ทฤษฎีบท

ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกกำหนด ซ้ำซากอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง และปล่อยให้เป็นเซตของค่าของมัน จากนั้นฟังก์ชันผกผันของเซต ไม่คลุมเครือ ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง

การพิสูจน์

เพื่อความชัดเจน ให้ฟังก์ชันนี้ เพิ่มขึ้นโดย เช่น เพื่อสิ่งใดๆ , เป็นไปตามเงื่อนไข ความไม่เท่าเทียมกันถือเป็น:

(), ().

1. ให้เราพิสูจน์เอกลักษณ์ของฟังก์ชันผกผันกัน

ความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันผกผัน ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ความไม่เท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง:

ที่ ,

และดังนั้นถึงทุกคน ตรงกับค่าเดียว .

2. ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผัน เพิ่มขึ้นโดย

จริงๆ แล้วถ้า. , แล้ว (และ ) เพราะหากเป็นเช่นนั้น แล้วจากการเพิ่มขึ้น มันควรจะเป็นอย่างนั้น ซึ่งจะขัดแย้งกับสมมติฐาน - ดังนั้นข้อเท็จจริงของความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดของฟังก์ชันผกผัน ติดตั้งแล้ว

3. และสุดท้าย เราพิสูจน์ว่าฟังก์ชันผกผัน ต่อเนื่องกัน

เพราะ เพิ่มขึ้นในชุดอย่างซ้ำซากจำเจจากนั้นจึงถูก จำกัด และรับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในชุด เซตคือช่วงที่มีการสิ้นสุด และ โดยที่ , .

อนุญาต , - ให้เราพิจารณากรณีที่เมื่อ - ในกรณีนี้ จุดนั้นจะเป็นจุดภายในของช่วงเวลาอย่างชัดเจน

มาเลือกค่ากัน ดังนั้น และ และใส่ และ - แล้วเนื่องจากการเพิ่มขึ้น เราได้รับ:

.

เอาล่ะตอนนี้ เพื่อให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

และ .

แล้วถ้าเป็นไปตามความไม่เท่าเทียม

,

ที่ ,

และด้วยเหตุนี้จึงมีการเพิ่มขึ้น เรามี:

พิจารณาแล้วและ

เราได้รับ: มีให้
.

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับสิ่งเล็กๆ น้อยๆ นั่นเอง มีอยู่จริง เพื่อให้ทุกคนสนองความเหลื่อมล้ำ ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ , เช่น. ฟังก์ชันผกผัน มีความต่อเนื่องตรงจุด แต่ - จุดตามอำเภอใจของช่วงเวลา - แล้วฟังก์ชันผกผัน อย่างต่อเนื่อง .

ถ้า หรือ จากนั้นใช้เหตุผลที่คล้ายกัน เราก็สามารถพิสูจน์ความต่อเนื่องได้ ทางด้านขวาที่จุดและทางซ้ายที่จุด ดังนั้นข้อเท็จจริงของความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผัน ไม่ได้รับการพิสูจน์

ในกรณีที่ฟังก์ชันลดลง การพิสูจน์ทฤษฎีบทก็ทำเช่นเดียวกัน

โมดูล

หัวข้อที่ 5

ความต่อเนื่องของหลัก

ฟังก์ชันเบื้องต้น ความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันบนเซต

การบรรยายครั้งที่ 17

1. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน: ; ; ; ;
;
;
; ; ; .

2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนตรรกยะ

3. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนจริง

ﻫ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเบื้องต้น

1. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน ,

การพิสูจน์

1) เลือกจุดที่ต้องการ อาร์เพราะ กำหนดไว้ ร.

2) สำหรับจุดนี้ รเรามากำหนดขีดจำกัดและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกันดีกว่า:

ก)
,

ข) .

3) ดังนั้น , เช่น. การทำงาน ต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง .

,

มีความต่อเนื่องทุกจุดบนเส้นจำนวน

5) การพิสูจน์ดำเนินการตามคำจำกัดความหมายเลข 1 ของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ฯลฯ

2. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน ต่อเนื่องกันที่จุดใดก็ได้บนเส้นจำนวน ยกเว้นศูนย์ เช่น ร\0.

การพิสูจน์

ร\0 เนื่องจากฟังก์ชันถูกกำหนดไว้แล้ว ร\0 และกำหนดฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นในนั้น:

.

