คุณในฐานะผู้ปกครองในกระบวนการให้ความรู้แก่บุตรหลานของคุณจะต้องเผชิญกับความต้องการความช่วยเหลือในการแก้ปัญหาการบ้านในวิชาคณิตศาสตร์พีชคณิตและเรขาคณิตมากกว่าหนึ่งครั้ง และหนึ่งในทักษะพื้นฐานที่คุณต้องเรียนรู้คือวิธีค้นหาความหมายของสำนวน หลายคนถึงทางตันเพราะเราเรียน ป.3-5 ผ่านมากี่ปีแล้ว? หลายอย่างถูกลืมไปแล้ว และบางส่วนยังไม่ได้รับการเรียนรู้ กฎเกณฑ์นั้นเอง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์- เรียบง่ายและคุณสามารถจดจำได้ง่าย เรามาเริ่มกันที่พื้นฐานว่านิพจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร

คำจำกัดความของนิพจน์

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลข เครื่องหมายการกระทำ (=, +, -, *, /) วงเล็บ และตัวแปร โดยสรุป นี่คือสูตรที่จะต้องค้นหาค่า สูตรดังกล่าวพบได้ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยเรียนแล้วหลอกหลอนนักเรียนที่เลือกวิชาพิเศษที่เกี่ยวข้อง วิทยาศาสตร์ที่แน่นอน. นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แบ่งเป็นตรีโกณมิติ พีชคณิต และอื่นๆ อย่าไปเจาะลึกเรื่อง "เถื่อน" มากนัก

1. ทำการคำนวณใดๆ ในตัวแบบร่างก่อน แล้วจึงเขียนใหม่ สมุดงาน- ด้วยวิธีนี้คุณจะหลีกเลี่ยงการข้ามและสิ่งสกปรกที่ไม่จำเป็น
2. คำนวณจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่จะต้องดำเนินการในนิพจน์อีกครั้ง โปรดทราบว่าตามกฎแล้ว การดำเนินการในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการหารและการคูณ และในตอนท้ายสุดคือการลบและการบวก เราขอแนะนำให้เน้นการกระทำทั้งหมดด้วยดินสอและวางตัวเลขไว้เหนือการกระทำตามลำดับที่ดำเนินการ ในกรณีนี้ทั้งคุณและลูกจะนำทางได้ง่ายขึ้น
3. เริ่มคำนวณตามลำดับการกระทำอย่างเคร่งครัด ถ้าการคำนวณง่าย ๆ ให้เด็กลองคิดในใจ แต่ถ้ายากให้เขียนตัวเลขที่ตรงกับเลขลำดับของนิพจน์ด้วยดินสอแล้วทำการคำนวณเป็น ในการเขียนภายใต้สูตร;
4. โดยทั่วไปให้ค้นหาค่า การแสดงออกที่เรียบง่ายไม่ใช่เรื่องยากหากดำเนินการคำนวณทั้งหมดตามกฎและ ในลำดับที่ถูกต้อง- คนส่วนใหญ่ประสบปัญหาอย่างแม่นยำ ในขั้นตอนนี้ค้นหาความหมายของสำนวนดังนั้นควรระวังและอย่าทำผิดพลาด
5. ห้ามใช้เครื่องคิดเลข ซามิ สูตรทางคณิตศาสตร์และงานในชีวิตลูกของคุณอาจไม่มีประโยชน์ แต่นั่นไม่ใช่จุดประสงค์ของการเรียนวิชานี้ สิ่งสำคัญคือการพัฒนา การคิดเชิงตรรกะ- หากคุณใช้เครื่องคิดเลข ความหมายของทุกสิ่งจะหายไป
6. งานของคุณในฐานะผู้ปกครองไม่ใช่การแก้ปัญหาให้ลูกของคุณ แต่เพื่อช่วยเขาในเรื่องนี้เพื่อชี้แนะเขา ให้เขาคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง และคุณต้องแน่ใจว่าเขาไม่ได้ทำผิดพลาด อธิบายว่าทำไมเขาถึงต้องทำแบบนี้ ไม่ใช่อย่างอื่น
7. เมื่อพบคำตอบของนิพจน์แล้ว ให้จดไว้หลังเครื่องหมาย “=”
8. เปิด หน้าสุดท้ายหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ โดยปกติแล้วทุกแบบฝึกหัดจะมีคำตอบอยู่ในเล่ม การตรวจสอบว่าทุกอย่างคำนวณถูกต้องหรือไม่ ไม่ใช่เรื่องเสียหาย

การค้นหาความหมายของสำนวนนั้นเป็นขั้นตอนง่ายๆ สิ่งสำคัญคือการจำกฎพื้นฐานที่เราเผชิญ หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกัน เมื่อคุณต้องการช่วยลูกของคุณรับมือกับสูตรและแก้ปัญหา ปัญหาก็จะซับซ้อนมากขึ้น ท้ายที่สุดตอนนี้คุณไม่ใช่นักเรียน แต่เป็นครูและการศึกษาในอนาคตของไอน์สไตน์ก็วางอยู่บนไหล่ของคุณ

เราหวังว่าบทความของเราจะช่วยคุณค้นหาคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาความหมายของสำนวนและคุณสามารถหาสูตรต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย!

สูตร

การบวก ลบ คูณ หาร - การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (หรือ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ - การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้สอดคล้องกับเครื่องหมาย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์:

+ (อ่าน " บวก") - สัญลักษณ์ของการดำเนินการเพิ่มเติม

- (อ่าน " ลบ") - เข้าสู่ระบบ การดำเนินการลบ,

∙ (อ่าน " คูณ") - เข้าสู่ระบบ การดำเนินการคูณ,

: (อ่าน " แบ่ง") เป็นสัญลักษณ์ของการดำเนินการแบ่งแยก

เรียกว่าบันทึกที่ประกอบด้วยตัวเลขที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ นิพจน์เชิงตัวเลขนิพจน์ตัวเลขอาจมีวงเล็บด้วย ตัวอย่างเช่น รายการ 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) เป็นนิพจน์ตัวเลข

เรียกว่าผลลัพธ์ของการดำเนินการกับตัวเลขในนิพจน์ตัวเลข ค่าของนิพจน์ตัวเลข- การดำเนินการเหล่านี้เรียกว่าการคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลข ก่อนที่จะเขียนค่าของนิพจน์ตัวเลข ให้ใส่ เครื่องหมายเท่ากับ- ตารางที่ 1 แสดงตัวอย่างนิพจน์ตัวเลขและความหมาย

รายการที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวอักษรขนาดเล็ก ตัวอักษรละตินซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่า การแสดงออกตามตัวอักษร- รายการนี้อาจมีวงเล็บ เช่น บันทึก +ข - 3 ∙คเป็นการแสดงออกตามตัวอักษร แทนที่จะเป็นตัวอักษรเข้า การแสดงออกตามตัวอักษรสามารถทดแทนได้ ตัวเลขที่แตกต่างกัน- ในกรณีนี้ ความหมายของตัวอักษรอาจมีการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงเรียกตัวอักษรในนิพจน์ตัวอักษรด้วย ตัวแปร.

โดยการแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรลงในนิพจน์ตามตัวอักษรและคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลขที่ได้จะพบว่า ความหมายของนิพจน์ตามตัวอักษรสำหรับค่าตัวอักษรที่กำหนด(สำหรับค่าตัวแปรที่กำหนด) ตารางที่ 2 แสดงตัวอย่างสำนวนตัวอักษร

นิพจน์ตามตัวอักษรอาจไม่มีความหมายหากเมื่อแทนค่าของตัวอักษรแล้วจะได้รับนิพจน์ตัวเลขซึ่งเป็นค่าที่สำหรับ ตัวเลขธรรมชาติไม่พบ นิพจน์ตัวเลขนี้เรียกว่า ไม่ถูกต้องสำหรับจำนวนธรรมชาติ ว่ากันว่าความหมายของสำนวนดังกล่าวคือ “ ไม่ได้กำหนด"สำหรับจำนวนธรรมชาติและตัวนิพจน์เอง "ไม่สมเหตุสมผล"- เช่น การแสดงออกตามตัวอักษร เอบีไม่สำคัญว่า a = 10 และ b = 17 เมื่อใด อันที่จริง สำหรับจำนวนธรรมชาติ ค่า minuend ต้องไม่น้อยกว่าค่า subtrahend ตัวอย่างเช่น หากคุณมีแอปเปิ้ลเพียง 10 ผล (a = 10) คุณจะไม่สามารถแจกให้ 17 ผลได้ (b = 17)!

ตารางที่ 2 (คอลัมน์ 2) แสดงตัวอย่างนิพจน์ตามตัวอักษร โดยการเปรียบเทียบให้กรอกตารางให้ครบถ้วน

สำหรับจำนวนธรรมชาติ นิพจน์คือ 10 -17 ไม่ถูกต้อง (ไม่สมเหตุสมผล), เช่น. ส่วนต่าง 10 -17 ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติได้ อีกตัวอย่างหนึ่ง: คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติ b ใดๆ ก็คือผลหาร ข: 0 ไม่ได้กำหนดไว้

กฎทางคณิตศาสตร์คุณสมบัติ กฎเกณฑ์และความสัมพันธ์บางอย่างมักเขียนในรูปแบบตัวอักษร (เช่น ในรูปแบบของการแสดงออกตามตัวอักษร) ในกรณีเหล่านี้ จะเรียกว่านิพจน์ตามตัวอักษร สูตร- เช่น ถ้าด้านของรูปเจ็ดเหลี่ยมเท่ากัน ก,ขค,ง,อีฉกจากนั้นจึงใช้สูตร (นิพจน์ตามตัวอักษร) เพื่อคำนวณเส้นรอบวง พีมีรูปแบบ:

พี =+ข+ค +ดี+อี+ฉ+ก

โดยที่ a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, เส้นรอบรูปของรูปเจ็ดเหลี่ยม p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33

โดยที่ a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, เส้นรอบวงของรูปเจ็ดเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134

ช่วงที่ 1 คำศัพท์

สร้างพจนานุกรมคำศัพท์และคำจำกัดความใหม่จากย่อหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนคำจากรายการคำศัพท์ด้านล่างลงในเซลล์ว่าง ในตาราง (ที่ส่วนท้ายของบล็อก) ให้ระบุหมายเลขของคำศัพท์ตามจำนวนเฟรม ขอแนะนำให้คุณทบทวนย่อหน้าดังกล่าวอีกครั้งก่อนที่จะกรอกข้อมูลลงในเซลล์ของพจนานุกรม

1. การดำเนินการ: การบวก ลบ การคูณ การหาร

2. เครื่องหมาย “+” (บวก), “-” (ลบ), “∙” (คูณ, “ : " (แบ่ง).

3. บันทึกที่ประกอบด้วยตัวเลขที่เชื่อมโยงกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และอาจมีวงเล็บด้วย

4. ผลลัพธ์ของการดำเนินการกับตัวเลขในนิพจน์ตัวเลข

5. เครื่องหมายที่อยู่หน้าค่าของนิพจน์ตัวเลข

6. บันทึกที่ประกอบด้วยตัวเลขและตัวอักษรละตินตัวเล็กซึ่งเชื่อมโยงกันด้วยสัญลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (อาจมีวงเล็บอยู่ด้วย)

7. ชื่อสามัญตัวอักษรในการแสดงออกตามตัวอักษร

8. ค่าของนิพจน์ตัวเลข ซึ่งได้มาจากการแทนที่ตัวแปรเป็นนิพจน์ตามตัวอักษร

9.นิพจน์ตัวเลขที่ไม่สามารถหาค่าของจำนวนธรรมชาติได้

10. นิพจน์ตัวเลขที่สามารถหาค่าของจำนวนธรรมชาติได้

11. กฎทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติ กฎเกณฑ์บางประการ และความสัมพันธ์ เขียนเป็นตัวอักษร

12. ตัวอักษรที่ใช้ตัวอักษรตัวเล็กในการเขียนนิพจน์ตัวอักษร

บล็อก 2 จับคู่

จับคู่งานในคอลัมน์ด้านซ้ายกับวิธีแก้ปัญหาทางด้านขวา เขียนคำตอบของคุณในรูปแบบ: 1a, 2d, 3b...

บล็อก 3 การทดสอบด้าน นิพจน์ตัวเลขและตัวอักษร

การทดสอบ Facet จะแทนที่ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ แต่แตกต่างไปในทางที่ดีตรงที่สามารถแก้ไขได้บนคอมพิวเตอร์ สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้ และผลลัพธ์ของงานสามารถทราบได้ทันที การทดสอบนี้มีปัญหา 70 ข้อ แต่คุณสามารถเลือกแก้ไขปัญหาได้ สำหรับสิ่งนี้ จะมีตารางการประเมินซึ่งระบุ งานง่ายๆและยากขึ้น ด้านล่างนี้คือการทดสอบ

1. ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมีด้าน ค,ง,ม.แสดงเป็นซม
2. ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน ขค,ง,ม, แสดงเป็น ม
3. ความเร็วของรถมีหน่วยเป็น กม./ชม ขเวลาเดินทางเป็นชั่วโมงคือ ง
4. ระยะทางที่นักท่องเที่ยวเดินทางเข้ามา มชั่วโมงคือ กับกม
5. ระยะทางที่นักท่องเที่ยวเดินทางได้เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว มกม./ชม. คือ ขกม
6. ผลรวมของตัวเลขสองตัวจะมากกว่าตัวเลขตัวที่สองด้วย 15
7. ผลต่างน้อยกว่าผลต่างที่ลดลง 7
8. เรือโดยสารมีสองชั้นโดยมีจำนวนที่นั่งผู้โดยสารเท่ากัน ในแต่ละแถวของดาดฟ้า มที่นั่ง แถวบนดาดฟ้า nมากกว่าที่นั่งติดกัน
9. Petya อายุ m ปี Masha อายุ n ปี และ Katya อายุน้อยกว่า Petya และ Masha ด้วยกัน k ปี
10. ม. = 8, n = 10, k = 5
11. ม. = 6, n = 8, k = 15
12. เสื้อ = 121, x = 1458

1. ความหมายของสำนวนนี้
2. นิพจน์ตามตัวอักษรสำหรับเส้นรอบวงคือ
3. เส้นรอบวงแสดงเป็นเซนติเมตร
4. สูตรระยะทางที่รถยนต์เดินทางได้
5. สูตรความเร็ว v ความเคลื่อนไหวของนักท่องเที่ยว
6. สูตรสำหรับเวลา t ความเคลื่อนไหวของนักท่องเที่ยว
7. ระยะทางที่รถยนต์เดินทางได้เป็นกิโลเมตร
8. ความเร็วนักท่องเที่ยว กิโลเมตรต่อชั่วโมง
9. ระยะเวลาการเดินทางของนักท่องเที่ยวเป็นชั่วโมง
10. เบอร์แรกคือ...
11. ส่วนย่อยเท่ากับ...
12. การแสดงออกสำหรับ จำนวนที่ใหญ่ที่สุดผู้โดยสารซึ่งสามารถขนส่งสายการบินได้ เคเที่ยวบิน
13. ครับ มากกว่าผู้โดยสารซึ่งสามารถขนส่งสายการบินได้ เคเที่ยวบิน
14. สำนวนตัวอักษรสำหรับอายุของ Katya
15. อายุของคัทย่า
16. พิกัดของจุด B ถ้าพิกัดของจุด C คือ ที
17. พิกัดของจุด D ถ้าพิกัดของจุด C คือ ที
18. พิกัดของจุด A ถ้าพิกัดของจุด C คือ ที
19. ความยาวของส่วน BD บนเส้นจำนวน
20. ความยาวของส่วน CA บนเส้นจำนวน
21. ความยาวของส่วน DA บนเส้นจำนวน

ระดับรายการ

การแปลงนิพจน์ ทฤษฎีโดยละเอียด (2019)

การแปลงนิพจน์

เรามักจะได้ยินสิ่งนี้ วลีที่ไม่พึงประสงค์: “ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น” โดยปกติแล้วเราจะเห็นสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

“มันง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบเช่นนี้มักจะไม่ได้ผล

บัดนี้ข้าพเจ้าจะสอนท่านว่าอย่ากลัวสิ่งใดๆ งานที่คล้ายกัน- ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็น (แค่!) ตัวเลขธรรมดา (ใช่แล้ว ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มบทเรียนนี้ คุณต้องสามารถจัดการกับเศษส่วนและพหุนามตัวประกอบได้ ดังนั้น ขั้นแรก หากคุณไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน อย่าลืมฝึกฝนหัวข้อ "" และ "" ให้เชี่ยวชาญ

คุณอ่านมันหรือยัง? ถ้าใช่คุณก็พร้อมแล้ว

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้เรามาดูเทคนิคพื้นฐานที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ

1.การนำสิ่งที่คล้ายกัน

มีอะไรคล้ายกันบ้าง? คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรแทนตัวเลขปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์ คำที่คล้ายกันคือคำศัพท์ (monomials) ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ยกตัวอย่างโดยรวม เงื่อนไขที่คล้ายกัน- นี่คือฉัน

คุณจำได้ไหม?

การนำคำที่คล้ายกันมารวมกัน หมายถึง การบวกคำที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันแล้วได้คำเดียว

เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม

นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเข้าใจหากคุณจินตนาการว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด เช่น จดหมายก็คือเก้าอี้ แล้วนิพจน์เท่ากับอะไร? เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวจะได้กี่ตัว? ถูกต้องเก้าอี้: .

