సెకండరీ స్కూల్ మ్యాథమెటిక్స్ కోర్సులో సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించే అవకాశం. నిజమైన ఉదాహరణ: భ్రమణాలు

ప్రచురణ యొక్క టెక్స్ట్ భాగం

విషయము
పరిచయం …………………………………………………………………………..3 అధ్యాయం I. చరిత్ర నుండి సంక్లిష్ట సంఖ్యలు…………………………………………………… 4 అధ్యాయం II. కాంప్లెక్స్ నంబర్ మెథడ్ యొక్క ఫండమెంటల్స్ ………………………………………… 6 అధ్యాయం III. సంక్లిష్ట సంఖ్యలలో త్రిభుజం యొక్క జ్యామితి ……………………………….12 అధ్యాయం IV. పరిష్కారం ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష సమస్యలుమరియు కాంప్లెక్స్ నంబర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వివిధ ఒలింపియాడ్‌లు …………………………………………………………………… 20 ముగింపు ……………………………… ……………………………………………….24 గ్రంథ పట్టిక …………………………………………………………………………..25

పరిచయం
గణితం మరియు దాని అప్లికేషన్లలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల యొక్క గొప్ప ప్రాముఖ్యత విస్తృతంగా తెలుసు. సంక్లిష్ట సంఖ్యల బీజగణితాన్ని విజయవంతంగా ఉపయోగించవచ్చు ప్రాథమిక జ్యామితి, త్రికోణమితి, చలన సిద్ధాంతం మరియు సారూప్యతలు, అలాగే ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీరింగ్, వివిధ మెకానికల్ మరియు శారీరక సమస్యలు. ప్లానిమెట్రీలో, సంక్లిష్ట సంఖ్యల పద్ధతి రెడీమేడ్ సూత్రాలను ఉపయోగించి ప్రత్యక్ష గణన ద్వారా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వెక్టర్ మరియుతో పోలిస్తే ఇది ఈ పద్ధతి యొక్క సరళత సమన్వయ పద్ధతులు, రేఖాగణిత పరివర్తనల పద్ధతి ద్వారా, విద్యార్థులు గణనీయమైన తెలివితేటలు మరియు సుదీర్ఘ శోధనలను కలిగి ఉండాలి. అనేక సహస్రాబ్దాలుగా, త్రిభుజం జ్యామితికి చిహ్నంగా ఉంది. మీరు త్రిభుజం జ్యామితి యొక్క పరమాణువు అని కూడా చెప్పవచ్చు. ఏదైనా బహుభుజిని త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు మరియు దాని లక్షణాల అధ్యయనం దాని భాగాల త్రిభుజాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి వస్తుంది. త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలను నిరూపించేటప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యల పద్ధతి ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం పాఠశాల కోర్సుప్లానిమెట్రీ, అలాగే యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క C-4 సమస్యలను పరిష్కరించడానికి. 2

