ลอการิทึมธรรมชาติ 13. คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ: กราฟ ฐาน ฟังก์ชัน ลิมิต สูตร และโดเมนของคำจำกัดความ

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขมาจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐานลอการิทึมของ x คือกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ x

ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยบันทึกความสำเร็จเดียวกัน 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก เช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งบนเซกเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем ระดับมากขึ้นสองยิ่งจำนวนมากขึ้น

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยง ความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญเพียงแค่ดูภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น

เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ตามมาจากคำจำกัดความของปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมลงมา
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ) ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาอยู่เท่านั้น นิพจน์ตัวเลขโดยไม่จำเป็นต้องรู้ CVD ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อพวกเขาไป สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน ข้อกำหนดของ DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน โครงการทั่วไปการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ความต้องการที่ฐานจะต้อง มากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: ลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. เราได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. เราได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. เราได้รับคำตอบ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

1. ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
2. จาก ย่อหน้าก่อนหน้าตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

บันทึกเล็กๆ น้อยๆ ถึง ตัวอย่างสุดท้าย- คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? มันง่ายมาก - แค่แยกมันออกเป็น ปัจจัยสำคัญ- ถ้าการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

ให้เราสังเกตด้วยว่าเราเอง หมายเลขเฉพาะมีระดับที่แน่นอนของตัวเองอยู่เสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 กล่าวคือ ต้องยกกำลังซึ่งต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี้ ลอการิทึมทศนิยม- อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ มันเกี่ยวกับเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี้ จำนวนอตรรกยะ, ของเขา ค่าที่แน่นอนไม่สามารถค้นหาและบันทึกได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1 ; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ เลย ลอการิทึมธรรมชาติใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้

ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้เลข b

ถ้าอย่างนั้น.

ลอการิทึม - สุดขีด สำคัญ ปริมาณทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากแคลคูลัสลอการิทึมไม่เพียงช่วยให้แก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเท่านั้น แต่ยังช่วยให้สามารถดำเนินการกับเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วย การหาอนุพันธ์ของเอ็กซ์โปเนนเชียล และ ฟังก์ชันลอการิทึมบูรณาการและนำมาคำนวณในรูปแบบที่ยอมรับได้มากขึ้น

คุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมเกี่ยวข้องโดยตรงกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ยกตัวอย่างข้อเท็จจริงที่ว่า หมายความว่า:

ควรสังเกตว่าเมื่อทำการแก้ไข งานเฉพาะคุณสมบัติของลอการิทึมอาจมีความสำคัญและมีประโยชน์มากกว่ากฎสำหรับการทำงานกับกำลัง

ให้เรานำเสนอตัวตนบางอย่าง:

ต่อไปนี้เป็นนิพจน์พีชคณิตพื้นฐาน:

;

.

ความสนใจ!สามารถมีอยู่ได้เฉพาะสำหรับ x>0, x≠1, y>0

ลองทำความเข้าใจคำถามว่าลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร มีความสนใจเป็นพิเศษในด้านคณิตศาสตร์ เป็นตัวแทนสองประเภท- อันแรกมีเลข “10” เป็นฐาน และเรียกว่า “ลอการิทึมทศนิยม” ประการที่สองเรียกว่าธรรมชาติ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข “e” นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงโดยละเอียดในบทความนี้

การกำหนด:

• lg x - ทศนิยม;
• ln x - โดยธรรมชาติ

เมื่อใช้เอกลักษณ์ เราจะเห็นว่า ln e = 1 เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่า lg 10=1

กราฟลอการิทึมธรรมชาติ

เรามาสร้างกราฟของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้วิธีมาตรฐานแบบคลาสสิกทีละจุดกันดีกว่า หากต้องการ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าเรากำลังสร้างฟังก์ชันอย่างถูกต้องหรือไม่โดยการตรวจสอบฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม การเรียนรู้วิธีสร้างลอการิทึมด้วยตนเองจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผล เพื่อที่จะรู้วิธีคำนวณลอการิทึมอย่างถูกต้อง

ฟังก์ชัน: y = ln x มาเขียนตารางจุดที่กราฟจะผ่านไป:

ให้เราอธิบายว่าทำไมเราถึงเลือกค่าเฉพาะเหล่านี้ของอาร์กิวเมนต์ x มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับตัวตน: . สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ เอกลักษณ์นี้จะมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความสะดวก เราสามารถใช้จุดอ้างอิงได้ 5 จุด:

;

;

.

