మరుసటి రోజు సాయంత్రం, రిసెప్షనిస్ట్ గిల్బర్ట్ చాలా క్లిష్టమైన సమస్యను ఎదుర్కొన్నాడు. అంతకుముందు రోజులాగే, అంతులేని పొడవైన లిమోసిన్ వచ్చినప్పుడు హోటల్ కిక్కిరిసిపోయింది, అంతులేని సంఖ్యలో కొత్త అతిథులు దిగారు. కానీ గిల్బర్ట్ దీనితో అస్సలు సిగ్గుపడలేదు మరియు కొత్తగా వచ్చిన వారు చెల్లించే అనంతమైన బిల్లుల గురించి ఆలోచించి ఆనందంగా చేతులు తుడుచుకున్నాడు. గిల్బర్ట్ ఈ క్రింది నియమాన్ని పాటిస్తూ హోటల్‌లో ఇప్పటికే స్థిరపడిన ప్రతి ఒక్కరినీ తరలించమని అడిగాడు: మొదటి గదిలోని నివాసి - రెండవ గదికి, రెండవ గదిలోని నివాసి - నాల్గవ గదికి, మొదలైనవాటికి, అంటే గిల్బర్ట్ అడిగాడు. ప్రతి అతిథి రెండు పెద్ద "చిరునామా"తో కొత్త గదికి వెళ్లాలి. కొత్త అతిథుల రాకకు ముందు హోటల్‌లో నివసించిన ప్రతి ఒక్కరూ హోటల్‌లోనే ఉన్నారు, కానీ అదే సమయంలో అనంతమైన గదులు ఖాళీ చేయబడ్డాయి (అందరి “చిరునామాలు” బేసిగా ఉన్నాయి), ఇందులో వనరుల రిసెప్షనిస్ట్ కొత్త అతిథులకు వసతి కల్పించారు. ఈ ఉదాహరణ రెండుసార్లు అనంతం కూడా అనంతానికి సమానం అని చూపిస్తుంది.

బహుశా హిల్బర్ట్ యొక్క హోటల్ ఎవరికైనా అన్ని అనంతాలు సమానంగా పెద్దవి, ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు వనరుల పోర్టర్ చేసినట్లుగా ఏవైనా విభిన్నమైన అనంతాలను అదే అనంతమైన హోటల్‌లోని గదుల్లోకి పిండవచ్చు. కానీ వాస్తవానికి, కొన్ని అనంతాలు ఇతరులకన్నా పెద్దవి. ఉదాహరణకు, ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్యకు ఒక అహేతుక సంఖ్యతో ఒక జతను కనుగొనే ఏ ప్రయత్నమైనా, దాని హేతుబద్ధమైన జత లేకుండా ఒక్క అహేతుక సంఖ్య కూడా మిగిలిపోకుండా ఖచ్చితంగా వైఫల్యంతో ముగుస్తుంది. నిజానికి, ఇది ir యొక్క అనంతమైన సమితి అని నిరూపించవచ్చు హేతుబద్ధ సంఖ్యలుహేతుబద్ధ సంఖ్యల అనంత సమితి కంటే ఎక్కువ. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అనంతమైన అనంతమైన స్కేల్‌తో సంజ్ఞామానాలు మరియు పేర్ల యొక్క మొత్తం వ్యవస్థను సృష్టించవలసి వచ్చింది మరియు ఈ భావనలను మార్చడం అనేది మన కాలంలోని అత్యంత ముఖ్యమైన సమస్యలలో ఒకటి.

ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య యొక్క అనంతం త్వరిత రుజువు కోసం ఆశలను ఎప్పటికీ నాశనం చేసినప్పటికీ గొప్ప సిద్ధాంతంవ్యవసాయం, ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క పెద్ద సరఫరా ఉపయోగపడింది, ఉదాహరణకు, గూఢచర్యం లేదా కీటకాల జీవితంలో పరిశోధన వంటి రంగాలలో. మేము ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు కోసం అన్వేషణ కథనానికి తిరిగి వెళ్ళే ముందు, ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క సరైన మరియు తప్పు ఉపయోగాల గురించి కొంచెం విడదీయడం మరియు తెలుసుకోవడం సముచితం.

* * *

ప్రధాన సంఖ్య సిద్ధాంతం అనేది స్వచ్ఛమైన గణిత శాస్త్రంలోని కొన్ని రంగాలలో ఒకటి, ఇది వాస్తవ ప్రపంచంలో ప్రత్యక్ష అనువర్తనాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అవి క్రిప్టోగ్రఫీ. క్రిప్టోగ్రఫీ రహస్య సందేశాలను గ్రహీత మాత్రమే డీకోడ్ చేసే విధంగా ఎన్‌కోడింగ్ చేస్తుంది, కానీ వినేవాడు వాటిని అర్థంచేసుకోలేడు. ఎన్‌కోడింగ్ ప్రక్రియకు సాంకేతికలిపి కీని ఉపయోగించడం అవసరం మరియు సాంప్రదాయకంగా డిక్రిప్షన్‌కు ఆ కీని స్వీకర్తకు అందించడం అవసరం. ఈ విధానంలో, కీ భద్రతా గొలుసులో బలహీనమైన లింక్. ముందుగా, గ్రహీత మరియు పంపినవారు తప్పనిసరిగా కీ యొక్క వివరాలను అంగీకరించాలి మరియు ఈ దశలో సమాచారాన్ని మార్పిడి చేయడం వలన కొంత ప్రమాదం ఉంటుంది. సమాచార మార్పిడి సమయంలో శత్రువు కీని అడ్డగించగలిగితే, అతను అన్ని తదుపరి సందేశాలను డీక్రిప్ట్ చేయగలడు. రెండవది, భద్రతను కొనసాగించడానికి, కీలను క్రమం తప్పకుండా మార్చాలి మరియు ప్రతిసారీ కీని మార్చినప్పుడు, ఒక ప్రత్యర్థి కొత్త కీని అడ్డగించే ప్రమాదం ఉంది.

కీని ఒక దిశలో వర్తింపజేయడం సందేశాన్ని ఎన్‌క్రిప్ట్ చేస్తుంది, కానీ అదే కీని వ్యతిరేక దిశలో వర్తింపజేయడం సందేశాన్ని డీక్రిప్ట్ చేస్తుంది - డిక్రిప్షన్ ఎన్‌క్రిప్షన్ అంత సులభం అనే వాస్తవం చుట్టూ కీలక సమస్య తిరుగుతుంది. గుప్తలేఖనం కంటే డీకోడింగ్ చాలా కష్టతరమైన పరిస్థితులు ఇప్పుడు ఉన్నాయని మనకు అనుభవం నుండి తెలుసు: గిలకొట్టిన గుడ్లను తయారు చేయడం, తెల్లటి మరియు సొనలను వేరు చేయడం ద్వారా గిలకొట్టిన గుడ్లను వాటి అసలు స్థితికి తిరిగి ఇవ్వడం కంటే సాటిలేని సులభం.

20వ శతాబ్దపు 70వ దశకంలో, వైట్‌ఫీల్డ్ డిఫీ మరియు మార్టిన్ హెల్‌మాన్ శోధించడం ప్రారంభించారు. గణిత ప్రక్రియఇది ఒక దిశలో చేయడం సులభం, కానీ వ్యతిరేక దిశలో చేయడం చాలా కష్టం. అటువంటి ప్రక్రియ ఖచ్చితమైన కీని అందిస్తుంది. ఉదాహరణకు, నేను నాది కలిగి ఉండవచ్చు సొంత కీరెండు భాగాలుగా, మరియు నేను ఎన్‌క్రిప్షన్ భాగాన్ని పబ్లిక్ ప్లేస్‌లో ప్రచురించగలను. ఆ తర్వాత, ఎవరైనా నాకు ఎన్‌క్రిప్ట్ చేసిన సందేశాలను పంపవచ్చు, కానీ కీ యొక్క డిక్రిప్షన్ భాగం నాకు మాత్రమే తెలుసు. కీ యొక్క ఎన్‌క్రిప్షన్ భాగం అందరికీ అందుబాటులో ఉన్నప్పటికీ, దానికి డిక్రిప్షన్ భాగంతో ఎలాంటి సంబంధం ఉండదు.

1977లో, రోనాల్డ్ రివెస్ట్, ఆది షమీర్ మరియు లియోనార్డ్ అడ్లెమాన్ - MIT నుండి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తల బృందం ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీ- సులభమైన ఎన్‌క్రిప్షన్ మరియు కష్టమైన డిక్రిప్షన్ ప్రక్రియకు ప్రధాన సంఖ్యలు అనువైన ఆధారమని కనుగొన్నారు. నా స్వంత వ్యక్తిగత కీని తయారు చేయడానికి, నేను రెండు భారీ ప్రధాన సంఖ్యలను తీసుకోగలను, ప్రతి ఒక్కటి గరిష్టంగా 80 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో గుణించి మరింత పెద్ద మిశ్రమ సంఖ్యను పొందగలను. సందేశాలను ఎన్‌కోడ్ చేయడానికి కావలసిందల్లా పెద్ద మిశ్రమ సంఖ్యను తెలుసుకోవడమే, సందేశాన్ని అర్థంచేసుకోవడానికి మనం గుణించిన రెండు అసలు ప్రధాన సంఖ్యలను తెలుసుకోవడం అవసరం, అంటే, మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాలు. నేను పెద్ద కాంపోజిట్ నంబర్‌ను ప్రచురించగలను - కీలో సగం ఎన్‌క్రిప్షన్, మరియు రెండు ప్రధాన కారకాలు - కీ యొక్క డిక్రిప్షన్ సగం - రహస్యంగా ఉంచుతాను. ప్రతి ఒక్కరికీ పెద్ద మిశ్రమ సంఖ్య తెలిసినప్పటికీ, దానిని రెండు ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయడం చాలా కష్టం.

సరళమైన ఉదాహరణ చూద్దాం. నేను 589 అనే మిశ్రమ సంఖ్యను ఎంచుకుని, అందరికీ తెలియజేసానని అనుకుందాం, ఇది ప్రతి ఒక్కరూ నాకు ఎన్‌క్రిప్టెడ్ సందేశాలను పంపడానికి అనుమతిస్తుంది. నేను 589 సంఖ్య యొక్క రెండు ప్రధాన కారకాలను రహస్యంగా ఉంచుతాను, కాబట్టి నేను తప్ప మరెవరూ సందేశాలను అర్థంచేసుకోలేరు. ఎవరైనా 589 సంఖ్యకు సంబంధించిన రెండు ప్రధాన కారకాలను కనుగొనగలిగితే, అలాంటి వ్యక్తి నన్ను ఉద్దేశించిన సందేశాలను కూడా అర్థంచేసుకోగలుగుతారు. కానీ 589 సంఖ్య ఎంత చిన్నదైనా దాని ప్రధాన కారకాలను కనుగొనడం అంత సులభం కాదు. ఈ సందర్భంలో, డెస్క్‌టాప్ కంప్యూటర్‌లో కొన్ని నిమిషాల్లో 589 సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాలు 31 మరియు 19 (31 19 = 589) అని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుంది, కాబట్టి నా కీ చాలా కాలం పాటు కరస్పాండెన్స్ భద్రతకు హామీ ఇవ్వలేదు. .

కానీ నేను పోస్ట్ చేసిన మిశ్రమ సంఖ్యలో వంద కంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉంటే, అది ప్రధాన కారకాలను కనుగొనడం దాదాపు అసాధ్యమైన పనిగా మారుతుంది. ప్రపంచంలోని అత్యంత శక్తివంతమైన కంప్యూటర్‌లు భారీ మిశ్రమ సంఖ్యను (ఎన్‌క్రిప్షన్ కీ) రెండు ప్రధాన కారకాలుగా (డిక్రిప్షన్ కీ) విచ్ఛిన్నం చేయడానికి ఉపయోగించినప్పటికీ, ఈ కారకాలను కనుగొనడానికి ఇంకా చాలా సంవత్సరాలు పడుతుంది. అందువల్ల, విదేశీ గూఢచారుల కృత్రిమ ప్రణాళికలను తిప్పికొట్టడానికి, నేను ఏటా కీని మాత్రమే మార్చాలి. సంవత్సరానికి ఒకసారి నేను నా కొత్త భారీ కాంపోజిట్ నంబర్‌ను పబ్లిక్‌గా చేస్తాను, ఆపై ఎవరైనా తమ అదృష్టాన్ని ప్రయత్నించాలని మరియు నా సందేశాలను అర్థంచేసుకోవాలనుకునే వారు ప్రచురించిన సంఖ్యను రెండు ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం ద్వారా కొత్తగా ప్రారంభించవలసి వస్తుంది.

* * *

ప్రధాన సంఖ్యలు సహజ ప్రపంచంలో కూడా కనిపిస్తాయి. మ్యాజిసికాడా సెప్టెండెసిమ్ అని పిలువబడే పీరియాడికల్ సికాడాస్, ఏదైనా కీటకం కంటే ఎక్కువ జీవిత చక్రం కలిగి ఉంటుంది. వారి జీవితం భూగర్భంలో ప్రారంభమవుతుంది, ఇక్కడ లార్వా ఓపికగా చెట్ల వేర్ల నుండి రసాన్ని పీలుస్తుంది. మరియు 17 సంవత్సరాల నిరీక్షణ తర్వాత మాత్రమే, వయోజన సికాడాస్ భూమి నుండి ఉద్భవించి, భారీ సమూహాలలో సేకరిస్తాయి మరియు కొంతకాలం చుట్టూ ఉన్న ప్రతిదాన్ని నింపుతాయి. కొన్ని వారాల వ్యవధిలో, అవి జతకట్టి, గుడ్లు పెట్టి, చనిపోతాయి.

జీవశాస్త్రవేత్తలను వేధిస్తున్న ప్రశ్న ఏమిటంటే సికాడాస్ జీవిత చక్రం ఎందుకు చాలా పొడవుగా ఉంది? దానికి ఏమైనా తేడా వస్తుందా జీవిత చక్రందాని వ్యవధి సాధారణ సంవత్సరాలలో వ్యక్తీకరించబడిందా? మరొక జాతి, Magicicada ట్రెడెసిమ్, ప్రతి 13 సంవత్సరాలకు గుంపులుగా ఉంటుంది. జీవిత చక్రం యొక్క పొడవు, సాధారణ సంవత్సరాల సంఖ్యగా వ్యక్తీకరించబడి, జాతులకు నిర్దిష్ట పరిణామ ప్రయోజనాలను ఇస్తుందని ఇది సూచిస్తుంది.

మాన్సియర్ లెబ్లాంక్

19వ శతాబ్దం ప్రారంభం నాటికి, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో అత్యంత క్లిష్టమైన సమస్యగా బలమైన ఖ్యాతిని పొందింది. ఆయిలర్ యొక్క పురోగతి తరువాత, ఒక యువ ఫ్రెంచ్ మహిళ యొక్క సంచలన ప్రకటన కొత్త ఆశలను ప్రేరేపించే వరకు స్వల్ప పురోగతి లేదు. ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు కోసం శోధన మళ్లీ ప్రారంభమైంది కొత్త బలం. సోఫీ జెర్మైన్ మతోన్మాదం మరియు పక్షపాత యుగంలో నివసించారు, మరియు గణితాన్ని అధ్యయనం చేయగలిగేలా, ఆమె ఒక మారుపేరును తీసుకోవలసి వచ్చింది, భయంకరమైన పరిస్థితులలో పని చేసి మేధో ఒంటరిగా సృష్టించాలి.

శతాబ్దాలుగా, గణితాన్ని స్త్రీ సంబంధమైన చర్యగా పరిగణిస్తారు, కానీ వివక్ష ఉన్నప్పటికీ, స్థాపించబడిన ఆచారాలు మరియు అభ్యాసాలను వ్యతిరేకించిన మరియు గణిత చరిత్రలో వారి పేర్లను చెక్కిన అనేక మంది మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉన్నారు. గణిత శాస్త్ర చరిత్రలో తనదైన ముద్ర వేసిన మొదటి మహిళ థియానో ​​(క్రీ.పూ. 6వ శతాబ్దం), పైథాగరస్‌తో కలిసి చదువుకుని, అతని సన్నిహిత అనుచరులలో ఒకరిగా మారి అతనిని వివాహం చేసుకుంది. పైథాగరస్‌ను కొన్నిసార్లు "స్త్రీవాద తత్వవేత్త" అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే అతను మహిళా శాస్త్రవేత్తలను ప్రోత్సహించాడు. పైథాగరియన్ సోదరభావంలోని ఇరవై ఎనిమిది మంది సోదరీమణులలో థియానో ​​ఒకరు మాత్రమే.

తరువాతి కాలంలో, సోక్రటీస్ మరియు ప్లేటో యొక్క మద్దతుదారులు మరియు అనుచరులు మహిళలను వారి పాఠశాలలకు ఆహ్వానించడం కొనసాగించారు, కానీ 4వ శతాబ్దం ADలో మాత్రమే. ఇ. ఒక మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన స్వంత ప్రభావవంతమైన పాఠశాలను స్థాపించాడు. అలెగ్జాండ్రియా అకాడెమీలో గణితశాస్త్ర ప్రొఫెసర్ కుమార్తె అయిన హైపాటియా, ఆమె చర్చలు మరియు పరిష్కరించగల సామర్థ్యం కోసం అప్పటి ప్రపంచ వ్యాప్తంగా ప్రసిద్ధి చెందింది. వివిధ పనులు. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, చాలా నెలలుగా ఏదో ఒక సమస్య పరిష్కారంపై అయోమయంలో ఉన్నారు, సహాయం కోసం అభ్యర్థనతో హైపాటియాను ఆశ్రయించారు మరియు ఆమె తన అభిమానులను చాలా అరుదుగా నిరాశపరిచింది. గణితం మరియు తార్కిక రుజువు ప్రక్రియ ఆమెను పూర్తిగా ఆకర్షించింది మరియు ఆమె ఎందుకు వివాహం చేసుకోలేదని అడిగినప్పుడు, ఆమె సత్యంతో నిశ్చితార్థం చేసుకున్నట్లు హైపాటియా సమాధానం ఇచ్చింది. ఇది హైపాటియా యొక్క అపరిమితమైన విశ్వాసం మానవ మనస్సుఅలెగ్జాండ్రియా యొక్క పాట్రియార్క్ అయిన సిరిల్ తత్వవేత్తలు, ప్రకృతి శాస్త్రవేత్తలు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులను హింసించడం ప్రారంభించినప్పుడు ఆమె మరణానికి కారణమైంది, వీరిని అతను మతవిశ్వాసులు అని పిలిచాడు. చరిత్రకారుడు ఎడ్వర్డ్ గిబ్బన్, సిరిల్ హైపాటియాకు వ్యతిరేకంగా పన్నాగం పన్నిన తర్వాత మరియు ఆమెకు వ్యతిరేకంగా ఒక గుంపును ఏర్పాటు చేసిన తర్వాత జరిగిన సంఘటనల యొక్క స్పష్టమైన ఖాతాని వదిలివేశాడు.

"ఆ అదృష్టకరమైన రోజున, లెంటస్ యొక్క పవిత్ర సీజన్లో, హైపాటియాను ఆమె నడిపిన రథం నుండి లాగి, నగ్నంగా తొలగించి, చర్చికి లాగారు మరియు పీటర్ ది రీడర్ మరియు క్రూరమైన మరియు కనికరం లేని సమూహంతో అమానవీయంగా ముక్కలు చేశారు. మతోన్మాదులు; పదునైన ఓస్టెర్ షెల్స్‌తో ఆమె ఎముకల నుండి ఆమె మాంసం నలిగిపోయింది, మరియు ఆమె వణుకుతున్న అవయవాలు కొయ్యలో కాల్చబడ్డాయి.

హైపాటియా మరణం తరువాత, గణితంలో స్తబ్దత కాలం ప్రారంభమైంది. గణిత శాస్త్రవేత్తగా తన గురించి మాట్లాడుకునేలా చేసిన రెండవ మహిళ పునరుజ్జీవనోద్యమం తర్వాత మాత్రమే కనిపించింది. మరియా ఆగ్నేసి 1718లో మిలన్‌లో జన్మించింది. హైపాటియా వలె, ఆమె ఒక గణిత శాస్త్రవేత్త కుమార్తె. ఆగ్నేసి ఐరోపాలోని అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరిగా గుర్తింపు పొందారు. టాంజెంట్స్ టు కర్వ్స్‌పై ఆమె చేసిన రచనలకు ఆమె ప్రత్యేకించి ప్రసిద్ది చెందింది. ఇటలీలో, వక్రతలను "వెర్సియెరా" అని పిలుస్తారు (లాటిన్ నుండి "తిరగడానికి"), కానీ అదే పదం "అవ్వెర్సీరా" - "డెవిల్ యొక్క భార్య" అనే పదం యొక్క సంకోచంగా పరిగణించబడింది. ఆగ్నేసి (వెర్సీరా ఆగ్నేసి) అధ్యయనం చేసిన వక్రతలు తప్పుగా అనువదించబడ్డాయి ఆంగ్ల భాష"ఆగ్నేసి యొక్క మంత్రగత్తె" గా, మరియు కాలక్రమేణా మరియా ఆగ్నేసిని అదే పిలవడం ప్రారంభించింది.

ఐరోపా అంతటా గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఆగ్నేసి యొక్క గణిత ప్రతిభను గుర్తించినప్పటికీ, చాలామంది విద్యా సంస్థలు, ప్రత్యేకించి ఫ్రెంచ్ అకాడమీ, ఆమెకు పరిశోధనలో నిమగ్నమవ్వడానికి అనుమతించే పోస్ట్‌ను అందించడానికి నిరాకరించింది. "మహిళలకు ఉన్నత విద్య ప్రారంభమైనప్పటి నుండి ఉద్భవించిన అత్యంత ముఖ్యమైన సృజనాత్మక గణిత మేధావి" అని ఐన్‌స్టీన్ వర్ణించిన ఎమ్మీ నోథర్ 20వ శతాబ్దంలో మహిళలను విద్యాపరమైన స్థానాల నుండి మినహాయించే విధానం కొనసాగింది, గోట్టింగెన్ విశ్వవిద్యాలయంలో ఉపన్యాస హక్కు నిరాకరించబడింది. చాలా మంది ప్రొఫెసర్లు ఇలా తర్కించారు: “ఒక మహిళ ప్రైవేట్ అసిస్టెంట్ ప్రొఫెసర్‌గా మారడానికి మీరు ఎలా అనుమతిస్తారు? అంతెందుకు, ఆమె ప్రైవేట్‌గా మారితే, కాలక్రమేణా ఆమె ప్రొఫెసర్ మరియు విశ్వవిద్యాలయ సెనేట్ సభ్యురాలిగా మారవచ్చు. ఒక మహిళ యొక్క? డేవిడ్ గిల్బర్ట్, ఎమ్మీ నోథర్ స్నేహితుడు మరియు గురువు, దీనికి ప్రతిస్పందించారు: “పెద్దమనుషులు! అభ్యర్థి లింగం ఆమెను ప్రైవేట్‌డోజెంట్‌గా అంగీకరించకుండా ఎందుకు అడ్డుకుంటుందో నాకు అర్థం కాలేదు. అన్నింటికంటే, యూనివర్సిటీ సెనేట్ పురుషుల బాత్‌హౌస్ కాదు.

తరువాత, నోథర్ సహోద్యోగి అయిన ఎడ్మండ్ లాండౌని నోథర్ నిజంగా గొప్ప మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞురా అని అడిగారు, దానికి అతను ఇలా సమాధానమిచ్చాడు: "ఆమె గొప్ప గణిత శాస్త్రవేత్త అని నేను ప్రమాణం చేయగలను, కానీ ఆమె ఒక మహిళ అని నేను ప్రమాణం చేయలేను."

ఎమ్మీ నోథర్, గత శతాబ్దాల మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల మాదిరిగానే, వివక్షతో బాధపడుతున్నారనే వాస్తవంతో పాటు, ఆమె వారితో చాలా ఎక్కువ సారూప్యతను కలిగి ఉంది: ఉదాహరణకు, ఆమె ఒక గణిత శాస్త్రవేత్త కుమార్తె. సాధారణంగా, చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు గణిత కుటుంబాల నుండి వచ్చారు మరియు ఇది ఒక ప్రత్యేక గణిత జన్యువు గురించి నిరాధారమైన పుకార్లకు దారితీసింది, అయితే మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో గణిత కుటుంబాలకు చెందిన వ్యక్తుల శాతం ముఖ్యంగా ఎక్కువగా ఉంటుంది. వారి కుటుంబం సైన్స్‌లో పాలుపంచుకోకపోతే, అత్యంత ప్రతిభావంతులైన మహిళలు కూడా గణితాన్ని అధ్యయనం చేయాలని లేదా వారి ఉద్దేశాలకు మద్దతును పొందాలని నిర్ణయించుకోరని వివరణ. హైపాటియా, ఆగ్నేసి మరియు ఇతర మహిళా గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వలె, నోథర్ అవివాహితురాలు. స్త్రీ గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఇటువంటి విస్తృతమైన బ్రహ్మచర్యం ఒక మహిళ యొక్క గణిత శాస్త్ర వృత్తిని ఎంచుకోవడం సమాజం నుండి నిరాకరణకు గురైంది మరియు కొంతమంది పురుషులు మాత్రమే అటువంటి "అవాస్తవ" ఖ్యాతిని కలిగి ఉన్న మహిళలకు వివాహాన్ని ప్రతిపాదించడానికి ధైర్యం చేశారు. నుండి మినహాయింపు సాధారణ నియమంరష్యా నుండి గొప్ప మహిళా గణిత శాస్త్రవేత్త సోఫియా వాసిలీవ్నా కోవెలెవ్స్కాయ అయ్యారు. ఆమె పాలియోంటాలజిస్ట్ వ్లాదిమిర్ ఒనుఫ్రీవిచ్ కోవెలెవ్స్కీతో కల్పిత వివాహం చేసుకుంది. వారిద్దరికీ, వివాహం ఒక మోక్షం, వారి కుటుంబాల సంరక్షణ నుండి తప్పించుకోవడానికి మరియు దృష్టి పెట్టడానికి వీలు కల్పించింది శాస్త్రీయ పరిశోధన. కోవెలెవ్స్కాయ విషయానికొస్తే, గౌరవనీయమైన వివాహిత మహిళ ముసుగులో ఒంటరిగా ప్రయాణించడం ఆమెకు చాలా సౌకర్యంగా ఉంది.

