ให้ฟังก์ชันยูทิลิตี้สองรายการได้รับ
U(x) และ U* (x) = h + y U(x) โดยมี d > 0
ผู้มีอำนาจตัดสินใจจะได้รับผลลัพธ์ A i h A2 บนพื้นฐานของฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่สองเมื่อศึกษาสองทางเลือก จะเกิดอะไรขึ้นหากมุ่งเน้นไปที่ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้แรกแทน?
คำตอบของคุณจะเป็นอย่างไรหากฟังก์ชันยูทิลิตีตัวที่สองอยู่ในรูปแบบ U*(x) = h - y และ (i) ที่มี y > 0
ทางเลือกอื่นเรียงลำดับอย่างไรเมื่อ U*(x) = h
* *
"ถึง
1. ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้สองประการนำไปสู่การยอมรับ โซลูชั่นที่เหมือนกันเมื่อพวกเขาสามารถ "แปล" ร่วมกันผ่านการแปลงเชิงเส้นเชิงบวก (ดูหน้า 74 ในหัวข้อนี้ด้วย) หากเราสามารถแสดงว่า U(x) เป็นการแปลงเชิงเส้นเชิงบวกของฟังก์ชัน U*(x) ดังนั้นการเลือกฟังก์ชันอรรถประโยชน์จะไม่มีผลกระทบต่อการเรียงลำดับของทางเลือกอื่น เรากำลังมองหาตัวเลขสองตัว a และ b สำหรับ b > 0 เพื่อให้เป็นจริง
ก + ขU*(x) = U(x)
ถ้าเราแทนที่ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ตัวที่สอง เราก็จะได้
a + b (h + gU(x)) = U(x)
ในระยะแรก เรานิยาม 6 ในลักษณะที่ตัวประกอบที่ใช้คูณ U(x) จะใช้ค่าเป็น 1 แน่นอน เราต้องแสดงว่า b = 1 /d ปรากฎว่า
a + - + U (x) = U (.g) 9
หลังจากนี้ เราต้องเลือก a เพื่อให้เหลือเพียง U(x) ทั้งสองข้างของสมการ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ a = -h/g
ตอนนี้เรากำลังมองหาการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง
a + b(h-gU(x)) = U(x)
ที่จะได้รับ ผลลัพธ์ที่ต้องการเราต้องแสดงว่า b = - - ลิตร/ชม. นี่จะเป็นการแปลงเชิงเส้นเชิงลบและจะกลับลำดับอันดับ
ผู้มีอำนาจตัดสินใจที่ได้รับฟังก์ชันอรรถประโยชน์นี้จะประเมินทางเลือกทั้งหมดที่มีค่าเท่ากัน ดังนั้น เมื่อทำการเลือกระหว่างทางเลือก A\ และ A.2 ควรได้ผลลัพธ์ A i ~
เพิ่มเติมในหัวข้อ 2.1.5 ความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชั่นยูทิลิตี้:
- 1. ความต้องการของผู้บริโภคและอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่ม ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้
- 2.3.2. ฟังก์ชันอรรถประโยชน์กำลังสองและอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง
- อรรถประโยชน์และผู้บริโภคอย่างมีเหตุผล ยูทิลิตี้ทั้งหมดและส่วนเพิ่ม กฎแห่งการลดยูทิลิตี้ส่วนเพิ่ม หลักการใช้ประโยชน์สูงสุด
- ทฤษฎีอรรถประโยชน์เชิงปริมาณ แนวคิดเกี่ยวกับอรรถประโยชน์ ทางเลือกของผู้บริโภค ประโยชน์รวมและประโยชน์ส่วนเพิ่ม
หากมีการระบุกฎตามจำนวน u ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละจุด M ของระนาบ (หรือบางส่วนของระนาบ) ก็จะกล่าวได้ว่าบนระนาบ (หรือส่วนหนึ่งของระนาบ "ฟังก์ชันจุด" ได้รับ”; คำจำกัดความของฟังก์ชันแสดงเชิงสัญลักษณ์ด้วยความเท่าเทียมกันของรูปแบบ ยู - จำนวน u ที่เกี่ยวข้องกับจุด M เรียกว่าค่าของฟังก์ชันนี้ที่จุด M ตัวอย่างเช่นหาก A เป็นจุดคงที่ใน เครื่องบิน M คือ จุดใดก็ได้ดังนั้นระยะทางจาก A ถึง M เป็นฟังก์ชันของจุด M. B ในกรณีนี้ฉ(ม) = ก่อนเที่ยง.
กำหนดให้ฟังก์ชันบางอย่าง u = f(M) และในขณะเดียวกันก็แนะนำระบบพิกัดด้วย จากนั้นจุดใดก็ได้ M จะถูกกำหนดโดยพิกัด x, y ดังนั้น ค่าของฟังก์ชันนี้ที่จุด M จึงถูกกำหนดโดยพิกัด x, y หรืออย่างที่พวกเขาบอกกันว่า u = f(M) เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x และ y สองตัว ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x, y เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x, y) ถ้า f(M) = f(x, y) ดังนั้นสูตร u = f(x, y) เรียกว่านิพจน์ของฟังก์ชันนี้ในระบบพิกัดที่เลือก ดังนั้น ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ f(M)=AM; ถ้าคุณแนะนำคาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดกับจุดกำเนิดที่จุด A เราได้นิพจน์สำหรับฟังก์ชันนี้:
ยู = √(x 2 + y 2)
146. เมื่อพิจารณาจากจุด P และ Q สองจุด ระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองคือ a และฟังก์ชัน f(M) = d 2 1 - d 2 2 โดยที่ d 1 - MP และ d 2 - MQ กำหนดนิพจน์ของฟังก์ชันนี้หากจุด P เป็นจุดกำเนิดของพิกัด และแกน Ox ถูกกำหนดทิศทางไปตามส่วน PQ
147. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 146 ให้กำหนดนิพจน์ของฟังก์ชัน f(M) (โดยตรงและใช้การแปลงพิกัดโดยใช้ผลลัพธ์ของปัญหา 146) ถ้า:
1) ต้นกำเนิดของพิกัดถูกเลือกที่กึ่งกลางของส่วน PQ แกน Ox จะถูกกำกับไปตามส่วน PQ
2) ต้นกำเนิดของพิกัดถูกเลือกที่จุด P และแกน Ox ถูกกำหนดทิศทางไปตามส่วน QP
148. ให้ไว้: ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน a และฟังก์ชัน f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4 โดยที่ d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC และ d 4 = นพ. กำหนดการแสดงออกของฟังก์ชันนี้หากใช้เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นแกนพิกัด (และแกน Ox ถูกกำหนดทิศทางตามส่วน AC ส่วนแกน Oy ถูกกำหนดทิศทางตามส่วน BD)
149. ภายใต้เงื่อนไขของปัญหา 148 ให้กำหนดนิพจน์สำหรับ f(M) (โดยตรงและใช้การแปลงพิกัดโดยใช้ผลลัพธ์ของปัญหา 148) ถ้าแหล่งกำเนิดของพิกัดถูกเลือกที่จุด A และแกนพิกัดถูกชี้ไปตาม ด้านข้างของมัน (แกน Ox เป็นไปตามส่วน AB, แกน Oy - ตามส่วน AD)
150. เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y กำหนดการแสดงออกของฟังก์ชันนี้ในระบบพิกัดใหม่หากต้นกำเนิดของพิกัดถูกย้าย (โดยไม่เปลี่ยนทิศทางของแกน) ไปที่จุด O"(3; -4)
151. เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f(x, y) = x 2 - y 2 - 16 จงหาการแสดงออกของฟังก์ชันนี้ในระบบพิกัดใหม่ หากแกนพิกัดถูกหมุนที่มุม -45°
152. ให้ฟังก์ชัน f(x, y) = x 2 + y 2 . กำหนดการแสดงออกของฟังก์ชันนี้ในระบบพิกัดใหม่หากแกนพิกัดถูกหมุนด้วยมุม α ที่กำหนด
153. ค้นหาจุดโดยที่เมื่อจุดกำเนิดของพิกัดถูกถ่ายโอนไป นิพจน์ของฟังก์ชัน f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 หลังจากการแปลงไม่มีพจน์ของตัวแรก ระดับเทียบกับตัวแปรใหม่
154. ค้นหาจุดโดยที่เมื่อจุดกำเนิดของพิกัดถูกถ่ายโอนไป นิพจน์ของฟังก์ชัน f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 ไม่มีเงื่อนไขของดีกรีแรก เกี่ยวกับตัวแปรใหม่
155. แกนพิกัดควรหมุนมุมใดเพื่อให้การแสดงออกของฟังก์ชัน f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 หลังจากการแปลงไม่มีคำศัพท์ที่มีผลคูณของตัวแปรใหม่ ?
156. แกนพิกัดควรหมุนในมุมใดเพื่อให้การแสดงออกของฟังก์ชัน f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 หลังจากการแปลงไม่มีคำศัพท์ที่มีผลคูณของตัวแปรใหม่?
2. ฟังก์ชั่น คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชัน 21 2.11 พิสูจน์ว่าถ้า f (x) เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด T แล้วฟังก์ชัน f (ax) ก็เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด T /a เช่นกัน สารละลาย. แท้จริงแล้ว f = f (ax + T) = f (ax) เช่น T /a เป็นหนึ่งในคาบของฟังก์ชัน f (ax) 2.12. ค้นหาคาบของฟังก์ชัน f (x) = cos2 x 1 + คอส 2x สารละลาย เราสามารถเขียนได้: cos2 x = . เราเห็นช่วงนั้น 2 ฟังก์ชันคอส 2 x เท่ากับคาบของฟังก์ชัน cos 2x เนื่องจากคาบของฟังก์ชัน cos x เท่ากับ 2π ดังนั้นตามปัญหา 2.11 คาบของฟังก์ชัน cos 2x จึงเท่ากับ π 2.13. ค้นหาคาบของฟังก์ชัน: a) f (x) = sin 2πx; ข) ฉ (x) = | เพราะ x|. คำตอบ: ก) T = 1; ข) T = π งานสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ 2.14. ให้ f (x) = x2 และ ϕ(x) = 2x ค้นหา: a) f [ϕ(x)], b) ϕ 2.15. จงหา f (x + 1) ถ้า f (x − 1) = x2 1 2.16. กำหนดให้ฟังก์ชัน f (x) = 1−x ค้นหา ϕ(x) = f (f ) 2.17. รับฟังก์ชัน f (x) = 3x2 − 4x − 2 พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f (2x + 1) สามารถแสดงเป็น f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C ค้นหาค่าของค่าคงที่ ก, บี, ค 2.18 ให้สอง ฟังก์ชันเชิงเส้น f1 (x) = 5x + 4 และ f2 (x) = 3x − 1 จงพิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f (x) = f2 นั้นเป็นเส้นตรงด้วย กล่าวคือ มันมีรูปแบบ f (x) = Ax + B จงหา ค่าคงที่ A และ B 3x + 7 5x + 4 2.19. เมื่อพิจารณาสองฟังก์ชัน f1 (x) = และ f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 เรียกว่าเศษส่วนเชิงเส้น พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f (x) = f1 ก็เป็นเศษส่วนเชิงเส้นเช่นกัน นั่นคือมีรูปแบบ Ax + B f (x) = . ให้ค่าของค่าคงที่ A, B, C, D. Cx + D 22 บทนำ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ 2.20. สำหรับฟังก์ชัน f: X ⊂ R → Y ⊂ R เป็นที่ทราบกันว่า f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3 พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน f (x) สามารถแสดงเป็น f (x) = Ax2 + Bx + C. ค้นหาค่าคงที่ A, B, C. 2.21. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ ฟังก์ชั่นต่อไปนี้: √ 2+x ก) ฉ (x) = x + 1; ข) ฉ (x) = แอลจี ; √ 2−x ค) ฉ (x) = 2 + x − x2 ; d) f (x) = อาร์คซิน(log2 x); 1 + x2 d) f (x) = cos(sin x) + อาร์คซิน 2x 2.22. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่อไปนี้: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; ข) ฉ (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = log[(1 + x)(12 − x)]; d) f (x) = อาร์คซิน; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14); 15 f) f (x) = อาร์คซิน; x − 11 −x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + อาร์คซิน 13 2.23. สร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่อไปนี้: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y 2 c) f (x, y) = อาร์คซิน; 4 √ ก) ฉ (x, y) = xy 2.24. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่อไปนี้: 1 − log x 3 − 2x arcsin a) f (x) = 1 ; ข) ฉ (x) = √ 5 √ x2 − 4x 3−x 2 ฟังก์ชัน คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชัน 23 2.25 ค้นหาและสร้างโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่อไปนี้ 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = x2 - 2x + y 2 2.26. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| สม่ำเสมอ; 2x − 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x , 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg คี่; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 ในรูปแบบทั่วไป 2.27. ฟังก์ชั่นที่ได้รับ: 1 a) y = sin2 x; b) y = บาป x2 ; c) y = 1 + สีแทน x; d) y = บาป x ข้อใดเป็นระยะ? 2x2.28. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน y = มีค่าผกผัน 1 + 2x แล้วหามัน 2.29. พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน y = x2 − 2x มีสองค่าผกผัน: y1 = 1 + x + 1 และ y2 = 1 − x + 1 2.30 พิสูจน์ว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีขอบเขตจากด้านล่าง: a) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; ข) f2 (x) = x4 - 8x3 + 22x2 2.31. พิสูจน์ว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีขอบเขตจากด้านบน: 1 5 a) f1 (x) = √ ; ข) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 แคลคูลัสเบื้องต้น 2.32 ค้นหาที่เล็กที่สุดและฟังก์ชั่นต่อไปนี้: ก) f1 (x) = 3 บาป x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 บาป x + 12 cos x 2.33. อธิบายรูปกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ a) z = 1 − x2 − y 2 ; ข) z = x2 + y 2 ; ค) z = x2 + y 2 ; ง) z = x2 − y 2 2.34. วาดเส้นระดับสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้โดยให้ค่า z จาก −3 ถึง +3 ถึง 1: a) z = xy; ข) z = y(x2 + 1) 2.35. สร้างกราฟฟังก์ชัน y = 2 −3(x + 1) − 0.5 s √ โดยการแปลงกราฟของฟังก์ชัน y = x 2.36. เขียนกราฟของฟังก์ชัน y = 3 sin(2x − 4) โดยการแปลงกราฟของฟังก์ชัน y = sin x 2.37. ใช้การวิจัยฟังก์ชันพื้นฐาน (โดยไม่ใช้อนุพันธ์) เขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: 1 x a) y = 2 ; ข) ย = 2; x +1 x +1 1 ค) y = x4 − 2x2 + 5; ง) ย = 2; x + 4x + 5 2x − 5 วัน) y = ; จ) y = x2 + 6x + 9 + 10 x−3 2.38 พล็อตกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้: x, ถ้า − ∞< x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по หนังสือเรียนศึกษาหัวข้อย่อย 1.4 และ 1.5 ควรจะจ่าย ความสนใจเป็นพิเศษในหมวดย่อย 1.4 และรู้จักละแวกใกล้เคียงทุกประเภท การกำหนด และรูปแบบการเขียนในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน คำสั่ง lim f (x) = A หมายถึง: สำหรับย่านใกล้เคียง x→x0 ใดๆ ขององค์ประกอบ A (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีขนาดเล็กโดยพลการ) ขององค์ประกอบ A จะมีย่านใกล้เคียง V (x0) ขององค์ประกอบ x0 ที่เจาะทะลุจนทำให้จากเงื่อนไข x ∈ V˙ (x0) ∩ X ตามหลัง f (x) ∈ U (A) โดยที่ X คือโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f (x) และ x0 คือจุดจำกัดของเซต X บ่อยครั้ง แทน ของย่านใกล้เคียง U (A) โดยพลการ คนหนึ่งพิจารณาย่านสมมาตร Uε (A) ในกรณีนี้ ย่านใกล้เคียง ˙ V (x0) อาจกลายเป็นย่านสมมาตรหรือไม่สมมาตรก็ได้ แต่จากย่านใกล้เคียงที่ไม่สมมาตรใดๆ คุณสามารถเลือกย่านใกล้เคียงสมมาตร Vδ (x0) ได้ เนื่องจากย่านใกล้เคียง V (x0) ถูกเจาะ นั่นคือ ไม่มีจุด x0 ดังนั้น x = x0 และ ณ จุด x0 ฟังก์ชัน f (x) อาจไม่ได้ถูกกำหนดไว้ เพื่อพิสูจน์ว่า lim f (x) = A ก็เพียงพอที่จะค้นหา x → x0 ชุด (x) ของค่า x เหล่านั้นซึ่งการรวม f (x) ⊂ U (A) ไว้สำหรับพื้นที่ใกล้เคียงใด ๆ U ( ก) ถ้าเซตที่พบ (x) เป็นย่านใกล้เคียงของ x0 ดังนั้นคำสั่ง lim f (x) = A เป็นจริง ใน มิฉะนั้นมันคือ x→x0 เป็นเท็จ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x0 ถูกกำหนดไว้ และ lim f (x) = f (x0) แล้วเซต (x) ก็จะมี x→x0 จุด x0 ด้วย คำจำกัดความของขีดจำกัดที่กำหนดใช้ได้กับคลาสของฟังก์ชันใดๆ ในส่วนนี้เราจะพูดถึงเป็นหลัก ฟังก์ชันตัวเลขอาร์กิวเมนต์ตัวเลขหนึ่งตัว 3.1. จากนิยามของลิมิต ให้พิสูจน์: 1 1 a) lim x = x0 ; ข) ลิม = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น 1 1 d) lim = +∞; จ) ลิม = −∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) ลิม = 2; g) lim x2 = 4 x→1 x x→2 วิธีแก้: a) ข้อความสั่ง lim x = x0 โดยตรง x→x0 ตามมาจากนิยามของลิมิต ถ้าย่านใกล้เคียง Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε >0 มีค่าใกล้เคียง V (2) โดยที่ถ้า 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2) แล้ว −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2