คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ กราฟ ขอบเขตคำนิยาม เซตของค่า สูตรพื้นฐาน อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายตัวใน ซีรีย์พาวเวอร์และการแทนฟังก์ชัน ln x โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน
คำนิยาม
ลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชัน y = ใน x, ผกผันกับ เอ็กซ์โปเนนเชียล, x = e y และคือ ลอการิทึมตามหมายเลข e: ln x = บันทึก อี x.
ลอการิทึมธรรมชาติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ เนื่องจากอนุพันธ์ของลอการิทึมมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด: (ln x)′ = 1/ x.
ขึ้นอยู่กับ คำจำกัดความฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข จ:
อี ≅ 2.718281828459045...;
.
กราฟของฟังก์ชัน y = ใน x.
กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน y = ใน x) ได้มาจาก กราฟิกเอ็กซ์โพเนนเชียล ภาพสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นตรง y = x
ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้ที่ ค่าบวกตัวแปร x
มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ 0 ที่ x →
ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ (-∞) เมื่อ x → + ∞ ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือบวกอนันต์ (+ ∞) สำหรับ x ขนาดใหญ่ ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ใดๆฟังก์ชั่นพลังงาน x a สตัวบ่งชี้ที่เป็นบวก
องศา a เติบโตเร็วกว่าลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ
ขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า สุดขั้ว เพิ่ม ลด
ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีค่าสุดโต่ง คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติแสดงอยู่ในตาราง
ค่า x
ใน 1 = 0
สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ
สูตรต่อจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน:
คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา
สูตรทดแทนเบส ลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติ
โดยใช้สูตรการแทนที่ฐาน: หลักฐานของสูตรเหล่านี้แสดงอยู่ในส่วน.
"ลอการิทึม"
ฟังก์ชันผกผัน ค่าผกผันของลอการิทึมธรรมชาติคือ.
เลขชี้กำลัง
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น.
อนุพันธ์ ln x
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
การหาสูตร > > >
บูรณาการ อินทิกรัลถูกคำนวณ :
.
บูรณาการโดยส่วนต่างๆ
ดังนั้น,
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน
.
พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z: ลองแสดงตัวแปรที่ซับซ้อนกันผ่านโมดูล รและการโต้แย้ง φ
:
.
จากคุณสมบัติของลอการิทึม เราได้:
.
หรือ
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ถ้าใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
มันจะเป็นตัวเลขเดียวกันสำหรับ n ที่แตกต่างกัน
ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว
การขยายซีรีย์พาวเวอร์
เมื่อการขยายตัวเกิดขึ้น:
วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
เราศึกษาลอการิทึมต่อไป ในบทความนี้เราจะพูดถึง การคำนวณลอการิทึมกระบวนการนี้เรียกว่า ลอการิทึม- ขั้นแรก เราจะเข้าใจการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ ต่อไปเรามาดูวิธีการหาค่าลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของพวกเขา หลังจากนี้เราจะเน้นไปที่การคำนวณลอการิทึมตั้งแต่ต้น ตั้งค่าลอการิทึมอื่น ๆ สุดท้ายนี้ เรามาดูวิธีใช้ตารางลอการิทึมกัน ทฤษฎีทั้งหมดมีตัวอย่างพร้อมคำตอบโดยละเอียด
การนำทางหน้า
การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ
ในกรณีที่ง่ายที่สุด สามารถทำได้ค่อนข้างรวดเร็วและง่ายดาย การหาลอการิทึมตามคำจำกัดความ- มาดูกันว่ากระบวนการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร
สาระสำคัญของมันคือการแสดงตัวเลข b ในรูปแบบ a c ซึ่งตามคำจำกัดความของลอการิทึม จำนวน c คือค่าของลอการิทึม ตามคำนิยามแล้ว สายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันต่อไปนี้สอดคล้องกับการค้นหาลอการิทึม: log a b=log a a c =c
ดังนั้น การคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความจึงต้องหาตัวเลข c โดยที่ a c = b และตัว c เองก็เป็นค่าที่ต้องการของลอการิทึม
โดยคำนึงถึงข้อมูลในย่อหน้าก่อนหน้า เมื่อตัวเลขภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมถูกกำหนดด้วยกำลังของฐานลอการิทึม คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าลอการิทึมมีค่าเท่ากับอะไร - มัน เท่ากับตัวบ่งชี้องศา เรามาแสดงวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างกัน
ตัวอย่าง.
ค้นหาบันทึก 2 2 −3 และคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข e 5,3 ด้วย
สารละลาย.
คำจำกัดความของลอการิทึมทำให้เราบอกได้ทันทีว่า log 2 2 −3 =−3 โดยแท้แล้ว ตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่าเท่ากับฐาน 2 ยกกำลัง −3
ในทำนองเดียวกัน เราพบลอการิทึมที่สอง: lne 5.3 =5.3
คำตอบ:
บันทึก 2 2 −3 =−3 และ lne 5,3 =5,3
หากไม่ได้ระบุเลข b ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังของฐานลอการิทึม คุณต้องพิจารณาอย่างรอบคอบเพื่อดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแทนตัวเลข b ในรูปแบบ a c บ่อยครั้งที่การแสดงนี้ค่อนข้างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมเท่ากับฐานยกกำลัง 1 หรือ 2 หรือ 3 ...
ตัวอย่าง.
คำนวณบันทึกลอการิทึม 5 25 และ
สารละลาย.
สังเกตได้ง่ายว่า 25=5 2 จะทำให้คุณสามารถคำนวณลอการิทึมแรกได้: log 5 25=log 5 5 2 =2
มาดูการคำนวณลอการิทึมที่สองกันดีกว่า ตัวเลขสามารถแสดงเป็นกำลังของ 7: 
(ดูว่าจำเป็นหรือไม่) เพราะฉะนั้น, 
.
ลองเขียนลอการิทึมที่สามใหม่กัน แบบฟอร์มต่อไปนี้- ตอนนี้คุณสามารถเห็นสิ่งนั้นได้แล้ว 
ซึ่งเราก็สรุปได้ว่า 
- ดังนั้นโดยนิยามของลอการิทึม 
.
เขียนวิธีแก้ปัญหาโดยย่อได้ดังนี้: .
คำตอบ:
ล็อก 5 25=2 , 
และ .
เมื่ออยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม จะมีขนาดใหญ่เพียงพอ จำนวนธรรมชาติถ้าอย่างนั้นมันก็ไม่เสียหายที่จะย่อยสลายมัน ปัจจัยสำคัญ- การแสดงตัวเลขเช่นกำลังของฐานลอการิทึมมักจะช่วยได้ ดังนั้นจึงคำนวณลอการิทึมนี้ตามคำจำกัดความ
ตัวอย่าง.
ค้นหาค่าลอการิทึม
สารละลาย.
คุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมช่วยให้คุณสามารถระบุค่าลอการิทึมได้ทันที คุณสมบัติเหล่านี้รวมถึงคุณสมบัติของลอการิทึมของหน่วยและคุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลข เท่ากับฐาน: log 1 1=log a a 0 =0 และ log a a=log a 1 =1 นั่นคือ เมื่อภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึม มีตัวเลข 1 หรือตัวเลข a เท่ากับฐานของลอการิทึม ในกรณีนี้ ลอการิทึมจะเท่ากับ 0 และ 1 ตามลำดับ
ตัวอย่าง.
ลอการิทึมและ log10 เท่ากับอะไร?
สารละลาย.
เนื่องจาก จากนั้นจากคำจำกัดความของลอการิทึมจึงเป็นไปตามนั้น 
.
ในตัวอย่างที่สอง เลข 10 ใต้เครื่องหมายลอการิทึมตรงกับฐาน ดังนั้นลอการิทึมทศนิยมของ 10 เท่ากับหนึ่งนั่นคือ log10=lg10 1 =1
คำตอบ:
และ lg10=1 .
โปรดทราบว่าการคำนวณลอการิทึมตามคำจำกัดความ (ซึ่งเราได้กล่าวถึงไปแล้ว ย่อหน้าก่อนหน้า) หมายถึงการใช้บันทึกความเท่าเทียมกัน a a p =p ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม
ในทางปฏิบัติ เมื่อตัวเลขใต้เครื่องหมายลอการิทึมและฐานของลอการิทึมสามารถแทนค่ากำลังของจำนวนหนึ่งได้อย่างง่ายดาย การใช้สูตรจะสะดวกมาก 
ซึ่งสอดคล้องกับหนึ่งในคุณสมบัติของลอการิทึม ลองพิจารณาตัวอย่างการค้นหาลอการิทึมซึ่งแสดงให้เห็นการใช้สูตรนี้
ตัวอย่าง.
คำนวณลอการิทึม.
สารละลาย.
คำตอบ:
.
คุณสมบัติของลอการิทึมที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้นยังใช้ในการคำนวณด้วย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในย่อหน้าต่อไปนี้
การค้นหาลอการิทึมผ่านลอการิทึมอื่นที่รู้จัก
ข้อมูลในย่อหน้านี้ยังคงเป็นหัวข้อการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมเมื่อคำนวณ แต่ข้อแตกต่างที่สำคัญตรงนี้คือคุณสมบัติของลอการิทึมถูกใช้เพื่อแสดงลอการิทึมดั้งเดิมในรูปของลอการิทึมอื่น ซึ่งเป็นค่าที่ทราบ ขอยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง สมมติว่าเรารู้ว่าบันทึก 2 3µ1.584963 จากนั้นเราสามารถค้นหาบันทึก 2 6 ได้โดยทำการแปลงเล็กน้อยโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: บันทึก 2 6=บันทึก 2 (2 3)=บันทึก 2 2+บันทึก 2 3data 1+1,584963=2,584963 .
ในตัวอย่างข้างต้น การใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติลอการิทึมที่กว้างขึ้นเพื่อคำนวณลอการิทึมดั้งเดิมผ่านค่าที่กำหนด
ตัวอย่าง.
คำนวณลอการิทึมของ 27 ถึงฐาน 60 หากคุณรู้ว่าบันทึก 60 2=a และบันทึก 60 5=b
สารละลาย.
