อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของกำลัง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวมเนื้อหาที่เราได้กล่าวถึง ดูอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและเทคนิคใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอนุพันธ์ลอการิทึม
ให้กับผู้อ่านที่ได้ ระดับต่ำการเตรียมการคุณควรอ้างอิงถึงบทความ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งจะช่วยให้คุณยกระดับทักษะของคุณเกือบจะตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามติดต่อกันอย่างมีเหตุผล และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่พึงปรารถนาที่จะรับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? ใช่แล้ว เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากของจริง การทดสอบและมักพบเจอในทางปฏิบัติ
เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราดูตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และส่วนอื่นๆ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์– คุณจะต้องแยกแยะบ่อยครั้งมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ที่จะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์แบบปากเปล่า “ผู้สมัคร” ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดตัวอย่างเช่น:
ตามกฎแห่งความแตกต่าง ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน :
เมื่อศึกษาหัวข้อ Matan อื่น ๆ ในอนาคต มักไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าว โดยถือว่านักเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวในระบบอัตโนมัติ ลองนึกภาพว่าตอนตี 3 มีเหตุการณ์ สายเข้า, และ เสียงที่ไพเราะถามว่า: “อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ X สองตัวคืออะไร” ควรตามด้วยการตอบสนองที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .
ตัวอย่างแรกจะตั้งใจทันที การตัดสินใจที่เป็นอิสระ.
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในการกระทำเดียว เช่น: เพื่อทำงานให้สำเร็จคุณเพียงแค่ต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้ายังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนซ้ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
,
, , ,
, , ,
,
,
คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
อนุพันธ์เชิงซ้อน
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง บางทีสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) เกือบทุกอย่างในนั้น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มันจะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกของเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสิ่งแรกที่จำเป็นคือ ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ หากมีข้อสงสัยผมขอเตือนครับ เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์: เราใช้ความหมายเชิงทดลองของ "x" เป็นต้น และพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ความหมายนี้เป็น "สำนวนแย่มาก"
1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่างคือ:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:
สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน จะถูกนำไปใช้ใน ลำดับย้อนกลับจากมากที่สุด ฟังก์ชั่นภายนอกไปจนถึงส่วนในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...
(1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง
(2) เราหาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ
(3) อนุพันธ์ของสามเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
(4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์
(5) หาอนุพันธ์ของลอการิทึม
(6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กลงและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณไม่ใช่สอง แต่ สามฟังก์ชั่น- วิธีหาอนุพันธ์ของ ผลิตภัณฑ์ของสามตัวคูณ?
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง
เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. – นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้ผล! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:
คุณยังคงสามารถถูกบิดเบือนและนำบางสิ่งออกจากวงเล็บได้ แต่เข้าไป ในกรณีนี้ทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้ดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า
ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:
โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษเป็น ตัวส่วนร่วมและ เรามากำจัดเศษส่วนสามชั้นกันเถอะ:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
แต่ขั้นตอนแรกจะทำให้คุณหมดหวังทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์ของ พลังเศษส่วนแล้วก็จากเศษส่วนด้วย
นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึม "ซับซ้อน" ขั้นแรกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่มีชื่อเสียง:
! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่แล้ว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่นโดยตรง หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้คัดลอกลงในกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวข้องกับสูตรเหล่านี้
วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:
มาแปลงฟังก์ชันกัน:
ค้นหาอนุพันธ์:
การแปลงฟังก์ชันล่วงหน้าทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง แนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ
และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดอยู่ท้ายบทเรียน
อนุพันธ์ลอการิทึม
หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นดนตรีที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมแบบเทียม? สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ
ตัวอย่างที่ 11
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดูตัวอย่างที่คล้ายกัน จะทำอย่างไร? คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารตามลำดับ จากนั้นจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย
แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดเรียงแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ไว้ทั้งสองด้าน:
ตอนนี้คุณต้อง "สลาย" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:
เริ่มต้นด้วยความแตกต่าง
เราสรุปทั้งสองส่วนภายใต้นายก:
อนุพันธ์ของด้านขวามือนั้นค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ คุณจะสามารถจัดการกับมันได้อย่างมั่นใจ
แล้วด้านซ้ายล่ะ?
ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ฉันมองเห็นคำถาม: “ทำไม มีตัวอักษร “Y” อยู่ตัวหนึ่งใต้ลอการิทึม”
ความจริงก็คือว่า “เกมตัวอักษรตัวเดียว” นี้ - ตัวเองเป็นหน้าที่(หากยังไม่ชัดเจน โปรดดูบทความอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย) ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :
ด้านซ้ายราวกับมีเวทย์มนตร์ ไม้กายสิทธิ์เรามีอนุพันธ์ ต่อไปตามกฎสัดส่วนเราโอน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:
และตอนนี้เรามาจำกันว่า "ผู้เล่น" แบบไหนที่เราพูดถึงระหว่างการสร้างความแตกต่าง? ลองดูที่สภาพ:
คำตอบสุดท้าย:
ตัวอย่างที่ 12
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่าง ประเภทนี้ในตอนท้ายของบทเรียน
การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมเป็นไปได้ที่จะแก้ตัวอย่างใด ๆ ในข้อ 4-7 อีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันที่นั่นง่ายกว่าและบางทีการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมอาจไม่สมเหตุสมผลนัก
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง
เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่ ทั้งระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x". ตัวอย่างคลาสสิกซึ่งจะมอบให้กับคุณในตำราเรียนหรือการบรรยายใด ๆ :
จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังได้อย่างไร?
มีความจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งกล่าวถึง - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน:
ตามกฎแล้ว ทางด้านขวา องศาจะถูกลบออกจากใต้ลอการิทึม:
ด้วยเหตุนี้ ทางด้านขวาเราจะได้ผลลัพธ์ของสองฟังก์ชัน ซึ่งจะแยกความแตกต่างด้วย สูตรมาตรฐาน .
เราค้นหาอนุพันธ์ เพื่อทำเช่นนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:
การดำเนินการเพิ่มเติมนั้นง่าย:
ในที่สุด:
หากการแปลงใดๆ ไม่ชัดเจนทั้งหมด โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อย่างละเอียดอีกครั้ง
ใน งานภาคปฏิบัติฟังก์ชันยกกำลัง-เลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่อภิปรายในการบรรยายเสมอ
ตัวอย่างที่ 13
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม
ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - “x” และ “ลอการิทึมของลอการิทึม x” (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) ดังที่เราจำได้ว่าเมื่อสร้างความแตกต่างจะเป็นการดีกว่าที่จะย้ายค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้ขวางทาง และแน่นอนว่าเราใช้กฎที่คุ้นเคย :
อย่างที่คุณเห็น อัลกอริธึมสำหรับการใช้อนุพันธ์ลอการิทึมไม่มีกลอุบายพิเศษใด ๆ และการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังมักไม่เกี่ยวข้องกับ "การทรมาน"
หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง ตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) ส่วนอื่นๆ เกือบทั้งหมดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก็จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกสำหรับเด็ก
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสิ่งแรกที่จำเป็นคือ ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีประโยชน์ เช่น เราใช้ค่าทดลองของ "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "สำนวนแย่มาก"
1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด
2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:
4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:
5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่างคือ:
6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:
สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:
ดูเหมือนว่าไม่มีข้อผิดพลาด:
1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง
2) หาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ
3) อนุพันธ์ของสามเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)
4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์
6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด
อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่
ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์
เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กลงและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณของฟังก์ชันไม่ใช่สอง แต่มีสามฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสามปัจจัยได้อย่างไร?
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม
ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง
เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. - นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้?! ไม่มีอะไรซับซ้อน:
ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:
คุณสามารถบิดเบี้ยวและใส่บางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ ควรทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้จะดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า
ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:
โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก
ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:
หรือเช่นนี้:
แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:
โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่?
ลองลดการแสดงออกของตัวเศษให้เป็นตัวส่วนร่วมและกำจัดโครงสร้างสามชั้นของเศษส่วน:
ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง
ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
เราจะยกตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
;
;
;
;
.
ถ้าฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ แบบฟอร์มต่อไปนี้:
,
จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่าง เราจะเขียนสูตรดังนี้:
.
ที่ไหน .
