อินทิกรัลออนไลน์ไม่มีกำหนด แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันและลักษณะทั่วไป

ก)บูรณาการโดยตรง

การค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันโดยอาศัยการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดโดยตรงและตารางสูตรอินทิกรัลพื้นฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันด้วยอินทิกรัลโดยตรง

ตัวอย่าง:

∫(เอ็กซ์–3) 2 วัน เอ็กซ์= ∫(เอ็กซ์ 2 –6เอ็กซ์+9)ง เอ็กซ์= ∫เอ็กซ์ 2 วัน เอ็กซ์- 6∫เอ็กซ์ง เอ็กซ์+9∫d เอ็กซ์=เอ็กซ์ 3 ∕3 -3เอ็กซ์ 2 +9เอ็กซ์+ส

ในกรณีส่วนใหญ่ เรากำลังเผชิญกับอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ไม่สามารถพบได้จากการอินทิเกรตโดยตรง ในกรณีนี้จำเป็นต้องทำการทดแทน (แทนที่ตัวแปร)

ข)บูรณาการโดยการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร)

การอินทิเกรตโดยการแทนที่หรือที่มักเรียกกันว่าวิธีการแทนตัวแปร เป็นหนึ่งในวิธีการอินทิเกรตที่มีประสิทธิภาพและแพร่หลายมากกว่า วิธีการทดแทนคือการย้ายจากตัวแปรอินทิเกรตที่กำหนดไปยังตัวแปรอื่นเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ปริพันธ์และลดขนาดให้เหลือประเภทอินทิกรัลแบบตารางประเภทใดประเภทหนึ่ง ในกรณีนี้ การเลือกการเปลี่ยนตัวจะขึ้นอยู่กับการตัดสินใจของนักแสดงเป็นรายบุคคล เนื่องจาก ไม่มีกฎทั่วไปที่ระบุว่าการเปลี่ยนตัวใด ในกรณีนี้เอา.

ตัวอย่าง:ค้นหาอินทิกรัล ∫ จ 2х+3วัน เอ็กซ์.

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ที่เกี่ยวข้องกับ t เอ็กซ์ตามมาติดๆ2 เอ็กซ์+ 3 =ต.

ลองหาส่วนต่างของด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันนี้: 2d เอ็กซ์=dt;ง เอ็กซ์=dt/2.

ตอนนี้แทนที่จะเป็น 2 เอ็กซ์+ 3 รหัส เอ็กซ์ให้เราแทนค่าของมันลงในปริพันธ์ จากนั้นเราจะได้: ∫ จ 2х+3วัน เอ็กซ์=∫จเสื้อ dt= จ t + C เมื่อกลับไปที่ตัวแปรก่อนหน้า ในที่สุดเราก็ได้นิพจน์:

∫จ 2х+3วัน เอ็กซ์=จ 2x+3 + ซี.

เพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลได้รับอย่างถูกต้อง คุณต้องมีฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ จ 2x+ 3 แยกความแตกต่างและตรวจสอบว่าจะมีหรือไม่ อนุพันธ์ของมันเท่ากับฟังก์ชันปริพันธ์หรือไม่:

(จ 2x+ 3)" =จ 2x+ 3 (2 เอ็กซ์+3)" =จ 2x+ 3 .

3. อินทิกรัลที่แน่นอนและคุณสมบัติของมัน

แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดจำนวนถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายสาขา ด้วยความช่วยเหลือของมัน พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง ปริมาตรของรูปร่างที่กำหนดเอง กำลังและการทำงานของแรงแปรผัน เส้นทางของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ โมเมนต์ความเฉื่อย และปริมาณอื่น ๆ อีกมากมาย

ใน
ในกรณีส่วนใหญ่ แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดถูกนำมาใช้เมื่อแก้ไขปัญหาในการกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ให้มีฟังก์ชันต่อเนื่อง y =f( เอ็กซ์) บนส่วน [ ก,ค- ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y=f( เอ็กซ์) กำหนด กโอ้, วีก nและส่วน [ ก,ค] แกน x เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง (รูปที่ 1)

ให้เรากำหนดภารกิจของเรา: กำหนดพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง กเอ โอ เอ n วี- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วน [ ก,ค] บน nไม่จำเป็น ส่วนที่เท่ากันและกำหนดจุดแบ่งดังนี้ ก=เอ็กซ์โอ < เอ็กซ์ 1 ‹ เอ็กซ์ 2 ‹ … ‹ เอ็กซ์ n = เข้า.

จากจุดหาร เราจะคืนค่าตั้งฉากกับจุดตัดด้วยเส้นโค้ง y = f( เอ็กซ์- ดังนั้นเราจึงแบ่งพื้นที่ทั้งหมดที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งออกเป็น nสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเบื้องต้น มาฟื้นฟูจาก จุดใดก็ได้แต่ละส่วน ∆ เอ็กซ์ ฉันออร์ดินาเตฟ(C ฉัน) จนกระทั่งตัดกับเส้นโค้ง y =f( เอ็กซ์- ต่อไป เราจะสร้างรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐาน ∆ เอ็กซ์ ฉัน และความสูง ฉ(ค ฉัน- จัตุรัสประถมศึกษา ฉันไทยสี่เหลี่ยมจะเป็น S ฉัน =ฉ(ค ฉัน)(เอ็กซ์ ฉัน -เอ็กซ์ ฉัน -1 ), และพื้นที่ทั้งหมด S nผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม:

ส n=f(C โอ)( เอ็กซ์ 1 -เอ็กซ์ o) +ฉ(C 1)( เอ็กซ์ 2 -เอ็กซ์ 1 ) + … +ฉ(ค พี- 1)(เอ็กซ์ n -เอ็กซ์ พี- 1).

เพื่อเป็นตัวย่อการป้อนจำนวนเงินนี้ ให้ป้อนสัญลักษณ์
(ซิกมา) – เครื่องหมายหมายถึงผลรวมของปริมาณ แล้ว

ส n =
.

จำนวนนี้ S พีซึ่งเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล อาจมีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่ามูลค่าที่แท้จริงของพื้นที่ที่กำหนดก็ได้ ค่าที่ใกล้เคียงที่สุดกับมูลค่าที่แท้จริงของพื้นที่จะเป็นขีดจำกัดของผลรวม โดยมีเงื่อนไขว่าส่วนเบื้องต้นจะถูกบดขยี้ ( พี→
) และความยาวนั้นเอง ส่วนใหญ่ ∆เอ็กซ์ สูงสุดจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เช่น:

ส=
(4)

เรียกว่าขีดจำกัดผลรวมสะสมนี้ (ถ้ามี) อินทิกรัลที่แน่นอนจากฟังก์ชันฟ( เอ็กซ์) บนส่วน [ ก,วี] และแสดงว่า:
=
(5)

(อ่านว่า “อินทิกรัลที่แน่นอนของ กถึง วี ef จาก x de x”)

ตัวเลข กและ วีเรียกว่าขีดจำกัดล่างและบนของการอินทิเกรต ตามลำดับ f( เอ็กซ์) – ฟังก์ชันปริพันธ์ย่อย; เอ็กซ์– ตัวแปรบูรณาการ การใช้สูตร (4) และ (5) เราสามารถเขียนได้ ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลของฟังก์ชันที่จำกัดสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งยึดตามช่วงเวลาการรวม [ก,วี]:

ข้อเท็จจริงข้อนี้เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต.

1. อินทิกรัลจำกัดไม่ขึ้นอยู่กับการกำหนดตัวแปร เช่น:
=
.

2. อินทิกรัลจำกัดเขตของผลรวมพีชคณิตเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขตของแต่ละเทอม:

= ฉ 1 ( เอ็กซ์)ง x + ฉ 2 ( เอ็กซ์)ง เอ็กซ์+ ….

แอปพลิเคชัน

บูรณาการออนไลน์บนเว็บไซต์สำหรับนักเรียนและเด็กนักเรียนเพื่อรวบรวมเนื้อหาที่พวกเขาครอบคลุม และฝึกฝนทักษะการปฏิบัติของคุณ โซลูชันอินทิกรัลออนไลน์ที่สมบูรณ์สำหรับคุณในเวลาไม่นานจะช่วยให้คุณกำหนดขั้นตอนทั้งหมดของกระบวนการได้ ทุกครั้งที่คุณเริ่มแก้ไขอินทิกรัลออนไลน์ คุณจะต้องระบุประเภทของมัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถใช้วิธีใด ๆ ได้ เว้นแต่คุณจะ พิจารณาอินทิกรัลเป็นตาราง ไม่ใช่ว่าอินทิกรัลของทุกตารางจะมองเห็นได้ชัดเจน ตัวอย่างที่ให้ไว้บางครั้งคุณต้องแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมเพื่อหาแอนติเดริเวทีฟ ในทางปฏิบัติ การแก้ปัญหาอินทิกรัลขึ้นอยู่กับการตีความปัญหาในการค้นหาต้นฉบับ นั่นคือ แอนติเดริเวทีฟจากตระกูลฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ถ้าให้ขีดจำกัดของอินทิเกรตแล้ว ตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ จะมีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น เหลือไว้เพื่อใช้คำนวณ อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ - อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ อินทิกรัลของฟังก์ชันออนไลน์คือผลรวมของตัวเลขใดๆ ที่มีไว้สำหรับการรวมเข้าด้วยกัน ดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลจำกัดเขตออนไลน์คือพื้นที่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแกน x ภายในขีดจำกัดของอินทิเกรต ตัวอย่างการแก้ปัญหาด้วยอินทิกรัล ให้เราประเมินอินทิกรัลเชิงซ้อนบนตัวแปรตัวเดียวและเชื่อมโยงคำตอบกับวิธีแก้ปัญหาต่อไป อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นไปได้ที่จะค้นหาอินทิกรัลของปริพันธ์โดยตรง อินทิกรัลใดๆ จะกำหนดพื้นที่ด้วยความแม่นยำสูง จำกัดด้วยเส้นตัวเลข นี่เป็นหนึ่งในของเขา ความหมายทางเรขาคณิต- วิธีนี้ช่วยให้นักเรียนง่ายขึ้น จริงๆ แล้วหลายขั้นตอนจะไม่ส่งผลกระทบมากนัก การวิเคราะห์เวกเตอร์- อินทิกรัลของฟังก์ชันออนไลน์คือแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล ตามทฤษฎีบทหลักของการวิเคราะห์ การบูรณาการคือการดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่าง ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาได้ สมการเชิงอนุพันธ์- มีหลายอย่าง คำจำกัดความที่แตกต่างกันการดำเนินการบูรณาการที่มีรายละเอียดทางเทคนิคแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดเข้ากันได้ กล่าวคือ หากสามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันที่กำหนดได้ 2 วิธีใดๆ ก็ตาม จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน วิธีที่ง่ายที่สุดคืออินทิกรัลรีมันน์ - อินทิกรัลจำกัดจำนวนหรืออินทิกรัลไม่จำกัด โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งสามารถใช้เป็นพื้นที่ใต้กราฟได้ (ตัวเลขที่อยู่ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแกน x) ปัญหาย่อยใดๆ ดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่าการคำนวณอินทิกรัลมีความจำเป็นอย่างยิ่งในช่วงเริ่มต้นของแนวทางที่สำคัญ อย่าลืมสิ่งนี้! เมื่อพยายามค้นหาพื้นที่นี้ เราสามารถพิจารณาตัวเลขที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแนวตั้งจำนวนหนึ่ง ซึ่งฐานซึ่งรวมกันเป็นส่วนหนึ่งของการรวมกลุ่ม และได้รับโดยการแบ่งส่วนออกเป็นส่วนเล็ก ๆ ตามจำนวนที่เหมาะสม การแก้ปริพันธ์ออนไลน์.. อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ การแก้อินทิกรัลออนไลน์: อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ เครื่องคิดเลขแก้ปริพันธ์พร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของการกระทำและฟรี! อินทิกรัลไม่จำกัดแบบออนไลน์สำหรับฟังก์ชันคือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง แสดงว่าฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ (หรือกลุ่มของแอนติเดริเวทีฟ) สำหรับฟังก์ชันนั้น อินทิกรัลจะกำหนดนิพจน์เท่านั้น ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่คุณกำหนดเมื่อเกิดความต้องการดังกล่าว เป็นการดีกว่าที่จะเข้าใกล้เรื่องนี้อย่างรอบคอบและสัมผัสกับความพึงพอใจภายในจากงานที่ทำเสร็จแล้ว แต่การคำนวณอินทิกรัลโดยใช้วิธีที่แตกต่างจากวิธีดั้งเดิมบางครั้งอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิด และไม่ควรแปลกใจกับสิ่งนี้ ฉันดีใจที่ข้อเท็จจริงนี้จะสะท้อนเชิงบวกต่อสิ่งที่เกิดขึ้น รายการอินทิกรัลจำกัดขอบเขตและอินทิกรัลไม่จำกัดพร้อมรายละเอียดครบถ้วน วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน- อินทิกรัลทั้งหมดพร้อมโซลูชันโดยละเอียดทางออนไลน์ อินทิกรัลไม่ จำกัด- การค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดทางออนไลน์เป็นงานที่พบบ่อยมาก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและสาขาวิชาเทคนิคอื่นๆ ของวิทยาศาสตร์ วิธีการบูรณาการเบื้องต้น คำจำกัดความของอินทิกรัล อินทิกรัลที่แน่นอน และไม่จำกัด ตารางอินทิกรัล สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ ขอย้ำอีกครั้งว่า คุณสามารถค้นหาอินทิกรัลของคุณได้โดยใช้ตารางนิพจน์อินทิกรัล แต่ก็ยังจำเป็นต้องทำให้สำเร็จ เนื่องจากทุกอย่างไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อมองแวบแรก คิดถึงอาคารที่สร้างเสร็จก่อนจะพบข้อผิดพลาด อินทิกรัลที่แน่นอนและวิธีการคำนวณ อินทิกรัลจำกัดขอบเขตแบบออนไลน์พร้อมตัวแปร ขีด จำกัด บน- การแก้อินทิกรัลออนไลน์ ตัวอย่างใดๆ ที่จะช่วยคำนวณอินทิกรัลส่วน สูตรตารางจะเป็นแนวทางที่เป็นประโยชน์สำหรับนักศึกษาทุกระดับการฝึกอบรม ขั้นตอนที่สำคัญที่สุดบนเส้นทางสู่คำตอบที่ถูกต้อง..ปริพันธ์ออนไลน์ ไม่ อินทิกรัลที่แน่นอนซึ่งมีเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึม- การแก้อินทิกรัลออนไลน์ - คุณจะได้รับ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับ ประเภทต่างๆปริพันธ์: ไม่แน่นอน, แน่นอน, ไม่เหมาะสม เครื่องคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอนจะคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนทางออนไลน์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ใช้ การบูรณาการเชิงตัวเลข- อินทิกรัลของฟังก์ชันคืออะนาล็อกของผลรวมของลำดับ พูดอย่างไม่เป็นทางการ อินทิกรัลจำกัดคือพื้นที่ส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน การแก้ปัญหาอินทิกรัลออนไลน์ .. อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่ จำกัด ออนไลน์และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ บ่อยครั้งที่อินทิกรัลดังกล่าวกำหนดว่าวัตถุนั้นหนักกว่าวัตถุที่มีความหนาแน่นเท่ากันมากน้อยเพียงใดเมื่อเปรียบเทียบกับวัตถุนั้น และไม่สำคัญว่ารูปร่างนั้นจะเป็นอย่างไร เนื่องจากพื้นผิวไม่ดูดซับน้ำ การแก้อินทิกรัลออนไลน์.. อินทิกรัลออนไลน์ - อินทิกรัลไม่จำกัดออนไลน์ และอินทิกรัลแน่นอนออนไลน์ นักเรียนรุ่นน้องทุกคนรู้วิธีค้นหาอินทิกรัลออนไลน์ บนพื้นฐานของหลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ส่วนนี้ก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน แต่ไม่ใช่ในรายละเอียด แต่เป็นเพียงพื้นฐานของหัวข้อที่ซับซ้อนและสำคัญเท่านั้น ในกรณีส่วนใหญ่ นักเรียนจะเริ่มเรียนอินทิกรัลด้วยทฤษฎีที่ครอบคลุมซึ่งอยู่หน้าด้วย หัวข้อสำคัญเช่นอนุพันธ์และทางผ่านไปยังขีดจำกัด - ต่างก็เป็นขีดจำกัดเช่นกัน การแก้อินทิกรัลจะค่อยๆ เริ่มตั้งแต่จุดแรกสุด ตัวอย่างเบื้องต้นจาก ฟังก์ชั่นง่ายๆและจบลงด้วยการประยุกต์ใช้แนวทางและกฎเกณฑ์มากมายที่เสนอในศตวรรษที่ผ่านมาและก่อนหน้านั้นมากด้วยซ้ำ แคลคูลัสอินทิกรัลมีลักษณะเป็นการเบื้องต้นในสถานศึกษาและโรงเรียน นั่นคือในระดับมัธยมศึกษา สถาบันการศึกษา- เว็บไซต์ของเราจะช่วยคุณเสมอและการแก้ไขอินทิกรัลออนไลน์จะกลายเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับคุณ และที่สำคัญที่สุดคืองานที่เข้าใจได้ ที่ฐาน ของทรัพยากรนี้คุณสามารถบรรลุความสมบูรณ์แบบได้อย่างง่ายดายในสิ่งนี้ ส่วนคณิตศาสตร์- โดยการทำความเข้าใจกฎที่คุณกำลังเรียนรู้ทีละขั้นตอน เช่น การบูรณาการทีละส่วนหรือการประยุกต์ใช้วิธีของ Chebyshev คุณสามารถตัดสินใจได้อย่างง่ายดาย ปริมาณสูงสุดคะแนนสำหรับการทดสอบใด ๆ แล้วเราจะคำนวณอินทิกรัลได้อย่างไรโดยใช้ตารางอินทิกรัลที่รู้จักกันดี แต่ด้วยวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ถูกต้อง และมีคำตอบที่แม่นยำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จะเรียนรู้สิ่งนี้ได้อย่างไรและเป็นไปได้ไหมที่น้องใหม่สามัญจะทำเช่นนี้? โดยเร็วที่สุด- มาตอบคำถามนี้ด้วยการยืนยัน - คุณทำได้! ในเวลาเดียวกัน คุณจะไม่เพียงแต่สามารถแก้ไขตัวอย่างใดๆ ได้เท่านั้น แต่ยังไปถึงระดับวิศวกรที่มีคุณสมบัติสูงอีกด้วย ความลับนั้นง่ายกว่าที่เคย - คุณต้องใช้ความพยายามอย่างเต็มที่และทุ่มเท ปริมาณที่ต้องการเวลาในการเตรียมตัวตนเอง น่าเสียดายที่ยังไม่มีใครคิดวิธีอื่นได้! แต่ไม่ใช่ทุกสิ่งที่มีเมฆมากอย่างที่เห็นเมื่อมองแวบแรก หากคุณติดต่อไซต์บริการของเราเพื่อถามคำถามนี้ เราจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้น เนื่องจากไซต์ของเราสามารถคำนวณอินทิกรัลออนไลน์โดยละเอียดด้วยความเร็วสูงมากและมีคำตอบที่แม่นยำไร้ที่ติ ที่แกนกลาง อินทิกรัลไม่ได้กำหนดว่าอัตราส่วนของข้อโต้แย้งส่งผลต่อเสถียรภาพของระบบโดยรวมอย่างไร หากทุกอย่างจะสมดุล พร้อมกับวิธีการที่คุณจะได้เรียนรู้พื้นฐานของสิ่งนี้ หัวข้อทางคณิตศาสตร์เซอร์วิสสามารถค้นหาอินทิกรัลของปริพันธ์ใดๆ หากอินทิกรัลนี้สามารถแก้ไขได้ในฟังก์ชันเบื้องต้น ใน มิฉะนั้นสำหรับอินทิกรัลที่ไม่ได้ใช้ในฟังก์ชันเบื้องต้น ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องค้นหาคำตอบในเชิงวิเคราะห์หรืออีกนัยหนึ่ง ในรูปแบบที่ชัดเจน การคำนวณอินทิกรัลทั้งหมดลงมาเพื่อกำหนดฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด ตามกฎของคณิตศาสตร์ออนไลน์ทั้งหมด จากนั้นหากจำเป็นให้แทนที่ค่าบนและล่างของอินทิกรัล หากไม่จำเป็นต้องกำหนดหรือคำนวณ ค่าตัวเลขอินทิกรัลไม่จำกัด จากนั้นค่าคงที่จะถูกบวกเข้ากับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟที่เป็นผลลัพธ์ จึงเป็นการกำหนดตระกูลของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ สถานที่พิเศษในสาขาวิทยาศาสตร์และสาขาวิศวกรรมทั่วไป รวมถึงสาขากลศาสตร์ ความต่อเนื่องการบูรณาการจะอธิบายระบบกลไกทั้งหมด การเคลื่อนไหว และอื่นๆ อีกมากมาย ในหลายกรณี อินทิกรัลที่คอมไพล์แล้วจะเป็นตัวกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ นี่เป็นเครื่องมือที่สำคัญมากในการเรียนรู้ วิทยาศาสตร์ประยุกต์- ด้วยเหตุนี้ จึงอดไม่ได้ที่จะกล่าวถึงการคำนวณขนาดใหญ่เพื่อกำหนดกฎแห่งการดำรงอยู่และพฤติกรรม ระบบเครื่องกล- เครื่องคิดเลขสำหรับการแก้ปริพันธ์ออนไลน์บนเว็บไซต์คือ เครื่องมืออันทรงพลังสำหรับวิศวกรมืออาชีพ เรารับประกันสิ่งนี้กับคุณอย่างแน่นอน แต่เราจะสามารถคำนวณอินทิกรัลของคุณได้หลังจากที่คุณป้อนนิพจน์ที่ถูกต้องลงในโดเมนของปริพันธ์แล้วเท่านั้น อย่ากลัวที่จะทำผิดพลาด ทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ในเรื่องนี้! โดยปกติแล้ว การแก้ปริพันธ์จะขึ้นอยู่กับการใช้ฟังก์ชันตารางจากหนังสือเรียนหรือสารานุกรมที่มีชื่อเสียง เช่นเดียวกับอินทิกรัลไม่ จำกัด อื่นๆ จะคำนวณโดยใช้สูตรมาตรฐานโดยไม่มีการวิพากษ์วิจารณ์ที่สำคัญ นักเรียนชั้นปีแรกเข้าใจเนื้อหาที่พวกเขาเรียนได้ทันทีอย่างเป็นธรรมชาติและง่ายดาย และบางครั้งการค้นหาอินทิกรัลอาจใช้เวลาไม่เกินสองนาทีสำหรับพวกเขา และถ้านักเรียนได้เรียนรู้ตารางอินทิกรัลแล้ว โดยทั่วไปแล้ว เขาก็จะสามารถหาคำตอบในหัวได้ การขยายฟังก์ชันตามตัวแปรที่สัมพันธ์กับพื้นผิวในตอนแรกหมายความว่าถูกต้อง ทิศทางเวกเตอร์ที่จุดแอบซิสซาบางจุด พฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้ของเส้นพื้นผิวจะใช้อินทิกรัลที่แน่นอนเป็นพื้นฐานในแหล่งกำเนิดการตอบสนอง ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์- ขอบด้านซ้ายของลูกบอลจะไม่สัมผัสกระบอกสูบที่วงกลมจารึกไว้ หากคุณดูรอยตัดในระนาบ ผลรวมของพื้นที่เล็กๆ ที่แบ่งออกเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบชิ้นๆ หลายร้อยฟังก์ชันคืออินทิกรัลออนไลน์ของ ฟังก์ชันที่กำหนด. ความหมายทางกลอินทิกรัลประกอบด้วยหลาย ๆ อย่าง ปัญหาที่นำไปใช้เป็นทั้งการกำหนดปริมาตรของร่างกายและการคำนวณมวลกาย ทริปเปิ้ลและ อินทิกรัลสองเท่าเกี่ยวข้องกับการคำนวณเหล่านี้เท่านั้น เรายืนยันว่าการแก้ปัญหาบูรณาการทางออนไลน์นั้นดำเนินการภายใต้การดูแลของครูผู้สอนที่มีประสบการณ์และผ่านการตรวจสอบหลายครั้ง เรามักถูกถามเกี่ยวกับประสิทธิภาพของนักเรียนที่ไม่ได้เข้าร่วมการบรรยาย ข้ามพวกเขาโดยไม่มีเหตุผล และวิธีที่พวกเขาจัดการเพื่อค้นหา อินทิกรัลนั้นเอง เราตอบว่านักเรียนเป็นคนอิสระและสามารถเรียนนอกสถานที่ได้ค่อนข้างมาก เตรียมสอบหรือสอบในบ้านของตนเองอย่างสะดวกสบาย ภายในเวลาไม่กี่วินาที บริการของเราจะช่วยให้ทุกคนคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันที่กำหนดใดๆ บนตัวแปรได้ ควรตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ในกรณีนี้ ค่าคงที่จากคำตอบของอินทิกรัลจะกลายเป็นศูนย์ กฎข้อนี้ใช้ได้กับทุกคนอย่างชัดเจน เนื่องจากการดำเนินการหลายทิศทางมีความสมเหตุสมผล อินทิกรัลไม่จำกัดจึงมักจะถูกลดเหลือเป็นการแบ่งโดเมนออกเป็นส่วนเล็กๆ อย่างไรก็ตาม นักเรียนและเด็กนักเรียนบางคนละเลยข้อกำหนดนี้ เช่นเคย เว็บไซต์บริการของเราสามารถแก้ไขได้โดยละเอียดเกี่ยวกับอินทิกรัลออนไลน์ และไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนคำขอ ทุกอย่างฟรีและพร้อมให้ทุกคนใช้งานได้ มีเว็บไซต์ไม่มากนักที่ให้คำตอบแบบทีละขั้นตอนในเวลาไม่กี่วินาที และที่สำคัญที่สุดคือ ความแม่นยำสูงและด้วยวิธีที่สะดวก ใน ตัวอย่างสุดท้ายในหน้าห้า การบ้านฉันเจอสิ่งที่บ่งบอกถึงความจำเป็นในการคำนวณอินทิกรัลทีละขั้นตอน แต่เราต้องไม่ลืมว่าจะหาอินทิกรัลโดยใช้บริการสำเร็จรูป ทดสอบตามเวลา และทดสอบกับตัวอย่างที่แก้ไขแล้วหลายพันรายการทางออนไลน์ได้อย่างไร การที่อินทิกรัลดังกล่าวกำหนดการเคลื่อนที่ของระบบนั้นแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนและชัดเจนแก่เราโดยธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของของไหลหนืด ซึ่งอธิบายโดยระบบสมการนี้

เราได้เห็นแล้วว่าอนุพันธ์มีประโยชน์หลายอย่าง: อนุพันธ์คือความเร็วของการเคลื่อนที่ (หรือโดยทั่วไปคือความเร็วของกระบวนการใด ๆ ); อนุพันธ์คือ ความลาดชันแทนกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วได้ อนุพันธ์ช่วยแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสม

แต่ใน ชีวิตจริงต้องตัดสินใจและ ปัญหาผกผัน: เช่น นอกจากปัญหาการหาความเร็วตามกฎการเคลื่อนที่ที่ทราบแล้ว ยังมีปัญหาในการคืนกฎการเคลื่อนที่ตามกฎการเคลื่อนที่ของความเร็วที่ทราบอีกด้วย ลองพิจารณาหนึ่งในปัญหาเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง จุดวัสดุความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ เวลา t กำหนดโดยสูตร u = tg ค้นหากฎการเคลื่อนที่

สารละลาย.ให้ s = s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ เป็นที่รู้กันว่า s"(t) = u"(t) ซึ่งหมายความว่าในการแก้ปัญหาคุณต้องเลือก การทำงาน s = s(t) ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ tg มันไม่ยากที่จะคาดเดาว่า

ให้เราทราบทันทีว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง แต่ไม่สมบูรณ์ เราพบว่า ที่จริงแล้ว ปัญหานั้นมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ตามของแบบฟอร์ม ค่าคงที่ตามใจชอบสามารถใช้เป็นกฎการเคลื่อนที่ได้ เนื่องจาก

เพื่อให้งานเฉพาะเจาะจงมากขึ้น เราจำเป็นต้องแก้ไขสถานการณ์เริ่มต้น: ระบุพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ที่ t=0 ถ้า สมมติว่า s(0) = s 0 จากนั้นเราจะได้ s(0) = 0 + C จากความเท่าเทียมกัน นั่นคือ S 0 = C ตอนนี้กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ:
ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการกลับกันถูกกำหนดไว้ ชื่อที่แตกต่างกันสร้างสัญลักษณ์พิเศษ เช่น กำลังสอง (x 2) และการแยกข้อมูล รากที่สองไซน์(sinх) และ อาร์คซีน(อาร์คซิน x) เป็นต้น กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่าอนุพันธ์ และการดำเนินการผกผัน กล่าวคือ กระบวนการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด - ปริพันธ์
คำว่า "อนุพันธ์" นั้นสามารถอ้างเหตุผลได้ "ในชีวิตประจำวัน": ฟังก์ชัน y - f(x) "ก่อให้เกิดการดำรงอยู่" คุณลักษณะใหม่ y"= f"(x) ฟังก์ชัน y = f(x) ทำหน้าที่เป็น "ผู้ปกครอง" แต่โดยธรรมชาติแล้วนักคณิตศาสตร์ไม่เรียกมันว่า "ผู้ปกครอง" หรือ "ผู้ผลิต" พวกเขาบอกว่ามันสัมพันธ์กับ ฟังก์ชัน y"=f"(x) รูปภาพปฐมภูมิ หรือเรียกสั้นๆ ว่าแอนติเดริเวทีฟ

คำจำกัดความ 1.ฟังก์ชัน y = F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วงเวลาที่กำหนด X ถ้า x ทั้งหมดจาก X มีความเท่าเทียมกัน F"(x)=f(x) คงอยู่

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วช่วง X จะไม่ถูกระบุ แต่เป็นการบอกเป็นนัย (เป็นโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

1) ฟังก์ชัน y = x 2 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (x 2)" = 2x เป็นจริง
2) ฟังก์ชัน y - x 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y-3x 2 เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (x 3)" = 3x 2 เป็นจริง
3) ฟังก์ชัน y-sinх เป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = cosx เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด ความเท่าเทียมกัน (sinx)" = cosx เป็นจริง
4) ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันต้านอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันในช่วงเวลา เนื่องจากสำหรับ x ทั้งหมด > 0 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
โดยทั่วไปการทราบสูตรการหาอนุพันธ์แล้วการรวบรวมตารางสูตรการหาแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องยาก

เราหวังว่าคุณจะเข้าใจวิธีการรวบรวมตารางนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เขียนในคอลัมน์ที่สองจะเท่ากับฟังก์ชันที่เขียนในแถวที่สอดคล้องกันของคอลัมน์แรก (ตรวจสอบสิ อย่าขี้เกียจ มันมีประโยชน์มาก) ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน y = x 5 แอนติเดริเวทีฟตามที่คุณจะกำหนดคือฟังก์ชัน (ดูแถวที่สี่ของตาราง)

หมายเหตุ: 1. ด้านล่างนี้ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) แล้วฟังก์ชัน y = f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และพวกมันทั้งหมดจะมีรูปแบบ y = F(x ) + C ดังนั้น การเพิ่มคำว่า C ทุกตำแหน่งในคอลัมน์ที่สองของตารางจะถูกต้องกว่า โดยที่ C เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้
2. เพื่อให้กระชับ บางครั้งแทนที่จะเป็นวลี “ฟังก์ชัน y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x)” พวกเขาบอกว่า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x) ”

2. กฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

เมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟเช่นเดียวกับเมื่อค้นหาอนุพันธ์ ไม่เพียงแต่ใช้สูตรเท่านั้น (แสดงอยู่ในตารางในหน้า 196) แต่ยังมีกฎบางอย่างด้วย เกี่ยวข้องโดยตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องในการคำนวณอนุพันธ์

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 1แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ

เราดึงความสนใจของคุณไปที่ "ความบางเบา" ของสูตรนี้ ที่จริงแล้ว ควรกำหนดทฤษฎีบท: ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) มีแอนติเดริเวทีฟบนช่วง X ตามลำดับ y-F(x) และ y-G(x) แล้วผลรวมของฟังก์ชัน y = f(x)+g(x) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วง X และแอนติเดริเวทีฟนี้คือฟังก์ชัน y = F(x)+G(x) แต่โดยปกติแล้ว เมื่อกำหนดกฎเกณฑ์ (ไม่ใช่ทฤษฎีบท) กฎเหล่านั้นจะทิ้งไว้เท่านั้น คำหลัก- ทำให้สะดวกยิ่งขึ้นในการนำกฎไปใช้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x + cos x

สารละลาย.แอนติเดริเวทีฟสำหรับ 2x คือ x" แอนติเดริเวทีฟของ cox คือ sin x ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x + cos x จะเป็นฟังก์ชัน y = x 2 + sin x (และโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบนี้ Y = x 1 + ซินx + C) .
เรารู้ว่าตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 2 ตัวคูณคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของแอนติเดริเวทีฟได้

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย.ก) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -soz x; ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = 5 sin x ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน y = -5 cos x

b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชัน
c) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 3 คือแอนติเดริเวทีฟสำหรับ x แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 1 คือฟังก์ชัน y = x เมื่อใช้กฎข้อแรกและกฎข้อที่สองในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราจะพบว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 12x 3 + 8x-1 คือฟังก์ชัน
ความคิดเห็นดังที่ทราบกันดีว่าอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ไม่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ (กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์นั้นซับซ้อนกว่า) และอนุพันธ์ของผลหารไม่เท่ากับผลหารของอนุพันธ์ ดังนั้นจึงไม่มีกฎเกณฑ์ในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือแอนติเดริเวทีฟของผลหารของสองฟังก์ชัน ระวัง!
ขอให้เราได้รับกฎอีกข้อหนึ่งในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(kx+m) คำนวณโดยสูตร

กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ
กฎข้อที่ 3ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) แล้วแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y=f(kx+m) จะเป็นฟังก์ชัน

ในความเป็นจริง,

นี่หมายความว่ามันเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(kx+m)
ความหมายของกฎข้อที่สามมีดังนี้ หากคุณรู้ว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) คือฟังก์ชัน y = F(x) และคุณจำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(kx+m) ให้ดำเนินการดังนี้: ฟังก์ชันเดียวกัน F แต่แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ x ให้แทนที่นิพจน์ kx+m นอกจากนี้อย่าลืมเขียน "ตัวประกอบการแก้ไข" หน้าเครื่องหมายฟังก์ชันด้วย
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด:

สารละลาย, a) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ sin x คือ -soz x; ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = sin2x แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน
b) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ cos x คือ sin x; ซึ่งหมายความว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชัน

c) แอนติเดริเวทีฟสำหรับ x 7 หมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน y = (4-5x) 7 แอนติเดริเวทีฟจะเป็นฟังก์ชัน

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด

เราได้สังเกตไปแล้วข้างต้นว่าปัญหาในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด y = f(x) มีวิธีแก้ปัญหามากกว่าหนึ่งวิธี เรามาหารือเกี่ยวกับปัญหานี้โดยละเอียด

การพิสูจน์. 1. ให้ y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วง X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจาก X ความเท่าเทียมกัน x"(x) = f(x) คงอยู่ ให้เรา ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ในรูปแบบ y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = ฉ(x) +0 = ฉ(x)

ดังนั้น (F(x)+C) = f(x) ซึ่งหมายความว่า y = F(x) + C เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x)
ดังนั้น เราได้พิสูจน์แล้วว่าถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ y=F(x) แล้วฟังก์ชัน (f = f(x) ก็มีแอนติเดริเวทีฟจำนวนมากอย่างไม่จำกัด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = F(x) +C เป็นแอนติเดริเวทีฟ
2. เรามาพิสูจน์กัน ประเภทที่ระบุฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งชุดจะหมดลง

กำหนดให้ y=F 1 (x) และ y=F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสองตัวสำหรับฟังก์ชัน Y = f(x) บนช่วง X ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมดจากช่วง X ความสัมพันธ์ต่อไปนี้คงอยู่: F^ ( x) = ฉ (X); ฉ"(x) = ฉ(x)

ลองพิจารณาฟังก์ชัน y = F 1 (x) -.F(x) แล้วหาอนุพันธ์ของมัน: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - ฉ(x) = 0.
เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วง X เท่ากับศูนย์เท่ากัน ฟังก์ชันนั้นจะคงที่ในช่วง X (ดูทฤษฎีบท 3 จาก § 35) ซึ่งหมายความว่า F 1 (x) - F (x) = C เช่น Fx) = F(x)+C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 5กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วตามเวลาได้รับ: v = -5sin2t ค้นหากฎการเคลื่อนที่ s = s(t) หากทราบว่า ณ เวลา t=0 พิกัดของจุดนั้นเท่ากับเลข 1.5 (เช่น s(t) = 1.5)

สารละลาย.เนื่องจากความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดในรูปฟังก์ชันของเวลา ก่อนอื่นเราต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟของความเร็วก่อน เช่น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน v = -5sin2t แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งคือฟังก์ชัน และเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะมีรูปแบบดังนี้

เพื่อค้นหา ความหมายเฉพาะค่าคงที่ C ลองใช้กัน เงื่อนไขเริ่มต้นโดยที่ s(0) = 1.5 แทนที่ค่า t=0, S = 1.5 ลงในสูตร (1) เราจะได้:

แทนที่ค่าที่พบของ C เป็นสูตร (1) เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ที่เราสนใจ:

คำจำกัดความ 2ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีแอนติเดริเวทีฟ y = F(x) บนช่วง X แล้วเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด กล่าวคือ เซตของฟังก์ชันในรูปแบบ y = F(x) + C เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน y = f(x) และเขียนแทนด้วย:

(อ่าน: “อินทิกรัลไม่จำกัด ef จาก x de x”)
ในย่อหน้าถัดไปเราจะค้นหาว่าคืออะไร ความหมายที่ซ่อนอยู่การกำหนดที่ระบุ
จากตารางแอนติเดริเวทีฟที่มีอยู่ในส่วนนี้ เราจะรวบรวมตารางอินทิกรัลไม่จำกัดหลักๆ ดังนี้

ตามกฎสามข้อข้างต้นในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ เราสามารถกำหนดกฎการรวมที่สอดคล้องกันได้

กฎข้อที่ 1อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชัน เท่ากับผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้:

กฎข้อที่ 2ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

กฎข้อที่ 3ถ้า

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด :

สารละลาย, a) เราได้รับกฎการรวมกฎข้อที่หนึ่งและที่สอง:

ตอนนี้ลองใช้สูตรการรวมที่ 3 และ 4:

เป็นผลให้เราได้รับ:

b) เราได้รับกฎข้อที่สามของการรวมและสูตร 8:

ค) สำหรับ ตำแหน่งทันทีสำหรับอินทิกรัลที่กำหนด เราไม่มีสูตรที่ตรงกันหรือกฎที่ตรงกัน ในกรณีเช่นนี้ให้ดำเนินการล่วงหน้า การเปลี่ยนแปลงตัวตนนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

มาใช้ประโยชน์กันเถอะ สูตรตรีโกณมิติการลดระดับ:

จากนั้นเราจะพบตามลำดับ:

เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

การวางแผนตามปฏิทินในวิชาคณิตศาสตร์ วิดีโอในคณิตศาสตร์ออนไลน์ คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

บทเรียนนี้เป็นบทเรียนแรกในชุดวิดีโอเกี่ยวกับการบูรณาการ ในนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคืออะไร และยังศึกษาวิธีการเบื้องต้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ด้วย

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่: โดยพื้นฐานแล้วทั้งหมดขึ้นอยู่กับแนวคิดของอนุพันธ์ซึ่งคุณน่าจะคุ้นเคยอยู่แล้ว :)

ฉันจะทราบทันทีว่าเนื่องจากนี่เป็นบทเรียนแรกสุดของเรา หัวข้อใหม่จะไม่มีวันนี้เลย การคำนวณที่ซับซ้อนและสูตร แต่สิ่งที่เราจะศึกษาในวันนี้จะเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณและการสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อทำการคำนวณ อินทิกรัลที่ซับซ้อนและสี่เหลี่ยม

นอกจากนี้ เมื่อเริ่มศึกษาการอินทิเกรตและอินทิกรัลโดยเฉพาะ เราจะถือว่านักเรียนมีความคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นอย่างน้อยแล้ว และมีทักษะพื้นฐานในการคำนวณเป็นอย่างน้อย หากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในเรื่องนี้ ก็ไม่ต้องทำอะไรเลยในการบูรณาการ

อย่างไรก็ตามนี่คือหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยและร้ายกาจที่สุด ความจริงก็คือเมื่อเริ่มคำนวณแอนติเดริเวทีฟตัวแรก นักเรียนหลายคนสับสนกับอนุพันธ์ ส่งผลให้ในการสอบและ งานอิสระมีการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจ

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแอนติเดริเวทีฟ ในทางกลับกัน ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิธีการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะง่ายๆ

แอนติเดริเวทีฟคืออะไรและคำนวณอย่างไร?