ดังนั้นเราจึงต้องหาบันทึก 60 27 เห็นได้ง่ายว่า 27 = 3 3 และลอการิทึมดั้งเดิม เนื่องจากคุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง สามารถเขียนใหม่เป็น 3·log 60 3 ได้
ตอนนี้เรามาดูวิธีแสดงบันทึก 60 3 ในรูปของลอการิทึมที่รู้จักกัน คุณสมบัติของลอการิทึมของตัวเลขที่เท่ากับฐานทำให้เราสามารถเขียนบันทึกความเท่าเทียมกัน 60 60=1 ในทางกลับกัน บันทึก 60 60=log60(2 2 3 5)= บันทึก 60 2 2 +บันทึก 60 3+บันทึก 60 5= 2·ล็อก 60 2+ล็อก 60 3+ล็อก 60 5 ดังนั้น, 2 บันทึก 60 2+บันทึก 60 3+บันทึก 60 5=1- เพราะฉะนั้น, ล็อก 60 3=1−2·ล็อก 60 2−ล็อก 60 5=1−2·a−b.
สุดท้าย เราคำนวณลอการิทึมดั้งเดิม: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
คำตอบ:
ล็อก 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
แยกกันเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงความหมายของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมของแบบฟอร์ม 
- ช่วยให้คุณสามารถย้ายจากลอการิทึมที่มีฐานใด ๆ ไปยังลอการิทึมที่มีฐานเฉพาะซึ่งเป็นค่าที่ทราบหรือเป็นไปได้ที่จะค้นหา โดยปกติจากลอการิทึมดั้งเดิมโดยใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงพวกเขาจะย้ายไปที่ลอการิทึมในฐานใดฐานหนึ่ง 2, e หรือ 10 เนื่องจากสำหรับฐานเหล่านี้จะมีตารางลอการิทึมที่อนุญาตให้คำนวณค่าด้วยระดับหนึ่ง ความแม่นยำ. ใน จุดถัดไปเราจะแสดงให้คุณเห็นว่ามันเสร็จสิ้นอย่างไร
ตารางลอการิทึมและการนำไปใช้
สำหรับการคำนวณค่าลอการิทึมโดยประมาณสามารถใช้ได้ ตารางลอการิทึม- ตารางลอการิทึมฐาน 2 ที่ใช้กันมากที่สุด ตารางลอการิทึมธรรมชาติ และ ลอการิทึมทศนิยม- เมื่อเข้ามาทำงาน ระบบทศนิยมสำหรับแคลคูลัส สะดวกในการใช้ตารางลอการิทึมตามฐานสิบ ด้วยความช่วยเหลือเราจะเรียนรู้การค้นหาค่าลอการิทึม
ตารางที่นำเสนอช่วยให้คุณค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขตั้งแต่ 1,000 ถึง 9,999 (มีทศนิยมสามตำแหน่ง) ด้วยความแม่นยำหนึ่งหมื่น เราจะวิเคราะห์หลักการหาค่าลอการิทึมโดยใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมลงไป ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง– วิธีนี้ชัดเจนกว่า มาหา log1.256 กัน
ในคอลัมน์ด้านซ้ายของตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบตัวเลขสองตัวแรกของตัวเลข 1.256 นั่นคือเราพบ 1.2 (ตัวเลขนี้จะวงกลมเป็นสีน้ำเงินเพื่อความชัดเจน) เราพบหลักที่สามของ 1.256 (หลัก 5) ในตัวแรกหรือ บรรทัดสุดท้ายทางด้านซ้ายของเส้นคู่ (ตัวเลขนี้วงกลมสีแดง) หลักที่สี่ของหมายเลขเดิม 1.256 (หลัก 6) จะอยู่ที่บรรทัดแรกหรือบรรทัดสุดท้ายทางด้านขวาของเส้นคู่ (หมายเลขนี้วงกลมด้วยเส้นสีเขียว) ตอนนี้เราพบตัวเลขในเซลล์ของตารางลอการิทึมที่จุดตัดของแถวที่ทำเครื่องหมายไว้และคอลัมน์ที่ทำเครื่องหมายไว้ (ตัวเลขเหล่านี้ถูกเน้นไว้ ส้ม- ผลรวมของตัวเลขที่ทำเครื่องหมายไว้จะให้ค่าลอการิทึมทศนิยมที่ต้องการซึ่งแม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่สี่นั่นคือ บันทึก1.236µ0.0969+0.0021=0.0990.
เป็นไปได้หรือไม่โดยใช้ตารางด้านบนเพื่อค้นหาค่าลอการิทึมทศนิยมของตัวเลขที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมมากกว่าสามหลักรวมทั้งค่าที่เกินช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 9.999 ใช่คุณสามารถ เรามาแสดงวิธีการทำสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง
มาคำนวณ lg102.76332 กัน ก่อนอื่นคุณต้องเขียนลงไป หมายเลขเข้า แบบฟอร์มมาตรฐาน : 102.76332=1.0276332·10 2. หลังจากนี้ แมนทิสซาควรถูกปัดเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สามตามที่เรามี 1.0276332 10 2 µ1.028 10 2ในขณะที่ลอการิทึมทศนิยมดั้งเดิมมีค่าประมาณ เท่ากับลอการิทึมจำนวนผลลัพธ์นั่นคือเราเอา log102.76332µlg1.028·10 2 ตอนนี้เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึม: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2- สุดท้าย เราพบค่าลอการิทึม lg1.028 จากตารางลอการิทึมฐานสิบ lg1.028µ0.0086+0.0034=0.012 เป็นผลให้กระบวนการทั้งหมดในการคำนวณลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log102.76332=log1.0276332 10 2 µlg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2γ0.012+2=2.012.
โดยสรุปเป็นที่น่าสังเกตว่าการใช้ตารางลอการิทึมทศนิยมคุณสามารถคำนวณค่าโดยประมาณของลอการิทึมใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อไปยังลอการิทึมทศนิยมค้นหาค่าในตารางและทำการคำนวณที่เหลือ
ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณบันทึก 2 3 กัน ตามสูตรการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึม เรามี . จากตารางลอการิทึมทศนิยม เราพบ log3γ0.4771 และ log2γ0.3010 ดังนั้น, 
.
อ้างอิง.
- โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)
คำแนะนำ
เขียนสิ่งที่ให้มา นิพจน์ลอการิทึม- ถ้านิพจน์ใช้ลอการิทึมเป็น 10 สัญกรณ์ของมันจะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือลอการิทึมทศนิยม หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน ให้เขียนนิพจน์: ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของค่าใดๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานขึ้นเพื่อให้ได้เลข b
เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";
เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;
ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
หากได้รับ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนแล้วจึงจำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นภายในและอนุพันธ์ของสิ่งภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)
ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)
2) คำนวณค่าของฟังก์ชันเป็น จุดที่กำหนดให้ย"(1)=8*อี^0=8
วิดีโอในหัวข้อ
เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก
แหล่งที่มา:
- อนุพันธ์ของค่าคงที่
ดังนั้นความแตกต่างระหว่างคืออะไร สมการตรรกยะจากเหตุผล? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองจากนั้นสมการจะถือว่าไม่มีเหตุผล
คำแนะนำ
วิธีการหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีสร้างทั้งสองด้าน สมการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำจัดป้ายนั้นออก วิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยากในทางเทคนิค แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการคือ v(2x-5)=v(4x-7) ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2x-5=4x-7 การแก้สมการดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ- ทำไม แทนค่าหนึ่งลงในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่านี้ไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น สมการที่กำหนดไม่มีราก
ดังนั้น, สมการไม่ลงตัวแก้ได้โดยวิธียกกำลังสองทั้งสองส่วน และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม
พิจารณาอีกอันหนึ่ง
2х+vх-3=0
แน่นอนว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้า ย้ายสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สอง ให้ไปทางด้านขวาแล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากที่เกิดขึ้น แต่ยังอีกอันที่หรูหรากว่าอีกด้วย ป้อนตัวแปรใหม่ vх=y. ดังนั้น คุณจะได้สมการในรูปแบบ 2y2+y-3=0 นั่นก็คือ ตามปกติ สมการกำลังสอง- ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vh=1; วх=-3/2. สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมตรวจสอบรากด้วย
การแก้ไขตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำ การเปลี่ยนแปลงตัวตนจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือที่ง่ายที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์งานที่ทำอยู่จะได้รับการแก้ไข
คุณจะต้อง
- - กระดาษ;
- - ปากกา.
คำแนะนำ
การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณพีชคณิตแบบย่อ (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง), ผลต่างของกำลังสอง, ผลรวม (ผลต่าง), ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมายและ สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคืออัตลักษณ์ที่เหมือนกัน
อันที่จริงกำลังสองของผลรวมของสองเทอม เท่ากับกำลังสองอันแรกบวกด้วยผลคูณของอันแรกเป็นสองเท่าและบวกกำลังสองของอันที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=ก^2+2ab +b^2
ลดความซับซ้อนทั้งสองอย่าง
หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา
ทำซ้ำตามตำราเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลจำกัดจำนวน ดังที่ทราบกันดีว่าทางแก้ อินทิกรัลที่แน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์ให้ค่าปริพันธ์ ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ โดย หลักการนี้และสร้างอินทิกรัลหลักกำหนดโดยรูปแบบของปริพันธ์ว่าปริพันธ์ของตารางใดที่เข้าได้ ในกรณีนี้- ไม่สามารถระบุสิ่งนี้ได้ทันทีเสมอไป บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้เฉพาะหลังจากการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้ปริพันธ์ง่ายขึ้น
วิธีการเปลี่ยนตัวแปร
ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์เป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์มีพหุนามอยู่ ให้ลองใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของปริพันธ์ด้วยตัวแปรใหม่บางตัว ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า ให้กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม เมื่อสร้างความแตกต่างให้กับนิพจน์นี้ ให้ค้นหาส่วนต่างใหม่ใน ดังนั้นคุณจะได้รับ รูปลักษณ์ใหม่ของอินทิกรัลก่อนหน้า ใกล้หรือสอดคล้องกับอินทิกรัลตารางใดๆการแก้อินทิกรัลชนิดที่สอง
หากอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎในการเปลี่ยนจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างออสโตรกราดสกี-เกาส์ กฎหมายนี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากฟลักซ์โรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปเป็นอินทิกรัลสามส่วนเหนือไดเวอร์เจนต์ของสนามเวกเตอร์ที่กำหนดการทดแทนขีดจำกัดการรวม
หลังจากค้นหาแอนติเดริเวทีฟแล้ว ก็จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการอินทิเกรต ขั้นแรกให้แทนค่า ขีด จำกัด บนเป็นนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้เลขจำนวนหนึ่ง จากนั้น ให้ลบจำนวนอื่นที่ได้รับจากขีดจำกัดล่างออกจากผลลัพธ์เป็นค่าแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดของการอินทิเกรตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อทำการแทนที่มันเข้าไป ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์มีความจำเป็นต้องไปให้ถึงขีด จำกัด และค้นหาว่าสำนวนนั้นมุ่งมั่นเพื่ออะไรหากอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดของอินทิกรัลในเชิงเรขาคณิตเพื่อทำความเข้าใจวิธีประเมินอินทิกรัล อันที่จริง ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ขีดจำกัดของอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาตรที่อินทิกรัล
274. หมายเหตุ.