అన్నిటిలోకి, అన్నిటికంటే యూరోపియన్ దేశాలువైపు అత్యంత సరిదిద్దలేని స్థానం చదువుకున్న స్త్రీలుఫ్రాన్స్ చేత ఆక్రమించబడింది, ఇది గణితం మహిళలకు అనుచితమైన వృత్తి అని ప్రకటించింది మరియు వారి వృత్తిని మించిపోయింది మానసిక సామర్ధ్యాలు! మరియు పారిస్ సెలూన్లు ఆధిపత్యం చెలాయించినప్పటికీ గణిత ప్రపంచం XVIII మరియు XIX శతాబ్దాలలో, ఒక మహిళ మాత్రమే ఫ్రెంచ్ ప్రజాభిప్రాయం యొక్క సంకెళ్ళ నుండి విముక్తి పొందగలిగింది మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతంలో ప్రధాన నిపుణురాలుగా తన ఖ్యాతిని స్థాపించింది. సోఫీ జెర్మైన్ ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాలనే తపనను విప్లవాత్మకంగా మార్చింది మరియు ఆమె పూర్వీకులు చేసిన వాటికి మించి విరాళాలు అందించింది.

సోఫీ జర్మైన్ ఏప్రిల్ 1, 1776 న వ్యాపారి ఆంబ్రోయిస్ ఫ్రాంకోయిస్ జర్మైన్ కుటుంబంలో జన్మించారు. గణితశాస్త్రం పట్ల ఆమెకున్న అభిరుచితో పాటు, ఆమె జీవితాన్ని గ్రేట్ యొక్క తుఫానులు మరియు ప్రతికూలతలు తీవ్రంగా ప్రభావితం చేశాయి. ఫ్రెంచ్ విప్లవం. ఆమె సంఖ్యల ప్రేమను కనుగొన్న అదే సంవత్సరంలో, ప్రజలు బాస్టిల్‌పై దాడి చేశారు, మరియు ఆమె కలనశాస్త్రం చదువుతున్నప్పుడు, భీభత్స పాలన యొక్క నీడ పడింది. సోఫీ తండ్రి చాలా ఉన్నప్పటికీ సంపన్నుడుజెర్మైన్లు కులీనులకు చెందినవారు కాదు.

సోఫీ వంటి సామాజిక నిచ్చెన యొక్క అదే మెట్టుపై ఉన్న బాలికలు గణితాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ప్రత్యేకంగా ప్రోత్సహించబడలేదు, అయితే వారు ఏదైనా గణిత శాస్త్ర సమస్యను తాకినట్లయితే చిన్న చర్చను కొనసాగించగలిగేలా వారికి తగినంత విషయ పరిజ్ఞానం ఉండాలని భావిస్తున్నారు. ఈ ప్రయోజనం కోసం, గణితం మరియు సహజ శాస్త్రంలో తాజా విజయాలను వారికి పరిచయం చేయడానికి పాఠ్యపుస్తకాల శ్రేణిని వ్రాయబడింది. ఆ విధంగా, ఫ్రాన్సిస్కో అల్గరోట్టి "ది ఫిలాసఫీ ఆఫ్ సర్ ఐజాక్ న్యూటన్, ఎక్స్‌ప్లెయిన్డ్ ఫర్ ది బెనిఫిట్ ఆఫ్ లేడీస్" అనే పాఠ్యపుస్తకాన్ని వ్రాశాడు. మహిళలు నవలలపై మాత్రమే ఆసక్తి కలిగి ఉంటారని అల్గరోట్టికి నమ్మకం ఉన్నందున, అతను న్యూటన్ యొక్క ఆవిష్కరణలను ఆమె సంభాషణకర్తతో సరసాలాడుట మార్క్వైస్ మధ్య సంభాషణ రూపంలో ప్రదర్శించడానికి ప్రయత్నించాడు. ఉదాహరణకు, సంభాషణకర్త మార్క్వైజ్‌కు సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని వివరిస్తాడు, దానికి ప్రతిస్పందనగా మార్క్వైజ్ భౌతికశాస్త్రం యొక్క ఈ ప్రాథమిక నియమానికి తన స్వంత వివరణను వ్యక్తపరుస్తుంది: “నేను ఆలోచించకుండా ఉండలేను... అదే సంబంధం, చతురస్రానికి విలోమ అనుపాతం దూరం యొక్క ... ప్రేమలో గమనించబడింది. ఉదాహరణకు, ప్రేమికులు ఒకరినొకరు ఎనిమిది రోజులు చూడకపోతే, విడిపోయిన రోజు కంటే ప్రేమ అరవై నాలుగు రెట్లు బలహీనమవుతుంది.

సోఫీ జర్మైన్‌కు సైన్స్ పట్ల ఆసక్తి అటువంటి అద్భుతమైన శైలికి చెందిన పుస్తకాల ప్రభావంతో తలెత్తకపోవడంలో ఆశ్చర్యం లేదు. తన తండ్రి లైబ్రరీలో పుస్తకాలు వెతుకుతున్నప్పుడు, అనుకోకుండా జీన్ ఎటియెన్ మోంటుక్లా రచించిన “ది హిస్టరీ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్” ఆమెకు కనిపించిన రోజున ఆమె జీవితాన్ని మార్చిన సంఘటన జరిగింది. ఆర్కిమెడిస్ జీవితం గురించి మోంటుక్లా మాట్లాడే అధ్యాయం ఆమె దృష్టిని ఆకర్షించింది. మోంటుక్లా సమర్పించిన ఆర్కిమెడిస్ యొక్క ఆవిష్కరణల జాబితా నిస్సందేహంగా ఆసక్తిని రేకెత్తించింది, అయితే ఆర్కిమెడిస్ మరణం గురించి చర్చించబడిన ఎపిసోడ్ ద్వారా సోఫీ యొక్క ఊహ ప్రత్యేకంగా సంగ్రహించబడింది.

పురాణాల ప్రకారం, ఆర్కిమెడిస్ తన జీవితమంతా సిరక్యూస్‌లో గడిపాడు, అక్కడ అతను సాపేక్షంగా ప్రశాంత వాతావరణంలో గణితాన్ని అభ్యసించాడు. కానీ అతనికి డెబ్బై ఏళ్లు పైబడినప్పుడు, రోమన్ సైన్యం దాడితో శాంతికి భంగం కలిగింది. పురాణాల ప్రకారం, ఈ దండయాత్ర సమయంలోనే ఆర్కిమెడిస్ ఆలోచనలో లోతుగా మునిగిపోయాడు. రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇసుకలో చెక్కబడి, రోమన్ సైనికుడు అతనిని ఉద్దేశించి చేసిన ప్రశ్న వినలేదు, మరియు, ఈటెతో కుట్టిన, మరణించాడు.

ఉంటే అని జర్మైన్ వాదించాడు రేఖాగణిత సమస్యఒకరిని ఎంతగా ముంచెత్తగలడు అంటే అది అతని మరణానికి దారి తీస్తుంది, అప్పుడు గణితం ప్రపంచంలోనే అత్యంత అద్భుతమైన సబ్జెక్ట్ అయి ఉండాలి. సోఫీ వెంటనే నంబర్ థియరీ మరియు కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రాథమికాలను తనంతట తానుగా అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించింది మరియు ఆయులర్ మరియు న్యూటన్ రచనలను చదివేందుకు ఆలస్యంగా మెలకువగా ఉన్నట్లు గుర్తించింది. గణితం వంటి "స్త్రీలు కాని" విషయంపై ఆకస్మిక ఆసక్తి సోఫీ తల్లిదండ్రులను అప్రమత్తం చేసింది. సోఫీ తండ్రి తన కుమార్తె కొవ్వొత్తులు, బట్టలు తీయించాడని, ఆమె గణితం చదవకుండా ఉండటానికి ఆమె గదిని వేడిచేసిన బ్రేజియర్‌ను తీసుకెళ్లాడని కుటుంబ స్నేహితుడు కౌంట్ గుగ్లియెల్మో లిబ్రి-కారుచి డల్లా సోమయ్య చెప్పారు. కొన్ని సంవత్సరాల తర్వాత బ్రిటన్‌లో, మేరీ సోమర్‌విల్లే అనే యువ గణిత శాస్త్రవేత్త తండ్రి కూడా తన కుమార్తె కొవ్వొత్తులను తీసుకెళ్ళి ఇలా ప్రకటించాడు: "మేరీని స్ట్రెయిట్‌జాకెట్‌లో చూడకూడదనుకుంటే ఇది ఆగిపోతుంది."

కానీ ప్రతిస్పందనగా, సోఫీ జర్మైన్ కొవ్వొత్తుల కోసం రహస్య నిల్వను ప్రారంభించింది మరియు షీట్లలో చుట్టడం ద్వారా చలి నుండి తనను తాను రక్షించుకుంది. Libri-Carucci ప్రకారం, శీతాకాలపు రాత్రులు చాలా చల్లగా ఉంటాయి, ఇంక్‌వెల్‌లో సిరా గడ్డకట్టింది, కానీ సోఫీ గణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉంది, ఏది ఏమైనప్పటికీ. ఆమె యవ్వనంలో ఆమెకు తెలిసిన కొందరు ఆమె పిరికి మరియు ఇబ్బందికరమైనదని పేర్కొన్నారు, కానీ ఆమె నిశ్చయించుకుంది మరియు చివరికి ఆమె తల్లిదండ్రులు పశ్చాత్తాపం చెందారు మరియు గణిత శాస్త్రాన్ని అభ్యసించడానికి సోఫీకి తమ ఆశీర్వాదం ఇచ్చారు. జర్మైన్ వివాహం చేసుకోలేదు మరియు సోఫీ పరిశోధనకు ఆమె కెరీర్ మొత్తంలో ఆమె తండ్రి నిధులు సమకూర్చారు. చాలా సంవత్సరాలుజర్మైన్ తన పరిశోధనను పూర్తిగా ఒంటరిగా నిర్వహించింది, ఎందుకంటే కుటుంబంలో ఆమెకు తాజా ఆలోచనలను పరిచయం చేసే గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఎవరూ లేరు మరియు సోఫీ ఉపాధ్యాయులు ఆమెను తీవ్రంగా పరిగణించడానికి నిరాకరించారు.

జర్మైన్ తన సామర్థ్యాలపై మరింత నమ్మకంగా మారింది మరియు క్లాస్ అసైన్‌మెంట్‌లలోని సమస్యలను పరిష్కరించడం నుండి గణితశాస్త్రంలో గతంలో అన్వేషించని ప్రాంతాలను అన్వేషించడం వరకు మారింది. కానీ మా కథకు చాలా ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, సోఫీకి సంఖ్యా సిద్ధాంతంపై ఆసక్తి ఏర్పడింది మరియు సహజంగానే, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం గురించి వినకుండా ఉండలేకపోయింది. జెర్మైన్ చాలా సంవత్సరాలు తన రుజువుపై పని చేసింది మరియు చివరకు ఆమె తన వైపుకు వెళ్లగలదని భావించే దశకు చేరుకుంది కోరుకున్న లక్ష్యం. సంఖ్య సిద్ధాంతంలో నిపుణుడైన సహోద్యోగితో పొందిన ఫలితాలను చర్చించాల్సిన అవసరం ఉంది మరియు జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గాస్ - సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో గొప్ప నిపుణుడిని ఆశ్రయించాలని జర్మైన్ నిర్ణయించుకున్నాడు.

గౌస్ ఇప్పటివరకు జీవించిన అత్యంత తెలివైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా విశ్వవ్యాప్తంగా గుర్తింపు పొందాడు. ఈ. బెల్ ఫెర్మాట్‌ను "ఔత్సాహికుల యువరాజు" మరియు గౌస్‌ను "గణిత శాస్త్రజ్ఞుల యువరాజు" అని పిలిచాడు. యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ నుండి వ్రాసిన అత్యంత ముఖ్యమైన మరియు అసాధారణంగా విస్తృత శ్రేణి గ్రంథం - మొదటి సారిగా, జెర్మైన్ గౌస్ యొక్క కళాఖండాన్ని "అరిథ్మెటికల్ ఇన్వెస్టిగేషన్స్" ఎదుర్కొన్నప్పుడు ఆమె ప్రతిభను నిజంగా మెచ్చుకుంది. గౌస్ యొక్క పని గణిత శాస్త్రంలోని అన్ని రంగాలను ప్రభావితం చేసింది, కానీ, విచిత్రంగా, అతను ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం గురించి ఎన్నడూ ప్రచురించలేదు. ఒక లేఖలో, గౌస్ ఫెర్మాట్ సమస్య పట్ల అసహ్యం కూడా వ్యక్తం చేశాడు. గాస్ స్నేహితుడు, జర్మన్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త హెన్రిచ్ ఓల్బర్స్ అతనికి ఒక లేఖ రాశాడు, ఫెర్మాట్ సమస్యను పరిష్కరించినందుకు పారిస్ అకాడమీ బహుమతి కోసం పోటీలో పాల్గొనమని గట్టిగా సలహా ఇచ్చాడు: “ప్రియమైన గౌస్, మీరు దీని గురించి ఆందోళన చెందాలని నాకు అనిపిస్తోంది. ” రెండు వారాల తర్వాత, గౌస్ ఇలా సమాధానమిచ్చాడు: “పారిస్ బహుమతికి సంబంధించిన వార్తలను వినడానికి నేను చాలా బాధ్యత వహించాను. కానీ ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం ఒక ప్రత్యేక ప్రతిపాదనగా నాకు చాలా తక్కువ ఆసక్తిని కలిగి ఉందని నేను అంగీకరిస్తున్నాను, ఎందుకంటే నేను నిరూపించలేని లేదా నిరూపించలేని అనేక ప్రతిపాదనలను ఇవ్వగలను. గాస్ తన అభిప్రాయానికి అర్హులు, కానీ ఫెర్మాట్ రుజువు ఉనికిలో ఉందని స్పష్టంగా పేర్కొన్నాడు మరియు రుజువును కనుగొనడానికి చేసిన విఫల ప్రయత్నాలు కూడా కొత్త మరియు అసలు పద్ధతులు, అనంతమైన అవరోహణ పద్ధతి మరియు ఊహాత్మక సంఖ్యల ఉపయోగం ద్వారా రుజువు వంటివి. బహుశా గౌస్ కూడా ఒక రుజువును కనుగొనడానికి ప్రయత్నించి విఫలమయ్యాడు మరియు ఓల్బర్స్‌కి అతని సమాధానం "ద్రాక్ష ఆకుపచ్చగా ఉంది" అనే ప్రకటనకు భిన్నమైనది. ఏది ఏమైనప్పటికీ, గెర్మైన్ సాధించిన విజయం, ఆమె లేఖల నుండి గాస్ తెలుసుకున్నది, అతనిపై ఎంత బలమైన ముద్ర వేసింది అంటే, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం పట్ల తనకున్న అసహ్యం గురించి గౌస్ తాత్కాలికంగా మరచిపోయాడు.

డెబ్బై-ఐదు సంవత్సరాల క్రితం, ఆయిలర్ తన రుజువును ప్రచురించాడు n=3, మరియు అప్పటి నుండి గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరూ ఇతర ప్రత్యేక సందర్భాలలో ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ఫలించలేదు. కానీ జర్మైన్ ఒక కొత్త వ్యూహాన్ని ఎంచుకున్నాడు మరియు గౌస్‌కు రాసిన లేఖలలో పిలవబడే వాటిని వివరించాడు సాధారణ విధానంఫెర్మాట్ సమస్యకు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆమె తక్షణ లక్ష్యం ఒక్క కేసును రుజువు చేయడం కాదు - జర్మైన్ అనేక ప్రత్యేక కేసుల గురించి ఒకేసారి చెప్పడానికి బయలుదేరింది. గౌస్‌కు రాసిన లేఖలో ఆమె పేర్కొన్నారు సాధారణ పురోగతిప్రధాన సంఖ్యలపై దృష్టి కేంద్రీకరించబడిన లెక్కలు pప్రైవేట్ రకం: అంటే సంఖ్యలు 2 p+1 - కూడా సులభం. జర్మైన్ సంకలనం చేసిన అటువంటి ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాలో 5 సంఖ్య ఉంటుంది, ఎందుకంటే 11 = 2·5 + 1 కూడా ప్రధానం, కానీ 27 = 2·13 + 1 ప్రధానం కాదు కాబట్టి 13 సంఖ్య దానిలో చేర్చబడలేదు.

ముఖ్యంగా, జర్మైన్, సొగసైన రీజనింగ్ ఉపయోగించి, సమీకరణం ఉంటే నిరూపించాడు x n + y n = z nఅటువంటి సాధారణ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది nఅది 2 n+1 కూడా ఒక ప్రధాన సంఖ్య, అప్పుడు గాని x, y, లేదా zషేర్లు n.

1825లో, సోఫీ జర్మైన్ యొక్క పద్ధతిని గుస్తావ్ లెజ్యూన్ డిరిచ్లెట్ మరియు అడ్రియన్ మేరీ లెజెండ్రే విజయవంతంగా ఉపయోగించారు. ఈ శాస్త్రవేత్తలు మొత్తం తరం ద్వారా వేరు చేయబడ్డారు. లెజెండ్రే గొప్ప ఫ్రెంచ్ విప్లవం యొక్క రాజకీయ తుఫానుల నుండి బయటపడిన డెబ్బై ఏళ్ల వ్యక్తి. ప్రభుత్వ అభ్యర్థికి మద్దతు ఇవ్వడానికి నిరాకరించినందుకు నేషనల్ ఇన్స్టిట్యూట్అతను తన పెన్షన్‌ను కోల్పోయాడు మరియు ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువుకు అతను సహకరించే సమయానికి, లెజెండ్రే చాలా అవసరంలో ఉన్నాడు. డిరిచ్లెట్ ఒక యువ మరియు ప్రతిష్టాత్మక సంఖ్య సిద్ధాంతకర్త, కేవలం ఇరవై సంవత్సరాల వయస్సు. లెజెండ్రే మరియు డిరిచ్లెట్ ఇద్దరూ స్వతంత్రంగా ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడంలో విజయం సాధించారు n=5, మరియు ఇద్దరూ సోఫీ జర్మైన్ యొక్క తార్కికంపై తమ సాక్ష్యాలను ఆధారం చేసుకున్నారు మరియు వారి విజయానికి వారు రుణపడి ఉన్నారు.

పద్నాలుగు సంవత్సరాల తరువాత ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి గాబ్రియేల్ లామ్ ద్వారా మరొక పురోగతి జరిగింది. అతను జర్మైన్ యొక్క పద్ధతికి కొన్ని తెలివిగల మెరుగుదలలు చేసాడు మరియు ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని ప్రధాన విలువతో నిరూపించాడు n=7. ప్రధాన-విలువ గల కేసుల మొత్తం సమూహాన్ని ఎలా తొలగించాలో జెర్మైన్ సంఖ్యా సిద్ధాంతకర్తలకు చూపించాడు. n, మరియు ఇప్పుడు, ఆమె సహచరుల సంయుక్త ప్రయత్నాలతో, వారు ఒక సాధారణ విలువ కోసం సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడం కొనసాగించారు nమరొక తరువాత. ఫెర్మాట్స్ లాస్ట్ థియరమ్‌పై జెర్మైన్ చేసిన పని గణితశాస్త్రంలో ఆమె గొప్ప విజయం, అయితే అది వెంటనే ప్రశంసించబడలేదు. జర్మైన్ గౌస్‌కు మొదటిసారి వ్రాసినప్పుడు, ఆమెకు ఇంకా ముప్పై సంవత్సరాలు కాలేదు, మరియు ఆమె పేరు పారిస్‌లో ప్రసిద్ధి చెందినప్పటికీ, గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఒక మహిళ నుండి వచ్చిన లేఖను తీవ్రంగా పరిగణించలేదని ఆమె భయపడింది. తనను తాను రక్షించుకోవడానికి, జెర్మైన్ మళ్లీ మారుపేరుతో ఆశ్రయం పొందాడు, మాన్సియర్ లెబ్లాంక్ పేరుతో లేఖపై సంతకం చేశాడు.

గౌస్ పట్ల తనకున్న గౌరవాన్ని సోఫీ దాచుకోలేదు. ఆమె లేఖ నుండి ఒక పదబంధం ఇక్కడ ఉంది: “దురదృష్టవశాత్తూ, నా తెలివి యొక్క లోతు నా ఆకలి యొక్క అసంపూర్ణత కంటే తక్కువ, మరియు మేధావిని కలవరపెట్టే ధైర్యాన్ని నేను తీసుకున్నప్పుడు నా చర్య యొక్క మూర్ఖత్వం గురించి నాకు తెలుసు. అనివార్యంగా అతని పాఠకులందరినీ ఆలింగనం చేసుకునే అభిమానం తప్ప, అతని దృష్టికి స్వల్ప హక్కు కలిగి ఉండటం." గౌస్, తన కరస్పాండెంట్ ఎవరో తెలియక, "మాన్సియర్ లెబ్లాంక్"ని శాంతింపజేయడానికి ప్రయత్నించాడు. గౌస్ యొక్క ప్రత్యుత్తర లేఖ ఇలా చెప్పింది: “అర్థమెటిక్ అటువంటిది కనుగొనబడినందుకు నేను సంతోషిస్తున్నాను సమర్థుడైన స్నేహితుడు».

జెర్మైన్ ద్వారా పొందిన ఫలితాలు నెపోలియన్ చక్రవర్తి కోసం కాకపోయినా, మాన్సియర్ లెబ్లాంక్‌కు ఎప్పటికీ తప్పుగా ఆపాదించబడి ఉండవచ్చు. 1806లో, నెపోలియన్ ప్రష్యాను స్వాధీనం చేసుకున్నాడు మరియు ఫ్రెంచ్ సైన్యం ఒకదాని తర్వాత మరొకటి జర్మన్ రాజధానిని ఆక్రమించింది. జెర్మైన్ తన రెండవ గొప్ప హీరో గౌస్, ఆర్కిమెడిస్ యొక్క విధిని పంచుకోవచ్చని భయపడటం ప్రారంభించింది. సోఫీ తన స్నేహితుడు జనరల్ జోసెఫ్ మేరీ పెర్నెటీకి వ్రాసింది, అతను ముందుకు సాగుతున్న దళాలకు నాయకత్వం వహించాడు. గౌస్‌కు భద్రత కల్పించాలని ఆ లేఖలో ఆమె జనరల్‌ను కోరింది. జనరల్ తగిన చర్యలు తీసుకున్నాడు, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిని జాగ్రత్తగా చూసుకున్నాడు మరియు అతను తన జీవితాన్ని మాడెమోసెల్లె జర్మైన్‌కు రుణపడి ఉన్నాడని అతనికి వివరించాడు. గౌస్ తన కృతజ్ఞతా భావాన్ని వ్యక్తం చేశాడు, కానీ అతను సోఫీ జర్మైన్ గురించి ఎప్పుడూ వినలేదు కాబట్టి ఆశ్చర్యపోయాడు.

గేమ్ ఓడిపోయింది. గౌస్‌కు తన తదుపరి లేఖలో, జర్మైన్ అయిష్టంగానే ఆమెను వెల్లడించింది అసలు పేరు. మోసం చేసినందుకు అస్సలు కోపగించుకోకుండా, గాస్ ఆమెకు ఆనందంతో ఇలా సమాధానమిచ్చాడు: “నా అత్యంత గౌరవనీయమైన కరస్పాండెంట్ మాన్సియర్ లెబ్లాంక్ రూపాంతరం చెంది, అద్భుతమైన వ్యక్తిగా మారిన తీరును చూసి నన్ను పట్టుకున్న ఆనందం మరియు ఆశ్చర్యాన్ని నేను మీకు ఎలా వివరించగలను. నేను నమ్మడం కష్టంగా ఉన్న ఒక అద్భుతమైన ఉదాహరణ. సాధారణంగా నైరూప్య శాస్త్రాల పట్ల అభిరుచి, మరియు అన్నింటికంటే అన్నింటికంటే సంఖ్యల రహస్యాలు చాలా అరుదు మరియు ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు: ఇందులోని సమ్మోహన ఆకర్షణలు సూక్ష్మ శాస్త్రందానిని లోతుగా పరిశోధించే ధైర్యం ఉన్నవారికి మాత్రమే తెరవండి. కానీ మన ఆచారాలు మరియు పక్షపాతాల ప్రకారం, విసుగు పుట్టించే పరిశోధనలతో తమను తాము పరిచయం చేసుకోవడంలో పురుషుల కంటే అనంతమైన కష్టాలను ఎదుర్కోవాల్సిన ఆ లింగానికి చెందిన ప్రతినిధి, ఈ అడ్డంకులన్నింటినీ అధిగమించి, వారి చీకటి భాగాలలోకి చొచ్చుకుపోయేలా విజయవంతంగా నిర్వహించినప్పుడు, నిస్సందేహంగా, ఆమె గొప్ప ధైర్యం, పూర్తిగా అసాధారణమైన ప్రతిభ మరియు అత్యున్నత ప్రతిభను కలిగి ఉంది. నా జీవితాన్ని ఇన్ని ఆనందాలతో సుసంపన్నం చేసిన ఈ శాస్త్రంలోని ఆకర్షణీయమైన అంశాలు, మీరు దానిని గౌరవించిన భక్తి కంటే కల్పితం కాదనేంత పొగడ్తగా మరియు నిస్సందేహంగా ఏదీ నన్ను ఒప్పించలేదు.

