การแก้สมการลอการิทึม สมการลอการิทึม

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด โดยไม่จำเป็นต้องแปลงหรือเลือกรากเบื้องต้น แต่ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้สมการดังกล่าว มันจะง่ายกว่ามาก

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบบันทึก a f (x) = b โดยที่ a, b คือตัวเลข (a > 0, a ≠ 1), f (x) เป็นฟังก์ชันเฉพาะ

คุณลักษณะที่โดดเด่นของสมการลอการิทึมทั้งหมดคือการมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม หากนี่คือสมการที่ให้ไว้ในโจทย์ตั้งแต่แรก เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด สมการลอการิทึมอื่นๆ จะถูกลดทอนให้เหลือค่าที่ง่ายที่สุดโดยการแปลงแบบพิเศษ (ดู "คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม") อย่างไรก็ตาม ต้องคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยหลายประการ: อาจมีรากเพิ่มเติม ดังนั้นสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนจะถูกพิจารณาแยกกัน

จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? ก็เพียงพอที่จะแทนที่ตัวเลขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับด้วยลอการิทึมในฐานเดียวกันกับทางด้านซ้าย จากนั้นคุณก็สามารถกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมได้ เราได้รับ:

บันทึก a f (x) = b ⇒ บันทึก a f (x) = บันทึก a a b ⇒ f (x) = a b

เราได้สมการปกติ รากของมันคือรากของสมการดั้งเดิม

การออกปริญญา

บ่อยครั้ง สมการลอการิทึมซึ่งภายนอกดูซับซ้อนและเป็นอันตราย ได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในสองสามบรรทัดโดยไม่ต้องเกี่ยวข้อง สูตรที่ซับซ้อน- วันนี้เราจะดูปัญหาดังกล่าวโดยที่สิ่งที่คุณต้องทำคือลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอย่างระมัดระวังและไม่สับสนเมื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

วันนี้ ดังที่คุณคงเดาได้จากชื่อเรื่อง เราจะมาแก้สมการลอการิทึมโดยใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน “เคล็ดลับ” หลักของบทเรียนวิดีโอนี้คือการใช้องศาหรืออนุมานระดับจากพื้นฐานและการโต้แย้ง ลองดูกฎ:

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถรับระดับจากฐานได้:

ดังที่เราเห็น หากเมื่อเราลบดีกรีออกจากอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เราก็มีปัจจัยเพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า แล้วเมื่อเราลบดีกรีออกจากฐาน เราจะไม่ได้เป็นเพียงตัวประกอบเท่านั้น แต่ยังเป็นปัจจัยกลับด้านด้วย สิ่งนี้จะต้องมีการจดจำ

สุดท้ายสิ่งที่น่าสนใจที่สุด สามารถรวมสูตรเหล่านี้เข้าด้วยกันได้ จากนั้นเราจะได้:

แน่นอนว่า เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ มีข้อผิดพลาดบางประการที่เกี่ยวข้องกับการขยายขอบเขตคำจำกัดความที่เป็นไปได้ หรือในทางกลับกัน การลดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 x

หากในกรณีแรก x อาจเป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 นั่นคือข้อกำหนด x ≠ 0 ดังนั้นในกรณีที่สอง เราจะพอใจกับ x เท่านั้น ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เท่ากัน แต่ยังมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด เนื่องจากโดเมนของ คำจำกัดความของลอการิทึมคืออาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 อย่างเคร่งครัด ดังนั้น ฉันขอเตือนคุณก่อน สูตรมหัศจรรย์จากหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8-9:

นั่นคือเราต้องเขียนสูตรของเราดังนี้:

บันทึก 3 x 2 = 2 ∙ บันทึก 3 |x |

แล้วจะไม่มีการจำกัดขอบเขตคำจำกัดความให้แคบลง

อย่างไรก็ตาม วิดีโอสอนวันนี้จะไม่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากคุณดูที่งานของเรา คุณจะเห็นเพียงรากเหง้าเท่านั้น ดังนั้นเราจะไม่ใช้กฎนี้ แต่ยังต้องจำไว้เพื่อทำเช่นนั้น ช่วงเวลาที่เหมาะสมเมื่อคุณเห็น ฟังก์ชันกำลังสองในอาร์กิวเมนต์หรือฐานของลอการิทึม คุณจะจำกฎนี้และทำการแปลงทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง

ดังนั้นสมการแรกคือ:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ฉันขอเสนอให้พิจารณาแต่ละเงื่อนไขที่มีอยู่ในสูตรอย่างละเอียด

ลองเขียนเทอมแรกใหม่เป็นเลขยกกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล:

เราดูเทอมที่สอง: log 3 (1 − x) ไม่จำเป็นต้องทำอะไรที่นี่ ทุกอย่างเปลี่ยนแปลงไปแล้วที่นี่

สุดท้าย 0, 5 ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทเรียนที่แล้ว เมื่อแก้สมการและสูตรลอการิทึม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนทั่วไป มาทำสิ่งนี้กัน:

0,5 = 5/10 = 1/2

มาเขียนสูตรดั้งเดิมของเราใหม่โดยคำนึงถึงเงื่อนไขผลลัพธ์:

ล็อก 3 (1 − x ) = 1

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก 3 (1 − x ) = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมโดยทำให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน:

1 - x = 3

-x = 2

x = −2

แค่นั้นแหละ เราได้แก้สมการแล้ว อย่างไรก็ตาม เรายังคงเล่นอย่างปลอดภัยและค้นหาขอบเขตของคำจำกัดความ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ กลับไปที่สูตรดั้งเดิมแล้วดู:

1 - x > 0

-x > −1

x< 1

รากของเรา x = −2 เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ ดังนั้น x = −2 จึงเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิม ตอนนี้เราได้รับเหตุผลที่เข้มงวดและชัดเจนแล้ว แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ลองดูแต่ละเทอมแยกกัน

มาเขียนอันแรกกัน:

เราได้เปลี่ยนเทอมแรกแล้ว เราทำงานกับเทอมที่สอง:

สุดท้าย เทอมสุดท้ายซึ่งอยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ:

เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนคำศัพท์ในสูตรผลลัพธ์:

บันทึก 3 x = 1

มาดูรูปแบบบัญญัติกันดีกว่า:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 3

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมออกไป โดยให้อาร์กิวเมนต์เท่ากัน และเราจะได้:

x = 3

ย้ำอีกครั้ง เพื่อความปลอดภัย ลองกลับไปที่สมการเดิมแล้วดูกัน ในสูตรดั้งเดิม ตัวแปร x ปรากฏอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น ดังนั้น

x > 0

ในลอการิทึมที่สอง x อยู่ใต้รูท แต่อีกครั้งอยู่ในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น รูทต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ นิพจน์รากต้องมากกว่า 0 เราดูที่รูทของเรา x = 3 แน่นอนว่ามัน ตอบสนองความต้องการนี้ ดังนั้น x = 3 จึงเป็นคำตอบของสมการลอการิทึมดั้งเดิม แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

มีสองประเด็นสำคัญในวิดีโอสอนวันนี้:

1) อย่ากลัวที่จะแปลงลอการิทึมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอย่ากลัวที่จะดึงกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมในขณะที่จำสูตรพื้นฐานของเรา: เมื่อลบกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์มันก็จะถูกลบออกโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง เป็นตัวคูณ และเมื่อถอดกำลังออกจากฐาน พลังนี้จะกลับด้าน

2) จุดที่สองเกี่ยวข้องกับรูปแบบบัญญัติเอง เราทำการเปลี่ยนแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานที่ส่วนท้ายสุดของการเปลี่ยนแปลงสูตรสมการลอการิทึม ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

a = บันทึก b b a

แน่นอนโดยนิพจน์ "จำนวน b ใด ๆ " ฉันหมายถึงตัวเลขเหล่านั้นที่เป็นไปตามข้อกำหนดที่กำหนดบนฐานของลอการิทึมเช่น

1 ≠ ข > 0

สำหรับ b ดังกล่าว และเนื่องจากเรารู้พื้นฐานแล้ว ข้อกำหนดนี้จะถูกปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ แต่สำหรับ b ใดๆ ที่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้ การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถดำเนินการได้ และเราจะได้รูปแบบมาตรฐานซึ่งเราสามารถกำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมได้

การขยายขอบเขตของคำจำกัดความและรากเพิ่มเติม

ในกระบวนการแปลงสมการลอการิทึม อาจมีการขยายขอบเขตคำจำกัดความโดยนัย บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่สังเกตเห็นสิ่งนี้ด้วยซ้ำ ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดและคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

เริ่มจากการออกแบบที่ง่ายที่สุดกันก่อน สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

โปรดทราบว่า x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียวเท่านั้น เราจะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? เราใช้รูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึงตัวเลข b = log a a b และสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

รายการนี้เรียกว่ารูปแบบตามรูปแบบบัญญัติ ด้วยเหตุนี้คุณควรลดสมการลอการิทึมใด ๆ ที่คุณจะพบไม่เพียง แต่ในบทเรียนของวันนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงงานอิสระและงานทดสอบด้วย

วิธีที่จะได้รูปแบบ Canonical และเทคนิคที่จะใช้เป็นเรื่องของการปฏิบัติ สิ่งสำคัญที่ต้องทำความเข้าใจคือทันทีที่คุณได้รับบันทึกดังกล่าว คุณสามารถพิจารณาแก้ไขปัญหาได้ เพราะ ขั้นตอนต่อไปจะมีรายการ:

ฉ (x) = ข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและเพียงแค่เปรียบเทียบข้อโต้แย้ง

ทำไมต้องพูดทั้งหมดนี้? ความจริงก็คือรูปแบบมาตรฐานนั้นสามารถใช้ได้ไม่เพียงกับปัญหาที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่น ๆ ด้วย โดยเฉพาะบรรดาผู้ที่เราจะตัดสินใจกันในวันนี้ มาดูกัน.

