ระดับแรก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ลองจินตนาการถึงถนนเส้นตรงที่ผ่านบริเวณเนินเขา นั่นคือขึ้นลงแต่ไม่เลี้ยวขวาหรือซ้าย หากแกนถูกตั้งทิศทางในแนวนอนไปตามถนนและแนวตั้ง เส้นถนนจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างมาก:

แกนเป็นระดับความสูงเป็นศูนย์ในชีวิตเราใช้ระดับน้ำทะเลเป็นมัน

เมื่อเราก้าวไปข้างหน้าตามถนนเช่นนั้น เราก็จะเคลื่อนขึ้นหรือลงด้วย นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่า: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกน Abscissa) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกนกำหนด) ทีนี้ลองคิดดูว่าจะกำหนด "ความชัน" ของถนนของเราได้อย่างไร? สิ่งนี้จะเป็นค่าอะไร? ง่ายมาก: ความสูงจะเปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในระยะทางหนึ่ง หลังจากนั้นต่อไป พื้นที่ที่แตกต่างกันถนนที่เคลื่อนไปข้างหน้า (ตามแกน x) ไปอีก 1 กิโลเมตร เราจะขึ้นหรือลงตามนั้น ปริมาณที่แตกต่างกันเมตรสัมพันธ์กับระดับน้ำทะเล (ตามแนวแกนกำหนด)

เรามาแสดงถึงความก้าวหน้ากันเถอะ (อ่านว่า “เดลต้า x”)

ตัวอักษรกรีก (เดลต้า) มักใช้ในทางคณิตศาสตร์เป็นคำนำหน้าหมายถึง "การเปลี่ยนแปลง" นั่นคือ - นี่คือการเปลี่ยนแปลงปริมาณ - การเปลี่ยนแปลง; แล้วมันคืออะไร? ถูกต้องการเปลี่ยนแปลงขนาด

สิ่งสำคัญ: นิพจน์คือข้อมูลทั้งหมดเพียงตัวแปรเดียว อย่าแยก “เดลต้า” ออกจาก “x” หรือตัวอักษรอื่นใด! กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น .

เราก็เลยเคลื่อนไปข้างหน้าในแนวนอนโดย ถ้าเราเปรียบเทียบเส้นถนนกับกราฟของฟังก์ชัน แล้วเราจะระบุการเพิ่มขึ้นได้อย่างไร? แน่นอน, . นั่นคือเมื่อเราก้าวไปข้างหน้า เราก็สูงขึ้น

ค่านั้นง่ายต่อการคำนวณ: ถ้าในตอนแรกเราอยู่ที่ความสูงและหลังจากเคลื่อนที่แล้วเราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่สูงแล้ว ถ้า จุดสิ้นสุดปรากฏว่าต่ำกว่าอันแรกมันจะเป็นลบ - หมายความว่าเราไม่ได้ขึ้น แต่ลง

กลับไปที่ "ความชัน": นี่คือค่าที่แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้น (สูงชัน) เมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหนึ่งหน่วยระยะทาง:

สมมติว่าส่วนหนึ่งของถนนเมื่อเคลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งกิโลเมตร ถนนจะสูงขึ้นหนึ่งกิโลเมตร แล้วความชันตรงนี้จะเท่ากัน และถ้าถนนในขณะที่เคลื่อนไปข้างหน้าเมตรลดลงกิโลเมตร? แล้วความชันจะเท่ากัน

ทีนี้มาดูบนยอดเขากันดีกว่า หากคุณใช้จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ครึ่งกิโลเมตรก่อนถึงยอดเขา และส่วนท้ายอีกครึ่งกิโลเมตรหลังจากนั้น คุณจะเห็นว่าความสูงเกือบจะเท่ากัน

นั่นคือตามตรรกะของเรา ปรากฎว่าความชันตรงนี้เกือบเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน แค่ระยะทางกว่ากิโลเมตร อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้มากมาย พื้นที่ขนาดเล็กจะต้องได้รับการพิจารณาให้เพียงพอและมากขึ้น การประเมินที่แม่นยำความชัน ตัวอย่างเช่น หากคุณวัดการเปลี่ยนแปลงของความสูงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปหนึ่งเมตร ผลลัพธ์ก็จะแม่นยำมากขึ้น แต่ความแม่นยำนี้ก็ยังไม่เพียงพอสำหรับเรา เพราะหากมีเสาอยู่กลางถนนเราก็ผ่านไปได้ แล้วเราควรเลือกระยะไหน? เซนติเมตร? มิลลิเมตร? น้อยดีกว่า!

ใน ชีวิตจริงการวัดระยะทางเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุดก็เกินพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์มักมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบอยู่เสมอ จึงได้คิดค้นแนวคิดขึ้นมา ไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าตัวเลขใดๆ ที่เราตั้งชื่อได้ ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า: หนึ่งล้านล้าน! มากน้อยแค่ไหน? แล้วคุณหารตัวเลขนี้ด้วย - แล้วมันจะยิ่งน้อยลงไปอีก และอื่นๆ หากเราต้องการเขียนว่าปริมาณเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะเขียนดังนี้ (เราอ่านว่า “x มีแนวโน้มเป็นศูนย์”) มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจ ว่าเลขนี้ไม่ใช่ศูนย์!แต่อยู่ใกล้มาก ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหารด้วยมันได้.

แนวคิดที่ตรงข้ามกับ infinitesimal นั้นมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ () คุณอาจเคยเจอมันมาก่อนเมื่อคุณกำลังศึกษาเรื่องอสมการ: จำนวนนี้เป็นแบบโมดูโลมากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณคิดได้ หากคุณหาจำนวนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แค่คูณด้วย 2 แล้วคุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นอีก และไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้อะไรจะเกิดขึ้น. อันที่จริง ใหญ่เป็นอนันต์และเล็กเป็นอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน นั่นคือ at และในทางกลับกัน: at

ตอนนี้เรากลับมาที่ถนนของเรากันดีกว่า ความชันที่คำนวณได้อย่างเหมาะสมคือความชันที่คำนวณสำหรับส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นทาง นั่นคือ:

ฉันสังเกตว่าด้วยการกระจัดที่น้อยที่สุด การเปลี่ยนแปลงความสูงก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน แต่ให้ฉันเตือนคุณว่าสิ่งเล็กน้อยไม่ได้หมายความว่า เท่ากับศูนย์- หากคุณหารจำนวนที่น้อยที่สุดด้วยกัน คุณจะได้ค่าค่อนข้างมาก หมายเลขปกติ, ตัวอย่างเช่น, . นั่นคือค่าเล็กๆ ค่าหนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่กว่าค่าอื่นได้อย่างแน่นอน

ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? ถนน ความชัน... เราไม่ได้ไปแรลลี่รถยนต์ แต่เราสอนคณิตศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ ต่างกันแค่เรียกต่างกันเท่านั้น

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย

ทีละน้อยในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง ขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์ () เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและถูกกำหนดไว้ว่าฟังก์ชัน (ความสูง) มีการเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าตามแกนตามระยะทาง เพิ่มฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนต่อเมื่อ เราแสดงอนุพันธ์ด้วยตัวอักษรเดียวกับฟังก์ชัน โดยจะมีเฉพาะจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบนเท่านั้น: หรือเพียงแค่ ลองเขียนสูตรอนุพันธ์โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้:

เหมือนกับการเปรียบเทียบกับถนน เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ

อนุพันธ์สามารถเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่? แน่นอน. เช่น ถ้าเราขับรถบนถนนแนวราบ ความชันจะเป็นศูนย์ และมันเป็นเรื่องจริงที่ความสูงไม่เปลี่ยนแปลงเลย ดังนั้นจึงเป็นไปตามอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) เท่ากับศูนย์:

เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ

ลองจำตัวอย่างยอดเขากัน ปรากฎว่าสามารถจัดเรียงส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ได้ตามต้องการ ด้านที่แตกต่างกันจากด้านบนเพื่อให้ความสูงที่ปลายเท่ากันนั่นคือส่วนนั้นขนานกับแกน:

แต่ส่วนขนาดใหญ่เป็นสัญญาณของการวัดที่ไม่ถูกต้อง เราจะยกส่วนของเราขึ้นขนานกับตัวมันเอง จากนั้นความยาวของมันจะลดลง

ในที่สุด เมื่อเราเข้าใกล้ด้านบนสุดอย่างไม่สิ้นสุด ความยาวของส่วนนั้นก็จะสั้นลง แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงขนานกับแกนนั่นคือความแตกต่างของความสูงที่ปลายมีค่าเท่ากับศูนย์ (ไม่ได้มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่เท่ากับ) ดังนั้นอนุพันธ์

สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้: เมื่อเรายืนอยู่ที่จุดสูงสุด การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อยจะทำให้ความสูงของเราเปลี่ยนแปลงไปโดยประมาท

นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ อีกด้วย: ทางด้านซ้ายของจุดยอดฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และทางด้านขวาจะลดลง อย่างที่เราทราบไปก่อนหน้านี้ เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ แต่มันเปลี่ยนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด (เนื่องจากถนนไม่เปลี่ยนความลาดชันทุกที่) ดังนั้นระหว่างลบกับ ค่าบวกจะต้องมีอย่างแน่นอน มันจะเป็นจุดที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง - ที่จุดยอด

เช่นเดียวกับรางน้ำ (พื้นที่ที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายลดลงและทางด้านขวาเพิ่มขึ้น):

เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น

ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนข้อโต้แย้งเป็นขนาด เราเปลี่ยนจากค่าอะไร? ตอนนี้ (ข้อโต้แย้ง) กลายเป็นอะไรไปแล้ว? เราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ และตอนนี้ เราจะเต้นจากจุดนั้น

พิจารณาจุดที่มีพิกัด ค่าของฟังก์ชันในนั้นเท่ากัน จากนั้นเราก็ทำการเพิ่มแบบเดียวกัน: เราเพิ่มพิกัดด้วย ตอนนี้เถียงอะไรกันอยู่? ง่ายมาก: . ตอนนี้ค่าของฟังก์ชันเป็นเท่าใด? อาร์กิวเมนต์ไปที่ไหน ฟังก์ชันก็เช่นกัน: . แล้วการเพิ่มฟังก์ชันล่ะ? ไม่มีอะไรใหม่: นี่ยังคงเป็นจำนวนที่ฟังก์ชันเปลี่ยนไป:

ฝึกหาส่วนเพิ่ม:

1. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
2. เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

ใน จุดที่แตกต่างกันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เดียวกัน การเพิ่มฟังก์ชันจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ในแต่ละจุดจะแตกต่างกัน (เราคุยกันเรื่องนี้ตั้งแต่เริ่มต้น - ความชันของถนนแตกต่างกันในแต่ละจุด) ดังนั้นเวลาเราเขียนอนุพันธ์เราต้องระบุว่าจุดไหน:

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันยกกำลังคือฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งในระดับหนึ่ง (ตรรกะใช่ไหม?)

ยิ่งกว่านั้น - ในระดับใด ๆ : .

กรณีที่ง่ายที่สุด- นี่คือเมื่อเลขชี้กำลัง:

ลองหาอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่งกัน จำคำจำกัดความของอนุพันธ์:

ข้อโต้แย้งจึงเปลี่ยนจากเป็น ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเท่าไหร่?

เพิ่มขึ้นเป็นเช่นนี้ แต่ฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ตามจะเท่ากับอาร์กิวเมนต์ของมัน นั่นเป็นเหตุผล:

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับ:

อนุพันธ์ของเท่ากับ:

b) ตอนนี้พิจารณา ฟังก์ชันกำลังสอง (): .

ทีนี้มาจำไว้ว่า ซึ่งหมายความว่าสามารถละเลยค่าของการเพิ่มขึ้นได้ เนื่องจากมีค่าน้อยมาก ดังนั้นจึงไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับพื้นหลังของคำอื่น:

ดังนั้นเราจึงมีกฎอีกข้อหนึ่ง:

c) เราดำเนินการต่อในซีรีส์เชิงตรรกะ: .

นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี: เปิดวงเล็บเหลี่ยมแรกโดยใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อของกำลังสามของผลรวม หรือแยกตัวประกอบนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างของสูตรลูกบาศก์ ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้วิธีการที่แนะนำ

ดังนั้นฉันจึงได้สิ่งต่อไปนี้:

และอีกครั้งให้เราจำไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มี:

เราได้รับ: .

d) สามารถรับกฎที่คล้ายกันสำหรับมหาอำนาจ:

e) ปรากฎว่ากฎนี้สามารถวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามอำเภอใจ ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยซ้ำ:

(2)

กฎสามารถกำหนดได้ในคำว่า: “ระดับจะถูกยกไปข้างหน้าเป็นสัมประสิทธิ์แล้วลดลงด้วย ”

เราจะพิสูจน์กฎนี้ในภายหลัง (เกือบจะในตอนท้ายสุด) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนกัน ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. (ในสองวิธี: โดยสูตรและการใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ - โดยการคำนวณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน)

1. - เชื่อหรือไม่ นี่คือฟังก์ชันกำลัง หากคุณมีคำถามเช่น “เป็นอย่างไรบ้าง? ปริญญาอยู่ที่ไหน?” จำหัวข้อ “” ไว้!
   ใช่ ใช่ รูตก็เป็นดีกรีเช่นกัน เป็นเศษส่วนเท่านั้น:
   ดังนั้นของเรา รากที่สอง- นี่เป็นเพียงระดับที่มีตัวบ่งชี้:
   .
   เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เพิ่งเรียนรู้:

   หากมาถึงจุดนี้ไม่ชัดเจนอีกครั้ง ย้ำหัวข้อ “”!!! (ประมาณปริญญากับ ตัวบ่งชี้เชิงลบ)

2. - ตอนนี้เลขชี้กำลัง:

   และตอนนี้ผ่านคำจำกัดความ (ลืมไปแล้วหรือยัง?):
   ;
   .
   ตามปกติแล้ว เราละเลยคำที่มี:
   .

3. - การรวมกันของกรณีก่อนหน้า: .

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เราจะใช้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่งจากคณิตศาสตร์ชั้นสูงดังนี้:

ด้วยการแสดงออก

คุณจะได้เรียนรู้หลักฐานในปีแรกของการเรียนในสถาบัน (และเพื่อจะไปถึงจุดนั้น คุณจะต้องผ่านการสอบ Unified State ด้วย) ตอนนี้ฉันจะแสดงเป็นภาพกราฟิก:

เราจะเห็นว่าเมื่อไม่มีฟังก์ชัน - จุดบนกราฟจะถูกตัดออก แต่ยิ่งใกล้กับค่ามากเท่าไร ฟังก์ชันก็จะยิ่งเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ "จุดมุ่งหมาย"

นอกจากนี้ คุณสามารถตรวจสอบกฎนี้ได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ อย่าเพิ่งอาย หยิบเครื่องคิดเลขมา เรายังไม่ถึงการสอบ Unified State

เรามาลองกันดู: ;

อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขของคุณเป็นโหมดเรเดียน!

ฯลฯ เราจะเห็นว่ายิ่งน้อยเท่าไร มูลค่าที่ใกล้ชิดยิ่งขึ้นความสัมพันธ์กับ

ก) พิจารณาฟังก์ชัน ตามปกติเราจะหาส่วนเพิ่มของมัน:

ลองเปลี่ยนผลต่างของไซน์ให้เป็นผลคูณกัน ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (จำหัวข้อ “”): .

ตอนนี้อนุพันธ์:

มาทดแทนกัน: . จากนั้นสำหรับสิ่งเล็กน้อย มันก็ไม่สิ้นสุดเช่นกัน: นิพจน์สำหรับจะอยู่ในรูปแบบ:

และตอนนี้เราจำมันได้ด้วยพจน์นี้ และจะเกิดอะไรขึ้นหากสามารถละเลยปริมาณที่น้อยที่สุดไปเป็นผลรวมได้ (นั่นคือ ที่)

ดังนั้นเราจึงได้ กฎถัดไป:อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์:

สิ่งเหล่านี้เป็นอนุพันธ์พื้นฐาน (“ตาราง”) นี่คือหนึ่งในรายการ:

ต่อมาเราจะเพิ่มอีกสองสามอย่าง แต่สิ่งเหล่านี้สำคัญที่สุดเนื่องจากมีการใช้บ่อยที่สุด

ฝึกฝน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

โซลูชั่น:

1. ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์กันก่อน ปริทัศน์แล้วแทนค่าของมัน:
   ;
   .
2. ที่นี่เรามีบางอย่างที่คล้ายกัน ฟังก์ชั่นพลังงาน- เราลองพาเธอไป
   มุมมองปกติ:
   .
   เยี่ยมมาก ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตร:
   .
   .
3. - เออ.....นี่มันอะไรเนี่ย????