కార్ల్ గాస్‌తో కరస్పాండెన్స్, సోఫీ జర్మైన్ యొక్క పనికి ప్రేరణగా మారింది, ఇది అకస్మాత్తుగా 1808లో ముగిసింది. గౌస్‌ని యూనివర్శిటీ ఆఫ్ గోట్టింగెన్‌లో ఖగోళశాస్త్ర ప్రొఫెసర్‌గా నియమించారు, అతని అభిరుచులు సంఖ్యా సిద్ధాంతం నుండి మరింత అనువర్తిత గణితానికి మారాయి మరియు అతను జర్మైన్ లేఖలకు ప్రతిస్పందించడం మానేశాడు. అటువంటి గురువు యొక్క మద్దతును కోల్పోయిన జర్మైన్ తన సామర్ధ్యాలపై విశ్వాసం కోల్పోయింది మరియు ఒక సంవత్సరం తర్వాత స్వచ్ఛమైన గణితంలో తన అధ్యయనాలను విడిచిపెట్టింది. ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడంలో ఆమె మరింత ముందుకు సాగలేకపోయినప్పటికీ, ఆమె భౌతిక శాస్త్ర రంగంలో చాలా ఉత్పాదకతను సాధించింది - శాస్త్రీయ క్రమశిక్షణ, స్థాపన యొక్క పక్షపాతాల కోసం కాకపోతే ఆమె మళ్లీ ప్రముఖ స్థానాన్ని సాధించి ఉండవచ్చు. భౌతిక శాస్త్రంలో సోఫీ జెర్మైన్ యొక్క అత్యున్నత విజయం “మెమోయిర్ ఆన్ ది వైబ్రేషన్స్ ఆఫ్ సాగే ప్లేట్స్” - ఆధునిక స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతానికి పునాదులు వేసిన కొత్త ఆలోచనలతో కూడిన అద్భుతమైన పని. ఈ పనికి మరియు ఫెర్మాస్ లాస్ట్ థియరమ్‌పై ఆమె చేసిన పనికి, ఆమెకు ఇన్‌స్టిట్యూట్ డి ఫ్రాన్స్ పతకం లభించింది మరియు అకాడమీ సభ్యుని భార్య లేకుండా అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్‌లో ఉపన్యాసాలకు హాజరైన మొదటి మహిళ. తన జీవిత చివరలో, సోఫీ జెర్మైన్ కార్ల్ గాస్‌తో తన సంబంధాన్ని పునరుద్ధరించుకుంది, ఆమె గోట్టింగెన్ విశ్వవిద్యాలయం ఆమెకు గౌరవప్రదంగా ప్రదానం చేసింది. ఉన్నత విద్య దృవపత్రము. దురదృష్టవశాత్తు, సోఫీ జర్మైన్ రొమ్ము క్యాన్సర్‌తో మరణించింది, విశ్వవిద్యాలయం ఆమెను గౌరవించే ముందు.

"ఇవన్నీ పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఫ్రాన్స్ ఇప్పటివరకు ఉత్పత్తి చేయని ఏ మహిళలోనూ సోఫీ జర్మైన్ అత్యంత లోతైన తెలివితేటలను కలిగి ఉన్నట్లు చెప్పవచ్చు. ఇది వింతగా అనిపించవచ్చు, కానీ ఈ ప్రసిద్ధ సహోద్యోగి మరియు అత్యంత ప్రసిద్ధ సభ్యుల ఉద్యోగి మరణ ధృవీకరణ పత్రాన్ని జారీ చేయడానికి అధికారి వచ్చినప్పుడు ఫ్రెంచ్ అకాడమీసైన్సెస్, "వృత్తి" అనే కాలమ్‌లో అతను ఆమెను "వృత్తి లేని ఒంటరి మహిళ"గా పేర్కొన్నాడు మరియు "గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు" కాదు. అయితే అదంతా కాదు. ఈఫిల్ టవర్ నిర్మాణ సమయంలో, ఇంజనీర్లు ఉపయోగించిన పదార్థాల స్థితిస్థాపకతపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ కనబరిచారు మరియు స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతం అభివృద్ధికి ప్రత్యేకించి గణనీయమైన కృషి చేసిన డెబ్బై రెండు శాస్త్రవేత్తల పేర్లు ఈ భారీ నిర్మాణంపై చెక్కబడ్డాయి. కానీ ఫలించలేదు మేము ఫ్రాన్స్ యొక్క తెలివైన కుమార్తె పేరు కోసం ఈ జాబితాలో శోధిస్తాము, దీని పరిశోధన ఎక్కువగా లోహాల స్థితిస్థాపకత సిద్ధాంతం అభివృద్ధికి దోహదపడింది - సోఫీ జర్మైన్. మరియా ఆగ్నేసికి ఫ్రెంచ్ అకాడమీలో సభ్యత్వం ఇవ్వలేదనే కారణంతో - ఆమె ఒక మహిళ అయినందున ఆమెను ఈ జాబితా నుండి మినహాయించారా? స్పష్టంగా ఇది కేసు. ఇది నిజంగా అలా అయితే, సైన్స్‌కు ఇంత గొప్ప సేవలను అందించిన వ్యక్తి పట్ల - హాల్ ఆఫ్ ఫేమ్‌లో తన సముచిత స్థానాన్ని సంపాదించుకున్న వ్యక్తి పట్ల ఇంత కఠోరమైన కృతజ్ఞతాభావానికి కారణమైన వారికి అవమానం ఎక్కువ. (A.J. మోజాన్స్, 1913.)

మూసివున్న ఎన్వలప్‌లు

సోఫీ జర్మైన్ యొక్క పని ద్వారా సాధించిన పురోగతిని అనుసరించి, ఫ్రెంచ్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్ ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రహస్యాన్ని చివరకు ఛేదించిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి బంగారు పతకం మరియు 3,000 ఫ్రాంక్‌లతో సహా బహుమతుల శ్రేణిని ఏర్పాటు చేసింది. సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించగలిగిన వ్యక్తి బాగా అర్హత పొందిన కీర్తిని మాత్రమే కాకుండా, గణనీయమైన భౌతిక బహుమతిని కూడా అందుకుంటాడు. ఈ లేదా ఆ అభ్యర్థి ఏ వ్యూహాన్ని ఎంచుకున్నారు మరియు పోటీ ఫలితాలు ఎంత త్వరగా ప్రకటించబడతాయనే దాని గురించి పారిస్ సెలూన్లు పుకార్లతో నిండిపోయాయి. చివరగా, మార్చి 1, 1847న, అకాడమీ తన సమావేశాలలో అత్యంత నాటకీయంగా సమావేశమైంది.

ఏడేళ్ల క్రితం ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని గాబ్రియేల్ లామ్ ఎలా నిరూపించారో సమావేశం యొక్క నిమిషాలు వివరిస్తాయి. n=7, 19వ శతాబ్దానికి చెందిన అత్యంత ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ముందు పోడియం తీసుకొని, సాధారణ కేసు కోసం ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి తాను అంచున ఉన్నానని ప్రకటించాడు. తన రుజువు ఇంకా పూర్తి కాలేదని లామ్ ఒప్పుకున్నాడు, కానీ అతను వివరించాడు సాధారణ రూపురేఖలుఅతని పద్ధతి మరియు ఆనందం లేకుండా కొన్ని వారాల్లో అతను అకాడమీ ప్రచురించిన జర్నల్‌లో పూర్తి రుజువును ప్రచురిస్తానని ప్రకటించాడు.

ప్రేక్షకులు ఆనందంతో స్తంభించిపోయారు, కానీ లేమ్ పోడియం నుండి నిష్క్రమించిన వెంటనే, మరొక ఉత్తమ పారిసియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అగస్టిన్ లూయిస్ కౌచీ పదాలు అడిగాడు. అకాడమీ సభ్యులను ఉద్దేశించి కౌచీ మాట్లాడుతూ, తాను చాలా కాలంగా ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువుపై పని చేస్తున్నానని, దాదాపుగా లామ్ వలె అదే ఆలోచనల ఆధారంగా మరియు త్వరలో పూర్తి రుజువును ప్రచురించడానికి ఉద్దేశించానని చెప్పాడు.

కౌచీ మరియు లామ్ ఇద్దరూ సమయం సారాంశం అని గుర్తించారు. పూర్తి రుజువును సమర్పించే మొదటి వ్యక్తి గణితంలో అత్యంత ప్రతిష్టాత్మకమైన మరియు విలువైన బహుమతిని గెలుచుకుంటాడు. లామ్ లేదా కౌచీకి పూర్తి రుజువు లేనప్పటికీ, ఇద్దరు ప్రత్యర్థులు తమ వాదనలను బ్యాకప్ చేయడానికి ఆసక్తిగా ఉన్నారు మరియు మూడు వారాల తర్వాత ఇద్దరూ సీల్డ్ ఎన్వలప్‌లను అకాడమీకి సమర్పించారు. అది అప్పటి ఆచారం. ఇది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు తమ పని వివరాలను బహిర్గతం చేయకుండా వారి ప్రాధాన్యతను నొక్కి చెప్పడానికి అనుమతించింది. ఆలోచనల వాస్తవికత గురించి తదనంతరం వివాదం తలెత్తితే, సీలు చేసిన కవరులో ప్రాధాన్యతను స్థాపించడానికి అవసరమైన నిశ్చయాత్మక సాక్ష్యాలు ఉన్నాయి.

ఏప్రిల్‌లో, Cauchy మరియు Lamé చివరకు వారి సాక్ష్యాల యొక్క కొన్ని వివరాలను ప్రొసీడింగ్స్ ఆఫ్ ది అకాడమీలో ప్రచురించినప్పుడు, ఉద్రిక్తతలు పెరిగాయి. మొత్తం గణిత సంఘం పూర్తి రుజువును చూడాలని తహతహలాడింది, చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కౌచీ కంటే లామే పోటీలో గెలుస్తారని రహస్యంగా ఆశించారు. అన్ని ఖాతాల ప్రకారం, కౌచీ స్వీయ-నీతిమంతుడు మరియు మతపరమైన అభిమాని. అంతేకాక, అతను తన సహోద్యోగులలో చాలా ప్రజాదరణ పొందలేదు. అకాడమీలో అతను తన తెలివైన మనస్సు కోసం మాత్రమే సహించబడ్డాడు.

ఎట్టకేలకు మే 24న అన్ని ఊహాగానాలకు ముగింపు పలికే ప్రకటన వెలువడింది. అకాడమీని ఉద్దేశించి ప్రసంగించింది కౌచీ లేదా లామ్ కాదు, కానీ జోసెఫ్ లియోవిల్లే. అతను జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఎర్నెస్ట్ కుమ్మర్ నుండి ఒక లేఖను చదివి గౌరవప్రదమైన ప్రేక్షకులను ఆశ్చర్యపరిచాడు. కుమ్మర్ సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో గుర్తించబడిన నిపుణుడు, కానీ అతని తీవ్రమైన దేశభక్తి, నెపోలియన్‌పై హృదయపూర్వక ద్వేషంతో ఆజ్యం పోసింది, చాలా సంవత్సరాలు అతని నిజమైన పిలుపుకు తనను తాను అంకితం చేసుకోవడానికి అనుమతించలేదు. కుమ్మర్ చిన్నతనంలో, ఫ్రెంచ్ సైన్యం అతని స్వస్థలమైన సొరౌపై దాడి చేసింది, దానితో పాటు టైఫస్ మహమ్మారి వచ్చింది. కుమ్మర్ తండ్రి నగర వైద్యుడు మరియు కొన్ని వారాల తర్వాత వ్యాధి అతనిని దూరం చేసింది. ఏమి జరిగిందో చూసి దిగ్భ్రాంతికి గురైన కుమ్మర్ తన మాతృభూమిని కొత్త శత్రు దండయాత్ర నుండి విముక్తి చేయడానికి తన శక్తి మేరకు ప్రతిదీ చేస్తానని ప్రతిజ్ఞ చేశాడు - మరియు విశ్వవిద్యాలయం నుండి పట్టభద్రుడయ్యాక, ఫిరంగి బంతుల పథాలను నిర్మించే సమస్యను పరిష్కరించడానికి అతను తన తెలివిని మళ్లించాడు. తరువాత అతను బెర్లిన్ మిలిటరీ స్కూల్‌లో బాలిస్టిక్స్ చట్టాలను బోధించాడు.

సమాంతరంగా సైనిక వృత్తికుమ్మర్ స్వచ్ఛమైన గణిత శాస్త్ర రంగంలో పరిశోధనలో చురుకుగా పాల్గొన్నాడు మరియు ఫ్రెంచ్ అకాడమీలో ఏమి జరుగుతుందో పూర్తిగా తెలుసు. కుమ్మర్ అకాడమీ ఆఫ్ ప్రొసీడింగ్స్‌లోని ప్రచురణలను జాగ్రత్తగా చదివాడు మరియు కౌచీ మరియు లామా వెల్లడించే ప్రమాదం ఉన్న కొన్ని వివరాలను విశ్లేషించారు. ఇద్దరు ఫ్రెంచ్ వారు ఒకే తార్కిక ముగింపు వైపు వెళుతున్నారని అతనికి స్పష్టమైంది - మరియు అతను తన ఆలోచనలను లియోవిల్లేకు రాసిన లేఖలో వివరించాడు.

కుమ్మర్ ప్రకారం, ప్రధాన సమస్య ఏమిటంటే, కౌచీ మరియు లామ్ యొక్క రుజువులు యూనిక్ ఫ్యాక్టరైజేషన్ అని పిలువబడే పూర్ణాంకాల ఆస్తిని ఉపయోగించడంపై ఆధారపడి ఉన్నాయి. ఈ ఆస్తి అంటే ఒకటి మాత్రమే ఉంది సాధ్యం కలయికఇచ్చిన పూర్ణాంకాన్ని అందించే ఉత్పత్తి ప్రధాన సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, ప్రధాన సంఖ్యల కలయిక 18కి సమానం

18 = 2·3·3.

అదేవిధంగా, 35, 180 మరియు 106260 సంఖ్యలను ప్రత్యేకంగా ప్రధాన సంఖ్యలుగా విడదీయవచ్చు మరియు వాటి కుళ్ళిపోవడం రూపంలో ఉంటాయి

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

4వ శతాబ్దం BCలో కారకం యొక్క ప్రత్యేకత కనుగొనబడింది. ఇ. యూక్లిడ్, తన ఎలిమెంట్స్ పుస్తకం IXలో ఇది అన్ని సహజ సంఖ్యలకు నిజమని నిరూపించాడు. అన్ని సహజ సంఖ్యలకు ప్రధాన కారకం యొక్క ప్రత్యేకత చాలా ముఖ్యమైనది ముఖ్యమైన అంశంఅనేక విభిన్న సిద్ధాంతాల రుజువులు మరియు ఇప్పుడు అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం అని పిలుస్తారు.

మొదటి చూపులో, కౌచీ మరియు లామ్ వారి ముందు వందలాది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు చేసినట్లుగా, వారి తార్కికంలో కారకం యొక్క ప్రత్యేకతను ఉపయోగించలేకపోవడానికి ఎటువంటి కారణం ఉండకూడదు. అయితే, అకాడమీకి సమర్పించిన రెండు రుజువులూ ఊహాత్మక సంఖ్యలను ఉపయోగించాయి. పూర్ణాంకాల కోసం ప్రత్యేకమైన కారకీకరణ సిద్ధాంతం ఉన్నప్పటికీ, ఊహాత్మక సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తే అది తప్పనిసరిగా ఉండదని కుమ్మర్ లియోవిల్లే దృష్టికి తీసుకువచ్చాడు. కుమ్మర్ ప్రకారం, ఇది ఘోరమైన తప్పు.

ఉదాహరణకు, మనల్ని మనం పూర్ణాంకాలకు పరిమితం చేసుకుంటే, 12 సంఖ్య 2·2·3 యొక్క ప్రత్యేక కుళ్ళిపోవడాన్ని అంగీకరిస్తుంది. కానీ మేము రుజువులో ఊహాత్మక సంఖ్యలను అనుమతిస్తే, 12 సంఖ్యను ఇలా కారకం చేయవచ్చు:

12 = (1 + v–11)·(1 + v–11).

ఇక్కడ 1 + v–11 - సంక్లిష్ట సంఖ్య, ఇది నిజమైన మరియు ఊహాత్మక సంఖ్యల కలయిక. సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం ఎక్కువగా నిర్వహించబడుతున్నప్పటికీ సంక్లిష్ట నియమాలువాస్తవ సంఖ్యలను గుణించడం కంటే, సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఉనికి సంఖ్య 12ని కారకం చేసే అదనపు మార్గాలకు దారి తీస్తుంది. 12 సంఖ్యను విచ్ఛిన్నం చేయడానికి ఇక్కడ మరొక మార్గం ఉంది:

12 = (2 + v–8)·(2 + v–8).

అందువల్ల, రుజువులో ఊహాత్మక సంఖ్యలను ఉపయోగించినప్పుడు మేము మాట్లాడుతున్నాముకుళ్ళిపోవడం యొక్క ప్రత్యేకత గురించి కాదు, కానీ కారకం యొక్క వైవిధ్యాలలో ఒకదాని ఎంపిక గురించి.

అందువలన, కారకం యొక్క ప్రత్యేకత కోల్పోవడం వలన Cauchy మరియు Lamé యొక్క రుజువులకు భారీ నష్టం జరిగింది, కానీ వాటిని పూర్తిగా నాశనం చేయలేదు. సమీకరణానికి పూర్ణాంక పరిష్కారాలు లేవని రుజువు ప్రదర్శించాలి x n + y n = z n, ఎక్కడ n- 2 కంటే ఎక్కువ ఏదైనా పూర్ణాంకం. మేము ఇప్పటికే ఈ అధ్యాయంలో పేర్కొన్నట్లుగా, వాస్తవానికి ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం మాత్రమే నిరూపించబడాలి సాధారణ విలువలు n. అదనపు ఉపాయాలను ఉపయోగించి, నిర్దిష్ట విలువలకు కారకం యొక్క ప్రత్యేకతను పునరుద్ధరించడం సాధ్యమవుతుందని కుమ్మర్ చూపించాడు. n. ఉదాహరణకు, మించని అన్ని ప్రధాన సంఖ్యల కోసం విచ్ఛిన్నం యొక్క ప్రత్యేకత సమస్యను అధిగమించవచ్చు n= 31 (విలువతో సహా n= 31). కానీ ఎప్పుడు n= 37 కష్టాల నుండి విముక్తి పొందడం అంత సులభం కాదు. 100 కంటే తక్కువ ఉన్న ఇతర సంఖ్యలలో, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడం చాలా కష్టం n= 59 మరియు n= 67. ఈ అని పిలవబడే క్రమరహిత ప్రధాన సంఖ్యలు, మిగిలిన సంఖ్యల మధ్య చెల్లాచెదురుగా, పూర్తి రుజువు మార్గంలో అడ్డంకిగా మారాయి.

అన్ని సక్రమంగా లేని ప్రధాన సంఖ్యలను ఒకే ఊపులో పరిగణించేందుకు అనుమతించే గణిత పద్ధతులు ఏవీ లేవని కుమ్మర్ పేర్కొన్నాడు. కానీ ప్రతి క్రమరహిత ప్రధాన సంఖ్యకు వేర్వేరుగా ఉన్న పద్ధతులను జాగ్రత్తగా రూపొందించడం ద్వారా, అతను వాటిని "ఒకటిగా" ఎదుర్కోగలడని అతను నమ్మాడు. అటువంటి అనుకూల-నిర్మిత పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడం నెమ్మదిగా మరియు చాలా కష్టంగా ఉంటుంది మరియు విషయాలను మరింత దిగజార్చడానికి, క్రమరహిత ప్రైమ్‌ల సంఖ్య అనంతంగా ఉంటుంది. మొత్తం ప్రపంచ గణిత సంఘం ద్వారా క్రమరహిత ప్రధాన సంఖ్యలను ఒక్కొక్కటిగా పరిగణించడం శతాబ్దాల చివరి వరకు సాగుతుంది.

కుమ్మర్ లేఖ కుంటిపై అద్భుతమైన ప్రభావాన్ని చూపింది. ఏకైక కారకం ఊహను విస్మరించండి! ఉత్తమంగా, దీనిని మితిమీరిన ఆశావాదం అని పిలుస్తారు, చెత్తగా, క్షమించరాని మూర్ఖత్వం. అతను తన పని వివరాలను రహస్యంగా ఉంచడానికి ప్రయత్నించకపోతే, అతను చాలా ముందుగానే అంతరాన్ని కనుగొనగలడని కుంటివాడు గ్రహించాడు. బెర్లిన్‌లోని తన సహోద్యోగి డిరిచ్‌లెట్‌కి రాసిన లేఖలో, అతను ఇలా ఒప్పుకున్నాడు: "మీరు పారిస్‌లో ఉంటే లేదా నేను బెర్లిన్‌లో ఉంటే, ఇదంతా ఎప్పటికీ జరిగేది కాదు." లామ్ అవమానంగా భావించినట్లయితే, కౌచీ ఓటమిని అంగీకరించడానికి నిరాకరించాడు. అతని అభిప్రాయం ప్రకారం, లామ్ యొక్క రుజువుతో పోల్చితే, అతని స్వంత రుజువు కారకం యొక్క ప్రత్యేకతపై తక్కువగా ఆధారపడింది మరియు కుమ్మర్ యొక్క విశ్లేషణ పూర్తిగా ధృవీకరించబడే వరకు, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి తార్కికంలో ఎక్కడో ఒక లోపం ఏర్పడే అవకాశం ఉంది. చాలా వారాల పాటు, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువుపై కథనం తర్వాత కౌచీ కథనాలను ప్రచురించడం కొనసాగించాడు, కానీ వేసవి చివరి నాటికి అతను కూడా మౌనంగా ఉన్నాడు.

ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క పూర్తి రుజువు ఇప్పటికే ఉన్న గణిత విధానాల సామర్థ్యాలకు మించినదని కుమ్మర్ చూపించాడు. ఇది తర్కానికి అద్భుతమైన ఉదాహరణ మరియు అదే సమయంలో ప్రపంచంలోని అత్యంత క్లిష్టమైన గణిత సమస్యను పరిష్కరించగలరని ఆశించిన మొత్తం తరం గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఇది ఒక భయంకరమైన దెబ్బ.

1857లో ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు కోసం ప్రదానం చేసిన బహుమతికి సంబంధించి అకాడమీకి సమర్పించిన తుది నివేదికలో కౌచీ సారాంశం సారాంశం చేయబడింది: “గణిత శాస్త్రాలలో బహుమతి కోసం పోటీ గురించి నివేదించండి. పోటీ 1853లో షెడ్యూల్ చేయబడింది మరియు తరువాత 1856 వరకు పొడిగించబడింది. పదకొండు జ్ఞాపికలను కార్యదర్శికి అందించారు. వాటిలో ఏ ఒక్కదానిలోనూ సంధించిన ప్రశ్న పరిష్కారం కాలేదు. ఈ విధంగా, చాలాసార్లు ఎదురైనప్పటికీ, మిస్టర్ కుమ్మర్ దానిని ఎక్కడ వదిలిపెట్టారనే ప్రశ్న మిగిలిపోయింది. ఏది ఏమైనప్పటికీ, గణిత శాస్త్రాలు ఈ ప్రశ్నను పరిష్కరించడానికి జియోమీటర్‌లు చేసిన కృషికి ప్రతిఫలాన్ని అందించాయి, ముఖ్యంగా మిస్టర్. కుమ్మర్, మరియు కమిషన్ సభ్యులు అకాడమీ ఉపసంహరించుకున్నట్లయితే తగినంత మరియు ఉపయోగకరమైన నిర్ణయం తీసుకునేదని భావిస్తారు. పోటీ నుండి వచ్చిన ప్రశ్న, ఐక్యత మరియు పూర్ణాంకాల మూలాలను కలిగి ఉన్న సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై అతని అద్భుతమైన అధ్యయనాలకు మిస్టర్ కుమ్మర్‌కు పతకాన్ని అందించింది."

* * *

రెండు శతాబ్దాలకు పైగా, ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువును తిరిగి కనుగొనే ఏ ప్రయత్నం విఫలమైంది. IN టీనేజ్ సంవత్సరాలుఆండ్రూ వైల్స్ ఆయిలర్, జర్మైన్, కౌచీ, లామ్ మరియు చివరకు కుమ్మర్ రచనలను అధ్యయనం చేశాడు. వైల్స్ తన పూర్వీకులు చేసిన తప్పుల నుండి నేర్చుకోగలనని ఆశించాడు, కాని అతను ఆక్స్‌ఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయంలో అండర్ గ్రాడ్యుయేట్ అయ్యే సమయానికి, కుమ్మర్ తన మార్గంలో నిలిచిన అదే రాతి గోడ అతని మార్గంలో నిలిచింది.

