được coi là những khía cạnh bổ sung của cùng một thực tế” - và nhấn mạnh tính bất khả quy cấp độ cao hơn là những người thấp hơn. Những cách giải thích khác nhau chỉ đề cập đến một khía cạnh của vấn đề tại một thời điểm, nhưng sẽ không bao giờ đạt được một lý thuyết toàn diện.
Vẻ đẹp và sự hài hòa của vũ trụ đòi hỏi khả năng nhận biết nó phương pháp khoa học. Đồng thời, người Kitô hữu luôn hiểu được sự khó hiểu của mầu nhiệm đằng sau vũ trụ vật chất này. Vũ trụ không có cơ sở tự thân và hướng tới nguồn tồn tại hoàn hảo - Chúa.
Bất kỳ hệ tiên đề toán học nào bắt đầu từ một mức độ nhất định sự phức tạp là mâu thuẫn nội bộ hoặc không đầy đủ.
Năm 1900, Hội nghị các nhà toán học thế giới được tổ chức tại Paris, tại đó David Hilbert (1862-1943) đã trình bày dưới dạng luận văn 23 vấn đề quan trọng nhất, theo quan điểm của ông, mà các nhà lý thuyết của thế kỷ XX sắp tới phải giải quyết. Số hai trong danh sách của anh ấy là một trong số đó nhiệm vụ đơn giản, câu trả lời có vẻ hiển nhiên cho đến khi bạn tìm hiểu sâu hơn một chút. Nói ngôn ngữ hiện đại, đó là câu hỏi: toán học có tự cung tự cấp được không? Nhiệm vụ thứ hai của Hilbert tập trung vào sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ rằng hệ thống tiên đề- những phát biểu cơ bản được lấy làm cơ sở trong toán học mà không cần chứng minh - là hoàn hảo và đầy đủ, nghĩa là nó cho phép người ta mô tả một cách toán học mọi thứ tồn tại. Cần phải chứng minh rằng có thể định nghĩa một hệ thống tiên đề sao cho trước hết chúng sẽ nhất quán với nhau và thứ hai, từ đó có thể rút ra kết luận về tính đúng hay sai của bất kỳ tuyên bố nào.
Hãy lấy một ví dụ từ hình học trường học. Tiêu chuẩn phép đo mặt phẳng Euclide(hình học phẳng) người ta có thể chứng minh một cách vô điều kiện rằng mệnh đề “tổng các góc của một tam giác là 180°” là đúng và mệnh đề “tổng các góc của một tam giác là 137°” là sai. Về cơ bản mà nói, trong hình học Euclide, bất kỳ phát biểu nào cũng có thể sai hoặc đúng và không có lựa chọn thứ ba. Và vào đầu thế kỷ 20, các nhà toán học đã ngây thơ tin rằng tình huống tương tự cũng xảy ra trong bất kỳ hệ thống nhất quán về mặt logic nào.
Và sau đó, vào năm 1931, một nhà toán học người Vienna đeo kính Kurt Gödel đã xuất bản một bài báo ngắn làm đảo lộn toàn bộ thế giới gọi là “logic toán học”. Sau những lời mở đầu lý thuyết và toán học dài và phức tạp, ông đã thiết lập được những điều sau đây theo đúng nghĩa đen. Hãy lấy bất kỳ tuyên bố nào như: “Giả định số 247 trong hệ thống tiên đề này là không thể chứng minh được về mặt logic” và gọi nó là “tuyên bố A”. Vì vậy, Gödel chỉ đơn giản chứng minh điều sau tài sản tuyệt vời bất kì hệ thống tiên đề:
“Nếu câu A có thể được chứng minh thì câu không-A có thể được chứng minh.”
Nói cách khác, nếu có thể chứng minh được tính đúng đắn của phát biểu “giả định 247 Không có thể chứng minh được”, thì có thể chứng minh tính đúng đắn của nhận định “giả định 247 có thể chứng minh được" Nghĩa là, quay trở lại cách trình bày bài toán thứ hai của Hilbert, nếu một hệ tiên đề hoàn chỉnh (nghĩa là bất kỳ phát biểu nào trong đó đều có thể được chứng minh) thì đó là mâu thuẫn.
Cách duy nhất để thoát khỏi tình huống này là chấp nhận một hệ thống tiên đề không đầy đủ. Nghĩa là, chúng ta phải chấp nhận một thực tế là trong bối cảnh của bất kỳ hệ thống logic nào, chúng ta vẫn sẽ có những câu phát biểu “loại A” rõ ràng là đúng hoặc sai - và chúng ta chỉ có thể đánh giá sự thật của chúng ngoài khuôn khổ của tiên đề mà chúng tôi đã áp dụng. Nếu không có những tuyên bố như vậy, thì các tiên đề của chúng ta mâu thuẫn nhau, và trong khuôn khổ của nó chắc chắn sẽ có những công thức có thể vừa được chứng minh vừa bị bác bỏ.
Vì vậy cách diễn đạt Đầu tiên,hoặc yếu đuối Định lý bất toàn của Gödel: “Bất kỳ hệ thống tiên đề hình thức nào cũng chứa đựng những giả định chưa được giải quyết.” Nhưng Gödel không dừng lại ở đó, ông đã xây dựng và chứng minh thứ hai, hoặc mạnh Định lý bất toàn của Gödel: “Tính đầy đủ (hoặc không đầy đủ) về mặt logic của bất kỳ hệ thống tiên đề nào đều không thể được chứng minh trong khuôn khổ của hệ thống này. Để chứng minh hay bác bỏ nó, cần có thêm các tiên đề (củng cố hệ thống).”
