อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง
เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวบรวมเนื้อหาที่เราได้กล่าวถึง ดูอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและเทคนิคใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอนุพันธ์ลอการิทึม
ให้กับผู้อ่านที่ได้ ระดับต่ำการเตรียมการคุณควรอ้างอิงถึงบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งจะช่วยให้คุณพัฒนาทักษะของคุณได้ตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้เป็นบทที่สามตามหลักตรรกะ และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่พึงปรารถนาที่จะรับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? ใช่แล้ว เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากของจริง การทดสอบและมักพบเจอในทางปฏิบัติ
เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราดูตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์– คุณจะต้องแยกแยะบ่อยครั้งมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ที่จะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์แบบปากเปล่า “ผู้สมัคร” ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดตัวอย่างเช่น:
ตามกฎแห่งความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน 
:
เมื่อศึกษาหัวข้อ Matan อื่น ๆ ในอนาคต มักไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าว โดยถือว่านักเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวในระบบอัตโนมัติ ลองนึกภาพว่าตอนตี 3 มีเหตุการณ์ สายเข้า, และ เสียงที่ไพเราะถามว่า: “อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ X สองตัวคืออะไร” ควรตามด้วยคำตอบที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: 
.
ตัวอย่างแรกจะตั้งใจทันที การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในการกระทำเดียว เช่น: เพื่อทำงานให้สำเร็จคุณเพียงแค่ต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้ายังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนซ้ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
อนุพันธ์เชิงซ้อน
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง บางทีสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจพวกเขา (บางคนจะต้องทนทุกข์ทรมาน) แล้วเกือบทุกอย่างใน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มันจะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนอื่นจำเป็นต้องมี ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ หากมีข้อสงสัยผมขอเตือนครับ เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์: เราใช้ค่าทดลองของ "x" เป็นต้น และพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อทดแทน มูลค่าที่กำหนดกลายเป็น "การแสดงออกที่เลวร้าย"
1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่างคือ:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง: 
สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
จะถูกนำไปใช้ใน ลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปจนถึงฟังก์ชันด้านในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...
(1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง
(2) เราหาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ 
(3) อนุพันธ์ของทริปเปิลเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
(4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์
(5) หาอนุพันธ์ของลอการิทึม
(6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กลงและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่ สามฟังก์ชั่น- วิธีหาอนุพันธ์ของ ผลิตภัณฑ์ของสามตัวคูณ?
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ 
สองครั้ง
เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. 
– นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้ผล! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง 
เพื่อวงเล็บ:
คุณยังคงสามารถถูกบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่เข้าไป ในกรณีนี้ทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า
ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง: 
โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน 
โดยหาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษเป็น ตัวส่วนร่วมและ เรามากำจัดเศษส่วนสามชั้นกันเถอะ:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
แต่ขั้นตอนแรกจะทำให้คุณหมดหวังทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของ พลังเศษส่วนแล้วก็จากเศษส่วนด้วย
นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "ซับซ้อน" ขั้นแรกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่มีชื่อเสียง:
! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่แล้ว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่นโดยตรง หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้คัดลอกลงในกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวข้องกับสูตรเหล่านี้
วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:
มาแปลงฟังก์ชันกัน:
ค้นหาอนุพันธ์: 
การแปลงฟังก์ชันล่วงหน้าทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง แนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ
และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดอยู่ท้ายบทเรียน
อนุพันธ์ลอการิทึม
หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นดนตรีที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมแบบเทียม? สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ
ตัวอย่างที่ 11
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 
เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดูตัวอย่างที่คล้ายกัน จะทำอย่างไร? คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารตามลำดับ จากนั้นจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย
แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดเรียงแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ไว้ทั้งสองด้าน:
ตอนนี้คุณต้อง "แยก" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:
เริ่มต้นด้วยความแตกต่าง
เราสรุปทั้งสองส่วนภายใต้นายก:
อนุพันธ์ของด้านขวามือนั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ คุณจะสามารถจัดการได้อย่างมั่นใจ
แล้วด้านซ้ายล่ะ?
ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ฉันมองเห็นคำถาม: “ทำไม มีตัวอักษร “Y” อยู่ตัวหนึ่งใต้ลอการิทึม”
ความจริงก็คือว่า “เกมตัวอักษรตัวเดียว” นี้ - ตัวเองเป็นหน้าที่(หากยังไม่ชัดเจน โปรดดูบทความอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย) ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" คือฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชั่นภายใน- และเราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน 
:
ด้านซ้ายราวกับมีเวทย์มนตร์ ไม้กายสิทธิ์เรามีอนุพันธ์ ต่อไปตามกฎสัดส่วนเราโอน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:
และตอนนี้เรามาจำกันว่า "ผู้เล่น" แบบไหนที่เราพูดถึงระหว่างการสร้างความแตกต่าง? ลองดูที่สภาพ: 
คำตอบสุดท้าย: 
ตัวอย่างที่ 12
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่าง ประเภทนี้ในตอนท้ายของบทเรียน
การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างใด ๆ ในข้อ 4-7 อีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันที่นั่นง่ายกว่าและบางทีการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมอาจไม่สมเหตุสมผลนัก
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง
เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่ ทั้งระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกซึ่งจะมอบให้กับคุณในตำราเรียนหรือการบรรยายใด ๆ :
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังได้อย่างไร?
มีความจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งกล่าวถึง - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน:
ตามกฎแล้ว ทางด้านขวา องศาจะถูกลบออกจากใต้ลอการิทึม:
ด้วยเหตุนี้ ทางด้านขวาเราจะได้ผลลัพธ์ของสองฟังก์ชัน ซึ่งจะแยกความแตกต่างด้วย สูตรมาตรฐาน 
.
เราค้นหาอนุพันธ์ เพื่อทำเช่นนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:
การดำเนินการเพิ่มเติมนั้นง่าย:
ในที่สุด: 
หากการแปลงใดๆ ไม่ชัดเจนทั้งหมด โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อย่างละเอียดอีกครั้ง
ใน งานภาคปฏิบัติฟังก์ชันยกกำลัง-เลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่อภิปรายในการบรรยายเสมอ
ตัวอย่างที่ 13
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม 
ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - “x” และ “ลอการิทึมของลอการิทึม x” (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) ดังที่เราจำได้ว่าเมื่อสร้างความแตกต่างจะเป็นการดีกว่าที่จะย้ายค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้ขวางทาง และแน่นอนว่าเราใช้กฎที่คุ้นเคย 
:
อย่างที่คุณเห็น อัลกอริธึมสำหรับการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมไม่มีกลอุบายพิเศษใด ๆ และการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังมักไม่เกี่ยวข้องกับ "การทรมาน"
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
เราจะยกตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
;
;
;
;
.
ถ้าฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ แบบฟอร์มต่อไปนี้:
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่าง เราจะเขียนสูตรดังนี้:
.
ที่ไหน .
ที่นี่ ตัวห้อย หรือ ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ แสดงถึงตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่าง
โดยปกติแล้ว ในตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม x เป็นพารามิเตอร์ที่เป็นทางการ ตัวแปร x สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นได้ ดังนั้น เมื่อแยกฟังก์ชันออกจากตัวแปร เราก็เพียงเปลี่ยนตัวแปร x เป็นตัวแปร u ในตารางอนุพันธ์
ตัวอย่างง่ายๆ
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
สารละลาย
มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า ฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 2
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ 5 ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 3
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ออกมา -1
สำหรับเครื่องหมายของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
มากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนเราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในกรณีนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นส่วนต่างๆ และค้นหาอนุพันธ์ของส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ ตารางอนุพันธ์- เรายังใช้ กฎสำหรับการแยกผลรวมผลิตภัณฑ์และเศษส่วน จากนั้นเราจะทำการทดแทนและใช้สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตัวอย่างที่ 4
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
มาเน้นกันให้มากที่สุด ส่วนที่เรียบง่ายสูตรและหาอนุพันธ์ของมัน -
.
ที่นี่เราใช้สัญกรณ์
.
เราค้นหาอนุพันธ์ของส่วนถัดไปของฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เราใช้กฎเพื่อแยกผลรวม:
.
เราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.
สารละลาย
เรามาเลือกส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรแล้วค้นหาอนุพันธ์จากตารางอนุพันธ์ -
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.
ตัดสินใจ งานทางกายภาพหรือตัวอย่างทางคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ นี้ หัวข้อพื้นฐานเราตัดสินใจอุทิศบทความของวันนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:
จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:
กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย: 
สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ด้านหลัง ช่วงเวลาสั้น ๆเราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและแก้ปัญหา แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งโดยมีจุด \(x_0\) อยู่ข้างใน ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์" โปรดทราบว่า y" = f(x) คือ คุณลักษณะใหม่แต่โดยธรรมชาติแล้วสัมพันธ์กับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งนิยามไว้ที่จุด x ทั้งหมดซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)
เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง
ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\) เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือมูลค่าของอนุพันธ์ใน จุดที่กำหนดเอ็กซ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา
มากำหนดกัน
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?
1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. ให้อาร์กิวเมนต์ \(x\) เพิ่มขึ้น \(\Delta x\) ไปที่ จุดใหม่\(x+ \Delta x \), หา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x
ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)
ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร
ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x
สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.
ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) ถ้า ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ ก็แสดงว่าไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น
อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 . แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ความชันบรรทัดดังกล่าวไม่มี ซึ่งหมายความว่า \(f"(0) \) ไม่มีอยู่เช่นกัน
ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร
คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
กฎของความแตกต่าง
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง- เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้าค- จำนวนคงที่และ f=f(x), g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นสิ่งต่อไปนี้จึงเป็นจริง กฎความแตกต่าง:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ก) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $มีการพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กรณีที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหนึ่งหรือสองตัวจะถูกพิจารณาโดยละเอียด มีการสรุปทั่วไปเกี่ยวกับกรณีนี้ หมายเลขใดก็ได้ตัวแปร
ที่นี่เรานำเสนอข้อสรุป สูตรต่อไปนี้สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
ถ้าอย่างนั้น
.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรตัวเดียว
ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ซึ่งมีฟังก์ชั่นบางอย่าง ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x ฟังก์ชันนี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ตามค่าของตัวแปร
จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน (คอมโพสิต) จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และอนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร:
(1)
.
สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:
;
.
การพิสูจน์
ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้
;
.
นี่คือฟังก์ชันของตัวแปร และ มีฟังก์ชันของตัวแปร และ แต่เราจะละเว้นข้อโต้แย้งของฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อไม่ให้การคำนวณเกะกะ
เนื่องจากฟังก์ชัน และ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x และ ตามลำดับ จากนั้นที่จุดเหล่านี้จะมีอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ซึ่งมีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
;
.
พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้:
.
สำหรับค่าคงที่ของตัวแปร u จะเป็นฟังก์ชันของ เห็นได้ชัดว่า
.
แล้ว
.
เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดนั้น นั่นเป็นเหตุผล
.
แล้ว
.
ทีนี้เราหาอนุพันธ์ได้แล้ว
.
สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว
ผลที่ตามมา
ถ้าฟังก์ชันของตัวแปร x สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร
.
ที่นี่ และมีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บางอย่าง
เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์ตามลำดับโดยใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
อนุพันธ์ของมัน
.
พิจารณาฟังก์ชั่นดั้งเดิม
.
อนุพันธ์ของมัน
.
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรสองตัว
ตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า กรณีฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัว.
ให้ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรสองตัวในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด , จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่งและมีอนุพันธ์ซึ่งกำหนดโดยสูตร:
(2)
.
การพิสูจน์
เนื่องจากฟังก์ชันและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด พวกมันจึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ ต่อเนื่องกัน ณ จุดนั้น และมีอนุพันธ์ของพวกมันอยู่ที่จุด ซึ่งเป็นขีดจำกัดต่อไปนี้:
;
.
ที่นี่
;
.
เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านี้ ณ จุดหนึ่ง เราจึงมี:
;
.
เนื่องจากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้น จึงถูกกำหนดไว้ในย่านหนึ่งของจุดนี้ และมีความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ และการเพิ่มขึ้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
(3)
.
ที่นี่
- การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นตามค่า และ ;
;
- อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันเกี่ยวกับตัวแปร และ .
สำหรับค่าคงที่ของ และ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปร และ . พวกเขามีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่และ:
;
.
ตั้งแต่ และ จากนั้น
;
.
เพิ่มฟังก์ชัน:
.
:
.
มาทดแทนกัน (3):
.
สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจากตัวแปรหลายตัว
ข้อสรุปข้างต้นสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีที่จำนวนตัวแปรของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากกว่าสอง
เช่น ถ้า f คือ ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม, ที่
,
ที่ไหน
และมีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร 3 ตัวที่จุด , , .
จากนั้น จากนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เราจะได้:
(4)
.
เพราะด้วยความต่อเนื่อง
;
;
,
ที่
;
;
.
เมื่อหาร (4) ด้วยและผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้:
.
และสุดท้ายเรามาพิจารณากัน ที่สุด กรณีทั่วไป
.
ให้ฟังก์ชันของตัวแปร x แสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปร n ในรูปแบบต่อไปนี้:
,
ที่ไหน
มีฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบางค่าของตัวแปร x
- ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปร n ตัว ณ จุดหนึ่ง
,
,
... , .
แล้ว
.