ก)หากนิพจน์ที่คุณต้องการประเมินประกอบด้วย ผลรวมหรือ ความแตกต่างตัวเลขจะต้องค้นหาโดยไม่ต้องใช้ตาราง นอกจากนี้สามัญหรือโดยการลบ เช่น:
บันทึก (35 +7.24) 5 = 5 บันทึก (35 + 7.24) = 5 บันทึก 42.24
ข)เมื่อรู้วิธีนิพจน์ลอการิทึม เราก็สามารถทำได้ ในทางกลับกัน โดย ผลลัพธ์นี้การใช้ลอการิทึมเพื่อค้นหานิพจน์ที่ได้รับผลลัพธ์นี้ แล้วถ้า
บันทึก เอ็กซ์=บันทึก ก+ บันทึก ข- 3 บันทึก กับ,
ถ้าอย่างนั้นมันก็ง่ายที่จะเข้าใจ
วี)ก่อนที่จะพิจารณาโครงสร้างของตารางลอการิทึม เราจะระบุคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมฐานสิบ เช่น ที่ใช้เลข 10 เป็นฐาน (ใช้เฉพาะลอการิทึมดังกล่าวในการคำนวณ)
บทที่สอง
คุณสมบัติของลอการิทึมทศนิยม
275 . ก) เนื่องจาก 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1,000, 10 4 = 10,000 เป็นต้น จากนั้นบันทึก 10 = 1 บันทึก 100 = 2 บันทึก 1,000 = 3 บันทึก 10,000 = 4 และอื่นๆ
วิธี, ลอการิทึมของจำนวนเต็มที่แสดงด้วยหนึ่งตามด้วยศูนย์จะเป็นจำนวนเต็ม จำนวนบวกซึ่งมีเลขศูนย์อยู่ในรูปภาพจำนวนมากที่สุด
ดังนั้น: บันทึก 100,000 = 5, บันทึก 1000 000 = 6 ฯลฯ
ข) เพราะ
บันทึก 0.1 = -l; บันทึก 0.01 = - 2; บันทึก 0.001 == -3; บันทึก 0.0001 = - 4,ฯลฯ
วิธี, ลอการิทึม ทศนิยมซึ่งแสดงด้วยหน่วยที่มีศูนย์นำหน้า คือจำนวนเต็มลบที่มีหน่วยลบมากเท่ากับมีศูนย์ในการแทนเศษส่วน รวมทั้งจำนวนเต็ม 0
ดังนั้น: บันทึก 0.00001= - 5, บันทึก 0.000001 = -6,ฯลฯ
วี)ลองใช้จำนวนเต็มที่ไม่ได้แทนด้วยหนึ่งและศูนย์ เป็นต้น 35 หรือจำนวนเต็มที่มีเศษส่วน เป็นต้น 10.7. ลอการิทึมของตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ เนื่องจากเมื่อยก 10 ขึ้นกำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (บวกหรือลบ) เราจะได้ 1 โดยมีศูนย์ (ตามหลัง 1 หรืออยู่ข้างหน้า) ให้เราสมมติว่าลอการิทึมของตัวเลขดังกล่าวเป็นเศษส่วนจำนวนหนึ่ง ก / ข - แล้วเราก็จะมีความเท่าเทียมกัน
แต่ความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นไปไม่ได้เช่นกัน 10ก มี 1 ที่มีศูนย์ ในขณะที่องศา 35ข และ 10,7ข โดยมาตรการใดๆ ข ไม่สามารถให้ 1 ตามด้วยศูนย์ได้ ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถอนุญาตได้ บันทึก 35และ บันทึก 10.7มีค่าเท่ากับเศษส่วน แต่จากคุณสมบัติแล้ว ฟังก์ชันลอการิทึมเรารู้ว่า () ว่าจำนวนบวกทุกจำนวนมีลอการิทึม ด้วยเหตุนี้ ตัวเลข 35 และ 10.7 แต่ละตัวจึงมีลอการิทึมของตัวเอง และเนื่องจากไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเศษส่วนได้ จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงด้วยตัวเลขได้แน่ชัด ลอการิทึมที่ไม่ลงตัวมักแสดงโดยประมาณเป็นเศษส่วนทศนิยมและมีทศนิยมหลายตำแหน่ง เรียกเลขจำนวนเต็มของเศษส่วนนี้ (แม้ว่าจะเป็น "จำนวนเต็ม 0") ลักษณะเฉพาะ, ก ส่วนที่เป็นเศษส่วน- แมนทิสซาของลอการิทึม ตัวอย่างเช่น ถ้ามีลอการิทึม 1,5441 แล้วคุณลักษณะของมันก็จะเท่ากัน 1 และแมนทิสซาก็คือ 0,5441 .
ช)ลองหาจำนวนเต็มหรือจำนวนคละกันเป็นตัวอย่าง 623 หรือ 623,57 - ลอการิทึมของตัวเลขดังกล่าวประกอบด้วยคุณลักษณะและแมนทิสซา ปรากฎว่าลอการิทึมทศนิยมมีความสะดวกเช่นนั้น เราสามารถค้นหาคุณลักษณะของพวกมันได้ด้วยตัวเลขประเภทเดียวเสมอ - ในการทำเช่นนี้ เราจะนับจำนวนหลักที่เป็นจำนวนเต็มที่กำหนดหรือในส่วนของจำนวนเต็ม หมายเลขผสมในตัวอย่างตัวเลขเหล่านี้ของเรา 3 - ดังนั้นแต่ละตัวเลข 623 และ 623,57 มากกว่า 100 แต่น้อยกว่า 1,000 ซึ่งหมายความว่าลอการิทึมของแต่ละรายการมีค่ามากกว่า เข้าสู่ระบบ 100นั่นคือมากกว่านั้น 2 แต่น้อยกว่า เข้าสู่ระบบ 1,000นั่นคือน้อยกว่า 3 (โปรดจำไว้ว่าจำนวนที่มากกว่าก็ต้องมีลอการิทึมที่มากกว่าด้วย) เพราะฉะนั้น, บันทึก 623 = 2,..., และ บันทึก 623.57 = 2,... (จุดแทนที่ตั๊กแตนตำข้าวที่ไม่รู้จัก)
เช่นนี้เราพบ:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 บันทึก 56.7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 บันทึก 8634 = 3,... |
โดยทั่วไปให้จำนวนเต็มที่กำหนดหรือส่วนของจำนวนเต็มของจำนวนคละที่กำหนดประกอบด้วย ม ตัวเลข เนื่องจากมีจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่มี ม ตัวเลขใช่ 1 กับ ม - 1 เลขศูนย์ต่อท้าย (หมายถึงตัวเลขนี้ เอ็น) เราสามารถเขียนอสมการได้:
และด้วยเหตุนี้
ม - 1 < log N < ม ,
บันทึก N = ( ม - 1) + เศษส่วนบวก .
ดังนั้นลักษณะ ล็อกเอ็น = ม - 1 .
เราเห็นอย่างนี้ว่า คุณลักษณะของลอการิทึมของจำนวนเต็มหรือจำนวนผสมจะมีหน่วยบวกมากเท่ากับจำนวนหลักในส่วนจำนวนเต็มของจำนวนลบหนึ่ง
เมื่อสังเกตเห็นสิ่งนี้แล้ว เราก็สามารถเขียนได้โดยตรงว่า:
บันทึก 7.205 = 0,...; บันทึก 83 = 1,...; บันทึก 720.4 = 2,...ฯลฯ
ง)ลองใช้เศษส่วนทศนิยมให้น้อยลง 1 (เช่น มี 0 ทั้งหมด): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, ฯลฯ
ดังนั้น แต่ละลอการิทึมเหล่านี้จึงอยู่ระหว่างจำนวนเต็มลบสองตัวที่แตกต่างกันในหนึ่งหน่วย ดังนั้นแต่ละค่าจึงเท่ากับค่าลบที่น้อยกว่าและบวกด้วยเศษส่วนบวก ตัวอย่างเช่น, log0.0056= -3 + เศษส่วนบวก- สมมติว่าเศษส่วนนี้คือ 0.7482 แล้วมันหมายถึง:
บันทึก 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518)
จำนวนเงินเช่น - 3 + 0,7482 ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มลบและเศษส่วนทศนิยมบวก ได้รับการตกลงร่วมกัน การคำนวณลอการิทึมย่อดังนี้: 3 ,7482 (ตัวเลขนี้อ่านว่า: 3 ลบ 7482 หนึ่งหมื่น.) กล่าวคือ พวกเขาใส่เครื่องหมายลบเหนือคุณลักษณะเพื่อแสดงว่าเกี่ยวข้องกับคุณลักษณะนี้เท่านั้น ไม่ใช่กับแมนทิสซาซึ่งยังคงเป็นค่าบวก ดังนั้นจากตารางข้างต้นจึงเห็นได้ชัดเจนว่า
บันทึก 0.35 == 1,....; บันทึก 0.07 = 2,....; บันทึก 0.0008 = 4 ,....
ให้เลย 
- มีเศษส่วนทศนิยมอยู่หน้าเศษส่วนแรก ตัวเลขที่สำคัญ α
ค่าใช้จ่าย ม
ศูนย์ รวมทั้งจำนวนเต็ม 0 แล้วมันก็ชัดเจนว่า
- ม < log A < - (ม- 1).
เนื่องจากจากจำนวนเต็มสองตัว:- ม และ - (ม- 1) มีน้อย - ม , ที่
บันทึก ก = - ม+ เศษส่วนบวก,
และด้วยเหตุนี้จึงมีคุณลักษณะ บันทึก ก = - ม (ด้วยแมนทิสซาเชิงบวก)
ดังนั้น, ลักษณะของลอการิทึมของเศษส่วนทศนิยมที่น้อยกว่า 1 จะมีจำนวนลบเท่ากับศูนย์ในรูปของเศษส่วนทศนิยมก่อนเลขนัยสำคัญตัวแรกรวมถึงจำนวนเต็มศูนย์ แมนทิสซาของลอการิทึมดังกล่าวเป็นค่าบวก
จ)ลองคูณจำนวนกัน เอ็น(จำนวนเต็มหรือเศษส่วน - ไม่สำคัญ) คูณ 10, คูณ 100 คูณ 1,000... โดยทั่วไป คูณ 1 โดยมีศูนย์ มาดูกันว่าสิ่งนี้เปลี่ยนแปลงไปอย่างไร ล็อกเอ็น- เนื่องจากลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของปัจจัยแล้ว
บันทึก (N 10) = บันทึก N + บันทึก 10 = บันทึก N + 1;
บันทึก (N 100) = บันทึก N + บันทึก 100 = บันทึก N + 2;
บันทึก (N 1,000) = บันทึก N + บันทึก 1,000 = บันทึก N + 3;ฯลฯ
เมื่อใด ล็อกเอ็นเราบวกจำนวนเต็มเข้าไป แล้วเราก็บวกเลขนี้เข้ากับลักษณะเฉพาะได้เสมอ ไม่ใช่แมนทิสซา
ดังนั้น ถ้า log N = 2.7804 ดังนั้น 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 ฯลฯ
หรือถ้าบันทึก N = 3.5649 ดังนั้น 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649 เป็นต้น
เมื่อตัวเลขคูณด้วย 10, 100, 1,000,.. โดยทั่วไปด้วย 1 โดยมีศูนย์ แมนทิสซาของลอการิทึมจะไม่เปลี่ยนแปลง และคุณลักษณะจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนหน่วยเมื่อมีศูนย์อยู่ในตัวประกอบ .
ในทำนองเดียวกัน เมื่อพิจารณาว่าลอการิทึมของผลหารเท่ากับลอการิทึมของเงินปันผลโดยไม่มีลอการิทึมของตัวหาร เราจะได้:
บันทึก N / 10 = บันทึก N- บันทึก 10 = บันทึก N -1;
บันทึก N / 100 = บันทึก N- บันทึก 100 = บันทึก N -2;
บันทึก N / 1,000 = บันทึก N- บันทึก 1,000 = บันทึก N -3;ฯลฯ
หากเราตกลงเมื่อลบจำนวนเต็มออกจากลอการิทึม ให้ลบจำนวนเต็มนี้ออกจากคุณลักษณะเสมอและปล่อยแมนทิสซาไว้ไม่เปลี่ยนแปลง เราก็สามารถพูดได้ว่า:
การหารตัวเลขด้วย 1 ด้วยศูนย์จะไม่เปลี่ยนแมนทิสซาของลอการิทึม แต่คุณลักษณะจะลดลงตามจำนวนหน่วยเมื่อมีศูนย์อยู่ในตัวหาร
276. ผลที่ตามมาจากทรัพย์สิน ( จ) สามารถอนุมานข้อพิสูจน์สองประการต่อไปนี้ได้:
ก) แมนทิสซาของลอการิทึมของเลขฐานสิบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อย้ายไปยังจุดทศนิยม เพราะการย้ายจุดทศนิยมเทียบเท่ากับการคูณหรือหารด้วย 10, 100, 1,000 เป็นต้น ดังนั้น ลอการิทึมของตัวเลข:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
ต่างกันเพียงลักษณะเฉพาะ แต่ไม่แตกต่างกันในแมนทิสซา (โดยมีเงื่อนไขว่าแมนทิสซาทุกตัวเป็นบวก)
ข) แมนทิสซาของตัวเลขที่มีจำนวนเท่ากัน ส่วนสำคัญแต่ต่างกันเพียงศูนย์ต่อท้ายเท่านั้นที่เหมือนกัน: ดังนั้นลอการิทึมของตัวเลข: 23, 230, 2300, 23,000 มีลักษณะแตกต่างกันเท่านั้น
ความคิดเห็น จาก คุณสมบัติที่ระบุลอการิทึมทศนิยมเป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถค้นหาลักษณะของลอการิทึมของจำนวนเต็มและเศษส่วนทศนิยมโดยไม่ต้องใช้ตาราง (นี่คือความสะดวกสบายที่ยอดเยี่ยมของลอการิทึมทศนิยม) เป็นผลให้มีแมนทิสซาเพียงอันเดียวเท่านั้นที่ถูกวางไว้ในตารางลอการิทึม นอกจากนี้ เนื่องจากการค้นหาลอการิทึมของเศษส่วนจะลดลงเหลือเพียงการค้นหาลอการิทึมของจำนวนเต็ม (ลอการิทึมของเศษส่วน = ลอการิทึมของตัวเศษที่ไม่มีลอการิทึมของตัวส่วน) แมนทิสซาของลอการิทึมของจำนวนเต็มเท่านั้นจึงจะถูกวางไว้ในตาราง
บทที่สาม
การออกแบบและการใช้ตารางสี่หลัก
277. ระบบลอการิทึมระบบลอการิทึมคือชุดของลอการิทึมที่คำนวณสำหรับจำนวนเต็มต่อเนื่องกันโดยใช้ฐานเดียวกัน มีการใช้สองระบบ: ระบบลอการิทึมสามัญหรือทศนิยมซึ่งใช้ตัวเลขเป็นฐาน 10 และระบบที่เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งใช้จำนวนอตรรกยะเป็นฐาน (ด้วยเหตุผลบางประการที่ชัดเจนในคณิตศาสตร์สาขาอื่น) 2,7182818 ... สำหรับการคำนวณ จะใช้ลอการิทึมทศนิยม เนื่องจากความสะดวกที่เราระบุไว้เมื่อเราแสดงรายการคุณสมบัติของลอการิทึมดังกล่าว
ลอการิทึมธรรมชาติเรียกอีกอย่างว่า Neperov ตามชื่อผู้ประดิษฐ์ลอการิทึม นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต เนเปรา(ค.ศ. 1550-1617) และลอการิทึมทศนิยม - บริกส์ตั้งชื่อตามศาสตราจารย์ บริกก้า(ผู้ร่วมสมัยและเป็นเพื่อนของเนเปียร์) ซึ่งเป็นคนแรกที่รวบรวมตารางลอการิทึมเหล่านี้
278. การแปลงลอการิทึมลบให้เป็นลอการิทึมที่มีแมนทิสซาเป็นบวก และการแปลงผกผัน เราพบว่าลอการิทึมของตัวเลขที่น้อยกว่า 1 เป็นลบ ซึ่งหมายความว่าพวกมันประกอบด้วยลักษณะเชิงลบและแมนทิสซาที่เป็นลบ ลอการิทึมดังกล่าวสามารถเปลี่ยนได้เสมอเพื่อให้แมนทิสซาเป็นบวก แต่คุณลักษณะยังคงเป็นลบ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะเพิ่มค่าบวกให้กับแมนทิสซา และค่าลบให้กับคุณลักษณะ (ซึ่งแน่นอนว่าจะไม่เปลี่ยนค่าของลอการิทึม)
ตัวอย่างเช่น หากเรามีลอการิทึม - 2,0873 จากนั้นคุณสามารถเขียน:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
หรือย่อ:
ในทางกลับกัน ลอการิทึมใดๆ ที่มีลักษณะเป็นลบและแมนทิสซาที่เป็นบวกสามารถแปลงเป็นค่าลบได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มค่าลบให้กับแมนทิสซาเชิงบวก และค่าบวกให้กับลักษณะเชิงลบ ดังนั้น คุณจึงสามารถเขียนได้:
279. คำอธิบายของตารางสี่หลักสำหรับการตัดสินใจส่วนใหญ่ ปัญหาในทางปฏิบัติตารางสี่หลักนั้นค่อนข้างเพียงพอซึ่งการจัดการนั้นง่ายมาก ตารางเหล่านี้ (ที่มีคำว่า "ลอการิทึม" อยู่ด้านบน) จะอยู่ท้ายหนังสือเล่มนี้ และไม่ ที่สุด(เพื่ออธิบายสถานที่) จะถูกพิมพ์ลงในหน้านี้ พวกมันประกอบด้วยตั๊กแตนตำข้าว
ลอการิทึม
ลอการิทึมของจำนวนเต็มทั้งหมดจาก 1 ถึง 9999 รวมคำนวณเป็นทศนิยมสี่ตำแหน่งโดยเพิ่มตำแหน่งสุดท้ายเหล่านี้ 1 ในทุกกรณีที่ทศนิยมตำแหน่งที่ 5 ต้องเป็น 5 หรือมากกว่า 5 ดังนั้นตาราง 4 หลักจึงให้ค่าตั๊กแตนตำข้าวโดยประมาณได้จนถึง 1 / 2 หนึ่งหมื่นส่วน (มีขาดหรือเกิน)
เนื่องจากเราสามารถระบุลักษณะลอการิทึมของจำนวนเต็มหรือเศษส่วนทศนิยมได้โดยตรง โดยขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของลอการิทึมทศนิยม เราจึงต้องนำเฉพาะแมนทิสซาจากตารางเท่านั้น ในขณะเดียวกันเราต้องจำไว้ว่าตำแหน่งของลูกน้ำใน เลขทศนิยมเช่นเดียวกับจำนวนศูนย์ที่อยู่ท้ายตัวเลข ก็ไม่มีผลต่อค่าของแมนทิสซา ดังนั้นเมื่อพบตั๊กแตนตำข้าวด้วย หมายเลขที่กำหนดเราทิ้งเครื่องหมายจุลภาคในจำนวนนี้ เช่นเดียวกับศูนย์ที่อยู่ท้ายหมายเลขนั้น หากมี และค้นหาแมนทิสซาของจำนวนเต็มที่เกิดขึ้นหลังจากนี้ กรณีต่อไปนี้อาจเกิดขึ้นได้