3) คำนวณขีด จำกัด

,

เพราะ - ดังนั้นฟังก์ชัน

4) เนื่องจากจุดถูกเลือกโดยพลการ ดังนั้นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง ร\0. ฯลฯ

3. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ของเซตของจำนวนจริง

การพิสูจน์

1) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริง

2) เลือกจุดที่ต้องการ รและกำหนดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันในนั้น:

3) คำนวณขีด จำกัด
- ดังนั้นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง .

4) เนื่องจากจุดถูกเลือกโดยพลการ ดังนั้นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ของเซตของจำนวนจริง .

5) การพิสูจน์ดำเนินการบนพื้นฐานของคำจำกัดความหมายเลข 5 ของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดในภาษาของการเพิ่มขึ้น ฯลฯ

4. พิสูจน์ว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ของเซต ร.

การพิสูจน์

การพิสูจน์เป็นไปตามทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของผลรวมพีชคณิต ผลคูณและผลหารของฟังก์ชันต่อเนื่อง และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งบนแกนจำนวน ฯลฯ

5. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน
มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ของเซตของจำนวนจริง ยกเว้นจุดที่ตัวส่วนของเศษส่วนหายไป

การพิสูจน์

การพิสูจน์เป็นไปตามทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของผลรวมพีชคณิต ผลคูณและผลหารของฟังก์ชันต่อเนื่อง และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

และ .

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะต่อเนื่องกันที่จุดใดก็ได้ในชุด รไม่รวมจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ ฯลฯ

6. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ บนเส้นจำนวน

การพิสูจน์

1) เราจะดำเนินการพิสูจน์ตามคำจำกัดความหมายเลข 5 ของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดในภาษาของการเพิ่มขึ้น

2) ฟังก์ชั่น กำหนดไว้ที่จุดใดก็ได้บนเส้นจำนวน

3) เลือกจุดที่ต้องการ รและกำหนดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

4) มาคำนวณขีดจำกัดการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันกัน:

ดังนั้นฟังก์ชัน มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง

5) เนื่องจากจุดถูกเลือกโดยพลการ ดังนั้นฟังก์ชัน มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ บนเส้นจำนวน ฯลฯ

7. ความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งบนแกนจำนวน ดำเนินการพิสูจน์ด้วยตนเอง

8. จากความต่อเนื่องของฟังก์ชั่น และ ณ จุดใดๆ บนเส้นจำนวน ตามทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของผลหารของฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุดหนึ่ง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจะเป็นไปตามนั้น

ก) ; ทุกจุดบนเส้นจำนวน ยกเว้นจุด

, - จำนวนเต็มใดๆ

b) เช่นเดียวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน และ ทุกจุดยกเว้นจุด โดยที่จำนวนเต็มใดๆ

9. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด

การพิสูจน์

1) ในช่วงเวลา การทำงาน ดูเหมือน , เพราะ - และฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องกันทุกจุดบนเส้นจำนวน

2) ในช่วงเวลา การทำงาน ดูเหมือน , เพราะ - และฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องเป็นผลคูณของฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชัน และ

3) ยังคงสร้างความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ตรงจุด .

4) ในการทำเช่นนี้ เราจะคำนวณขีดจำกัดด้านเดียว ณ จุดนั้น :

ก) ; ข) .

5) ตั้งแต่
และ จากนั้นฟังก์ชัน อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง - ดังนั้นจึงต่อเนื่องกันไปตามเส้นจำนวนทั้งหมด

บทสรุป:

1. ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่พิจารณามีความต่อเนื่องในขอบเขตการดำรงอยู่

2. จากทฤษฎีบทความต่อเนื่องของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของฟังก์ชันต่อเนื่อง อาจโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันที่ได้รับโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนจำกัดบนฟังก์ชันต่อเนื่องก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในขอบเขตของการดำรงอยู่เช่นกัน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในจำนวนพหุคูณ

คำจำกัดความ 1. อนุญาต จากนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ค่าจะถูกกำหนด สิ่งนี้จะกำหนดฟังก์ชัน ฟังก์ชันนี้เรียกว่าเลขชี้กำลังบนเซตของจำนวนตรรกยะ

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฉัน....คือ , ที่ไหน , .1.ให้ . จากนั้น:a) ถ้า , แล้วก็ ;b) ถ้า , แล้ว .2.a) ;b) ;c) .3. .4. .5. สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ: .

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 51. ถ้า และ แล้วโดยอาศัยอำนาจตามคุณสมบัติแรก: .