వైల్స్ యొక్క సమకాలీనులలో కొందరు ఫెర్మాట్ యొక్క సమస్య అపరిష్కృతంగా ఉండవచ్చని అనుమానించడం ప్రారంభించారు. ఫెర్మాట్ తప్పుగా భావించే అవకాశం ఉంది మరియు ఫెర్మాట్ యొక్క రుజువును ఎవరూ పునర్నిర్మించలేకపోవడానికి కారణం అటువంటి రుజువు ఎప్పుడూ ఉనికిలో లేదు. వైల్స్ గతంలో, శతాబ్దాలుగా నిరంతర ప్రయత్నాల తర్వాత, కొన్ని అర్థాల కోసం స్ఫూర్తి పొందారు nఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు చివరకు కనుగొనబడింది. మరియు ఈ సందర్భాలలో కొన్నింటిలో, సమస్యను పరిష్కరించిన విజయవంతమైన ఆలోచనలు గణితంలో కొత్త పురోగతులపై ఆధారపడలేదు; దీనికి విరుద్ధంగా, ఇది చాలా కాలం క్రితం కనుగొనబడిన సాక్ష్యం.

దశాబ్దాలుగా పరిష్కారం కోసం మొండిగా ప్రతిఘటించిన సమస్యకు ఒక ఉదాహరణ పాయింట్ పరికల్పన. ఇది అనేక పాయింట్లతో వ్యవహరిస్తుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా ఇతర బిందువులకు సరళ రేఖల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. 13. ఈ రకమైన రేఖాచిత్రాన్ని గీయడం అసాధ్యమని పరికల్పన పేర్కొంది, తద్వారా ప్రతి పంక్తిపై కనీసం మూడు పాయింట్లు ఉంటాయి (అన్ని పాయింట్లు ఒకే లైన్‌లో ఉండే రేఖాచిత్రాన్ని మేము పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా మినహాయిస్తాము). అనేక రేఖాచిత్రాలతో ప్రయోగాలు చేయడం ద్వారా, పాయింట్ పరికల్పన సరైనదని మేము ధృవీకరించవచ్చు. అంజీర్లో. 13 ఎఐదు పాయింట్లు ఆరు సరళ రేఖల ద్వారా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. ఈ నాలుగు పంక్తులలో మూడు పాయింట్లు లేవు మరియు అందువల్ల ఈ పాయింట్ల అమరిక సమస్య యొక్క అవసరాన్ని సంతృప్తి పరచదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, దీని ప్రకారం ప్రతి పంక్తికి మూడు పాయింట్లు ఉంటాయి.

ఎ) బి)

అన్నం. 13. ఈ రేఖాచిత్రాలలో, ప్రతి పాయింట్ సరళ రేఖల ద్వారా ప్రతి ఇతర బిందువులకు అనుసంధానించబడి ఉంటుంది. ప్రతి పంక్తి కనీసం మూడు పాయింట్ల గుండా వెళ్ళే రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మించడం సాధ్యమేనా?

ఒక పాయింట్ మరియు దాని గుండా వెళుతున్న ఒక లైన్ జోడించడం ద్వారా, మేము మూడు పాయింట్లు లేని లైన్ల సంఖ్యను మూడుకి తగ్గించాము. కానీ పరికల్పన యొక్క పరిస్థితులకు రేఖాచిత్రాన్ని మరింత తగ్గించడం (రేఖాచిత్రం యొక్క అటువంటి పునర్వ్యవస్థీకరణ, దీని ఫలితంగా ప్రతి సరళ రేఖలో మూడు పాయింట్లు ఉంటాయి), స్పష్టంగా అసాధ్యం. వాస్తవానికి, అటువంటి రేఖాచిత్రం ఉనికిలో లేదని ఇది నిరూపించదు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞుల తరాలు పాయింట్ల గురించి సాధారణ పరికల్పనకు రుజువును కనుగొనడానికి ప్రయత్నించాయి - మరియు విఫలమయ్యాయి. ఈ పరికల్పన మరింత చికాకు కలిగిస్తుంది, ఎందుకంటే చివరికి పరిష్కారం కనుగొనబడినప్పుడు, దీనికి గణితం యొక్క కనీస జ్ఞానం మరియు తార్కికంలో ఒక అసాధారణమైన ట్విస్ట్ మాత్రమే అవసరమని తేలింది. రుజువు యొక్క పురోగతి అనుబంధం 6లో వివరించబడింది.

ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేయడానికి అవసరమైన అన్ని పద్ధతులు ఇప్పటికే గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వద్ద ఉన్నాయి మరియు తప్పిపోయిన ఏకైక పదార్ధం కొన్ని తెలివిగల ట్రిక్ మాత్రమే. వైల్స్ వదులుకోలేదు: ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాలనే అతని చిన్ననాటి కల లోతైన మరియు తీవ్రమైన అభిరుచిగా మారింది. 19వ శతాబ్దపు గణితశాస్త్రం గురించి తెలుసుకోవలసిన ప్రతిదాన్ని నేర్చుకున్న వైల్స్ 20వ శతాబ్దపు పద్ధతులను అనుసరించాలని నిర్ణయించుకున్నాడు.

గమనికలు:

నేను ఇక్కడ టిచ్‌మార్ష్ పదబంధాన్ని గుర్తుంచుకున్నాను: “నేను ఇటీవల ఒక వ్యక్తిని కలిశాను, అతను మైనస్ వన్ ఉనికిని కూడా నమ్మడం లేదని చెప్పాడు, ఎందుకంటే ఇది ఉనికిని సూచిస్తుంది. వర్గమూలందాని నుండి.”:) - E.G.A.

నేను మీకు కొత్త క్లయింట్ గిల్బర్ట్ హోటల్‌లోకి మారుతున్నట్లు ఒక ఉదాహరణ ఇస్తాను. ఇది 1998లో స్ప్రింగర్ ప్రచురించిన మరియు 2001లో తిరిగి ప్రచురించబడిన "పుస్తకం నుండి ప్రూఫ్స్" పుస్తకం నుండి తీసుకోబడింది. రచయితలు: మార్టిన్ ఐగ్నర్ మరియు గుంటర్ M. జీగ్లర్. ఈ పుస్తకానికి రచయితల ముందుమాట నుండి ఒక చిన్న కోట్: "పాల్ ఎర్డోస్ ది బుక్ గురించి మాట్లాడటానికి ఇష్టపడ్డాడు, దీనిలో దేవుడు నిర్వహించాడు ఖచ్చితమైనఅగ్లీ గణితానికి శాశ్వత స్థానం లేదని G. H. హార్డీ యొక్క సూచనను అనుసరించి గణిత సిద్ధాంతాలకు రుజువులు. మీరు దేవుడిని విశ్వసించాల్సిన అవసరం లేదని, గణిత శాస్త్రవేత్తగా మీరు ది బుక్‌ను విశ్వసించాలని కూడా ఎర్డోస్ అన్నారు. ది బుక్ నుండి ఏది రుజువు అనేదానికి మాకు నిర్వచనం లేదా క్యారెక్టరైజేషన్ లేదు: అద్భుతమైన ఆలోచనలు, తెలివైన అంతర్దృష్టులు మరియు అద్భుతమైన పరిశీలనల గురించి మా పాఠకులు మా ఉత్సాహాన్ని పంచుకుంటారనే ఆశతో మేము ఎంచుకున్న ఉదాహరణలను ఇక్కడ అందిస్తున్నాము. మా ఎక్స్‌పోజిషన్‌లో లోపాలు ఉన్నప్పటికీ మా పాఠకులు దీన్ని ఆనందిస్తారని కూడా మేము ఆశిస్తున్నాము. ఎంపిక చాలా వరకు పాల్ ఎర్డోస్ చేత ప్రభావితమైంది." ఈ దృష్టాంతం "సెట్‌లు, విధులు మరియు నిరంతర పరికల్పన" అధ్యాయాన్ని తెరుస్తుంది - E.G.A.

హ్మ్... “జాగ్రత్త! నా డ్రాయింగ్‌లపై అడుగు పెట్టవద్దు! ”, కానీ ఈ ఆశ్చర్యార్థకం ప్రసంగించిన రోమన్ సైనికుడు తన ముందు నిరాయుధుడైన వృద్ధుడు ఉన్నారనే దానిపై దృష్టి పెట్టలేదు. :(మరియు నేను ఇంతకు ముందు చెప్పిన “పుస్తకం నుండి రుజువులు” అనే పుస్తకంలో, “సంఖ్య సిద్ధాంతం” అనే అధ్యాయం ముందు ఈటె లేని డ్రాయింగ్ ఉంది. స్పష్టంగా, ఆర్కిమెడిస్ మరణం గురించి కళాకారుడికి కూడా తెలియదు. - ఇ.జి.ఎ.

ఒక గొప్ప వ్యవహారం

టోస్ట్‌లను ఎలా తయారు చేయాలనే దాని గురించి నూతన సంవత్సర వార్తాలేఖలో ఒకసారి, ఇరవయ్యవ శతాబ్దం చివరిలో ఒక గొప్ప సంఘటన జరిగిందని నేను సాధారణంగా ప్రస్తావించాను, ఇది చాలా మంది గమనించలేదు - అని పిలవబడేది ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం. దీనికి సంబంధించి, నాకు వచ్చిన లేఖలలో, నేను అమ్మాయిల నుండి రెండు ప్రతిస్పందనలను కనుగొన్నాను (వాటిలో ఒకటి, నాకు గుర్తున్నంతవరకు, జెలెనోగ్రాడ్‌కు చెందిన తొమ్మిదవ తరగతి విద్యార్థి వికా), వారు ఈ వాస్తవాన్ని చూసి ఆశ్చర్యపోయారు.

ఆధునిక గణిత శాస్త్ర సమస్యలపై అమ్మాయిలు ఎంత ఆసక్తిగా ఉన్నారో నేను ఆశ్చర్యపోయాను. అందువల్ల, బాలికలు మాత్రమే కాదు, అన్ని వయసుల అబ్బాయిలు కూడా - హైస్కూల్ విద్యార్థుల నుండి పెన్షనర్ల వరకు కూడా గొప్ప సిద్ధాంతం యొక్క చరిత్రను నేర్చుకోవడానికి ఆసక్తి కలిగి ఉంటారని నేను భావిస్తున్నాను.

ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు ఒక గొప్ప సంఘటన. మరియు ఎందుకంటే “గొప్ప” అనే పదంతో జోక్ చేయడం ఆచారం కాదు, కానీ ప్రతి ఆత్మగౌరవ వక్త (మరియు మనం మాట్లాడేటప్పుడు మనమందరం మాట్లాడేవాళ్ళం) సిద్ధాంతం యొక్క చరిత్రను తెలుసుకోవాల్సిన అవసరం ఉందని నాకు అనిపిస్తోంది.

ఒకవేళ నేను గణితాన్ని ఇష్టపడినంతగా మీరు గణితాన్ని ఇష్టపడనట్లయితే, కొన్ని వివరాలను పరిశీలించండి. మా వార్తాలేఖ యొక్క పాఠకులందరూ గణిత అడవిలో సంచరించడానికి ఆసక్తి చూపడం లేదని అర్థం చేసుకోవడంతో, నేను ఎటువంటి సూత్రాలను (ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం యొక్క సమీకరణం మినహా) ఇవ్వకూడదని మరియు కొన్ని నిర్దిష్ట సమస్యల కవరేజీని సాధ్యమైనంతవరకు సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నించాను.

ఫెర్మాట్ ఎలా గందరగోళాన్ని సృష్టించింది

17వ శతాబ్దానికి చెందిన ఫ్రెంచ్ న్యాయవాది మరియు పార్ట్-టైమ్ గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పియరీ ఫెర్మాట్ (1601-1665) సంఖ్య సిద్ధాంతం నుండి ఒక ఆసక్తికరమైన ప్రకటనను ముందుకు తెచ్చారు, ఇది తరువాత ఫెర్మాట్ యొక్క గొప్ప (లేదా గొప్ప) సిద్ధాంతంగా పిలువబడింది. ఇది అత్యంత ప్రసిద్ధ మరియు అసాధారణమైన గణిత సిద్ధాంతాలలో ఒకటి. ఫెర్మాట్ తరచుగా చదివిన, దాని విస్తృత మార్జిన్లలో గమనికలు చేస్తూ, అతని కుమారుడు శామ్యూల్ దయతో సంతానం కోసం భద్రపరచిన డయోఫాంటస్ ఆఫ్ అలెగ్జాండ్రియా (III శతాబ్దం) “అరిథ్మెటిక్” పుస్తకంలో ఉంటే, దాని చుట్టూ ఉన్న ఉత్సాహం అంత బలంగా ఉండేది కాదు. గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఈ క్రింది గమనికను దాదాపుగా కనుగొనలేదు:

"నా దగ్గర చాలా ఆశ్చర్యకరమైన సాక్ష్యాలు ఉన్నాయి, కానీ అది అంచులకు సరిపోయేంత పెద్దది."

ఈ రికార్డింగ్ సిద్ధాంతం చుట్టూ తదుపరి భారీ రచ్చకు కారణం.

కాబట్టి, ప్రసిద్ధ శాస్త్రవేత్త తన సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడని ప్రకటించాడు. మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం: అతను నిజంగా నిరూపించాడా లేదా అబద్ధం చెప్పాడా? లేదా మార్జిన్‌లలో ఆ నోట్ రూపాన్ని వివరించే ఇతర సంస్కరణలు ఉన్నాయా, ఇది తరువాతి తరాలకు చెందిన చాలా మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులను శాంతియుతంగా నిద్రించడానికి అనుమతించలేదా?

గ్రేట్ థియరమ్ యొక్క కథ కాలానుగుణంగా ఒక సాహసం వలె మనోహరమైనది. 1636లో, Xn+Yn=Zn రూపం యొక్క సమీకరణానికి ఘాతాంకం n>2తో పూర్ణాంకాలలో పరిష్కారాలు లేవని ఫెర్మాట్ పేర్కొన్నాడు. ఇది నిజానికి ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంతం. ఈ అకారణంగా సాధారణ గణిత సూత్రంలో, విశ్వం నమ్మశక్యం కాని సంక్లిష్టతను దాచిపెట్టింది.

కొన్ని కారణాల వల్ల సిద్ధాంతం కనిపించడం ఆలస్యం కావడం కొంత వింతగా ఉంది, ఎందుకంటే పరిస్థితి చాలా కాలంగా తయారవుతోంది, ఎందుకంటే దాని ప్రత్యేక సంధర్భం n=2 తో - మరొక ప్రసిద్ధమైనది గణిత సూత్రం- పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఇరవై రెండు శతాబ్దాల క్రితం ఉద్భవించింది. ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం వలె కాకుండా, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అనంతమైన సమితిని కలిగి ఉంది పూర్ణాంక పరిష్కారాలు, ఉదాహరణకు, అటువంటి పైథాగరియన్ త్రిభుజాలు: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

గ్రేట్ థియరమ్ సిండ్రోమ్

ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ఎవరు ప్రయత్నించలేదు? ఏదైనా తాజా విద్యార్ధి తనను తాను గొప్ప సిద్ధాంతానికి వర్తింపజేయడం తన కర్తవ్యంగా భావించాడు, కానీ ఎవరూ దానిని నిరూపించలేకపోయారు. మొదట ఇది వంద సంవత్సరాలు పని చేయలేదు. తర్వాత మరో వంద. గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో మాస్ సిండ్రోమ్ అభివృద్ధి చెందడం ప్రారంభించింది: "ఇది ఎలా ఉంటుంది, కానీ నేను ఏమి చేయలేను?" మరియు వారిలో కొందరు పదం యొక్క పూర్తి అర్థంలో ఈ ప్రాతిపదికన వెర్రివారు.

సిద్ధాంతాన్ని ఎన్నిసార్లు పరీక్షించినా అది నిజమేనని తేలింది. హై-స్పీడ్ కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించి పూర్ణాంకాల ద్వారా శోధించడం ద్వారా కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించడం ద్వారా గొప్ప సిద్ధాంతాన్ని తిరస్కరించడంలో నిమగ్నమైన ప్రోగ్రామర్ నాకు తెలుసు (ఆ సమయంలో సాధారణంగా దీనిని మెయిన్‌ఫ్రేమ్ అని పిలుస్తారు). అతను తన సంస్థ యొక్క విజయాన్ని విశ్వసించాడు మరియు ఇలా చెప్పడానికి ఇష్టపడ్డాడు: "కొంచెం ఎక్కువ - మరియు సంచలనం చెలరేగుతుంది!" నేను లో అనుకుంటున్నాను వివిధ ప్రదేశాలుమన గ్రహం ఈ రకమైన ధైర్య సాధకులు గణనీయమైన సంఖ్యలో ఉన్నారు. అతను, వాస్తవానికి, ఒక్క పరిష్కారాన్ని కనుగొనలేదు. మరియు అద్భుతమైన వేగంతో కూడా ఏ కంప్యూటర్లు కూడా సిద్ధాంతాన్ని ధృవీకరించలేవు, ఎందుకంటే ఈ సమీకరణంలోని అన్ని వేరియబుల్స్ (ఘాతాంకాలతో సహా) అనంతం వరకు పెరుగుతాయి.

18వ శతాబ్దానికి చెందిన అత్యంత సిద్ధహస్తుడు మరియు ఫలవంతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, లియోనార్డ్ ఆయిలర్, అతని రికార్డుల ఆర్కైవ్ దాదాపు మానవాళిచే కైవసం చేయబడింది మొత్తం శతాబ్దం, 3 మరియు 4 అధికారాల కోసం ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడు (లేదా బదులుగా, అతను పియరీ ఫెర్మాట్ యొక్క కోల్పోయిన రుజువులను పునరావృతం చేశాడు); సంఖ్య సిద్ధాంతంలో అతని అనుచరుడు, లెజెండ్రే - అధికారాలు 5; డిరిచ్లెట్ - డిగ్రీ 7. కానీ సాధారణంగా సిద్ధాంతం నిరూపించబడలేదు.

20వ శతాబ్దపు ప్రారంభంలో (1907), గణితంలో ఒక సంపన్న జర్మన్ ఔత్సాహికుడు వోల్ఫ్‌స్కేల్ అనే వ్యక్తి ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతానికి పూర్తి రుజువును సమర్పించే వ్యక్తికి లక్ష మార్కులను ఇచ్చాడు. ఉత్కంఠ మొదలైంది. గణిత విభాగాలు వేలాది రుజువులతో నిండి ఉన్నాయి, కానీ మీరు ఊహించినట్లుగా, వాటిలో అన్ని లోపాలు ఉన్నాయి. జర్మనీలోని కొన్ని విశ్వవిద్యాలయాలలో, ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతానికి పెద్ద మొత్తంలో "రుజువులు" లభించాయి, సుమారుగా ఈ క్రింది కంటెంట్‌తో ఫారమ్‌లు తయారు చేయబడ్డాయి:

ప్రియమైన __________________________!

ఎగువన ____ లైన్‌లోని ____ పేజీలో ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతం యొక్క మీ రుజువులో
ఫార్ములాలో కింది లోపం కనుగొనబడింది:___________________________:,

ఇది అన్‌లక్కీ అవార్డు దరఖాస్తుదారులకు పంపబడింది.

ఆ సమయంలో, గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో సెమీ-ధిక్కారమైన మారుపేరు కనిపించింది - రైతు. జ్ఞానం లేని, కానీ గొప్ప సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేయడంలో హడావిడిగా ప్రయత్నించి, గమనించకుండానే తన చేతికి కావలసినంత కంటే ఎక్కువ ఆశయం కలిగి ఉన్న ఏ ఆత్మవిశ్వాసంతో ఉన్న అప్‌స్టార్ట్‌కైనా ఈ పేరు పెట్టబడింది. సొంత తప్పులు, గర్వంగా తన ఛాతీపై కొట్టుకుంటూ, బిగ్గరగా ఇలా ప్రకటించండి: "ఫెర్మాట్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించిన మొదటి వ్యక్తి నేనే!" ప్రతి రైతు, అతను పదివేల వంతు అయినప్పటికీ, తనను తాను మొదటి వ్యక్తిగా భావించాడు - ఇది తమాషాగా ఉంది. సింపుల్ ప్రదర్శనగొప్ప సిద్ధాంతం ఫెర్మిస్ట్‌లకు చాలా తేలికైన వేటను గుర్తు చేసింది, ఆయులర్ మరియు గాస్ కూడా దానిని ఎదుర్కోలేకపోయినందుకు వారు ఏమాత్రం ఇబ్బంది పడలేదు.

(ఫెర్మాటిస్ట్‌లు, విచిత్రమేమిటంటే, నేటికీ ఉనికిలో ఉన్నారు. వారిలో ఒకరు క్లాసికల్ ఫెర్మాటిస్ట్‌లాగా, అతను సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాడని అనుకోకపోయినా, అతను ఇటీవలి వరకు ప్రయత్నాలు చేశాడు - ఫెర్మా సిద్ధాంతం ఇప్పటికే ఉందని నేను అతనికి చెప్పినప్పుడు అతను నన్ను నమ్మడానికి నిరాకరించాడు. నిరూపించబడింది).

అత్యంత శక్తివంతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, బహుశా, వారి కార్యాలయాల నిశ్శబ్దంలో, ఈ అసాధ్యమైన బార్‌బెల్‌ను జాగ్రత్తగా సంప్రదించడానికి ప్రయత్నించారు, కానీ బిగ్గరగా చెప్పలేదు, తద్వారా వ్యవసాయదారులుగా ముద్ర వేయబడకుండా మరియు వారి అధిక అధికారానికి హాని కలిగించకూడదు.

ఆ సమయానికి, ఘాతాంకం n కోసం సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు కనిపించింది

బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం డిగ్రీ n (n>0) యొక్క ప్రతి బహుపది సిద్ధాంతం: f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + a, ఇక్కడ a0 / 0, సంక్లిష్ట సంఖ్యల ఫీల్డ్‌లో కనీసం ఒక రూట్ z1 ఉంటుంది. , కాబట్టి f(z1)=0. O.T.A నుండి మరియు బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం నుండి బహుపది f(z) సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో (వాటి గుణకారాలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే) సరిగ్గా n మూలాలను కలిగి ఉంది. నిజానికి, బెజౌట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, f(z) z - z1 (మిగిలినవి లేకుండా) ద్వారా భాగించబడుతుంది, అనగా. f(z) = f1(z)(z – z1), అందువల్ల O.T.A ప్రకారం (n – 1) డిగ్రీ యొక్క బహుపది f1(z) రూట్ z2, మొదలైనవి కూడా ఉన్నాయి. అంతిమంగా f(z)కి ఖచ్చితంగా n మూలాలు ఉన్నాయని మేము నిర్ధారణకు వస్తాము: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). ఓ.టి.ఎ. 17వ-18వ శతాబ్దాలలో బీజగణితం యొక్క ప్రధాన కంటెంట్ అని పిలవబడింది. సమీకరణాల పరిష్కారానికి దిగింది.

ఓ.టి.ఎ. 17వ శతాబ్దంలో మొదటిసారిగా నిరూపించబడింది. ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గిరార్డ్ ద్వారా, మరియు 1799లో జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గాస్ చేత కఠినమైన రుజువు ఇవ్వబడింది. BEZOUT యొక్క సిద్ధాంతం ఒక సరళ ద్విపద ద్వారా ఏకపక్ష బహుపది యొక్క మిగిలిన విభజనపై ఒక సిద్ధాంతం ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: ద్విపద x ద్వారా f(x) యొక్క శేషం f(a)కి సమానం. ) టి.బి. 18వ శతాబ్దపు ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు దీనిని మొదట రూపొందించి నిరూపించిన పేరు పెట్టారు. బెజు. T.B నుండి కింది పరిణామాలు అనుసరిస్తాయి: 1) బహుపది f(x)ని x – aతో భాగించగలిగితే (శేషం లేకుండా), అప్పుడు a సంఖ్య f(x)కి మూలం; 2) a సంఖ్య బహుపది f(x) యొక్క మూలం అయితే, f(x) ద్విపద x – a ద్వారా భాగించబడుతుంది (మిగిలినవి లేకుండా); 3) ఒక బహుపది f(x) కనీసం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటే, ఈ బహుపదికి ఈ బహుపది యొక్క డిగ్రీ (మూలాల గుణకారం పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది) యొక్క డిగ్రీ వలె ఖచ్చితంగా అనేక మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. చేవా సిద్ధాంతం త్రిభుజం ABC యొక్క శీర్షాలను త్రిభుజం యొక్క సమతలంలో ఉన్న పాయింట్ Oతో అనుసంధానించే సరళ రేఖలు వరుసగా A' B' C' పాయింట్ల వద్ద వ్యతిరేక భుజాలను (లేదా వాటి పొడిగింపులను) కలుస్తుంటే, అప్పుడు సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: (* ) ఈ సందర్భంలో, విభాగాల నిష్పత్తి సానుకూలంగా పరిగణించబడుతుంది , ఈ విభాగాలు ఒకే దిశను కలిగి ఉంటే మరియు ప్రతికూలంగా - లేకపోతే.

