(จากภาษากรีก γόγος - "คำ", "ความสัมพันธ์" และ ἀριθμός - "ตัวเลข") ขขึ้นอยู่กับ ก(บันทึก α ข) เรียกว่าตัวเลขดังกล่าว ค, และ ข= คนั่นคือ บันทึกบันทึก α ข=คและ ข=กคเทียบเท่ากัน ลอการิทึมสมเหตุสมผลถ้า a > 0, a ≠ 1, b > 0
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลอการิทึมตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กกำหนดเป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)
จากสูตรนี้ จะได้ว่าการคำนวณ x= log α ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ a x =b
ตัวอย่างเช่น:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 8 = 2 3
ให้เราเน้นว่าการกำหนดลอการิทึมที่ระบุทำให้สามารถระบุได้ทันที ค่าลอการิทึมเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมทำหน้าที่เป็นกำลังหนึ่งของฐาน ที่จริงแล้ว การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อของลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อ พลังของตัวเลข.
เรียกว่าการคำนวณลอการิทึม ลอการิทึม- ลอการิทึมคือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กำลังหาลอการิทึม เมื่อพิจารณาลอการิทึม ผลคูณของปัจจัยจะถูกแปลงเป็นผลรวมของพจน์
ศักยภาพคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผกผันกับลอการิทึม ในระหว่างการเพิ่มศักยภาพ ฐานที่กำหนดจะถูกยกขึ้นตามระดับของการแสดงออกซึ่งจะดำเนินการเพิ่มศักยภาพ ในกรณีนี้ ผลรวมของพจน์จะเปลี่ยนเป็นผลคูณของปัจจัย
บ่อยครั้ง ลอการิทึมจริงใช้กับฐาน 2 (ไบนารี่) เลขออยเลอร์ e mut 2.718 (ลอการิทึมธรรมชาติ) และ 10 (ทศนิยม)
บน ที่เวทีนี้ขอแนะนำให้พิจารณา ตัวอย่างลอการิทึมบันทึก 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
และรายการ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากในตอนแรกจะมีการวางจำนวนลบไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึมในวินาที - จำนวนลบในฐานและในสาม - ทั้งจำนวนลบภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมและหน่วยในฐาน
เงื่อนไขในการกำหนดลอการิทึม
ควรพิจารณาแยกเงื่อนไข a > 0, a ≠ 1, b > 0 ภายใต้สิ่งที่เราได้รับ คำจำกัดความของลอการิทึมลองพิจารณาว่าเหตุใดจึงมีการใช้ข้อจำกัดเหล่านี้ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = log α จะช่วยเราในเรื่องนี้ ขเรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง
เอาล่ะเอาเงื่อนไข ก≠1- เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ เท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความเท่าเทียมกัน x=log α ขจะอยู่ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น ข=1แต่บันทึก 1 1 จะเป็นจำนวนจริงใดๆ เราดำเนินการเพื่อขจัดความคลุมเครือนี้ ก≠1.
ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข ก>0- ที่ ก=0ตามสูตรลอการิทึมจะมีได้ก็ต่อเมื่อ ข=0- และตามนั้น เข้าสู่ระบบ 0 0สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ จะเป็นศูนย์ ความคลุมเครือนี้สามารถกำจัดได้ตามเงื่อนไข ก≠0- และเมื่อ ก<0 เราจะต้องปฏิเสธการวิเคราะห์ค่าลอการิทึมที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะ เนื่องจากระดับที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและอตรรกยะถูกกำหนดไว้สำหรับฐานที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงมีการกำหนดเงื่อนไขไว้ ก>0.
และ เงื่อนไขสุดท้าย ข>0ตามมาด้วยความไม่เท่าเทียมกัน ก>0เนื่องจาก x=log α ขและค่าของดีกรีที่มีฐานบวก กคิดบวก.
คุณสมบัติของลอการิทึม
ลอการิทึมโดดเด่นด้วยความโดดเด่น คุณสมบัติซึ่งนำไปสู่การใช้อย่างแพร่หลายเพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณที่ต้องใช้ความอุตสาหะอย่างมาก เมื่อย้าย "สู่โลกแห่งลอการิทึม" การคูณจะถูกเปลี่ยนแปลงไปอีกมากมาย พับง่ายการหารคือการลบ และการยกกำลังและการแยกรากจะถูกแปลงตามลำดับเป็นการคูณและการหารด้วยเลขชี้กำลัง
การกำหนดลอการิทึมและตารางค่า (สำหรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1614 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ ตารางลอการิทึมที่ขยายและให้รายละเอียดโดยนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม และยังคงมีความเกี่ยวข้องจนกระทั่งมีการใช้เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์
ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น
โดยมีเงื่อนไขว่า ,
,
จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้ , เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมที่มีฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมฐานสิบ แทน เขียน
.
ลอการิทึมถึงฐาน จ
เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้ .
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมของหนึ่งในฐานใดๆ เท่ากับศูนย์
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของปัจจัย
3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/240/html_qTTgIECVB4.c0cJ/img-m3GcrM.png)
ปัจจัย เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก
เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข
.
การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม
ตัวอย่างเช่น,
การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ
บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง
1. ข้อจำกัด
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx
0
สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.
ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก: ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.
ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน .
เมื่อมุ่งมั่น , การทำงาน ย
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:
1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด
ขีดจำกัด ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้
.
ขีดจำกัดจำนวนเงิน (ส่วนต่าง) จำนวนจำกัดฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัด เท่ากับสินค้าขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์
,
, ที่ไหน
1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด
อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .
.
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้เรามีหน้าที่ ต่อเนื่องในส่วนนี้
.
การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
เพราะฉะนั้น, .
ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่ - หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด โดยการโต้แย้ง
เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน สามารถกำหนดได้ดังนี้:
;
;
;
.
คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง
2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์
ลองพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ
ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล
จากตำแหน่งเริ่มต้น
.
หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ
=
- ความเร็วเฉลี่ยจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.
ดังนั้นคำจำกัดความ ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา
2.2. ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์
ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก .
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ถ้า แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.
เพราะฉะนั้น , เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง
เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.
2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน
ฟังก์ชั่นพลังงาน
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
|
|
|
|
ฟังก์ชันลอการิทึม
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
|
|
|
|
|
|
|
|
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. กฎของความแตกต่าง
อนุพันธ์ของ
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
2.5. อนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ จึงสามารถแสดงออกมาในรูปได้
และ
โดยที่ตัวแปร
ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ให้มีอยู่ , หาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง
ปล่อยมันไป ที่
ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์
,
แล้วเราก็สามารถเขียนได้
(1),
ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ตั้งแต่เมื่อไหร่
คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย เรามี:
ที่ไหน - บีเอ็มวี การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น.
ขนาด เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้
.
3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ .
รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล
.
แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนด
3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ
ถ้ามี , แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร .
อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:
.
ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง
.
.
3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง
ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย , ที่ไหน เอ็น
– จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที
– เวลา (วัน)
b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?
คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น
ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังจากการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน
.
ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?
วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์
,
ลองพิจารณาว่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน
คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด
องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจาก ภาษากรีกมาจากคำว่า “เลข” หรือ “กำลัง” และหมายถึง ระดับที่ต้องยกเลขในฐานขึ้นจึงจะหาเลขสุดท้ายได้
ประเภทของลอการิทึม
- log a b – ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – ลอการิทึมทศนิยม (ลอการิทึมถึงฐาน 10, a = 10);
- ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมถึงฐาน e, a = e)
วิธีการแก้ลอการิทึม?
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยก b ขึ้นเป็นฐาน a ผลลัพธ์ที่ได้จะออกเสียงดังนี้: “ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a” วิธีแก้ไขปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องหากำลังที่กำหนดเป็นตัวเลขด้วย หมายเลขที่ระบุ- มีกฎพื้นฐานบางประการในการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการแปลงสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้พวกมันจะเป็นการแก้ปัญหา สมการลอการิทึมพบอนุพันธ์แล้ว อินทิกรัลได้รับการแก้ไข และดำเนินการอื่นๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว การแก้ลอการิทึมนั้นจะใช้สัญกรณ์แบบง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติพื้นฐาน:
สำหรับใดๆ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใด ๆ ; ใช่ > 0
- บันทึก a b = b – พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม
- บันทึก 1 = 0
- โลกา ก = 1
- บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y
- บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
- บันทึก a 1/x = -บันทึก x
- บันทึก a x p = p บันทึก a x
- log a k x = 1/k log a x สำหรับ k ≠ 0
- บันทึก a x = บันทึก a c x c
- log a x = log b x/ log b a – สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่
- บันทึก a x = 1/บันทึก x a
วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนในการแก้ปัญหา
- ขั้นแรก เขียนสมการที่ต้องการ
โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานคือ 10 รายการจะถูกย่อให้สั้นลง ส่งผลให้มีลอการิทึมฐานสิบ ถ้ามันคุ้มค่า จำนวนธรรมชาติ e จากนั้นเราเขียนมันลงไป โดยลดเหลือลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือกำลังที่เลขฐานถูกยกขึ้นเพื่อให้ได้เลข b
วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การคำนวณระดับนี้โดยตรง ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึมจะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาตัวตนหลักได้โดยย้อนกลับไปในบทความเล็กน้อย
การบวกและการลบลอการิทึมด้วยสอง ตัวเลขที่แตกต่างกันแต่ด้วยฐานเดียวกัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมหนึ่งตัวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรในการย้ายไปยังฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)
หากคุณใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องพิจารณา และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงจำนวนบวก แต่ไม่ใช่ เท่ากับหนึ่ง- จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์
มีหลายกรณีที่การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมได้ รูปแบบตัวเลข- มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลเพราะเลขยกกำลังจำนวนมากเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยให้กำลังของตัวเลขเป็นลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ตรงกัน ตัวเลขปกติมีกฎเกณฑ์อยู่ที่นี่ซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม- นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย- จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- บันทึก ก x+บันทึก ก ย=บันทึก ก (x · ย);
- บันทึก ก x- บันทึก ก ย=บันทึก ก (x : ย).
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงกลับกลายเป็นว่าค่อนข้างมาก ตัวเลขปกติ- หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ- แล้วการควบคุมล่ะ? การแสดงออกที่คล้ายกันในความจริงจังทั้งหมด (บางครั้งก็แทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) จะถูกนำเสนอในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
![](https://i0.wp.com/berdov.com/img/docs/logarithm/basic_properties/formula1.png)
สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:
![](https://i1.wp.com/berdov.com/img/docs/logarithm/basic_properties/formula4.png)
ฉันคิดว่าจะ ตัวอย่างสุดท้ายจำเป็นต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้บันทึกลอการิทึม ก x- แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คดังนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
[คำบรรยายภาพ]
โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = x, เราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป นิพจน์เชิงตัวเลข- มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
[คำบรรยายภาพ]ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
[คำบรรยายภาพ]เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังขึ้นถึงจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก- ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก- อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
[คำบรรยายภาพ]
โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม พิจารณาหลักเกณฑ์การคูณอำนาจด้วย พื้นฐานเดียวกัน, เราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ]ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย
- บันทึก ก ก= 1 คือ หน่วยลอการิทึม- จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
- บันทึก ก 1 = 0 คือ ศูนย์ลอการิทึม- ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
เริ่มต้นด้วย คุณสมบัติของลอการิทึมของหนึ่ง- สูตรของมันคือดังนี้: ลอการิทึมของเอกภาพเท่ากับศูนย์นั่นคือ เข้าสู่ระบบ 1=0สำหรับ a>0, a≠1 ใดๆ การพิสูจน์ไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจาก 0 =1 สำหรับเงื่อนไขใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 ดังนั้นบันทึกความเท่าเทียมกัน 1=0 ที่จะพิสูจน์จะตามมาทันทีจากคำจำกัดความของลอการิทึม
ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้คุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0, log1=0 และ
มาดูคุณสมบัติถัดไปกันดีกว่า: ลอการิทึมของตัวเลข เท่ากับฐานเท่ากับหนึ่ง, นั่นคือ, เข้าสู่ระบบ a=1สำหรับ a>0, a≠1 อันที่จริง เนื่องจาก 1 =a สำหรับ a ใดๆ ดังนั้นตามคำจำกัดความ บันทึกลอการิทึมก = 1 .
ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้คือบันทึกความเท่าเทียมกัน 5 5=1, บันทึก 5.6 5.6 และ lne=1
ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 และ .
ลอการิทึมของผลคูณของทั้งสอง ตัวเลขบวก x และ y เท่ากับผลคูณของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: log a (x y)=บันทึก x+บันทึก a y, ก>0 , ก≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของปริญญา a บันทึก x+บันทึก a y =a บันทึก a x ·a บันทึก a yและเนื่องจากโดยเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก จะมีบันทึก a x =x และบันทึก a y =y จากนั้นจึงบันทึก a x ·a บันทึก a y =x·y ดังนั้น บันทึก a x+log a y =x·y ซึ่งตามนิยามของลอการิทึม ความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์ได้จะเป็นดังนี้
ลองแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 และ .
คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถสรุปได้ทั่วไปกับผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, x n เช่น บันทึก a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= บันทึก a x 1 +บันทึก a x 2 +…+บันทึก a x n - ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่มีปัญหา
ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลิตภัณฑ์สามารถแทนที่ด้วยผลรวมของสามได้ ลอการิทึมธรรมชาติหมายเลข 4 , e และ .
ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารสอดคล้องกับสูตรของรูปแบบ โดยที่ a>0, a≠1, x และ y เป็นจำนวนบวกบางจำนวน ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นเดียวกับสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: เนื่องจาก แล้วตามนิยามของลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: .
เรามาต่อกันที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง- ลอการิทึมของดีกรีเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ ให้เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลังเป็นสูตร: บันทึก a b p =p·บันทึก a |b|โดยที่ a>0, a≠1, b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระดับ b p สมเหตุสมผล และ b p >0
ก่อนอื่น เราพิสูจน์คุณสมบัตินี้ว่าเป็นบวก b อัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้น b p =(a log a b) p และผลลัพธ์นิพจน์ เนื่องจากคุณสมบัติของกำลัง เท่ากับ a p·log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p·log a b โดยจากนิยามของลอการิทึม เราจะสรุปได้ว่า log a b p =p·log a b
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับลบ b ที่นี่เราสังเกตว่านิพจน์ log a b p สำหรับลบ b เหมาะสมสำหรับเลขชี้กำลังคู่ p เท่านั้น (เนื่องจากค่าของดีกรี b p ต้องมากกว่าศูนย์ ใน มิฉะนั้นลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี แล้ว ข พี =|ข| p =(บันทึก a |b|) p =a p·บันทึก a |b|จากที่ log a b p =p·log a |b| -
ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3
มันต่อเนื่องจากคุณสมบัติก่อนหน้า คุณสมบัติของลอการิทึมจากราก: ลอการิทึมของรากที่ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n ด้วยลอการิทึมของนิพจน์ราก นั่นคือ โดยที่ a>0, a≠1, n – จำนวนธรรมชาติ มากกว่าหนึ่ง, ข>0 .
การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดู) ซึ่งใช้ได้กับ b ใดๆ ที่เป็นบวก และคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง: .
นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้: .
ตอนนี้เรามาพิสูจน์กัน สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ใจดี - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของบันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็นบันทึก a b จากนั้นให้บันทึก c b=log c a log a b ยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: บันทึก c บันทึก a b = บันทึก a b บันทึก c a- นี่เป็นการพิสูจน์บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b·log c a ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมได้รับการพิสูจน์แล้วเช่นกัน
เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมกัน: และ .
สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการกับลอการิทึมที่มีฐาน "สะดวก" ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อหาลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าลอการิทึมจากตารางลอการิทึมได้ สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานลอการิทึมใหม่ยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถค้นหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดเมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวที่มีฐานอื่น
ใช้บ่อย กรณีพิเศษสูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมด้วย c=b ของแบบฟอร์ม - นี่แสดงว่าบันทึก a b และบันทึก b a – เช่น,
.
สูตรนี้ก็ใช้บ่อยเช่นกัน ซึ่งสะดวกสำหรับการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงวิธีการใช้ในการคำนวณค่าลอการิทึมของแบบฟอร์ม เรามี
- เพื่อพิสูจน์สูตร
ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรเพื่อเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม a:
.
ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติของการเปรียบเทียบลอการิทึม
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ b 1 และ b 2, b 1 log a b 2 และสำหรับ a>1 – บันทึกอสมการ a b 1 ท้ายที่สุด ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของลอการิทึมที่ระบุไว้ ให้เราจำกัดตัวเองอยู่เพียงการพิสูจน์ในส่วนแรก นั่นคือ เราจะพิสูจน์ว่าถ้า 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b>log a 2 b ข้อความที่เหลือของคุณสมบัติของลอการิทึมนี้ได้รับการพิสูจน์ตามหลักการที่คล้ายกัน ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่าสำหรับ 1 >1, 2 >1 และ 1 1 เป็นจริง log a 1 b≤log a 2 b ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น และ
ตามลำดับ และจากนั้นจะเป็นไปตามนั้น log b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้น ตามคุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน ความเท่าเทียมกัน b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 จะต้องคงอยู่ นั่นคือ a 1 ≥a 2 เราจึงขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1
บรรณานุกรม.
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)