ที่นี่ ตัวห้อย หรือ ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ แสดงถึงตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่าง
โดยปกติแล้ว ในตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม x เป็นพารามิเตอร์ที่เป็นทางการ ตัวแปร x สามารถถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นได้ ดังนั้น เมื่อแยกฟังก์ชันออกจากตัวแปร เราก็เพียงเปลี่ยนตัวแปร x เป็นตัวแปร u ในตารางอนุพันธ์
ตัวอย่างง่ายๆ
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
สารละลาย
มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า ฟังก์ชันที่กำหนดในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
ในตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.
ตามสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เราได้:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 2
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ 5 ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 3
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
เรานำค่าคงที่ออกมา -1
สำหรับเครื่องหมายของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น
มากขึ้น ตัวอย่างที่ซับซ้อนเราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในกรณีนี้ เราจะคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นส่วนต่างๆ และค้นหาอนุพันธ์ของส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ ตารางอนุพันธ์- เรายังใช้ กฎสำหรับการแยกผลรวมผลิตภัณฑ์และเศษส่วน จากนั้นเราจะทำการทดแทนและใช้สูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ตัวอย่างที่ 4
หาอนุพันธ์
.
สารละลาย
มาเน้นกันให้มากที่สุด ส่วนที่เรียบง่ายสูตรและหาอนุพันธ์ของมัน -
.
ที่นี่เราใช้สัญกรณ์
.
เราค้นหาอนุพันธ์ของส่วนถัดไปของฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ เราใช้กฎเพื่อแยกผลรวม:
.
เราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง
.
ที่นี่ .
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
.
สารละลาย
เรามาเลือกส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรแล้วค้นหาอนุพันธ์จากตารางอนุพันธ์ -
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.
ในบทความนี้ เราจะพูดถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเช่นฟังก์ชันเชิงซ้อน และเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ก่อนจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน มาทำความเข้าใจแนวคิดของฟังก์ชันเชิงซ้อนก่อนว่าฟังก์ชันเชิงซ้อนคืออะไร "กินกับอะไร" และ "จะปรุงอย่างไรให้ถูกต้อง"
ลองพิจารณาดู ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจตัวอย่างเช่นเช่นนี้:
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาและซ้ายของสมการฟังก์ชันคือตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกัน
แทนที่จะเป็นตัวแปร เราสามารถใส่นิพจน์ต่อไปนี้: . แล้วเราก็ได้ฟังก์ชันมา
ลองเรียกนิพจน์นี้ว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง และฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันภายนอก มันไม่เข้มงวด แนวคิดทางคณิตศาสตร์แต่ช่วยให้เข้าใจความหมายของแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้
คำจำกัดความที่เข้มงวดของแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือ:
ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซตและเป็นเซตของค่าของฟังก์ชันนี้ ให้เซต (หรือเซตย่อย) เป็นโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน มากำหนดหมายเลขให้กับแต่ละคนกัน ดังนั้นฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้บนเซต เรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันเชิงซ้อน
ในคำจำกัดความนี้ หากเราใช้คำศัพท์ ฟังก์ชันภายนอกจะเป็นอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง
พบอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนได้ตามกฎต่อไปนี้:
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันต้องการเขียนกฎนี้ดังนี้:
ในนิพจน์นี้ การใช้ หมายถึงฟังก์ชันระดับกลาง
ดังนั้น. หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน คุณต้องมี
1. พิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและค้นหาอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องจากตารางอนุพันธ์
2. กำหนดอาร์กิวเมนต์ระดับกลาง
ในขั้นตอนนี้ ความยากที่สุดคือการค้นหาฟังก์ชันภายนอก ใช้อัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับสิ่งนี้:
ก. เขียนสมการของฟังก์ชันลงไป.