T.Ch ఈ రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు: (ABC')*(BCA')*(CAB') = 1, ఇక్కడ (ABC') ఒక సాధారణ సంబంధం మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C'. మార్పిడి సిద్ధాంతం కూడా నిజం: త్రిభుజం యొక్క AB, BC మరియు CA భుజాలపై వరుసగా C', A', B' పాయింట్లు ఉన్నట్లయితే లేదా సమానత్వం (*) ఉండేలా వాటి పొడిగింపులు ఉంటే, అప్పుడు AA', BB' పంక్తులు మరియు CC' ఒకే బిందువు వద్ద లేదా సమాంతరంగా కలుస్తాయి (ఒక సరికాని బిందువు వద్ద కలుస్తాయి). AA', BB' మరియు CC' పంక్తులు, ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి మరియు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల గుండా వెళతాయి, వీటిని చెవీ లైన్లు లేదా చెవియన్స్ అంటారు.

T.Ch ప్రొజెక్టివ్ స్వభావం కలిగి ఉంటుంది. T.Ch మెనెలాస్ సిద్ధాంతానికి మెట్రిక్‌గా ద్వంద్వంగా ఉంటుంది.

T.Ch దీనిని నిరూపించిన ఇటాలియన్ జియోమీటర్ గియోవన్నీ సెవా పేరు పెట్టారు (1678). కొసైన్ సిద్ధాంతం 1. T.K. సమతల త్రికోణమితి - ఏ త్రిభుజంలోనైనా దాని రెండు భుజాల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం అనే ప్రకటన, వాటి మధ్య ఉన్న కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా ఈ భుజాల ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేయకుండా: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, ఇక్కడ a, b, c అనేది భుజాల త్రిభుజం యొక్క పొడవు, మరియు C అనేది a మరియు b భుజాల మధ్య కోణం. టి.కె. తరచుగా సమస్య పరిష్కారంలో ఉపయోగిస్తారు ప్రాథమిక జ్యామితిమరియు త్రికోణమితి 2. T.K. గోళాకార త్రిభుజం వైపు కోసం: గోళాకార త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు కొసైన్ దాని రెండు ఇతర భుజాల కొసైన్‌ల ఉత్పత్తితో పాటు వాటి మధ్య కోణం యొక్క కొసైన్ ద్వారా అదే భుజాల సైన్‌ల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది: కోసా = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క కోణం కోసం: ఒక గోళాకార త్రిభుజం యొక్క కోణం యొక్క కొసైన్, ఇతర రెండు కోణాల యొక్క కొసైన్‌ల ఉత్పత్తికి సమానం, వ్యతిరేక గుర్తుతో తీసుకోబడుతుంది, అలాగే ఇతర రెండు కోణాల యొక్క సైన్‌ల ఉత్పత్తి మొదటి కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న కొసైన్: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. యూలర్ సిద్ధాంతం 1. T.E. పోలికల సిద్ధాంతంలో (a, m)=1 అయితే, f(m) అనేది యూలర్ ఫంక్షన్ (పూర్ణాంకాల సంఖ్య సానుకూల సంఖ్యలు m నుండి coprime మరియు m మించకూడదు). 2. టి.ఇ. సున్నా జాతికి చెందిన ఏదైనా పాలిహెడ్రాన్‌కు ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుందని పాలీహెడ్రా పేర్కొంది: B + G – P = 2, ఇక్కడ B అనేది శీర్షాల సంఖ్య, G అనేది ముఖాల సంఖ్య, P అనేది పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అంచుల సంఖ్య.

అయినప్పటికీ, డెస్కార్టెస్ అటువంటి ఆధారపడటాన్ని మొదట గమనించాడు.

అందువల్ల టి.ఇ. పాలీహెడ్రాపై డెస్కార్టెస్-యూలర్ సిద్ధాంతం అని పిలవడం చారిత్రాత్మకంగా మరింత సరైనది.

B + G - P సంఖ్యను పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఆయిలర్ లక్షణం అంటారు.

T.E. క్లోజ్డ్ గ్రాఫ్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. థేల్స్ సిద్ధాంతం అనుపాత విభాగాల గురించి ప్రాథమిక జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతాలలో ఒకటి. కోణం యొక్క ఒక వైపు దాని శీర్షం నుండి సమాన విభాగాలు వరుసగా వేయబడి ఉంటే మరియు ఈ విభాగాల చివరల ద్వారా సమాంతర రేఖలు గీస్తే, రెండవ వైపున కూడా సమాన భాగాలు వేయబడతాయి. కోణం వైపు.

T.F యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. త్రిభుజం యొక్క మధ్యరేఖ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను వ్యక్తపరుస్తుంది. P. ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధాంత ప్రకటన xn + yn = zn (ఇక్కడ n అనేది రెండు కంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకం) ధనాత్మక పూర్ణాంకాలలో ఎటువంటి పరిష్కారాలు లేవు అని P. ఫెర్మాట్ యొక్క ప్రకటన ఉన్నప్పటికీ అతను B .F.Tని కనుగొనగలిగాడు అతను స్థలం లేకపోవడం వల్ల ఉదహరించలేదు (ఈ వ్యాఖ్యను డియోఫాంటస్ పుస్తకం యొక్క అంచులలో పి. ఫెర్మాట్ రాశారు), ఇటీవలి వరకు (90ల మధ్య) W.T.F. సాధారణ పరంగా ఇది నిరూపించబడలేదు. FERMA'S LITTLE Theorem మాడ్యూల్ m=p ప్రధాన సంఖ్య అయినప్పుడు ఆయిలర్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

ఎం.టి.ఎఫ్. ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: p ప్రధాన సంఖ్య అయితే, ap=a(mod p). a p ద్వారా భాగించబడనప్పుడు, M.T.F నుండి. అనుసరిస్తుంది: ap-1=1(mod p). ఎం.టి.ఎఫ్. ఫ్రెంచ్ శాస్త్రవేత్త పియరీ ఫెర్మాట్ కనుగొన్నారు. హోల్డర్ యొక్క అసమానత పరిమిత మొత్తాలకు ఇది రూపం: , లేదా సమగ్ర రూపంలో: , ఇక్కడ p > 1 మరియు. ఎన్.జి. తరచుగా గణిత విశ్లేషణలో ఉపయోగిస్తారు.

ఎన్.జి. లో కౌచీ యొక్క అసమానత యొక్క సాధారణీకరణ బీజగణిత రూపంమరియు సమగ్ర రూపంలో బున్యాకోవ్స్కీ యొక్క అసమానతలు, దీనిలో N.G. p = 2 వద్ద రివర్స్. కార్డానో ఫార్ములా క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను వ్యక్తీకరించే సూత్రం: x3+px+q=0 (*) దాని గుణకాల ద్వారా. ప్రతి క్యూబిక్ సమీకరణం ఫారమ్ (*)కి తగ్గించబడుతుంది. ఇలా వ్రాయబడింది: . మొదటి క్యూబిక్ రాడికల్ విలువను ఏకపక్షంగా ఎంచుకోవడం ద్వారా, మీరు రెండవ రాడికల్ విలువను ఎంచుకోవాలి (నుండి మూడు సాధ్యం), ఇది మొదటి రాడికల్ యొక్క ఎంచుకున్న విలువతో ఉత్పత్తిలో (-p/3) ఇస్తుంది. ఈ విధంగా మనం సమీకరణం (*) యొక్క మూడు మూలాలను పొందుతాము. F.K.: G. కార్డానో, N. టార్టాగ్లీ లేదా S. ఫెర్రో ఎవరికి చెందినదో ఇప్పటికీ స్పష్టంగా తెలియలేదు. ఎఫ్.కె. 16వ శతాబ్దానికి చెందినది. కౌచీ యొక్క అసమానత పరిమిత మొత్తాలను కలిగి ఉన్న అసమానత; చాలా ముఖ్యమైనది మరియు గణితశాస్త్రంలోని వివిధ రంగాలలో సాధారణంగా ఉపయోగించేది మరియు గణిత భౌతిక శాస్త్రంఅసమానత.

ఇది మొదటిసారిగా 1821లో కౌచీచే స్థాపించబడింది. N.K. యొక్క సమగ్ర అనలాగ్: రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు V.Ya చే స్థాపించబడింది. బున్యాకోవ్స్కీ. MENELUS సిద్ధాంతం ABC త్రిభుజం యొక్క భుజాలను లేదా C', A' మరియు B' బిందువుల వద్ద వాటి పొడిగింపులను ఒక పంక్తి ఖండిస్తే, ఈ క్రింది సంబంధం చెల్లుబాటు అవుతుంది: (*) రేఖ ప్రక్కను కలుస్తున్నట్లయితే, విభాగాల నిష్పత్తి సానుకూలంగా పరిగణించబడుతుంది. త్రిభుజం యొక్క, మరియు పంక్తి వైపు పొడిగింపును కలుస్తే ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

సంభాషణ వ్యక్తీకరణ కూడా నిజం: సమానత్వం (*) సంతృప్తి చెందితే, A, B, C త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు మరియు A', B', C' ఒకే సరళ రేఖపై ఉంటాయి.

ఒక సరళ రేఖలో A', B' మరియు C' అనే మూడు బిందువుల స్థానానికి T.Mని ఒక ప్రమాణం రూపంలో రూపొందించవచ్చు: 3 పాయింట్లు A', B' మరియు C' ఒకే సరళ రేఖలో ఉంటాయి, సంబంధం సంతృప్తి చెందడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది (*), ఇక్కడ A, B, C త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు మరియు A', B', C' వరుసగా BC, AC మరియు AB పంక్తులకు చెందినవి. T.M ఒక గోళాకార త్రిభుజం కోసం పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త మెనెలాస్ (1వ శతాబ్దం) చేత నిరూపించబడింది మరియు స్పష్టంగా, యూక్లిడ్ (3వ శతాబ్దం BC)కి తెలుసు. T.M అనేది మరింత సాధారణమైన కార్నాట్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. MINKOWSKI అసమానత సంఖ్యల p-th శక్తులకు అసమానత, రూపం కలిగి ఉంటుంది: , ఇక్కడ పూర్ణాంకం p>1 మరియు ak మరియు bk ప్రతికూల సంఖ్యలు.

ఎన్.ఎం. అనేది బాగా తెలిసిన "త్రిభుజ అసమానత" యొక్క సాధారణీకరణ, ఇది ఒక త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపు పొడవు దాని రెండు ఇతర భుజాల పొడవుల మొత్తం కంటే ఎక్కువ కాదని పేర్కొంది; n-డైమెన్షనల్ స్పేస్ కోసం, పాయింట్లు x=(x1, x2, …, xn) మరియు y=(y1, y2, …, yn) మధ్య దూరం N.M సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. 1896లో జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జి. మింకోవ్‌స్కీచే స్థాపించబడింది. MOHLWEIDE ఫార్ములాస్ ప్లేన్ త్రికోణమితి సూత్రాలు భుజాలు (వాటి పొడవులు) మరియు త్రిభుజం యొక్క కోణాల మధ్య క్రింది సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి: ; , ఇక్కడ a, b, c భుజాలు మరియు A, B, C అనేవి త్రిభుజం యొక్క కోణాలు.

ఎఫ్.ఎం. ఈ సూత్రాలు ఇతర గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు కూడా తెలిసినప్పటికీ, వాటిని ఉపయోగించిన జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు K. Molweide పేరు పెట్టారు. దాని నిబంధనలు.

బి.ఎన్. రూపాన్ని కలిగి ఉంది: , ఇక్కడ Cnk ద్విపద గుణకాలు, సంఖ్యకు సమానం k ద్వారా n మూలకాల కలయికలు, అనగా. లేదా. మేము వేర్వేరు n=0, 1, 2, … కోసం ద్విపద గుణకాలను వరుస పంక్తులలో వ్రాస్తే, మనం పాస్కల్ త్రిభుజానికి చేరుకుంటాము. ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య విషయంలో (మరియు కేవలం ప్రతికూల పూర్ణాంకం మాత్రమే కాదు) B.N. ద్విపద శ్రేణిలో సాధారణీకరించబడింది మరియు పదాల సంఖ్యను రెండు నుండి పెద్ద సంఖ్యకు పెంచే సందర్భంలో - బహుపది సిద్ధాంతం k పదాల మొత్తాన్ని (k>) పెంచడం కోసం న్యూటన్ ద్విపద సూత్రం యొక్క సాధారణీకరణ. 2) నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకం శక్తికి n: ​​, ఇక్కడ కుడి వైపున ఉన్న సమ్మషన్ నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకాల యొక్క అన్ని సాధ్యం సేకరణలకు విస్తరించింది, a1, a2, ..., ak, n వరకు జోడించడం. A(n)a1, a2, …,ak అనే గుణకాలు బహుపది అని పిలువబడతాయి మరియు ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి: k=2, బహుపది గుణకాలు ద్విపద గుణకాలుగా మారతాయి.

పోల్కే సిద్ధాంతం ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: ఏకపక్ష పొడవు యొక్క మూడు విభాగాలు ఒకే విమానంలో ఉంటాయి మరియు దీని నుండి వెలువడతాయి సాధారణ పాయింట్ఒకదానికొకటి ఏకపక్ష కోణాలలో, ఇలా తీసుకోవచ్చు సమాంతర ప్రొజెక్షన్ప్రాదేశిక ఆర్తోగోనల్ ఫ్రేమ్ i, j, k (|i| = |j| =|k|). ఈ సిద్ధాంతాన్ని జర్మన్ జియోమీటర్ K. పోల్కే (1860) రుజువు లేకుండా రూపొందించారు, ఆపై దాని ప్రాథమిక రుజువును అందించిన జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు G. స్క్వార్జ్ సాధారణీకరించారు.

పోల్కే-స్క్వార్ట్జ్ సిద్ధాంతాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: ఏదైనా నాన్-డెజెనరేట్ చతుర్భుజం దాని వికర్ణాలతో ఏదైనా ఒక టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క సమాంతర ప్రొజెక్షన్‌గా పరిగణించబడుతుంది.

టి.పి. గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉంది (దాని వికర్ణాలతో ఏదైనా చతుర్భుజం తీసుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఒక సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క చిత్రంగా) మరియు ఆక్సోనోమెట్రీ యొక్క ప్రధాన సిద్ధాంతాలలో ఒకటి టోలెమీ సిద్ధాంతం భుజాల మధ్య సంబంధాన్ని స్థాపించే ప్రాథమిక జ్యామితి సిద్ధాంతం. ఒక వృత్తంలో చెక్కబడిన చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు: ఏదైనా కుంభాకార చతుర్భుజం, ఒక వృత్తంలో చెక్కబడి, వికర్ణాల ఉత్పత్తి దాని వ్యతిరేక భుజాల ఉత్పత్తుల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: AC*BD = AB*CD + BC*AD మొదలైనవి. ఈ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించిన పురాతన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త క్లాడియస్ టోలెమీ పేరు పెట్టారు.

టి.పి. ప్రాథమిక జ్యామితిలో సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, సైన్‌ల సంకలనం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాన్ని రుజువు చేసినప్పుడు సింప్సన్ ఫార్ములా ఫార్ములా రెండింటితో బాడీల వాల్యూమ్‌లను లెక్కించడానికి సమాంతర స్థావరాలు: , ఇక్కడ QN అనేది దిగువ బేస్ యొక్క ప్రాంతం, Qв అనేది ఎగువ బేస్ యొక్క ప్రాంతం, Qс అనేది శరీరం యొక్క మధ్య విభాగం యొక్క ప్రాంతం. ఇక్కడ శరీరం యొక్క సగటు విభాగం అంటే విమానంతో శరీరం యొక్క ఖండన నుండి పొందిన బొమ్మ, విమానాలకు సమాంతరంగాస్థావరాలు మరియు ఈ విమానాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్నాయి.

h శరీరం యొక్క ఎత్తును సూచిస్తుంది. F.S నుండి ప్రత్యేక కేసుగా, మనకు అనేకం లభిస్తాయి ప్రసిద్ధ సూత్రాలుపాఠశాలలో అధ్యయనం చేసిన శరీరాల వాల్యూమ్‌లు ( కత్తిరించబడిన పిరమిడ్, సిలిండర్, గోళం మొదలైనవి). సైనెస్ సిద్ధాంతం ఒక ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క a, b, c భుజాలు మరియు ఈ భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాల సైన్స్ మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే ప్లేన్ త్రికోణమితి యొక్క సిద్ధాంతం: , ఇక్కడ R అనేది త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

గోళాకార త్రికోణమితి కోసం T.S. విశ్లేషణాత్మకంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడింది: స్టీవర్ట్ సిద్ధాంతం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: A, B, C త్రిభుజం యొక్క మూడు శీర్షాలు మరియు D అనేది BC వైపు ఏదైనా బిందువు అయితే, ఈ క్రింది సంబంధం కలిగి ఉంటుంది: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .WITH. ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు M. స్టీవర్ట్ పేరు పెట్టారు, అతను దానిని నిరూపించాడు మరియు "కొన్ని సాధారణ సిద్ధాంతాలు" (1746, ఎడిన్బర్గ్) పనిలో ప్రచురించాడు. ఈ సిద్ధాంతాన్ని స్టీవర్ట్‌కు అతని గురువు R. సిమ్సన్ చెప్పారు, అతను ఈ సిద్ధాంతాన్ని 1749లో మాత్రమే ప్రచురించాడు. T.S. త్రిభుజాల మధ్యస్థాలు మరియు ద్విభాగాలను కనుగొనడానికి ఉపయోగిస్తారు.

టాంజెంట్ థియరీమ్ (రీజియోమోంటన్ ఫార్ములా) త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల పొడవులు మరియు వాటికి ఎదురుగా ఉన్న కోణాల యొక్క సగం-మొత్తం మరియు సగం-వ్యత్యాసాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే ప్లేన్ త్రికోణమితి యొక్క సూత్రం. రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది: , ఇక్కడ a, b త్రిభుజం యొక్క భుజాలు, A, B అనేవి వరుసగా ఈ భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు. టి.టి. ఈ సూత్రాన్ని స్థాపించిన జర్మన్ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జోహన్నెస్ ముల్లర్ (లాటిన్ రెజియోమోంటనస్‌లో) తర్వాత రెజియోమోంటనస్ ఫార్ములా అని కూడా పిలుస్తారు. J. ముల్లర్‌ని "కోనిగ్స్‌బెర్గర్" అని పిలుస్తారు: జర్మన్‌లో కోనిగ్ ఈజ్ కింగ్, బెర్గ్ అనేది పర్వతం మరియు లాటిన్‌లో "కింగ్" మరియు "పర్వతం" జెనిటివ్ కేసు- రెజిస్ మరియు మోంటిస్.

అందువల్ల "రెజియోమోంటన్" అనేది I. ముల్లర్ యొక్క లాటినైజ్డ్ ఇంటిపేరు. " నిఘంటువుగణిత పదాలు", O.V. వాడిమ్సాఫ్ట్-బెస్ట్‌పై మంటురోవ్ సూత్రాలు మరియు సిద్ధాంతాలు. NAROD.RU.

అందుకున్న మెటీరియల్‌తో మేము ఏమి చేస్తాము:

ఈ విషయం మీకు ఉపయోగకరంగా ఉంటే, మీరు దీన్ని సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలోని మీ పేజీకి సేవ్ చేయవచ్చు:

సంఖ్యా శ్రేణికి పరిమితి ఉంటే, ఈ శ్రేణిలోని మూలకాలు దానిని వీలైనంత దగ్గరగా చేరుస్తాయని మనం ఇప్పటికే చూశాము. చాలా తక్కువ దూరం వద్ద కూడా, మీరు ఎల్లప్పుడూ రెండు అంశాలను కనుగొనవచ్చు, దీని దూరం మరింత తక్కువగా ఉంటుంది. దీనిని ఫండమెంటల్ సీక్వెన్స్ లేదా కౌచీ సీక్వెన్స్ అంటారు. ఈ క్రమానికి పరిమితి ఉందని చెప్పగలమా? న ఏర్పడితే

మనం ఒక భుజంతో సమానమైన చతురస్రాన్ని తీసుకుంటే, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి దాని వికర్ణాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు: $d^2=1^2+1^2=2$, అంటే, వికర్ణం విలువ సమానంగా ఉంటుంది. $\sqrt 2$ వరకు. ఇప్పుడు మనకు రెండు సంఖ్యలు ఉన్నాయి, 1 మరియు $\sqrt 2$, రెండు లైన్ సెగ్మెంట్ల ద్వారా సూచించబడతాయి. అయితే, మనం ఇంతకు ముందు చేసినట్లుగా, వారి మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరచుకోలేము. అసాధ్యం

పాయింట్ P ఎక్కడ ఉందో నిర్ణయించడం - నిర్దిష్ట ఫిగర్ లోపల లేదా వెలుపల - కొన్నిసార్లు చాలా సులభం, ఉదాహరణకు చిత్రంలో చూపిన బొమ్మ కోసం: అయినప్పటికీ, క్రింద చూపినది వంటి మరింత క్లిష్టమైన బొమ్మల కోసం, దీన్ని చేయడం చాలా కష్టం. . ఇది చేయుటకు, మీరు పెన్సిల్‌తో ఒక గీతను గీయాలి. అయితే, ఇలాంటి ప్రశ్నలకు సమాధానాలు వెతుకుతున్నప్పుడు, మనం ఒక సాధారణమైనదాన్ని ఉపయోగించవచ్చు,

ఇది సాధారణంగా ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించబడింది: 1 కాకుండా ప్రతి సహజ సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా లేదా ఇలా ప్రత్యేకంగా సూచించవచ్చు: ప్రతి సహజ సంఖ్యను వేర్వేరు ప్రధాన సంఖ్యల శక్తుల ఉత్పత్తిగా ప్రత్యేకంగా సూచించవచ్చు కానానికల్ అని పిలుస్తారు, ఇది ఎల్లప్పుడూ కానప్పటికీ, ప్రధాన కారకాలు ఈ విస్తరణలోకి ఆరోహణ క్రమంలో ప్రవేశిస్తాయి.

ఈ సిద్ధాంతం మిగిలిన శక్తులకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది మరియు ఇది సంఖ్య సిద్ధాంతం నుండి పూర్తిగా తీవ్రమైన సిద్ధాంతం మరియు పాఠశాల కోర్సులో చేర్చబడనప్పటికీ, దాని రుజువు సాధారణ పాఠశాల స్థాయిలో నిర్వహించబడుతుంది. ఇది వివిధ మార్గాల్లో నిర్వహించబడుతుంది మరియు సరళమైన రుజువులలో ఒకటి ద్విపద సూత్రం లేదా న్యూటన్ యొక్క ద్విపదపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

తరచుగా పద్దతి సాహిత్యంలో వైరుధ్యం ద్వారా రుజువుగా పరోక్ష సాక్ష్యం యొక్క అవగాహనను కనుగొనవచ్చు. నిజానికి, ఇది ఈ భావన యొక్క చాలా ఇరుకైన వివరణ. వైరుధ్యం ద్వారా రుజువు యొక్క పద్ధతి రుజువు యొక్క అత్యంత ప్రసిద్ధ పరోక్ష పద్ధతుల్లో ఒకటి, కానీ ఇది ఒకే ఒక్కదానికి దూరంగా ఉంది. రుజువు యొక్క ఇతర పరోక్ష పద్ధతులు, తరచుగా ఒక సహజమైన స్థాయిలో ఉపయోగించినప్పటికీ, చాలా అరుదుగా గ్రహించబడతాయి మరియు

తరచుగా ఉపాధ్యాయులు, వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగించి, దాదాపు తక్షణమే పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం మరియు కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేస్తారు. ఇది ఖచ్చితంగా ఉత్సాహం కలిగిస్తుంది. అయితే, వ్యాఖ్య అవసరం. సాంప్రదాయిక ప్రదర్శనలో, వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి యొక్క డిస్ట్రిబ్యూటివిటీ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం కంటే తరువాత నిరూపించబడింది, ఎందుకంటే ఈ రుజువులో రెండోది కనీసం పరోక్షంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ రుజువు యొక్క వైవిధ్యాలు సాధ్యమే. పాఠశాల జ్యామితి పాఠ్యపుస్తకాలలో, వంటి

ఈ సంవత్సరం జూన్‌లో, అద్భుతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఉపాధ్యాయుడు, ప్రకాశవంతమైన మరియు మనోహరమైన వ్యక్తి డిమిత్రి జెర్మనోవిచ్ వాన్ డెర్ ఫ్లాస్ (1962-2010) అకాల మరణం చెందారు. మా పాఠకులు ఈ పేరును ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు చూశారు - క్వాంట్ మ్యాగజైన్ తరచుగా అతని సమస్యలను ప్రచురించింది. డిమిత్రి జెర్మనోవిచ్ పెద్ద సైన్స్‌లో విజయవంతంగా పనిచేశాడు, కానీ ఇది అతని కార్యాచరణలో భాగం మాత్రమే. రెండవది గణిత ఒలింపియాడ్స్పాఠశాల పిల్లలు: అతను ఆల్-యూనియన్ యొక్క జ్యూరీలో పనిచేశాడు మరియు ఆల్-రష్యన్ ఒలింపియాడ్స్, మరియు ఇటీవలి సంవత్సరాలలో - అంతర్జాతీయ వాటిని. అతను వివిధ గణిత శిబిరాలు మరియు పాఠశాలల్లో ఉపన్యాసాలు ఇచ్చాడు మరియు అంతర్జాతీయ గణిత ఒలింపియాడ్‌లో మా జట్టు కోచ్‌లలో ఒకడు.