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้: .

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนให้ ตัวอักษรที่แตกต่างกันเป็นตัวแทนของวัตถุที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น - คือ (ตามปกติ) เก้าอี้ และ - คือโต๊ะ แล้ว:

โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้

ตัวเลขที่มีการคูณตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์- ตัวอย่างเช่น ใน monomial ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และในนั้นก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้นกฎในการนำสิ่งที่คล้ายกันมาคือ:

ตัวอย่าง:

ให้สิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และที่คล้ายกัน ดังนั้น คำเหล่านี้จึงมีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

โดยปกติจะเป็นสิ่งนี้มากที่สุด ส่วนสำคัญในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น หลังจากที่คุณให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ผลลัพธ์ นั่นคือ นำเสนอเป็นผลิตภัณฑ์ สิ่งนี้สำคัญอย่างยิ่งในเรื่องเศษส่วน เพื่อให้สามารถลดเศษส่วนได้ ต้องแสดงทั้งเศษและส่วนเป็นผลคูณ

คุณได้ศึกษาวิธีการแยกตัวประกอบนิพจน์โดยละเอียดในหัวข้อ "" ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่คุณเรียนรู้ไว้ที่นี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ตัดสินใจบางอย่าง ตัวอย่าง(จำเป็นต้องแยกตัวประกอบ):

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าเศษและส่วนแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตของคุณ?

นั่นคือความงามของการลดขนาด

มันง่ายมาก:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน ก็สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้เป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือ เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:

1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและส่วนประกอบด้วย ปัจจัยทั่วไปก็สามารถขีดฆ่าออกได้

หลักการผมคิดว่าชัดเจน?

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่สิ่งหนึ่ง ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อทำสัญญา แม้ว่าหัวข้อนี้จะง่าย แต่หลายคนก็ทำทุกอย่างผิดโดยไม่เข้าใจเรื่องนั้น ลด- นี่หมายความว่า แบ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น เราต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำเช่นนี้ ซึ่งถือว่าผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

“คนที่ฉลาดที่สุด” จะทำสิ่งนี้: .

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณซึ่งหมายความว่าสามารถลดลงได้

แต่ไม่: - นี่คือตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้แยกตัวประกอบ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้มีการแยกตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลดได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนด้วย แล้วตามด้วย:

คุณสามารถแบ่งออกเป็น:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำไว้ว่า วิธีง่ายๆวิธีตรวจสอบว่านิพจน์ถูกแยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือการดำเนินการ "หลัก" นั่นคือหากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษรแล้วลองคำนวณค่าของนิพจน์ แล้วถ้า การกระทำครั้งสุดท้ายจะมีการคูณ - ซึ่งหมายความว่าเราได้ผลลัพธ์ (นิพจน์ถูกแยกตัวประกอบ) ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (และดังนั้นจึงไม่สามารถลดขนาดได้)

หากต้องการรวมเข้าด้วยกันให้แก้ปัญหาด้วยตัวเองเล็กน้อย ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. ฉันหวังว่าคุณจะไม่รีบตัดทันทีและ? ยังไม่เพียงพอที่จะ "ลด" หน่วยเช่นนี้:

ขั้นตอนแรกควรเป็นการแยกตัวประกอบ:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

การบวกและการลบ เศษส่วนสามัญ- การดำเนินการเป็นที่รู้จักกันดี: เรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็นจำนวนเฉพาะ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของมัน นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมในที่นี้คือ:

3. สิ่งแรกที่นี่ เศษส่วนผสมเราเปลี่ยนมันให้เป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นทำตามรูปแบบปกติ:

มันจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงถ้าเศษส่วนมีตัวอักษร ตัวอย่างเช่น:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างจะเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราจะหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถให้ค่าที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวเอง:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการค้นหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

· ก่อนอื่น เรากำหนดปัจจัยร่วม

· จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาทีละตัว

· และคูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ในการหาปัจจัยร่วมของตัวส่วน อันดับแรกเราจะแยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:

ให้เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั่วไปทีละรายการและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดลงไป:

นี่คือตัวส่วนร่วม.

กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

· แยกตัวประกอบตัวส่วน

· กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน)

· เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาครั้งเดียว

· คูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แยกตัวประกอบตัวส่วน:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนตัวประกอบร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ (ไม่เน้น) ทั้งหมด:

มันมีตัวส่วนร่วมตรงนี้. เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - ด้วย:

อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นตัวประกอบเท่ากันแต่มีทั้งหมดด้วย ตัวชี้วัดที่แตกต่างกัน- ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าจำนวนเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: ยกตัวอย่างเศษส่วนแล้วบวกตัวเลขเข้ากับตัวเศษและตัวส่วนเช่น คุณเรียนรู้อะไร?

ดังนั้น มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ไม่สั่นคลอน:

เมื่อคุณลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วมให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณด้วยอะไรถึงจะได้?

เลยคูณด้วย. และคูณด้วย:

เราจะเรียกนิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ว่าเป็น "ปัจจัยพื้นฐาน" ตัวอย่างเช่น - นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น - เดียวกัน. แต่เปล่าเลย: สามารถแยกตัวประกอบได้

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษาหรือไม่?

ไม่ได้ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "") แล้ว

ดังนั้นปัจจัยเบื้องต้นที่คุณขยายนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงเป็นอะนาล็อก ปัจจัยสำคัญซึ่งคุณสลายตัวเลขลงไป และเราจะจัดการกับพวกเขาในลักษณะเดียวกัน

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวคูณ มันจะไปเป็นตัวส่วนร่วมในระดับหนึ่ง (จำได้ไหมว่าทำไม?)