ข. ลองนึกภาพว่าคุณต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันสำหรับค่า x บางค่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชันแล้วสร้างออกมา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- การกระทำสุดท้ายที่คุณทำคือฟังก์ชันภายนอก
เช่น ในฟังก์ชัน
การกระทำสุดท้ายคือการยกกำลัง
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนข้อโต้แย้งระดับกลาง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ในบทนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีค้นหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน- บทเรียนคือความต่อเนื่องทางตรรกะของบทเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?ซึ่งเราได้ตรวจสอบอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของการสร้างความแตกต่างและบางส่วน วิธีการทางเทคนิคการหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่เก่งเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือบางจุดในบทความนี้ยังไม่ชัดเจน ให้อ่านบทเรียนข้างต้นก่อน โปรดใช้อารมณ์จริงจัง - เนื้อหาไม่เรียบง่าย แต่ฉันจะพยายามนำเสนออย่างเรียบง่ายและชัดเจนต่อไป
ในทางปฏิบัติ คุณต้องจัดการกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนบ่อยครั้งมาก หรือเกือบทุกครั้ง เมื่อคุณได้รับมอบหมายงานให้ค้นหาอนุพันธ์
เราดูตารางตามกฎ (หมายเลข 5) เพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
ลองคิดดูสิ ก่อนอื่นมาใส่ใจกับรายการกันก่อน ที่นี่เรามีสองฟังก์ชัน - และ และฟังก์ชันที่พูดเป็นรูปเป็นร่างซ้อนอยู่ภายในฟังก์ชัน ฟังก์ชันประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง) เรียกว่าฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชัน – ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อนกัน).
- คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ใช่ทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบงานขั้นสุดท้าย ฉันสมัคร การแสดงออกที่ไม่เป็นทางการ“ฟังก์ชั่นภายนอก”, “ฟังก์ชั่นภายใน” เท่านั้นเพื่อให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ง่ายขึ้น
เพื่อชี้แจงสถานการณ์ ให้พิจารณา:
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ภายใต้ไซน์เราไม่ได้มีเพียงตัวอักษร "X" เท่านั้น แต่ยังมีนิพจน์ทั้งหมดด้วย ดังนั้นการค้นหาอนุพันธ์ทันทีจากตารางจะไม่ได้ผล นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกที่นี่ดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซน์ไม่สามารถ "ฉีกเป็นชิ้น ๆ" ได้:
ใน ในตัวอย่างนี้จากคำอธิบายของฉันชัดเจนอยู่แล้วว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน และพหุนามเป็นฟังก์ชันภายใน (การฝัง) และฟังก์ชันภายนอก
ขั้นแรกสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนก็คือ ทำความเข้าใจว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายในและฟังก์ชันใดเป็นภายนอก.
เมื่อไร ตัวอย่างง่ายๆดูเหมือนชัดเจนว่าพหุนามฝังอยู่ใต้ไซน์ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? จะทราบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายใน ในการทำเช่นนี้ฉันขอแนะนำให้ใช้เทคนิคต่อไปนี้ซึ่งสามารถทำได้ทั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง
สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นตัวเลขใดๆ ก็สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้)
เราจะคำนวณอะไรก่อน? ก่อนอื่นเลยคุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามจะเป็นฟังก์ชันภายใน:
ประการที่สองจะต้องค้นหา ดังนั้น ไซน์ – จะเป็นฟังก์ชันภายนอก:
หลังจากที่เรา ขายหมดแล้วด้วยฟังก์ชันภายในและภายนอก ถึงเวลาที่จะใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย จากชั้นเรียน จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?เราจำได้ว่าการออกแบบวิธีแก้ปัญหาสำหรับอนุพันธ์ใด ๆ มักจะเริ่มต้นเช่นนี้ - เราใส่นิพจน์ในวงเล็บแล้วใส่เส้นขีดที่มุมขวาบน:
ตอนแรกค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ไซน์) ดูที่ตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและเราสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดยังสามารถใช้ได้หากแทนที่ "x" ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:
โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่แตะต้องมัน.