1) จำนวนเต็มประกอบด้วยตัวเลข 3 หลักตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาแมนทิสซาของลอการิทึมของตัวเลข 536 ตัวเลขสองตัวแรกของตัวเลขนี้ ซึ่งก็คือ 53 จะพบได้ในตารางในคอลัมน์แนวตั้งแรกทางด้านซ้าย (ดูตาราง) เมื่อพบหมายเลข 53 แล้ว เราก็เคลื่อนจากมันไปตามเส้นแนวนอนไปทางขวาจนกระทั่งเส้นนี้ตัดกับคอลัมน์แนวตั้งที่ผ่านหนึ่งในตัวเลข 0, 1, 2, 3,... 9 วางไว้ที่ด้านบน (และ ด้านล่าง) ของตารางซึ่งเป็นหลักที่ 3 ของตัวเลขที่กำหนด เช่น ในตัวอย่างของเรา คือหมายเลข 6 ที่ทางแยก เราจะได้แมนทิสซา 7292 (เช่น 0.7292) ซึ่งเป็นของลอการิทึมของหมายเลข 536 ในทำนองเดียวกัน สำหรับหมายเลข 508 เราพบแมนทิสซา 0.7059 สำหรับหมายเลข 500 เราพบ 0.6990 เป็นต้น
2) จำนวนเต็มประกอบด้วยตัวเลข 2 หรือ 1 หลักจากนั้นเรากำหนดศูนย์หนึ่งหรือสองตัวให้กับตัวเลขนี้ในใจ และค้นหาแมนทิสซาสำหรับตัวเลขสามหลักที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เราบวกศูนย์หนึ่งตัวเข้ากับตัวเลข 51 จากนั้นเราจะได้ 510 และหาแมนทิสซา 7070 ไปที่หมายเลข 5 เรากำหนดศูนย์ 2 ตัวและค้นหาแมนทิสซา 6990 เป็นต้น
3) จำนวนเต็มจะแสดงเป็นตัวเลข 4 หลักตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหาแมนทิสซาของบันทึก 5436 ก่อนอื่นเราจะหาในตารางตามที่ระบุไว้ แมนทิสซาสำหรับตัวเลขที่แสดงด้วยตัวเลข 3 หลักแรกของตัวเลขนี้ เช่น สำหรับ 543 (แมนทิสซานี้จะเป็น 7348) ; จากนั้นเราย้ายจากแมนทิสซาที่พบไปตามเส้นแนวนอนไปทางขวา (ไปทางด้านขวาของตารางซึ่งอยู่ด้านหลังเส้นแนวตั้งหนา) จนกระทั่งมันตัดกับคอลัมน์แนวตั้งที่ผ่านหนึ่งในตัวเลข: 1, 2 3, .. 9 ซึ่งอยู่ที่ด้านบน (และด้านล่าง ) ของส่วนนี้ของตารางซึ่งแสดงถึงหลักที่ 4 ของตัวเลขที่กำหนดนั่นคือในตัวอย่างของเราคือหมายเลข 6 ที่จุดตัดเราพบการแก้ไข (ตัวเลข 5) ซึ่งจะต้องประยุกต์ทางจิตกับแมนทิสซาของ 7348 เพื่อให้ได้แมนทิสซาของหมายเลข 5436 วิธีนี้เราจะได้แมนทิสซา 0.7353
4) จำนวนเต็มจะแสดงด้วยตัวเลขตั้งแต่ 5 หลักขึ้นไปจากนั้นเราทิ้งตัวเลขทั้งหมดยกเว้น 4 ตัวแรก แล้วหาตัวเลขสี่หลักโดยประมาณ และเพิ่มตัวเลขหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้ขึ้น 1 ในตัวเลขนั้น กรณีที่หลักที่ 5 ที่ถูกทิ้งคือ 5 หรือมากกว่า 5 ดังนั้นแทนที่จะเป็น 57842 เราเอา 5784 แทนที่จะเป็น 30257 เราเอา 3026 แทนที่จะเป็น 583263 เราเอา 5833 เป็นต้น สำหรับตัวเลขสี่หลักที่ปัดเศษนี้ เราจะพบแมนทิสซาตามที่อธิบายไว้
จากหลักเกณฑ์เหล่านี้ เราจะหาลอการิทึมเป็นตัวอย่าง ตัวเลขต่อไปนี้:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
ก่อนอื่น โดยไม่ต้องหันไปที่โต๊ะตอนนี้ เราจะใส่เฉพาะลักษณะ เหลือที่ว่างสำหรับตั๊กแตนตำข้าว ซึ่งเราจะเขียนหลังจาก:
บันทึก 36.5 = 1,.... บันทึก 0.00345 = 3,....
บันทึก 804.7 = 2,.... บันทึก 7.2634 = 0,....
บันทึก 0.26 = 1,.... บันทึก 3456.86 = 3,....
บันทึก 36.5 = 1.5623; บันทึก 0.00345 = 3.5378;
บันทึก 804.7 = 2.9057; บันทึก 7.2634 = 0.8611;
บันทึก 0.26 = 1.4150; บันทึก 3456.86 = 3.5387
280. หมายเหตุ- ในตารางสี่หลักบางตาราง (เช่น ในตาราง V. Lorchenko และ N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) จะไม่มีการวางการแก้ไขสำหรับหลักที่ 4 ของตัวเลขนี้ เมื่อต้องจัดการกับตารางดังกล่าว คุณจะต้องค้นหาการแก้ไขเหล่านี้โดยใช้ การคำนวณง่ายๆซึ่งสามารถดำเนินการได้บนพื้นฐานของความจริงต่อไปนี้: หากตัวเลขเกิน 100 และความแตกต่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้น้อยกว่า 1 ก็สามารถยอมรับได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดที่ละเอียดอ่อน ความแตกต่างระหว่างลอการิทึมเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่สอดคล้องกัน - ตัวอย่างเช่น เราต้องค้นหาแมนทิสซาที่ตรงกับหมายเลข 5367 แน่นอนว่าแมนทิสซานี้เหมือนกับหมายเลข 536.7 เราพบในตารางสำหรับหมายเลข 536 แมนทิสซา 7292 เมื่อเปรียบเทียบแมนทิสซานี้กับแมนทิสซา 7300 ที่อยู่ติดกันทางด้านขวา ตรงกับจำนวน 537 เราสังเกตว่าถ้าจำนวน 536 เพิ่มขึ้น 1 แล้วแมนทิสซาของมันจะเพิ่มขึ้น 8 ในหมื่น (8 เรียกว่า ความแตกต่างของตารางระหว่างตั๊กแตนตำข้าวสองตัวที่อยู่ติดกัน); ถ้าจำนวน 536 เพิ่มขึ้น 0.7 แมนทิสซาของมันจะไม่เพิ่มขึ้น 8 หมื่น แต่เพิ่มขึ้นบางส่วน จำนวนที่น้อยกว่าเอ็กซ์ หนึ่งในพันซึ่งตามสัดส่วนที่สันนิษฐานไว้จะต้องเป็นไปตามสัดส่วน:
เอ็กซ์ :8 = 0.7:1; ที่ไหน เอ็กซ์ = 8 07 = 5,6,
ซึ่งปัดเศษเป็น 6 หมื่น ซึ่งหมายความว่าแมนทิสซาสำหรับหมายเลข 536.7 (และดังนั้นสำหรับหมายเลข 5367) จะเป็น: 7292 + 6 = 7298
โปรดทราบว่าเราเรียกการค้นหาตัวเลขกลางจากตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกันในตาราง การแก้ไขการแก้ไขที่อธิบายไว้ที่นี่เรียกว่า สัดส่วนเนื่องจากเป็นไปตามสมมติฐานที่ว่าการเปลี่ยนแปลงของลอการิทึมเป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงของตัวเลข เรียกอีกอย่างว่าเชิงเส้น เนื่องจากจะถือว่าการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันลอการิทึมในรูปแบบกราฟิกแสดงเป็นเส้นตรง
281. ขีดจำกัดข้อผิดพลาดของลอการิทึมโดยประมาณหากตัวเลขที่กำลังค้นหาลอการิทึมเป็นจำนวนที่แน่นอน ดังนั้นขีดจำกัดของข้อผิดพลาดของลอการิทึมที่พบในตาราง 4 หลักก็สามารถทำได้ดังที่เรากล่าวไว้ในนั้น 1 / 2 หมื่นส่วน หากตัวเลขนี้ไม่ถูกต้อง เราต้องเพิ่มขีดจำกัดของข้อผิดพลาดอื่นที่เป็นผลมาจากความไม่ถูกต้องของตัวเลขนั้นด้วย ได้รับการพิสูจน์แล้ว (เราละเว้นข้อพิสูจน์นี้) ว่าขีดจำกัดดังกล่าวสามารถใช้เป็นผลิตภัณฑ์ได้
ก(ง +1) หนึ่งหมื่น.,
ในที่ ก คือส่วนต่างของค่าคลาดเคลื่อนสำหรับจำนวนที่ไม่แน่ชัดที่สุด โดยสมมุติว่า ส่วนจำนวนเต็มมี 3 หลัก,ก ง ผลต่างแบบตารางของแมนทิสซาที่สอดคล้องกับตัวเลขสามหลักสองตัวติดต่อกัน โดยที่ตัวเลขไม่แน่ชัดที่ให้ไว้อยู่ ดังนั้น ขีดจำกัดของข้อผิดพลาดสุดท้ายของลอการิทึมจึงแสดงได้ด้วยสูตร:
1 / 2 + ก(ง +1) หมื่น
ตัวอย่าง- ค้นหาบันทึก π , การรับ π ประมาณหมายเลข 3.14 ตรงกับ 1 / 2 ที่ร้อย
เลื่อนลูกน้ำไปหลังหลักที่ 3 ของเลข 3.14 นับจากทางซ้ายเราจะได้ ตัวเลขสามหลัก 314 ตรงกับ 1 / 2 หน่วย; ซึ่งหมายความว่าระยะขอบของข้อผิดพลาดสำหรับตัวเลขที่ไม่ถูกต้องคือสิ่งที่เราแสดงด้วยตัวอักษร ก มี 1 / 2 จากตารางที่เราพบ:
บันทึก 3.14 = 0.4969
ความแตกต่างของตาราง ง ระหว่างแมนทิสซาของตัวเลข 314 และ 315 เท่ากับ 14 ดังนั้นข้อผิดพลาดของลอการิทึมที่พบจะน้อยลง
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 หมื่น.
เนื่องจากเราไม่ทราบเกี่ยวกับลอการิทึม 0.4969 ว่าขาดหรือเกิน เราจึงรับประกันได้ว่าลอการิทึมที่แน่นอนเท่านั้น π อยู่ระหว่าง 0.4969 - 0.0008 ถึง 0.4969 + 0.0008 เช่น 0.4961< log π < 0,4977.
282. ค้นหาตัวเลขโดยใช้ลอการิทึมที่กำหนด- หากต้องการค้นหาตัวเลขโดยใช้ลอการิทึมที่กำหนด สามารถใช้ตารางเดียวกันนี้เพื่อค้นหาแมนทิสซาของตัวเลขที่กำหนดได้ แต่จะสะดวกกว่าถ้าใช้ตารางอื่นที่มีสิ่งที่เรียกว่าแอนติลอการิทึมนั่นคือตัวเลขที่ตรงกับตั๊กแตนตำข้าวเหล่านี้ ตารางเหล่านี้ซึ่งระบุโดยคำจารึกที่ด้านบนสุดของ "แอนติลอการิทึม" จะอยู่ท้ายหนังสือเล่มนี้หลังตารางลอการิทึม ส่วนเล็กๆ วางอยู่ในหน้านี้ (สำหรับคำอธิบาย)
สมมติว่าคุณได้รับแมนทิสซา 2863 ที่เป็นตัวเลข 4 หลัก (เราไม่ใส่ใจกับคุณลักษณะนี้) และคุณจำเป็นต้องค้นหาจำนวนเต็มที่สอดคล้องกัน จากนั้น เมื่อมีตารางแอนติลอการิทึม คุณจะต้องใช้ตารางเหล่านี้ในลักษณะเดียวกับที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้เพื่อค้นหาแมนทิสซาตามจำนวนที่กำหนด กล่าวคือ เราจะพบเลข 2 หลักแรกของแมนทิสซาในคอลัมน์แรกทางด้านซ้าย จากนั้นเราย้ายจากตัวเลขเหล่านี้ไปตามเส้นแนวนอนไปทางขวาจนกระทั่งมันตัดกับคอลัมน์แนวตั้งที่มาจากหลักที่ 3 ของแมนทิสซา ซึ่งจะต้องมองหาในบรรทัดบนสุด (หรือด้านล่าง) ที่ทางแยกเราจะพบตัวเลขสี่หลัก 1932 ซึ่งตรงกับแมนทิสซา 286 จากนั้นจากตัวเลขนี้เราเคลื่อนต่อไปตามเส้นแนวนอนไปทางขวาจนกระทั่งถึงจุดตัดกับคอลัมน์แนวตั้งที่มาจากหลักที่ 4 ของแมนทิสซาซึ่งจะต้อง จะพบที่ด้านบน (หรือล่าง) ท่ามกลางตัวเลข 1, 2 วางไว้ตรงนั้น , 3,... 9. ที่สี่แยกเราจะพบการแก้ไข 1 ซึ่งจะต้องนำ (ในใจ) ไปใช้กับหมายเลข 1032 ที่พบก่อนหน้าตามลำดับ เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ตรงกับแมนทิสซา 2863
ดังนั้นหมายเลขจะเป็นปี 1933 หลังจากนั้นเมื่อคำนึงถึงลักษณะแล้วคุณจะต้องวางตำแหน่งที่ถูกต้องในหมายเลข 1933 ตัวอย่างเช่น:
ถ้า บันทึก x = 3.2863 แล้ว เอ็กซ์ = 1933,
„ บันทึก x= 1,2863, „ เอ็กซ์ = 19,33,
, บันทึก x = 0,2&63, „ เอ็กซ์ = 1,933,
„ บันทึก x = 2 ,2863, „ เอ็กซ์ = 0,01933
นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติม:
บันทึก x = 0,2287, เอ็กซ์ = 1,693,
บันทึก x = 1 ,7635, เอ็กซ์ = 0,5801,
บันทึก x = 3,5029, เอ็กซ์ = 3184,
บันทึก x = 2 ,0436, เอ็กซ์ = 0,01106.
ถ้าแมนทิสซามีตัวเลขตั้งแต่ 5 หลักขึ้นไป เราจะเลือกเฉพาะตัวเลข 4 หลักแรก โดยทิ้งส่วนที่เหลือไป (และเพิ่มหลักที่ 4 ขึ้น 1 ถ้าหลักที่ 5 มีห้าหลักขึ้นไป) ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็นแมนทิสซา 35478 เราใช้ 3548 แทนที่จะเป็น 47562 เราใช้ 4756
283. หมายเหตุการแก้ไขสำหรับหลักที่ 4 และหลักถัดไปของแมนทิสซายังสามารถพบได้ผ่านการประมาณค่าอีกด้วย ดังนั้น หากแมนทิสซาคือ 84357 เมื่อพบหมายเลข 6966 ซึ่งตรงกับแมนทิสซา 843 เราก็สามารถให้เหตุผลเพิ่มเติมได้ดังนี้ หากแมนทิสซาเพิ่มขึ้น 1 (หลักพัน) นั่นคือ จะได้ 844 แล้วจึงได้ตัวเลขดังนี้ ดูได้จากตารางจะเพิ่มขึ้น 16 หน่วย ถ้าแมนทิสซาเพิ่มขึ้นไม่ใช่ 1 (พัน) แต่เพิ่มขึ้น 0.57 (พัน) จำนวนนั้นจะเพิ่มขึ้น เอ็กซ์ หน่วย และ เอ็กซ์ จะต้องเป็นไปตามสัดส่วน:
เอ็กซ์ : 16 = 0.57: 1 จากที่ไหน x= 16 0,57 = 9,12.
ซึ่งหมายความว่าหมายเลขที่ต้องการจะเป็น 6966+ 9.12 = 6975.12 หรือ (จำกัดเพียงสี่หลักเท่านั้น) 6975
284. ขีดจำกัดข้อผิดพลาดของหมายเลขที่พบได้รับการพิสูจน์แล้วว่าในกรณีที่จำนวนที่พบมีเครื่องหมายจุลภาคอยู่หลังหลักที่ 3 จากซ้าย เช่น เมื่อคุณลักษณะของลอการิทึมเป็น 2 ก็สามารถนำผลรวมมาเป็นขีดจำกัดความผิดพลาดได้
ที่ไหน ก คือขีดจำกัดความผิดพลาดของลอการิทึม (แสดงเป็นหน่วยหนึ่งในพัน) ที่พบตัวเลข และ ง - ความแตกต่างระหว่างแมนทิสซาของตัวเลขสามหลักสองตัวติดต่อกันซึ่งหมายเลขที่พบอยู่ (โดยมีเครื่องหมายจุลภาคหลังหลักที่ 3 จากซ้าย) เมื่อคุณสมบัติไม่ใช่ 2 แต่เป็นอย่างอื่นในตัวเลขที่พบจะต้องเลื่อนลูกน้ำไปทางซ้ายหรือทางขวานั่นคือหารหรือคูณตัวเลขด้วยกำลัง 10 ในกรณีนี้ข้อผิดพลาด ของผลลัพธ์ก็จะหารหรือคูณด้วยกำลัง 10 เท่าเดิม
ตัวอย่างเช่น เรากำลังหาตัวเลขโดยใช้ลอการิทึม 1,5950 ซึ่งทราบกันว่าแม่นยำถึงสามหมื่น; นั่นหมายความว่าตอนนั้น ก = 3 - จำนวนที่สอดคล้องกับลอการิทึมนี้ซึ่งพบจากตารางแอนติลอการิทึมคือ 39,36 - เลื่อนลูกน้ำหลังหลักที่ 3 จากซ้าย เราก็จะได้ตัวเลข 393,6 ประกอบด้วยระหว่าง 393 และ 394 - จากตารางลอการิทึม เราจะเห็นว่าความแตกต่างระหว่างแมนทิสซาที่สอดคล้องกับตัวเลขทั้งสองนี้ก็คือ 11 หนึ่งหมื่น; วิธี ง = 11 - ข้อผิดพลาดของหมายเลข 393.6 จะน้อยลง
ซึ่งหมายความว่ามีข้อผิดพลาดในจำนวน 39,36 จะมีน้อยลง 0,05 .
