ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ >>คณิตศาสตร์ >>คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 >>
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติ และกราฟ
ลองพิจารณานิพจน์ 2x และค้นหาค่าของมันสำหรับค่าตรรกยะต่างๆ ของตัวแปร x เช่นสำหรับ x = 2;
โดยทั่วไป ไม่ว่าเราจะกำหนดความหมายเชิงตรรกยะให้กับตัวแปร x ก็ตาม เราก็สามารถคำนวณค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันของนิพจน์ 2 x ได้เสมอ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเลขชี้กำลังได้ ฟังก์ชั่น y=2 x กำหนดบนเซต Q ของจำนวนตรรกยะ:
มาดูคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชันนี้กัน
คุณสมบัติ 1.- ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น เราดำเนินการพิสูจน์ในสองขั้นตอน
ขั้นแรก.ขอให้เราพิสูจน์ว่าถ้า r เป็นจำนวนตรรกยะบวก แล้ว 2 r >1
เป็นไปได้สองกรณี: 1) r เป็นจำนวนธรรมชาติ r = n; 2) ลดหย่อนสามัญไม่ได้ เศษส่วน,
ทางด้านซ้ายของอสมการสุดท้ายที่เรามี และทางด้านขวา 1 ซึ่งหมายความว่าสามารถเขียนอสมการสุดท้ายได้ในรูปแบบใหม่
ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด อสมการ 2 r > 1 ยังคงอยู่ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ขั้นตอนที่สองให้ x 1 และ x 2 เป็นตัวเลข และ x 1 และ x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(เราแทนความแตกต่าง x 2 - x 1 ด้วยตัวอักษร r)
เนื่องจาก r เป็นจำนวนตรรกยะบวก ดังนั้นสิ่งที่พิสูจน์แล้วในระยะแรก 2 r > 1 นั่นคือ 2 อาร์ -1 >0 จำนวน 2x" ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าผลคูณ 2 x-1 (2 Г -1) ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า ความไม่เท่าเทียมกัน 2 Xg -2x">0
ดังนั้น จากอสมการ x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
คุณสมบัติ 2.จำกัดจากด้านล่างและไม่จำกัดจากด้านบน
ขอบเขตของฟังก์ชันจากด้านล่างตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน 2 x >0 ซึ่งใช้ได้กับค่าใด ๆ ของ x จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ในเวลาเดียวกัน ไม่ว่าคุณจะหาจำนวนบวก M ใดก็ตาม คุณสามารถเลือกเลขยกกำลัง x ซึ่งจะทำให้อสมการ 2 x >M เป็นไปตามที่ต้องการ ซึ่งแสดงถึงความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันจากด้านบน ให้เรายกตัวอย่างจำนวนหนึ่ง
คุณสมบัติ 3.ไม่มีค่าที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด
ฟังก์ชันนี้ไม่ได้มีความสำคัญมากที่สุดก็ชัดเจน เนื่องจากดังที่เราได้เห็นแล้วว่า ฟังก์ชันนี้ไม่ได้จำกัดอยู่ด้านบน แต่จำกัดจากด้านล่างทำไมไม่มีค่าขั้นต่ำ?
สมมติว่า 2 r เป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน (r คือตัวบ่งชี้เหตุผล) ลองหาจำนวนตรรกยะ q กัน<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
คุณว่าทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดี แต่ทำไมเราถึงพิจารณาฟังก์ชัน y-2 x เฉพาะกับเซตของจำนวนตรรกยะ ทำไมเราไม่คิดว่ามันเหมือนกับฟังก์ชันอื่นๆ ที่รู้จักบนเส้นจำนวนทั้งหมด หรือในช่วงเวลาต่อเนื่องกันของ เส้นจำนวน? อะไรหยุดเรา? ลองคิดถึงสถานการณ์กัน
เส้นจำนวนไม่เพียงแต่ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะเท่านั้น แต่ยังมีจำนวนอตรรกยะด้วย สำหรับฟังก์ชั่นที่ศึกษาก่อนหน้านี้สิ่งนี้ไม่ได้รบกวนเรา ตัวอย่างเช่น เราพบค่าของฟังก์ชัน y = x2 เท่าๆ กันอย่างง่ายดายสำหรับทั้งค่าตรรกยะและอตรรกยะของ x: ก็เพียงพอแล้วที่จะยกกำลังสองค่าที่กำหนดของ x
แต่ด้วยฟังก์ชัน y=2 x สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น หากอาร์กิวเมนต์ x ได้รับความหมายที่สมเหตุสมผลตามหลักการแล้ว x ก็สามารถคำนวณได้ (กลับไปที่จุดเริ่มต้นของย่อหน้าอีกครั้งซึ่งเราทำสิ่งนี้ทุกประการ) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอาร์กิวเมนต์ x ได้รับความหมายที่ไม่ลงตัว? เช่น จะคำนวณอย่างไร? เรายังไม่รู้เรื่องนี้
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบทางออกแล้ว นั่นคือวิธีที่พวกเขาให้เหตุผล
เป็นที่ทราบกันว่า 
พิจารณาลำดับของจำนวนตรรกยะ - การประมาณทศนิยมของตัวเลขโดยข้อเสีย:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
เป็นที่ชัดเจนว่า 1.732 = 1.7320 และ 1.732050 = 1.73205 เพื่อหลีกเลี่ยงการซ้ำซ้อน เราจะละทิ้งสมาชิกของลำดับที่ลงท้ายด้วยเลข 0
จากนั้นเราจะได้ลำดับที่เพิ่มขึ้น:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
ดังนั้นลำดับจึงเพิ่มขึ้น
เงื่อนไขทั้งหมดของลำดับนี้เป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่า 22 กล่าวคือ ลำดับนี้มีจำกัด ตามทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส (ดูมาตรา 30) ถ้าลำดับเพิ่มขึ้นและมีขอบเขต ลำดับนั้นก็จะมาบรรจบกัน นอกจากนี้ จากมาตรา 30 เรารู้ว่าถ้าลำดับมาบรรจบกัน มันจะมาบรรจบกันเพียงขีดจำกัดเดียวเท่านั้น มีการตกลงกันว่าขีดจำกัดเดียวนี้ควรถือเป็นค่าของนิพจน์ตัวเลข และไม่สำคัญว่าจะหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2 ได้ยากมาก สิ่งสำคัญคือนี่คือจำนวนเฉพาะ (ท้ายที่สุดเราไม่กลัวที่จะบอกว่ามันเป็นรากของสมการตรรกยะ 
รากของสมการตรีโกณมิติ โดยไม่ได้พิจารณาว่าตัวเลขเหล่านี้คืออะไร: 
ดังนั้นเราจึงได้ค้นพบความหมายของนักคณิตศาสตร์ที่ใส่ไว้ในสัญลักษณ์ 2^ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถระบุได้ว่า a คืออะไร และโดยทั่วไปแล้ว a คืออะไร โดยที่ a เป็นจำนวนอตรรกยะ และ a > 1
แต่ถ้าเป็น 0 ล่ะ<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
ตอนนี้เราไม่เพียงแต่สามารถพูดคุยเรื่องกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเรื่องกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจด้วย ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าองศาที่มีเลขชี้กำลังจริงมีคุณสมบัติปกติทั้งหมดขององศา: เมื่อคูณยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกบวก เมื่อหารจะถูกลบออก เมื่อเพิ่มระดับเป็นยกกำลังก็จะคูณ ฯลฯ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือตอนนี้เราสามารถพูดถึงฟังก์ชัน y-ax ที่กำหนดบนเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้แล้ว
ลองกลับไปที่ฟังก์ชัน y = 2 x และสร้างกราฟของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางค่าฟังก์ชัน y=2 x:
มาทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัด (รูปที่ 194) โดยทำเครื่องหมายเส้นบางเส้นมาวาดกัน (รูปที่ 195)
คุณสมบัติของฟังก์ชัน y - 2 x:
1)
2) ไม่เป็นคู่หรือคี่; 248
3) เพิ่มขึ้น;
5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุด
6) ต่อเนื่อง;
7)
8) นูนลง