งานแรก:

สมการนี้มีปัญหาอะไร? ความจริงก็คือฟังก์ชันนี้มีอยู่ในลอการิทึมสองตัวพร้อมกัน ปัญหาสามารถลดลงให้เหลือน้อยที่สุดได้โดยการลบลอการิทึมหนึ่งออกจากอีกลอการิทึม แต่ปัญหาเกิดขึ้นกับพื้นที่คำจำกัดความ: รากเพิ่มเติมอาจปรากฏขึ้น ลองย้ายลอการิทึมตัวหนึ่งไปทางขวา:

รายการนี้คล้ายกับรูปแบบ Canonical มากกว่ามาก แต่มีความแตกต่างอีกอย่างหนึ่ง: ในรูปแบบบัญญัติข้อโต้แย้งจะต้องเหมือนกัน ทางซ้ายเรามีลอการิทึมในฐาน 3 และทางขวาในฐาน 1/3 เขารู้ดีว่าต้องนำฐานเหล่านี้มาให้เท่ากัน ตัวอย่างเช่น จำไว้ว่าพลังเชิงลบคืออะไร:

จากนั้นเราจะใช้เลขชี้กำลัง “−1” นอกบันทึกเป็นตัวคูณ:

โปรดทราบ: องศาที่อยู่ตรงฐานจะกลับด้านและกลายเป็นเศษส่วน เราได้สัญกรณ์ที่เกือบจะเป็นที่ยอมรับโดยการกำจัดฐานที่แตกต่างกัน แต่ในทางกลับกัน เราได้ตัวประกอบ "−1" ทางด้านขวา ลองแยกปัจจัยนี้เข้าในการโต้แย้งโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลัง:

แน่นอนว่าเมื่อได้รับรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับแล้ว เราก็ขีดฆ่าเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างกล้าหาญและถือเอาข้อโต้แย้ง ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณว่าเมื่อยกกำลัง "−1" เศษส่วนก็จะถูกพลิกกลับ - จะได้สัดส่วน

ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณตามขวาง:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

สิ่งที่เรามีอยู่ตรงหน้าคือ สมการกำลังสองดังนั้นเราจึงแก้มันโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณคิดว่าสมการได้รับการแก้ไขหรือไม่? เลขที่! สำหรับคำตอบดังกล่าว เราจะได้รับ 0 คะแนน เนื่องจากสมการดั้งเดิมมีลอการิทึมสองตัวที่มีตัวแปร x ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความด้วย

และนี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก นักเรียนส่วนใหญ่สับสน: โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมคืออะไร? แน่นอน อาร์กิวเมนต์ทั้งหมด (เรามีสองข้อ) จะต้องมากกว่าศูนย์:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

อสมการเหล่านี้แต่ละอย่างจะต้องได้รับการแก้ไข ทำเครื่องหมายไว้เป็นเส้นตรง ตัดกัน และจากนั้นจึงดูว่ารากใดอยู่ที่จุดตัด

บอกตามตรงว่าเทคนิคนี้มีสิทธิ์ที่จะมี เชื่อถือได้ และคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ก็มีมากเกินไป การกระทำที่ไม่จำเป็น- ลองมาดูวิธีแก้ปัญหาของเราอีกครั้งและดูว่าเราจำเป็นต้องใช้ขอบเขตตรงไหนกันแน่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าเมื่อใดที่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น

1. เริ่มแรกเรามีลอการิทึมสองตัว จากนั้นเราย้ายอันใดอันหนึ่งไปทางขวา แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อพื้นที่คำจำกัดความ
2. จากนั้นเราก็ลบกำลังออกจากฐาน แต่ยังมีลอการิทึมสองตัวและในแต่ละลอการิทึมจะมีตัวแปร x
3. ในที่สุด เราก็ขีดฆ่าป้ายบันทึกและรับแบบคลาสสิก เศษส่วน สมการตรรกยะ.

มาถึงขั้นตอนสุดท้ายที่ขยายขอบเขตคำจำกัดความ! ทันทีที่เราเปลี่ยนมาใช้สมการเศษส่วน-ตรรกยะ โดยกำจัดเครื่องหมายบันทึก ข้อกำหนดสำหรับตัวแปร x ก็เปลี่ยนไปอย่างมาก!

ดังนั้น ขอบเขตของคำจำกัดความจึงไม่สามารถพิจารณาได้ตั้งแต่ตอนเริ่มต้นของการแก้ปัญหา แต่เฉพาะในขั้นตอนที่กล่าวถึงเท่านั้น ก่อนที่จะเปรียบเทียบอาร์กิวเมนต์โดยตรง

นี่คือจุดที่โอกาสในการเพิ่มประสิทธิภาพอยู่ ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้อาร์กิวเมนต์ทั้งสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ในทางกลับกัน เรายังถือเอาข้อโต้แย้งเหล่านี้เพิ่มเติมอีกด้วย ดังนั้น หากอย่างน้อยหนึ่งอันเป็นบวก อันที่สองก็จะเป็นบวกด้วย!

ปรากฎว่าการต้องเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกันสองประการพร้อมกันนั้นเกินความจำเป็น ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเศษส่วนเพียงตัวเดียวเท่านั้น อันไหนกันแน่? อันที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น ลองดูที่เศษส่วนทางขวา:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

นี่เป็นเรื่องปกติ อสมการเชิงเหตุผลแบบเศษส่วนเราแก้มันโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

วางป้ายอย่างไร? ลองหาจำนวนที่มากกว่ารากทั้งหมดของเราอย่างเห็นได้ชัด. เช่น 1 พันล้าน. และเราแทนเศษส่วนของมัน. เราได้รับ จำนวนบวก, เช่น. ทางด้านขวาของรูท x = 5 จะมีเครื่องหมายบวก

จากนั้นสัญญาณจะสลับกัน เนื่องจากไม่มีรากของการทวีคูณแม้แต่ที่ใดก็ได้ เราสนใจช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเป็นบวก ดังนั้น x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞)

ตอนนี้ เรามาจำคำตอบกัน: x = 8 และ x = 2 พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ยังไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นเพียงตัวเลือกสำหรับคำตอบเท่านั้น ตัวไหนอยู่ในชุดที่ระบุ? แน่นอน x = 8 แต่ x = 2 ไม่เหมาะกับเราในแง่ของขอบเขตคำจำกัดความ

โดยรวมแล้วคำตอบของสมการลอการิทึมแรกจะเป็น x = 8 ตอนนี้เราได้คำตอบที่ถูกต้องแล้ว การตัดสินใจอย่างมีข้อมูลโดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

มาดูสมการที่สองกันดีกว่า:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 0.5 4 − ล็อก 5 (x − 5) + 3

ฉันขอเตือนคุณว่าหากมีเศษส่วนทศนิยมในสมการ คุณควรกำจัดมันออกไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียน 0.5 ใหม่ในรูปแบบกัน เศษส่วนทั่วไป- เราสังเกตได้ทันทีว่าลอการิทึมที่มีฐานนี้คำนวณได้ง่าย:

นี่เป็นช่วงเวลาที่สำคัญมาก! เมื่อเรามีองศาทั้งในฐานและอาร์กิวเมนต์ เราสามารถหาตัวบ่งชี้ขององศาเหล่านี้ได้โดยใช้สูตร:

กลับไปที่สมการลอการิทึมเดิมของเราแล้วเขียนใหม่:

ล็อก 5 (x − 9) = 1 − ล็อก 5 (x − 5)

เราได้รับการออกแบบที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับรูปแบบมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราสับสนกับคำศัพท์และเครื่องหมายลบทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ ลองแทนค่าหนึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน 5:

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5 1 − ล็อก 5 (x − 5)

ลบลอการิทึมทางด้านขวา (ในกรณีนี้อาร์กิวเมนต์จะถูกแบ่งออก):

ล็อก 5 (x − 9) = ล็อก 5 5/(x − 5)

มหัศจรรย์. ดังนั้นเราจึงได้รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ! เราขีดฆ่าสัญญาณบันทึกและถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

นี่คือสัดส่วนที่แก้ได้ง่ายๆ ด้วยการคูณตามขวาง:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

แน่นอนว่า เรามีสมการกำลังสองลดลง สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรของ Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

เรามีสองราก แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่คำตอบสุดท้าย แต่เป็นเพียงคำตอบเท่านั้น เนื่องจากสมการลอการิทึมจำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความด้วย

ฉันเตือนคุณว่า: ไม่จำเป็นต้องค้นหาเมื่อใด ทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จะมากกว่าศูนย์ ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้อาร์กิวเมนต์ตัวใดตัวหนึ่ง—ทั้ง x − 9 หรือ 5/(x − 5)—มีค่ามากกว่าศูนย์ พิจารณาข้อโต้แย้งแรก:

x - 9 > 0

x > 9

แน่นอนว่ามีเพียง x = 10 เท่านั้นที่ตรงตามข้อกำหนดนี้ ปัญหาทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว

อีกครั้งหนึ่ง แนวคิดสำคัญของบทเรียนวันนี้:

1. ทันทีที่ตัวแปร x ปรากฏในลอการิทึมหลายตัว สมการจะสิ้นสุดลงเป็นระดับประถมศึกษาและจะต้องคำนวณโดเมนของคำจำกัดความ มิฉะนั้น คุณสามารถเขียนรากเพิ่มเติมในคำตอบได้อย่างง่ายดาย
2. การทำงานกับโดเมนนั้นอาจง่ายขึ้นอย่างมากหากเราเขียนความไม่เท่าเทียมกันไม่ใช่ในทันที แต่ในช่วงเวลาที่เรากำจัดสัญญาณบันทึกออก ท้ายที่สุด เมื่ออาร์กิวเมนต์ถูกเทียบเคียงกัน ก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดให้มีเพียงข้อโต้แย้งเดียวเท่านั้นที่มากกว่าศูนย์

แน่นอน เราเองก็เลือกข้อโต้แย้งที่จะใช้เพื่อสร้างความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะเลือกข้อโต้แย้งที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น ในสมการที่สอง เราเลือกอาร์กิวเมนต์ (x − 9) - ฟังก์ชันเชิงเส้นซึ่งตรงข้ามกับอาร์กิวเมนต์ที่สองที่เป็นเหตุผลเศษส่วน เห็นด้วย การแก้อสมการ x − 9 > 0 นั้นง่ายกว่า 5/(x − 5) > 0 มาก แม้ว่าผลลัพธ์จะเหมือนเดิมก็ตาม

ข้อสังเกตนี้ทำให้การค้นหา ODZ ง่ายขึ้นอย่างมาก แต่ต้องระวัง: คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งอย่างแทนที่จะเป็นสองได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์นั้นแม่นยำ มีความเท่าเทียมกัน!

แน่นอนว่าตอนนี้คงมีคนถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นที่แตกต่างออกไป? ใช่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในขั้นตอนนี้ เมื่อเราคูณสองอาร์กิวเมนต์ที่มีตัวแปร ก็อาจเกิดอันตรายได้ รากพิเศษ.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ขั้นแรกจำเป็นต้องให้แต่ละอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าศูนย์ แต่หลังจากการคูณก็เพียงพอแล้วที่ผลคูณของพวกมันจะมากกว่าศูนย์ เป็นผลให้เกิดกรณีที่เศษส่วนแต่ละตัวเป็นลบหายไป

ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเข้าใจสมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่าคูณลอการิทึมที่มีตัวแปร x ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม ซึ่งมักจะทำให้ปรากฏรากเกิน เป็นการดีกว่าที่จะดำเนินการขั้นตอนพิเศษหนึ่งขั้น ย้ายคำหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง และสร้างแบบฟอร์มตามรูปแบบบัญญัติ

จะทำอย่างไรถ้าคุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องคูณลอการิทึม เราจะพูดถึงในบทเรียนวิดีโอหน้า :)

อีกครั้งเกี่ยวกับพลังในสมการ

วันนี้เราจะตรวจสอบหัวข้อที่ค่อนข้างลื่นเกี่ยวกับสมการลอการิทึม หรือถ้าให้เจาะจงกว่านั้นคือการถอดกำลังออกจากอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ฉันจะพูดด้วยซ้ำ เราจะคุยกันเกี่ยวกับการถอนกำลังคู่ เนื่องจากมีกำลังเท่ากัน ปัญหาส่วนใหญ่เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง

เริ่มจากรูปแบบบัญญัติกันก่อน สมมติว่าเรามีสมการของรูปแบบ log a f (x) = b ในกรณีนี้ เราเขียนตัวเลข b ใหม่โดยใช้สูตร b = log a a b ปรากฎดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราถือเอาข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

สูตรสุดท้ายเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงพยายามลดสมการลอการิทึมใด ๆ ไม่ว่ามันจะดูซับซ้อนและน่ากลัวเพียงใดก็ตามเมื่อมองแวบแรก

เรามาลองดูกัน เริ่มจากงานแรกกันก่อน:

หมายเหตุเบื้องต้น: อย่างที่บอกไปทุกอย่าง ทศนิยมในสมการลอการิทึมควรแปลงเป็นสมการสามัญ:

0,5 = 5/10 = 1/2

ลองเขียนสมการของเราใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ โปรดทราบว่าทั้ง 1/1000 และ 100 เป็นกำลังของ 10 แล้วลองเอากำลังออกไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็ตาม จากอาร์กิวเมนต์และแม้กระทั่งจากฐานของลอการิทึม:

และนักเรียนหลายคนมีคำถามว่า “โมดูลทางด้านขวามาจากไหน” จริงๆ แล้วทำไมไม่เขียน (x − 1) ล่ะ? แน่นอน ตอนนี้เราจะเขียน (x − 1) แต่เมื่อคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความแล้ว ทำให้เรามีสิทธิ์เขียนสิ่งนี้ได้ ท้ายที่สุดแล้ว มีลอการิทึมอื่นอยู่แล้ว (x − 1) และนิพจน์นี้ต้องมากกว่าศูนย์

แต่เมื่อเราลบกำลังสองออกจากฐานของลอการิทึม เราต้องปล่อยให้โมดูลอยู่ที่ฐานอย่างแน่นอน ให้ฉันอธิบายว่าทำไม

ความจริงก็คือว่าจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ การได้รับปริญญาก็เท่ากับการหยั่งราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเรายกกำลังสองนิพจน์ (x − 1) 2 เรากำลังหารากที่สองเป็นหลัก แต่รากที่สองนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าโมดูลัส อย่างแน่นอน โมดูลเพราะแม้ว่านิพจน์ x − 1 จะเป็นลบ แต่เมื่อยกกำลังสองแล้ว “เครื่องหมายลบ” ก็จะยังคงอยู่ การสกัดรากเพิ่มเติมจะทำให้เราได้จำนวนบวกโดยไม่มีข้อเสียใด ๆ

โดยทั่วไป เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่น่ารังเกียจ โปรดจำไว้เสมอว่า:

รากของกำลังคู่ของฟังก์ชันใด ๆ ที่ถูกยกให้เป็นกำลังเดียวกันนั้นไม่เท่ากับตัวฟังก์ชันเอง แต่เป็นโมดูลัสของมัน:

ลองกลับไปที่สมการลอการิทึมของเรากัน เมื่อพูดถึงโมดูล ฉันแย้งว่าเราสามารถลบมันออกได้อย่างง่ายดาย นี่เป็นเรื่องจริง ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม พูดอย่างเคร่งครัด เราต้องพิจารณาสองทางเลือก:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

แต่ละตัวเลือกเหล่านี้จะต้องได้รับการแก้ไข แต่มีสิ่งหนึ่งที่เข้าใจได้: สูตรดั้งเดิมมีฟังก์ชัน (x − 1) อยู่แล้วโดยไม่มีโมดูลัสใดๆ และตามขอบเขตของนิยามลอการิทึม เรามีสิทธิ์เขียน x − 1 > 0 ได้ทันที

ข้อกำหนดนี้ต้องเป็นไปตามข้อกำหนดโดยไม่คำนึงถึงโมดูลและการเปลี่ยนแปลงอื่นๆ ที่เราทำในกระบวนการโซลูชัน ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณาตัวเลือกที่สอง - มันจะไม่มีวันเกิดขึ้น แม้ว่าเราจะได้ตัวเลขมาบ้างเมื่อแก้ไขสาขาของความไม่เท่าเทียมกันนี้ แต่ก็ยังไม่รวมอยู่ในคำตอบสุดท้าย

ตอนนี้เราอยู่ห่างจากรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึมไปหนึ่งก้าวแล้ว ลองเป็นตัวแทนของหน่วยดังต่อไปนี้:

1 = บันทึก x − 1 (x − 1) 1

นอกจากนี้ เรายังแนะนำตัวประกอบ −4 ซึ่งอยู่ทางขวาเข้าสู่อาร์กิวเมนต์:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึม เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึม:

10 −4 = x − 1

แต่เนื่องจากฐานเป็นฟังก์ชัน (ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) เราจึงกำหนดให้ฟังก์ชันนี้มีค่ามากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งด้วย ระบบผลลัพธ์จะเป็น:

เนื่องจากข้อกำหนด x − 1 > 0 เป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ (ท้ายที่สุด x − 1 = 10 −4) จึงสามารถลบหนึ่งในอสมการออกจากระบบของเราได้ เงื่อนไขที่สองสามารถขีดฆ่าออกได้ เนื่องจาก x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

นี่เป็นรากเดียวที่ตอบสนองข้อกำหนดทั้งหมดของโดเมนคำจำกัดความของลอการิทึมโดยอัตโนมัติ (อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดทั้งหมดถูกกำจัดออกไปตามที่เห็นได้ชัดเจนในเงื่อนไขของปัญหาของเรา)

ดังนั้นสมการที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 บันทึก 9 x x 2

สมการนี้แตกต่างโดยพื้นฐานจากสมการก่อนหน้าอย่างไร หากเพียงความจริงที่ว่าฐานของลอการิทึม - 3x และ 9x ไม่ใช่ องศาธรรมชาติกันและกัน. ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่เราใช้ในโซลูชันก่อนหน้านี้จึงไม่สามารถทำได้

อย่างน้อยก็กำจัดองศากันเถอะ ในกรณีของเรา ระดับเดียวอยู่ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง:

3 บันทึก 3 x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9 x |x |

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายโมดูลัสสามารถลบออกได้ เนื่องจากตัวแปร x อยู่ที่ฐานเช่นกัน กล่าวคือ x > 0 ⇒ |x| = x ลองเขียนสมการลอการิทึมของเราใหม่:

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

เราได้รับลอการิทึมซึ่งอาร์กิวเมนต์เหมือนกัน แต่ เหตุผลที่แตกต่างกัน- จะทำอย่างไรต่อไป? มีตัวเลือกมากมายที่นี่ แต่เราจะพิจารณาเพียงสองตัวเลือกเท่านั้นซึ่งสมเหตุสมผลที่สุดและที่สำคัญที่สุดคือเทคนิคเหล่านี้เป็นเทคนิคที่รวดเร็วและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่

เราได้พิจารณาตัวเลือกแรกแล้ว: ในสถานการณ์ที่ไม่ชัดเจน ให้แปลงลอการิทึมที่มีฐานแปรผันให้เป็นฐานคงที่บางค่า ตัวอย่างเช่นเพื่อผีสาง สูตรการเปลี่ยนแปลงนั้นง่าย:

แน่นอนว่าบทบาทของตัวแปร c ควรเป็นเช่นนั้น หมายเลขปกติ: 1 ≠ c > 0 สมมุติว่าในกรณีของเรา c = 2 ตอนนี้ เรามีสมการตรรกยะเศษส่วนตามปกติอยู่แล้ว เรารวบรวมองค์ประกอบทั้งหมดทางด้านซ้าย:

แน่นอนว่า เป็นการดีกว่าที่จะลบตัวประกอบ log 2 x เนื่องจากมีอยู่ในเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง

บันทึก 2 x = 0;

3 บันทึก 2 9x = 4 บันทึก 2 3x

เราแบ่งแต่ละบันทึกออกเป็นสองเงื่อนไข:

บันทึก 2 9x = บันทึก 2 9 + บันทึก 2 x = 2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x;

บันทึก 2 3x = บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x

มาเขียนความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้:

3 (2 บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x ) = 4 (บันทึก 2 3 + บันทึก 2 x )

6 บันทึก 2 3 + 3 บันทึก 2 x = 4 บันทึก 2 3 + 4 บันทึก 2 x

2 บันทึก 2 3 = บันทึก 2 x

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการป้อนสองภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม (มันจะกลายเป็นกำลัง: 3 2 = 9):

บันทึก 2 9 = บันทึก 2 x

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานที่ยอมรับได้ เราจะกำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับ:

ตามที่คาดไว้ รูทนี้กลายเป็นมากกว่าศูนย์ ยังคงต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความ ลองดูสาเหตุ:

แต่รูท x = 9 เป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ ดังนั้นจึงถือเป็นการตัดสินใจครั้งสุดท้าย

บทสรุปจาก การตัดสินใจครั้งนี้เรียบง่าย: อย่ากลัวกับเลย์เอาต์ที่ยาว! ในตอนแรกเราเลือกฐานใหม่โดยการสุ่ม - และกระบวนการนี้ซับซ้อนมาก

แต่แล้วคำถามก็เกิดขึ้น: พื้นฐานคืออะไร เหมาะสมที่สุด- ฉันจะพูดถึงเรื่องนี้ในวิธีที่สอง

กลับไปที่สมการดั้งเดิมของเรา:

3 บันทึก 3x x = 2 บันทึก 9x x 2

3 บันทึก 3x x = 2 ∙ 2 บันทึก 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 บันทึก 3 x x = 4 บันทึก 9 x x

ทีนี้ลองคิดดูหน่อย: ตัวเลขหรือฟังก์ชันใดจะเป็นพื้นฐานที่เหมาะสมที่สุด? เห็นได้ชัดว่า ตัวเลือกที่ดีที่สุดจะมี c = x - สิ่งที่มีอยู่ในข้อโต้แย้งแล้ว ในกรณีนี้ สูตร log a b = log c b /log c a จะอยู่ในรูปแบบ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นิพจน์จะกลับรายการเพียงอย่างเดียว ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์และพื้นฐานจะเปลี่ยนไป

สูตรนี้มีประโยชน์มากและมักใช้ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม มีข้อผิดพลาดร้ายแรงประการหนึ่งเมื่อใช้สูตรนี้ หากเราแทนที่ตัวแปร x แทนฐาน จะมีการกำหนดข้อจำกัดที่ไม่เคยสังเกตมาก่อน:

ไม่มีข้อจำกัดดังกล่าวในสมการดั้งเดิม ดังนั้น เราควรตรวจสอบกรณีแยกกันเมื่อ x = 1 แทนค่านี้ลงในสมการของเรา:

3 บันทึก 3 1 = 4 บันทึก 9 1

ทำให้ถูกต้อง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข- ดังนั้น x = 1 คือราก เราพบรากที่เหมือนกันทุกประการในวิธีการก่อนหน้านี้ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา

แต่ตอนนี้เราได้พิจารณาเรื่องนี้แยกกันแล้ว กรณีพิเศษเราถือว่า x ≠ 1 ได้อย่างปลอดภัย จากนั้นสมการลอการิทึมของเราจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3 บันทึก x 9x = 4 บันทึก x 3x

เราขยายลอการิทึมทั้งสองโดยใช้สูตรเดียวกันกับเมื่อก่อน โปรดทราบว่าบันทึก x x = 1:

3 (บันทึก x 9 + บันทึก x x ) = 4 (บันทึก x 3 + บันทึก x x )

3 บันทึก x 9 + 3 = 4 บันทึก x 3 + 4

3 บันทึก x 3 2 − 4 บันทึก x 3 = 4 − 3

2 บันทึก x 3 = 1

ดังนั้นเราจึงมาถึงรูปแบบบัญญัติ:

บันทึก x 9 = บันทึก x x 1

x=9

เราได้รากที่สอง เป็นไปตามข้อกำหนด x ≠ 1 ดังนั้น x = 9 พร้อมด้วย x = 1 จึงเป็นคำตอบสุดท้าย

อย่างที่คุณเห็นปริมาณการคำนวณลดลงเล็กน้อย แต่เมื่อแก้สมการลอการิทึมจริง จำนวนขั้นตอนจะน้อยกว่ามากเนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องอธิบายแต่ละขั้นตอนโดยละเอียด

กฎสำคัญของบทเรียนวันนี้มีดังต่อไปนี้: หากปัญหามีดีกรีเลขคู่ ซึ่งรากของดีกรีเดียวกันถูกแยกออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นโมดูลัส อย่างไรก็ตาม โมดูลนี้สามารถลบออกได้หากคุณใส่ใจกับโดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึม

แต่ระวัง: หลังจากบทเรียนนี้ นักเรียนส่วนใหญ่คิดว่าตนเข้าใจทุกอย่างแล้ว แต่เมื่อตัดสินใจแล้ว ปัญหาที่แท้จริงพวกเขาไม่สามารถสร้างสายโซ่ลอจิคัลทั้งหมดได้ เป็นผลให้สมการได้มาซึ่งรากที่ไม่จำเป็นและคำตอบกลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้อง

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มบทเรียนยาวๆ เกี่ยวกับสมการลอการิทึม ตอนนี้คุณมีสามตัวอย่างต่อหน้าคุณโดยที่เราจะเรียนรู้ที่จะแก้ไขได้มากที่สุด งานง่ายๆซึ่งเรียกว่าเช่นนั้น - โปรโตซัว.

บันทึก 0.5 (3x − 1) = −3

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = b

ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องมีตัวแปร x อยู่ภายในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น กล่าวคือ เฉพาะในฟังก์ชัน f (x) และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปร x

วิธีการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

มีหลายวิธีในการแก้ไขโครงสร้างดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ครูส่วนใหญ่ที่โรงเรียนเสนอวิธีนี้: แสดงฟังก์ชัน f (x) ทันทีโดยใช้สูตร ฉ ( x ) = ข นั่นคือเมื่อคุณเจอการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดคุณสามารถไปยังวิธีแก้ปัญหาได้ทันทีโดยไม่ต้องดำเนินการหรือก่อสร้างเพิ่มเติม

ใช่แน่นอนว่าการตัดสินใจจะต้องถูกต้อง แต่ปัญหาของสูตรนี้คือนักเรียนส่วนใหญ่ ไม่เข้าใจมันมาจากไหน และทำไมเราถึงยกตัวอักษร a ขึ้นถึงตัวอักษร b

ด้วยเหตุนี้ ฉันมักจะเห็นข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญมาก เช่น เมื่อมีการสลับตัวอักษรเหล่านี้ สูตรนี้คุณต้องเข้าใจหรือยัดเยียด และวิธีที่สองนำไปสู่ข้อผิดพลาดในช่วงเวลาที่ไม่เหมาะสมและสำคัญที่สุด: ระหว่างการสอบ การทดสอบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ฉันแนะนำให้นักเรียนทุกคนละทิ้งสูตรมาตรฐานของโรงเรียนและใช้วิธีที่สองในการแก้สมการลอการิทึมซึ่งตามที่คุณคงเดาได้จากชื่อนั้นเรียกว่า รูปแบบบัญญัติ.

แนวคิดเบื้องหลังรูปแบบ Canonical นั้นเรียบง่าย ลองดูปัญหาของเราอีกครั้ง: ทางด้านซ้ายเรามี log a และโดยตัวอักษร a เราหมายถึงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันจะมีตัวแปร x ดังนั้น จดหมายฉบับนี้จึงอยู่ภายใต้ข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดไว้บนพื้นฐานของลอการิทึม กล่าวคือ:

1 ≠ ก > 0

ในทางกลับกัน จากสมการเดียวกันเราจะเห็นว่าลอการิทึมต้องเป็น เท่ากับจำนวนข และไม่มีข้อ จำกัด ในจดหมายฉบับนี้เนื่องจากสามารถรับค่าใดก็ได้ - ทั้งบวกและลบ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับค่าที่ฟังก์ชัน f(x) ใช้

และที่นี่ เราจำกฎอันมหัศจรรย์ของเราที่ว่าจำนวน b ใดๆ สามารถแทนเป็นลอการิทึมของฐาน a ของ a ยกกำลังของ b:

b = บันทึก a a b

จะจำสูตรนี้ได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก ลองเขียนโครงสร้างต่อไปนี้:

b = b 1 = b บันทึก a

แน่นอน ในกรณีนี้ ข้อจำกัดทั้งหมดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นเกิดขึ้น ทีนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมแล้วแนะนำตัวคูณ b ให้เป็นกำลังของ a เราได้รับ:

b = b 1 = b บันทึก a a = บันทึก a a b

เป็นผลให้สมการดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b → f (x) = a b

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสมบัติใหม่ไม่มีลอการิทึมอีกต่อไปและสามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐาน

แน่นอนว่าตอนนี้มีคนจะคัดค้าน: เหตุใดจึงต้องสร้างสูตรมาตรฐานบางประเภทขึ้นมาทำไมต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองขั้นตอนที่ไม่จำเป็นหากสามารถย้ายจากการออกแบบดั้งเดิมไปเป็นสูตรสุดท้ายได้ทันที ใช่ ถ้าเพียงเพราะนักเรียนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน และเป็นผลให้ทำผิดพลาดเป็นประจำเมื่อนำไปใช้

แต่ลำดับการกระทำนี้ซึ่งประกอบด้วยสามขั้นตอนช่วยให้คุณสามารถแก้สมการลอการิทึมดั้งเดิมได้แม้ว่าคุณจะไม่เข้าใจว่าสูตรสุดท้ายมาจากไหนก็ตาม อนึ่ง, สูตรบัญญัติรายการนี้เรียกว่า:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ความสะดวกของรูปแบบบัญญัติยังอยู่ที่ว่าสามารถใช้เพื่อแก้สมการลอการิทึมในระดับที่กว้างมาก และไม่ใช่แค่สมการที่ง่ายที่สุดที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ทีนี้เรามาดูกันดีกว่า ตัวอย่างจริง- ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = −3

ลองเขียนใหม่แบบนี้:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = บันทึก 0.5 0.5 −3

นักเรียนหลายคนรีบเร่งรีบยกเลข 0.5 ขึ้นมาเป็นกำลังที่มาหาเราจากปัญหาเดิมทันที แน่นอน เมื่อคุณได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนนี้ได้ทันที

อย่างไรก็ตาม หากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่รีบเร่งเพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่น่ารังเกียจ ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบบัญญัติ เรามี:

3x - 1 = 0.5 −3

นี่ไม่ใช่สมการลอการิทึมอีกต่อไป แต่เป็นสมการเชิงเส้นเทียบกับตัวแปร x เพื่อแก้ปัญหานี้ ขั้นแรกให้ดูที่เลข 0.5 ยกกำลัง −3 โปรดทราบว่า 0.5 คือ 1/2

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

แปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนร่วมเมื่อแก้สมการลอการิทึม

เราเขียนใหม่และรับ:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

แค่นั้นแหละ เราก็ได้คำตอบแล้ว ปัญหาแรกได้รับการแก้ไขแล้ว

ภารกิจที่สอง

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ดังที่เราเห็นสมการนี้ไม่ใช่สมการที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป หากเพียงเพราะมีความแตกต่างทางด้านซ้ายและไม่ใช่ลอการิทึมเดียวต่อฐานเดียว

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องกำจัดความแตกต่างนี้ออกไป ใน ในกรณีนี้ทุกอย่างง่ายมาก มาดูฐานให้ละเอียดยิ่งขึ้น ทางด้านซ้ายคือตัวเลขใต้รูท:

คำแนะนำทั่วไป: ในสมการลอการิทึมทั้งหมด ให้พยายามกำจัดอนุมูล เช่น จากรายการที่มีรากแล้วไปที่ ฟังก์ชั่นพลังงานเพียงเพราะว่าเลขชี้กำลังของกำลังเหล่านี้ถูกดึงออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างง่ายดาย และท้ายที่สุดแล้ว สัญกรณ์ดังกล่าวทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเร็วขึ้นอย่างมาก ลองเขียนมันลงไปดังนี้:

ตอนนี้เราจำได้แล้ว ทรัพย์สินที่ยอดเยี่ยมลอการิทึม: กำลังสามารถได้มาจากอาร์กิวเมนต์เช่นเดียวกับฐาน ในกรณีที่มีเหตุ จะเกิดสิ่งต่อไปนี้:

บันทึก a k b = 1/k loga b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่อยู่ในกำลังพื้นฐานจะถูกยกไปข้างหน้าและในเวลาเดียวกันก็กลับด้าน นั่นคือ มันกลายเป็น หมายเลขซึ่งกันและกัน- ในกรณีของเรา ระดับฐานคือ 1/2 เราก็เลยเอาออกมาเป็น 2/1 ได้. เราได้รับ:

5 2 บันทึก 5 x − บันทึก 5 x = 18
10 ล็อก 5 x − ล็อก 5 x = 18

โปรดทราบ: คุณไม่ควรกำจัดลอการิทึมในขั้นตอนนี้ไม่ว่าในกรณีใด จำคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4-5 และลำดับการดำเนินการ: การคูณจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบเท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะลบหนึ่งในองค์ประกอบเดียวกันออกจาก 10 องค์ประกอบ:

9 บันทึก 5 x = 18
บันทึก 5 x = 2

ตอนนี้สมการของเราดูเท่าที่ควร นี่เป็นโครงสร้างที่ง่ายที่สุด และเราแก้ไขมันโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน:

บันทึก 5 x = บันทึก 5 5 2
x = 5 2
x = 25

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาที่สองได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่สาม

มาดูงานที่สามกันดีกว่า:

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

บันทึก b = บันทึก 10 ข

หากด้วยเหตุผลบางอย่างคุณสับสนกับสัญกรณ์ บันทึก b จากนั้นเมื่อทำการคำนวณทั้งหมดคุณก็สามารถเขียนบันทึก 10 ข . คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมทศนิยมได้เช่นเดียวกับลอการิทึมอื่น: รับกำลังบวกและแทนตัวเลขใด ๆ ในรูปแบบ lg 10

ตอนนี้เราจะใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาเนื่องจากไม่ใช่คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นบทเรียน

ขั้นแรก โปรดทราบว่าสามารถเพิ่มตัวประกอบ 2 หน้า lg 5 ได้และกลายเป็นกำลังของฐาน 5 นอกจากนี้ เทอมอิสระ 3 ยังสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้ด้วย ซึ่งสังเกตได้ง่ายมากจากสัญกรณ์ของเรา

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: สามารถแสดงตัวเลขใดก็ได้เป็นบันทึกถึงฐาน 10:

3 = บันทึก 10 10 3 = บันทึก 10 3

มาเขียนปัญหาเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับ:

บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 + บันทึก 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 25,000

เรามีรูปแบบบัญญัติอยู่ตรงหน้าเราอีกครั้งและได้มาโดยไม่ต้องผ่านขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงนั่นคือ สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ปรากฏที่ใดเลย

นี่คือสิ่งที่ฉันพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน รูปแบบ Canonical ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ ได้กว้างกว่าปัญหามาตรฐาน สูตรของโรงเรียนซึ่งครูโรงเรียนส่วนใหญ่มอบให้

เพียงเท่านี้ เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมทศนิยมออกไป และเราได้โครงสร้างเชิงเส้นอย่างง่าย:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ทั้งหมด! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

ในที่นี้ ข้าพเจ้าอยากจะกล่าวถึงข้อสังเกตที่สำคัญเกี่ยวกับขอบเขตของคำจำกัดความ แน่นอนว่าตอนนี้จะต้องมีนักเรียนและครูที่จะพูดว่า: “เมื่อเราแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม เราต้องจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ f (x) จะต้องมากกว่าศูนย์!” ในเรื่องนี้มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: เหตุใดเราจึงไม่ต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับความพึงพอใจในปัญหาใด ๆ ที่พิจารณา?

ไม่ต้องกังวล. ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น และนี่ก็เป็นเคล็ดลับดีๆ อีกประการหนึ่งที่ช่วยให้คุณเร่งการแก้ปัญหาได้ แค่รู้ว่าถ้าในปัญหา ตัวแปร x เกิดขึ้นที่เดียวเท่านั้น (หรือในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียว) และไม่มีที่อื่นในกรณีของเราที่ตัวแปร x ปรากฏ จากนั้นให้เขียนโดเมนของคำจำกัดความ ไม่จำเป็นเพราะมันจะถูกดำเนินการโดยอัตโนมัติ

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในสมการแรกเราได้ 3x − 1 นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ควรเท่ากับ 8 ซึ่งหมายความว่า 3x − 1 จะมากกว่าศูนย์โดยอัตโนมัติ

ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่าในกรณีที่สอง x ควรเท่ากับ 5 2 นั่นคือ มันมากกว่าศูนย์อย่างแน่นอน และในกรณีที่สาม โดยที่ x + 3 = 25,000 กล่าวคือ เห็นได้ชัดว่ามากกว่าศูนย์อีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบเขตจะเป็นไปตามอัตโนมัติ แต่เฉพาะในกรณีที่ x เกิดขึ้นเฉพาะในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเดียวเท่านั้น

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ง่ายที่สุด กฎข้อนี้เพียงอย่างเดียว ร่วมกับกฎการเปลี่ยนแปลง จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ ได้กว้างมาก

แต่ขอบอกตามตรงว่าในที่สุดเพื่อที่จะเข้าใจเทคนิคนี้เพื่อเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมการดูบทเรียนวิดีโอเพียงบทเดียวนั้นไม่เพียงพอ ดังนั้นดาวน์โหลดตัวเลือกตอนนี้เพื่อ การตัดสินใจที่เป็นอิสระซึ่งแนบมากับบทเรียนวิดีโอนี้และเริ่มแก้ไขงานอิสระอย่างน้อยหนึ่งในสองงานนี้

จะใช้เวลาไม่กี่นาทีจริงๆ แต่ผลของการฝึกอบรมดังกล่าวจะสูงกว่าการที่คุณดูบทเรียนวิดีโอนี้มาก

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการลอการิทึม ใช้รูปแบบ Canonical ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - แล้วคุณจะไม่กลัวปัญหาใดๆ นั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีสำหรับวันนี้

โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

ทีนี้มาพูดถึงโดเมนของคำจำกัดความกัน ฟังก์ชันลอการิทึมรวมถึงผลกระทบที่ส่งผลต่อการแก้สมการลอการิทึม พิจารณาการสร้างแบบฟอร์ม

บันทึก a f (x) = b

นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าง่ายที่สุด - มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นและตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลขและไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x มันสามารถแก้ไขได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตร:

b = บันทึก a a b

สูตรนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติสำคัญของลอการิทึม และเมื่อนำไปแทนนิพจน์เดิม เราจะได้ดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ฉ (x) = ข

ซึ่งเป็นสูตรที่คุ้นเคยจาก หนังสือเรียนของโรงเรียน- นักเรียนหลายคนอาจจะมีคำถาม: เนื่องจากในนิพจน์ดั้งเดิม ฟังก์ชัน f (x) อยู่ใต้เครื่องหมายบันทึก จึงมีข้อ จำกัด ต่อไปนี้:

ฉ(x) > 0

ข้อจำกัดนี้ใช้เนื่องจากลอการิทึมของ ตัวเลขติดลบไม่มีอยู่จริง ดังนั้นบางทีจากข้อจำกัดนี้ ควรมีการแนะนำการตรวจสอบคำตอบหรือไม่ บางทีอาจจำเป็นต้องแทรกลงในแหล่งที่มา?