Sẽ an toàn hơn nếu nghĩ rằng các định lý của Gödel có bản chất trừu tượng và không liên quan đến chúng ta mà chỉ là những lĩnh vực logic toán học cao siêu, nhưng trên thực tế, hóa ra chúng có liên quan trực tiếp đến cấu trúc của bộ não con người. Nhà toán học và vật lý học người Anh Roger Penrose (sinh năm 1931) đã chỉ ra rằng các định lý của Gödel có thể được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của những khác biệt cơ bản giữa bộ não con người và máy tính. Ý nghĩa lý luận của ông rất đơn giản. Máy tính hoạt động một cách logic và không thể xác định câu A là đúng hay sai nếu nó vượt ra ngoài các tiên đề, và những câu như vậy, theo định lý Gödel, chắc chắn tồn tại. Một người, đối mặt với một tuyên bố A không thể chứng minh được và không thể bác bỏ về mặt logic như vậy, luôn có thể xác định sự thật hay giả của nó - dựa trên kinh nghiệm hàng ngày. Ít nhất là trong chuyện này bộ não con người vượt trội hơn một máy tính bị ràng buộc bởi thuần túy mạch logic. Bộ não con người có khả năng hiểu được toàn bộ chiều sâu sự thật chứa đựng trong các định lý của Gödel, nhưng bộ não máy tính thì không bao giờ có thể làm được. Vì vậy, bộ não con người không khác gì một chiếc máy tính. Anh ấy có khả năng đưa ra quyết định, và bài kiểm tra Turing sẽ đạt.
Tôi tự hỏi liệu Hilbert có biết những câu hỏi của anh ấy sẽ đưa chúng ta đi bao xa không?
Kurt Godel, 1906-78
Nhà toán học người Áo, sau đó là người Mỹ. Sinh ra ở Brünn (nay là Brno, Cộng hòa Séc). Ông tốt nghiệp Đại học Vienna, nơi ông vẫn làm giáo viên khoa toán (từ năm 1930 - giáo sư). Năm 1931, ông công bố một định lý mà sau này mang tên ông. Là một người thuần túy phi chính trị, anh đã gặp phải khoảng thời gian cực kỳ khó khăn với vụ sát hại bạn mình và đồng nghiệp cùng khoa bởi một sinh viên Đức Quốc xã và rơi vào tình trạng trầm cảm sâu sắc, những cơn tái phát ám ảnh anh suốt quãng đời còn lại. Vào những năm 1930, ông di cư sang Mỹ nhưng lại trở về quê hương Áo và kết hôn. Năm 1940, ở đỉnh điểm của chiến tranh, ông buộc phải trốn sang Mỹ để quá cảnh qua Liên Xô và Nhật Bản. Ông đã làm việc một thời gian tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton. Thật không may, tâm lý của nhà khoa học không thể chịu đựng được, và ông chết trong bệnh viện tâm thần vì đói, không chịu ăn vì tin rằng họ sẽ đầu độc ông.
Bất kỳ hệ thống tiên đề toán học nào, bắt đầu từ một mức độ phức tạp nhất định, đều mâu thuẫn nội tại hoặc không đầy đủ.
Năm 1900, Hội nghị các nhà toán học thế giới được tổ chức tại Paris, tại đó David Hilbert (1862–1943) đã trình bày dưới dạng luận văn 23 vấn đề quan trọng nhất, theo quan điểm của ông, mà các nhà lý thuyết của thế kỷ XX sắp tới phải giải quyết. Vấn đề thứ hai trong danh sách của anh ấy là một trong những vấn đề đơn giản mà câu trả lời dường như hiển nhiên cho đến khi bạn tìm hiểu sâu hơn một chút. Theo thuật ngữ hiện đại, câu hỏi là: toán học có tự cung cấp được không? Nhiệm vụ thứ hai của Hilbert tập trung vào nhu cầu chứng minh một cách chặt chẽ rằng hệ tiên đề - những mệnh đề cơ bản được chấp nhận trong toán học làm cơ sở mà không cần chứng minh - là hoàn hảo và đầy đủ, tức là nó cho phép người ta mô tả một cách toán học mọi thứ tồn tại. Cần phải chứng minh rằng có thể định nghĩa một hệ thống tiên đề sao cho trước hết chúng sẽ nhất quán với nhau và thứ hai, từ đó có thể rút ra kết luận về tính đúng hay sai của bất kỳ tuyên bố nào.
Hãy lấy một ví dụ từ hình học trường học. Trong phép đo phẳng Euclide tiêu chuẩn (hình học trên mặt phẳng), có thể chứng minh một cách chắc chắn rằng câu “tổng các góc của một tam giác là 180°” là đúng và câu “tổng các góc của một tam giác là 137” °” là sai. Về cơ bản mà nói, trong hình học Euclide, bất kỳ phát biểu nào cũng có thể sai hoặc đúng và không có lựa chọn thứ ba. Và vào đầu thế kỷ 20, các nhà toán học đã ngây thơ tin rằng tình huống tương tự cũng xảy ra trong bất kỳ hệ thống nhất quán về mặt logic nào.
Và sau đó, vào năm 1931, một nhà toán học người Vienna đeo kính Kurt Gödel đã xuất bản một bài báo ngắn làm đảo lộn toàn bộ thế giới gọi là “logic toán học”. Sau những lời mở đầu lý thuyết và toán học dài và phức tạp, ông đã thiết lập được những điều sau đây theo đúng nghĩa đen. Hãy lấy bất kỳ tuyên bố nào như: “Giả định số 247 trong hệ thống tiên đề này là không thể chứng minh được về mặt logic” và gọi nó là “tuyên bố A”. Vì vậy, Gödel chỉ đơn giản chứng minh tính chất tuyệt vời sau đây của bất kỳ hệ tiên đề nào:
“Nếu câu A có thể được chứng minh thì câu không-A có thể được chứng minh.”
Nói cách khác, nếu tính đúng đắn của khẳng định “giả định 247 là không thể chứng minh được” có thể được chứng minh thì tính đúng đắn của khẳng định “giả định 247 là có thể chứng minh được” cũng có thể được chứng minh. Nghĩa là, quay trở lại cách trình bày bài toán thứ hai của Hilbert, nếu một hệ tiên đề hoàn chỉnh (nghĩa là bất kỳ phát biểu nào trong đó đều có thể được chứng minh) thì đó là mâu thuẫn.
Cách duy nhất để thoát khỏi tình huống này là chấp nhận một hệ thống tiên đề không đầy đủ. Nghĩa là, chúng ta phải chấp nhận một thực tế là trong bối cảnh của bất kỳ hệ thống logic nào, chúng ta vẫn sẽ có những câu phát biểu “loại A” rõ ràng là đúng hoặc sai - và chúng ta chỉ có thể đánh giá sự thật của chúng bên ngoài khuôn khổ tiên đề mà chúng ta có được chấp nhận. Nếu không có những tuyên bố như vậy, thì các tiên đề của chúng ta mâu thuẫn nhau, và trong khuôn khổ của nó chắc chắn sẽ có những công thức có thể vừa được chứng minh vừa bị bác bỏ.