เรารู้สูตรนี้:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

อนุพันธ์นี้คำนวณง่ายๆ:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ลองดูนิพจน์ผลลัพธ์อย่างละเอียดและแสดง $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

แต่เราสามารถเขียนมันแบบนี้ ตามนิยามของอนุพันธ์ได้:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

ทีนี้สนใจ: สิ่งที่เราเพิ่งเขียนลงไปคือนิยามของแอนติเดริเวทีฟ แต่เพื่อที่จะเขียนให้ถูกต้องคุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ให้เราเขียนนิพจน์ต่อไปนี้ในลักษณะเดียวกัน:

หากเราสรุปกฎนี้ เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ตอนนี้เราสามารถกำหนดคำจำกัดความที่ชัดเจนได้แล้ว

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม

คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

ดูเหมือนเป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างง่ายและเข้าใจได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อได้ยินเช่นนั้น นักเรียนที่เอาใจใส่จะมีคำถามหลายข้อทันที:

สมมุติว่า โอเค สูตรนี้ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ $n=1$ เราประสบปัญหา: “ศูนย์” ปรากฏในตัวส่วน และเราไม่สามารถหารด้วย “ศูนย์” ได้
สูตรจำกัดเฉพาะองศาเท่านั้น วิธีคำนวณค่าแอนติเดริเวทีฟ เช่น ไซน์ โคไซน์ และตรีโกณมิติอื่นๆ รวมถึงค่าคงที่
คำถามที่มีอยู่: เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟ? ถ้าใช่ แล้วแอนติเดริเวทีฟของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ ฯลฯ ล่ะ?

บน คำถามสุดท้ายฉันจะตอบทันที น่าเสียดายที่แอนติเดริเวทีฟไม่เหมือนกับอนุพันธ์เสมอไป ไม่มีสิ่งนั้น สูตรสากลโดยจากการก่อสร้างเริ่มต้นใด ๆ เราจะได้รับฟังก์ชันที่จะเท่ากับการก่อสร้างที่คล้ายกันนี้ สำหรับพลังและค่าคงที่ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลัง

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

อย่างที่เราเห็น สูตรนี้ for $((x)^(-1))$ ไม่ทำงาน คำถามเกิดขึ้น: แล้วอะไรล่ะที่ใช้ได้ผล? เรานับ $((x)^(-1))$ ไม่ได้เหรอ? แน่นอนเราทำได้ เรามาจำสิ่งนี้กันก่อน:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ ลองคิดดู: อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับ $\frac(1)(x)$ เห็นได้ชัดว่านักเรียนคนใดที่ได้ศึกษาหัวข้อนี้อย่างน้อยก็จะจำได้ว่านิพจน์นี้เท่ากับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างมั่นใจ:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

คุณต้องรู้สูตรนี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

ดังนั้นสิ่งที่เรารู้จนถึงตอนนี้:

สำหรับฟังก์ชันยกกำลัง - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
สำหรับค่าคงที่ - $=const\to \cdot x$
กรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลังคือ $\frac(1)(x)\to \ln x$

และถ้าเราเริ่มคูณและหารฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด แล้วเราจะคำนวณแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือผลหารได้อย่างไร น่าเสียดายที่การเปรียบเทียบกับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์หรือผลหารใช้ไม่ได้ผลที่นี่ ใดๆ สูตรมาตรฐานไม่มีอยู่จริง ในบางกรณีอาจมีสูตรพิเศษที่ซับซ้อน - เราจะทำความคุ้นเคยกับสูตรเหล่านี้ในบทเรียนวิดีโอหน้า

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่า: สูตรทั่วไปซึ่งเป็นสูตรที่คล้ายกันในการคำนวณอนุพันธ์ของผลหารและไม่มีผลิตภัณฑ์อยู่

การแก้ปัญหาที่แท้จริง

ภารกิจที่ 1

เอาละครับ ฟังก์ชั่นพลังงานมาคำนวณแยกกัน:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

กลับไปที่การแสดงออกของเรา เราเขียนโครงสร้างทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้วว่า ต้นแบบของงานและไม่ถือว่า "ผ่าน" ส่วนตัว อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ที่นี่:

เราแยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

ข่าวดีก็คือ เมื่อทราบสูตรในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟแล้ว คุณก็จะสามารถคำนวณเพิ่มเติมได้แล้ว การออกแบบที่ซับซ้อน- อย่างไรก็ตาม เรามาต่อและขยายความรู้ของเราอีกสักหน่อย ความจริงก็คือ โครงสร้างและสำนวนจำนวนมาก ซึ่งเมื่อมองแวบแรกไม่เกี่ยวข้องกับ $((x)^(n))$ สามารถแสดงเป็นกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลกล่าวคือ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

เทคนิคทั้งหมดนี้สามารถและควรนำมารวมกัน การแสดงออกถึงพลังสามารถ

ทวีคูณ (เพิ่มองศา);
หาร (ลบองศา);
คูณด้วยค่าคงที่
ฯลฯ

การแก้นิพจน์ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

ตัวอย่าง #1

มาคำนวณแต่ละรูตแยกกัน:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

โดยรวมแล้วการก่อสร้างทั้งหมดของเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

โดยรวมแล้วเมื่อรวบรวมทุกอย่างไว้ในนิพจน์เดียวเราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่างหมายเลข 3

ก่อนอื่น โปรดทราบว่าเราได้คำนวณ $\sqrt(x)$ แล้ว:

\[\sqrt(x)\ถึง \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

มาเขียนใหม่:

หวังว่าจะไม่ทำให้ใครแปลกใจถ้าจะบอกว่าสิ่งที่เราเพิ่งศึกษามาคือที่สุด การคำนวณง่ายๆดั้งเดิมซึ่งเป็นโครงสร้างเบื้องต้นที่สุด ตอนนี้เรามาดูกันอีกสักหน่อย ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งนอกเหนือจากแอนติเดริเวทีฟแบบตารางแล้ว คุณจะต้องจำด้วย หลักสูตรของโรงเรียนคือสูตรคูณแบบย่อ

การแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ภารกิจที่ 1

ให้เราจำสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

มาเขียนฟังก์ชันของเราใหม่:

ตอนนี้เราต้องค้นหาต้นแบบของฟังก์ชันดังกล่าว:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

มารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเป็นโครงสร้างทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องขยายลูกบาศก์ส่วนต่าง จำไว้ว่า:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ข)^(3))\]

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้แล้ว เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาเปลี่ยนฟังก์ชั่นของเรากันหน่อย:

เรานับเช่นเคย - สำหรับแต่ละเทอมแยกกัน:

\[((x)^(-3))\ถึง \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ถึง \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

ให้เราเขียนผลการก่อสร้าง:

ปัญหาหมายเลข 3

ที่ด้านบนสุด เรามีกำลังสองของผลรวม ลองขยายดู:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายกัน:

ตอนนี้ให้ความสนใจ! มาก สิ่งสำคัญซึ่งมันเชื่อมต่ออยู่ด้วย ส่วนแบ่งของสิงโตข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิด ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้ การนับแอนติเดริเวทีฟโดยใช้อนุพันธ์และการแปลง เราไม่ได้คิดว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่จะเท่ากับเท่าใด แต่อนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเขียนตัวเลือกต่อไปนี้:

$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+C$

นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องเข้าใจ: หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากันเสมอ ฟังก์ชันเดียวกันนั้นก็จะมีแอนติเดริเวทีฟเป็นจำนวนอนันต์ เราสามารถบวกจำนวนคงที่ใดๆ เข้ากับแอนติเดริเวทีฟแล้วหาค่าใหม่ได้

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการอธิบายปัญหาที่เราเพิ่งแก้ไขมีเขียนว่า "เขียนลงไป" มุมมองทั่วไปดั้งเดิม” เหล่านั้น. สันนิษฐานล่วงหน้าแล้วว่าไม่มีหนึ่งในนั้น แต่มีจำนวนมากทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้ว พวกมันต่างกันเพียงค่าคงที่ $C$ ในตอนท้ายเท่านั้น ดังนั้นในงานของเราเราจะแก้ไขสิ่งที่เรายังทำไม่เสร็จ

เราเขียนสิ่งก่อสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

ในกรณีเช่นนี้ คุณควรเพิ่มว่า $C$ เป็นค่าคงที่ - $C=const$

ในฟังก์ชันที่สองของเรา เราจะได้โครงสร้างดังต่อไปนี้:

และอันสุดท้าย:

และตอนนี้เราได้สิ่งที่จำเป็นจากเราในสภาพดั้งเดิมของปัญหาแล้ว

การแก้ปัญหาการหาแอนติเดริเวทีฟด้วยจุดที่กำหนด

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับค่าคงที่และลักษณะเฉพาะของการเขียนแอนติเดริเวทีฟแล้ว มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ ประเภทถัดไปปัญหาเมื่อจากเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด จำเป็นต้องค้นหาอันเดียวที่จะผ่านเข้าไป จุดที่กำหนด- งานนี้คืออะไร?

ความจริงก็คือว่าแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดจะแตกต่างกันเพียงแต่ว่าพวกมันจะถูกเลื่อนในแนวตั้งด้วยจำนวนที่แน่นอนเท่านั้น และนี่หมายความว่าไม่ว่าจุดไหนก็ตาม ประสานงานเครื่องบินเราไม่ได้เอามันไป แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะผ่านไปแน่นอน และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น

ดังนั้นงานที่เราจะแก้ไขตอนนี้จึงถูกกำหนดไว้แล้ว ดังต่อไปนี้: การค้นหาแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องง่ายโดยรู้สูตรของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่ต้องเลือกอันใดอันหนึ่งที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งพิกัดจะได้รับในคำชี้แจงปัญหา

ตัวอย่าง #1

ขั้นแรก เรามานับแต่ละเทอมกันก่อน:

\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ถึง \frac(((x)^(4)))(4)\]

ตอนนี้เราแทนที่สำนวนเหล่านี้ในโครงสร้างของเรา:

ฟังก์ชันนี้จะต้องผ่านจุด $M\left(-1;4 \right)$ มันหมายความว่าอะไรที่จะผ่านจุด? ซึ่งหมายความว่าหากแทนที่จะใส่ $x$ เราใส่ $-1$ ทุกที่ และแทนที่จะเป็น $F\left(x \right)$ เราใส่ $-4$ เราก็ควรจะได้ค่าที่ถูกต้อง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข- มาทำสิ่งนี้กัน:

เราเห็นว่าเรามีสมการสำหรับ $C$ ดังนั้นลองแก้มันกัน:

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหากัน:

ตัวอย่างหมายเลข 2

ก่อนอื่น จำเป็นต้องเปิดเผยกำลังสองของความแตกต่างโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

โครงสร้างเดิมจะเขียนดังนี้:

ทีนี้ลองหา $C$: แทนที่พิกัดของจุด $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

เราแสดง $C$:

ยังคงแสดงนิพจน์สุดท้าย:

การแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

เช่น คอร์ดสุดท้ายนอกเหนือจากสิ่งที่เราเพิ่งพูดคุยกัน ฉันเสนอให้พิจารณาอีกสองเรื่อง งานที่ซับซ้อนซึ่งมีตรีโกณมิติ ในทำนองเดียวกันคุณจะต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดจากนั้นเลือกจากชุดนี้เพียงอันเดียวที่ผ่านจุด $M$ บนระนาบพิกัด

เมื่อมองไปข้างหน้า ผมอยากจะสังเกตว่าเทคนิคที่เราจะใช้เพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟตอนนี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอันที่จริงแล้วเป็นเทคนิคสากลสำหรับการทดสอบตัวเอง

ภารกิจที่ 1

จำสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

จากนี้เราสามารถเขียนได้:

ลองแทนที่พิกัดของจุด $M$ ในนิพจน์ของเรา:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

นี่จะยากขึ้นเล็กน้อย ตอนนี้คุณจะเห็นว่าทำไม

จำสูตรนี้ไว้:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

ในการกำจัด "ลบ" คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

นี่คือการออกแบบของเรา

ลองแทนพิกัดของจุด $M$:

โดยรวมแล้วเราเขียนการก่อสร้างขั้นสุดท้าย:

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับวันนี้ เราศึกษาคำว่าแอนติเดริเวทีฟด้วยตัวเอง วิธีการนับพวกมัน ฟังก์ชั่นเบื้องต้นตลอดจนวิธีค้นหาแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดเฉพาะบนระนาบพิกัด

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสิ่งนี้อย่างน้อย หัวข้อที่ซับซ้อน- ไม่ว่าในกรณีใด ขึ้นอยู่กับแอนติเดริเวทีฟที่มีการสร้างอินทิกรัลไม่จำกัดและอินทิกรัลไม่จำกัด ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องคำนวณพวกมัน นั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน แล้วพบกันใหม่!