ตัวประกอบนั้นเป็นปัจจัยพื้นฐานและไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยมัน:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สารละลาย:

ก่อนที่คุณจะคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบพวกมันอย่างไรก่อน? พวกเขาทั้งสองเป็นตัวแทน:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สารละลาย:

ตามปกติ ลองแยกตัวประกอบตัวส่วนกัน. ในตัวส่วนตัวแรก เราเพียงแต่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ มันก็คล้ายกัน... และมันเป็นเรื่องจริง:

เรามาเขียนกัน:

นั่นคือมันกลายเป็นเช่นนี้: ภายในวงเล็บเราสลับเงื่อนไขและในเวลาเดียวกันเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ทีนี้ลองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

ที่นี่เราต้องจำอีกสิ่งหนึ่ง - ความแตกต่างของลูกบาศก์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนของเศษส่วนที่สองไม่มีสูตร "กำลังสองของผลรวม"! กำลังสองของผลรวมจะเป็นดังนี้:

A คือสิ่งที่เรียกว่ากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม เทอมที่สองในนั้นคือผลคูณของผลคูณตัวแรกและตัวสุดท้าย ไม่ใช่ผลคูณสองเท่า กำลังสองบางส่วนของผลรวมเป็นปัจจัยหนึ่งในการขยายส่วนต่างของลูกบาศก์:

จะทำอย่างไรถ้ามีเศษส่วนสามตัวอยู่แล้ว?

ใช่แล้ว สิ่งเดียวกัน! ก่อนอื่นเรามาตรวจสอบให้แน่ใจก่อนว่า ปริมาณสูงสุดปัจจัยในตัวส่วนเหมือนกัน:

โปรดทราบ: หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายภายในวงเล็บเดียว เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม เมื่อเราเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บที่สอง เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนจะเปลี่ยนกลับเป็นค่าตรงกันข้าม เป็นผลให้มัน (เครื่องหมายหน้าเศษส่วน) ไม่เปลี่ยนแปลง

เราเขียนตัวส่วนแรกทั้งหมดในตัวส่วนร่วมแล้วบวกตัวประกอบทั้งหมดที่ยังไม่ได้เขียนตั้งแต่ตัวที่สองและตัวที่สาม (และอื่น ๆ หากมีเศษส่วนมากกว่า) นั่นคือปรากฎดังนี้:

อืม... ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับเศษส่วน แต่แล้วทั้งสองล่ะ?

ง่ายมาก: คุณรู้วิธีบวกเศษส่วนใช่ไหม? ดังนั้นเราจึงต้องทำให้สองกลายเป็นเศษส่วน! โปรดจำไว้ว่า: เศษส่วนคือการหาร (ตัวเศษจะถูกหารด้วยตัวส่วน เผื่อคุณลืม) และไม่มีอะไรง่ายไปกว่าการหารตัวเลขด้วย ในกรณีนี้ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะกลายเป็นเศษส่วน:

สิ่งที่คุณต้องการ!

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีขั้นตอนอย่างไร? จำไว้โดยการคำนวณความหมายของสำนวนนี้:

คุณนับไหม?

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันขอเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน ก็สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราก็ทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใด ๆ

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินไม่ตรงกัน!

ถ้าวงเล็บหลายวงเล็บคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะคำนวณนิพจน์ในแต่ละวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารพวกมัน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บมากกว่าภายในวงเล็บ? ลองคิดดู: สำนวนบางอย่างเขียนอยู่ในวงเล็บ เมื่อคำนวณนิพจน์ ควรทำอะไรเป็นอันดับแรก? ถูกต้องแล้ว คำนวณวงเล็บเหลี่ยม เราคิดออกแล้ว: ขั้นแรกเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นจึงคำนวณอย่างอื่นทั้งหมด

ดังนั้น ขั้นตอนสำหรับนิพจน์ข้างต้นจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันจะถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือการกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่ในขณะนี้):

โอเค มันง่ายมาก

แต่นี่ไม่เหมือนกับสำนวนที่มีตัวอักษรเหรอ?

ไม่ มันก็เหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์คุณต้องดำเนินการพีชคณิตนั่นคือการกระทำที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำสิ่งที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การหารเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) บ่อยครั้งในการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ I หรือเพียงแค่เอาออก ตัวคูณทั่วไปออกจากวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น ที่นั่นเรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือการนำเสนอเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีกต่อไป ปัจจัยทั้งหมดที่นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น (คุณยังจำได้ไหมว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

นั่นคือทั้งหมดที่ ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา

ก่อนอื่น เรามากำหนดลำดับของการกระทำกันก่อน ก่อนอื่น เรามาบวกเศษส่วนในวงเล็บกันก่อน แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองอัน เราจะได้หนึ่งอัน จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน. ทีนี้ลองบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้ายกัน ฉันจะนับขั้นตอนตามแผนผัง:

ตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็นกระบวนการโดยแต้มสีการกระทำปัจจุบันเป็นสีแดง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1.หากมีแบบเดียวกันต้องนำมาทันที ไม่ว่าจุดใดที่คล้ายคลึงกันจะเกิดขึ้นในประเทศของเราก็แนะนำให้นำพวกเขาขึ้นมาทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสลดเกิดขึ้น จะต้องใช้ประโยชน์จากมัน ข้อยกเว้นสำหรับเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากมีตอนนี้ ตัวส่วนเดียวกันก็ควรลดหย่อนไว้ทีหลัง

นี่คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสิ่งที่สัญญาไว้ตั้งแต่ต้น:

วิธีแก้ปัญหา (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกได้ แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้ไปเรียนรู้!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การนำไปใช้ ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของเศษส่วน
  1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ
  2) ถ้าตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันก็ขีดฆ่าออกได้

  สิ่งสำคัญ: สามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและหารเศษส่วน:
  ;

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีบวกและคูณเศษส่วนแล้ว เรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า การออกแบบที่ซับซ้อน- ตัวอย่างเช่น จะเกิดอะไรขึ้นถ้าปัญหาเดียวกันเกี่ยวข้องกับการบวก ลบ และคูณเศษส่วน?