ఆల్-రష్యన్‌లో డి. వాన్ డెర్ ఫ్లాస్ ఇచ్చిన ఉపన్యాసం యొక్క రికార్డింగ్‌ను (కొద్దిగా సంక్షిప్తాలు మరియు రచయిత శైలిని సంరక్షించడం) మేము మీ దృష్టికి తీసుకువస్తాము పిల్లల కేంద్రం 2009లో "ఈగల్‌లెట్".

అటువంటి పురాతన సోఫిస్ట్ గోర్గియాస్ ఉన్నాడు. అతను మూడు సిద్ధాంతాలను రూపొందించడంలో ప్రసిద్ధి చెందాడు. మొదటి సిద్ధాంతం ఇలా ఉంటుంది: ప్రపంచంలో ఏదీ లేదు. రెండవ సిద్ధాంతం: మరియు ఏదైనా ఉనికిలో ఉంటే, అది మానవులకు తెలియదు. మూడవ సిద్ధాంతం: ఏదైనా తెలిసినప్పటికీ, అది ఒకరి పొరుగువారికి చెప్పలేనిది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఏమీ లేదు, మరియు ఏదైనా ఉంటే, దాని గురించి మనకు ఏమీ తెలియదు, మరియు మనం ఏదైనా కనుగొన్నప్పటికీ, మేము ఎవరికీ చెప్పలేము.

మరియు ఈ నాలుగు సిద్ధాంతాలు, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఆధునిక గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రధాన సమస్యలు.

గోర్గియాస్ యొక్క మొదటి సిద్ధాంతం

మొదటిదానితో ప్రారంభిద్దాం - ప్రపంచంలో ఏదీ లేదు, లేదా, గణితం యొక్క భాషలోకి అనువదించబడింది, గణితం అపారమయినది చేస్తుంది. ఒక రకంగా చెప్పాలంటే ఇది నిజం. అన్నింటికంటే, గణిత వస్తువులు ప్రపంచంలో లేవు. సరళమైన విషయం ఏమిటంటే, ఇవన్నీ ఎక్కడ మొదలవుతాయి మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అన్ని సమయాలలో ఏమి ఉపయోగిస్తున్నారు పూర్ణాంకాలు. సహజ సంఖ్యలు అంటే ఏమిటో మనందరికీ తెలుసు - అవి 1, 2, 3, 4 మరియు మొదలైనవి. మరియు మనమందరం "మరియు అందువలన న" అనే పదాల అర్థాన్ని అర్థం చేసుకున్న వాస్తవం పెద్ద రహస్యం. ఎందుకంటే "మరియు అందువలన న" అంటే "అనంతమైన అనేక" సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మన ప్రపంచంలో ఏదో అనంతమైన పరిమాణంలో ఉండటానికి స్థలం లేదు. కానీ సహజ సంఖ్యల గురించి ఆలోచించినప్పుడు, మనమందరం ఒకే విషయం గురించి ఆలోచిస్తామని మనందరికీ ఖచ్చితంగా తెలుసు. నా 7 తర్వాత 8 వచ్చినట్లయితే, మీ 7 తర్వాత 8 వస్తుంది. నా 19 ప్రధాన సంఖ్య అయితే, మీ 19 ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది. అందుకే? ఈ వస్తువు ప్రపంచంలో లేదని అనిపిస్తుంది, కానీ దాని గురించి మనకు తెలుసు మరియు మనందరికీ అదే విషయం గురించి తెలుసు. ఇది, వాస్తవానికి, గణిత సంబంధమైన చిక్కు కాదు, ఇది ఒక తాత్విక చిక్కు, మరియు తత్వవేత్తలు దీనిని చర్చించనివ్వండి. అదృష్టవశాత్తూ, మనకు ఇంకా ఒక ఆలోచన ఉంటే సరిపోతుంది గణిత వస్తువులుమరియు వారి గురించి ఆలోచించడం ప్రారంభించిన ప్రతి ఒక్కరికీ ఇది ఒకేలా ఉంటుంది. అందువలన గణితం సాధ్యమవుతుంది. కానీ పెద్దది తాత్విక సమస్యఅవశేషాలు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఆచారంగా, మీరు దీని గురించి తీవ్రంగా ఆలోచిస్తే, అంటే, దాని గురించి ఖచ్చితంగా ఆలోచించడానికి ప్రయత్నించండి, అప్పుడు సమస్యలు తలెత్తుతాయి, దాని గురించి నేను ఇప్పుడు మాట్లాడతాను. అవి మానవజాతి జ్ఞాపకార్థం ఇటీవల, అక్షరాలా గత వంద సంవత్సరాలలో ఉద్భవించాయి.

సహజ సంఖ్యలతో పాటు గణితంలో ఇంకా చాలా ఉన్నాయి. మా యూక్లిడియన్ విమానం ఉంది, దానిపై మేము అన్ని రకాల త్రిభుజాలు, కోణాలను గీస్తాము మరియు వాటి గురించి సిద్ధాంతాలను నిరూపిస్తాము. వాస్తవ సంఖ్యలు ఉన్నాయి, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఉన్నాయి, విధులు ఉన్నాయి, అంతకన్నా భయంకరమైనది ఉంది... ఎక్కడో 19-20 శతాబ్దాల ప్రారంభంలో, చాలా పని జరిగింది (ఇది ప్రారంభమైనప్పటికీ, కొద్దిగానే ఉంది. ఇంతకుముందు), మొత్తం వైవిధ్యమైన గణిత వస్తువులను సూత్రప్రాయంగా, ఒకే భావనకు తగ్గించవచ్చని ప్రజలు గ్రహించారు - సెట్ భావన. వాస్తవానికి, సెట్ అంటే ఏమిటి మరియు “మరియు మొదలైనవి” అంటే ఏమిటో మనకు స్పష్టమైన ఆలోచన ఉంటే, మనం ప్రాథమికంగా అన్ని గణితాలను నిర్మించగలము.

సమితి అంటే ఏమిటి? బాగా, ఇది ఏదో చాలా ఉంది. ప్రశ్న - మీరు సెట్లతో ఏమి చేయవచ్చు? మనకు ఒక రకమైన సెట్ ఉంటే, అది మనకు ఉందని అర్థం ఏమిటి? అంటే మన ప్రపంచంలోని ఏదైనా మూలకం గురించి, గణిత వస్తువుల ప్రపంచం, అది ఈ సెట్‌లో ఉందా లేదా అని అడగవచ్చు మరియు సమాధానం పొందవచ్చు. సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది, మన సంకల్పం నుండి పూర్తిగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. ఇది సెట్‌లతో మీరు చేయగలిగే మొదటి, ప్రాథమిక విషయం - ఒక మూలకం సెట్‌కు చెందినదో కాదో కనుగొనండి.

వాస్తవానికి, మేము ఇంకా ఈ సెట్‌లను ఎలాగైనా నిర్మించాలి. తద్వారా వాటి నుండి, చివరికి, గణిత వస్తువుల మొత్తం సంపద నిర్మించబడుతుంది. వాటిని ఎలా నిర్మించవచ్చు? మేము ఒక ఖాళీ సెట్‌ను నిర్మించగలము: Ø. మొదటిది, సరళమైనది. అతని గురించి మనకు ఏమి తెలుసు? ఇది ఈ సెట్‌కు చెందినదా లేదా అని మనం ఏ మూలకం అడిగినా, సమాధానం ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది - లేదు, ఇది చెందదు. మరియు దీని ద్వారా ఖాళీ సెట్ ఇప్పటికే ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడింది. దాని గురించిన అన్ని ప్రశ్నలకు తక్షణ సమాధానాలు లభిస్తాయి. హుర్రే!

ఇప్పుడు మనకు ఇప్పటికే ఈ ఖాళీ సెట్ ఉంది. మరియు ఖాళీ సెట్ తప్ప మరేమీ లేని సమితిని మనం నిర్మించవచ్చు: (Ø). మళ్ళీ, మనకు ఈ సెట్ ఉంది అంటే ఏమిటి? అంటే ఏదైనా మూలకం ఈ సెట్‌కు చెందినదా లేదా అని మనం అడగవచ్చు. మరియు ఈ మూలకం ఖాళీ సెట్ అయితే, సమాధానం "అవును" అవుతుంది. మరియు ఈ మూలకం ఏదైనా ఉంటే, అప్పుడు సమాధానం "లేదు" అవుతుంది. కాబట్టి, ఈ సెట్ కూడా ఇవ్వబడింది.

ఇక్కడే ఇదంతా మొదలవుతుంది. మీరు ఉపయోగించగల మరికొన్ని సహజమైన ఆపరేషన్‌లు ఉన్నాయి. మనకు రెండు సెట్లు ఉంటే, మనం వాటిని కలపవచ్చు. ఇప్పుడు ఒక సెట్ ఉంటుందని మేము చెప్పగలం, దీనిలో ఒకటి లేదా మరొక సెట్ నుండి అంశాలు ఉంటాయి. మళ్ళీ, ఒక మూలకం ఫలిత సమితికి చెందినదా లేదా అనే ప్రశ్నకు సమాధానం నిస్సందేహంగా ఉంది. దీని అర్థం మనం ఒక యూనియన్‌ను నిర్మించగలము. మరియు అందువలన న.

ఏదో ఒక సమయంలో మనం విడిగా ప్రకటించాలి, అన్నింటికంటే, మనకు ఒక రకమైన సెట్ ఉంది, దీనిలో అనంతమైన అనేక అంశాలు ఉన్నాయి. సహజ సంఖ్యలు ఉన్నాయని మాకు తెలుసు కాబట్టి, అనంతమైన సమితి ఉందని మేము నమ్ముతున్నాము. సహజ సంఖ్యల సమితి కూడా మాకు అందుబాటులో ఉందని మేము ప్రకటిస్తున్నాము. అనంతమైన సెట్ కనిపించిన వెంటనే, మీరు అన్ని రకాల ఇబ్బందుల్లోకి వెళ్లి మీకు కావలసినదాన్ని నిర్వచించవచ్చు. పూర్ణాంకాలను నిర్వచించవచ్చు. పూర్ణాంకం అనేది సున్నా లేదా సహజ సంఖ్య, మైనస్ గుర్తుతో లేదా లేకుండా. ఇవన్నీ (బహుశా నేను చెప్పినంత స్పష్టంగా ఉండకపోవచ్చు) సెట్ థియరీ భాషలో చేయవచ్చు.

హేతుబద్ధ సంఖ్యలను నిర్వచించవచ్చు. హేతుబద్ధ సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఇది రెండు సంఖ్యల జత - ఒక న్యూమరేటర్ మరియు ఒక (సున్నా కాని) హారం. మీరు వాటిని ఎలా జోడించాలో, వాటిని తమలో తాము ఎలా గుణించాలో నిర్ణయించుకోవాలి. మరియు అటువంటి జతలను ఒకే హేతుబద్ధ సంఖ్యగా పరిగణించినప్పుడు పరిస్థితులు ఏమిటి.

వాస్తవ సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఇక్కడ ఆసక్తికరమైన దశ. ఉదాహరణకు, ఇది అనంతం అని మీరు చెప్పవచ్చు దశాంశ. అది చాలా మంచి నిర్వచనం అవుతుంది. దీని అర్థం ఏమిటి - అనంతమైన దశాంశ భిన్నం? దీనర్థం మనకు ఒక రకమైన అనంతమైన సంఖ్యల శ్రేణి ఉంది, అనగా ప్రతి సహజ సంఖ్యకు మన వాస్తవ సంఖ్య యొక్క ఈ స్థానంలో ఏ సంఖ్య ఉందో మనకు తెలుసు. అటువంటి శ్రేణులన్నీ వాస్తవ సంఖ్యలను ఏర్పరుస్తాయి. మళ్ళీ, మేము వాటిని ఎలా జోడించాలో, వాటిని ఎలా గుణించాలి మొదలైనవాటిని నిర్ణయించవచ్చు.

మార్గం ద్వారా, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వాస్తవ సంఖ్యలను ఎలా నిర్వచించడానికి ఇష్టపడతారు, కానీ ఎలా. అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలను తీసుకుందాం - మన దగ్గర అవి ఇప్పటికే ఉన్నాయి. ఇప్పుడు వాస్తవ సంఖ్య దాని కంటే ఖచ్చితంగా తక్కువగా ఉన్న హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి అని ప్రకటించండి. ఇది చాలా గమ్మత్తైన నిర్వచనం. నిజానికి, ఇది మునుపటి దానితో సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, మనకు వాస్తవ సంఖ్య 3.1415926 ఉంటే... (అనుసరించే అంతులేని సంఖ్యల గొలుసు ఉంది, ఇది నాకు హృదయపూర్వకంగా తెలియదు), ఉదాహరణకు, దాని కంటే చిన్న హేతుబద్ధ సంఖ్యలు ఏమిటి? రెండవ దశాంశ స్థానంలో భిన్నాన్ని కత్తిరించండి. మేము 3.14 సంఖ్యను పొందుతాము, అది మాది కంటే తక్కువ. నాల్గవ దశాంశ స్థానం వద్ద భిన్నాన్ని కత్తిరించండి - మనకు 3.1415 వస్తుంది, ఇది మన కంటే చిన్నది. అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలు మన సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఈ సంఖ్య ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడుతుందని స్పష్టమవుతుంది. మూర్తి 1లో ఉన్నటువంటి చిత్రాన్ని మీరు స్పష్టంగా ఊహించవచ్చు. సరళ రేఖ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు, వాటిలో మనకు తెలియనిది ఎక్కడో ఉంది మరియు దాని ఎడమ వైపున దాని కంటే చిన్నవిగా ఉండే అనేక హేతుబద్ధ సంఖ్యలు ఉన్నాయి. అన్ని ఇతర హేతుబద్ధమైనవి, తదనుగుణంగా, దాని కంటే గొప్పవిగా ఉంటాయి. ఈ రెండు హేతుబద్ధ సంఖ్యల సెట్ల మధ్య ఒకే గ్యాప్ ఉందని అకారణంగా స్పష్టంగా ఉంది మరియు మేము ఈ అంతరాన్ని వాస్తవ సంఖ్య అని పిలుస్తాము. సమితి అనే కాన్సెప్ట్‌తో మొదలుపెట్టి, గణిత శాస్త్రాలన్నీ కొద్దికొద్దిగా ఎలా విప్పుతాయి అనేదానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

ఇది ఎందుకు అవసరం? ఆచరణలో, ఎవరూ దీనిని ఉపయోగించరని స్పష్టమవుతుంది. గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ యొక్క విధులను అధ్యయనం చేసినప్పుడు, సంక్లిష్ట సంఖ్య వాస్తవాల జత అని, నిజమైన అనంతమైన హేతుబద్ధమైన సమితి అని, హేతుబద్ధం అనేది పూర్ణాంకాల జత అని మరియు అలా అని అతను ప్రతిసారీ గుర్తుంచుకోడు. పై. ఇది ఇప్పటికే పూర్తిగా ఏర్పడిన వస్తువులతో పనిచేస్తుంది. కానీ సూత్రప్రాయంగా, ప్రతిదీ చాలా ప్రాథమిక అంశాలకు వర్ణించవచ్చు. ఇది చాలా పొడవుగా మరియు చదవలేనిదిగా ఉంటుంది, అయితే ఇది సూత్రప్రాయంగా సాధ్యమవుతుంది.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు తర్వాత ఏమి చేస్తారు? వారు ఈ వస్తువుల యొక్క విభిన్న లక్షణాలను రుజువు చేస్తారు. ఏదైనా నిరూపించడానికి, మీరు ఇప్పటికే ఏదైనా తెలుసుకోవాలి, ఈ అన్ని వస్తువుల యొక్క కొన్ని ప్రారంభ లక్షణాలు. ఇంకా ఏమిటంటే, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఏ ప్రారంభ లక్షణాలతో ప్రారంభించాలనే దానిపై పూర్తి ఒప్పందంలో ఉండాలి. తద్వారా ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పొందిన ఏదైనా ఫలితాన్ని మిగతా వారందరూ అంగీకరించారు.

మీరు ఈ ప్రారంభ లక్షణాలలో చాలా వరకు వ్రాయవచ్చు - వాటిని సిద్ధాంతాలు అంటారు - ఆపై మరింత సంక్లిష్టమైన గణిత వస్తువుల యొక్క అన్ని ఇతర లక్షణాలను నిరూపించడానికి వాటిని ఉపయోగించండి. కానీ ఇప్పుడు సహజ సంఖ్యలతో ఇబ్బందులు మొదలయ్యాయి. సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి మరియు అవి నిజమని మేము అకారణంగా భావిస్తున్నాము, అయితే ఈ సిద్ధాంతాల నుండి ఉద్భవించలేని సహజ సంఖ్యల గురించి ప్రకటనలు ఉన్నాయని తేలింది, అయితే అవి నిజం. సహజ సంఖ్యలు ఒక నిర్దిష్ట ఆస్తిని సంతృప్తిపరుస్తాయని చెప్పండి, కానీ ప్రాథమికంగా ఆమోదించబడిన ఆ సిద్ధాంతాల నుండి దానిని పొందలేము.

ప్రశ్న వెంటనే తలెత్తుతుంది: సహజ సంఖ్యలకు ఈ ఆస్తి సరైనదని మనకు ఎలా తెలుసు? దాన్ని తీసుకుని ఇలా నిరూపించలేకపోతే ఎలా? కష్టమైన ప్రశ్న. ఇది ఇలాంటిదే అవుతుంది. మీరు సహజ సంఖ్యల సిద్ధాంతాలతో మాత్రమే చేస్తే, సూత్రప్రాయంగా అనేక విషయాల గురించి మాట్లాడటం కూడా అసాధ్యం. ఉదాహరణకు, సహజ సంఖ్యల యొక్క ఏకపక్ష అనంతమైన ఉపసమితుల గురించి మాట్లాడటం అసాధ్యం. ఏది ఏమయినప్పటికీ, అది ఏమిటో ప్రజలకు ఒక ఆలోచన ఉంది మరియు సూత్రప్రాయంగా ఈ ఉపసమితులను ఏ లక్షణాలు నిర్వచించాలో అకారణంగా అర్థం చేసుకుంటారు. అందువల్ల, సిద్ధాంతాల నుండి తీసివేయలేని సహజ సంఖ్యల యొక్క కొన్ని లక్షణాల గురించి, అవి నిజమని ప్రజలు తెలుసుకోగలరు. కాబట్టి, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కర్ట్ గోడెల్, స్పష్టంగా, సహజ సంఖ్యల యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాన్ని స్పష్టంగా చూపించిన మొదటి వ్యక్తి అకారణంగా నిజం (అంటే, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఇది నిజమని అభ్యంతరం చెప్పరు), కానీ అదే సమయంలో ఇది అప్పుడు ఆమోదించబడిన సహజ సంఖ్యల సిద్ధాంతాల నుండి తీసివేయబడదు.

పాక్షికంగా, మరియు నిజానికి చాలా చాలా వరకు(గణితంలోని చాలా ప్రాంతాలకు సరిపోతుంది), ఈ సమస్య అన్నింటినీ జాగ్రత్తగా సెట్‌లకు తగ్గించడం ద్వారా మరియు అకారణంగా స్పష్టంగా కనిపించే సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క నిర్దిష్ట సెట్‌లను వ్రాయడం ద్వారా పరిష్కరించబడింది మరియు సాధారణంగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే ఈ సిద్ధాంతాల యొక్క ఖచ్చితత్వం వివాదాస్పదంగా లేదు. .

ఏకీకరణ సిద్ధాంతం అనుకుందాం. మనకు కొన్ని సెట్‌ల సెట్ ఉంటే, అప్పుడు మనం ఇలా చెప్పవచ్చు: ఈ సెట్‌ల నుండి ఈ సెట్‌లలోని అన్ని అంశాలను కలిగి ఉన్న సమితిని ఏర్పరుద్దాం. అటువంటి సమితి ఉనికికి సహేతుకమైన అభ్యంతరం లేదు. మరింత మోసపూరిత సిద్ధాంతాలు కూడా ఉన్నాయి, వీటితో కొంచెం ఎక్కువ సమస్యలు ఉన్నాయి. మేము ఇప్పుడు సెట్ థియరీలో మూడు గమ్మత్తైన సిద్ధాంతాలను పరిశీలిస్తాము, వాటి గురించి సూత్రప్రాయంగా సందేహాలు తలెత్తవచ్చు.

ఉదాహరణకు, అటువంటి సిద్ధాంతం ఉంది. మనకు చాలా మూలకాలు ఉన్నాయని చెప్పండి మరియు వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈ మూలకంపై ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క విలువను ప్రత్యేకంగా గుర్తించగలమని చెప్పండి. ఈ సెట్‌లోని ప్రతి మూలకానికి మనం ఈ ఫంక్షన్‌ని వర్తింపజేయవచ్చని సిద్ధాంతం చెబుతోంది మరియు బయటకు వచ్చినది మళ్లీ సమితిని ఏర్పరుస్తుంది (Fig. 2). సరళమైన ఉదాహరణ: xని x 2కి మార్చే ఒక ఫంక్షన్, దానిని ఎలా లెక్కించాలో మాకు తెలుసు. మనం కొన్ని సహజ సంఖ్యల సమితిని కలిగి ఉన్నట్లయితే, వాటిని ఒక్కొక్కటి వర్గీకరించవచ్చు. ఫలితం మళ్లీ సహజ సంఖ్యల సమితిగా ఉంటుంది. అటువంటి సహజమైన స్పష్టమైన సిద్ధాంతం, మీరు అంగీకరించలేదా? కానీ సమస్య ఏమిటంటే, ఈ విధులు చాలా క్లిష్టమైన రీతిలో నిర్వచించబడతాయి, సెట్లు చాలా పెద్దవిగా ఉంటాయి. అటువంటి పరిస్థితి కూడా ఉంది: మా ఫంక్షన్ ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడిందని ఎలా నిరూపించాలో మాకు తెలుసు, కానీ మనం లెక్కించవచ్చు నిర్దిష్ట అర్థంసెట్ యొక్క ప్రతి మూలకం కోసం ఈ ఫంక్షన్ చాలా కష్టం లేదా అనంతమైన కష్టం. ఖచ్చితంగా కొంత సమాధానం ఉందని మనకు తెలిసినప్పటికీ, అది నిస్సందేహంగా ఉంది. అటువంటి సంక్లిష్ట పరిస్థితులలో కూడా, ఈ సిద్ధాంతం ఇప్పటికీ వర్తించదగినదిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు ఈ సాధారణ రూపంలోనే ఇది సమితి సిద్ధాంతంలో సమస్యల మూలాల్లో ఒకటిగా పనిచేస్తుంది.

రెండవ సిద్ధాంతం, ఇది ఒక వైపు స్పష్టంగా ఉంటుంది, కానీ మరోవైపు, సమస్యలను తెస్తుంది, ఇది ఇచ్చిన సెట్ యొక్క అన్ని ఉపసమితులను తీసుకునే సిద్ధాంతం. మన దగ్గర ఏదో ఒక రకమైన సెట్ ఉంటే, ఇచ్చిన దానిలోని అన్ని సబ్‌సెట్‌లతో కూడిన సెట్ కూడా ఉందని ఆమె చెప్పింది. పరిమిత సెట్ల కోసం, ఇది స్పష్టంగా ఉంటుంది. మనకు పరిమితమైన సెట్ ఉంటే ఎన్మూలకాలు, అప్పుడు అది కేవలం 2 ఉపసమితులను కలిగి ఉంటుంది ఎన్. సూత్రప్రాయంగా, మనం చాలా సోమరితనం కానట్లయితే వాటిని కూడా వ్రాయవచ్చు. సరళమైన అనంతమైన సెట్‌తో కూడా మాకు ఎటువంటి సమస్యలు లేవు. చూడండి: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 మొదలైన సహజ సంఖ్యల సమితిని తీసుకుందాం. సహజ సంఖ్యల సమితి యొక్క అన్ని ఉపసమితుల కుటుంబం ఉనికిలో ఉందని మనకు ఎందుకు స్పష్టంగా ఉంది? ఎందుకంటే ఈ అంశాలు ఏమిటో మనకు తెలుసు. సహజ సంఖ్యల ఉపసమితిని మీరు ఎలా ఊహించగలరు? మనం తీసుకునే మూలకాలకు ఒకటి, తీసుకోని వాటికి సున్నాలు మొదలైనవాటిని వేద్దాం. ఇది అనంతమైన బైనరీ భిన్నం (Fig. 3) అని మీరు ఊహించవచ్చు. చిన్న సర్దుబాట్ల వరకు (కొన్ని సంఖ్యలను రెండు వేర్వేరు అనంతమైన బైనరీ భిన్నాల ద్వారా సూచించవచ్చు), వాస్తవ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యల ఉపసమితుల మాదిరిగానే ఉంటాయి. మరియు ప్రతిదీ వాస్తవ సంఖ్యలతో క్రమంలో ఉందని అకారణంగా మనకు తెలుసు కాబట్టి, అవి ఉనికిలో ఉన్నాయి, అవి దృశ్యమానంగా నిరంతర రేఖగా సూచించబడతాయి, అప్పుడు ఈ స్థలంలో ప్రతిదీ ఇచ్చిన సెట్ యొక్క అన్ని ఉపసమితుల సమితి గురించి మన సిద్ధాంతానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఇంకా ఆలోచిస్తే కొంచెం భయంగా ఉంటుంది. ఏదేమైనా, గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సిద్ధాంతం ఎల్లప్పుడూ నిజమని నమ్ముతారు: మనకు ఒక సెట్ ఉంటే, దాని అన్ని ఉపసమితుల సమితి ఉంటుంది. లేకపోతే కొన్ని నిర్మాణాలు చేయడం చాలా కష్టం.