Vì vậy, việc xây dựng định lý đầu tiên, hay định lý yếu, không đầy đủ của Gödel: “Bất kỳ hệ thống tiên đề hình thức nào cũng chứa đựng các giả định chưa được giải quyết”. Nhưng Gödel không dừng lại ở đó, ông đã xây dựng và chứng minh định lý thứ hai, hay định lý mạnh mẽ, về tính bất toàn của Gödel: “Tính đầy đủ (hoặc tính không đầy đủ) về mặt logic của bất kỳ hệ tiên đề nào đều không thể được chứng minh trong khuôn khổ của hệ thống này. Để chứng minh hay bác bỏ nó, cần có thêm các tiên đề (củng cố hệ thống).”
Sẽ an toàn hơn nếu nghĩ rằng các định lý của Gödel có bản chất trừu tượng và không liên quan đến chúng ta mà chỉ là những lĩnh vực logic toán học cao siêu, nhưng trên thực tế, hóa ra chúng có liên quan trực tiếp đến cấu trúc của bộ não con người. Nhà toán học và vật lý học người Anh Roger Penrose (sinh năm 1931) đã chỉ ra rằng các định lý của Gödel có thể được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của những khác biệt cơ bản giữa bộ não con người và máy tính. Ý nghĩa lý luận của ông rất đơn giản. Máy tính hoạt động một cách logic và không thể xác định câu A là đúng hay sai nếu nó vượt ra ngoài các tiên đề, và những câu như vậy, theo định lý Gödel, chắc chắn tồn tại. Một người, đối mặt với một tuyên bố A không thể chứng minh được và không thể bác bỏ về mặt logic như vậy, luôn có thể xác định sự thật hay giả của nó - dựa trên kinh nghiệm hàng ngày. Ít nhất về mặt này, bộ não con người vượt trội hơn một chiếc máy tính bị ràng buộc bởi các mạch logic thuần túy. Bộ não con người có khả năng hiểu được toàn bộ chiều sâu sự thật chứa đựng trong các định lý của Gödel, nhưng bộ não máy tính thì không bao giờ có thể làm được. Vì vậy, bộ não con người không khác gì một chiếc máy tính. Anh ta có khả năng đưa ra quyết định và kiểm tra Turing sẽ vượt qua thành công.
Tôi tự hỏi liệu Hilbert có biết những câu hỏi của anh ấy sẽ đưa chúng ta đi bao xa không?
Kurt GÖDEL
Kurt Godel, 1906–78
Nhà toán học người Áo, sau đó là người Mỹ. Sinh ra ở Brünn (nay là Brno, Cộng hòa Séc). Ông tốt nghiệp Đại học Vienna, nơi ông vẫn là giáo viên khoa toán (từ năm 1930 - giáo sư). Năm 1931, ông công bố một định lý mà sau này mang tên ông. Là một người thuần túy phi chính trị, anh đã gặp phải khoảng thời gian cực kỳ khó khăn với vụ sát hại bạn mình và đồng nghiệp cùng khoa bởi một sinh viên Đức Quốc xã và rơi vào tình trạng trầm cảm sâu sắc, những cơn tái phát ám ảnh anh suốt quãng đời còn lại. Vào những năm 1930, ông di cư sang Mỹ nhưng lại trở về quê hương Áo và kết hôn. Năm 1940, ở đỉnh điểm của chiến tranh, ông buộc phải trốn sang Mỹ để quá cảnh qua Liên Xô và Nhật Bản. Ông đã làm việc một thời gian tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton. Thật không may, tâm lý của nhà khoa học không thể chịu đựng được, và ông chết trong bệnh viện tâm thần vì đói, không chịu ăn vì tin rằng họ sẽ đầu độc ông.
| Bình luận: 0 |
Mô hình khoa học phát triển như thế nào trong khoa học tự nhiên? Kinh nghiệm khoa học hoặc hàng ngày được tích lũy, các mốc quan trọng của nó được xây dựng cẩn thận dưới dạng các định đề và tạo thành nền tảng của mô hình: một tập hợp các tuyên bố được tất cả những người làm việc trong khuôn khổ mô hình này chấp nhận.
Anatoly Wasserman
Năm 1930, Kurt Gödel đã chứng minh hai định lý, được dịch từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ của con người, có nghĩa gần đúng như sau: Bất kỳ hệ thống tiên đề nào đủ phong phú để được sử dụng để định nghĩa số học sẽ không đầy đủ hoặc mâu thuẫn. Không hệ thống hoàn chỉnh- điều này có nghĩa là trong hệ thống có thể đưa ra một tuyên bố không thể được chứng minh hoặc bác bỏ bằng hệ thống này. Nhưng Thiên Chúa, theo định nghĩa, là nguyên nhân cuối cùng của mọi nguyên nhân. Từ quan điểm toán học, điều này có nghĩa là việc đưa ra tiên đề về Chúa sẽ làm cho toàn bộ tiên đề của chúng ta trở nên hoàn chỉnh. Nếu có một Chúa, thì bất kỳ tuyên bố nào cũng có thể được chứng minh hoặc bác bỏ, bằng cách này hay cách khác, đề cập đến Chúa. Nhưng theo Gödel, hệ thống tiên đề hoàn chỉnh chắc chắn là mâu thuẫn. Nghĩa là, nếu chúng ta tin rằng Chúa tồn tại, thì chúng ta buộc phải đi đến kết luận rằng trong tự nhiên có thể xảy ra mâu thuẫn. Và vì không có mâu thuẫn nào, nếu không thì toàn bộ thế giới của chúng ta sẽ sụp đổ vì những mâu thuẫn này, nên chúng ta phải đi đến kết luận rằng sự tồn tại của Chúa không thể tương thích với sự tồn tại của tự nhiên.
Sosinsky A. B.
Định lý Gödel, cùng với những khám phá về thuyết tương đối, cơ học lượng tử và DNA, thường được coi là định lý lớn nhất thành tựu khoa học Thế kỷ XX. Tại sao? Bản chất của nó là gì? Ý nghĩa của nó là gì? Những câu hỏi này trong bài giảng của mình là một phần của dự án “ Bài giảng công khai"Polit.ru" tiết lộ Alexey Bronislavovich Sosinsky, nhà toán học, giáo sư tại Đại học Độc lập Moscow, cán bộ của Huân chương Học thuật Cộng hòa Pháp, người đoạt Giải thưởng Chính phủ Nga trong lĩnh vực giáo dục năm 2012. Đặc biệt, một số công thức khác nhau của nó đã được đưa ra, ba cách tiếp cận chứng minh nó đã được mô tả (Kolmogorov, Chaitin và Gödel), và ý nghĩa của nó đối với toán học, vật lý, khoa học máy tính và triết học.