285. การดำเนินการกับลอการิทึมที่มีลักษณะเป็นลบการบวกและการลบลอการิทึมไม่มีปัญหาใดๆ ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้:
การคูณลอการิทึมด้วยจำนวนบวกก็ไม่ใช่เรื่องยาก เช่น
ใน ตัวอย่างสุดท้ายแยกกันคูณแมนทิสซาบวกด้วย 34 จากนั้น ลักษณะเชิงลบที่ 34
ถ้าลอการิทึมของคุณลักษณะลบและแมนทิสซาบวกคูณด้วยจำนวนลบ ให้ดำเนินการในสองวิธี: ลอการิทึมที่ให้มาจะกลายเป็นลบก่อน หรือแมนทิสซาและคุณลักษณะถูกคูณแยกกัน และผลลัพธ์จะนำมารวมกัน เช่น : :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
เมื่อแยกออกอาจเกิดได้ 2 กรณี คือ 1) ลักษณะเชิงลบจะถูกแบ่งออกและ 2) หารด้วยตัวหารไม่ได้ ในกรณีแรก คุณลักษณะและแมนทิสซาจะถูกแยกออกจากกัน:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
ในกรณีที่สอง จะมีการเพิ่มหน่วยลบจำนวนมากเข้ากับลักษณะเฉพาะ เพื่อให้ตัวเลขผลลัพธ์ถูกหารด้วยตัวหาร หน่วยบวกจำนวนเท่ากันจะถูกเพิ่มเข้าไปในแมนทิสซา:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
การเปลี่ยนแปลงนี้จะต้องกระทำที่จิตใจ ดังนั้น การกระทำจึงเป็นดังนี้:
286. การแทนที่ลอการิทึมที่ถูกลบด้วยเงื่อนไขเมื่อคำนวณบางอย่างแล้ว การแสดงออกที่ซับซ้อนการใช้ลอการิทึมคุณต้องบวกลอการิทึมบางตัว ลบตัวอื่น ๆ ในกรณีนี้ ด้วยวิธีปกติในการดำเนินการ พวกเขาจะค้นหาผลรวมของลอการิทึมที่บวกแยกจากกัน จากนั้นจึงหาผลรวมของค่าที่ลบออก และลบค่าที่สองจากผลรวมแรก ตัวอย่างเช่น หากเรามี:
บันทึก เอ็กซ์ = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
จากนั้นการดำเนินการตามปกติจะมีลักษณะดังนี้:
อย่างไรก็ตาม คุณสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกได้ ดังนั้น:
ตอนนี้คุณสามารถจัดเรียงการคำนวณดังนี้:
287. ตัวอย่างการคำนวณ
ตัวอย่างที่ 1- ประเมินการแสดงออก:
ถ้า ก = 0.8216, B = 0.04826, C = 0.005127และ ด = 7.246.
ลองใช้ลอการิทึมกัน การแสดงออกนี้:
บันทึก เอ็กซ์= 1/3 บันทึก A + 4 บันทึก B - 3 บันทึก C - 1/3 บันทึก D
ตอนนี้เพื่อหลีกเลี่ยงการเสียเวลาโดยไม่จำเป็นและลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาด ก่อนอื่นเราจะจัดเตรียมการคำนวณทั้งหมดโดยไม่ต้องดำเนินการในตอนนี้ โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงตาราง:
หลังจากนั้นเราจะนำตารางและใส่ลอการิทึมลงในส่วนที่เหลือ สถานที่ฟรี:
ขีดจำกัดข้อผิดพลาดขั้นแรก เรามาค้นหาขีดจำกัดความคลาดเคลื่อนของตัวเลขกันก่อน x 1 = 194,5 เท่ากับ:
ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องค้นหา ก นั่นคือขีดจำกัดข้อผิดพลาดของลอการิทึมโดยประมาณซึ่งแสดงเป็นหมื่น ให้เราสมมุติว่าตัวเลขเหล่านี้ ก, บี, ซีและ ดีทั้งหมดมีความถูกต้อง จากนั้นข้อผิดพลาดในแต่ละลอการิทึมจะเป็นดังนี้ (ในหนึ่งหมื่น):
วี ล็อกเอ.......... 1 / 2
วี 1/3 ล็อก ก......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 บวกเพราะเมื่อหารด้วย 3 ลอการิทึมของ 1.9146 เราก็ปัดเศษผลหารโดยทิ้งหลักที่ 5 ออกไป จึงเกิดข้อผิดพลาดน้อยลงไปอีก 1 / 2 หนึ่งหมื่น)
ตอนนี้เราพบขีดจำกัดข้อผิดพลาดของลอการิทึม:
ก = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (หนึ่งหมื่น).
เรามากำหนดกันต่อไป ง - เพราะ x 1 = 194,5 แล้วจึงเป็นจำนวนเต็ม 2 ตัว ตัวเลขต่อเนื่องกันซึ่งระหว่างนั้นอยู่ x 1 จะ 194 และ 195 - ความแตกต่างของตาราง ง ระหว่างแมนทิสซาที่ตรงกับตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับ 22 - ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของข้อผิดพลาดของตัวเลขคือ x 1 มี:
เพราะ x = x 1 : 10 จากนั้นขีดจำกัดข้อผิดพลาดในตัวเลข x เท่ากับ 0,3:10 = 0,03 - ดังนั้นจำนวนที่เราพบ 19,45 แตกต่างจากจำนวนที่แน่นอนโดยน้อยกว่า 0,03 - เนื่องจากเราไม่ทราบว่าการประมาณของเราพบว่ามีข้อบกพร่องหรือเกิน เราจึงได้แต่รับประกันเท่านั้น
19,45 + 0,03 > เอ็กซ์ > 19,45 - 0,03 , เช่น.
19,48 > เอ็กซ์ > 19,42 ,
ดังนั้นหากเรายอมรับ เอ็กซ์ =19,4 แล้วเราก็จะได้ค่าประมาณที่มีข้อเสียมีความแม่นยำถึง 0.1
ตัวอย่างที่ 2คำนวณ:
เอ็กซ์ = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
เพราะ ตัวเลขติดลบไม่มีลอการิทึม จากนั้นเราจะพบ:
เอ็กซ์" = (2,31) 3 5 √72
โดยการสลายตัว:
บันทึก เอ็กซ์"= 3 บันทึก 2.31 + 1/5 บันทึก72.
หลังจากการคำนวณปรากฎว่า:
เอ็กซ์" = 28,99 ;
เพราะฉะนั้น,
x = - 28,99 .
ตัวอย่างที่ 3- คำนวณ:
ไม่สามารถใช้ลอการิทึมแบบต่อเนื่องได้ที่นี่ เนื่องจากเครื่องหมายของรูทคือ c u m m a ในกรณีเช่นนี้ ให้คำนวณสูตรตามส่วนต่างๆ
ก่อนอื่นเราพบ เอ็น = 5 √8 , แล้ว เอ็น 1 = 4 √3 - จากนั้นเราก็พิจารณาด้วยการบวกง่ายๆ เอ็น+ เอ็น 1 และสุดท้ายเราก็คำนวณ 3 √เอ็น+ เอ็น 1 - ปรากฎว่า:
ยังไม่มีข้อความ=1.514, เอ็น 1 = 1,316 ; เอ็น+ เอ็น 1 = 2,830 .
บันทึก x= บันทึก 3 √ 2,830 = 1 / 3 บันทึก 2.830 = 0,1506 ;
x = 1,415 .
บทที่สี่
สมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม
288. สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลคือสมการที่ไม่ทราบค่ารวมอยู่ในเลขชี้กำลัง และ ลอการิทึม- ผู้ที่ไม่รู้จักเข้าไปใต้ป้าย บันทึก- สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ในกรณีพิเศษเท่านั้น และเราต้องอาศัยคุณสมบัติของลอการิทึมและบนหลักการที่ว่าหากตัวเลขเท่ากัน ลอการิทึมของพวกมันจะเท่ากัน และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากัน ก็จะสมการที่สอดคล้องกัน ตัวเลขเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ: 2 x = 1024 .
ลองลอการิทึมทั้งสองด้านของสมการ:
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ: ก 2x - ก x = 1 - วาง ก x = ที่ เราจะได้สมการกำลังสอง:
ย 2 - ที่ - 1 = 0 ,
เพราะ 1-√5 < 0 ดังนั้นสมการสุดท้ายจึงเป็นไปไม่ได้ (function ก x จะต้องมีจำนวนบวกเสมอ) และอันแรกให้:
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:
บันทึก( ก + x) + บันทึก ( ข + x) = บันทึก ( ค + x) .
สมการสามารถเขียนได้ดังนี้:
บันทึก[( ก + x) (ข + x)] = บันทึก ( ค + x) .
จากความเท่าเทียมกันของลอการิทึม เราสรุปได้ว่าตัวเลขเท่ากัน:
(ก + x) (ข + x) = ค + x .
นี่คือสมการกำลังสองซึ่งแก้โจทย์ได้ไม่ยาก
บทที่ห้า
ดอกเบี้ยทบต้น การผ่อนชำระ และการผ่อนชำระระยะยาว
289. ปัญหาพื้นฐานเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นทุนจะกลายเป็นเท่าไร? ก รูเบิลให้การเจริญเติบโตที่ ร ดอกเบี้ยทบต้น, หลังจาก ที ปี ( ที - จำนวนเต็ม)?
พวกเขากล่าวว่าทุนจะจ่ายด้วยดอกเบี้ยทบต้นหากคำนึงถึงสิ่งที่เรียกว่า "ดอกเบี้ยดอกเบี้ย" นั่นคือถ้าดอกเบี้ยที่ครบกำหนดชำระจากทุนถูกบวกเข้ากับทุน ณ สิ้นปีแต่ละปีเพื่อที่จะเพิ่มขึ้น พร้อมดอกเบี้ยในปีต่อๆ ไป
แจกทุนทุกรูเบิล ร %จะนำมาซึ่งกำไรภายในหนึ่งปี พี / 100 รูเบิล ดังนั้นเงินทุนทุกรูเบิลใน 1 ปีจึงจะกลายเป็น 1 + พี / 100 รูเบิล (เช่น หากระบุทุนไว้ที่ 5 % จากนั้นทุกๆ รูเบิลในหนึ่งปีจะกลายเป็น 1 + 5 / 100 คือใน 1,05 รูเบิล)
เพื่อความกระชับหมายถึงเศษส่วน พี / 100 ด้วยตัวอักษรตัวหนึ่ง เช่น ร เราสามารถพูดได้ว่าเงินทุนทุกรูเบิลในหนึ่งปีจะกลายเป็น 1 + ร รูเบิล; เพราะฉะนั้น, ก รูเบิลจะถูกส่งคืนใน 1 ปีถึง ก (1 + ร ) ถู หลังจากนั้นอีกหนึ่งปี เช่น 2 ปีนับจากเริ่มเติบโต ทุกรูเบิลเหล่านี้ ก (1 + ร ) ถู จะติดต่อกลับอีกครั้ง 1 + ร ถู.; ซึ่งหมายความว่าทุนทั้งหมดจะกลายเป็น ก (1 + ร ) 2 ถู. ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าหลังจากสามปีทุนก็จะเป็น ก (1 + ร ) 3 ในอีกสี่ปีมันจะเป็น ก (1 + ร ) 4 ,... โดยทั่วไปผ่าน ที ปีถ้า ที เป็นจำนวนเต็ม มันจะเปลี่ยนเป็น ก (1 + ร ) ทีถู. จึงแสดงโดย กทุนสุดท้ายเราก็จะได้ สูตรต่อไปนี้ดอกเบี้ยทบต้น:
ก = ก (1 + ร ) ทีที่ไหน ร = พี / 100 .
