ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง
และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:
ฐานลอการิทึมของ x คือกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ x
ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง
ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยบันทึกความสำเร็จเดียวกัน 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64
การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
บันทึก 2 2 = 1 | บันทึก 2 4 = 2 | บันทึก 2 8 = 3 | บันทึก 2 16 = 4 | บันทึก 2 32 = 5 | บันทึก 2 64 = 6 |
น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก เช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งบนเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем ระดับมากขึ้นสองยิ่งจำนวนมากขึ้น
ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าพื้นฐานอยู่ที่ไหนและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน หลีกเลี่ยง ความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญเพียงแค่ดูภาพ:
ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น
เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:
- อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ตามมาจากคำจำกัดความของปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมลงมา
- ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!
ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้ (ODZ) ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1
โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1
อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน โครงการทั่วไปการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:
- เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
- แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
- ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ
นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ความต้องการที่ฐานจะต้อง มากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: ลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เหมือนกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก
มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- เราได้รับคำตอบ: 2.
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
งาน. คำนวณลอการิทึม:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - เราได้รับคำตอบ: 3.
งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - เราได้รับคำตอบ: 0.
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
- จาก ย่อหน้าก่อนหน้าตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
- คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14
บันทึกเล็กๆ น้อยๆ ถึง ตัวอย่างสุดท้าย- คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? มันง่ายมาก - เพียงแค่แยกมันออกเป็น ปัจจัยสำคัญ- หากการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน
งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
ให้เราสังเกตด้วยว่าเราเอง จำนวนเฉพาะมีระดับที่แน่นอนของตัวเองอยู่เสมอ
ลอการิทึมทศนิยม
ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ
ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 กล่าวคือ ยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.
ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ
จากนี้ไป เมื่อวลีเช่น "Find lg 0.01" ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x
ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน
ลอการิทึมธรรมชาติ
มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ มันเป็นเรื่องของเกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกกำลัง e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .
หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี้ จำนวนอตรรกยะ, ของเขา ค่าที่แน่นอนไม่สามารถค้นหาและบันทึกได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...
เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x
ดังนั้น ln e = 1 ; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไปลอการิทึมธรรมชาติของค่าใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0
สำหรับ ลอการิทึมธรรมชาติกฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง
คุณสมบัติหลัก.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
บริเวณที่เหมือนกัน
ล็อก6 4 + ล็อก6 9.
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย
ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ดูสิ่งนี้ด้วย:
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
3.
4. ที่ไหน .
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า
ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ตรงกัน ตัวเลขปกติมีกฎเกณฑ์อยู่ที่นี่ซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ก็จะไม่สามารถแก้ไขปัญหาร้ายแรงได้ ปัญหาลอการิทึม- นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณ นิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าแต่ละส่วนจะไม่นับก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงกลับกลายเป็นว่าค่อนข้างมาก ตัวเลขปกติ- หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ เอกสารทดสอบ- แล้วการควบคุมล่ะ? การแสดงออกที่คล้ายกันในความจริงจังทั้งหมด (บางครั้งก็แทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) จะถูกเสนอในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
สังเกตได้ง่ายว่า กฎข้อสุดท้ายตามมาสองอันแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น
สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม
เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป นิพจน์เชิงตัวเลข- มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ตอนนี้เรามากำจัดกัน ลอการิทึมทศนิยม, ย้ายไปที่ฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่หลักๆ เอกลักษณ์ลอการิทึมบางครั้งมันเป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม พิจารณาหลักเกณฑ์การคูณอำนาจด้วย พื้นฐานเดียวกัน, เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า - ลอการิทึม เท่ากับศูนย์- เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
ดูสิ่งนี้ด้วย:
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของพวกเขา
กรณีทั่วไปของลอการิทึม
ลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับสิบ เลขชี้กำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)
จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น
ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy
และลอการิทึมสำคัญอีกตัวของฐานสองเขียนแทนด้วย
อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร
อินทิกรัลหรือ ลอการิทึมต้านอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยการพึ่งพาอาศัยกัน
เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี
3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
4. ที่ไหน .
โดยรูปลักษณ์ การแสดงออกที่ซับซ้อนการใช้กฎหลายข้อทำให้ง่ายต่อการสร้าง
การค้นหาค่าลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า
สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย
เราบันทึกไว้และไว้อาลัย
เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน
ลอการิทึม ระดับแรก.
ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน
นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้
วิธีแก้ลอการิทึม
นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
ตามมาจากคำจำกัดความของมัน แล้วก็ลอการิทึมของจำนวนนั้น ขขึ้นอยู่กับ กถูกกำหนดให้เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)
จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามการคำนวณ x=ล็อก ก ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ ก x =ขตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 - การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อเรื่องกำลังของตัวเลข
ด้วยลอการิทึมเช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถทำได้ การดำเนินการบวก ลบและเปลี่ยนแปลงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทั้งหมด จึงมีการใช้กฎพิเศษของตัวเองที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
การบวกและการลบลอการิทึม
ลองใช้ลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: เข้าสู่ระบบ xและ เข้าสู่ระบบ y- จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและการลบ:
บันทึก x+ บันทึก a y= บันทึก a (x·y);
บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x:y)
เข้าสู่ระบบ(x 1 . x 2 . x 3 ... เอ็กซ์เค) = เข้าสู่ระบบ x 1 + เข้าสู่ระบบ x 2 + เข้าสู่ระบบ x 3 + ... + เข้าสู่ระบบ x k.
จาก ทฤษฎีบทผลหารลอการิทึมสามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีกหนึ่งรายการ เป็นความรู้ทั่วไปที่บันทึก ก 1= 0 ดังนั้น
บันทึก ก 1 /ข=บันทึก ก 1 - บันทึก ข= -ล็อก ข.
ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกัน:
บันทึก a 1 / b = - บันทึก a b
ลอการิทึมของจำนวนกลับกันสองตัวด้วยเหตุผลเดียวกันจะแตกต่างกันโดยสัญญาณเท่านั้น ดังนั้น:
บันทึก 3 9= - บันทึก 3 1/9 ; บันทึก 5 1/125 = -บันทึก 5 125
ลอการิทึมของตัวเลข b (b > 0) ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1)– เลขชี้กำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้ b
ลอการิทึมฐาน 10 ของ b สามารถเขียนได้เป็น บันทึก(ข)และลอการิทึมฐาน e (ลอการิทึมธรรมชาติ) คือ จริง(ข).
มักใช้เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม:
คุณสมบัติของลอการิทึม
มีสี่หลัก คุณสมบัติของลอการิทึม.
ให้ a > 0, a ≠ 1, x > 0 และ y > 0
คุณสมบัติ 1. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึม:
บันทึก a (x ⋅ y) = บันทึก a x + บันทึก a y
คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของผลหาร
ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม:
บันทึก a (x / y) = บันทึก a x – บันทึก a y
คุณสมบัติ 3. ลอการิทึมของกำลัง
ลอการิทึมของดีกรี เท่ากับสินค้ากำลังต่อลอการิทึม:
ถ้าฐานของลอการิทึมอยู่ในองศา แสดงว่ามีการใช้สูตรอื่น:
คุณสมบัติ 4. ลอการิทึมของรูท
คุณสมบัตินี้สามารถหาได้จากคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง เนื่องจากรากของกำลังที่ n เท่ากับพลัง 1/ไม่มี:
สูตรการแปลงจากลอการิทึมในฐานหนึ่งไปเป็นลอการิทึมในอีกฐานหนึ่ง
สูตรนี้มักใช้เมื่อแก้งานต่างๆ เกี่ยวกับลอการิทึม:
กรณีพิเศษ:
การเปรียบเทียบลอการิทึม (อสมการ)
ขอให้เรามี 2 ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ภายใต้ลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันและระหว่างนั้นมีเครื่องหมายอสมการ:
หากต้องการเปรียบเทียบ คุณต้องดูที่ฐานของลอการิทึม a ก่อน:
- ถ้า a > 0 แล้ว f(x) > g(x) > 0
- ถ้า 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
วิธีแก้ปัญหาลอการิทึม: ตัวอย่าง
ปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึมรวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11 ในงาน 5 และงาน 7 คุณสามารถค้นหางานพร้อมวิธีแก้ไขบนเว็บไซต์ของเราในส่วนที่เหมาะสม นอกจากนี้ งานที่มีลอการิทึมยังพบได้ในคลังงานทางคณิตศาสตร์อีกด้วย คุณสามารถค้นหาตัวอย่างทั้งหมดได้โดยการค้นหาเว็บไซต์
ลอการิทึมคืออะไร
ลอการิทึมได้รับการพิจารณามาโดยตลอด หัวข้อที่ซับซ้อนวี หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. มีมากมาย คำจำกัดความที่แตกต่างกันลอการิทึม แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างหนังสือเรียนส่วนใหญ่จึงใช้ค่าลอการิทึมที่ซับซ้อนที่สุดและไม่ประสบความสำเร็จ
เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางกัน:
ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง
ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร วิธีการแก้
หากคุณนำตัวเลขมาจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง
และตอนนี้ - จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึม:
ฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้จำนวน x
ชื่อ: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่เท่ากับจริง
ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64
การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่า เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
บันทึก 2 2 = 1 | บันทึก 2 4 = 2 | บันทึก 2 8 = 3 | บันทึก 2 16 = 4 | บันทึก 2 32 = 5 | บันทึก 2 64 = 6 |
น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมคือนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าพื้นฐานอยู่ที่ไหนและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:
ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น
วิธีการนับลอการิทึม
เราได้ทราบคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:
- อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
- ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!
ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ) ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1
โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1
อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น
ตอนนี้เรามาดูรูปแบบทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:
- เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
- แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
- ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ
นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก
มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- เราได้รับคำตอบ: 2.
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
งาน. คำนวณลอการิทึม:
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - เราได้รับคำตอบ: 3.
งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - เราได้รับคำตอบ: 0.
งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14
- ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
- จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
- คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14
หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ หากการขยายตัวมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองปัจจัย ตัวเลขจะไม่ใช่กำลังที่แน่นอน
งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
โปรดสังเกตด้วยว่าจำนวนเฉพาะนั้นมักจะเป็นกำลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ
ลอการิทึมทศนิยม
ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ
ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.
ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; แอลจี 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ
จากนี้ไป เมื่อวลีเช่น "Find lg 0.01" ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x
ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน
ลอการิทึมธรรมชาติ
มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ เรากำลังพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติ
ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกกำลัง e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x.
หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459…
เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x
ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0
สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้
ดูสิ่งนี้ด้วย:
ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (กำลังของลอการิทึม)
จะแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?
เราใช้คำจำกัดความของลอการิทึม
ลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม
ดังนั้น ในการที่จะแทนจำนวน c ที่แน่นอนเป็นลอการิทึมของฐาน a คุณต้องใส่กำลังที่มีฐานเดียวกันกับฐานของลอการิทึมใต้เครื่องหมายลอการิทึม และเขียนตัวเลข c นี้เป็นเลขชี้กำลัง:
จำนวนใดๆ ก็ตามสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้อย่างแน่นอน - บวก, ลบ, จำนวนเต็ม, เศษส่วน, ตรรกยะ, อตรรกยะ:
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนระหว่าง a และ c ภายใต้สภาวะตึงเครียดของการทดสอบ คุณสามารถใช้กฎการท่องจำต่อไปนี้:
สิ่งที่อยู่ด้านล่างลงไป สิ่งที่อยู่ด้านบนก็ขึ้นไป
ตัวอย่างเช่น คุณต้องแสดงตัวเลข 2 เป็นลอการิทึมของฐาน 3
เรามีตัวเลขสองตัว - 2 และ 3 ตัวเลขเหล่านี้เป็นฐานและเลขชี้กำลังซึ่งเราจะเขียนไว้ใต้เครื่องหมายลอการิทึม ยังคงต้องพิจารณาว่าตัวเลขใดควรเขียนลงไปที่ฐานของกำลัง และตัวเลขใดขึ้นไปจนถึงเลขชี้กำลัง
ฐาน 3 ในสัญลักษณ์ลอการิทึมจะอยู่ด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราแทนสองเป็นลอการิทึมของฐาน 3 เราก็จะเขียน 3 ลงไปที่ฐานด้วย
2 สูงกว่าสาม และในสัญลักษณ์ของดีกรี 2 เราเขียนไว้เหนือทั้งสาม นั่นคือเป็นเลขชี้กำลัง:
ลอการิทึม ระดับแรก.
ลอการิทึม
ลอการิทึม จำนวนบวก ขขึ้นอยู่กับ ก, ที่ไหน ก > 0, ก ≠ 1เรียกว่าเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น ก, ที่จะได้รับ ข.
ความหมายของลอการิทึมสามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้:
ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับ ข > 0, ก > 0, ก ≠ 1.โดยปกติจะเรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึม
การกระทำของการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขเรียกว่า โดยลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึม:
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:
ลอการิทึมของผลหาร:
การแทนที่ฐานลอการิทึม:
ลอการิทึมของดีกรี:
ลอการิทึมของราก:
ลอการิทึมพร้อมฐานกำลัง:
ลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมทศนิยมตัวเลขเรียกลอการิทึมของตัวเลขนี้เป็นฐาน 10 แล้วเขียน   lg ข
ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลขนั้นเรียกว่าลอการิทึมของตัวเลขนั้นถึงฐาน จ, ที่ไหน จ- จำนวนอตรรกยะประมาณเท่ากับ 2.7 ในเวลาเดียวกันพวกเขาก็เขียน ln ข.
หมายเหตุอื่น ๆ เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - หากไม่มีกฎเหล่านี้ ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงสักข้อเดียวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก a x และบันทึก a y จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- บันทึก a x + บันทึก a y = บันทึก a (x y);
- log a x − log a y = log a (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้
วิธีแก้ลอการิทึม
นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึมบันทึก a x ให้ได้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ทีนี้ลองกำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด
ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
- บันทึก a = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- บันทึก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและเราจะให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณเกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:
ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1
ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x
ลอการิทึม, ตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมสามัญหรือลอการิทึม แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ) แสดงว่า ln.
ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและอสมการ เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของลอการิทึม หมายเลขบันทึกข ม = mlog ข
เลขชี้กำลังฐาน บันทึกลอการิทึม a n b =1/n*บันทึก a b
บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c aถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1
จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" ไม่ควรพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ
หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก