กฎลอการิทึม คำจำกัดความของลอการิทึม เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

เราศึกษาลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึมกระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม- ขั้นแรก เราจะเข้าใจการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ ต่อไปเรามาดูวิธีการหาค่าลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของพวกเขา หลังจากนี้เราจะเน้นไปที่การคำนวณลอการิทึมตั้งแต่ต้น ตั้งค่าลอการิทึมอื่น ๆ สุดท้ายนี้ เรามาดูวิธีใช้ตารางลอการิทึมกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีตัวอย่างพร้อมคำตอบโดยละเอียด

การนำทางหน้า

การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถทำได้ค่อนข้างรวดเร็วและง่ายดาย การหาลอการิทึมตามคำจำกัดความ- มาดูกันว่ากระบวนการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร

สาระสำคัญของมันคือการแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c ซึ่งตามคำจำกัดความของลอการิทึม จำนวน c คือค่าของลอการิทึม ตามคำนิยามแล้ว สายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สอดคล้องกับการค้นหาลอการิทึม: log a b=log a a c =c

ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความจึงต้องหาตัวเลข c โดยที่ a c = b และตัว c เองก็เป็นค่าที่ต้องการของลอการิทึม

โดยคำนึงถึงข้อมูลในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อตัวเลขภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมถูกกำหนดด้วยกำลังของฐานลอการิทึม คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมมีค่าเท่ากับอะไร - มัน เท่ากับตัวบ่งชี้องศา เรามาแสดงวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง.

ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข e 5,3 ด้วย

สารละลาย.

คำจำกัดความของลอการิทึมทำให้เราบอกได้ทันทีว่า log 2 2 −3 =−3 โดยแท้แล้ว ตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่าเท่ากับฐาน 2 ยกกำลัง −3

ในทำนองเดียวกัน เราพบลอการิทึมที่สอง: lne 5.3 =5.3

คำตอบ:

บันทึก 2 2 −3 =−3 และ lne 5,3 =5,3

หากไม่ได้ระบุเลข b ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังของฐานลอการิทึม คุณต้องพิจารณาอย่างรอบคอบเพื่อดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแทนตัวเลข b ในรูปแบบ a c บ่อยครั้งที่การแสดงนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมเท่ากับฐานยกกำลัง 1 หรือ 2 หรือ 3 ...

ตัวอย่าง.

คำนวณบันทึกลอการิทึม 5 25 และ

สารละลาย.

สังเกตได้ง่ายว่า 25=5 2 จะทำให้คุณสามารถคำนวณลอการิทึมแรกได้: log 5 25=log 5 5 2 =2

มาดูการคำนวณลอการิทึมที่สองกันดีกว่า ตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังของ 7: (ดูว่าจำเป็นหรือไม่) เพราะฉะนั้น, .

ลองเขียนลอการิทึมที่สามใหม่กัน แบบฟอร์มต่อไปนี้- ตอนนี้คุณสามารถเห็นสิ่งนั้นได้แล้ว ซึ่งเราก็สรุปได้ว่า - ดังนั้นโดยนิยามของลอการิทึม .

เขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อได้ดังนี้: .

คำตอบ:

ล็อก 5 25=2 , และ .

เมื่ออยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม จะมีขนาดใหญ่เพียงพอ จำนวนธรรมชาติถ้าอย่างนั้นมันก็ไม่เสียหายที่จะย่อยสลายมัน ปัจจัยสำคัญ- การแสดงตัวเลขเช่นกำลังของฐานลอการิทึมมักจะช่วยได้ ดังนั้นจึงคำนวณลอการิทึมนี้ตามคำจำกัดความ

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าลอการิทึม

สารละลาย.

คุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมช่วยให้คุณสามารถระบุค่าลอการิทึมได้ทันที คุณสมบัติเหล่านี้รวมถึงคุณสมบัติของลอการิทึมของหน่วยและคุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลข เท่ากับฐาน: log 1 1=log a a 0 =0 และ log a a=log a 1 =1 นั่นคือ เมื่อภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม มีตัวเลข 1 หรือตัวเลข a เท่ากับฐานของลอการิทึม ในกรณีนี้ ลอการิทึมจะเท่ากับ 0 และ 1 ตามลำดับ

ตัวอย่าง.

ลอการิทึมและ log10 เท่ากับอะไร?

สารละลาย.

เนื่องจาก จากนั้นจากคำจำกัดความของลอการิทึมจึงเป็นไปตามนั้น .

ในตัวอย่างที่สอง เลข 10 ใต้เครื่องหมายลอการิทึมตรงกับฐาน ดังนั้น ลอการิทึมทศนิยมสิบ เท่ากับหนึ่งนั่นคือ log10=lg10 1 =1

คำตอบ:

และ lg10=1 .

โปรดทราบว่าการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ (ซึ่งเราได้กล่าวถึงไปแล้ว ย่อหน้าก่อนหน้า) หมายถึงการใช้บันทึกความเท่าเทียมกัน a a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม

ในทางปฏิบัติ เมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมและฐานของลอการิทึมสามารถแทนค่ากำลังของจำนวนหนึ่งได้อย่างง่ายดาย การใช้สูตรจะสะดวกมาก ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาลอการิทึมซึ่งแสดงให้เห็นการใช้สูตรนี้

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึม.

สารละลาย.

คำตอบ:

.

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้นยังใช้ในการคำนวณด้วย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในย่อหน้าต่อไปนี้

การค้นหาลอการิทึมผ่านลอการิทึมอื่นที่รู้จัก

ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมเมื่อคำนวณ แต่ข้อแตกต่างที่สำคัญตรงนี้คือคุณสมบัติของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมดั้งเดิมในรูปของลอการิทึมอื่น ซึ่งเป็นค่าที่ทราบ ขอยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมติว่าเรารู้ว่าบันทึก 2 3µ1.584963 จากนั้นเราสามารถค้นหาบันทึก 2 6 ได้โดยทำการแปลงเล็กน้อยโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3data 1+1,584963=2,584963 .

ในตัวอย่างข้างต้น การใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติลอการิทึมที่กว้างขึ้นเพื่อคำนวณลอการิทึมดั้งเดิมผ่านค่าที่กำหนด

ตัวอย่าง.

คำนวณลอการิทึมของ 27 ถึงฐาน 60 หากคุณรู้ว่าบันทึก 60 2=a และบันทึก 60 5=b

สารละลาย.

ดังนั้นเราจึงต้องหาบันทึก 60 27 เห็นได้ง่ายว่า 27 = 3 3 และลอการิทึมดั้งเดิม เนื่องจากคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง สามารถเขียนใหม่เป็น 3·log 60 3 ได้

ตอนนี้เรามาดูวิธีแสดงบันทึก 60 3 ในรูปของลอการิทึมที่รู้จักกัน คุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขที่เท่ากับฐานทำให้เราสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกัน 60 60=1 ในทางกลับกัน บันทึก 60 60=log60(2 2 3 5)= บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2·ล็อก 60 2+ล็อก 60 3+ล็อก 60 5 ดังนั้น, 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1- เพราะฉะนั้น, ล็อก 60 3=1−2·ล็อก 60 2−ล็อก 60 5=1−2·a−b.

สุดท้าย เราคำนวณลอการิทึมดั้งเดิม: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

คำตอบ:

ล็อก 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

แยกกันเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมของแบบฟอร์ม - ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานใด ๆ ไปยังลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะซึ่งเป็นค่าที่ทราบหรือเป็นไปได้ที่จะค้นหา โดยปกติจากลอการิทึมดั้งเดิมโดยใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงพวกเขาจะย้ายไปที่ลอการิทึมในฐานใดฐานหนึ่ง 2, e หรือ 10 เนื่องจากสำหรับฐานเหล่านี้จะมีตารางลอการิทึมที่อนุญาตให้คำนวณค่าด้วยระดับหนึ่ง ความแม่นยำ. ใน จุดถัดไปเราจะแสดงให้คุณเห็นว่ามันเสร็จสิ้นอย่างไร

ตารางลอการิทึมและการนำไปใช้

สำหรับการคำนวณค่าลอการิทึมโดยประมาณสามารถใช้ได้ ตารางลอการิทึม- ตารางลอการิทึมฐาน 2 ที่ใช้กันมากที่สุด ตารางลอการิทึมธรรมชาติ และตารางลอการิทึมทศนิยม เมื่อเข้ามาทำงาน ระบบทศนิยมสำหรับแคลคูลัส สะดวกในการใช้ตารางลอการิทึมตามฐานสิบ ด้วยความช่วยเหลือเราจะเรียนรู้การค้นหาค่าลอการิทึม

ตารางที่นำเสนอช่วยให้คุณค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขตั้งแต่ 1,000 ถึง 9,999 (มีทศนิยมสามตำแหน่ง) ด้วยความแม่นยำหนึ่งหมื่น เราจะวิเคราะห์หลักการหาค่าลอการิทึมโดยใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมลงไป ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง– วิธีนี้ชัดเจนกว่า มาหา log1.256 กัน

ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบตัวเลขสองตัวแรกของตัวเลข 1.256 นั่นคือเราพบ 1.2 (ตัวเลขนี้จะวงกลมเป็นสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจน) เราพบหลักที่สามของ 1.256 (หลัก 5) ในตัวแรกหรือ บรรทัดสุดท้ายทางด้านซ้ายของเส้นคู่ (ตัวเลขนี้วงกลมสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเดิม 1.256 (หลัก 6) จะอยู่ที่บรรทัดแรกหรือบรรทัดสุดท้ายทางด้านขวาของเส้นคู่ (หมายเลขนี้วงกลมด้วยเส้นสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขในเซลล์ของตารางลอการิทึมที่จุดตัดของแถวที่ทำเครื่องหมายไว้และคอลัมน์ที่ทำเครื่องหมายไว้ (ตัวเลขเหล่านี้ถูกเน้นไว้ ส้ม- ผลรวมของตัวเลขที่ทำเครื่องหมายไว้จะให้ค่าลอการิทึมทศนิยมที่ต้องการซึ่งแม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่สี่นั่นคือ บันทึก1.236µ0.0969+0.0021=0.0990.

เป็นไปได้หรือไม่โดยใช้ตารางด้านบนเพื่อค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมมากกว่าสามหลักรวมทั้งค่าที่เกินช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 9.999 ใช่คุณสามารถ เรามาแสดงวิธีการทำสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

มาคำนวณ lg102.76332 กัน ก่อนอื่นคุณต้องเขียนลงไป หมายเลขเข้า แบบฟอร์มมาตรฐาน : 102.76332=1.0276332·10 2. หลังจากนี้ แมนทิสซาควรถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สามตามที่เรามี 1.0276332 10 2 µ1.028 10 2ในขณะที่ลอการิทึมทศนิยมดั้งเดิมมีค่าประมาณ เท่ากับลอการิทึมจำนวนผลลัพธ์นั่นคือเราเอา log102.76332µlg1.028·10 2 ตอนนี้เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2- สุดท้าย เราพบค่าลอการิทึม lg1.028 จากตารางลอการิทึมฐานสิบ lg1.028µ0.0086+0.0034=0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดในการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log102.76332=log1.0276332 10 2 µlg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2γ0.012+2=2.012.

โดยสรุปเป็นที่น่าสังเกตว่าการใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมคุณสามารถคำนวณค่าโดยประมาณของลอการิทึมใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปยังลอการิทึมทศนิยมค้นหาค่าในตารางและทำการคำนวณที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณบันทึก 2 3 กัน ตามสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม เรามี . จากตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบ log3γ0.4771 และ log2γ0.3010 ดังนั้น, .

อ้างอิง.

• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:

ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.

ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร

ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1

ตาม คำจำกัดความของบันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้นให้บันทึก a a x = x

ลอการิทึมตัวอย่าง:

บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8

บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49

บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5

ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg

บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100

ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ- แสดงว่า ln.

ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้มันในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง

• พื้นฐาน เอกลักษณ์ลอการิทึม
  บันทึก a b = b

  8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึม
  บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a c

  บันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4

• ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
  log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c

  9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81

• คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม

  เลขชี้กำลังของลอการิทึม หมายเลขบันทึกข ม = mlog ข

  เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b

  บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b

  ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b

  บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3

• การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
  บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c a

  ถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1

  จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a

  บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1

อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!

หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ

หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก

คำแนะนำ

เขียนสิ่งที่ให้มา นิพจน์ลอการิทึม- ถ้านิพจน์ใช้ลอการิทึมเป็น 10 สัญกรณ์ของมันจะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือลอการิทึมทศนิยม หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน ให้เขียนนิพจน์: ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของค่าใดๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;

ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนแล้วจึงจำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นภายในและอนุพันธ์ของสิ่งภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)

ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันเป็น จุดที่กำหนดให้ย"(1)=8*อี^0=8

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์ของค่าคงที่

แล้วความแตกต่างคืออะไร? ir สมการตรรกยะจากเหตุผล? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองจากนั้นสมการจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีการหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีสร้างทั้งสองด้าน สมการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำจัดป้ายนั้นออก วิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยากในทางเทคนิค แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการคือ v(2x-5)=v(4x-7) ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2x-5=4x-7 การแก้สมการดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ- ทำไม แทนค่าหนึ่งลงในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่านี้ไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น สมการที่กำหนดไม่มีราก

ดังนั้นสมการไร้เหตุผลจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

พิจารณาอีกอันหนึ่ง
2х+vх-3=0
แน่นอนว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้า ย้ายสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวาแล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากที่เกิดขึ้น แต่ยังอีกอันที่หรูหรากว่าอีกด้วย ป้อนตัวแปรใหม่ vх=y. ดังนั้น คุณจะได้สมการในรูปแบบ 2y2+y-3=0 นั่นก็คือ ตามปกติ สมการกำลังสอง- ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vh=1; วх=-3/2. สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมตรวจสอบรากด้วย

การแก้ไขตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำ การเปลี่ยนแปลงตัวตนจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือที่ง่ายที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์งานที่ทำอยู่จะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้อง

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณพีชคณิตแบบย่อ (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง), ผลต่างของกำลังสอง, ผลรวม (ผลต่าง), ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมายและ สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคืออัตลักษณ์ที่เหมือนกัน

อันที่จริงกำลังสองของผลรวมของสองเทอม เท่ากับกำลังสองอันแรกบวกด้วยผลคูณของอันแรกเป็นสองเท่าและบวกกำลังสองของอันที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=ก^2+2ab +b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสองอย่าง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำตามตำราเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลจำกัดจำนวน ดังที่ทราบกันดีว่าทางแก้ อินทิกรัลที่แน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์ให้ค่าปริพันธ์ ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ โดย หลักการนี้และสร้างอินทิกรัลหลัก
กำหนดโดยรูปแบบของปริพันธ์ว่าปริพันธ์ของตารางใดที่เข้าได้ ในกรณีนี้- ไม่สามารถระบุสิ่งนี้ได้ทันทีเสมอไป บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้เฉพาะหลังจากการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้ปริพันธ์ง่ายขึ้น

วิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์เป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์มีพหุนามอยู่ ให้ลองใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของปริพันธ์ด้วยตัวแปรใหม่บางตัว ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า ให้กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม ความแตกต่าง ได้รับการแสดงออกค้นหาความแตกต่างใหม่ใน. ดังนั้นคุณจะได้รับ รูปลักษณ์ใหม่ของอินทิกรัลก่อนหน้า ใกล้หรือสอดคล้องกับอินทิกรัลตารางใดๆ

การแก้อินทิกรัลชนิดที่สอง

หากอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎในการเปลี่ยนจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างออสโตรกราดสกี-เกาส์ กฎหมายนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากฟลักซ์โรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปเป็นอินทิกรัลสามส่วนเหนือไดเวอร์เจนต์ของสนามเวกเตอร์ที่กำหนด

การทดแทนขีดจำกัดการรวม

หลังจากค้นหาแอนติเดริเวทีฟแล้ว ก็จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการอินทิเกรต ขั้นแรกให้แทนค่า ขีด จำกัด บนเป็นนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้เลขจำนวนหนึ่ง จากนั้น ให้ลบจำนวนอื่นที่ได้รับจากขีดจำกัดล่างออกจากผลลัพธ์เป็นค่าแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดของการอินทิเกรตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อทำการแทนที่มันเข้าไป ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์มีความจำเป็นต้องไปให้ถึงขีด จำกัด และค้นหาว่าสำนวนนั้นมุ่งมั่นเพื่ออะไร
หากอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดของอินทิกรัลในเชิงเรขาคณิตเพื่อทำความเข้าใจวิธีประเมินอินทิกรัล อันที่จริง ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ขีดจำกัดของอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาตรที่อินทิกรัล

ตามมาจากคำจำกัดความของมัน แล้วก็ลอการิทึมของจำนวนนั้น ขขึ้นอยู่กับ กถูกกำหนดให้เป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามการคำนวณ x=ล็อก ก ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ ก x =ขตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 - การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อเรื่องกำลังของตัวเลข

ด้วยลอการิทึมเช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถทำได้ การดำเนินการบวก ลบและเปลี่ยนแปลงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทั้งหมด จึงมีการใช้กฎพิเศษของตัวเองที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

การบวกและการลบลอการิทึม

ลองเอาลอการิทึมสองตัวมาด้วย ในบริเวณเดียวกัน: เข้าสู่ระบบ xและ เข้าสู่ระบบ y- จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและการลบ:

บันทึก x+ บันทึก a y= บันทึก a (x·y);

บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x:y)

เข้าสู่ระบบ(x 1 . x 2 . x 3 ... เอ็กซ์ เค) = เข้าสู่ระบบ x 1 + เข้าสู่ระบบ x 2 + เข้าสู่ระบบ x 3 + ... + เข้าสู่ระบบ x k.

จาก ทฤษฎีบทผลหารลอการิทึมสามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีกหนึ่งรายการ เป็นความรู้ทั่วไปที่บันทึก ก 1= 0 ดังนั้น

บันทึก ก 1 /ข=บันทึก ก 1 - บันทึก ข= -ล็อก ข.

ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกัน:

บันทึก a 1 / b = - บันทึก a b

ลอการิทึมของจำนวนกลับกันสองตัวด้วยเหตุผลเดียวกันจะแตกต่างกันโดยสัญญาณเท่านั้น ดังนั้น:

บันทึก 3 9= - บันทึก 3 1/9 ; บันทึก 5 1/125 = -บันทึก 5 125

องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจาก ภาษากรีกมาจากคำว่า “ตัวเลข” หรือ “กำลัง” และหมายถึงกำลังที่ต้องยกเลขในฐานขึ้นเพื่อหาเลขท้าย

ประเภทของลอการิทึม

• log a b – ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – ลอการิทึมทศนิยม (ลอการิทึมถึงฐาน 10, a = 10);
• ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมถึงฐาน e, a = e)

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยก b ขึ้นเป็นฐาน a ผลลัพธ์ที่ได้จะออกเสียงดังนี้: “ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a” สารละลาย ปัญหาลอการิทึมก็คือคุณต้องตัดสินใจ ระดับนี้ตามตัวเลขโดย หมายเลขที่ระบุ- มีกฎพื้นฐานบางประการในการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการแปลงสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้พวกมัน สมการลอการิทึมจะถูกแก้ไข พบอนุพันธ์ ปริพันธ์ได้รับการแก้ไข และดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว การแก้ลอการิทึมนั้นจะใช้สัญกรณ์แบบง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติพื้นฐาน:

สำหรับใดๆ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใด ๆ ; ใช่ > 0

• บันทึก a b = b – ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
• บันทึก 1 = 0
• โลกา ก = 1
• บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y
• บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
• บันทึก a 1/x = -บันทึก x
• บันทึก a x p = p บันทึก a x
• log a k x = 1/k log a x สำหรับ k ≠ 0
• บันทึก a x = บันทึก a c x c
• log a x = log b x/ log b a – สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่
• บันทึก a x = 1/บันทึก x a

วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนในการแก้ปัญหา

• ขั้นแรก เขียนสมการที่ต้องการ

โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานคือ 10 รายการจะถูกย่อให้สั้นลง ส่งผลให้มีลอการิทึมฐานสิบ ถ้ามีจำนวนธรรมชาติ e เราก็เขียนมันลงไปแล้วลดให้เหลือ ลอการิทึมธรรมชาติ- ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือกำลังที่เลขฐานถูกยกขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การคำนวณระดับนี้โดยตรง ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึมจะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาตัวตนหลักได้โดยย้อนกลับไปในบทความเล็กน้อย

การบวกและการลบลอการิทึมด้วยสอง ตัวเลขที่แตกต่างกันแต่ด้วยฐานเดียวกัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมหนึ่งตัวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรในการย้ายไปยังฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)

หากคุณใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องพิจารณา และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงเท่านั้น จำนวนบวกแต่ไม่ใช่ เท่ากับหนึ่ง- จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์

มีหลายกรณีที่การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมได้ รูปแบบตัวเลข- มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลเพราะเลขยกกำลังจำนวนมากเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยให้กำลังของตัวเลขเป็นลอการิทึม