2. เนื่องจาก , a แล้วก็ .3. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่สอง: , และ ดังนั้น .4 ความไม่เท่าเทียมกันสำหรับได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

II. บทแทรก 1. เอาล่ะ แล้วมันก็มีอยู่ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่เป็นไปตามอสมการ ก็มีอสมการดังต่อไปนี้: ความช่วยเหลือ: ที่ .

เอกสาร: I.1. อนุญาต .

2. ตั้งแต่ จากนั้น: และ .3. เนื่องจาก จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติแรก ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

4. อนุญาต เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ นั่นคือ .5 จากนั้น เราสามารถเขียน: หรือ หรือ .II ตามคุณสมบัติแรกของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง บทแทรกนั้นชัดเจน III. เมื่อบทแทรกได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน เฉพาะในความเหลื่อมล้ำของคุณสมบัติแรกเท่านั้น จะต้องแทนที่เครื่องหมายด้วยคุณสมบัติตรงกันข้าม (กรณีที่ 1b)

2 ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดของจำนวนจริง

คำจำกัดความ 2. ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ นั่นคือ . อนุญาต เป็นลำดับของจำนวนตรรกยะมาบรรจบกันที่ แน่นอนว่าลำดับดังกล่าวมีอยู่เสมอ จากนั้น , , มีอยู่เสมอและไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกลำดับ

กรณีนี้ไม่น่าสนใจสำหรับการศึกษาเนื่องจาก

ทฤษฎีบท 1. ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลในชุดของจำนวนจริง , , มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: 1) ต่อเนื่องที่ทุกจุดบนเส้นจำนวน 2) สำหรับการเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด และสำหรับการลดลงอย่างเข้มงวดบนเส้นจำนวนทั้งหมด; 4) , ; 5) ก) ที่ ;b) ที่ ;6)a) ที่ ;b) ที่

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 11. เป็นที่รู้กันว่า: .2. ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงด้วย3. อนุญาต เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ , และ , เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดของจำนวนจริง4. มาหาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดที่อาร์กิวเมนต์เปลี่ยนเป็น:

5. ตามบทแทรกสำหรับฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลในชุดของจำนวนตรรกยะ: , เป็นไปตามอสมการ ), เป็นไปตามอสมการต่อไปนี้: , และ สำหรับ , .6 ลองคูณอสมการทั้งสองข้างในจุดที่ 5 ด้วยจำนวนบวก: .7 ลองเปรียบเทียบการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและอสมการสุดท้าย เห็นได้ชัดว่าสำหรับ เช่น กล่าวคือ ตามคำจำกัดความหมายเลข 5 ของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุด .8 เนื่องจากจุดถูกเลือกตามอำเภอใจ ฟังก์ชันจึงต่อเนื่องที่จุดใดก็ได้บนเส้นจำนวน

เอกสาร: ทรัพย์สินที่ 21. ให้แน่นอนและ.2. เนื่องจากความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะในชุดของจำนวนจริง จึงมีจำนวนตรรกยะอยู่และเป็นเช่นนั้น

3. ให้เราเลือกลำดับจำนวนตรรกยะสองลำดับ และนั่น และ และดังนั้นสำหรับ .4 เมื่อพิจารณาจากคุณสมบัติแรกของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนตรรกยะ เราสามารถเขียนได้:

5. มาดูขีดจำกัดที่ (เป็นเลขชี้กำลัง) ในอสมการสุดท้ายกันดีกว่า: ; - - ดังนั้น ตามนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนจริง: ; - .6. อสมการในจุดที่ 4 จะอยู่ในรูปแบบ: หรือที่ .7 และตามนิยามของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นที่ ดังนั้น จึงเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่

หมายเหตุ 1. กรณีนี้ได้รับการปฏิบัติในทำนองเดียวกัน

หมายเหตุ 2 กราฟฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้:

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 31. ปล่อยให้มีลำดับของจำนวนตรรกยะเช่นนั้น และ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของผลรวมของลำดับมาบรรจบกันสองลำดับ2 จากนั้น โดยอาศัยนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนจริง .3 ตามคุณสมบัติหมายเลข 2 ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนตรรกยะ ดังนั้น a>0

ข้อพิสูจน์ 1. สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: , ดังนั้น, . 2. ดังนั้น.

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 4

I.1. อนุญาต เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น .2. ให้เราใช้คุณสมบัติหมายเลข 2 ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในชุดจำนวนตรรกยะอีกครั้ง: ดังนั้น .