มันค่อนข้างชัดเจนว่า
ผลลัพธ์สุดท้ายของการใช้สูตรจะมีลักษณะดังนี้:
ตัวคูณคงที่มักจะวางไว้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์:
หากมีความเข้าใจผิดให้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในกระดาษแล้วอ่านคำอธิบายอีกครั้ง
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
และเช่นเคย เราเขียนไว้ว่า:
ลองหาดูว่าเรามีฟังก์ชันภายนอกอยู่ที่ไหน และเรามีฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ เราพยายาม (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ คุณควรทำอะไรก่อน? ก่อนอื่น คุณต้องคำนวณว่าฐานเท่ากับเท่าใด ดังนั้น พหุนามจึงเป็นฟังก์ชันภายใน:
และเมื่อถึงเวลานั้นเท่านั้นที่จะดำเนินการยกกำลัง ดังนั้น ฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชันภายนอก:
ตามสูตร คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน ซึ่งในกรณีนี้คือดีกรี มองหาในตาราง สูตรที่ต้องการ- เราทำซ้ำอีกครั้ง: ใดๆ สูตรตารางใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับ “x” เท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วย- ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจึงเป็นดังนี้:
ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ฟังก์ชันภายในของเราจะไม่เปลี่ยนแปลง:
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือหาอนุพันธ์ง่ายๆ ของ ฟังก์ชั่นภายในและปรับแต่งผลลัพธ์เล็กน้อย:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เพื่อรวบรวมความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฉันจะยกตัวอย่างโดยไม่มีความคิดเห็น พยายามคิดออกด้วยตัวเอง เหตุผลที่ฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันภายในอยู่ที่ไหน เหตุใดงานจึงถูกแก้ไขด้วยวิธีนี้
ตัวอย่างที่ 5
ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
b) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่เรามีราก และเพื่อที่จะแยกแยะรากนั้น จะต้องแสดงเป็นพลัง ดังนั้นก่อนอื่นเราจึงนำฟังก์ชันมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการสร้างความแตกต่าง:
จากการวิเคราะห์ฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าผลรวมของพจน์ทั้งสามเป็นฟังก์ชันภายใน และการยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
เราแสดงดีกรีเป็นราก (รูท) อีกครั้ง และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน เราใช้กฎง่ายๆ ในการหาความแตกต่างของผลรวม:
พร้อม. คุณยังสามารถลดนิพจน์ให้เหลือตัวส่วนร่วมในวงเล็บและเขียนทุกอย่างให้เป็นเศษส่วนได้ สวยงามแน่นอน แต่เมื่อได้อนุพันธ์ระยะยาวที่ยุ่งยากก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า (สับสนง่าย ทำผิดโดยไม่จำเป็น และครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)
ตัวอย่างที่ 7
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร แต่วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะดูเป็นการบิดเบือนที่ตลกขบขัน นี่คือตัวอย่างทั่วไป:
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่นี่คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารได้ แต่จะทำกำไรได้มากกว่ามากในการค้นหาอนุพันธ์ผ่านกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
เราเตรียมฟังก์ชันสำหรับการสร้างความแตกต่าง - เราย้ายเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์และเพิ่มโคไซน์เป็นตัวเศษ:
โคไซน์เป็นฟังก์ชันภายใน การยกกำลังเป็นฟังก์ชันภายนอก
ลองใช้กฎของเรา:
เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและรีเซ็ตโคไซน์กลับลงมา:
พร้อม. ในตัวอย่างที่พิจารณา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนกับสัญญาณต่างๆ ยังไงก็ลองแก้โดยใช้กฎดูครับ คำตอบจะต้องตรงกัน
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)
จนถึงตอนนี้เราได้ดูกรณีที่เรามีรังเพียงอันเดียวในฟังก์ชันที่ซับซ้อน ในงานภาคปฏิบัติ คุณมักจะพบอนุพันธ์ โดยที่เหมือนกับตุ๊กตาทำรัง มีอันหนึ่งอยู่ในอีกอันหนึ่ง มีฟังก์ชัน 3 หรือ 4-5 รายการที่ซ้อนกันในคราวเดียว
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
มาทำความเข้าใจกับไฟล์แนบของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า เรามาลองคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าทดลองกัน เราจะนับเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?
ก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ซึ่งหมายความว่าอาร์คไซน์เป็นการฝังที่ลึกที่สุด:
อาร์คไซน์ของอันนี้ควรถูกยกกำลังสอง:
และในที่สุด เราก็ยกเจ็ดขึ้นเป็นกำลัง:
นั่นคือในตัวอย่างนี้เรามีสามรายการ ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันและการฝังสองรายการ โดยฟังก์ชันด้านในสุดเป็นอาร์คไซน์ และฟังก์ชันด้านนอกสุดเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
มาเริ่มตัดสินใจกันเลย
ตามกฎแล้ว คุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกก่อน เราดูตารางอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "x" เรามี การแสดงออกที่ซับซ้อนซึ่งไม่ได้ลบล้างความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้น ผลลัพธ์ของการใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะเป็นดังนี้:
ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่าแล้ว ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชันภายในคืออาร์คไซน์ ส่วนฟังก์ชันภายนอกคือดีกรี ตามกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณต้องหาอนุพันธ์ของกำลังก่อน