ตัวอย่าง.อนุญาต ก =2,300 ถู. พี = 4, ที=20 ปี; จากนั้นสูตรจะให้:
ร = 4 / 100 = 0,04 ; ก = 2,300 (1.04) 20.
เพื่อคำนวณ กเราใช้ลอการิทึม:
บันทึก ก = บันทึก 2 300 + 20 บันทึก 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017
ก = 5031รูเบิล
ความคิดเห็นในตัวอย่างนี้เราต้อง บันทึก 1.04คูณด้วย 20 - ตั้งแต่จำนวน 0,0170 มีค่าประมาณ บันทึก 1.04ขึ้นไป 1 / 2 ส่วนหนึ่งหมื่นแล้วจึงเป็นผลคูณของเลขนี้โดย 20 มันจะเป็นจนกว่าเท่านั้น 1 / 2 20 เช่น มากถึง 10 หมื่น = 1 ในพัน ดังนั้นโดยรวมแล้ว 3,7017 เราไม่สามารถรับรองได้ไม่เพียงแต่จำนวนหนึ่งหมื่นเท่านั้น แต่ยังรับรองจำนวนหนึ่งในพันด้วย เพื่อว่าในกรณีเช่นนี้จะสามารถรับได้ แม่นยำยิ่งขึ้นดีกว่าสำหรับตัวเลข 1 + ร ใช้ลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลข 4 หลัก แต่ด้วย จำนวนมากตัวเลขเช่น 7 หลัก. เพื่อจุดประสงค์นี้ เรานำเสนอตารางเล็กๆ ที่นี่ซึ่งเขียนลอการิทึม 7 หลักสำหรับค่าที่พบบ่อยที่สุด ร .
290 ภารกิจหลักคือการจ่ายเงินด่วนมีคนเอา. ก รูเบิลต่อ ร % โดยมีเงื่อนไขในการชำระหนี้พร้อมดอกเบี้ยที่ถึงกำหนดชำระใน ที ปี โดยจ่ายเท่ากันทุกสิ้นปี จำนวนนี้ควรเป็นเท่าไร?
ผลรวม x โดยชำระเป็นรายปีตามเงื่อนไขดังกล่าว เรียกว่า ชำระด่วน ให้เราแสดงด้วยตัวอักษรอีกครั้ง ร เงินดอกเบี้ยรายปีจาก 1 rub. เช่น ตัวเลข พี / 100 - จากนั้นภายในสิ้นปีแรกหนี้ ก เพิ่มขึ้นเป็น ก (1 + ร ) การชำระเงินขั้นพื้นฐาน เอ็กซ์ มันจะมีราคารูเบิล ก (1 + ร )-เอ็กซ์ .
ภายในสิ้นปีที่สอง ทุกรูเบิลของจำนวนนี้จะกลายเป็นอีกครั้ง 1 + ร รูเบิล ดังนั้นหนี้จะเป็น [ ก (1 + ร )-เอ็กซ์ ](1 + ร ) = ก (1 + ร ) 2 - x (1 + ร ) และสำหรับการชำระเงิน x รูเบิลจะเป็น: ก (1 + ร ) 2 - x (1 + ร ) - เอ็กซ์ - ในทำนองเดียวกันเราจะมั่นใจว่าภายในสิ้นปีที่ 3 หนี้จะหมด
ก (1 + ร ) 3 - x (1 + ร ) 2 - x (1 + ร ) - x ,
และโดยทั่วไปและจุดสิ้นสุด ที ปีจะกลายเป็น:
ก (1 + ร ) ที - x (1 + ร ) เสื้อ -1 - x (1 + ร ) เสื้อ -2 ... - x (1 + ร ) - x , หรือ
ก (1 + ร ) ที - x [ 1 + (1 + ร ) + (1 + ร ) 2 + ...+ (1 + ร ) เสื้อ -2 + (1 + ร ) เสื้อ -1 ]
พหุนามภายในวงเล็บแสดงถึงผลรวมของพจน์ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ซึ่งมีสมาชิกคนแรก 1 , ล่าสุด ( 1 + ร ) เสื้อ -1และตัวส่วน ( 1 + ร - การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ส่วนที่ 10 บทที่ 3 § 249) เราพบว่า:
และจำนวนหนี้หลังจากนั้น ที -การชำระเงินครั้งที่จะเป็น:
ตามเงื่อนไขของปัญหาหนี้จึงเป็นที่สิ้นสุด ที -ปีที่ปีจะต้องเท่ากับ 0 - นั่นเป็นเหตุผล:
ที่ไหน
เมื่อคำนวณสิ่งนี้ สูตรการชำระเงินเร่งด่วนเมื่อใช้ลอการิทึม เราต้องค้นหาตัวเลขเสริมก่อน เอ็น = (1 + ร ) ทีโดยลอการิทึม: บันทึก N= ทีบันทึก(1+ ร) - ได้พบแล้ว เอ็นลบ 1 จากนั้นเราจะได้ตัวส่วนของสูตร เอ็กซ์, หลังจากนั้นเราจะหาลอการิทึมทุติยภูมิ:
บันทึก เอ็กซ์=บันทึก ก+ บันทึก N + บันทึก r - บันทึก (N - 1).
291. ภารกิจหลักในการสมทบทุนตามวาระมีคนฝากเงินเข้าธนาคารจำนวนเท่ากันทุกต้นปี ก ถู. กำหนดทุนที่จะเกิดขึ้นจากเงินสมทบเหล่านี้หลังจากนั้น ที ปีหากธนาคารชำระเงิน ร ดอกเบี้ยทบต้น.
กำหนดโดย ร เงินดอกเบี้ยรายปีจาก 1 รูเบิลเช่น พี / 100 เราให้เหตุผลดังนี้: ภายในสิ้นปีแรกทุนจะเป็น ก (1 + ร );
เมื่อต้นปีที่ 2 จะเพิ่มจำนวนนี้ ก รูเบิล; นี่หมายความว่าในเวลานี้ทุนจะเป็น ก (1 + ร ) + ก - สิ้นปีที่ 2 ก็จะเป็นแล้ว ก (1 + ร ) 2 + ก (1 + ร );
เมื่อต้นปีที่ 3 ก็เข้ามาอีกครั้ง ก รูเบิล; หมายความว่าในเวลานี้จะมีทุน ก (1 + ร ) 2 + ก (1 + ร ) + ก - ภายในสิ้นวันที่ 3 เขาจะเป็นเช่นนั้น ก (1 + ร ) 3 + ก (1 + ร ) 2 + ก (1 + ร ) จากการโต้แย้งเหล่านี้ต่อไป เราจะพบว่าในตอนท้าย ที ปีทุนที่ต้องการ กจะ:
นี่คือสูตรการจ่ายเงินสมทบภาคเรียนที่กระทำในช่วงต้นปีของแต่ละปี
สูตรเดียวกันนี้สามารถหาได้จากเหตุผลต่อไปนี้: เงินดาวน์ไปที่ ก รูเบิลขณะอยู่ในธนาคาร ที ปี จะเปลี่ยนไปตามสูตรดอกเบี้ยทบต้นให้เป็น ก (1 + ร ) ทีถู. งวดที่ 2 อยู่ในธนาคารน้อยกว่าหนึ่งปี คือ ที - 1 อายุ ปี สนใจติดต่อ ก (1 + ร ) ที-1ถู. งวดที่สามก็ให้เช่นกัน ก (1 + ร ) ที-2ฯลฯ และสุดท้ายงวดสุดท้ายที่อยู่ธนาคารได้เพียง 1 ปี ก็จะไป ก (1 + ร ) ถู นี่หมายถึงทุนสุดท้าย กถู. จะ:
ก= ก (1 + ร ) ที + ก (1 + ร ) ที-1 + ก (1 + ร ) ที-2 + . . . + ก (1 + ร ),
ซึ่งหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายแล้ว จะได้สูตรที่พบข้างต้น
เมื่อคำนวณโดยใช้ลอการิทึมของสูตรนี้คุณต้องดำเนินการในลักษณะเดียวกับเมื่อคำนวณสูตรสำหรับการชำระเงินเร่งด่วนเช่น ก่อนอื่นให้ค้นหาตัวเลข N = ( 1 + ร ) ทีโดยลอการิทึม: บันทึก N= ทีบันทึก(1 + ร ) ตามด้วยตัวเลข น-1แล้วหาลอการิทึมของสูตร:
บันทึก A = บันทึก ก+บันทึก(1+ ร) + บันทึก (N - 1) - 1оgร
ความคิดเห็นหากมีการบริจาคอย่างเร่งด่วน ก ถู. ไม่ได้ทำตอนเริ่มต้นแต่ตอนสิ้นปีของแต่ละปี (เช่น มีการจ่ายเงินด่วน) เอ็กซ์ เพื่อชำระหนี้) แล้วให้เหตุผลทำนองเดียวกับข้อที่แล้วเราพบว่าในตอนท้าย ที ปีทุนที่ต้องการ เอ"ถู. จะเป็น (รวมถึงงวดสุดท้ายด้วย ก ถู. ไม่มีดอกเบี้ย):
เอ"= ก (1 + ร ) ที-1 + ก (1 + ร ) ที-2 + . . . + ก (1 + ร ) + ก
ซึ่งเท่ากับ:
เช่น. เอ"สิ้นสุดใน ( 1 + ร ) น้อยลงเท่า กซึ่งก็เป็นไปตามคาดเพราะทุกรูเบิลของเงินทุน เอ"อยู่ในธนาคารเป็นเวลาหนึ่งปีน้อยกว่ารูเบิลเงินทุนที่เกี่ยวข้อง ก.