Uspensky V. A.
Bài giảng được dành cho phiên bản cú pháp của Định lý Bất toàn của Gödel. Chính Gödel đã chứng minh phiên bản cú pháp bằng cách sử dụng một giả định mạnh hơn tính nhất quán, cụ thể là cái gọi là tính nhất quán omega.
Uspensky V. A.
Bài giảng học hè « Toán học hiện đại", Dubna.
Một trong những định lý nổi tiếng nhất trong logic toán học là may mắn và xui xẻo cùng một lúc. Ở điểm này nó tương tự như thuyết tương đối đặc biệt của Einstein. Một mặt, hầu hết mọi người đều đã nghe điều gì đó về họ. Mặt khác, theo cách giải thích phổ biến, lý thuyết của Einstein, như đã biết, “nói rằng mọi thứ trên thế giới đều là tương đối”. Và định lý Gödel về tính bất toàn (sau đây viết tắt là TGN), theo một công thức dân gian gần như tự do như nhau, "chứng minh rằng có những điều mà trí óc con người không thể hiểu được". Và vì vậy một số người cố gắng áp dụng nó như một lập luận chống lại chủ nghĩa duy vật, trong khi những người khác, ngược lại, dùng nó để chứng minh rằng không có Thiên Chúa. Điều buồn cười không chỉ là cả hai bên đều không thể đúng cùng một lúc, mà còn ở chỗ cả bên này lẫn bên kia đều không bận tâm tìm hiểu xem định lý này thực sự phát biểu điều gì.
Vậy thì sao? Dưới đây tôi sẽ cố gắng nói với bạn về điều đó “trên đầu ngón tay”. Tất nhiên, bài thuyết trình của tôi sẽ không chặt chẽ và trực quan, nhưng tôi sẽ yêu cầu các nhà toán học đừng đánh giá tôi một cách khắt khe. Có thể đối với những người không phải là nhà toán học (trong thực tế, tôi là một trong số đó), sẽ có điều gì đó mới mẻ và hữu ích trong những gì được mô tả dưới đây.
Logic toán học thực sự là một môn khoa học khá phức tạp và quan trọng nhất là không quen thuộc lắm. Nó đòi hỏi những hành động cẩn thận và nghiêm ngặt, trong đó điều quan trọng là không nhầm lẫn giữa những gì đã thực sự được chứng minh với những gì “đã rõ ràng”. Tuy nhiên, tôi hy vọng rằng để hiểu được “đề cương chứng minh TGN” sau đây, người đọc chỉ cần có kiến thức về toán học/khoa học máy tính phổ thông, các kỹ năng tư duy logic và thời gian 15-20 phút.
Đơn giản hóa phần nào, TGN lập luận rằng trong các ngôn ngữ khá phức tạp có những phát biểu không thể chứng minh được. Nhưng trong cụm từ này hầu như mọi từ đều cần giải thích.
Hãy bắt đầu bằng việc cố gắng tìm hiểu chứng minh là gì. Chúng ta hãy giải một số bài toán số học ở trường. Ví dụ: giả sử chúng ta cần chứng minh tính đúng đắn của công thức đơn giản sau: “ ” (để tôi nhắc bạn rằng ký hiệu này có nghĩa là “với bất kỳ” và được gọi là “bộ định lượng phổ quát”). Bạn có thể chứng minh điều đó bằng cách biến đổi nó giống hệt như thế này:
Việc chuyển đổi từ công thức này sang công thức khác xảy ra theo những quy tắc nổi tiếng nhất định. Ví dụ, quá trình chuyển đổi từ công thức thứ 4 sang công thức thứ 5 xảy ra bởi vì mọi số đều bằng chính nó - đây là một tiên đề của số học. Và do đó, toàn bộ quy trình chứng minh sẽ chuyển công thức sang giá trị Boolean TRUE. Kết quả cũng có thể là LIE - nếu chúng ta bác bỏ một số công thức. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chứng minh sự phủ nhận của nó. Người ta có thể tưởng tượng một chương trình (và những chương trình như vậy thực sự đã được viết) sẽ chứng minh những tuyên bố tương tự (và phức tạp hơn) mà không cần sự can thiệp của con người.
Hãy nói điều tương tự một cách trang trọng hơn một chút. Giả sử chúng ta có một tập hợp bao gồm các chuỗi ký tự của một số bảng chữ cái và có các quy tắc để từ các chuỗi này chúng ta có thể chọn một tập hợp con của cái gọi là tuyên bố- tức là những cụm từ có ý nghĩa về mặt ngữ pháp, mỗi cụm từ đều đúng hoặc sai. Chúng ta có thể nói rằng có một hàm liên kết các câu lệnh với một trong hai giá trị: TRUE hoặc FALSE (nghĩa là ánh xạ chúng thành một tập hợp Boolean gồm hai phần tử).
Hãy gọi một cặp như vậy - một tập hợp các câu lệnh và một hàm từ đến - "ngôn ngữ của tuyên bố". Lưu ý rằng trong ý nghĩa hàng ngày, khái niệm ngôn ngữ có phần rộng hơn. Ví dụ, cụm từ tiếng Nga “Hãy đến đây!” không đúng cũng không sai, nghĩa là, theo quan điểm của logic toán học, nó không phải là một mệnh đề.
Đối với những gì tiếp theo, chúng ta cần khái niệm về một thuật toán. Tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa chính thức về nó ở đây - điều đó sẽ khiến chúng ta lạc lối khá xa. Tôi sẽ giới hạn bản thân ở mức không chính thức: "thuật toán" là một chuỗi các hướng dẫn rõ ràng (“chương trình”) mà vì số cuối cùng bước chuyển đổi dữ liệu nguồn thành kết quả. Những gì in nghiêng về cơ bản là quan trọng - nếu chương trình lặp lại một số dữ liệu ban đầu thì nó không mô tả thuật toán. Để đơn giản và áp dụng vào trường hợp của chúng tôi, người đọc có thể coi thuật toán là một chương trình được viết bằng bất kỳ ngôn ngữ lập trình nào mà anh ta biết, mà đối với bất kỳ dữ liệu đầu vào nào từ một lớp nhất định, được đảm bảo hoàn thành công việc của nó tạo ra kết quả Boolean.