ไม่ ในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม และนี่คือเหตุผล ดูสูตรสุดท้ายของเรา:

ฉ (x) = ข

ความจริงก็คือตัวเลข a ไม่ว่าในกรณีใดมากกว่า 0 - ข้อกำหนดนี้ถูกกำหนดโดยลอการิทึมด้วย เลข a เป็นฐาน ในกรณีนี้ ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ กับหมายเลข b แต่นั่นไม่สำคัญ เพราะไม่ว่าเราจะยกกำลังเท่าใด เราก็จะยังคงได้เลขบวกที่เอาท์พุต ดังนั้นข้อกำหนด f (x) > 0 จึงเป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ

สิ่งที่ควรตรวจสอบจริงๆ คือโดเมนของฟังก์ชันใต้เครื่องหมายบันทึก อาจมีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน และคุณต้องจับตาดูโครงสร้างเหล่านี้อย่างแน่นอนในระหว่างกระบวนการแก้ไขปัญหา มาดูกัน.

งานแรก:

ขั้นตอนแรก: แปลงเศษส่วนทางขวา เราได้รับ:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมแล้วได้ค่าปกติ สมการไม่ลงตัว:

จากรากที่ได้รับมีเพียงอันแรกเท่านั้นที่เหมาะกับเราเนื่องจากรูทที่สองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ คำตอบเดียวคือหมายเลข 9 เท่านี้ก็หมดปัญหาแล้ว ไม่ต้องตรวจสอบเพิ่มเติมเพื่อให้แน่ใจว่านิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่า 0 เพราะไม่ใช่แค่มากกว่า 0 แต่ตามเงื่อนไขของสมการจะเท่ากับ 2 ดังนั้นข้อกำหนด "มากกว่าศูนย์ ” พึงพอใจโดยอัตโนมัติ

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เราเขียนการก่อสร้างใหม่แทนที่สาม:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับสมการไม่ลงตัว:

เราจัดวางทั้งสองด้านโดยคำนึงถึงข้อจำกัดต่างๆ และรับ:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ผ่านการจำแนก:

ง = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

แต่ x = −6 ไม่เหมาะกับเรา เพราะหากเราแทนจำนวนนี้เป็นอสมการ เราจะได้:

−6 + 4 = −2 < 0

ในกรณีของเรา จำเป็นต้องมากกว่า 0 หรือเท่ากับในกรณีที่รุนแรง แต่ x = −1 เหมาะกับเรา:

−1 + 4 = 3 > 0

คำตอบเดียวในกรณีของเราคือ x = −1 นั่นคือวิธีแก้ปัญหา กลับไปที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณของเรากัน

ประเด็นหลักจากบทเรียนนี้คือ คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบข้อจำกัดของฟังก์ชันในสมการลอการิทึมอย่างง่าย เนื่องจากในระหว่างกระบวนการแก้ไขปัญหา ข้อจำกัดทั้งหมดจะเป็นไปตามโดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้หมายความว่าคุณจะลืมการตรวจสอบได้เลย ในกระบวนการทำงานกับสมการลอการิทึม สมการลอการิทึมอาจกลายเป็นสมการที่ไม่ลงตัว ซึ่งจะมีข้อ จำกัด และข้อกำหนดของตัวเองสำหรับด้านขวา ซึ่งเราได้เห็นในวันนี้ในสองตัวอย่างที่แตกต่างกัน

รู้สึกอิสระที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวและระมัดระวังเป็นพิเศษหากมีต้นเหตุในการโต้แย้ง

สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

เราศึกษาสมการลอการิทึมต่อไปและพิจารณาเทคนิคที่น่าสนใจอีกสองเทคนิคซึ่งเป็นวิธีที่ทันสมัยในการแก้โจทย์เพิ่มเติม การออกแบบที่ซับซ้อน- แต่ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขอย่างไร:

บันทึก a f (x) = b

ในรายการนี้ a และ b เป็นตัวเลข และในฟังก์ชัน f (x) ต้องมีตัวแปร x ปรากฏ และมีเพียง x จะต้องอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เราจะแปลงสมการลอการิทึมดังกล่าวโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่า

b = บันทึก a a b

ยิ่งไปกว่านั้น a b ยังเป็นข้อโต้แย้งอีกด้วย ลองเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

นี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ เพื่อให้มีลอการิทึมเป็นฐาน a ทั้งทางซ้ายและขวา ในกรณีนี้ เราสามารถขีดฆ่าเครื่องหมายบันทึกในเชิงเปรียบเทียบได้ และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เราสามารถพูดได้ว่าเรากำลังเทียบเคียงข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

เป็นผลให้เราจะได้รับนิพจน์ใหม่ที่จะแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก ลองใช้กฎนี้กับปัญหาของเราวันนี้

ดังนั้นการออกแบบครั้งแรก:

ก่อนอื่น ฉันสังเกตว่าทางขวาเป็นเศษส่วนซึ่งมีตัวส่วนเป็นลอก เมื่อคุณเห็นสำนวนเช่นนี้ เป็นความคิดที่ดีที่จะจดจำคุณสมบัติอันยอดเยี่ยมของลอการิทึม:

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซีย หมายความว่าลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐาน c ใดๆ ได้ แน่นอน 0< с ≠ 1.

ดังนั้น: สูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ยอดเยี่ยมอย่างหนึ่ง เมื่อตัวแปร c เท่ากับตัวแปร ข. ในกรณีนี้เราจะได้โครงสร้างดังนี้:

นี่คือโครงสร้างที่เราเห็นจากเครื่องหมายทางขวามือในสมการของเรา ลองแทนที่โครงสร้างนี้ด้วย log a b เราได้รับ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเปรียบเทียบกับงานดั้งเดิม เราได้สลับอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม เราต้องกลับเศษส่วนแทน.

เราจำได้ว่าระดับใดๆ สามารถหาได้จากฐานตามกฎต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ k ซึ่งเป็นกำลังของฐานจะแสดงเป็นเศษส่วนกลับหัว ลองทำให้มันเป็นเศษส่วนกลับด้าน:

ตัวประกอบเศษส่วนไม่สามารถทิ้งไว้ข้างหน้าได้ เพราะในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถแสดงได้ รายการนี้เป็นรูปแบบมาตรฐาน (ท้ายที่สุดแล้ว ในรูปแบบมาตรฐานไม่มีปัจจัยเพิ่มเติมก่อนลอการิทึมที่สอง) ดังนั้น เรามาบวกเศษส่วน 1/4 เข้ากับอาร์กิวเมนต์เป็นกำลัง:

ตอนนี้เราถือเอาข้อโต้แย้งที่มีฐานเหมือนกัน (และฐานของเราเหมือนกันจริงๆ) และเขียน:

x + 5 = 1

x = −4

นั่นคือทั้งหมดที่ เราได้คำตอบของสมการลอการิทึมแรกแล้ว โปรดทราบ: ในปัญหาเดิม ตัวแปร x ปรากฏในบันทึกเดียวเท่านั้น และปรากฏในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมน และจำนวน x = −4 ของเราคือคำตอบจริงๆ

ตอนนี้เรามาดูนิพจน์ที่สองกัน:

บันทึก 56 = บันทึก 2 บันทึก 2 7 − 3log (x + 4)

ในที่นี้ นอกเหนือจากลอการิทึมปกติแล้ว เราจะต้องทำงานกับบันทึก f (x) ด้วย จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? สำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ อาจดูเหมือนเป็นงานที่ยาก แต่จริงๆ แล้ว ทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น

ลองดูคำว่า lg 2 log 2 7 อย่างใกล้ชิด เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้บ้าง? ฐานและอาร์กิวเมนต์ของ log และ lg เหมือนกัน และควรให้แนวคิดบางประการ จำอีกครั้งว่าพลังถูกนำออกมาจากใต้สัญลักษณ์ลอการิทึมอย่างไร:

บันทึก a bn = nlog a b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่เป็นกำลังของ b ในการโต้แย้งจะกลายเป็นปัจจัยที่อยู่หน้าบันทึกนั่นเอง ลองใช้สูตรนี้กับนิพจน์ lg 2 log 2 7 อย่ากลัว lg 2 - นี่คือนิพจน์ที่พบบ่อยที่สุด คุณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

กฎทั้งหมดที่ใช้กับลอการิทึมอื่นนั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัยที่อยู่ข้างหน้าสามารถเพิ่มระดับของการโต้แย้งได้ ลองเขียนมันลงไป:

บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่เห็นการกระทำนี้โดยตรง เนื่องจากการป้อนบันทึกรายการหนึ่งภายใต้สัญลักษณ์ของอีกรายการหนึ่งนั้นไม่ดี ในความเป็นจริงไม่มีอะไรที่ผิดกฎหมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ ยิ่งไปกว่านั้น เรายังได้รับสูตรที่คำนวณได้ง่ายหากคุณจำกฎสำคัญได้:

สูตรนี้ถือได้ว่าเป็นทั้งคำจำกัดความและเป็นหนึ่งในคุณสมบัติ ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณกำลังแปลงสมการลอการิทึม คุณควรรู้สูตรนี้เหมือนกับที่คุณทราบถึงการแสดงบันทึกของตัวเลขใดๆ

กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า เราเขียนมันใหม่โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเทอมแรกทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะเท่ากับ lg 7 เรามี:

แอลจี 56 = แอลจี 7 - 3แอลจี (x + 4)

เลื่อน lg 7 ไปทางซ้ายเราจะได้:

แอลจี 56 - แอลจี 7 = −3แอลจี (x + 4)