;

.

ดังนั้นการคำนวณลอการิทึมธรรมชาติจึงเป็นงานที่ค่อนข้างง่าย นอกจากนี้ ยังช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณการดำเนินการด้วยกำลังและเปลี่ยนให้เป็น การคูณสามัญ

เมื่อวาดกราฟทีละจุด เราจะได้กราฟโดยประมาณ:

โดเมนของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติ (เช่น ทั้งหมด ค่าที่ถูกต้องอาร์กิวเมนต์ X) - ตัวเลขทั้งหมดมากกว่าศูนย์

ความสนใจ!ขอบเขตของคำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติจะรวมไว้เท่านั้น ตัวเลขบวก- ขอบเขตของคำจำกัดความไม่รวม x=0 สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตามเงื่อนไขของการมีอยู่ของลอการิทึม

ช่วงของค่า (เช่น ค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของฟังก์ชัน y = ln x) คือตัวเลขทั้งหมดในช่วงเวลา

ขีดจำกัดบันทึกธรรมชาติ

จากการศึกษากราฟ คำถามก็เกิดขึ้น: ฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรที่ y<0.

แน่นอนว่ากราฟของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะข้ามแกน y แต่จะไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติของ x<0 не существует.

ขีดจำกัดของธรรมชาติ บันทึกสามารถเขียนได้ดังนี้:

สูตรการแทนที่ฐานของลอการิทึม

การจัดการกับลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายกว่าการจัดการกับลอการิทึมที่มีฐานที่กำหนดเองมาก นั่นคือเหตุผลที่เราจะพยายามเรียนรู้วิธีลดลอการิทึมใดๆ ให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติ หรือแสดงมันเป็นฐานใดก็ได้ผ่านลอการิทึมธรรมชาติ

เริ่มจากเอกลักษณ์ลอการิทึมกันก่อน:

จากนั้นตัวเลขหรือตัวแปร y ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็น:

โดยที่ x คือตัวเลขใดๆ (บวกตามคุณสมบัติของลอการิทึม)

นิพจน์นี้สามารถหาได้ทางลอการิทึมทั้งสองด้าน ลองทำสิ่งนี้โดยใช้ฐานใดก็ได้ z:

ลองใช้คุณสมบัติกัน (แทนที่จะเป็น "c" เท่านั้นที่เรามีนิพจน์):

จากที่นี่เราจะได้สูตรสากล:

.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า z=e แล้ว:

.

เราสามารถแสดงลอการิทึมเป็นฐานใดก็ได้ผ่านอัตราส่วนของลอการิทึมธรรมชาติสองตัว

เราแก้ปัญหา

เพื่อให้เข้าใจลอการิทึมธรรมชาติได้ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างปัญหาต่างๆ กัน

ปัญหาที่ 1- จำเป็นต้องแก้สมการ ln x = 3

สารละลาย:ใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราได้รับ:

ปัญหาที่ 2- แก้สมการ (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3

วิธีแก้ปัญหา: การใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: ถ้า แล้ว เราได้รับ:

.

ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึมอีกครั้ง:

.

ดังนั้น:

.

คุณสามารถคำนวณคำตอบโดยประมาณหรือจะทิ้งไว้ในแบบฟอร์มนี้ก็ได้

ภารกิจที่ 3แก้สมการ

สารละลาย:มาทดแทนกัน: t = ln x จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

.

เรามีสมการกำลังสอง เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

รากแรกของสมการ:

.

รากที่สองของสมการ:

.

เมื่อจำได้ว่าเราทำการทดแทน t = ln x เราจะได้:

ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ปริมาณลอการิทึมมักพบบ่อยมาก ซึ่งไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจ เพราะตัวเลข e มักจะสะท้อนถึงอัตราการเติบโตของปริมาณเอ็กซ์โพเนนเชียล

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การเขียนโปรแกรม และทฤษฎีคอมพิวเตอร์ มักพบลอการิทึมเพื่อเก็บ N บิตในหน่วยความจำ

ในทฤษฎีแฟร็กทัลและมิติ ลอการิทึมถูกนำมาใช้อย่างต่อเนื่อง เนื่องจากขนาดของแฟร็กทัลจะถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือเท่านั้น

ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ไม่มีส่วนที่ไม่ใช้ลอการิทึม การกระจายของบรรยากาศ หลักการทั้งหมดของอุณหพลศาสตร์เชิงสถิติ สมการซิโอลคอฟสกี้ ฯลฯ เป็นกระบวนการที่สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้โดยใช้ลอการิทึมเท่านั้น

ในวิชาเคมี ลอการิทึมใช้ในสมการ Nernst และคำอธิบายของกระบวนการรีดอกซ์

น่าประหลาดใจที่แม้แต่ในดนตรี เพื่อที่จะหาจำนวนส่วนของอ็อกเทฟ ก็มีการใช้ลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y=ln x คุณสมบัติ

การพิสูจน์คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติ

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ กราฟ ขอบเขตคำนิยาม เซตของค่า สูตรพื้นฐาน อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายตัวใน ซีรีย์พาวเวอร์และการแทนฟังก์ชัน ln x โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน

คำนิยาม

ลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชัน y = ใน xซึ่งเป็นค่าผกผันของเลขชี้กำลัง x = e y และเป็นลอการิทึมของฐานของจำนวน e: ln x = บันทึก อี x.

ลอการิทึมธรรมชาติใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ เนื่องจากอนุพันธ์ของลอการิทึมมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด: (ln x)′ = 1/ x.

ขึ้นอยู่กับ คำจำกัดความฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข จ:
อี ≅ 2.718281828459045...;
.

กราฟของฟังก์ชัน y = ใน x.

กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน y = ใน x) ได้มาจากกราฟเลขชี้กำลังโดยการสะท้อนกระจกสัมพันธ์กับเส้นตรง y = x

ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของตัวแปร x

มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ 0 ที่ x →

ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ (-∞)

เมื่อ x → + ∞ ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือบวกอนันต์ (+ ∞) สำหรับ x ขนาดใหญ่ ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ฟังก์ชันกำลังใดๆ x a ที่มีเลขชี้กำลังบวก a จะโตเร็วกว่าลอการิทึม

คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

ขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีค่าสุดโต่ง คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติแสดงอยู่ในตาราง

ค่า x

ใน 1 = 0

สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ สูตรต่อจากคำจำกัดความ:

ฟังก์ชันผกผัน

คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา

สูตรทดแทนเบส

ลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติได้โดยใช้สูตรการแทนที่ฐาน:

การพิสูจน์สูตรเหล่านี้แสดงไว้ในส่วน "ลอการิทึม"

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง

ถ้าอย่างนั้น.

ถ้าอย่างนั้น

อนุพันธ์ ln x
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

บูรณาการ

อินทิกรัลคำนวณโดยการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ:
.
ดังนั้น,

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z:
.
ลองแสดงตัวแปรที่ซับซ้อนกัน zผ่านโมดูล รและการโต้แย้ง φ :
.
จากคุณสมบัติของลอการิทึม เราได้:
.
หรือ
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ถ้าใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
มันจะเป็นตัวเลขเดียวกันสำหรับ n ที่แตกต่างกัน

ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว

การขยายซีรีย์พาวเวอร์

เมื่อการขยายตัวเกิดขึ้น:

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ลอการิทึมคืออะไร? วิธีการแก้ลอการิทึม? คำถามเหล่านี้ทำให้บัณฑิตหลายคนสับสน ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะสมการที่มีลอการิทึม

นี่ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดี. ตอนนี้ในเวลาเพียง 10 - 20 นาที คุณ:

1. เข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง- แม้ว่าคุณจะไม่ได้ยินอะไรเกี่ยวกับพวกเขาก็ตาม

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณเพียงแค่ต้องรู้ตารางสูตรคูณและวิธีบวกเลขยกกำลังเท่านั้น...

ฉันรู้สึกเหมือนคุณมีข้อสงสัย... เอาล่ะ ทำเครื่องหมายเวลาไว้! ไปกันเลย!

ขั้นแรก ให้แก้สมการนี้ในหัวของคุณ:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ลอการิทึมธรรมชาติ ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมของจำนวนธรรมชาติ"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

ลอการิทึมธรรมชาติคืออะไร

พวกเราในบทเรียนที่แล้วเราได้เรียนรู้สิ่งใหม่ หมายเลขพิเศษ– จ. วันนี้เราจะยังคงทำงานกับหมายเลขนี้
เราได้ศึกษาลอการิทึมและเรารู้ว่าฐานของลอการิทึมสามารถมีได้หลายจำนวนที่มากกว่า 0 วันนี้เราจะมาดูลอการิทึมที่มีฐานเป็นตัวเลข e กัน มันมีสัญกรณ์ของมันเอง: $\ln(n)$ คือลอการิทึมธรรมชาติ รายการนี้เทียบเท่ากับรายการ: $\log_e(n)=\ln(n)$
ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเป็นแบบผกผัน ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติจะกลับกันของฟังก์ชัน: $y=e^x$
ฟังก์ชันผกผันมีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง $y=x$
เรามาพลอตลอการิทึมธรรมชาติโดยพลอตฟังก์ชันเลขชี้กำลังเทียบกับเส้นตรง $y=x$

เป็นที่น่าสังเกตว่ามุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน $y=e^x$ ที่จุด (0;1) คือ 45° จากนั้น มุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของลอการิทึมธรรมชาติที่จุด (1;0) ก็จะเท่ากับ 45° เช่นกัน แทนเจนต์ทั้งสองนี้จะขนานกับเส้นตรง $y=x$ ลองวาดแผนภาพแทนเจนต์:

คุณสมบัติของฟังก์ชัน $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2.ไม่เป็นคู่หรือคี่
3. เพิ่มขึ้นตลอดทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
4. ไม่จำกัดจากด้านบน ไม่จำกัดจากด้านล่าง
5. คุ้มค่าที่สุดเลขที่, ค่าต่ำสุดเลขที่
6. ต่อเนื่อง.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. นูนขึ้น
9. สร้างความแตกต่างได้ทุกที่

ในการรู้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นมันได้รับการพิสูจน์แล้วว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันคือค่าผกผันของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด.
ไม่จำเป็นต้องเจาะลึกการพิสูจน์ มีเหตุผลมากลองเขียนสูตร: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ตัวอย่าง.
คำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: $y=\ln(2x-7)$ ที่จุด $x=4$
สารละลาย.
ใน มุมมองทั่วไปฟังก์ชันของเราแสดงโดยฟังก์ชัน $y=f(kx+m)$ เราสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวได้
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ลองคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่ต้องการ: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$
คำตอบ: 2.

ตัวอย่าง.
วาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน $y=ln(x)$ ที่จุด $х=е$
สารละลาย.
เราจำสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด $x=a$ ได้ดี
$y=f(ก)+ฉ"(ก)(x-a)$.
เราคำนวณค่าที่ต้องการตามลำดับ
$a=e$.
$f(ก)=f(อี)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
สมการแทนเจนต์ที่จุด $x=e$ คือฟังก์ชัน $y=\frac(x)(e)$
ลองพล็อตลอการิทึมธรรมชาติและเส้นสัมผัสกัน

ตัวอย่าง.
ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซ้อนและสุดขั้ว: $y=x^6-6*ln(x)$
สารละลาย.
โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน $D(y)=(0;+∞)$
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
อนุพันธ์มีอยู่แล้วสำหรับ x ทั้งหมดจากโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้น จุดวิกฤติเลขที่ มาหาจุดคงที่:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
จุด $x=-1$ ไม่ได้อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ แล้วเราก็มีอันหนึ่ง จุดนิ่ง$x=1$. ลองหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:

จุด $x=1$ คือจุดต่ำสุด จากนั้น $y_min=1-6*\ln(1)=1$
คำตอบ: ฟังก์ชันลดลงบนเซ็กเมนต์ (0;1 แต่ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบนเรย์ $)