Chúng ta hãy tự hỏi: đối với mỗi hàm đều có một “thuật toán chứng minh” (hay nói tóm lại là "suy diễn"), tương đương với hàm này, tức là chuyển đổi từng câu lệnh thành giá trị Boolean giống hệt như nó? Câu hỏi tương tự có thể được trình bày ngắn gọn hơn như sau: có phải mọi hàm trên một tập hợp các câu lệnh đều có thể tính toán được? Như bạn đã đoán, từ tính hợp lệ của TGN thì không, không phải mọi hàm - có những hàm không thể tính toán được thuộc loại này. Nói cách khác, không phải mọi tuyên bố đúng đều có thể được chứng minh.
Rất có thể câu nói này sẽ gây ra sự phản kháng nội tâm trong bạn. Điều này là do một số trường hợp. Thứ nhất, khi chúng ta được dạy toán học, thì đôi khi có ấn tượng sai lầm về sự đồng nhất gần như hoàn toàn của các cụm từ “định lý là đúng” và “định lý có thể được chứng minh hoặc xác minh”. Tuy nhiên, nếu bạn nghĩ về nó, điều này không hề rõ ràng chút nào. Một số định lý được chứng minh khá đơn giản (ví dụ, bằng cách thử một số ít phương án), trong khi những định lý khác lại rất khó. Ví dụ, hãy xem xét Định lý cuối cùng nổi tiếng của Fermat:
bằng chứng về điều này chỉ được tìm thấy ba thế kỷ rưỡi sau công thức đầu tiên (và nó còn lâu mới cơ bản). Cần phải phân biệt giữa tính xác thực của một tuyên bố và khả năng chứng minh của nó. Không có bất kỳ khẳng định nào đúng nhưng không thể chứng minh được (và không thể kiểm chứng đầy đủ).
Lập luận trực quan thứ hai chống lại TGN tinh tế hơn. Giả sử chúng ta có một số tuyên bố không thể chứng minh được (trong khuôn khổ suy luận này). Điều gì ngăn cản chúng ta chấp nhận nó như một tiên đề mới? Vì vậy, chúng tôi sẽ làm phức tạp hệ thống bằng chứng của mình một chút, nhưng điều này không đáng sợ. Lập luận này sẽ hoàn toàn đúng nếu có một số hữu hạn các phát biểu không thể chứng minh được. Trong thực tế, điều sau đây có thể xảy ra: sau khi đưa ra một tiên đề mới, bạn tình cờ gặp một tuyên bố mới không thể chứng minh được. Nếu bạn chấp nhận nó như một tiên đề khác, bạn sẽ vấp phải tiên đề thứ ba. Và cứ thế đến vô tận. Họ nói rằng khoản khấu trừ sẽ vẫn còn không đầy đủ. Chúng ta cũng có thể buộc thuật toán chứng minh hoàn thành trong một số bước hữu hạn với một số kết quả cho bất kỳ cách phát âm nào của ngôn ngữ. Nhưng đồng thời, anh ta sẽ bắt đầu nói dối - dẫn đến sự thật cho những tuyên bố sai, hoặc nói dối - đối với những người chung thủy. Trong những trường hợp như vậy họ nói rằng khấu trừ mâu thuẫn. Do đó, một công thức khác của TGN nghe như thế này: “Có những ngôn ngữ mệnh đề mà khả năng suy diễn nhất quán hoàn toàn là không thể” - do đó có tên của định lý.
Đôi khi được gọi là “định lý Gödel”, phát biểu nói rằng bất kỳ lý thuyết nào cũng chứa đựng những vấn đề không thể giải quyết được trong khuôn khổ của chính lý thuyết đó và đòi hỏi phải khái quát hóa nó. Theo một nghĩa nào đó thì điều này đúng, mặc dù cách diễn đạt này có xu hướng che khuất vấn đề hơn là làm rõ nó.
Tôi cũng sẽ lưu ý rằng nếu chúng ta đang nói về các hàm quen thuộc ánh xạ một tập hợp số thực vào đó, thì tính chất “không tính toán được” của hàm sẽ không làm ai ngạc nhiên (chỉ cần đừng nhầm lẫn giữa “hàm tính toán được” và “số có thể tính toán được”. ” - đây là những thứ khác nhau). Bất cứ học sinh nào cũng biết rằng, trong trường hợp của một hàm số, bạn phải rất may mắn với lập luận thì quá trình tính toán chính xác mới có thể xảy ra. biểu diễn số thập phân Giá trị của hàm này kết thúc ở một số bước hữu hạn. Nhưng rất có thể bạn sẽ tính toán nó bằng cách sử dụng một chuỗi vô hạn và phép tính này sẽ không bao giờ dẫn đến một kết quả chính xác, mặc dù nó có thể đến gần như bạn muốn - đơn giản vì giá trị sin của hầu hết các đối số là vô tỷ. TGN chỉ đơn giản cho chúng ta biết rằng ngay cả trong số các hàm có đối số là chuỗi và có giá trị bằng 0 hoặc 1, cũng có những hàm không thể tính toán được, mặc dù chúng có cấu trúc hoàn toàn khác.
Với những mục đích sâu hơn, chúng ta sẽ mô tả “ngôn ngữ của số học hình thức”. Hãy xem xét một lớp các chuỗi văn bản có độ dài hữu hạn, bao gồm các chữ số Ả Rập, các biến (chữ cái bảng chữ cái Latinh), nhận giá trị tự nhiên, dấu cách, ký tự các phép tính số học, đẳng thức và bất bình đẳng, các bộ định lượng (“tồn tại”) và (“đối với bất kỳ”) và có lẽ, một số ký hiệu khác (số lượng và thành phần chính xác của chúng không quan trọng đối với chúng tôi). Rõ ràng là không phải tất cả các dòng như vậy đều có ý nghĩa (ví dụ: “ ” là vô nghĩa). Tập hợp con của các biểu thức có ý nghĩa từ lớp này (nghĩa là các chuỗi đúng hoặc sai theo quan điểm của số học thông thường) sẽ là tập hợp các câu lệnh của chúng ta.
Ví dụ về các câu lệnh số học hình thức:
vân vân. Bây giờ, hãy gọi “công thức có tham số tự do” (FSP) là một chuỗi sẽ trở thành một câu lệnh nếu một số tự nhiên được thay thế vào đó làm tham số này. Ví dụ về FSP (có tham số):
vân vân. Nói cách khác, FSP tương đương với các hàm đối số tự nhiên có giá trị Boolean.
Chúng ta hãy biểu thị tập hợp tất cả các FSP bằng chữ cái . Rõ ràng là nó có thể được sắp xếp theo thứ tự (ví dụ: đầu tiên chúng ta viết ra các công thức một chữ cái được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái, tiếp theo là các công thức hai chữ cái, v.v.; việc sắp xếp thứ tự sẽ diễn ra theo bảng chữ cái nào không quan trọng đối với chúng tôi). Do đó, bất kỳ FSP nào cũng tương ứng với số của nó trong danh sách có thứ tự và chúng ta sẽ biểu thị nó.
Bây giờ chúng ta chuyển sang phác thảo chứng minh TGN theo công thức sau:
- Đối với ngôn ngữ mệnh đề của số học hình thức, không có hệ thống suy diễn nhất quán hoàn chỉnh.
Chúng ta sẽ chứng minh điều đó bằng phản chứng.
Vì vậy, hãy giả sử rằng một hệ thống suy diễn như vậy tồn tại. Chúng ta hãy mô tả thuật toán phụ trợ sau đây, gán giá trị Boolean cho số tự nhiên như sau:
Nói một cách đơn giản, thuật toán mang lại giá trị TRUE khi và chỉ khi kết quả của việc thay thế số của chính nó vào FSP trong danh sách của chúng tôi đưa ra một tuyên bố sai.
Ở đây chúng ta đến chỗ duy nhất mà tôi yêu cầu người đọc tin lời tôi.
Rõ ràng là, theo giả định nêu trên, bất kỳ FSP nào cũng có thể được so sánh với một thuật toán chứa số tự nhiên ở đầu vào và giá trị Boolean ở đầu ra. Điều ngược lại ít rõ ràng hơn:
Việc chứng minh bổ đề này đòi hỏi, ở mức tối thiểu, một định nghĩa chính thức, thay vì trực quan, về khái niệm thuật toán. Tuy nhiên, nếu bạn nghĩ về nó một chút, nó khá hợp lý. Trên thực tế, các thuật toán được viết bằng ngôn ngữ thuật toán, trong số đó có những từ kỳ lạ, chẳng hạn như Brainfuck, bao gồm tám từ một ký tự, tuy nhiên, bất kỳ thuật toán nào cũng có thể được thực hiện. Sẽ thật kỳ lạ nếu ngôn ngữ phong phú hơn của các công thức số học hình thức mà chúng tôi mô tả hóa ra lại kém hơn - mặc dù, không nghi ngờ gì nữa, nó không phù hợp lắm cho lập trình thông thường.
Vượt qua nơi trơn trượt này, chúng tôi nhanh chóng đi đến đích.
Vì vậy, ở trên chúng tôi đã mô tả thuật toán. Theo bổ đề mà tôi yêu cầu bạn tin, có một FSP tương đương. Nó có một số số trong danh sách - giả sử, . Chúng ta hãy tự hỏi, cái gì bằng? Hãy để đây là SỰ THẬT. Sau đó, theo cấu trúc của thuật toán (và do đó hàm tương đương với nó), điều này có nghĩa là kết quả của việc thay thế một số vào hàm là FALSE. Điều ngược lại được kiểm tra theo cách tương tự: từ FALSE theo sau TRUE. Chúng ta đã đi đến mâu thuẫn, có nghĩa là giả định ban đầu là sai. Vì vậy, không có hệ thống suy diễn nhất quán hoàn chỉnh cho số học hình thức. Q.E.D.
Ở đây thật thích hợp để nhớ lại Epimenides (xem bức chân dung trong tiêu đề), người, như đã biết, đã tuyên bố rằng tất cả người Crete đều là những kẻ nói dối, bản thân ông cũng là người Crete. Trong một cách diễn đạt ngắn gọn hơn, tuyên bố của ông (được gọi là “nghịch lý kẻ nói dối”) có thể được phát biểu như sau: “Tôi đang nói dối”. Chính xác là loại tuyên bố này, bản thân nó đã tuyên bố là sai lầm, mà chúng tôi đã sử dụng để làm bằng chứng.
Tóm lại, tôi muốn lưu ý rằng TGN không tuyên bố điều gì đặc biệt đáng ngạc nhiên. Cuối cùng, mọi người từ lâu đã quen với thực tế là không phải tất cả các số đều có thể được biểu diễn dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên (hãy nhớ rằng câu lệnh này có một bằng chứng rất tao nhã đã hơn hai nghìn năm tuổi?). Và nghiệm của đa thức với hệ số hợp lý Không phải tất cả các số đều như vậy. Và bây giờ hóa ra không phải tất cả các hàm của một đối số tự nhiên đều có thể tính toán được.
Bản phác thảo của chứng minh được đưa ra là dành cho số học hình thức, nhưng dễ dàng thấy rằng TGN có thể áp dụng được cho nhiều ngôn ngữ mệnh đề khác. Tất nhiên, không phải tất cả các ngôn ngữ đều như vậy. Ví dụ: hãy xác định một ngôn ngữ như sau:
- "Bất kỳ cụm từ nào tiếng Trung Trong trích dẫn của đồng chí Mao Trạch Đông là đúng, nếu không có thì là sai”.
Sau đó, thuật toán chứng minh nhất quán và đầy đủ tương ứng (người ta có thể gọi nó là “suy diễn giáo điều”) trông giống như sau:
- “Lật qua sách trích dẫn của Đồng chí Mao Trạch Đông cho đến khi tìm được câu nói mình cần tìm. Nếu tìm được thì đúng, còn nếu sách báo giá hết mà không tìm thấy thì đó là sai ”.
Điều cứu chúng ta ở đây là bất kỳ cuốn sách trích dẫn nào rõ ràng là hữu hạn, vì vậy quá trình “chứng minh” chắc chắn sẽ kết thúc. Vì vậy, TGN không thể áp dụng được cho ngôn ngữ của các phát biểu mang tính giáo điều. Nhưng chúng ta đang nói về những ngôn ngữ phức tạp, phải không?
về chủ đề: “Định lý của Chúa”
Kurt Godel
Kurt Gödel là chuyên gia hàng đầu về logic toán học– sinh ngày 28 tháng 4 năm 1906 tại Brunn (nay là Brno, Cộng hòa Séc). Ông tốt nghiệp Đại học Vienna, nơi ông bảo vệ luận án tiến sĩ và là trợ lý giáo sư vào năm 1933–1938. Sau Anschluss, ông di cư sang Hoa Kỳ. Từ 1940 đến 1963 Gödel làm việc tại Viện Princeton nghiên cứu cao hơn. Gödel - tiến sĩ danh dự của Đại học Yale và Harvard, thành viên Học viện Quốc gia Khoa học Hoa Kỳ và Hiệp hội Triết học Hoa Kỳ.
Năm 1951, Kurt Gödel được trao giải cao nhất giải thưởng khoa học Hoa Kỳ - Giải thưởng Einstein. Trong một bài viết dành riêng cho sự kiện này, một nhà toán học lớn khác của thời đại chúng ta, John von Neumann, đã viết: “Đóng góp của Kurt Gödel cho logic hiện đại thực sự rất to lớn. Đây không chỉ là một tượng đài. Đây là một cột mốc quan trọng ngăn cách hai thời đại... Không hề phóng đại, có thể nói rằng công trình của Gödel đã thay đổi hoàn toàn chủ đề logic với tư cách là một khoa học.”
Thật vậy, ngay cả một danh sách khô khan về những thành tựu của Gödel trong logic toán học cũng cho thấy rằng tác giả của chúng về cơ bản đã đặt nền móng cho toàn bộ các phần của khoa học này: lý thuyết mô hình (1930; cái gọi là định lý về tính đầy đủ của phép tính vị từ hẹp, cho thấy, nói một cách đại khái, sự đầy đủ của các phương tiện “logic hình thức” "để chứng minh tất cả các câu đúng được diễn đạt bằng ngôn ngữ của nó), logic xây dựng (1932–1933; dẫn đến khả năng quy giản một số loại câu của logic cổ điển thành những câu tương tự mang tính trực giác của chúng, điều này đặt ra nền tảng cho việc sử dụng có hệ thống các “hoạt động ngâm” cho phép giảm thiểu các hệ thống logic nhau), số học hình thức (1932–1933; dẫn đến khả năng quy giản số học cổ điển thành số học trực giác, cho thấy tính nhất quán của số học thứ nhất so với số học thứ hai), lý thuyết về thuật toán và hàm đệ quy (1934; định nghĩa về khái niệm hàm đệ quy tổng quát, một mặt đóng vai trò quyết định trong việc thiết lập tính không giải được về mặt thuật toán của một số bài toán quan trọng nhất trong toán học, và trong việc thực hiện các bài toán logic-toán trên máy tính điện tử. khác), lý thuyết tập hợp tiên đề (1938; bằng chứng về tính nhất quán tương đối của tiên đề lựa chọn và giả thuyết liên tục của Cantor từ lý thuyết tập hợp, đặt nền tảng cho một loạt kết quả quan trọng về tính nhất quán tương đối và tính độc lập của lý thuyết tập hợp). nguyên tắc).
Định lý bất toàn của Gödel
Giới thiệu
Năm 1931, tại một trong những nước Đức tạp chí khoa học một bài báo tương đối nhỏ xuất hiện với tiêu đề khá đáng sợ “Về những mệnh đề chính thức không thể quyết định được của Nguyên tắc Toán học và các Hệ thống Liên quan”. Tác giả của nó là một nhà toán học 25 tuổi đến từ Đại học Vienna Kurt Gödel, người sau này làm việc tại Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton. Công trình này đóng một vai trò quyết định trong lịch sử logic và toán học. Trong quyết định của Đại học Harvard trao cho Gödel một giải thưởng danh dự tiến sĩ(1952), bà được coi là một trong thành tựu lớn nhất logic hiện đại.
Tuy nhiên, tại thời điểm xuất bản, không có tên tác phẩm của Gödel. Cả nội dung của nó đều không có ý nghĩa gì đối với hầu hết các nhà toán học. Được nhắc đến trong tựa đề của nó, Principia Mathematica là một luận thuyết đồ sộ gồm ba tập của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell về logic toán học và các nền tảng của toán học; làm quen với chuyên luận này không có nghĩa là một điều kiện cần thiết Vì công việc thành công trong hầu hết các ngành toán học. Sự quan tâm đến các vấn đề được đề cập trong công trình của Gödel luôn là mối quan tâm của một nhóm rất nhỏ các nhà khoa học. Đồng thời, lý luận mà Gödel đưa ra trong các chứng minh của ông là rất bất thường vào thời đó. Để hiểu đầy đủ về chúng đòi hỏi phải có sự thông thạo đặc biệt về chủ đề và sự quen thuộc với tài liệu dành cho những vấn đề rất cụ thể này.
Định lý bất toàn thứ nhất
Định lý bất toàn đầu tiên của Gödel rõ ràng là kết quả quan trọng nhất trong logic toán học. Nghe có vẻ như thế này:
Đối với một lý thuyết hình thức và có thể tính toán nhất quán tùy ý, trong đó các phát biểu số học cơ bản có thể được chứng minh, thì một phát biểu số học thực sự có thể được xây dựng, nhưng tính đúng đắn của nó không thể được chứng minh trong khuôn khổ lý thuyết. Nói cách khác, bất kỳ hoàn toàn lý thuyết hữu ích, đủ để biểu diễn số học, không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ.