เราลบนิพจน์ทางด้านซ้ายเนื่องจากมีฐานเท่ากัน:

แอลจี (56/7) = −3แอลจี (x + 4)

ทีนี้ลองมาดูสมการที่เราได้รับกันดีกว่า ในทางปฏิบัติแล้ว มันเป็นรูปแบบมาตรฐาน แต่มีตัวประกอบ −3 ทางด้านขวา มาเพิ่มลงในอาร์กิวเมนต์ lg ที่ถูกต้อง:

บันทึก 8 = บันทึก (x + 4) −3

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมดังนั้นเราจึงขีดฆ่าเครื่องหมาย lg และถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

แค่นั้นแหละ! เราแก้สมการลอการิทึมที่สองแล้ว ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในปัญหาเดิม x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น

ฉันจะแสดงรายการอีกครั้ง ประเด็นสำคัญบทเรียนนี้

สูตรหลักที่สอนในบทเรียนทั้งหมดในหน้านี้สำหรับการแก้สมการลอการิทึมคือรูปแบบมาตรฐาน และอย่ากลัวความจริงที่ว่าในหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่คุณได้รับการสอนให้แก้โจทย์ งานที่คล้ายกันแตกต่างกัน เครื่องมือนี้ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากและช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาในประเภทที่กว้างกว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เราศึกษาตอนเริ่มต้นบทเรียน

นอกจากนี้ ในการแก้สมการลอการิทึม การทราบคุณสมบัติพื้นฐานจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ:

1. สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานเดียวและกรณีพิเศษเมื่อเราย้อนกลับบันทึก (ซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับเราในปัญหาแรก)
2. สูตรการบวกและการลบกำลังจากเครื่องหมายลอการิทึม ในกรณีนี้ นักเรียนจำนวนมากติดขัดและไม่เห็นว่าปริญญาที่นำออกและแนะนำอาจมีบันทึก f (x) ในตัวมันเอง ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ เราสามารถแนะนำบันทึกหนึ่งตามสัญลักษณ์ของอีกบันทึกหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมากซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นในกรณีที่สอง

โดยสรุป ฉันต้องการเสริมว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความในแต่ละกรณี เนื่องจากตัวแปร x ปรากฏอยู่ในสัญลักษณ์บันทึกเดียวเท่านั้น และในขณะเดียวกันก็อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของมัน ด้วยเหตุนี้ ข้อกำหนดทั้งหมดของขอบเขตจึงได้รับการปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ

ปัญหาเกี่ยวกับฐานตัวแปร

วันนี้เราจะมาดูสมการลอการิทึม ซึ่งสำหรับนักเรียนหลายๆ คนดูเหมือนไม่ได้มาตรฐาน หรือแก้ไม่ได้ทั้งหมด มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับนิพจน์ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปรและฟังก์ชันคู่ เราจะแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้เทคนิคมาตรฐานของเรา นั่นคือผ่านรูปแบบมาตรฐาน

ขั้นแรกให้เราจำไว้ว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขอย่างไร ตัวเลขปกติ- ดังนั้นการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดจึงเรียกว่า

บันทึก a f (x) = b

เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

b = บันทึก a a b

เราเขียนนิพจน์ดั้งเดิมของเราใหม่และรับ:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราก็ถือเอาข้อโต้แย้งเช่น เราเขียน:

ฉ (x) = ข

ดังนั้นเราจึงกำจัดเครื่องหมายบันทึกและแก้ไขปัญหาปกติ ในกรณีนี้ รากที่ได้จากการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการลอการิทึมดั้งเดิม นอกจากนี้ บันทึกเมื่อทั้งซ้ายและขวาอยู่ในลอการิทึมเดียวกันและมีฐานเดียวกันจะเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน เป็นบันทึกที่เราจะพยายามลดการออกแบบในปัจจุบันลง ไปกันเลย

งานแรก:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

แทนที่ 1 ด้วยบันทึก x − 2 (x − 2) 1 ระดับที่เราสังเกตเห็นในการโต้แย้งคือตัวเลข b ที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ งั้น ลองเขียนพจน์ของเราใหม่. เราได้รับ:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = บันทึก x − 2 (x − 2)

เราเห็นอะไร? ตรงหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงสามารถถือเอาข้อโต้แย้งได้อย่างปลอดภัย เราได้รับ:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

แต่การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้นเพราะว่า สมการที่กำหนดไม่เท่ากับของเดิม ท้ายที่สุดแล้ว โครงสร้างผลลัพธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด และลอการิทึมดั้งเดิมของเราจะไม่ถูกกำหนดทุกที่และไม่เสมอไป

ดังนั้นเราจึงต้องเขียนโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน อย่าแบ่งผมและเขียนข้อกำหนดทั้งหมดก่อน:

ขั้นแรก อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแต่ละตัวต้องมากกว่า 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

ประการที่สอง ฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 แต่ยังแตกต่างจาก 1 ด้วย:

x - 2 ≠ 1

ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบ:

แต่อย่าตกใจไป: เมื่อประมวลผลสมการลอการิทึม ระบบดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้มาก

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้ฟังก์ชันกำลังสองมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันกำลังสองนี้ต้องเท่ากับค่าที่แน่นอน การแสดงออกเชิงเส้นซึ่งจำเป็นต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

ในกรณีนี้ หากเราต้องการ x − 2 > 0 ก็จะเป็นไปตามข้อกำหนด 2x 2 − 13x + 18 > 0 โดยอัตโนมัติ ดังนั้นเราจึงสามารถขีดฆ่าอสมการที่มีฟังก์ชันกำลังสองได้อย่างปลอดภัย ดังนั้น จำนวนนิพจน์ที่มีอยู่ในระบบของเราจะลดลงเหลือสามรายการ

แน่นอนว่าเราก็สามารถขีดฆ่าได้เช่นกัน ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นนั่นคือ ขีดฆ่า x − 2 > 0 และเรียกร้องให้ 2x 2 − 13x + 18 > 0 แต่คุณต้องยอมรับว่าการแก้ไขอสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดนั้นเร็วกว่าและง่ายกว่ากำลังสองมาก แม้ว่าจะเป็นผลมาจากการแก้สมการทั้งหมดก็ตาม ระบบนี้เราจะได้รากที่เหมือนกัน

โดยทั่วไป พยายามปรับการคำนวณให้เหมาะสมทุกครั้งที่เป็นไปได้ และในกรณีของสมการลอการิทึม ให้ขีดฆ่าอสมการที่ยากที่สุดออก

มาเขียนระบบของเราใหม่:

นี่คือระบบของสามสำนวน ซึ่งอันที่จริงแล้วสองสำนวนเราได้จัดการไปแล้ว ลองเขียนสมการกำลังสองแยกกันแล้วแก้มัน:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

มอบให้ต่อหน้าเรา ตรีโกณมิติกำลังสองดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรของเวียตต้าได้ เราได้รับ:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ตอนนี้เรากลับมาที่ระบบของเราและพบว่า x = 2 ไม่เหมาะกับเรา เพราะเราต้องการให้ x มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัด

แต่ x = 5 เหมาะกับเราค่อนข้างดี เลข 5 มากกว่า 2 และในเวลาเดียวกัน 5 ก็ไม่เท่ากับ 3 ดังนั้น ทางออกเดียวของระบบนี้จะเท่ากับ x = 5

เพียงเท่านี้ ปัญหาก็ได้รับการแก้ไข รวมถึงคำนึงถึง ODZ ด้วย มาดูสมการที่สองกันดีกว่า การคำนวณที่น่าสนใจและให้ข้อมูลอื่นๆ รอเราอยู่ที่นี่:

ขั้นตอนแรก: เช่นเดียวกับใน ครั้งสุดท้ายเรานำเรื่องทั้งหมดนี้มาสู่รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสามารถเขียนหมายเลข 9 ได้ดังนี้:

คุณไม่จำเป็นต้องแตะฐานด้วยราก แต่เป็นการดีกว่าถ้าเปลี่ยนข้อโต้แย้ง ลองย้ายจากรากไปสู่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะกัน มาเขียนกัน:

ผมขออย่าเขียนสมการลอการิทึมขนาดใหญ่ทั้งหมดของเราใหม่ แต่ให้ถือเอาข้อโต้แย้งทันที:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ตรงหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองที่ลดลงใหม่ ลองใช้สูตรของ Vieta แล้วเขียนว่า:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

เราได้รากแล้ว แต่ไม่มีใครรับประกันว่ามันจะเข้ากับสมการลอการิทึมดั้งเดิม ท้ายที่สุดมีป้ายบันทึกกำหนด ข้อ จำกัด เพิ่มเติม(ในที่นี้เราควรเขียนระบบลงไป แต่เนื่องจากลักษณะที่ยุ่งยากของโครงสร้างทั้งหมด ฉันจึงตัดสินใจคำนวณโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน)

ก่อนอื่น โปรดจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ:

เหล่านี้เป็นข้อกำหนดที่กำหนดโดยขอบเขตของคำจำกัดความ

ให้เราทราบทันทีว่าเนื่องจากเราเปรียบสองนิพจน์แรกของระบบให้เท่ากัน เราจึงสามารถขีดฆ่านิพจน์ใดๆ ออกไปได้ ขีดฆ่าอันแรกออกไปเพราะมันดูคุกคามมากกว่าอันที่สอง

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าการแก้อสมการที่สองและสามจะเป็นชุดเดียวกัน (ลูกบาศก์ของจำนวนบางตัวมากกว่าศูนย์หากจำนวนนี้มากกว่าศูนย์ ในทำนองเดียวกันด้วยรากของระดับที่สาม - ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ มีความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง เราจึงสามารถขีดฆ่าได้)

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประการที่สาม สิ่งนี้จะไม่ได้ผล กำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ทางซ้ายโดยยกทั้งสองส่วนเป็นลูกบาศก์ เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อกำหนดดังต่อไปนี้:

− 2 ≠ x > −3

ค่ารากใดของเรา: x 1 = −3 หรือ x 2 = −1 ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ แน่นอนว่ามีเพียง x = −1 เท่านั้น เนื่องจาก x = −3 ไม่เป็นไปตามอสมการแรก (เนื่องจากอสมการของเราเข้มงวด) กลับมาที่ปัญหาของเรา เราได้หนึ่งราก: x = −1 แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ประเด็นสำคัญของงานนี้อีกครั้ง:

1. คุณสามารถประยุกต์และแก้สมการลอการิทึมโดยใช้รูปแบบมาตรฐานได้ตามต้องการ นักเรียนที่เขียนในลักษณะนี้ แทนที่จะเปลี่ยนจากปัญหาเดิมโดยตรงไปสู่การก่อสร้างแบบ log a f (x) = b ยอมให้มาก ข้อผิดพลาดน้อยลงกว่าผู้ที่รีบเร่งที่ไหนสักแห่งโดยข้ามขั้นตอนการคำนวณขั้นกลาง
2. ทันทีที่ลอการิทึมปรากฏขึ้น ฐานตัวแปรงานจะสิ้นสุดเป็นงานที่ง่ายที่สุด ดังนั้น เมื่อแก้ไข จำเป็นต้องคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความ: อาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่ต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย

ข้อกำหนดขั้นสุดท้ายสามารถนำไปใช้กับคำตอบสุดท้ายได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแก้ปัญหาทั้งระบบที่มีข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับโดเมนของคำจำกัดความ ในทางกลับกัน คุณสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเองก่อน จากนั้นจึงจำขอบเขตของคำจำกัดความ แยกงานออกในรูปแบบของระบบและนำไปใช้กับรากที่เป็นผลลัพธ์

วิธีการเลือกเมื่อแก้สมการลอการิทึมนั้นขึ้นอยู่กับคุณ ยังไงซะคำตอบก็จะเหมือนเดิม

คำแนะนำ

เขียนนิพจน์ลอการิทึมที่กำหนด ถ้านิพจน์ใช้ลอการิทึมเป็น 10 สัญกรณ์ของมันจะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือลอการิทึมทศนิยม หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน ให้เขียนนิพจน์: ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของค่าใดๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;

ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนแล้วจึงจำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นภายในและอนุพันธ์ของสิ่งภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)

ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันเป็น จุดที่กำหนดให้ย"(1)=8*อี^0=8

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์ของค่าคงที่

แล้วสมการอตรรกยะกับสมการตรรกยะแตกต่างกันอย่างไร? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองจากนั้นสมการจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีการหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีสร้างทั้งสองด้าน สมการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำจัดป้ายนั้นออก วิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยากในทางเทคนิค แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการคือ v(2x-5)=v(4x-7) ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2x-5=4x-7 การแก้สมการดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ- ทำไม แทนค่าหนึ่งลงในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่านี้ไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้นสมการไร้เหตุผลจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

พิจารณาอีกอันหนึ่ง
2х+vх-3=0
แน่นอนว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้า ย้ายสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวาแล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากที่เกิดขึ้น แต่ยังอีกอันที่หรูหรากว่าอีกด้วย ป้อนตัวแปรใหม่ vх=y. ดังนั้น คุณจะได้สมการในรูปแบบ 2y2+y-3=0 นั่นคือสมการกำลังสองธรรมดา ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vh=1; วх=-3/2. สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมตรวจสอบรากด้วย

การแก้ไขตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำ การเปลี่ยนแปลงตัวตนจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือที่ง่ายที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์งานที่ทำอยู่จะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้อง

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณพีชคณิตแบบย่อ (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง), ผลต่างของกำลังสอง, ผลรวม (ผลต่าง), ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมายและ สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคืออัตลักษณ์ที่เหมือนกัน

อันที่จริงกำลังสองของผลรวมของสองเทอม เท่ากับกำลังสองอันแรกบวกด้วยผลคูณของอันแรกเป็นสองเท่าและบวกกำลังสองของอันที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=ก^2+2ab +b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสองอย่าง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำตามตำราเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลจำกัดจำนวน ดังที่ทราบกันดีว่าทางแก้ อินทิกรัลที่แน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์ให้ค่าปริพันธ์ ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ โดย หลักการนี้และสร้างอินทิกรัลหลัก
พิจารณาจากประเภทของปริพันธ์ว่าปริพันธ์ของตารางใดที่เหมาะสมในกรณีนี้ ไม่สามารถระบุสิ่งนี้ได้ทันทีเสมอไป บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้เฉพาะหลังจากการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้ปริพันธ์ง่ายขึ้น

วิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์เป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์มีพหุนามอยู่ ให้ลองใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของปริพันธ์ด้วยตัวแปรใหม่บางตัว ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า ให้กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม เมื่อสร้างความแตกต่างให้กับนิพจน์นี้ ให้ค้นหาส่วนต่างใหม่ใน ดังนั้นคุณจะได้รับ รูปลักษณ์ใหม่ของอินทิกรัลก่อนหน้า ใกล้หรือสอดคล้องกับอินทิกรัลตารางใดๆ

การแก้อินทิกรัลชนิดที่สอง

หากอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎในการเปลี่ยนจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างออสโตรกราดสกี-เกาส์ กฎหมายนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากฟลักซ์โรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปเป็นอินทิกรัลสามส่วนเหนือไดเวอร์เจนต์ของสนามเวกเตอร์ที่กำหนด

การทดแทนขีดจำกัดการรวม

หลังจากค้นหาแอนติเดริเวทีฟแล้ว ก็จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการอินทิเกรต ขั้นแรกให้แทนค่า ขีด จำกัด บนเป็นนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้เลขจำนวนหนึ่ง จากนั้น ให้ลบจำนวนอื่นที่ได้รับจากขีดจำกัดล่างออกจากผลลัพธ์เป็นค่าแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดของการอินทิเกรตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อทำการแทนที่มันเข้าไป ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์มีความจำเป็นต้องไปให้ถึงขีด จำกัด และค้นหาว่าสำนวนนั้นมุ่งมั่นเพื่ออะไร
หากอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดของอินทิกรัลในเชิงเรขาคณิตเพื่อทำความเข้าใจวิธีประเมินอินทิกรัล อันที่จริง ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ขีดจำกัดของอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาตรที่อินทิกรัล

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) นี้ กฎหมายทางคณิตศาสตร์อาร์คิมิดีสได้มาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นคนที่รับใช้ เปิดเพิ่มเติมลอการิทึม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ที่คุณต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากด้วยการบวกง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของใดๆ จำนวนที่ไม่เป็นลบ(นั่นคือค่าบวกใดๆ) “b” โดยฐาน “a” ถือเป็นกำลังของ “c” ซึ่งต้องยกฐาน “a” ขึ้นเพื่อให้ได้ค่า “b” ในที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหาเลขยกกำลังตั้งแต่ 2 ถึงเลขยกกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็ได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม แต่ละสายพันธุ์นิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละคนมีการตัดสินใจ ในลักษณะมาตรฐานซึ่งรวมถึงการทำให้ง่ายขึ้น การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมหนึ่งตัวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากคู่ของจำนวนลบด้วย ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยเพิ่มเลขสิบที่เราได้ 100 ซึ่งแน่นอนว่าคือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองจินตนาการดู การแสดงออกนี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

เพื่อกำหนดมูลค่าได้อย่างแม่นยำ ไม่ทราบระดับคุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่าขนาดใหญ่คุณจะต้องมีตารางองศา มันสามารถใช้ได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับความซับซ้อน หัวข้อทางคณิตศาสตร์- คอลัมน์ด้านซ้ายมีตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่ายกกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้นทางคณิตศาสตร์ใดๆ นิพจน์เชิงตัวเลขสามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับ พลังเชิงลบกฎเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

รับนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - มันคือ อสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (ตัวอย่าง - ลอการิทึม 2 x = √9) บอกเป็นนัยถึงคำตอบเฉพาะเจาะจงหนึ่งคำตอบหรือมากกว่า ค่าตัวเลขในขณะที่การแก้ไขความไม่เท่าเทียมถูกกำหนดให้เป็นภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้และจุดพักของฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ เหมือนกับในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดมากกว่า ซีรีส์ต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง เรามาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

1. ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงเป็น สูตรต่อไปนี้: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรเกิดขึ้น มุมมองถัดไป: บันทึก a q b n = n/q บันทึก a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาปกติ และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q บันทึก a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ พบได้ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมดและรวมอยู่ในนั้นด้วย ส่วนบังคับข้อสอบคณิตศาสตร์ เพื่อเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือสอบผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนด ค่าที่ไม่รู้จักไม่มีลอการิทึม แต่คุณสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมทุกรูปแบบได้ กฎบางอย่าง- ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือนำไปสู่ได้หรือไม่ ลักษณะทั่วไป- ลดความซับซ้อนของอันยาว นิพจน์ลอการิทึมเป็นไปได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่ว่าต้องระบุกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับการแก้ปัญหา ลอการิทึมธรรมชาติจำเป็นต้องสมัคร อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูวิธีแก้ปัญหาพร้อมตัวอย่าง ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยายได้ คุ้มค่ามากตัวเลข b เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบใน การสอบเข้าโดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมมากมายในการสอบ Unified State ( การสอบของรัฐสำหรับผู้ออกจากโรงเรียนทุกคน) โดยทั่วไปแล้ว งานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A (ส่วนทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C ด้วย (งานที่ซับซ้อนและมีขนาดใหญ่ที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ตัวเลือกการสอบ Unified State- เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของลอการิทึมเล็กๆ น้อยๆ 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกันเพื่อไม่ให้โจทย์ยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบได้ ข้อเสนอที่ไม่ซ้ำใครโปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และ การศึกษาต่างๆเพื่อปรับปรุงบริการที่เรามอบให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเรา
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี, วี การทดลองและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด