สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งเราคุ้นเคยในโรงเรียนประถมศึกษา นักเรียนทุกคนต้องเผชิญกับคำถามว่าจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิตได้อย่างไร ดังนั้นคุณลักษณะใดของการค้นหาพื้นที่ของรูปที่กำหนดจึงสามารถระบุได้? ในบทความนี้เราจะดูสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการทำงานดังกล่าวให้สำเร็จและวิเคราะห์ประเภทของรูปสามเหลี่ยมด้วย
ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
คุณสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้หลายวิธีเนื่องจากในเรขาคณิตมีรูปมากกว่าหนึ่งประเภทที่มีสามมุม ประเภทเหล่านี้ได้แก่:
- ป้าน.
- ด้านเท่ากันหมด (ถูกต้อง)
- สามเหลี่ยมมุมฉาก.
- หน้าจั่ว.
มาดูสามเหลี่ยมแต่ละประเภทที่มีอยู่กันดีกว่า
รูปทรงเรขาคณิตนี้ถือเป็นเรื่องธรรมดาที่สุดเมื่อแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิต เมื่อจำเป็นต้องวาดรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ ตัวเลือกนี้จะช่วยได้
ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมตามชื่อ มุมทุกมุมจะมีความแหลมและรวมกันได้ 180°
สามเหลี่ยมประเภทนี้ก็พบได้ทั่วไปเช่นกัน แต่ก็พบได้น้อยกว่าสามเหลี่ยมมุมแหลมบ้าง ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้โจทย์รูปสามเหลี่ยม (นั่นคือ รู้ด้านและมุมหลายด้านแล้ว และคุณจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่เหลือ) บางครั้งคุณจำเป็นต้องพิจารณาว่ามุมนั้นเป็นรูปป้านหรือไม่ โคไซน์เป็นจำนวนลบ
B ค่าของมุมใดมุมหนึ่งเกิน 90° ดังนั้นอีกสองมุมที่เหลือจึงมีค่าน้อยได้ (เช่น 15° หรือ 3°)
หากต้องการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทนี้ คุณจำเป็นต้องทราบความแตกต่างบางประการซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง
สามเหลี่ยมปกติและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปที่มีมุม n มุม และทุกด้านและมุมเท่ากัน นี่คือลักษณะของสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมคือ 180° ดังนั้นแต่ละมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 60°
เนื่องจากคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมปกติจึงเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถจารึกวงกลมได้เพียงวงเดียวในรูปสามเหลี่ยมปกติและสามารถอธิบายวงกลมรอบ ๆ ได้เพียงวงเดียวเท่านั้นและศูนย์กลางของพวกมันอยู่ที่จุดเดียวกัน
นอกจากประเภทด้านเท่ากันหมดแล้ว เรายังสามารถแยกแยะสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ ซึ่งจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว ด้านสองด้านและสองมุมจะเท่ากัน และด้านที่สาม (ซึ่งมีมุมเท่ากันอยู่ติดกัน) เป็นฐาน
รูปนี้แสดง DEF สามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งมีมุม D และ F เท่ากัน และ DF เป็นฐาน
สามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมฉากได้ชื่อนี้เพราะว่ามุมหนึ่งของมันเป็นมุมฉาก นั่นคือ เท่ากับ 90° อีกสองมุมรวมกันได้ 90°
ด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุม 90° คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในขณะที่อีกสองด้านที่เหลือคือขา สำหรับสามเหลี่ยมประเภทนี้ จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
รูปนี้แสดงสามเหลี่ยมมุมฉาก BAC โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AC และขา AB และ BC
ในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก คุณจำเป็นต้องรู้ค่าตัวเลขของขาของมัน
เรามาดูสูตรการหาพื้นที่ของรูปที่กำหนดกันดีกว่า
สูตรพื้นฐานในการหาพื้นที่
ในเรขาคณิตมีสองสูตรที่เหมาะสำหรับการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ ได้แก่ สามเหลี่ยมเฉียบพลัน, ป้าน, ธรรมดา และสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มาดูกันทีละอัน
ด้านข้างและความสูง
สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการค้นหาพื้นที่ของรูปที่เรากำลังพิจารณา ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลากไป สูตรเอง (ครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง) มีดังต่อไปนี้:
โดยที่ A คือด้านของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด และ H คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม
ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ACB คุณต้องคูณด้าน AB ด้วยความสูง CD แล้วหารค่าผลลัพธ์ด้วยสอง
อย่างไรก็ตาม การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีนี้ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากต้องการใช้สูตรนี้สำหรับสามเหลี่ยมป้าน คุณต้องขยายด้านใดด้านหนึ่งแล้วจึงวาดระดับความสูงลงไป
ในทางปฏิบัติมีการใช้สูตรนี้บ่อยกว่าสูตรอื่น
ทั้งสองด้านและมุม
สูตรนี้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า เหมาะสำหรับสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ และความหมายเป็นผลจากสูตรในการหาพื้นที่ข้างเคียงและความสูงของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือสูตรที่เป็นปัญหาสามารถหามาจากสูตรก่อนหน้าได้อย่างง่ายดาย สูตรของมันมีลักษณะดังนี้:
S = ½*บาปO*A*B
โดยที่ A และ B เป็นด้านของสามเหลี่ยม และ O คือมุมระหว่างด้าน A และ B
ให้เราระลึกว่าสามารถดูไซน์ของมุมได้ในตารางพิเศษที่ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้มีชื่อเสียง V. M. Bradis
ตอนนี้เรามาดูสูตรอื่นๆ ที่เหมาะกับสามเหลี่ยมประเภทพิเศษเท่านั้น
พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
นอกจากสูตรสากลซึ่งรวมถึงความจำเป็นในการค้นหาระดับความสูงในรูปสามเหลี่ยมแล้วยังสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากได้จากขาของมัน
ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา หรือ:
โดยที่ a และ b เป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมปกติ
รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้แตกต่างตรงที่พื้นที่สามารถพบได้ด้วยค่าที่ระบุของด้านใดด้านหนึ่งเท่านั้น (เนื่องจากทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน) ดังนั้น เมื่อต้องเผชิญกับภารกิจ “หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อด้านเท่ากัน” คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:
ส = ก 2 *√3 / 4,
โดยที่ A คือด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า
สูตรของนกกระสา
ตัวเลือกสุดท้ายในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือสูตรของเฮรอน หากต้องการใช้ คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของด้านทั้งสามของรูป สูตรของนกกระสามีลักษณะดังนี้:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c)
โดยที่ a, b และ c เป็นด้านของสามเหลี่ยมที่กำหนด
บางครั้งปัญหาก็ได้รับมา: “พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติคือการหาความยาวของด้าน” ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องใช้สูตรที่เรารู้อยู่แล้วในการค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติและรับค่าของด้าน (หรือกำลังสอง):
ก 2 = 4S / √3
งานสอบ
โจทย์ GIA ทางคณิตศาสตร์มีหลายสูตร นอกจากนี้บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมบนกระดาษตารางหมากรุก
ในกรณีนี้ จะสะดวกที่สุดในการวาดความสูงไปที่ด้านใดด้านหนึ่งของรูป กำหนดความยาวจากเซลล์ และใช้สูตรสากลในการค้นหาพื้นที่:
ดังนั้นหลังจากศึกษาสูตรที่นำเสนอในบทความแล้ว คุณจะไม่มีปัญหาในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมชนิดใดๆ
ดังที่คุณอาจจำได้จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน สามเหลี่ยมคือรูปร่างที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมประกอบขึ้นเป็นสามมุม จึงเป็นที่มาของชื่อรูปนั้น คำจำกัดความอาจแตกต่างกัน สามเหลี่ยมสามารถเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสามมุมได้คำตอบก็จะถูกต้องเช่นกัน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งตามจำนวนด้านที่เท่ากันและขนาดของมุมในรูป ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงถูกจำแนกเป็นหน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด และด้านไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยม เฉียบพลัน และป้าน ตามลำดับ
มีสูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมมากมาย เลือกวิธีการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม เช่น จะใช้สูตรไหนก็ขึ้นอยู่กับคุณ แต่ก็น่าสังเกตเพียงสัญลักษณ์บางส่วนที่ใช้ในหลายสูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น จำไว้ว่า:
S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม
h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม
R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
p คือกึ่งปริมณฑล
ต่อไปนี้เป็นสัญลักษณ์พื้นฐานที่อาจเป็นประโยชน์สำหรับคุณ หากคุณลืมวิชาเรขาคณิตไปจนหมด ด้านล่างนี้เป็นตัวเลือกที่เข้าใจได้และไม่ซับซ้อนที่สุดสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่ไม่รู้จักและลึกลับของรูปสามเหลี่ยม ไม่ใช่เรื่องยากและจะเป็นประโยชน์ทั้งต่อความต้องการในครัวเรือนและช่วยเหลือลูก ๆ ของคุณ จำวิธีคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมให้ง่ายที่สุด:
ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ: S = ½ * 2.2 ซม. * 2.5 ซม. = 2.75 ตร.ซม. โปรดจำไว้ว่าพื้นที่มีหน่วยเป็นตารางเซนติเมตร (ตร.ซม.)
สามเหลี่ยมมุมฉากและพื้นที่ของมัน
สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (จึงเรียกว่ามุมฉาก) มุมฉากเกิดจากเส้นตั้งฉากสองเส้น (ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม เส้นตั้งฉากสองเส้น) ในสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมฉากได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น เพราะ... ผลรวมของมุมทุกมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ 180 องศา ปรากฎว่าอีก 2 มุมควรหาร 90 องศาที่เหลือ เช่น 70 กับ 20, 45 และ 45 เป็นต้น ดังนั้นคุณจำสิ่งสำคัญได้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาวิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ลองจินตนาการว่าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่ตรงหน้า และเราจำเป็นต้องหาพื้นที่ S ของมัน
1. วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
ในกรณีของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ: S = 2.5 ซม. * 3 ซม. / 2 = 3.75 ตร.ซม.
โดยหลักการแล้วไม่จำเป็นต้องตรวจสอบพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้วยวิธีอื่นอีกต่อไปเพราะว่า เพียงเท่านี้ก็จะมีประโยชน์และจะช่วยในชีวิตประจำวัน แต่ยังมีตัวเลือกในการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านมุมแหลมอีกด้วย
2. สำหรับวิธีคำนวณอื่นๆ คุณต้องมีตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตัดสินด้วยตัวคุณเองต่อไปนี้เป็นตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ยังสามารถใช้ได้:
เราตัดสินใจใช้สูตรแรกและมีจุดเล็กๆ น้อยๆ (เราวาดมันในสมุดบันทึกและใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์เก่า) แต่เราได้รับการคำนวณที่ถูกต้อง:
ส = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2) เราได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: 3.6=3.7 แต่เมื่อคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของเซลล์ เราสามารถให้อภัยความแตกต่างเล็กน้อยนี้ได้
สามเหลี่ยมหน้าจั่วและพื้นที่ของมัน
หากคุณกำลังเผชิญกับงานคำนวณสูตรสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ววิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้หลักและสิ่งที่ถือเป็นสูตรคลาสสิกสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยม
แต่ก่อนอื่น ก่อนที่จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เรามาดูกันว่านี่คือรูปประเภทใด สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน ทั้งสองด้านเรียกว่าด้านข้าง ด้านที่สามเรียกว่าฐาน อย่าสับสนระหว่างสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น สามเหลี่ยมปกติที่มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน ในรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีแนวโน้มพิเศษกับมุมหรือขนาดของมัน อย่างไรก็ตาม มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน แต่แตกต่างจากมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน คุณรู้สูตรแรกและสูตรหลักแล้ว แต่ยังต้องหาสูตรอื่นในการกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:
รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้นที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมต่อของเส้นคือจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดด้วยตัวอักษรละติน (เช่น A, B, C) เส้นตรงที่เชื่อมต่อกันของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนต่างๆ ซึ่งโดยปกติจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:
- สี่เหลี่ยม
- ป้าน.
- เชิงมุมเฉียบพลัน
- อเนกประสงค์
- ด้านเท่ากันหมด
- หน้าจั่ว.
สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมตามความยาวและความสูง
S= ก*ชั่วโมง/2,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ h คือความยาวของความสูงที่ลากถึงฐาน
สูตรของนกกระสา
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
โดยที่ √ คือรากที่สอง, p คือกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม, a,b,c คือความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม เสี้ยวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร p=(a+b+c)/2
สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากมุมและความยาวของส่วน
S = (a*b*บาป(α))/2,
โดยที่ b,c คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม sin(α) คือไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมกำหนดรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และด้านทั้งสาม
ส=พี*อาร์,
โดยที่ p คือพื้นที่กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้
สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน
S= (ก*ข*ค)/4*ร
โดยที่ a,b,c คือความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุด
พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดคือพิกัดในระบบ xOy โดยที่ x คือ Abscissa และ y คือพิกัด ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน xOy บนระนาบคือแกนตัวเลขตั้งฉากร่วมกันระหว่าง Ox และ Oy โดยมีจุดกำเนิดร่วมกันที่จุด O หากพิกัดของจุดบนระนาบนี้กำหนดไว้ในรูปแบบ A(x1, y1), B(x2, y2) ) และ C(x3, y3 ) จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งได้มาจากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว
ส = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ที่ไหน || ย่อมาจากโมดูล
วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมวัดได้ 90 องศา สามเหลี่ยมสามารถมีมุมดังกล่าวได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากสองด้าน
S= ก*ข/2,
โดยที่ a,b คือความยาวของขา ขาเป็นด้านที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก
สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม
S = a*b*บาป(α)/ 2,
โดยที่ a, b คือขาของสามเหลี่ยม และ sin(α) คือไซน์ของมุมที่เส้น a, b ตัดกัน
สูตรหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านและมุมตรงข้าม
S = a*b/2*tg(β)
โดยที่ a, b คือขาของรูปสามเหลี่ยม, tan(β) คือแทนเจนต์ของมุมที่ขา a, b เชื่อมต่อกัน
วิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และอีกด้านเป็นฐาน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้
สูตรพื้นฐานในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
S=h*c/2,
โดยที่ c คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลดระดับลงถึงฐาน
สูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยพิจารณาจากด้านและฐาน
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
โดยที่ c คือฐานของสามเหลี่ยม a คือขนาดของด้านข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า
สามเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:
S = (√3*ก*ก)/4,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า
สูตรข้างต้นจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ที่ต้องการของรูปสามเหลี่ยมได้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าในการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมคุณต้องพิจารณาประเภทของสามเหลี่ยมและข้อมูลที่มีอยู่ที่สามารถใช้ในการคำนวณได้
คุณสามารถค้นหาสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมได้มากกว่า 10 สูตรบนอินเทอร์เน็ต หลายสูตรใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม มีตัวอย่างที่ซับซ้อนจำนวนหนึ่ง โดยตามเงื่อนไขของงาน ที่ทราบเพียงด้านเดียวและมุมของสามเหลี่ยม หรือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบหรือถูกจารึกไว้ และคุณลักษณะอีกประการหนึ่ง ในกรณีเช่นนี้ จะไม่สามารถใช้สูตรอย่างง่ายได้
สูตรที่ให้ไว้ด้านล่างจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ 95 เปอร์เซ็นต์ที่คุณต้องหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
มาดูสูตรพื้นที่ส่วนกลางกันดีกว่า
พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่แสดงในภาพด้านล่าง
ในรูปและด้านล่างของสูตร มีการแนะนำการกำหนดแบบคลาสสิกของคุณลักษณะทั้งหมด
a,b,c – ด้านของสามเหลี่ยม
R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
r - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
h[b],h[a],h[c] – ความสูงที่วาดตามด้าน a,b,c
อัลฟา เบตา ฮัมมา – มุมใกล้จุดยอด
สูตรพื้นฐานสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม
1. พื้นที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและความสูงลดลงมาทางด้านนี้ ในภาษาของสูตร คำจำกัดความนี้สามารถเขียนได้ดังนี้
ดังนั้น ถ้ารู้ด้านและความสูง นักเรียนทุกคนก็จะหาพื้นที่ได้
อย่างไรก็ตาม จากสูตรนี้ เราสามารถหาความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งระหว่างความสูงได้
2. หากเราคำนึงว่าความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ผ่านด้านประชิดนั้นแสดงโดยการพึ่งพา
จากนั้นสูตรพื้นที่แรกจะตามด้วยสูตรที่สองซึ่งเป็นประเภทเดียวกัน
ดูสูตรอย่างละเอียด - ง่ายต่อการจดจำเนื่องจากงานเกี่ยวข้องกับสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา หากเรากำหนดด้านและมุมของสามเหลี่ยมได้อย่างถูกต้อง (ดังรูปด้านบน) เราจะได้ด้าน a, b สองด้าน และมุมนั้นเชื่อมต่อกับมุมที่สามด้วย (ฮัมมะ)
3. สำหรับมุมของสามเหลี่ยม ความสัมพันธ์จะเป็นจริง
การพึ่งพาอาศัยกันช่วยให้คุณใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมในการคำนวณ:
ตัวอย่างของการพึ่งพาอาศัยกันนี้หายากมาก แต่คุณต้องจำไว้ว่ามีสูตรดังกล่าว
4. ถ้าทราบด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน สูตรก็จะหาพื้นที่ได้
5. สูตรหาพื้นที่ในรูปด้านและโคแทนเจนต์ของมุมที่อยู่ติดกันมีดังนี้
ด้วยการจัดเรียงดัชนีใหม่ คุณจะได้รับการอ้างอิงสำหรับบุคคลอื่น
6. สูตรพื้นที่ด้านล่างนี้ใช้ในปัญหาเมื่อมีการระบุจุดยอดของสามเหลี่ยมบนระนาบด้วยพิกัด ในกรณีนี้ พื้นที่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของปัจจัยกำหนดที่ใช้แบบโมดูโล
7. สูตรนกกระสาใช้ในตัวอย่างที่มีด้านที่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม
ขั้นแรกให้หาระยะกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม
แล้วกำหนดพื้นที่โดยใช้สูตร
หรือ
มักใช้ในโค้ดของโปรแกรมเครื่องคิดเลข
8. หากทราบความสูงทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่นั้นจะถูกกำหนดโดยสูตร
การคำนวณด้วยเครื่องคิดเลขเป็นเรื่องยาก แต่ใน MathCad, Mathematica, Maple แพคเกจพื้นที่คือ "เวลาสอง"
9. สูตรต่อไปนี้ใช้รัศมีที่ทราบของวงกลมภายในและวงกลมล้อมรอบ
โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากทราบรัศมีและด้านข้างของสามเหลี่ยมหรือเส้นรอบวง พื้นที่นั้นจะถูกคำนวณตามสูตร
10. ตัวอย่างที่ให้ด้านและรัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ พื้นที่หาได้จากสูตร
11. สูตรต่อไปนี้กำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมในแง่ของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม
และสุดท้าย - กรณีพิเศษ:
พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีขา a และ b เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์
สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า (ปกติ)=
= หนึ่งในสี่ของผลคูณของด้านกำลังสองและรากของสาม
แนวคิดของพื้นที่
แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กับรูปเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เพื่อความสมบูรณ์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต
คุณสมบัติ 1:หากรูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากันด้วย
คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นหลาย ๆ ร่างได้ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่ของรูปดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปประกอบทั้งหมด
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
แน่นอนว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งมีความยาว $5$ (เนื่องจากมีเซลล์ $5$) และอีกด้านคือ $6$ (เนื่องจากมีเซลล์ $6$) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือ
แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ
คำตอบ: $15$.
ต่อไปเราจะพิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรของนกกระสา และพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า
วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐานของมัน
ทฤษฎีบท 1
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น
ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้
$S=\frac(1)(2)αh$
โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป
การพิสูจน์.
พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้ ซึ่งเท่ากับ $h$ มาสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2 กัน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่างหากเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง
ฐานของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ กำลังสอง) ส่วนสูงก็ $9$ เช่นกัน จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
คำตอบ: $40.5$.
สูตรของนกกระสา
ทฤษฎีบท 2
หากเราได้รับด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ แล้ว พื้นที่ของมันจะเป็นดังนี้
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
โดยที่ $ρ$ หมายถึง กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้
การพิสูจน์.
พิจารณารูปต่อไปนี้:
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ
จากสามเหลี่ยม $CBH$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ซึ่งหมายถึง
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
จากทฤษฎีบท 1 เราได้
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$