ก่อนอื่น คุณต้องแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะดำเนินการตามที่จำเป็นตามลำดับ - ตามลำดับเดียวกับสำหรับ ตัวเลขธรรมดา- กล่าวคือ:

1. การยกกำลังเสร็จสิ้นก่อน - กำจัดนิพจน์ทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังออก
2. จากนั้น - การหารและการคูณ
3. ขั้นตอนสุดท้ายคือการบวกและการลบ

แน่นอน หากมีวงเล็บในนิพจน์ ลำดับการดำเนินการจะเปลี่ยนไป - จะต้องนับทุกสิ่งที่อยู่ในวงเล็บก่อน และจำเกี่ยวกับเศษส่วนเกิน: คุณต้องเน้นทั้งส่วนเฉพาะเมื่อการกระทำอื่น ๆ เสร็จสิ้นแล้วเท่านั้น

มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดจากนิพจน์แรกไปเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ทีนี้ลองหาค่าของนิพจน์ที่สองกัน ที่นี่เศษส่วนด้วย ทั้งส่วนไม่ แต่มีวงเล็บ เราก็เลยบวกก่อน แล้วค่อยหารเท่านั้น โปรดทราบว่า 14 = 7 · 2 แล้ว:

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างที่สาม มีวงเล็บและระดับอยู่ที่นี่ - ควรนับแยกกันจะดีกว่า เมื่อพิจารณาว่า 9 = 3 3 เรามี:

ให้ความสนใจกับตัวอย่างสุดท้าย หากต้องการเพิ่มเศษส่วนเป็นยกกำลัง คุณต้องแยกตัวเศษออกจากกำลังนี้ และแยกตัวส่วนออกจากกัน

คุณสามารถตัดสินใจได้แตกต่างออกไป หากเราจำคำจำกัดความของระดับได้ ปัญหาก็จะลดลงเหลือ การคูณสามัญเศษส่วน:

เศษส่วนหลายชั้น

จนถึงตอนนี้ เราพิจารณาเฉพาะเศษส่วนที่ "บริสุทธิ์" เท่านั้น เมื่อมีทั้งตัวเศษและส่วน ตัวเลขธรรมดา- ซึ่งค่อนข้างสอดคล้องกับคำจำกัดความของเศษส่วนจำนวนที่ให้ไว้ในบทเรียนแรกสุด

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเศษหรือส่วนมีมากกว่า วัตถุที่ซับซ้อน- ตัวอย่างเช่นอีกอันหนึ่ง เศษส่วนที่เป็นตัวเลข- โครงสร้างดังกล่าวเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับสำนวนที่ยาว นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

มีกฎเพียงข้อเดียวในการทำงานกับเศษส่วนหลายระดับ: คุณต้องกำจัดมันทันที การถอดชั้น "พิเศษ" ออกนั้นค่อนข้างง่าย หากคุณจำได้ว่าเครื่องหมายทับหมายถึงการดำเนินการแบ่งมาตรฐาน ดังนั้นเศษส่วนใดๆ ก็สามารถเขียนใหม่ได้ ดังต่อไปนี้:

การใช้ข้อเท็จจริงนี้และทำตามขั้นตอน เราสามารถลดเศษส่วนหลายชั้นให้เหลือเศษส่วนธรรมดาได้อย่างง่ายดาย ลองดูตัวอย่าง:

งาน. แปลงเศษส่วนหลายชั้นให้เป็นเศษส่วนสามัญ:

ในแต่ละกรณี เราจะเขียนเศษส่วนหลักใหม่ โดยแทนที่เส้นหารด้วยเครื่องหมายหาร โปรดจำไว้ว่าจำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนโดยมีส่วนเป็น 1 ได้ นั่นก็คือ 12 = 12/1; 3 = 3/1 เราได้รับ:

ใน ตัวอย่างสุดท้ายเศษส่วนถูกยกเลิกก่อนการคูณครั้งสุดท้าย

ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับเศษส่วนหลายระดับ

มีความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งในเศษส่วนหลายระดับที่ต้องจำไว้เสมอ ไม่เช่นนั้นคุณอาจได้รับคำตอบที่ผิด แม้ว่าการคำนวณทั้งหมดจะถูกต้องก็ตาม ลองดู:

1. ตัวเศษประกอบด้วยเลข 7 ตัวเดียว และตัวส่วนประกอบด้วยเศษส่วน 12/5
2. ตัวเศษประกอบด้วยเศษส่วน 7/12 และตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลข 5 แยกจากกัน

ดังนั้นสำหรับรายการหนึ่งเราได้สองรายการอย่างสมบูรณ์ การตีความที่แตกต่างกัน- หากคุณนับ คำตอบก็จะแตกต่างออกไปด้วย:

เพื่อให้แน่ใจว่าบันทึกจะถูกอ่านอย่างไม่คลุมเครือเสมอ ให้ใช้กฎง่ายๆ: เส้นแบ่งของเศษส่วนหลักต้องยาวกว่าเส้นของเศษส่วนที่ซ้อนกัน ควรหลายครั้ง

หากคุณปฏิบัติตามกฎนี้ เศษส่วนข้างต้นควรเขียนดังนี้:

ใช่ มันอาจจะดูไม่น่าดูและใช้พื้นที่มากเกินไป แต่คุณจะนับอย่างถูกต้อง สุดท้ายนี้ มีตัวอย่างสองสามตัวอย่างที่มีเศษส่วนหลายชั้นเกิดขึ้นจริง:

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

เรามาทำงานกับตัวอย่างแรกกันดีกว่า มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วดำเนินการบวกและหาร:

ลองทำแบบเดียวกันกับตัวอย่างที่สอง มาแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมแล้วดำเนินการที่จำเป็น เพื่อไม่ให้ผู้อ่านเบื่อ ฉันจะละเว้นการคำนวณที่ชัดเจนบางประการ เรามี:

เนื่องจากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนพื้นฐานมีผลรวมอยู่ กฎสำหรับการเขียนเศษส่วนหลายชั้นจึงถูกสังเกตโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ ในตัวอย่างสุดท้าย เราตั้งใจให้ 46/1 อยู่ในรูปเศษส่วนเพื่อทำการหาร

ฉันจะสังเกตด้วยว่าในทั้งสองตัวอย่าง แท่งเศษส่วนมาแทนที่วงเล็บ ประการแรก เราพบผลรวม แล้วจึงพบเพียงผลหารเท่านั้น

บางคนก็บอกว่าการเปลี่ยนผ่านไป เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมในตัวอย่างที่สองซ้ำซ้อนอย่างเห็นได้ชัด บางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริง แต่การทำเช่นนี้เรารับประกันตนเองจากข้อผิดพลาด เพราะครั้งต่อไปตัวอย่างอาจซับซ้อนกว่านี้มาก เลือกสิ่งที่สำคัญกว่าสำหรับตัวคุณเอง: ความเร็วหรือความน่าเชื่อถือ

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. กำหนดแนวทางการดำเนินการ ดำเนินการขั้นแรกในวงเล็บด้านใน 489–296=193 จากนั้นคูณ 193∙8=1544 และ 34∙10=340 การดำเนินการถัดไป: 340+1544=1884 ต่อไป หาร 1884:4=461 แล้วลบ 461–410=60 คุณได้พบความหมายของสำนวนนี้แล้ว

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30° ลดความซับซ้อน การแสดงออกนี้- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร tg α∙ctg α=1 รับ: 2ซิน 30°∙cos 30°∙1=2ซิน 30°∙cos 30° เป็นที่รู้กันว่าบาป 30°=1/2 และ cos 30°=√3/2 ดังนั้น 2ซิน 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2 คุณได้พบความหมายของสำนวนนี้แล้ว

ค่าของนิพจน์พีชคณิตจาก หากต้องการค้นหาค่าของนิพจน์พีชคณิตที่กำหนดให้กับตัวแปร ให้จัดนิพจน์ให้ง่ายขึ้น ทดแทนตัวแปร ค่าบางอย่าง- ทำตามขั้นตอนที่จำเป็นให้เสร็จสิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขซึ่งจะเป็นค่าของนิพจน์พีชคณิตสำหรับตัวแปรที่กำหนด

ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10 ลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้แล้วได้: a–2y แทนค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรแล้วคำนวณ: a–2y=21–2∙10=1 นี่คือค่าของนิพจน์ 7(a+y)–3(2a+3y) โดยมี a=21 และ y=10

โปรดทราบ

มี นิพจน์พีชคณิตซึ่งไม่สมเหตุสมผลกับค่าบางค่าของตัวแปร ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x/(7–a) ไม่สมเหตุสมผลหาก a=7 เพราะ ในกรณีนี้ ตัวส่วนของเศษส่วนจะกลายเป็นศูนย์

แหล่งที่มา:

• หา ค่าที่น้อยที่สุดการแสดงออก
• ค้นหาความหมายของสำนวนสำหรับค 14

การเรียนรู้ที่จะทำให้นิพจน์ในคณิตศาสตร์ง่ายขึ้นเป็นสิ่งจำเป็นเพียงเพื่อที่จะแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว สมการต่างๆ- การลดความซับซ้อนของนิพจน์เกี่ยวข้องกับการลดจำนวนขั้นตอน ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและประหยัดเวลา

คำแนะนำ

เรียนรู้การคำนวณกำลังของค เมื่อคูณเลขยกกำลัง c จะได้ตัวเลขที่มีฐานเท่ากัน และเพิ่มเลขยกกำลัง b^m+b^n=b^(m+n) เมื่อหารองศาด้วย ในบริเวณเดียวกันพวกมันได้รับกำลังของตัวเลข โดยมีฐานเท่ากัน และเลขยกกำลังถูกลบออก และเลขชี้กำลังของตัวหาร b^m จะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล: b^n=b^(m-n) เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง จะได้กำลังของตัวเลข โดยฐานยังคงเท่าเดิม และเลขยกกำลังจะคูณกัน (b^m)^n=b^(mn) เมื่อยกกำลัง แต่ละตัวประกอบ ถูกยกกำลังนี้ (abc)^m=a^m *b^m*c^m

พหุนามตัวประกอบ เช่น ลองจินตนาการว่ามันเป็นผลมาจากปัจจัยหลายประการ - และ monomials นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ. เรียนรู้สูตรพื้นฐานสำหรับการคูณแบบย่อ: ผลต่างของกำลังสอง ผลต่างกำลังสอง ผลรวม ผลต่างของลูกบาศก์ ลูกบาศก์ของผลรวม และผลต่าง ตัวอย่างเช่น m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2 สูตรเหล่านี้เป็นสูตรหลักในการทำให้เข้าใจง่าย ใช้วิธีการเลือก สี่เหลี่ยมเต็มอยู่ในรูปตรีโกณมิติ ax^2+bx+c

ย่อเศษส่วนให้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c) แต่จำไว้ว่าคุณสามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนพีชคณิตคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง คุณสามารถแปลงนิพจน์ได้สองวิธี: แบบลูกโซ่และแบบการกระทำ วิธีที่สองจะดีกว่าเพราะว่า ตรวจสอบผลลัพธ์ของการกระทำระดับกลางได้ง่ายกว่า

มักจำเป็นต้องแยกรากออกจากนิพจน์ รากคู่จะถูกแยกจากนิพจน์หรือตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น สามารถแยกรากแปลกออกจากนิพจน์ใดก็ได้

แหล่งที่มา:

• ลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลัง

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเกิดขึ้นครั้งแรกในฐานะเครื่องมือเชิงนามธรรม การคำนวณทางคณิตศาสตร์การพึ่งพาปริมาณ มุมที่คมชัดวี สามเหลี่ยมมุมฉากจากความยาวของด้านข้าง ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และเทคนิค กิจกรรมของมนุษย์- สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณสามารถใช้เครื่องมือต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งที่กำหนด - เครื่องมือที่เข้าถึงได้มากที่สุดหลายรายการมีคำอธิบายอยู่ด้านล่าง

คำแนะนำ

ใช้ตัวอย่างเช่นอันที่ติดตั้งโดยค่าเริ่มต้นด้วย ระบบปฏิบัติการโปรแกรมเครื่องคิดเลข จะเปิดขึ้นโดยเลือกรายการ "เครื่องคิดเลข" ในโฟลเดอร์ "ยูทิลิตี้" จากส่วนย่อย "มาตรฐาน" ซึ่งอยู่ในส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ส่วนนี้สามารถเปิดได้โดยคลิกที่ปุ่ม "เริ่ม" ไปที่เมนูการทำงานหลัก หากคุณกำลังใช้ เวอร์ชันวินโดวส์ 7 จากนั้นคุณสามารถป้อน "เครื่องคิดเลข" ในช่อง "ค้นหาโปรแกรมและไฟล์" ของเมนูหลัก จากนั้นคลิกลิงก์ที่เกี่ยวข้องในผลการค้นหา

นับปริมาณ การดำเนินการที่จำเป็นและคิดถึงลำดับที่ควรจะทำ หากคุณพบว่ามันยาก คำถามนี้โปรดทราบว่าการดำเนินการที่อยู่ในวงเล็บจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงทำการหารและคูณ และการลบจะดำเนินการใน วิธีสุดท้าย- เพื่อให้จำอัลกอริธึมของการกระทำที่ทำได้ง่ายขึ้น ในนิพจน์เหนือเครื่องหมายตัวดำเนินการแต่ละเครื่องหมาย (+,-,*,:) ด้วยดินสอเส้นเล็ก ให้จดตัวเลขที่สอดคล้องกับการดำเนินการของการกระทำนั้น

ดำเนินการตามขั้นตอนแรกตามลำดับที่กำหนดไว้ นับในใจของคุณว่าการกระทำนั้นทำได้ง่ายด้วยวาจาหรือไม่ หากจำเป็นต้องคำนวณ (ในคอลัมน์) ให้เขียนไว้ใต้นิพจน์โดยระบุ หมายเลขซีเรียลการกระทำ

ติดตามลำดับการกระทำที่ทำไปอย่างชัดเจน ประเมินสิ่งที่ต้องลบออกจากอะไร แบ่งออกเป็นอะไร ฯลฯ บ่อยครั้งคำตอบในนิพจน์ไม่ถูกต้องเนื่องจากข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในขั้นตอนนี้

คุณสมบัติที่โดดเด่นการแสดงออกคือการมีอยู่ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ มันถูกระบุด้วยเครื่องหมายบางอย่าง (การคูณ การหาร การลบหรือการบวก) ลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะได้รับการแก้ไขด้วยวงเล็บหากจำเป็น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หมายถึงการค้นหา

สิ่งที่ไม่ใช่การแสดงออก

ไม่ใช่ทุกสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่สามารถจัดเป็นนิพจน์ได้

ความเท่าเทียมกันไม่ใช่การแสดงออก ไม่ว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะมีความเท่าเทียมกันหรือไม่นั้นไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น a=5 คือความเท่าเทียมกัน ไม่ใช่นิพจน์ แต่ 8+6*2=20 ก็ไม่ถือเป็นนิพจน์เช่นกัน แม้ว่าจะมีคูณก็ตาม ตัวอย่างนี้ยังอยู่ในหมวดหมู่ของความเท่าเทียมกันด้วย

แนวคิดเรื่องการแสดงออกและความเท่าเทียมกันไม่ได้แยกจากกัน แนวคิดแรกรวมอยู่ในแนวคิดหลัง เครื่องหมายเท่ากับเชื่อมโยงสองนิพจน์:
5+7=24:2

สมการนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้น:
5+7=12

นิพจน์จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แสดงนั้นสามารถทำได้เสมอ 9+:-7 ไม่ใช่นิพจน์ แม้ว่าจะมีสัญญาณของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อยู่ที่นี่ก็ตาม เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการเหล่านี้

นอกจากนี้ยังมีรายการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนิพจน์อย่างเป็นทางการแต่ไม่มีความหมาย ตัวอย่างของการแสดงออกดังกล่าว:
46:(5-2-3)

จะต้องหารเลข 46 ด้วยผลของการกระทำในวงเล็บและนั่นเอง เท่ากับศูนย์- คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ การกระทำดังกล่าวถือเป็นสิ่งต้องห้าม

นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์มีสองประเภท

หากนิพจน์ประกอบด้วยตัวเลขและสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น นิพจน์ดังกล่าวจะเรียกว่าตัวเลข หากในนิพจน์พร้อมกับตัวเลข มีตัวแปรที่แสดงด้วยตัวอักษรหรือไม่มีตัวเลขเลย นิพจน์นั้นประกอบด้วยตัวแปรและสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เรียกว่าพีชคณิต

ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างค่าตัวเลขและค่าพีชคณิตคือนิพจน์ตัวเลขมีเพียงค่าเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ตัวเลข 56–2*3 จะเท่ากับ 50 เสมอ ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงได้ นิพจน์พีชคณิตสามารถมีค่าได้หลายค่า เนื่องจากตัวเลขใดๆ ก็สามารถทดแทนได้ ดังนั้น หากในนิพจน์ b–7 เราแทน 9 ด้วย b ค่าของนิพจน์จะเป็น 2 และถ้า 200 จะเป็น 193

แหล่งที่มา:

• นิพจน์ตัวเลขและพีชคณิต