II.1. อนุญาต , ที่ไหน เป็นจำนวนเต็มบวก .2 ให้เราพิสูจน์ว่า: เช่น ซึ่งเป็นรากของเลขยกกำลัง: .3. ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและตามคำจำกัดความของรูท: ถ้า แล้ว หรือ . เพราะฉะนั้น, .

III.1. ให้ , ที่ไหน .2. จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ เราสามารถเขียนได้: . เพราะฉะนั้น, .

IV. งั้นก็ให้แล้วกัน เพราะฉะนั้น, .

V. เห็นได้ชัดว่า .สรุป: จึงพิสูจน์ได้ว่า , : .

VI.1. ให้ .2. พิจารณาลำดับของจำนวนตรรกยะใดๆ มาบรรจบกันที่: .3 เมื่อนั้นโดยอาศัยความเสมอภาคจะเกิดสิ่งต่อไปนี้:

4. เนื่องจาก ดังนั้น ตามคำจำกัดความของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลในชุดของจำนวนจริง เราสามารถเขียนได้: a) ; b) เนื่องจาก .5. มาดูขีดจำกัดความเท่าเทียมกันของจุดที่ 3 กันที่:

6. ตามวรรค 4 เราเขียนความเท่าเทียมกันเป็นลายลักษณ์อักษร: , .

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 5I.1. ขอเราพิสูจน์ว่าสำหรับ .2 ให้ .3. จากนั้น , .4.ตั้งแต่ , จากนั้น (ตามความไม่เท่าเทียมกันของแบร์นูลลี).5. สำหรับว่า .6. ดังนั้น ถ้า , a แล้ว ที่ ดังนั้น นิยามของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ที่ (ขีดจำกัดอนันต์ของฟังก์ชันที่อนันต์) จะเทียบเท่ากับ

II.1. ถ้า แล้ว .2 ก็พอใจ ตั้งแต่นั้นมานั่นคือ .3. ดังนั้น .4. ถ้า และ แล้ว ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งบนพื้นฐานของทฤษฎีบทตัวแปรที่ถูกบีบอัด

เอกสาร: คุณสมบัติที่ 61. ที่ .2. เมื่อการพิสูจน์กระทำในลักษณะเดียวกับการพิสูจน์ทรัพย์สินข้อ 5

โมดูล

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผัน

คำจำกัดความ 1.อนุญาต ฉ– การโต้ตอบระหว่างชุด เอ็กซ์และ ย- ชุดทุกคู่ (( ใช่,x)| (เอ็กซ์, ย)Î ฉ) ถูกเรียก การติดต่อผกผันสำหรับ การปฏิบัติตามฉและถูกกำหนดไว้ ฉ –1 .

คำจำกัดความ 2ถ้าตรงกัน ฉและ ฉ–1 คือฟังก์ชัน ตามด้วยฟังก์ชัน ฉเรียกว่า ย้อนกลับได้, ก ฉ –1 –ย้อนกลับ สำหรับฟังก์ชั่น ฉ .

ฟังก์ชั่น ฉและ ฉ–1 เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน เพราะว่า - ฉ –1) –1 = ฉและจอแสดงผล

ฉ: X ยเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

คุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันร่วมกัน:

1. ดี(ฉ -1) = อี(ฉ), อี(ฉ -1) = ดี(ฉ).

2. ฉ –1 (ฉ(x)) = x "xโอเค( ฉ); ฉ(ฉ –1 (ย)) = ย "ยÎ อี(ฉ).

3. กราฟฟังก์ชัน ฉและ ฉ–1 – สมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง ย = x.

ให้เรายอมรับทฤษฎีบทต่อไปนี้โดยไม่ต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 1ถ้าฟังก์ชั่น ฉเป็นการแมปโดเมนของคำจำกัดความแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดี(ฉ) จนถึงช่วงของค่า อี(ฉ) จากนั้นจะมีการโต้ตอบแบบผกผัน ฉ–1 – ฟังก์ชั่น

ทฤษฎีบท 2 ( เกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผัน). ปล่อยให้ฟังก์ชัน f เพิ่มขึ้น (ลดลง) และต่อเนื่องกันบนโดเมนของคำจำกัดความ D(f) ซึ่งเป็นช่วงเวลา จากนั้นการติดต่อผกผัน f –1 เป็นฟังก์ชันของการเพิ่มขึ้น (ลดลง) และต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ D(f –1 ) = E(f) ซึ่งก็คือช่วงเวลาเช่นกัน.

บันทึกซึ่งตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชีที่ 2 ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง อี(ฉ) = ง(ฉ–1) – ช่วงเวลา

การพิสูจน์เราจะดำเนินการนี้เพื่อเพิ่มฟังก์ชันใน 3 ขั้นตอน

ขั้นที่ 1อนุญาต ฉ– เพิ่มขึ้น, ให้เราพิสูจน์ว่า f –1 - การทำงาน, เช่น. เราจะแสดงสิ่งนั้นให้ทุกคนเห็น

ยÎ ดี(ฉ –1) = อี(ฉ) สอดคล้องกับค่าเดียว เอ็กซ์Î อี(ฉ–1) = ง( ฉ).

ให้เราถือว่าตรงกันข้ามสำหรับบางคน คุณโอÎ อี(ฉ) ตรงกับสอง x 1, x 2Î ดี(ฉ) ดังนั้น ฉ(x 1) = คุณโอ і ฉ(x 2)= คุณโอ, แต่ x1 ≠ x2- ปล่อยให้เพื่อความแน่นอน x1< x2- จากสภาวะการเพิ่มฟังก์ชัน ฉตามนั้น ฉ(x 1) < ฉ(x 2)Û คุณโอ< y o แต่นี่เป็นไปไม่ได้

ขั้นที่ 2ลองพิสูจน์ว่า f –1 – เพิ่มขึ้นฟังก์ชั่นในโดเมน ดี(ฉ –1) = อี(ฉ- ในความอุดมสมบูรณ์ อี(ฉ) เอาอันไหนก็ได้ เวลา 1และ เวลา 2ดังนั้น เวลา 1 < เวลา 2และแสดงสิ่งนั้น ฉ –1 (เวลา 1)< ฉ –1 (เวลา 2).

สมมติว่าตรงกันข้าม: ฉ –1 (ที่ 1) ³ ฉ –1 (ที่ 2)เนื่องจากฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น ฉเราจะทำเครื่องหมาย

ฉ(ฉ –1 (ปี 1)) ³ ฉ(ฉ –1 (ที่ 2)) Þ ปี 1 ลูกบาศก์ ปี 2ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข เวลา 1 < เวลา 2- นี่เป็นการพิสูจน์การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ฉ –1 .

ด่าน 3สมมติว่าฟังก์ชัน f –1 ต่อเนื่องกับ E(ฉ).

เราได้พิสูจน์แล้วว่า ฉ–1 – เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา อี(ฉ) ฟังก์ชัน ชุดของค่าต่างๆ อี(ฉ -1) = ดี(ฉ) ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท – ช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้นโดย ต.2 §4 ฉ–1 – เปิดฟังก์ชันต่อเนื่อง อี(ฉ). ◄

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันฟังก์ชัน ฉ (เอ็กซ์) = 2x - 4.

สารละลาย.การทำงาน ฉ (เอ็กซ์) = 2x- 4 – ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นโดย ดี(ฉ) = ร. ตามต. 2 มีฟังก์ชันผกผันซึ่งต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นด้วย อี(ฉ) = ร.ลองหาสูตรของฟังก์ชันกัน ฉ –1 (ที่) สำหรับสิ่งนี้เราขอแสดง เอ็กซ์ = ที่/2 + 2 หรือ

ย = x/2 + 2 (เอ็กซ์และ ที่สลับสถานที่กัน)

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน

และสร้างกราฟขึ้นมา

สารละลาย. ดี(ฉ) = ร –ช่องว่าง ให้เราเขียนฟังก์ชัน (1) ใหม่ในรูปแบบ Þ Þ ใช่-อี-ย= 2xÞ ใช่ - 1/ใช่= 2x Þ อี 2ป - 2ใช่- 1 = 0 ½ หมายถึง อี ย = เสื้อ> 0½Þ

ทฤษฎีบท(เกี่ยวกับการมีอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผัน) ให้นิยามฟังก์ชันการเพิ่มขึ้น (ลดลง) อย่างต่อเนื่อง y=f(x) ในช่วงเวลา (a,b) มาแสดงกันเถอะ

จากนั้นในช่วงเวลา (A, B) จะมีการกำหนดฟังก์ชันผกผัน ซึ่งจะเพิ่ม (ลดลง) ในช่วงเวลานี้และต่อเนื่องกันที่แต่ละจุดของช่วงเวลานี้

คำถามข้อ 22: ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ เกณฑ์ความแตกต่าง

คำนิยาม . การทำงาน ฉกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดหนึ่ง เอ็กซ์,เรียกว่า หาความแตกต่างได้ณ จุดนี้ถ้าสูตรเป็นจริง

f (x จังหวะ+ ▲ x จังหวะ)- ฉ (x ไพรม์)=ส AI▲ ซี+ทราย (▲ x จังหวะ)▲ ซี (3)

ที่ไหน ฉันกคือตัวเลข และฟังก์ชัน ai (▲ x จังหวะ)เป็นไปตามเงื่อนไข

AI (▲ x สโตรก)→ 0 (ฉัน=1,2 ,…, n) ที่ ▲ x→0 . (4)

ทฤษฎีบท . ให้ฟังก์ชัน ฉแยกแยะได้ตรงจุด x . จากนั้น ณ จุดนี้ มันมีอนุพันธ์บางส่วนและมีความเท่าเทียมกัน

(df(x ไพรม์))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n)

การพิสูจน์ . จากสูตร (3) จะได้ว่า

(f (x1 ,...,xi-1 ,xi+▲ xi ,xi+1,...,xn)- f (x1 ,...,xi-1 ,xi ,xi+1 ,..., x n))/(▲Xi)= ไอ+αi(▲Xi)

ผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่ ▲x ฉัน → 0 เราได้รับความเท่าเทียมกัน (5)

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน)- ถ้าฟังก์ชั่น ฉมีอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรทั้งหมดในย่านใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง x จังหวะ , และอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดนี้ต่อเนื่องกันในตัวมันเอง

จุด x จังหวะ , จากนั้นฟังก์ชันที่ระบุจะสามารถสร้างอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้

ทฤษฎีบท ( เกณฑ์สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน). การทำงาน ฉ(x) ซึ่งกำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงของจุด x, สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้หากอนุพันธ์มีอยู่เท่านั้น ฉ׳( x- โดยที่ เอฟ= ฉ׳( x).

การพิสูจน์ . ให้มีอนุพันธ์ ฉ׳( x- มาแสดงกันเถอะ

ก(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - ฉ(x)

f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0) (2)

ตอนนี้ให้ความเท่าเทียมกัน (1) เป็นที่พอใจ แล้ว

((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t) ,limα(t) = 0

จึงมีอนุพันธ์ ฉ׳( x)= เอฟ.

คำถามที่ 23: อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของสองฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) มอบให้โดยที่เรารู้จักอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’

2. (f − g)’ = ฉ ’ − g ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง f − g จึงสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมของ f + (−1) g จากนั้นจึงเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

· งาน - ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x) = x 2 + sin x; ก.(x) = x 4 + 2x 2 − 3

สารละลาย- ฟังก์ชัน f(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x + cos x;

เราให้เหตุผลเหมือนกันสำหรับฟังก์ชัน g(x) มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

กรัม '(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)' = (x 4 + 2x 2 + (−3))' = (x 4)' + (2x 2)' + (−3)' = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1)

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x + cos x;
ก. ’(x) = 4x · (x 2 + 1)

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ ก) ’ = ฉ ’ ก + ฉ ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

· งาน - ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x) = x 3 · cos x; ก.(x) = (x 2 + 7x − 7) เช่น x

สารละลาย

คำตอบ:
ก. ’(x) = x(x + 9) อี x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายอนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

อนุพันธ์ของผลหาร

หากมีฟังก์ชัน f(x) และ g(x) สองฟังก์ชัน และ g(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ h(x) = f(x)/g(x) . สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไมต้องจี 2? และเช่นนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงจะดีกว่า

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x) = x 3 · cos x; ก.(x) = (x 2 + 7x − 7) เช่น x

สารละลาย- ฟังก์ชัน f(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

f '(x) = (x 3 cos x)' = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)' = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 · (3cos x − x · บาป x)

ฟังก์ชัน g(x) มีปัจจัยแรกที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ไม่ได้เปลี่ยนรูปแบบทั่วไป แน่นอนว่า ตัวประกอบแรกของฟังก์ชัน g(x) คือพหุนาม และอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

g '(x) = ((x 2 + 7x − 7) e x)' = (x 2 + 7x − 7)' e x + (x 2 + 7x − 7) (e x)' = (2x + 7 ) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 · (3คอส x − x · บาป x);
ก. ’(x) = x(x + 9) เช่น