మరియు చాలా సమస్యలు ఉన్న మరో సిద్ధాంతం, ఎందుకంటే మొదట వారు దానిని విశ్వసించలేదు. బహుశా మీరు దాని పేరు కూడా విన్నారు - ఎంపిక సూత్రం. దీనిని అనేక రకాలుగా చెప్పవచ్చు, కొన్ని చాలా క్లిష్టమైనవి, కొన్ని చాలా సరళమైనవి. నేను ఇప్పుడు మీకు ఉత్తమమైనదాన్ని చెబుతాను దృశ్య మార్గంఎంపిక యొక్క సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించండి, అందులో ఇది నిజమని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మాకు కొన్ని సెట్ల సమితిని కలిగి ఉండండి. వాస్తవానికి అవి ఒకదానితో ఒకటి కలుస్తాయి, కానీ ఇది పట్టింపు లేదు - సరళత కొరకు, వాటిని ఇంకా కలుస్తాయి. అప్పుడు మనం ఈ అన్ని సెట్ల ఉత్పత్తిని నిర్మించవచ్చు. దీని అర్థం ఏమిటి? ఈ పని యొక్క అంశాలు ఈ విషయాలుగా ఉంటాయి - మేము ఒక్కొక్కటి నుండి ఒక మూలకాన్ని తీసుకుంటాము మరియు వాటి నుండి ఒక సెట్‌ను ఏర్పరుస్తాము (Fig. 4). సెట్ నుండి ఒక మూలకాన్ని ఎంచుకోవడానికి ప్రతి మార్గం ఈ సెట్‌ల ఉత్పత్తి యొక్క మూలకాన్ని ఇస్తుంది.

అయితే, ఈ సెట్‌లలో ఎంచుకోవడానికి ఏమీ లేని ఖాళీ ఒకటి ఉంటే, అప్పుడు వాటన్నింటి యొక్క ఉత్పత్తి కూడా ఖాళీగా ఉంటుంది. మరియు ఎంపిక యొక్క సూత్రం పూర్తిగా స్పష్టమైన వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తుంది - ఈ సెట్‌లన్నీ ఖాళీగా లేకుంటే, ఉత్పత్తి కూడా ఖాళీగా ఉండదు. వాస్తవం స్పష్టంగా ఉందని మీరు అంగీకరిస్తారా? మరియు ఇది, స్పష్టంగా, చివరికి, ఎంపిక యొక్క సూత్రం వాస్తవానికి నిజం అనేదానికి అనుకూలంగా ఉన్న బలమైన వాదనలలో ఒకటిగా పనిచేసింది. ఇతర సూత్రీకరణలలో, ఎంపిక యొక్క సూత్రం ఇందులో వలె స్పష్టంగా కనిపించదు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు తమ ప్రకటనలను ఎలా రుజువు చేస్తారనే పరిశీలనలు, అన్ని గణితాలను సెట్ థియరీ భాషలోకి అనువదించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాయి, చాలా చోట్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని గమనించకుండానే ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తున్నారని తేలింది. ఇది గమనించిన వెంటనే, దానిని ప్రత్యేక ప్రకటనగా విభజించాల్సిన అవసరం ఉందని వెంటనే స్పష్టమైంది - మేము దానిని ఉపయోగిస్తున్నాము కాబట్టి, మేము దానిని ఎక్కడి నుండి తీసుకోవాలి. గాని మనం దానిని నిరూపించాలి, లేదా ఇది మనం ఒక సూత్రప్రాయంగా భావించే మరియు ఉపయోగించడానికి అనుమతించే ప్రాథమిక స్పష్టమైన వాస్తవం అని ప్రకటించాలి. ఇది నిజంగా ప్రాథమిక వాస్తవం అని, అన్ని ఇతర వాస్తవాలను మాత్రమే ఉపయోగించి నిరూపించడం అసాధ్యమని, దానిని తిరస్కరించడం కూడా అసాధ్యమని, అందువల్ల, మనం దానిని అంగీకరించినట్లయితే, దానిని ఒక సిద్ధాంతంగా అంగీకరించండి. మరియు, వాస్తవానికి, ఇది అంగీకరించబడాలి, ఎందుకంటే ఈ రూపంలో ఇది నిజంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది.

ఇక్కడే అవి పుట్టుకొచ్చాయి పెద్ద సమస్యలు, ఎందుకంటే ఈ వాస్తవం స్పష్టంగా రూపొందించబడిన వెంటనే మరియు "మేము దానిని ఉపయోగిస్తాము" అని వారు చెప్పిన వెంటనే గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దానిని ఉపయోగించటానికి పరుగెత్తారు మరియు దానిని ఉపయోగించి, పెద్ద సంఖ్యలో పూర్తిగా అకారణంగా స్పష్టమైన ప్రకటనలను నిరూపించారు. అంతేకాక, అకారణంగా తప్పుగా అనిపించే ప్రకటనలు కూడా.

ఇదిగో ఒకటి స్పష్టమైన ఉదాహరణఅటువంటి ప్రకటన, ఎంపిక యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిరూపించబడింది: మీరు ఒక బంతిని తీసుకోవచ్చు, దానిని అనేక ముక్కలుగా విభజించి, ఈ ముక్కల నుండి సరిగ్గా అదే బంతులను జోడించవచ్చు. ఇక్కడ "అనేక ముక్కలుగా విభజించు" అంటే ఏమిటి, 7 చెప్పండి? అంటే ఒక్కో పాయింట్‌కి ఈ ఏడు ముక్కల్లో ఏది పడుతుందో చెబుతాం. కానీ ఇది కత్తితో బంతిని కత్తిరించడం లాంటిది కాదు - ఇది చాలా కష్టంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఇక్కడ ఊహించడం కష్టం, కానీ బంతిని రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించే మార్గాన్ని సులభంగా వివరించారు. అన్ని హేతుబద్ధమైన కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉన్న అన్ని పాయింట్లను ఒక ముక్కలో తీసుకుందాం, మరియు మరొక ముక్కలో - అహేతుక కోఆర్డినేట్ ఉన్న అన్ని పాయింట్లను తీసుకుందాం. ప్రతి పాయింట్‌కి అది ఏ ముక్కల్లోకి పడిందో మనకు తెలుసు, అంటే ఇది బంతిని రెండు ముక్కలుగా విభజించడం. కానీ దీన్ని స్పష్టంగా ఊహించడం చాలా కష్టం. ఈ ముక్కల్లో ఒక్కొక్కటి, దూరం నుండి చూస్తే, మొత్తం బంతిలా కనిపిస్తుంది. ఈ ముక్కలలో ఒకటి చాలా చిన్నదిగా ఉన్నప్పటికీ, మరొకటి చాలా పెద్దదిగా ఉంటుంది. కాబట్టి, బంతిని 7 ముక్కలుగా కట్ చేసి, ఆపై ఈ ముక్కలను కొద్దిగా తరలించవచ్చు (అవి అంతరిక్షంలోకి తరలించబడతాయి, ఏ విధంగానూ వక్రీకరించకుండా, వంగకుండా) ఎంపిక యొక్క సిద్ధాంతం సహాయంతో వారు నిరూపించారు. మళ్లీ కలిసి తద్వారా మీరు రెండు బంతులను పొందుతారు, ఇది చాలా ప్రారంభంలో ఉన్నట్లే. ఈ ప్రకటన, నిరూపించబడినప్పటికీ, ఏదో ఒకవిధంగా క్రూరంగా అనిపిస్తుంది. అయితే, దానిని పూర్తిగా వదిలివేయడం కంటే ఎంపిక యొక్క సిద్ధాంతం యొక్క అటువంటి పరిణామాలతో ఒప్పందానికి రావడం మంచిదని వారు చివరకు గ్రహించారు. వేరే మార్గం లేదు: గాని మేము ఎంపిక యొక్క సిద్ధాంతాన్ని వదిలివేస్తాము, ఆపై మేము దానిని ఎక్కడా ఉపయోగించలేము మరియు చాలా ముఖ్యమైన, అందమైన మరియు సహజమైన గణిత ఫలితాలు నిరూపించలేనివిగా మారతాయి. మేము దానిని తీసుకుంటాము - ఫలితాలు సులభంగా నిరూపించబడతాయి, కానీ అదే సమయంలో మనకు అలాంటి విచిత్రాలు లభిస్తాయి. కానీ ప్రజలు చాలా విషయాలకు అలవాటు పడతారు మరియు వారు కూడా ఈ విచిత్రాలకు అలవాటు పడ్డారు. సాధారణంగా, ఇప్పుడు ఎంపిక సూత్రంతో ఎటువంటి సమస్యలు లేవు.

సెట్ థియరీ కోసం మనకు సిద్ధాంతాల సమితి ఉందని, మన గణితం ఉందని తేలింది. మరియు ఎక్కువ లేదా తక్కువ గణితంలో ప్రజలు చేయగల ప్రతిదాన్ని సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క భాషలో వ్యక్తీకరించవచ్చు. కానీ ఇక్కడ గోడెల్ అంకగణితంలో కనుగొన్న అదే సమస్య తలెత్తుతుంది. మన సమితుల ప్రపంచాన్ని (ఇది అన్ని గణిత శాస్త్రాల ప్రపంచం) వివరించే నిర్దిష్టమైన సమృద్ధమైన సిద్ధాంతాలను కలిగి ఉంటే, అవి నిజమో కాదో తెలుసుకోవడానికి మనకు మార్గం లేని ప్రకటనలు ఖచ్చితంగా ఉంటాయి. ఈ సిద్ధాంతాల నుండి మేము నిరూపించలేని ప్రకటనలు మరియు మేము కూడా తిరస్కరించలేము. సెట్ థియరీ బాగా అభివృద్ధి చెందుతోంది మరియు ఇప్పుడు ఇది ఈ సమస్యకు దగ్గరగా ఉంది: కొన్ని ప్రశ్నలు చాలా సహజంగా అనిపించే పరిస్థితిని మనం తరచుగా ఎదుర్కోవలసి ఉంటుంది, మేము వాటికి సమాధానం పొందాలనుకుంటున్నాము, కానీ మనకు ఎప్పటికీ తెలియదని నిరూపించబడింది సమాధానం, ఎందుకంటే ఆ సమాధానం మరియు ఇతర సమాధానాలు రెండూ సిద్ధాంతాల నుండి తీసివేయబడవు.

ఏం చేయాలి? సెట్ థియరీలో వారు ఏదో ఒకవిధంగా దీనితో పోరాడటానికి ప్రయత్నిస్తారు, అనగా, వారు కొత్త సిద్ధాంతాలతో ముందుకు రావడానికి ప్రయత్నిస్తారు, కొన్ని కారణాల వలన ఇప్పటికీ జోడించబడవచ్చు. అయినప్పటికీ, మానవాళికి అకారణంగా స్పష్టంగా కనిపించే ప్రతిదీ ఇప్పటికే 20 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో అభివృద్ధి చేయబడిన సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతాలకు తగ్గించబడింది. మరియు ఇప్పుడు మీరు ఇంకా ఏదో కోరుకుంటున్నారని తేలింది. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వారి అంతర్ దృష్టికి మరింత శిక్షణ ఇస్తారు, తద్వారా కొన్ని కొత్త ప్రకటనలు కొన్ని కారణాల వల్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరికీ అకస్మాత్తుగా స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి, ఆపై ఈ ప్రశ్నలలో కొన్నింటికి వారి సహాయంతో సమాధానాలు లభిస్తాయనే ఆశతో వాటిని కొత్త సిద్ధాంతాలుగా అంగీకరించవచ్చు.

వాస్తవానికి, ఇవన్నీ ఎలా జరుగుతాయో నేను మీకు చెప్పలేను, చాలా క్లిష్టమైన స్టేట్‌మెంట్‌లు ఉన్నాయి మరియు మీరు సెట్ థియరీని చాలా లోతుగా పరిశోధించాలి, మొదట, వారు ఏమి చెబుతున్నారో అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు రెండవది, ఈ ప్రకటనలు చేయగలవని అర్థం చేసుకోవడానికి నిజానికి అకారణంగా స్పష్టంగా పరిగణించబడుతుంది మరియు సిద్ధాంతాలుగా పరిగణించబడుతుంది. గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అత్యంత రహస్యమైన ప్రాంతాలలో ఇది ఇప్పుడు వ్యవహరిస్తున్నది - సెట్ సిద్ధాంతం.

గోర్గియాస్ రెండవ సిద్ధాంతం

గోర్గియాస్ యొక్క రెండవ సిద్ధాంతం ఇలా ఉంటుంది: ఏదైనా ఉనికిలో ఉంటే, అది మానవులకు తెలియదు. ఇప్పుడు నేను ఈ వర్గంలోకి వచ్చే ప్రకటనల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను చూపుతాను.

సెట్ థియరీతో సమస్య ఉంది, ఇలాంటి ప్రశ్నలను అడిగే హక్కు కూడా మనకు ఉందా: “ఎంపిక సిద్ధాంతం నిజమేనా?” మేము వైరుధ్యాలలోకి ప్రవేశించకుండా గణితాన్ని చేయాలనుకుంటే, మేము సూత్రప్రాయంగా, ఎంపిక యొక్క సిద్ధాంతాన్ని అంగీకరించవచ్చు మరియు అది నిజం కాదని అంగీకరించవచ్చు. రెండు సందర్భాల్లో, మేము గణితాన్ని అభివృద్ధి చేయగలము, ఒక సందర్భంలో కొన్ని ఫలితాలను పొందగలుగుతాము, మరొకటి మరొకటి, కానీ మేము ఎప్పటికీ వైరుధ్యానికి రాలేము.

కానీ ఇప్పుడు పరిస్థితి వేరు. స్పష్టంగా, ఫలితాలు ఉన్నాయి, వాటికి సమాధానం స్పష్టంగా ఉంది మరియు స్పష్టంగా అది స్పష్టంగా నిర్వచించబడింది, కానీ మానవత్వం ఎప్పటికీ తెలియకపోవచ్చు. సరళమైన ఉదాహరణ అని పిలవబడేది (3 ఎన్+ 1) నేను ఇప్పుడు మాట్లాడబోయే సమస్య. ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకుందాం. అది సమానంగా ఉంటే, దానిని సగానికి విభజించండి. మరియు అది బేసిగా ఉంటే, దానిని 3 ద్వారా గుణించి, 1 జోడించండి. ఫలిత సంఖ్యతో మేము అదే చేస్తాము మరియు మొదలైనవి. ఉదాహరణకు, మేము మూడుతో ప్రారంభిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

మేము ఏడుతో ప్రారంభిస్తే, ప్రక్రియ కొంచెం ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. ఇప్పటికే కొన్ని చిన్న సంఖ్యలతో ప్రారంభించి, ఈ గొలుసు చాలా పొడవుగా మారవచ్చు, కానీ అన్ని సమయాలలో ఇది ఒకదానితో ముగుస్తుంది. మనం ఏ సంఖ్యతో ప్రారంభించినా, అటువంటి గొలుసును నిర్మించినట్లయితే, మనం ఎల్లప్పుడూ 1కి చేరుకుంటామని ఒక పరికల్పన ఉంది. ఇది ఏమిటి (3 ఎన్+ 1)-సమస్య - ఈ పరికల్పన సరైనదేనా?

ప్రస్తుత గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరూ అది నిజమని నమ్ముతున్నట్లు నాకనిపిస్తుంది. మరియు చాలా నిర్లక్ష్యంగా ఉన్న కొందరు దానిని నిరూపించడానికి కూడా ప్రయత్నిస్తారు. కానీ ఎవరికీ ఏదీ ఫలించలేదు. మరియు ఇది చాలా దశాబ్దాలుగా బయటకు రాలేదు. కాబట్టి ఇది ఆకర్షణీయమైన సవాళ్లలో ఒకటి. తీవ్రమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, వాస్తవానికి, దానిని తక్కువగా చూస్తారు - కేవలం ఒక ఆహ్లాదకరమైన పజిల్ వలె. అక్కడ ఏం ఉంటుందో, ఎవరు ఏం చేస్తారో తెలియాల్సి ఉంది. కానీ సీరియస్ కాని గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఇప్పటికీ పరికల్పన నిజమా కాదా అనే దానిపై ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నారు. మరియు అది నిరూపించబడే వరకు, ఖచ్చితంగా ఏదైనా ఇక్కడ జరగవచ్చు. మొదట, ఈ ప్రశ్నకు స్పష్టమైన సమాధానం ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: అవును లేదా కాదు. ఏదైనా సహజ సంఖ్య నుండి ప్రారంభించి, మనం ఒకదాని వైపు జారిపోతాం అనేది నిజం, లేదా అది నిజం కాదు. ఇక్కడ సమాధానం ఏదైనా సిద్ధాంతాల ఎంపికపై లేదా ఏదైనా మానవ సంకల్పంపై ఆధారపడి ఉండదని అకారణంగా స్పష్టంగా ఉంది. కాబట్టి, ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం మానవత్వం ఎప్పటికీ తెలియదని ఒక ఊహ ఉంది.

అయితే, ఎవరైనా ఈ పరికల్పనను నిరూపిస్తే, అప్పుడు మనకు సమాధానం తెలుస్తుంది. కానీ నిరూపించడం అంటే ఏమిటి? అంటే ఏదైనా సహజ సంఖ్య 1కి ఎందుకు కలుస్తుంది అనే కారణాలను అతను మనకు వివరిస్తాడు మరియు ఈ కారణాలు మనకు స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి.

డెబ్బై-మూడు అంకెల సంఖ్య ఖచ్చితంగా అటువంటి లక్షణాలను కలిగి ఉందని ఎవరైనా నిరూపించవచ్చు, దాని నుండి ఈ గొలుసును ప్రారంభించడం ద్వారా, మనం ఖచ్చితంగా మనకు నచ్చినంత అందుకుంటాము. పెద్ద సంఖ్యలు. లేదా ఈ గొలుసు మరెక్కడైనా లూప్ అవుతుందని రుజువు చేస్తుంది. మళ్ళీ, పరికల్పన తప్పుగా ఉండటానికి ఇది ఒక కారణం.

కానీ ఉదాహరణకు, నాకు అలాంటి భయంకరమైన పీడకల ఉంది: ఈ ప్రకటన నిజమైతే, కానీ కారణం లేకుండా? నిజమే, కానీ ఈ ప్రకటనకు ఒక వ్యక్తి మరొకరికి అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు వివరించడానికి ఎటువంటి కారణం లేదు. అప్పుడు మనకు సమాధానం ఎప్పటికీ తెలియదు. ఎందుకంటే అన్ని సహజ సంఖ్యల ద్వారా వెళ్లి ప్రతిదానికి పరికల్పనను పరీక్షించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. మరియు ఇది సహజంగానే మన శక్తికి మించినది. శక్తి పరిరక్షణ చట్టం పరిమిత సమయంలో అనంతమైన కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి అనుమతించదు. లేదా కాంతి వేగం యొక్క పరిమితి. సాధారణంగా, భౌతిక చట్టాలు పరిమిత సమయంలో అనంతమైన ఆపరేషన్లను నిర్వహించడానికి మరియు ఫలితాన్ని తెలుసుకోవడానికి అనుమతించవు.

అనేక పరిష్కరించని సమస్యలు ఖచ్చితంగా ఈ ప్రాంతానికి సంబంధించినవి, అంటే, సూత్రప్రాయంగా, వారు నిజంగా పరిష్కరించబడాలని కోరుకుంటారు. వారిలో కొందరు నిర్ణయం తీసుకునే అవకాశం ఉంది. మీరందరూ బహుశా "రీమాన్ పరికల్పన" పేరు విన్నారు. ఈ పరికల్పన ఏమి చెబుతుందో మీలో కొందరు అస్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. నేను వ్యక్తిగతంగా చాలా అస్పష్టంగా అర్థం చేసుకున్నాను. కానీ రీమాన్ పరికల్పనతో, కనీసం అది సరైనదని ఎక్కువ లేదా తక్కువ స్పష్టంగా ఉంది. గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరూ దీనిని విశ్వసిస్తారు మరియు సమీప భవిష్యత్తులో ఇది నిరూపించబడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. మరియు ఇంకా ఎవరూ నిరూపించలేని లేదా నిరూపించలేని కొన్ని ప్రకటనలు ఉన్నాయి మరియు ఒక పరికల్పనలో కూడా రెండు సమాధానాలలో ఏది సరైనదో ఖచ్చితంగా తెలియదు. మానవత్వం, సూత్రప్రాయంగా, ఈ ప్రశ్నలలో కొన్నింటికి సమాధానాలు పొందలేకపోవచ్చు.

గోర్గియాస్ యొక్క మూడవ సిద్ధాంతం

మూడవ సిద్ధాంతం ఏమిటంటే, ఏదైనా తెలిసినట్లయితే, అది ఒకరి పొరుగువారికి బదిలీ చేయబడదు. ఇవి ఖచ్చితంగా ఆధునిక గణితంలో అత్యంత ముఖ్యమైన సమస్యలు మరియు, బహుశా, అతిశయోక్తి. ఒక వ్యక్తి ఏదో నిరూపించాడు, కానీ అతను ఈ రుజువును మరొక వ్యక్తికి చెప్పలేడు. లేదా అతను నిజంగా నిరూపించాడని మరొక వ్యక్తిని ఒప్పించండి. అది జరుగుతుంది. ఈ ప్రాంతం నుండి మొట్టమొదటి ఉదాహరణ మరియు ప్రజలకు అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది నాలుగు రంగుల సమస్య. కానీ ఇది ఇక్కడ ఉత్పన్నమయ్యే అత్యంత క్లిష్ట పరిస్థితి కాదు. నేను ఇప్పుడు నాలుగు రంగుల సమస్య గురించి కొంచెం చెబుతాను, ఆపై నేను మరింత క్రేజీ పరిస్థితులను చూపిస్తాను.

నాలుగు రంగుల సమస్య ఏమిటి? ఇది గ్రాఫ్ థియరీ ప్రశ్న. గ్రాఫ్ అనేది అంచుల ద్వారా అనుసంధానించబడే కొన్ని శీర్షాలు. మనం ఈ శీర్షాలను ఒక విమానంలో గీసి, అంచులు ఒకదానితో ఒకటి కలుస్తాయి కాబట్టి వాటిని అంచులతో అనుసంధానించగలిగితే, మనకు ప్లానర్ అని పిలువబడే గ్రాఫ్ వస్తుంది. గ్రాఫ్ కలరింగ్ అంటే ఏమిటి? మేము దాని పైభాగాలను వేర్వేరు రంగులలో పెయింట్ చేస్తాము. అంచుకు ఆనుకుని ఉన్న శీర్షాలు ఎల్లప్పుడూ వేర్వేరు రంగులతో ఉండే విధంగా మనం దీన్ని చేసి ఉంటే, ఆ రంగును రెగ్యులర్ అంటారు. నేను గ్రాఫ్‌కు సరిగ్గా రంగు వేయాలనుకుంటున్నాను, వీలైనంత తక్కువ విభిన్న రంగులను ఉపయోగిస్తాను. ఉదాహరణకు, మూర్తి 5లో మనకు మూడు శీర్షాలు జతగా అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి - అంటే తప్పించుకునే అవకాశం లేదు, ఈ శీర్షాలలో ఖచ్చితంగా మూడు ఉంటాయి వివిధ రంగులు. కానీ సాధారణంగా, ఈ గ్రాఫ్‌ను చిత్రించడానికి నాలుగు రంగులు సరిపోతాయి (మరియు మూడు తప్పిపోయాయి, మీరు తనిఖీ చేయవచ్చు).

వంద సంవత్సరాలుగా ఒక సమస్య ఉంది: విమానంలో గీసిన ఏదైనా గ్రాఫ్‌కు నాలుగు రంగులలో రంగులు వేయవచ్చనేది నిజమేనా? కొందరు నమ్మారు మరియు నాలుగు రంగులు ఎల్లప్పుడూ సరిపోతాయని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించారు, మరికొందరు నమ్మలేదు మరియు నాలుగు రంగులు సరిపోకపోతే ఒక ఉదాహరణతో ముందుకు రావడానికి ప్రయత్నించారు. ఈ ఇబ్బంది కూడా ఉంది: సమస్య సూత్రీకరించడం చాలా సులభం. అందువల్ల, చాలా మంది, సీరియస్ కాని గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కూడా దానిపైకి దూసుకెళ్లారు మరియు దానిని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించడం ప్రారంభించారు. మరియు వారు భారీ మొత్తంలో సాక్ష్యాలు లేదా ఖండనలను సమర్పించారు. వారు వాటిని గణిత శాస్త్రజ్ఞుల వద్దకు పంపారు మరియు వార్తాపత్రికలలో ఇలా అరిచారు: “హుర్రే! నేను నాలుగు రంగుల సమస్యను నిరూపించాను! - మరియు తప్పుడు ఆధారాలతో పుస్తకాలను కూడా ప్రచురించారు. ఒక్క మాటలో చెప్పాలంటే చాలా సందడి.

చివరికి అది K. అప్పెల్ మరియు W. హకెన్ చేత నిరూపించబడింది. నేను ఇప్పుడు మీకు రుజువు పథకాన్ని సుమారుగా వివరిస్తాను. మరియు అదే సమయంలో ఈ రుజువు ఇతరులకు ఎందుకు కమ్యూనికేట్ చేయబడుతుందో చూద్దాం. ప్లానర్ గ్రాఫ్‌లు ఎలా నిర్మితమయ్యాయో ప్రజలు తీవ్రంగా అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించారు. వారు అనేక డజన్ల కాన్ఫిగరేషన్‌ల జాబితాను అందించారు మరియు ప్రతి ప్లానార్ గ్రాఫ్ తప్పనిసరిగా ఈ కాన్ఫిగరేషన్‌లలో ఒకదాన్ని కలిగి ఉంటుందని నిరూపించారు. ఇది రుజువు యొక్క మొదటి సగం. మరియు రుజువు యొక్క రెండవ సగం ఏమిటంటే, ఈ ప్రతి కాన్ఫిగరేషన్‌కు అది మన గ్రాఫ్‌లో ఉంటే, దానిని నాలుగు రంగులలో రంగు వేయవచ్చో తనిఖీ చేయవచ్చు.

మరింత ఖచ్చితంగా, తదుపరి రుజువు వైరుధ్యం ద్వారా కొనసాగుతుంది. మన గ్రాఫ్‌ను నాలుగు రంగులలో వేయలేమని అనుకుందాం. మొదటి సగం నుండి ఇది జాబితా నుండి కొంత కాన్ఫిగరేషన్‌ను కలిగి ఉందని మనకు తెలుసు. దీని తరువాత, ఈ ప్రతి కాన్ఫిగరేషన్‌కు క్రింది తార్కికం నిర్వహించబడుతుంది. మన గ్రాఫ్ ఈ కాన్ఫిగరేషన్‌ని కలిగి ఉందని అనుకుందాం. దాన్ని పారబోద్దాం. ఇండక్షన్ ద్వారా, మిగిలినవి నాలుగు రంగులలో పెయింట్ చేయబడతాయి. మరియు మేము మిగిలిన నాలుగు రంగులకు ఎలా రంగులు వేసినా, మేము ఈ కాన్ఫిగరేషన్‌ను పూర్తి చేయగలుగుతాము.

తిరిగి పెయింట్ చేయదగిన కాన్ఫిగరేషన్‌కు సరళమైన ఉదాహరణ కేవలం మూడు ఇతర వాటికి మాత్రమే అనుసంధానించబడిన ఒక శీర్షం. మన గ్రాఫ్‌లో అలాంటి శీర్షం ఉంటే, చివరి వరకు రంగులు వేయడం వదిలివేయవచ్చని స్పష్టమవుతుంది. అన్నిటికీ రంగులు వేద్దాం, ఆపై ఈ శీర్షం ఏ రంగులకు జోడించబడిందో చూద్దాం మరియు నాల్గవదాన్ని ఎంచుకోండి. ఇతర కాన్ఫిగరేషన్ల కోసం తార్కికం సారూప్యంగా ఉంటుంది, కానీ మరింత క్లిష్టంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, ఇదంతా ఎలా జరిగింది? అటువంటి పెద్ద సంఖ్యలో కాన్ఫిగరేషన్‌లలో ప్రతి ఒక్కటి ఎల్లప్పుడూ చేతితో పూర్తవుతుందో లేదో తనిఖీ చేయడం అసాధ్యం - దీనికి చాలా సమయం పడుతుంది. మరియు ఈ చెక్ కంప్యూటర్‌కు అప్పగించబడింది. మరియు అతను, పెద్ద సంఖ్యలో కేసుల ద్వారా వెళ్ళిన తరువాత, ఇది అలా అని నిజంగా ధృవీకరించబడింది. ఫలితం నాలుగు రంగుల సమస్యకు రుజువు.

ఇది మొదట కనిపించింది. తార్కికం యొక్క మానవ భాగం, మందపాటి పుస్తకంలో వ్రాసి, దానికి జతచేయబడిన పదబంధాలు, ప్రతిదీ రంగులు వేస్తోందని తుది తనిఖీ కంప్యూటర్‌కు మరియు వచనానికి కూడా అప్పగించబడింది. కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్ఉదహరించారు. ఈ ప్రోగ్రామ్ ప్రతిదీ లెక్కించింది మరియు ప్రతిదీ తనిఖీ చేసింది - నిజానికి, ప్రతిదీ బాగానే ఉంది మరియు నాలుగు రంగుల సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

అలాంటి సాక్ష్యాలను విశ్వసించవచ్చా అని వెంటనే ఉత్కంఠ నెలకొంది. అన్ని తరువాత చాలా వరకుసాక్ష్యం కంప్యూటర్ ద్వారా జరిగింది, ఒక వ్యక్తి కాదు. "కంప్యూటర్ తప్పు చేస్తే ఏమి చేయాలి?" - ఇలాంటి సంకుచిత మనస్తత్వం గలవారు అన్నారు.

మరియు ఈ రుజువుతో సమస్యలు నిజంగా ప్రారంభమయ్యాయి, కానీ అవి కంప్యూటర్ భాగంలో కాదు, మానవ భాగంలో ఉన్నాయి. రుజువులో లోపాలు కనుగొనబడ్డాయి. సంక్లిష్ట శోధనలను కలిగి ఉన్న అటువంటి పొడవు యొక్క వచనం, వాస్తవానికి, లోపాలను కలిగి ఉండవచ్చని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఈ లోపాలు కనుగొనబడ్డాయి, కానీ, అదృష్టవశాత్తూ, అవి సరిదిద్దబడ్డాయి.

కంప్యూటర్ భాగం మిగిలి ఉంది, అప్పటి నుండి ఇది ఒకటి కంటే ఎక్కువ కంప్యూటర్లలో పరీక్షించబడింది, ప్రోగ్రామ్‌లను తిరిగి వ్రాయడం కూడా అదే శోధన చేయడం ద్వారా. అన్నింటికంటే, సరిగ్గా ఏమి పునరావృతం చేయాలో చెప్పినట్లయితే, ప్రతి ఒక్కరూ వారి స్వంత ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాసి, ఫలితం ఎలా ఉంటుందో తనిఖీ చేయవచ్చు. మరియు నాకు అనిపిస్తోంది, ఉదాహరణకు, రుజువులో ఇంత పెద్ద కంప్యూటర్ శోధనలను ఉపయోగించడం సమస్య కాదు. ఎందుకు? కానీ అదే కారణంతో, ఇది ఇప్పటికే నాలుగు రంగుల సమస్య యొక్క ఉదాహరణలో ఉద్భవించింది - మానవ సాక్ష్యం కంటే కంప్యూటర్ సాక్ష్యంపై చాలా ఎక్కువ నమ్మకం ఉంది, తక్కువ కాదు. వారు కంప్యూటర్ ఒక యంత్రం అని అరిచారు, కానీ అది ఎక్కడో విచ్ఛిన్నమైతే, దారితప్పినట్లయితే, తప్పుగా లెక్కించినట్లయితే ... కానీ ఇది కేవలం కేసు కాదు. ఎందుకంటే కంప్యూటర్ అనుకోకుండా ఎక్కడో క్రాష్ అయి లోపం సంభవించినట్లయితే - సున్నా అనుకోకుండా ఒకదానితో భర్తీ చేయబడింది - ఇది తప్పు ఫలితానికి దారితీయదు. ఇది ఎటువంటి ఫలితానికి దారితీయదు, కేవలం ప్రోగ్రామ్ చివరికి విచ్ఛిన్నమవుతుంది. కంప్యూటర్ చేసే సాధారణ ఆపరేషన్ ఏమిటి? వారు అటువంటి మరియు అటువంటి రిజిస్టర్ నుండి అటువంటి మరియు అటువంటి సంఖ్యను తీసుకున్నారు మరియు దానిపై నియంత్రణను అటువంటి మరియు అటువంటి ప్రదేశానికి బదిలీ చేసారు. సహజంగానే, ఈ సంఖ్యలో ఒక బిట్ మార్పు ఉంటే, నియంత్రణ తెలియని గమ్యస్థానానికి బదిలీ చేయబడుతుంది, అది చాలా త్వరగా ప్రతిదీ నాశనం చేస్తుంది.

కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయడంలో లోపం ఉండవచ్చు, కానీ ఇది మానవ లోపం. ఒక వ్యక్తి ప్రోగ్రామ్‌ను చదివి అది సరైనదా కాదా అని తనిఖీ చేయవచ్చు. ఒక వ్యక్తి వేరొకరి రుజువును కూడా చదవవచ్చు మరియు అది సరైనదా కాదా అని తనిఖీ చేయవచ్చు. కానీ ఒక వ్యక్తి కంప్యూటర్ కంటే తప్పులు చేసే అవకాశం చాలా ఎక్కువ. మీరు వేరొకరి రుజువును తగినంత పొడవుగా చదువుతూ ఉంటే మరియు దానిలో లోపం ఉంటే, మీరు దానిని గమనించని అవకాశం ఉంది. ఎందుకు? అన్నింటిలో మొదటిది, ఎందుకంటే రుజువు రచయిత స్వయంగా ఈ తప్పు చేసాడు కాబట్టి, ఇది మానసికంగా సమర్థించబడుతుందని అర్థం. అంటే, అతను ఒక కారణం కోసం, ప్రమాదవశాత్తు చేసాడు - ఇది సూత్రప్రాయంగా, ఒక సాధారణ వ్యక్తి అలాంటి పొరపాటు చేయగల ప్రదేశం. దీని అర్థం మీరు ఈ భాగాన్ని చదవడం ద్వారా అదే తప్పు చేయవచ్చు మరియు తదనుగుణంగా, దానిని గమనించలేదు. అందువల్ల, మానవ ధృవీకరణ, మానవ రుజువు, కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్ యొక్క ఫలితాన్ని మరొక మెషీన్‌లో మళ్లీ అమలు చేయడం ద్వారా దాన్ని తనిఖీ చేయడం కంటే చాలా తక్కువ విశ్వసనీయ ధృవీకరణ పద్ధతి. రెండవది ఆచరణాత్మకంగా ప్రతిదీ బాగానే ఉందని హామీ ఇస్తుంది మరియు మొదటిది ఎంత అదృష్టమో.

మరియు ఈ సమస్య - ప్రజలు వ్రాసిన గణిత వచనంలో లోపాన్ని కనుగొనడం - చాలా కష్టంగా మారుతోంది మరియు కొన్నిసార్లు అసాధ్యం కూడా అవుతుంది - ఇది ఆధునిక గణితంలో తీవ్రమైన సమస్య. మనం దానితో పోరాడాలి. ఎలా - ఇప్పుడు ఎవరికీ తెలియదు. కానీ సమస్య పెద్దది మరియు ప్రస్తుతం తీవ్రంగా తలెత్తింది - దీనికి అనేక ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. ఇక్కడ బహుశా తక్కువగా తెలిసినది, కానీ అత్యంత ఆధునికమైనది. ఇది కెప్లర్ యొక్క పాత పరికల్పన. ఆమె బంతులను పెట్టడం గురించి మాట్లాడుతుంది త్రిమితీయ స్థలం.

రెండు డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లో అంటే విమానంలో ఏమి జరుగుతుందో మొదట చూద్దాం. మాకు ఒకే విధమైన సర్కిల్‌లు ఉండనివ్వండి. అవి కలుస్తాయి కాబట్టి వాటిని విమానంలో గీయడానికి అత్యంత దట్టమైన మార్గం ఏమిటి? ఒక సమాధానం ఉంది - మీరు షట్కోణ లాటిస్ యొక్క నోడ్స్ వద్ద సర్కిల్ల కేంద్రాలను ఉంచాలి. ఈ ప్రకటన పూర్తిగా సామాన్యమైనది కాదు, కానీ ఇది సులభం.

మరియు త్రిమితీయ స్థలంలో, మీరు బంతులను ఎలా గట్టిగా ప్యాక్ చేస్తారు? మొదట, మేము మూర్తి 6 లో చూపిన విధంగా ఒక విమానంలో బంతులను వేస్తాము. ఆపై మేము మరొక సారూప్య పొరను పైన ఉంచాము, దానిని అన్ని విధాలుగా నొక్కడం ద్వారా, మూర్తి 7 లో చూపినట్లుగా, ఆపై మేము మరొక సారూప్య పొరను పైన ఉంచాము. త్రీ-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లో బంతులను ప్యాక్ చేయడానికి ఇది దట్టమైన మార్గం అని అకారణంగా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఈ ప్యాకింగ్ తప్పనిసరిగా త్రీ-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లో దట్టమైన ప్యాకింగ్ అని కెప్లర్ వాదించాడు (మరియు సూత్రీకరించిన మొదటి వ్యక్తిగా కనిపిస్తాడు).

ఇది 17వ శతాబ్దంలో జరిగింది, అప్పటి నుంచి ఈ పరికల్పన కొనసాగుతోంది. 21 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో, దాని రుజువు కనిపించింది. మరియు మీలో ఎవరైనా దానిని పొందగలరు మరియు చదవగలరు. ఇది లోపల ఉంది అందరికి ప్రవేశంఇంటర్నెట్‌లో ఉంది. ఇది రెండు వందల పేజీల వ్యాసం. ఇది ఒక వ్యక్తిచే వ్రాయబడింది మరియు కొన్ని పూర్తిగా గణిత తార్కికం మరియు కంప్యూటర్ లెక్కలు రెండింటినీ కలిగి ఉంది.

మొదటిది, పరిమిత సంఖ్యలో కేసులను పరీక్షించడానికి సమస్యను తగ్గించడానికి రచయిత గణిత శాస్త్ర రీజనింగ్‌ను ఉపయోగిస్తాడు. ఆ తరువాత, కొన్నిసార్లు కంప్యూటర్ ఉపయోగించి, అది పరిమితమైనది, కానీ చాలా పెద్ద సంఖ్యకేసులను తనిఖీ చేస్తుంది, ప్రతిదీ సరిపోతుంది మరియు - హుర్రే! - కెప్లర్ యొక్క పరికల్పన నిరూపించబడింది. మరియు ఈ కథనంలోని సమస్య ఇక్కడ ఉంది - ఎవరూ చదవలేరు. ఇది భారీగా ఉన్నందున, కొన్ని ప్రదేశాలలో ఇది నిజంగా పూర్తి ఓవర్‌కిల్ అని పూర్తిగా స్పష్టంగా తెలియదు, ఎందుకంటే ఇది చదవడానికి బోరింగ్‌గా ఉంది. రెండు వందల పేజీల బోరింగ్ లెక్కలు. ఒక వ్యక్తి దానిని చదవలేడు.

సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఈ వ్యాసంలో ఈ సిద్ధాంతానికి రుజువు ఉందని అందరూ నమ్ముతారు. కానీ మరోవైపు, ఎవరూ దీన్ని నిజాయితీగా ధృవీకరించలేదు, ప్రత్యేకించి, ఈ కథనం ఏ పీర్-రివ్యూడ్ జర్నల్‌లో ప్రచురించబడలేదు, అనగా స్వీయ-గౌరవనీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు "అవును, ప్రతిదీ సరైనది," అనే ప్రకటనపై సంతకం చేయడానికి సిద్ధంగా లేరు. మరియు కెప్లర్ యొక్క పరికల్పన నిరూపించబడింది."

మరియు ఇది గణితశాస్త్రంలోని ఇతర రంగాలలో కూడా ఇదే పరిస్థితి కాదు. ఇటీవల నేను సెట్ థియరీలో, మోడల్ థియరీలో, పరిష్కరించని సమస్యల జాబితాను చూశాను వివిధ ప్రాంతాలు. మరియు ఒక పరికల్పన కోసం ఇలాంటి వ్యాఖ్యలు ఉన్నాయి: ఇది అటువంటి మరియు అటువంటి వ్యాసంలో తిరస్కరించబడింది, కానీ ఎవరూ దానిని నమ్మరు.

ఇదీ పరిస్థితి. ఒక వ్యక్తి ఒక ప్రకటనను నిరూపించాడు, కానీ అతను దానిని మరొకరికి చెప్పలేడు, మరొకరికి చెప్పలేడు.

అత్యంత భయంకరమైన ఉదాహరణ, వాస్తవానికి, పరిమిత సాధారణ సమూహాల వర్గీకరణ. అది ఏమిటో నేను సరిగ్గా సూత్రీకరించను, ఏ సమూహాలు, పరిమిత సమూహాలు ఏమిటి, మీకు కావాలంటే, మీరే కనుగొనవచ్చు. పరిమిత సమూహాలు అన్నీ, ఒక కోణంలో, సాధారణ బ్లాక్‌ల నుండి సమీకరించబడతాయి, వీటిని సాధారణ సమూహాలు అంటారు, మరియు వీటిని ఇకపై చిన్న బ్లాక్‌లుగా విడదీయలేరు. ఈ పరిమిత సాధారణ సమూహాలలో అనంతంగా చాలా ఉన్నాయి. వారి పూర్తి జాబితా ఇలా కనిపిస్తుంది: ఇవి పదిహేడు అంతులేని సిరీస్‌లు, వీటికి చివరలో 26 జోడించబడ్డాయి ప్రత్యేక సమూహాలు, ఇవి కొన్ని ప్రత్యేక మార్గంలో నిర్మించబడ్డాయి మరియు ఏ సిరీస్‌లోనూ చేర్చబడలేదు. ఈ జాబితాలో అన్ని పరిమిత సాధారణ సమూహాలు ఉన్నాయని పేర్కొనబడింది. గణితానికి సమస్య చాలా అవసరం. అందువల్ల, 70 వ దశకంలో, కొన్ని ప్రత్యేక ఆలోచనలు మరియు దానిని పరిష్కరించే ఆశలు కనిపించినప్పుడు, వివిధ దేశాల నుండి, వివిధ సంస్థల నుండి అనేక వందల మంది గణిత శాస్త్రవేత్తలు సమస్యపై దాడి చేశారు, ప్రతి ఒక్కరూ తమ స్వంత భాగాన్ని తీసుకున్నారు. మాట్లాడటానికి, ఈ ప్రాజెక్ట్ యొక్క వాస్తుశిల్పులు ఉన్నారు, వారు ఇవన్నీ తరువాత ఒకే సాక్ష్యంగా ఎలా సేకరిస్తారో స్థూలంగా ఊహించారు. జనం హడావుడి చేసి పోటీకి దిగినట్లు స్పష్టమవుతోంది. ఫలితంగా, వారు చేసిన ముక్కలు దాదాపు 10,000 మ్యాగజైన్ పేజీలను కలిగి ఉన్నాయి మరియు అది ప్రచురించబడినది. ప్రిప్రింట్‌లుగా లేదా టైప్‌రైట్ కాపీలుగా ఉన్న కథనాలు కూడా ఉన్నాయి. ఈ పూర్తి రుజువు యొక్క గుర్తించదగిన భాగాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ, నేను ఒక సమయంలో అలాంటి కథనాన్ని చదివాను; మరియు ఈ 10,000 పేజీలు వివిధ పత్రికలలో చెల్లాచెదురుగా వ్రాయబడ్డాయి వివిధ వ్యక్తులు, వివిధ స్థాయిలలో తెలివితేటలతో, మరియు దీనితో సంబంధం లేని మరియు ఈ సిద్ధాంతం యొక్క వాస్తుశిల్పులలో ఒకడు కాని సాధారణ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి, మొత్తం 10,000 పేజీలను చదవడం అసాధ్యం మాత్రమే కాదు, దాని నిర్మాణాన్ని అర్థం చేసుకోవడం కూడా చాలా కష్టం. రుజువు కూడా. అంతేకాకుండా, ఈ వాస్తుశిల్పుల్లో కొందరు అప్పటి నుండి మరణించారు.

ఎవరూ చదవలేని టెక్స్ట్ రూపంలో మాత్రమే రుజువు ఉన్నప్పటికీ, వర్గీకరణ పూర్తయిందని వారు ప్రకటించారు మరియు ఇది క్రింది ఇబ్బందులకు దారితీసింది. కొత్త గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పరిమిత సమూహాల సిద్ధాంతంలోకి వెళ్ళడానికి ఇష్టపడలేదు. చాలా తక్కువ మంది వ్యక్తులు దీన్ని చేస్తున్నారు. మరియు 50 సంవత్సరాలలో ఈ రుజువులో ఏదైనా అర్థం చేసుకోగలిగే వ్యక్తి భూమిపై ఉండడు. ఇతిహాసాలు ఉంటాయి: మా గొప్ప పూర్వీకులు ఈ జాబితాలో అన్ని పరిమిత సాధారణ సమూహాలు జాబితా చేయబడతాయని నిరూపించగలిగారు మరియు ఇతరులు ఎవరూ లేరని, కానీ ఇప్పుడు ఈ జ్ఞానం కోల్పోయింది. చాలా వాస్తవిక పరిస్థితి. కానీ, అదృష్టవశాత్తూ, ఈ పరిస్థితిని వాస్తవికంగా భావించేది నేను మాత్రమే కాదు, కాబట్టి వారు దీనికి వ్యతిరేకంగా పోరాడుతున్నారు మరియు వారు ఒక ప్రత్యేక ప్రాజెక్ట్ను కూడా నిర్వహించారని నేను విన్నాను “తాత్విక మరియు గణిత సమస్యలుపరిమిత సాధారణ సమూహాల వర్గీకరణ యొక్క రుజువుకు సంబంధించినది." ఈ రుజువును చదవగలిగే రూపంలోకి తీసుకురావడానికి ప్రయత్నిస్తున్న వ్యక్తులు ఉన్నారు మరియు బహుశా ఏదో ఒక రోజు అది నిజంగా పని చేస్తుంది. ఇన్ని కష్టాలతో ఏం చేయాలో దిక్కుతోచని వాళ్లు ఉన్నారు. మానవత్వం ఈ పనిని గుర్తుంచుకుంటుంది మరియు అది చివరికి అది భరించవలసి ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, నిరూపించగలిగే ఇతర సమానమైన సంక్లిష్టమైన సిద్ధాంతాలు కనిపిస్తాయి, కానీ దీని రుజువు ఎవరూ చదవలేరు, ఎవరూ ఎవరికీ చెప్పలేరు.

సిద్ధాంతం నాలుగు

సరే, ఇప్పుడు నేను మీకు కొంచెం చెప్పే నాల్గవ సిద్ధాంతం చాలా భయంకరమైనది కూడా కావచ్చు - “అతను మీకు చెప్పగలిగినప్పటికీ, ఎవరూ ఆసక్తి చూపరు.” ఈ సమస్య యొక్క నిర్దిష్ట భాగం ఇప్పటికే వినబడింది. పరిమిత సమూహాలను అధ్యయనం చేయడానికి ప్రజలు ఇకపై ఆసక్తి చూపరు. తక్కువ మరియు తక్కువ మంది వ్యక్తులు దీన్ని చేస్తున్నారు, మరియు గ్రంథాల రూపంలో భద్రపరచబడిన జ్ఞానం యొక్క ద్రవ్యరాశి ఇకపై ఎవరికీ అవసరం లేదు, దానిని ఎలా చదవాలో ఎవరికీ తెలియదు. ఇది కూడా గణితంలో అనేక రంగాలకు ముప్పు తెచ్చే సమస్య.

గణితంలోని కొన్ని రంగాలు అదృష్టవంతులని స్పష్టమవుతుంది. ఉదాహరణకు, అదే గ్రాఫ్ సిద్ధాంతం మరియు కాంబినేటరిక్స్. వాటిని తీవ్రంగా ప్రారంభించడానికి, మీరు చాలా తక్కువ తెలుసుకోవాలి. మీరు కొంచెం నేర్చుకున్నారు, ఒలింపియాడ్ సమస్యలను పరిష్కరించారు, ఒక అడుగు - మరియు మీరు పరిష్కరించని సమస్యను ఎదుర్కొంటున్నారు. తీసుకోవలసినది ఏదో ఉంది - హుర్రే, మేము దానిని తీసుకుంటాము, ఇది ఆసక్తికరంగా ఉంది, మేము దానిపై పని చేస్తాము. కానీ గణిత శాస్త్ర రంగాలు ఉన్నాయి, ఈ ప్రాంతం నిజంగా అందంగా ఉందని మరియు మీరు దానిని అధ్యయనం చేయాలనుకుంటున్నారని భావించడానికి, మీరు చాలా నేర్చుకోవాలి. మరియు అదే సమయంలో, మీరు మార్గం వెంట అనేక ఇతర అందమైన విషయాలు నేర్చుకుంటారు. కానీ దారిలో ఎదురయ్యే ఈ అందాలను చూసి మీరు పరధ్యానం చెందకూడదు మరియు చివరికి మీరు అక్కడికి చేరుకుంటారు, చాలా అడవిలోకి, మీరు ఇప్పటికే అక్కడ అందాన్ని చూస్తున్నారు, ఆపై కూడా, చాలా నేర్చుకున్న తర్వాత, మీరు ఈ ప్రాంతాన్ని అధ్యయనం చేయగలుగుతారు గణితం. మరియు ఈ కష్టం అటువంటి ప్రాంతాలకు ఒక సమస్య. గణిత రంగం అభివృద్ధి చెందాలంటే సాధన చేయాలి. తగినంత సంఖ్యలో ప్రజలు దానిపై చాలా ఆసక్తిని కలిగి ఉండాలి, వారు అన్ని ఇబ్బందులను అధిగమించి, అక్కడికి చేరుకుంటారు మరియు ఆ తర్వాత దీన్ని కొనసాగించండి. మరియు ఇప్పుడు గణితం సంక్లిష్టత స్థాయికి చేరుకుంటుంది, అనేక ప్రాంతాలకు ఇది ప్రధాన సమస్యగా మారుతోంది.

ఈ సమస్యలన్నింటినీ మానవత్వం ఎలా ఎదుర్కొంటుందో నాకు తెలియదు, కానీ చూడటానికి ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.

నిజానికి, అంతే.