โอเค คุณพูดถูก เรายังไม่รู้ว่าจะหาอนุพันธ์แบบนั้นได้อย่างไร ที่นี่เรามีฟังก์ชันหลายประเภทรวมกัน หากต้องการทำงานร่วมกับพวกเขา คุณต้องเรียนรู้กฎเพิ่มเติมอีกสองสามข้อ:

เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติ

มีฟังก์ชันในคณิตศาสตร์ซึ่งมีอนุพันธ์ของค่าใดๆ เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้นในเวลาเดียวกัน มันถูกเรียกว่า “เลขชี้กำลัง” และเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

พื้นฐานของฟังก์ชันนี้คือค่าคงที่ - เป็นค่าอนันต์ ทศนิยมนั่นคือจำนวนอตรรกยะ (เช่น) มันถูกเรียกว่า "หมายเลขออยเลอร์" ซึ่งเป็นสาเหตุที่เขียนแทนด้วยตัวอักษร

ดังนั้นกฎ:

จำง่ายมาก

เอาล่ะอย่าไปไกลเรามาดูกันทันที ฟังก์ชันผกผัน- ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง- ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ผู้แสดงสินค้าและ ลอการิทึมธรรมชาติ- ฟังก์ชั่นมีความเรียบง่ายไม่ซ้ำใครในแง่ของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่น ๆ จะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลัง มาดูกฎกันดีกว่าความแตกต่าง

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? อีกครั้ง คำศัพท์ใหม่, อีกครั้ง?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า-บ้าง จำนวนคงที่(คงที่) จากนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดหนึ่ง;
2. ณ จุดหนึ่ง;
3. ณ จุดหนึ่ง;
4. ตรงจุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุดเนื่องจากอันนี้ ฟังก์ชันเชิงเส้น, จดจำ?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่: เข้ามาเลย คุณลักษณะใหม่และหาส่วนเพิ่ม:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่าสิ่งนั้นคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองนำฟังก์ชันของเราไปใช้ฐานใหม่กัน:

สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้ กฎง่ายๆ- แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลขนั่นคือไม่สามารถเขียนลงไปได้อีก ในรูปแบบที่เรียบง่าย- ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึมแทบไม่เคยปรากฏในการสอบ Unified State แต่การรู้จักพวกเขาก็ไม่เสียหาย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น จะกินช็อกโกแลตก็ต้องทำ การกระทำย้อนกลับวี ลำดับย้อนกลับ.

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: เมื่อใดเพื่อค้นหาค่าของมัน เราทำการกระทำแรกโดยตรงกับตัวแปร จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากการกระทำแรก

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างแรก .

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) -

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ: ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นภายนอกแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (เราใส่ช็อคโกแลตลงใน กระดาษห่อและมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดลำดับการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง -

2. รูท -

3. ไซน์. -

4. สี่เหลี่ยม. -

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ที่น้อยที่สุด:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและสอง

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง บางทีสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) เกือบทุกอย่างในนั้น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มันจะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนอื่นจำเป็นต้องมี ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ หากมีข้อสงสัยผมขอเตือนครับ เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์: เราใช้ค่าทดลองของ "x" เป็นต้น และพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อทดแทน มูลค่าที่กำหนดกลายเป็น "การแสดงออกที่เลวร้าย"

1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่าง:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:

สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนว่าไม่มีข้อผิดพลาด:

1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง

2) หาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ

3) อนุพันธ์ของสามเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์

6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้มีไว้สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กลงและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่ สามฟังก์ชั่น- วิธีหาอนุพันธ์ของ ผลิตภัณฑ์ของสามตัวคูณ?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? เป็นไปได้ไหม - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:

คุณยังคงสามารถถูกบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่เข้าไป ในกรณีนี้ทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า

ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก

ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่?

ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษเป็น ตัวส่วนร่วมและกำจัดเศษสามชั้นออกไป:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะทำผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง

และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนซึ่งมีสูตรดังนี้

ให้ 1) ฟังก์ชัน $u=\varphi (x)$ มี ณ จุดใดจุดหนึ่ง $x_0$ อนุพันธ์ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) ฟังก์ชัน $y=f(u)$ มีที่ จุดที่สอดคล้องกัน$u_0=\varphi (x_0)$ อนุพันธ์ $y_(u)"=f"(u)$. จากนั้นฟังก์ชันเชิงซ้อน $y=f\left(\varphi (x) \right)$ ณ จุดดังกล่าวก็จะมีอนุพันธ์เช่นกัน เท่ากับสินค้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(u)$ และ $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

หรือในรูปแบบย่อ: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

ในตัวอย่างในส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดจะมีรูปแบบ $y=f(x)$ (นั่นคือ เราจะพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันของตัวแปร $x$ เพียงตัวเดียว) ดังนั้น ในทุกตัวอย่าง อนุพันธ์ $y"$ จะถูกนำมาเทียบกับตัวแปร $x$ เพื่อเน้นย้ำว่าอนุพันธ์นั้นมาจากตัวแปร $x$ นั้น $y"_x$ มักจะถูกเขียนแทน $y "$.

ตัวอย่างโครงร่างหมายเลข 1 หมายเลข 2 และหมายเลข 3 กระบวนการโดยละเอียดการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างที่ 4 มีจุดมุ่งหมายเพื่อให้เข้าใจตารางอนุพันธ์ได้ครบถ้วนยิ่งขึ้น และควรทำความคุ้นเคยกับตารางนี้

ขอแนะนำให้หลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างที่ 1-3 แล้วเพื่อแก้ไขตัวอย่างที่ 5 หมายเลข 6 และหมายเลข 7 อย่างอิสระ ตัวอย่างหมายเลข 5 หมายเลข 6 และหมายเลข 7 ประกอบด้วย วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆเพื่อให้ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างหมายเลข 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=e^(\cos x)$

เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน $y"$ เนื่องจาก $y=e^(\cos x)$ ดังนั้น $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ หาอนุพันธ์ $ \left(e^(\cos x)\right)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 เราต้องคำนึงว่าในกรณีของเรา $u=\cos x$ วิธีแก้ไขเพิ่มเติมคือการแทนที่นิพจน์ $\cos x$ แทน $u$ ลงในสูตรหมายเลข 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ตอนนี้เราต้องค้นหาค่าของนิพจน์ $(\cos x)"$ เรากลับไปที่ตารางอนุพันธ์อีกครั้งโดยเลือกสูตรหมายเลข 10 จากนั้น แทนที่ $u=x$ ลงในสูตรหมายเลข 10 เราได้ : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. ตอนนี้เรามาต่อความเท่าเทียมกัน (1.1) เสริมด้วยผลลัพธ์ที่พบ:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \แท็ก (1.2) $$

เนื่องจาก $x"=1$ เรายังคงความเท่าเทียมกัน (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ดังนั้น จากความเท่าเทียมกัน (1.3) เราได้: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ โดยปกติแล้ว คำอธิบายและความเสมอภาคระดับกลางมักจะข้ามไป โดยเขียนการค้นพบอนุพันธ์ไว้ในบรรทัดเดียว เช่นเดียวกับความเท่าเทียมกัน ( 1.3) ดังนั้นจึงพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

คำตอบ: $y"=-\บาป x\cdot e^(\cos x)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$

เราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ขั้นแรก เราสังเกตว่าค่าคงที่ (เช่น หมายเลข 9) สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ตอนนี้เรามาดูนิพจน์ $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ เพื่อเลือก สูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์ ง่ายกว่า ฉันจะนำเสนอนิพจน์ที่ต้องการในรูปแบบนี้: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ตอนนี้ชัดเจนว่าจำเป็นต้องใช้สูตรหมายเลข 2 เช่น $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ เราแทนที่ $ u=\arctg(4) ลงในสูตรนี้ \cdot \ln x)$ และ $\alpha=12$:

เสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) ด้วยผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ในสถานการณ์นี้ มักจะเกิดข้อผิดพลาดเมื่อนักแก้ปัญหาในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ แทนสูตร $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. ประเด็นก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกต้องมาก่อน เพื่อทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดจะอยู่นอกนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ลองจินตนาการว่าคุณกำลังคำนวณค่าของนิพจน์ $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ มีมูลค่า $x$ ขั้นแรก คุณจะต้องคำนวณมูลค่าของ $5^x$ จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วย 4 จะได้ $4\cdot 5^x$ ตอนนี้เราหาอาร์กแทนเจนต์จากผลลัพธ์นี้ จะได้ $\arctg(4\cdot 5^x)$ จากนั้นเราเพิ่มจำนวนผลลัพธ์เป็นกำลังสิบสอง จะได้ $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ การกระทำครั้งสุดท้าย, - เช่น. การยกกำลัง 12 จะเป็นฟังก์ชันภายนอก และจากนี้เราต้องเริ่มค้นหาอนุพันธ์ซึ่งทำอย่างเท่าเทียมกัน (2.2)

ตอนนี้เราต้องค้นหา $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=4\cdot \ln x$ ลงไป:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ลองลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์สักหน่อย โดยคำนึงถึง $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ความเท่าเทียมกัน (2.2) จะกลายเป็น:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \แท็ก (2.3) $$

ยังคงต้องค้นหา $(4\cdot \ln x)"$ ลองนำค่าคงที่ (เช่น 4) ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ สำหรับ เพื่อที่จะหา $(\ln x)"$ เราใช้สูตรหมายเลข 8 โดยแทนที่ $u=x$ ลงไป: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. เนื่องจาก $x"=1$ ดังนั้น $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นสูตร (2.3) เราได้รับ:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)) $

ฉันขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมักพบในบรรทัดเดียวตามที่เขียนไว้ในความเสมอภาคสุดท้าย ดังนั้นเมื่อเตรียมการคำนวณมาตรฐานหรือ การทดสอบไม่จำเป็นต้องอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเลย

คำตอบ: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$

ตัวอย่างหมายเลข 3

หา $y"$ ของฟังก์ชัน $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$

ก่อนอื่น เรามาแปลงฟังก์ชัน $y$ กันเล็กน้อย โดยแสดงราก (root) ในรูปยกกำลัง: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. ทีนี้มาเริ่มหาอนุพันธ์กันดีกว่า เนื่องจาก $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ ดังนั้น:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

ลองใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=\sin(5\cdot 9^x)$ และ $\alpha=\frac(3)(7)$ ลงไป:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

ให้เรายังคงความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ตอนนี้เราต้องหา $(\sin(5\cdot 9^x))"$ สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรหมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $u=5\cdot 9^x$ ลงไป:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

เมื่อเสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) กับผลลัพธ์ที่ได้ เรามี:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \แท็ก (3.3) $$

ยังคงต้องหา $(5\cdot 9^x)"$ อันดับแรก ลองใช้ค่าคงที่ (ตัวเลข $5$) นอกเครื่องหมายอนุพันธ์ นั่นคือ $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$ หากต้องการหาอนุพันธ์ $(9^x)"$ ให้ใช้สูตรหมายเลข 5 ของตารางอนุพันธ์ โดยแทนที่ $a=9$ และ $u=x$ ลงไป: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. เนื่องจาก $x"=1$ จากนั้น $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ตอนนี้เราสามารถคงความเท่าเทียมกันต่อไปได้ (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x -

เราสามารถกลับจากยกกำลังไปสู่รากได้อีกครั้ง (เช่น ราก) โดยเขียน $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ในรูปแบบ $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. จากนั้นอนุพันธ์จะเขียนในรูปแบบนี้:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x)))

คำตอบ: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

ตัวอย่างหมายเลข 4

แสดงว่าสูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์คือ กรณีพิเศษสูตรหมายเลข 2 ของตารางนี้

สูตรที่ 2 ของตารางอนุพันธ์มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $u^\alpha$ เมื่อแทน $\alpha=-1$ ลงในสูตรหมายเลข 2 เราจะได้:

$$(u^(-1))"=-1\cdot คุณ^(-1-1)\cdot คุณ"=-u^(-2)\cdot คุณ"\tag (4.1)$$

เนื่องจาก $u^(-1)=\frac(1)(u)$ และ $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (4.1) จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์

ให้เรากลับมาที่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์อีกครั้ง ลองแทน $\alpha=\frac(1)(2)$ ลงไป:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot คุณ"\tag (4.2) $$

เนื่องจาก $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ และ $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (4.2) สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot คุณ" $$

ผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ คือสูตรหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ อย่างที่คุณเห็น สูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ได้มาจากสูตรหมายเลข 2 โดยการแทนที่ค่า $\alpha$ ที่สอดคล้องกัน

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเช่นฟังก์ชันเชิงซ้อน และเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ก่อนจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน มาทำความเข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนว่าฟังก์ชันเชิงซ้อนคืออะไร "กินกับอะไร" และ "จะปรุงอย่างไรให้ถูกต้อง"

ลองพิจารณาดู ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาและซ้ายของสมการฟังก์ชันคือตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกัน

แทนที่จะเป็นตัวแปร เราสามารถใส่นิพจน์ต่อไปนี้: . แล้วเราก็ได้ฟังก์ชันมา

ลองเรียกนิพจน์นี้ว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง และฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันภายนอก มันไม่เข้มงวด แนวคิดทางคณิตศาสตร์แต่ช่วยให้เข้าใจความหมายของแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้

คำจำกัดความที่เข้มงวดของแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนมีลักษณะดังนี้:

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซตและเป็นเซตของค่าของฟังก์ชันนี้ ให้เซต (หรือเซตย่อย) เป็นโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน มากำหนดหมายเลขให้กับแต่ละคนกัน ดังนั้นฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้บนเซต เรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันเชิงซ้อน

ในคำจำกัดความนี้ หากเราใช้คำศัพท์ ฟังก์ชันภายนอกจะเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง

พบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ตามกฎต่อไปนี้:

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันต้องการเขียนกฎนี้ดังนี้:

ในนิพจน์นี้ การใช้ หมายถึงฟังก์ชันระดับกลาง

ดังนั้น. หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน คุณต้องมี

1. พิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและค้นหาอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องจากตารางอนุพันธ์

2. กำหนดอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง

ในขั้นตอนนี้ ความยากที่สุดคือการค้นหาฟังก์ชันภายนอก ใช้อัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับสิ่งนี้:

ก. เขียนสมการของฟังก์ชันลงไป.

ข. ลองนึกภาพว่าคุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันสำหรับค่า x บางค่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชันแล้วสร้างออกมา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- การกระทำสุดท้ายที่คุณทำคือฟังก์ชันภายนอก

เช่น ในฟังก์ชัน

การกระทำสุดท้ายคือการยกกำลัง

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนข้อโต้แย้งระดับกลาง

ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

เราจะยกตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
; ; ; ; .

ถ้าฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ แบบฟอร์มต่อไปนี้:
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่าง เราจะเขียนสูตรดังนี้:
.
ที่ไหน .
ที่นี่ ตัวห้อย หรือ ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ แสดงถึงตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่าง

โดยปกติแล้ว ในตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม x เป็นพารามิเตอร์ที่เป็นทางการ ตัวแปร x สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นได้ ดังนั้น เมื่อแยกฟังก์ชันออกจากตัวแปร เราก็เพียงเปลี่ยนตัวแปร x เป็นตัวแปร u ในตารางอนุพันธ์

ตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.

สารละลาย

มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า ฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.

ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
.
ที่นี่ .

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

เรานำค่าคงที่ 5 ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.

.
ที่นี่ .

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

เรานำค่าคงที่ออกมา -1 สำหรับเครื่องหมายของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ .

คำตอบ

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

มากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนเราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในกรณีนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นส่วนต่างๆ และค้นหาอนุพันธ์ของส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ ตารางอนุพันธ์- เรายังใช้ กฎสำหรับการแยกผลรวมผลิตภัณฑ์และเศษส่วน จากนั้นเราจะทำการทดแทนและใช้สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

มาเน้นให้มากที่สุด ส่วนที่เรียบง่ายสูตรและหาอนุพันธ์ของมัน -

.
ที่นี่เราใช้สัญกรณ์
.

เราค้นหาอนุพันธ์ของส่วนถัดไปของฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เราใช้กฎเพื่อแยกผลรวม:
.

เราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง

.
ที่นี่ .

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.

สารละลาย

เรามาเลือกส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรแล้วค้นหาอนุพันธ์จากตารางอนุพันธ์ -

เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.