อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ณ จุดใด? เครื่องคิดเลขออนไลน์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือค่าหนึ่งของ หัวข้อที่ยากลำบากวี หลักสูตรของโรงเรียน- ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี- ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย

จำคำจำกัดความ:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:

กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ

โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่ามีฟังก์ชั่นเดียวกันใน จุดที่แตกต่างกันอาจมี ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์ - นั่นคือสามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้

เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ

มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟฟังก์ชันขึ้นไปสูงชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีเพียงเส้นเดียว จุดทั่วไปด้วยกราฟและดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม

มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าแทนเจนต์ของมุมแหลมเข้า สามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วน ขาตรงข้ามไปยังที่อยู่ติดกัน จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง- มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราเข้าใจแล้ว

เรามาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์

เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่ และลดลงในบางพื้นที่ และด้วย ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน- และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดจะเกิดขึ้น มุมแหลม- โดยมีทิศทางแกนบวก ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้าน โดยมีทิศทางแกนบวก ตั้งแต่แทนเจนต์ มุมป้านเป็นลบ ณ จุดอนุพันธ์เป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ

จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นค่าแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้ เท่ากับศูนย์และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันได้

หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "ลบ" เป็น "บวก"

มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

	เพิ่มขึ้น	จุดสูงสุด	ลดลง	จุดต่ำสุด	เพิ่มขึ้น
+	0	-	0	+

ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง เส้นสัมผัสของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้

งาน.

ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-5; 6) รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ค้นหาระหว่างจุด x 1, x 2, ..., x 7 จุดเหล่านั้นที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับศูนย์ ในการตอบสนองให้เขียนจำนวนคะแนนที่พบ

สารละลาย:

หลักการในการแก้ปัญหานี้คือ มี 3 ประการ พฤติกรรมที่เป็นไปได้ฟังก์ชั่นในช่วงเวลานี้:

1) เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (อนุพันธ์มีมากกว่าศูนย์)

2) เมื่อฟังก์ชันลดลง (โดยที่อนุพันธ์น้อยกว่าศูนย์)

3) เมื่อฟังก์ชันไม่เพิ่มหรือลดลง (โดยที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่)

เราสนใจตัวเลือกที่สาม

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์โดยที่ฟังก์ชันราบรื่นและไม่มีอยู่ที่จุดพัก ลองดูที่จุดเหล่านี้ทั้งหมด

x 1 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f′(x) >0

x 2 - ฟังก์ชันใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f ′(x) = 0

x 3 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่

x 4 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่

x 5 - อนุพันธ์ f ′(x) = 0

x 6 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f'(x) >0

x 7 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่นซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ f ′(x) = 0

เราเห็นแล้วว่า f ′(x) = 0 ที่จุด x 2, x 5 และ x 7 รวมเป็น 3 คะแนน

การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ของมัน ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการศึกษากราฟของฟังก์ชัน ในปัญหาดังกล่าว จะมีการกำหนดกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) และมีคำถามที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นค่าบวก (หรือลบ) รวมถึงคำถามอื่นๆ ด้วย จัดเป็นงานในการประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน

การแก้ปัญหาดังกล่าวและในปัญหาทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีความเข้าใจอย่างครบถ้วนเกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุพันธ์เพื่อศึกษากราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์ ดังนั้นฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณศึกษาทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง สามารถศึกษาและดูได้ (แต่มีบทสรุปสั้นๆ)

เราจะพิจารณาปัญหาที่ให้กราฟอนุพันธ์ในบทความหน้าด้วย อย่าพลาด! ดังนั้นภารกิจ:

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−6; 8) กำหนด:

1. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ

2. จำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 2;

1. อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง นั่นคือ ในช่วงเวลา (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) ประกอบด้วยจุดจำนวนเต็ม −5, −4, 1, 2, 3, 4 และ 7 เราได้ 7 คะแนน

2. โดยตรง ย= 2 ขนานกับแกนโอ้ย= 2 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น (จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน) มีสี่จุดดังกล่าว: –3; 0; 4.2; 6.9

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−5; 5) กำหนด:

2. จำนวนจุดจำนวนเต็มซึ่งแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 3;

3. จำนวนจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์

1. จากคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นที่ทราบกันว่าเป็นบวกในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเช่น ในช่วงเวลา (1.4; 2.5) และ (4.4; 5) พวกเขามีเพียงหนึ่งเดียว จุดทั้งหมด x = 2

2. โดยตรง ย= 3 ขนานกับแกนโอ้- เส้นสัมผัสจะขนานกับเส้นตรงย= 3 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น ( ณ จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน)

มีสี่จุดดังกล่าว: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. อนุพันธ์เป็นศูนย์ที่ สี่คะแนน(ที่จุดสุดขีด) เราได้ระบุไว้แล้ว

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เป็นลบ

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (−2; 12) หา:

1. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก

2. จำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ

3. จำนวนจุดจำนวนเต็มซึ่งแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับเส้นตรง y = 2;

4. จำนวนจุดที่อนุพันธ์เป็นศูนย์

1. จากคุณสมบัติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นที่ทราบกันว่าเป็นบวกในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเช่น ในช่วงเวลา (–2; 1), (2; 4), (7; 9) และ ( 10; 11) ประกอบด้วยจุดจำนวนเต็ม: –1, 0, 3, 8 มีทั้งหมดสี่จุด

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง นั่นคือ ในช่วงเวลา (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12) มีจำนวนเต็ม 5 และ 6 เราได้ 2 คะแนน

3. โดยตรง ย= 2 ขนานกับแกนโอ้- เส้นสัมผัสจะขนานกับเส้นตรงย= 2 เฉพาะที่จุดสุดขั้วเท่านั้น ( ณ จุดที่กราฟเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลงหรือกลับกัน) มีเจ็ดประเด็นดังกล่าว: 1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่เจ็ดจุด (ที่จุดสุดขีด) เราได้ระบุไว้แล้ว

เมื่อตัดสินใจ งานต่างๆเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และความรู้สาขาอื่นๆ กลายเป็นสิ่งจำเป็นโดยใช้กระบวนการวิเคราะห์เดียวกันจากฟังก์ชันนี้ y=ฉ(x)รับ คุณลักษณะใหม่ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์) ของฟังก์ชันที่กำหนด f(x)และถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์

กระบวนการที่มาจากฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)รับคุณสมบัติใหม่ ฉ" (x), เรียกว่า ความแตกต่างและประกอบด้วย 3 ขั้นตอนดังนี้ 1) ให้ข้อโต้แย้ง xเพิ่มขึ้น  xและกำหนดส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน  y = ฉ(x+ x) -ฉ(x)- 2) สร้างความสัมพันธ์

3) การนับ xคงที่และ  x0, เราหาได้
ซึ่งเราแสดงโดย ฉ" (x)ราวกับว่าเป็นการเน้นว่าฟังก์ชันผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับค่าเท่านั้น xซึ่งเราไปถึงขีดจำกัดแล้ว คำนิยาม: อนุพันธ์ y " =f " (x) ฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) สำหรับ x ที่กำหนดเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ถ้าแน่นอน มีขีดจำกัดนี้อยู่ เช่น มีจำกัด
ดังนั้น,

, หรือ xโปรดทราบว่าหากมีค่าใดค่าหนึ่ง เช่น เมื่อใด x=ก
, ทัศนคติ  xที่ 0 ไม่มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้นขีดจำกัดอันจำกัด ฉ(x)แล้วในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าฟังก์ชัน เช่น เมื่อใดที่ เช่น เมื่อใด(หรือตรงจุด. เช่น เมื่อใด.

) ไม่มีอนุพันธ์หรือหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นไม่ได้

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ฉ(x)

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้กับจุด x 0

ลองพิจารณาเส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุดบนกราฟของฟังก์ชัน - จุด A(x 0, f (x 0)) และตัดกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง B(x;f(x)) เส้นตรงดังกล่าว (AB) เรียกว่าเส้นตัด จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆xตั้งแต่ AC || Ox แล้ว ALO = BAC = β (สอดคล้องกับขนาน) แต่ ALO คือมุมเอียงของเส้นตัด AB กับทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งหมายความว่าtanβ = k -

ตอนนี้เราจะลด ∆x นั่นคือ ∆х→ 0 ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และเส้นตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่ ∆x→ 0 จะเป็นเส้นตรง (a) เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A

ถ้าเราไปถึงขีดจำกัดเป็น ∆x → 0 ในความเท่าเทียมกัน tgβ =∆y/∆x เราจะได้
ortg =f "(x 0) เนื่องจาก
-มุมเอียงของแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน Ox
ตามคำนิยามของอนุพันธ์ แต่ tg = k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ซึ่งหมายถึง k = tg = f "(x 0)

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาดที่จุดด้วย abscissa x 0 .

3. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุด ณ เวลาใดก็ได้ x(t) เป็นที่ทราบกันดี (จากหลักสูตรฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

วาฟ = ∆x/∆t ไปที่ขีดจำกัดของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย ∆t → 0

ลิม วาฟ (t) = (t 0) - ความเร็วทันทีณ เวลา เสื้อ 0, ∆t → 0

และ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น (t) =x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันย = ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0 คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดเทียบกับเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วเทียบกับเวลา

(t) = x"(t) - ความเร็ว

a(f) = "(t) - ความเร่งหรือ

ถ้าทราบกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลม เราก็จะสามารถหาความเร็วเชิงมุมและได้ ความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน:

φ = φ(t) - การเปลี่ยนแปลงมุมเมื่อเวลาผ่านไป

ω = φ"(เสื้อ) - ความเร็วเชิงมุม,

ε = φ"(t) - ความเร่งเชิงมุมหรือ ε = φ"(t)

หากทราบกฎการกระจายมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

ม. = ม.(x) - มวล

x  , ล. - ความยาวของไม้เรียว

p = m"(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

เมื่อใช้อนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ดังนั้นตามกฎของฮุค

F = -kx, x – พิกัดตัวแปร, k – สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง เมื่อ ω 2 =k/m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

โดยที่ ω = √k/√m ความถี่การสั่น (l/c), k คือความแข็งของสปริง (H/m)

สมการของรูปแบบ y" + ω 2 y = 0 เรียกว่าสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) วิธีแก้สมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = Asin(ωt + φ 0) หรือ y = Acos(ωt + φ 0) โดยที่

เอ - แอมพลิจูดของการแกว่ง, ω - ความถี่ไซคลิก

φ 0 - เฟสเริ่มต้น

แสดงความเชื่อมโยงระหว่างเครื่องหมายของอนุพันธ์กับธรรมชาติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

โปรดใช้ความระมัดระวังอย่างยิ่งเกี่ยวกับสิ่งต่อไปนี้ ดูสิกำหนดการของ WHAT มอบให้คุณ! ฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ของมัน

ถ้าให้กราฟของอนุพันธ์มาจากนั้นเราจะสนใจเฉพาะเครื่องหมายฟังก์ชันและศูนย์เท่านั้น โดยหลักการแล้วเราไม่สนใจ "เนินเขา" หรือ "โพรง" ใด ๆ เลย!

ภารกิจที่ 1

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา กำหนดจำนวนจุดจำนวนเต็มที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ

สารละลาย:

ในรูป พื้นที่ของฟังก์ชันที่ลดลงจะถูกเน้นด้วยสี:

ขอบเขตที่ลดลงของฟังก์ชันเหล่านี้มีค่าจำนวนเต็ม 4 ค่า

ภารกิจที่ 2

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา ค้นหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง

สารละลาย:

เมื่อเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกัน (หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน) กับเส้นตรง (หรือซึ่งก็คือสิ่งเดียวกัน) จึงมี ความลาดชัน , เท่ากับศูนย์แล้วแทนเจนต์ก็มีสัมประสิทธิ์เชิงมุมด้วย

ในทางกลับกัน หมายความว่าแทนเจนต์ขนานกับแกน เนื่องจากความชันคือแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับแกน

ดังนั้นเราจึงพบจุดปลายสุด (จุดสูงสุดและต่ำสุด) บนกราฟ - ณ จุดเหล่านี้ฟังก์ชันที่สัมผัสกับกราฟจะขนานกับแกน

มี 4 จุดดังกล่าว

ภารกิจที่ 3

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา ค้นหาจำนวนจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง

สารละลาย:

เนื่องจากเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกัน (หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน) กับเส้นที่มีความชัน ดังนั้นเส้นสัมผัสกันจึงมีความชันด้วย

นี่ก็หมายความว่าที่จุดสัมผัส

ดังนั้นเราจึงดูว่ามีกี่จุดบนกราฟที่มีพิกัดเท่ากับ

อย่างที่คุณเห็นมีสี่ประเด็นดังกล่าว

ภารกิจที่ 4

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา ค้นหาจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น 0

สารละลาย:

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่จุดสุดขั้ว เรามี 4 อัน:

ภารกิจที่ 5

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันและจุด 11 จุดบนแกน x: อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบที่จุดเหล่านี้กี่จุด?

สารละลาย:

ในช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง อนุพันธ์ของมันจะใช้เวลา ค่าลบ- และฟังก์ชันจะลดลงตามจุดต่างๆ มี 4 จุดดังกล่าว

ภารกิจที่ 6

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา หาผลรวมของจุดปลายสุดของฟังก์ชัน

สารละลาย:

จุดสุดขีด– นี่คือจุดสูงสุด (-3, -1, 1) และจุดต่ำสุด (-2, 0, 3)

ผลรวมของคะแนนสุดขั้ว: -3-1+1-2+0+3=-2

ภารกิจที่ 7

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

สารละลาย:

รูปนี้เน้นช่วงที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่เป็นลบ

ไม่มีจุดจำนวนเต็มในช่วงที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อย ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นจะมีค่าจำนวนเต็มสี่ค่า: , และ

ผลรวมของพวกเขา:

ภารกิจที่ 8

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

สารละลาย:

ในรูป ช่วงทั้งหมดที่อนุพันธ์เป็นบวกจะถูกเน้นด้วยสี ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาเหล่านี้

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดคือ 6

ภารกิจที่ 9

รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลา จุดใดในกลุ่มที่มีมูลค่าสูงสุด?

สารละลาย:

มาดูกันว่ากราฟมีพฤติกรรมอย่างไรในกลุ่มซึ่งเป็นสิ่งที่เราสนใจ มีเพียงเครื่องหมายของอนุพันธ์เท่านั้น .

เครื่องหมายของอนุพันธ์บน คือลบ เนื่องจากกราฟในส่วนนี้อยู่ใต้แกน