Ở đây từ “lý thuyết” có nghĩa là “ tập vô hạn“các phát biểu, một số trong đó được cho là đúng mà không cần bằng chứng (những phát biểu như vậy được gọi là tiên đề), trong khi những phát biểu khác (định lý) có thể được suy ra từ các tiên đề, và do đó được cho là (đã được chứng minh) là đúng. Cụm từ “có thể chứng minh được về mặt lý thuyết” có nghĩa là “có thể rút ra từ các tiên đề và nguyên hàm của lý thuyết (ký hiệu hằng số của bảng chữ cái) bằng cách sử dụng logic tiêu chuẩn (thứ tự đầu tiên). Một lý thuyết là nhất quán (nhất quán) nếu không thể chứng minh được một tuyên bố mâu thuẫn trong đó. Cụm từ “có thể được xây dựng” có nghĩa là có một số quy trình (thuật toán) cơ học nào đó có thể xây dựng một tuyên bố dựa trên các tiên đề, nguyên hàm và logic bậc nhất. “Số học cơ bản” bao gồm các phép tính cộng và nhân trên các số tự nhiên. Tuyên bố đúng nhưng không thể chứng minh được thường được gọi là "chuỗi Gödel" đối với một lý thuyết nhất định, nhưng có vô số tuyên bố khác trong lý thuyết có cùng đặc tính: không thể chứng minh được trong lý thuyết về sự thật.
Giả định rằng lý thuyết có thể tính toán được có nghĩa là về nguyên tắc có thể thực hiện được thuật toán máy tính ( chương trình máy tính), mà (nếu được phép tính trong một thời gian dài tùy ý, có thể lên đến vô cùng) sẽ tính ra danh sách tất cả các định lý của lý thuyết. Trên thực tế, chỉ cần tính danh sách các tiên đề là đủ và tất cả các định lý có thể thu được một cách hiệu quả từ danh sách đó.
Định lý bất toàn đầu tiên có tựa đề "Định lý VI" trong bài báo năm 1931 của Gödel Về các mệnh đề chính thức không thể giải quyết được trong Principia Mathematica và các hệ thống liên quan I. Trong bản ghi âm gốc của Gödel, nó nghe như sau:
“Kết luận chung về sự tồn tại của các mệnh đề không thể quyết định được là:
Định lý VI .
Đối với mỗi lớp đệ quy nhất quán ω k CÔNG THỨC có đệ quy DẤU HIỆU r như vậy cũng không (v thế hệ r), cũng không ¬( v thế hệ r)không thuộc về Flg (k)(v ở đâu BIẾN MIỄN PHÍ r ) ».
chỉ định Flgđến từ anh ấy. Folgerungsmenge- nhiều trình tự, thế hệđến từ anh ấy. Khái quát hóa– khái quát hóa.
Nói một cách đại khái, tuyên bố của Gödel G khẳng định: “sự thật G không thể chứng minh được." Nếu như G có thể được chứng minh trong khuôn khổ của lý thuyết, thì trong trường hợp này lý thuyết sẽ chứa một định lý mâu thuẫn với chính nó, và do đó lý thuyết sẽ mâu thuẫn. Nhưng nếu G không thể chứng minh được thì nó đúng và do đó lý thuyết này chưa đầy đủ (phát biểu G không thể suy ra được trong đó).
Đây là lời giải thích bằng tiếng Anh đơn giản ngôn ngữ tự nhiên, và do đó không hoàn toàn nghiêm ngặt về mặt toán học. Để đưa ra một bằng chứng chặt chẽ, Gödel đã đánh số các phát biểu bằng số tự nhiên. Trong trường hợp này, lý thuyết mô tả số cũng thuộc tập hợp các mệnh đề. Trong trường hợp này, các câu hỏi về tính chứng minh của các mệnh đề có thể được trình bày dưới dạng các câu hỏi về tính chất của các số tự nhiên, phải tính toán được nếu lý thuyết hoàn chỉnh. Trong những thuật ngữ này, phát biểu của Gödel nói rằng không có con số nào có đặc tính cụ thể nào đó. Một con số có tính chất này sẽ là bằng chứng cho sự không nhất quán của lý thuyết. Nếu con số như vậy tồn tại thì lý thuyết không nhất quán, trái với giả định ban đầu. Vì vậy, giả sử rằng lý thuyết này là nhất quán (như được giả định trong tiền đề của định lý), hóa ra con số như vậy không tồn tại và tuyên bố của Gödel là đúng, nhưng trong khuôn khổ lý thuyết thì không thể chứng minh được điều đó ( do đó lý thuyết là không đầy đủ). Một điểm khái niệm quan trọng là cần phải giả định rằng lý thuyết này là nhất quán để tuyên bố tuyên bố của Gödel là đúng.
Định lý bất toàn thứ hai của Gödel
Định lý bất toàn thứ hai của Gödel được phát biểu như sau:
Đối với bất kỳ lý thuyết T nào có thể đếm được đệ quy chính thức (nghĩa là được tạo ra một cách hiệu quả), bao gồm các tuyên bố chân lý số học cơ bản và các tuyên bố có thể chứng minh hình thức nhất định, lý thuyết này T bao gồm một khẳng định về tính tự nhất quán khi và chỉ khi lý thuyết T không nhất quán.
Nói cách khác, tính nhất quán của một lý thuyết đủ phong phú không thể được chứng minh bằng lý thuyết này. Tuy nhiên, có thể hóa ra là tính nhất quán của một lý thuyết cụ thể có thể được cài đặt bằng cách khác, mạnh hơn lý thuyết hình thức. Nhưng sau đó câu hỏi đặt ra là tính nhất quán của lý thuyết thứ hai này, v.v.
Dùng định lý này để chứng minh rằng hoạt động thông minh Nó không phụ thuộc vào tính toán, nhiều người đã thử. Ví dụ, vào năm 1961, nhà logic học nổi tiếng John Lucas đã nghĩ ra một chương trình tương tự. Lý luận của anh ấy hóa ra khá dễ bị tổn thương - tuy nhiên, anh ấy đặt ra nhiệm vụ rộng rãi hơn. Roger Penrose có một cách tiếp cận hơi khác, được phác thảo hoàn toàn trong cuốn sách, “từ đầu”.
Thảo luận
Hệ quả của các định lý ảnh hưởng đến triết lý toán học, đặc biệt là các chủ nghĩa hình thức sử dụng logic hình thức để xác định các nguyên tắc của chúng. Chúng ta có thể phát biểu lại định lý bất toàn thứ nhất như sau: “ không thể tìm được một hệ tiên đề bao quát có thể chứng minh được Tất cả sự thật toán học, và không một lời nói dối nào" Mặt khác, xét về mặt hình thức chặt chẽ, việc cải cách này không có ý nghĩa đặc biệt, vì nó giả định các khái niệm “sự thật” và “sai” được định nghĩa theo nghĩa tuyệt đối hơn là theo nghĩa tương đối cho từng hệ thống cụ thể.