การพิสูจน์อย่างเข้มงวดของคุณสมบัติที่ระบุไว้ของฟังก์ชัน y-2 x จะได้รับในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติเหล่านี้บางส่วนในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่นก่อนหน้านี้ บางส่วนแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยกราฟที่สร้างขึ้น (ดูรูปที่ 195) ตัวอย่างเช่น การขาดความเท่าเทียมกันหรือความคี่ของฟังก์ชันมีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตกับการขาดความสมมาตรของกราฟ ตามลำดับ สัมพันธ์กับแกน y หรือสัมพันธ์กับจุดกำเนิด
ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ y = a x โดยที่ a > 1 มีคุณสมบัติคล้ายกัน ในรูป 196 ในระบบพิกัดเดียวถูกสร้างขึ้น กราฟของฟังก์ชัน y=2 x, y=3 x, y=5 x
ตอนนี้เรามาพิจารณาฟังก์ชันและสร้างตารางค่าของมัน:
มาทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัด (รูปที่ 197) โดยทำเครื่องหมายเส้นบางเส้นมาวาดกัน (รูปที่ 198)
คุณสมบัติของฟังก์ชัน
1)
2) ไม่เป็นคู่หรือคี่;
3) ลดลง;
4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง
5) ไม่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด
6) ต่อเนื่อง;
7)
8) นูนลง
ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูป y = a x มีคุณสมบัติคล้ายกัน โดยที่ O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
โปรดทราบ: กราฟฟังก์ชัน 
เหล่านั้น. y=2 x สมมาตรเกี่ยวกับแกน y (รูปที่ 201) นี่เป็นผลมาจากข้อความทั่วไป (ดูมาตรา 13): กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และ y = f(-x) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y ในทำนองเดียวกัน กราฟของฟังก์ชัน y = 3 x และ
เพื่อสรุปสิ่งที่กล่าวไว้ เราจะให้คำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและเน้นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันนี้
คำนิยาม.ฟังก์ชันของแบบฟอร์มเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x
กราฟของฟังก์ชัน y=a x สำหรับ a> 1 จะแสดงในรูป 201 และสำหรับ 0<а < 1 - на рис. 202.
เส้นโค้งที่แสดงในรูปที่. 201 หรือ 202 เรียกว่าเลขยกกำลัง ที่จริงแล้ว นักคณิตศาสตร์มักจะเรียกฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลว่า y = a x ดังนั้นคำว่า "เลขชี้กำลัง" จึงถูกใช้ในสองความหมาย คือ ทั้งเพื่อตั้งชื่อฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และเพื่อตั้งชื่อกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยปกติแล้วความหมายจะชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือกราฟของมัน
ให้ความสนใจกับคุณลักษณะทางเรขาคณิตของกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y=ax: แกน x คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟ จริงอยู่คำสั่งนี้มักจะชี้แจงดังนี้
แกน x คือเส้นกำกับแนวนอนของกราฟของฟังก์ชัน
กล่าวอีกนัยหนึ่ง
หมายเหตุสำคัญประการแรก เด็กนักเรียนมักสับสนคำศัพท์: ฟังก์ชันกำลัง, ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เปรียบเทียบ:
นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันกำลัง 
นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยทั่วไป y = x r โดยที่ r เป็นตัวเลขเฉพาะ เป็นฟังก์ชันยกกำลัง (อาร์กิวเมนต์ x อยู่ในฐานของดีกรี)
y = a" โดยที่ a เป็นจำนวนเฉพาะ (บวกและแตกต่างจาก 1) เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (อาร์กิวเมนต์ x อยู่ในเลขชี้กำลัง)
ฟังก์ชัน "แปลกใหม่" เช่น y = x" ไม่ถือว่าเป็นเลขยกกำลังหรือกำลัง (บางครั้งเรียกว่าเลขชี้กำลัง)
หมายเหตุสำคัญประการที่สอง โดยปกติแล้วจะไม่พิจารณาฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน a = 1 หรือฐาน a ที่เป็นไปตามอสมการ a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 และ a ความจริงก็คือถ้า a = 1 ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของ x ความเท่าเทียมกัน Ix = 1 ยังคงอยู่ ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a" ที่มี a = 1 "เสื่อมลง" เป็นฟังก์ชันคงที่ y = 1 - นี่ ไม่น่าสนใจ ถ้า a = 0 ดังนั้น 0x = 0 สำหรับค่าบวกใดๆ ของ x นั่นคือ เราได้ฟังก์ชัน y = 0 ซึ่งกำหนดไว้สำหรับ x > 0 - นี่ก็ไม่น่าสนใจเช่นกัน หากในที่สุด a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
ก่อนจะไปแก้ตัวอย่างต่อ โปรดทราบว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลแตกต่างอย่างมากจากฟังก์ชันทั้งหมดที่คุณได้ศึกษามา หากต้องการศึกษาวัตถุใหม่อย่างละเอียด คุณต้องพิจารณาจากมุมที่ต่างกัน ในสถานการณ์ที่ต่างกัน จึงจะมีตัวอย่างมากมาย
ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย, a) เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2 x และ y = 1 ในระบบพิกัดเดียวแล้ว เราจะสังเกตเห็น (รูปที่ 203) ว่ากราฟทั้งสองมีจุดร่วมหนึ่งจุด (0; 1) ซึ่งหมายความว่าสมการ 2x = 1 มีรากเดียว x =0
ดังนั้น จากสมการ 2x = 2° เราจะได้ x = 0
b) เมื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2 x และ y = 4 ในระบบพิกัดเดียว เราสังเกตเห็น (รูปที่ 203) ว่ากราฟทั้งสองมีจุดร่วมหนึ่งจุด (2; 4) ซึ่งหมายความว่าสมการ 2x = 4 มีรากเดียว x = 2
ดังนั้น จากสมการ 2 x = 2 2 เราจะได้ x = 2
c) และ d) จากการพิจารณาแบบเดียวกัน เราสรุปได้ว่าสมการ 2 x = 8 มีรากเดียว และในการค้นหา ไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง
เห็นได้ชัดว่า x = 3 เนื่องจาก 2 3 = 8 ในทำนองเดียวกัน เราก็พบรากเพียงอันเดียวของสมการ
ดังนั้น จากสมการ 2x = 2 3 เราได้ x = 3 และจากสมการ 2 x = 2 x เราได้ x = -4
e) กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x ตั้งอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน y = 1 สำหรับ x >0 - สามารถอ่านได้ชัดเจนในรูป 203 ซึ่งหมายความว่าผลเฉลยของอสมการ 2x > 1 คือค่าช่วง
e) กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x อยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y = 4 ที่ x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
คุณอาจสังเกตเห็นว่าพื้นฐานสำหรับข้อสรุปทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขตัวอย่างที่ 1 คือคุณสมบัติของความซ้ำซ้อน (เพิ่มขึ้น) ของฟังก์ชัน y = 2 x การใช้เหตุผลที่คล้ายกันช่วยให้เราสามารถตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบทสองข้อต่อไปนี้ได้
สารละลาย.คุณสามารถดำเนินการดังนี้: สร้างกราฟของฟังก์ชัน y-3 x จากนั้นยืดออกจากแกน x ด้วยปัจจัย 3 จากนั้นยกกราฟผลลัพธ์ขึ้น 2 หน่วยมาตราส่วน แต่จะสะดวกกว่าถ้าใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 3- 3* =3 *+1 ดังนั้นให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน y=3 x*1 + 2
มาดูกันว่าระบบพิกัดเสริมที่มีจุดกำเนิดอยู่ที่จุด (-1; 2) ดังที่เราเคยทำมาหลายครั้งในกรณีเช่นนี้ - เส้นประ x = - 1 และ 1x = 2 ในรูปที่ 1 207. มา “เชื่อมโยง” ฟังก์ชัน y=3* กับระบบพิกัดใหม่กันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เลือกจุดควบคุมสำหรับฟังก์ชัน 
แต่เราจะไม่สร้างมันขึ้นมาแบบเก่า แต่ในระบบพิกัดใหม่ (จุดเหล่านี้ถูกทำเครื่องหมายไว้ในรูปที่ 207) จากนั้นเราจะสร้างเลขชี้กำลังจากจุด - นี่จะเป็นกราฟที่ต้องการ (ดูรูปที่ 207)
ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดในส่วน [-2, 2] เราใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่กำหนดกำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงใช้ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดตามลำดับที่ ปลายด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์
ดังนั้น:
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการและอสมการ:
สารละลาย, a) ขอให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=5* และ y=6-x ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 208) พวกมันตัดกันที่จุดหนึ่ง ตัดสินจากภาพวาดนี่คือจุด (1; 5) การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วจุด (1; 5) เป็นไปตามทั้งสมการ y = 5* และสมการ y = 6-x แอบซิสซาของจุดนี้ทำหน้าที่เป็นรากเดียวของสมการที่กำหนด
ดังนั้น สมการ 5 x = 6 - x มีรากเดียว x = 1
b) และ c) เลขชี้กำลัง y-5x อยู่เหนือเส้นตรง y=6-x ถ้า x>1 จะมองเห็นได้ชัดเจนในรูปที่ 1 208 ซึ่งหมายความว่าสามารถเขียนคำตอบของอสมการ 5*>6 ได้ดังนี้: x>1 และคำตอบของอสมการ 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
คำตอบ: ก)x = 1; ข)x>1; ค)x<1.
ตัวอย่างที่ 5กำหนดให้มีฟังก์ชัน 
พิสูจน์ว่า 
สารละลาย.ตามเงื่อนไขที่เรามี
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันของรูปแบบ y = a x โดยที่ a มากกว่าศูนย์และ a ไม่เท่ากับ 1 เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:
1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นเซตของจำนวนจริง
2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด บางครั้งชุดนี้จะแสดงเป็น R+ เพื่อความกระชับ
3. ถ้าในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด หากในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลของฐาน เงื่อนไขต่อไปนี้จะเป็น 0
4. คุณสมบัติพื้นฐานขององศาทั้งหมดจะสามารถใช้ได้ คุณสมบัติหลักขององศาแสดงด้วยความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ก x *ก ย = ก (x+ย) ;
(ก x )/(ก ย ) = ก (x-y) ;
(ก*ข) x = (ก x )*(ก ย );
(ก/ข) x = ก x /ข x ;
(ก x ) ย = ก (x * ย) .
ความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะใช้ได้กับค่าจริงทั้งหมดของ x และ y
5. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะผ่านจุดที่มีพิกัด (0;1) เสมอ
6. ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง กราฟจะมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบ
รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น: a>0
รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลง: 0
ทั้งกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลงตามคุณสมบัติที่อธิบายไว้ในย่อหน้าที่ห้า จะผ่านจุด (0;1)
7. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่มีจุดปลายสุด กล่าวคือ ไม่มีจุดต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชัน หากเราพิจารณาฟังก์ชันในส่วนใดส่วนหนึ่งฟังก์ชันจะใช้ค่าต่ำสุดและสูงสุดเมื่อสิ้นสุดช่วงเวลานี้
8. ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากกราฟ ไม่มีกราฟใดที่สมมาตรกับแกน Oy หรือเกี่ยวกับที่มาของพิกัด
ลอการิทึม
ลอการิทึมถือเป็นหัวข้อที่ยากในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมาโดยตลอด มีคำจำกัดความของลอการิทึมที่แตกต่างกันมากมาย แต่ด้วยเหตุผลบางประการ หนังสือเรียนส่วนใหญ่จึงใช้คำเหล่านี้ที่ซับซ้อนที่สุดและไม่ประสบความสำเร็จ
เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางกัน:
ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขมาจากบรรทัดล่าง คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย เช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกกำลัง 2 ขึ้นมา และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง
และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:
คำนิยาม
ลอการิทึมฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือพลังที่ต้องยกจำนวนขึ้นก เพื่อรับหมายเลข x.
การกำหนด
บันทึก a x = b
โดยที่ a เป็นฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b - อันที่จริง ลอการิทึมเท่ากับเท่าใด
ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64
การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม - เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:
น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมคือนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:
ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม ข้อควรจำ: ลอการิทึมคือกำลัง ซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้งเป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น
เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" เริ่มต้นด้วยเราทราบว่า ข้อเท็จจริงที่สำคัญสองประการตามคำจำกัดความ:
อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่งด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!
ข้อจำกัดดังกล่าวถูกเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ) ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: logก x = ข ⇒ x > 0, ก > 0, ก ≠ 1
โปรดทราบว่า ไม่มีข้อจำกัดด้านจำนวนข (ค่าลอการิทึม) ไม่ทับซ้อนกัน ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นค่าลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1
อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น
ตอนนี้ พิจารณาส่วนรวม โครงการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:
ให้เหตุผล a และอาร์กิวเมนต์ x ในรูปของกำลังซึ่งมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
แก้โจทย์ด้วยความเคารพต่อตัวแปรสมการ b: x = a b ;
หมายเลขผลลัพธ์ขจะเป็นคำตอบ
แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก
มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:
คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25
ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
เราได้รับคำตอบ: 2.
คำนวณลอการิทึม:
ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของสาม: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
เราได้รับคำตอบ: −4
−4
คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64
ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
เราได้รับคำตอบ: 3.
คำนวณลอการิทึม: log 16 1
ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
เราได้รับคำตอบ: 0.
คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14
ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14
บันทึก 7 14
หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ ถ้าการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน
ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
8, 81 - ระดับที่แน่นอน; 48, 35, 14 - ไม่
โปรดสังเกตด้วยว่าจำนวนเฉพาะนั้นมักจะเป็นกำลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ
ลอการิทึมทศนิยม
ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ
คำนิยาม
ลอการิทึมทศนิยมจากอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น พลังที่ต้องยกเลข 10 ถึงจะได้เลข x.
การกำหนด
แอลจีเอ็กซ์
ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ
จากนี้ไป เมื่อวลีเช่น "Find lg 0.01" ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x
ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน
ลอการิทึมธรรมชาติ
มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ เรากำลังพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติ
คำนิยาม
ลอการิทึมธรรมชาติจากอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐานจ , เช่น. อำนาจที่ต้องเพิ่มจำนวนจ เพื่อรับหมายเลข x.
การกำหนด
ใน x
หลายคนจะถามว่า ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...
เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น แค่จำไว้ว่าอี - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x
ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน e 16 = 16 - ฯลฯ ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้นสำหรับความสามัคคี: ln 1 = 0
สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทุกประการ จึงมีกฎของตัวเอง ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐาน
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาลอการิทึมร้ายแรงได้แม้แต่ข้อเดียว นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log a x และบันทึก a y - จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
บันทึกเอ็กซ์ + บันทึกใช่ = บันทึกก ( x · ย );
บันทึกเอ็กซ์ - บันทึกใช่ = บันทึกก ( x : ย ).
ดังนั้น, ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหารโปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือบริเวณเดียวกัน หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน " - ดูตัวอย่างและดู:
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 6 4 + log 6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? แล้ว เลขชี้กำลังของระดับนี้สามารถลบออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากปฏิบัติตาม ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12
ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ทฤษฎีบท
ให้บันทึกลอการิทึมเอ็กซ์ - แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม c โดยที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราได้รับ:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน.
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรกคือหมายเลข n กลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข n สามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า:เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน
ค้นหาความหมายของสำนวน:
สารละลาย
โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
200
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
บันทึก a = 1 คือ หน่วยลอการิทึม- จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆก จากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
บันทึก 1 = 0 คือ ศูนย์ลอการิทึม- ฐานก สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ!
จุดสนใจ:
คำนิยาม. การทำงาน เรียกว่าชนิด ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง .
ความคิดเห็น การยกเว้นจากค่าฐาน กหมายเลข 0; 1 และค่าลบ กอธิบายได้จากสถานการณ์ต่อไปนี้:
การแสดงออกเชิงวิเคราะห์นั้นเอง เอ็กซ์ในกรณีเหล่านี้ก็ยังคงมีความหมายและสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับการแสดงออก xyจุด x = 1; ย = 1 อยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้
สร้างกราฟของฟังก์ชัน: และ
 |
 |
| กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | |
| ย =ก x, ก > 1 | ย =ก x , 0< a < 1 |
 |
 |
คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
| คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง | ย =ก x, ก > 1 | ย =ก x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. ช่วงฟังก์ชัน | ||
| 3. ช่วงเวลาของการเปรียบเทียบกับหน่วย | ที่ x> 0, ก x > 1 | ที่ x > 0, 0< a x < 1 |
| ที่ x < 0, 0< a x < 1 | ที่ x < 0, a x > 1 | |
| 4. คู่, คี่. | ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ (ฟังก์ชันที่มีรูปแบบทั่วไป) | |
| 5.ความซ้ำซากจำเจ | เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่ายด้วย ร | ลดลงอย่างน่าเบื่อโดย ร |
| 6. สุดขั้ว | ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลไม่มีค่าเอ็กซ์ตรีม | |
| 7.เส้นกำกับ | แกน O xเป็นเส้นกำกับแนวนอน | |
| 8. สำหรับมูลค่าที่แท้จริงใดๆ xและ ย; |  |
|
เมื่อตารางเต็ม งานจะได้รับการแก้ไขควบคู่ไปกับการเติม
ภารกิจที่ 1 (เพื่อค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)
ค่าอาร์กิวเมนต์ใดที่ถูกต้องสำหรับฟังก์ชัน:
ภารกิจที่ 2 (เพื่อค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชัน)
รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน ระบุโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน:
 |
 |
 |
 |
ภารกิจที่ 3 (เพื่อระบุช่วงเวลาของการเปรียบเทียบกับหนึ่ง)
เปรียบเทียบแต่ละพลังต่อไปนี้กับหนึ่ง:
ภารกิจที่ 4 (เพื่อศึกษาฟังก์ชันของความซ้ำซากจำเจ)
เปรียบเทียบจำนวนจริงตามขนาด มและ nถ้า:
ภารกิจที่ 5 (เพื่อศึกษาฟังก์ชันของความซ้ำซากจำเจ)
ทำการสรุปเกี่ยวกับพื้นฐาน ก, ถ้า:
ย(x) = 10 x ; ฉ(x) = 6 x ; ซี(x) - 4x
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสัมพันธ์กันสำหรับ x > 0, x = 0, x อย่างไร< 0?
กราฟฟังก์ชันต่อไปนี้ถูกลงจุดในระนาบพิกัดเดียว:
ย(x) = (0,1) x ; ฉ(x) = (0.5) x ; ส(x) = (0.8) x .
กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสัมพันธ์กันสำหรับ x > 0, x = 0, x อย่างไร< 0?
| ตัวเลข
ค่าคงที่ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ โดยนิยามแล้วก็คือ เท่ากับขีดจำกัดของลำดับ
ได้อย่างไม่จำกัด
เพิ่มขึ้น
- การกำหนด จเข้ามา ลีโอนาร์ด ออยเลอร์
ในปี 1736 เขาคำนวณ 23 หลักแรกของตัวเลขนี้ในรูปแบบทศนิยม และตัวเลขนั้นได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เนเปียร์ว่าเป็น "หมายเลขที่ไม่ใช่ปิแอร์"
ตัวเลข จมีบทบาทพิเศษในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง มีฐาน จ, เรียกว่าเลขชี้กำลัง และถูกกำหนดไว้ y = อีเอ็กซ์. สัญญาณแรก ตัวเลข จจำง่าย: สอง, ลูกน้ำ, เจ็ด, ปีเกิดของ Leo Tolstoy - สองครั้ง, สี่สิบห้า, เก้าสิบ, สี่สิบห้า |
 |
การบ้าน:
โคลโมโกรอฟ ย่อหน้าที่ 35; ลำดับที่ 445-447; 451; 453.
ทำซ้ำอัลกอริทึมเพื่อสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส
1. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y(x) = a x ขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง x โดยมีค่าคงที่ฐานของระดับ a โดยที่ a > 0, a ≠ 0, xϵR (R คือ เซตของจำนวนจริง)
ลองพิจารณาดู กราฟของฟังก์ชันหากฐานไม่ตรงตามเงื่อนไข: a>0
ก) ก< 0
ถ้าก< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
ก = -2
ถ้า a = 0 แสดงว่าฟังก์ชัน y = ถูกกำหนดไว้และมีค่าคงที่เป็น 0
ค) ก =1
ถ้า a = 1 แสดงว่าฟังก์ชัน y = ถูกกำหนดไว้และมีค่าคงที่เป็น 1
โดเมนฟังก์ชัน (DOF) ช่วงของค่าฟังก์ชันที่อนุญาต (APV) 3. ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน (y = 0) 4. จุดตัดกับแกนพิกัด oy (x = 0) 5.เพิ่มลดฟังก์ชัน ถ้า แล้วฟังก์ชัน f(x) จะเพิ่มขึ้น 6. คู่ ฟังก์ชันคี่ ฟังก์ชัน y = ไม่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน 0y และเทียบกับจุดกำเนิด ดังนั้นจึงไม่เป็นคู่หรือคี่ (ฟังก์ชั่นทั่วไป) 7. ฟังก์ชัน y = ไม่มีสุดขั้ว 8. คุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจริง: ให้ > 0; ก≠1 จากนั้นสำหรับ xϵR; คุณ: คุณสมบัติของระดับความน่าเบื่อ: ถ้าอย่างนั้น ถ้า a> 0 แล้ว 9. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ยิ่งฐาน a ใหญ่เท่าใด ก็จะยิ่งใกล้กับแกน x และ oy มากขึ้นเท่านั้น ก > 1, ก = 20 ตัวอย่างที่ 1 ก่อนอื่นให้เราแนะนำคำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก่อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x\right)=a^x$ โดยที่ $a >1$ ให้เราแนะนำคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับ $a >1$ \ \[ไม่มีราก\] \ จุดตัดกับแกนพิกัด ฟังก์ชันจะไม่ตัดแกน $Ox$ แต่จะตัดแกน $Oy$ ที่จุด $(0,1)$ $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[ไม่มีราก\] \ กราฟ (รูปที่ 1) รูปที่ 1 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$ ให้เราแนะนำคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ $0 โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ $f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด ช่วงของค่าคือช่วง $(0,+\infty)$ $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[ไม่มีราก\] \ \[ไม่มีราก\] \ ฟังก์ชันนี้นูนออกมาตลอดขอบเขตคำจำกัดความ พฤติกรรมที่ส่วนท้ายของโดเมน: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] กราฟ (รูปที่ 2) สำรวจและพลอตฟังก์ชัน $y=2^x+3$ สารละลาย. เรามาศึกษาโดยใช้แผนภาพตัวอย่างด้านบน: โดเมนของคำจำกัดความคือจำนวนจริงทั้งหมด $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ $f(x)$ ต่อเนื่องตลอดโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด ช่วงของค่าคือช่วง $(3,+\infty)$ $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ $f(x)\ge 0$ ตลอดทั้งโดเมนของคำจำกัดความ จุดตัดกับแกนพิกัด ฟังก์ชันไม่ตัดแกน $Ox$ แต่ตัดแกน $Oy$ ที่จุด ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ ฟังก์ชันนี้นูนออกมาตลอดขอบเขตคำจำกัดความ พฤติกรรมที่ส่วนท้ายของโดเมน: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \อินฟินิตี้\] กราฟ (รูปที่ 3) รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน $f\left(x\right)=2^x+3$
2. มาดูฟังก์ชันเลขชี้กำลังให้ละเอียดยิ่งขึ้น:
0
ถ้า ฟังก์ชัน f(x) จะลดลง
ฟังก์ชัน y= ที่ 0
สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของความน่าเบื่อของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจริง
ข> 0; ข≠1
ตัวอย่างเช่น:
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีความต่อเนื่อง ณ จุดใดๆ ϵ R
ถ้า a0 ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะมีรูปแบบใกล้เคียงกับ y = 0
ถ้า a1 ดังนั้นให้ห่างจากแกน ox และ oy และกราฟจะอยู่ในรูปแบบที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชัน y = 1
สร้างกราฟของ y =
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x\right)=a^x$ โดยที่ $0
ตัวอย่างปัญหาในการสร้างฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