అధ్యాయం I. సంక్లిష్ట సంఖ్యల చరిత్ర నుండి,,
మొట్టమొదటిసారిగా, స్పష్టంగా, ఊహాత్మక పరిమాణాలు ప్రసిద్ధ రచన “గ్రేట్ ఆర్ట్, లేదా గురించి బీజగణిత నియమాలు»కార్డానో (1545), రెండు సంఖ్యలను 10 వరకు జోడించి గుణించినప్పుడు 40ని లెక్కించే సమస్యకు అధికారిక పరిష్కారంలో భాగంగా, ఈ సమస్య కోసం, అతను పదాలలో ఒకదానికి వర్గ సమీకరణాన్ని పొందాడు మరియు దాని మూలాలను కనుగొన్నాడు: 5 + √ - 15 మరియు 5 - √ - 15 . నిర్ణయానికి వ్యాఖ్యానంలో, అతను ఇలా వ్రాశాడు: “ఇవి అత్యంత క్లిష్టమైన పరిమాణాలుపనికిరానిది, చాలా తెలివైనది అయినప్పటికీ" మరియు "అంకగణిత పరిశీలనలు మరింత అంతుచిక్కనివిగా మారాయి, అది నిరుపయోగంగా ఉన్నంత సూక్ష్మమైన పరిమితిని చేరుకుంటుంది." క్యూబిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఊహాత్మక పరిమాణాలను ఉపయోగించగల అవకాశం, అని పిలవబడే అసంపూర్ణ సందర్భంలో (బహుపది యొక్క నిజమైన మూలాలు వ్యక్తీకరించబడినప్పుడు క్యూబ్ మూలాలుఊహాత్మక పరిమాణంలో), మొదట బొంబెల్లి (1572) వర్ణించారు. సంక్లిష్ట సంఖ్యల సంకలనం, తీసివేత, గుణకారం మరియు విభజన యొక్క నియమాలను వివరించిన మొదటి వ్యక్తి అతను, కానీ ఇప్పటికీ వాటిని పనికిరాని మరియు మోసపూరిత "ఆవిష్కరణ"గా పరిగణించాడు. a + b √ − 1 రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించే వ్యక్తీకరణలు, చతుర్భుజం మరియు క్యూబిక్ సమీకరణాలు, లో "ఊహాత్మక" అని పిలవడం ప్రారంభించారు XVI-XVII శతాబ్దాలుడెస్కార్టెస్ ప్రోద్బలంతో, వారిని అలా పిలిచారు, వారి వాస్తవికతను తిరస్కరించారు మరియు అనేక ఇతర ప్రధానులకు శాస్త్రవేత్తలు XVIIశతాబ్దాలుగా, ఊహాత్మక పరిమాణాల ఉనికికి స్వభావం మరియు హక్కు చాలా సందేహాస్పదంగా అనిపించింది, ఆ సమయంలో వారు సందేహాస్పదంగా భావించారు. అకరణీయ సంఖ్యలు, మరియు ప్రతికూల విలువలు కూడా. అయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్రవేత్తలు ధైర్యంగా దరఖాస్తు చేసుకున్నారు అధికారిక పద్ధతులువాస్తవ పరిమాణాల బీజగణితాలు మరియు సంక్లిష్టమైన వాటికి, ఇంటర్మీడియట్ సంక్లిష్టమైన వాటి నుండి కూడా సరైన వాస్తవ ఫలితాలను పొందాయి మరియు ఇది విశ్వాసాన్ని ప్రేరేపించడం ప్రారంభించలేదు. చాలా కాలం వరకు, సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై అన్ని కార్యకలాపాలు సంక్లిష్టమైన లేదా వాస్తవ ఫలితాలకు దారితీస్తాయా లేదా, ఉదాహరణకు, ఒక మూలాన్ని సంగ్రహించడం కొన్ని కొత్త రకాల సంఖ్యలను కనుగొనటానికి దారితీస్తుందా అనేది అస్పష్టంగా ఉంది. డిగ్రీ n యొక్క మూలాలను వ్యక్తీకరించడంలో సమస్య ఇచ్చిన సంఖ్యమోయివ్రే (1707) మరియు కోట్స్ (1722) రచనలలో పరిష్కరించబడింది. ఊహాత్మక యూనిట్‌ను సూచించే చిహ్నాన్ని యూలర్ (1777, ప్రచురించబడిన 1794) ప్రతిపాదించారు, దీని కోసం లాటిన్ పదం యొక్క మొదటి అక్షరాన్ని తీసుకున్నారు. ఊహ - ఊహాత్మక. అతను లాగరిథమ్‌తో సహా అన్ని ప్రామాణిక ఫంక్షన్‌లను కాంప్లెక్స్ డొమైన్‌కు విస్తరించాడు. సంక్లిష్ట సంఖ్యల క్షేత్రం బీజగణితంగా మూసివేయబడిందనే ఆలోచనను 1751లో ఆయిలర్ వ్యక్తం చేశాడు. డి'అలెంబర్ట్ (1747) అదే నిర్ణయానికి వచ్చారు, అయితే ఈ వాస్తవం యొక్క మొదటి కఠినమైన రుజువు గౌస్ (1799)కి చెందినది. "సంక్లిష్ట సంఖ్య" అనే పదాన్ని 1831లో విస్తృతంగా వాడుకలోకి తెచ్చిన వ్యక్తి గౌస్, అయితే ఈ పదాన్ని గతంలో ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లాజరే కార్నోట్ 1803లో అదే అర్థంలో ఉపయోగించారు. 3
వాస్తవ సంఖ్యల జతలుగా సంక్లిష్ట సంఖ్యల అంకగణిత (ప్రామాణిక) నమూనాను హామిల్టన్ (1837) నిర్మించారు; ఇది వారి లక్షణాల స్థిరత్వాన్ని రుజువు చేసింది. చాలా ముందుగానే, 1685లో, తన రచన "ఆల్జీబ్రా"లో, వాలిస్ (ఇంగ్లండ్) దానిని చూపించాడు. సంక్లిష్ట మూలాలువాస్తవ కోఎఫీషియంట్‌లతో కూడిన చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని రేఖాగణితంగా, విమానంలోని పాయింట్ల ద్వారా సూచించవచ్చు. కానీ అది గమనించకుండా పోయింది. తదుపరిసారి వెసెల్ (1799) యొక్క పనిలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు వాటిపై కార్యకలాపాల యొక్క రేఖాగణిత వివరణ కనిపించింది. ఆధునిక రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం, కొన్నిసార్లు "అర్గాండ్ రేఖాచిత్రం" అని పిలుస్తారు, ఇది 1806 మరియు 1814లో J. R. అర్గాండ్ యొక్క పనిని ప్రచురించిన తర్వాత వాడుకలోకి వచ్చింది, ఇది వెసెల్ యొక్క తీర్మానాలను స్వతంత్రంగా పునరావృతం చేసింది. "మాడ్యులస్", "ఆర్గ్యుమెంట్" మరియు "కంజుగేట్ నంబర్" అనే పదాలను కౌచీ ప్రవేశపెట్టారు. అందువల్ల, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు కూడా స్వచ్ఛమైన అమలుకు సరిపోతాయని కనుగొనబడింది. బీజగణిత కార్యకలాపాలుసమతలంలో వెక్టర్స్ యొక్క కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు విభజన, ఇది వెక్టర్ బీజగణితాన్ని బాగా మార్చింది. 4

అధ్యాయం II. కాంప్లెక్స్ సంఖ్య పద్ధతి యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు
[ 1 ]
,
[2], [3] [4] కాంప్లెక్స్ సంఖ్యల రేఖాగణిత వివరణ దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఇచ్చిన సెగ్మెంట్ పొడవు కార్టేసియన్ వ్యవస్థవిమానంలో కోఆర్డినేట్‌లు, సంక్లిష్ట సంఖ్య z = x+iy (i 2 = -1) అనేది విమానం యొక్క పాయింట్ Mతో x, y (Fig. 1) కోఆర్డినేట్‌లతో అనుబంధించబడిన ఒకదానికొకటి ఉంటుంది: z = x + iy ↔M (x, y) ↔M (z) . అప్పుడు z సంఖ్యను పాయింట్ M యొక్క సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్ అని పిలుస్తారు. యూక్లిడియన్ విమానం యొక్క బిందువుల సమితి సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమితితో ఒకదానికొకటి అనురూప్యంలో ఉన్నందున, ఈ విమానం సంక్లిష్ట సంఖ్యల విమానం అని కూడా పిలువబడుతుంది. కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలం Oని సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమతలం యొక్క ప్రారంభ లేదా సున్నా బిందువు అంటారు. ఎప్పుడు = 0 సంఖ్య z వాస్తవమైనది. వాస్తవ సంఖ్యలు x-అక్షంలోని బిందువులచే సూచించబడతాయి, అందుకే దీనిని వాస్తవ అక్షం అంటారు. x=0 వద్ద, z సంఖ్య పూర్తిగా ఊహాత్మకం: z=iy. ఊహాత్మక సంఖ్యలు y-అక్షం మీద పాయింట్లచే సూచించబడతాయి, అందుకే దీనిని ఊహాత్మక అక్షం అంటారు. జీరో అనేది నిజమైన మరియు పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్య. O విమానం ప్రారంభం నుండి బిందువు M(z) వరకు ఉన్న దూరాన్ని z సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క మాడ్యులస్ అంటారు మరియు ఇది |z|తో సూచించబడుతుంది. లేదా r: | z | = r = | ఓం | = √ x 2 + y 2 φ అనేది వెక్టార్ ⃗ OM ద్వారా x అక్షంతో ఏర్పడిన ఓరియెంటెడ్ కోణం అయితే, సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ నిర్వచనం ప్రకారం sin φ = y r, cos φ = x r 5
ఎక్కడ నుండి x = r cos φ, y = r sin φ, అందువలన z = r (cos φ + sin φ). సంక్లిష్ట సంఖ్య z యొక్క ఈ ప్రాతినిధ్యాన్ని దాని అంటారు
త్రికోణమితి

cheskoe
రూపం. అసలు ప్రాతినిధ్యం z=x+iy అంటారు
బీజగణితం
ఈ సంఖ్య యొక్క రూపం. వద్ద త్రికోణమితి ప్రాతినిధ్యంకోణాన్ని  సంక్లిష్ట సంఖ్య యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ అని పిలుస్తారు మరియు arg z ద్వారా కూడా సూచించబడుతుంది: φ = arg z సంక్లిష్ట సంఖ్య z = x + iy ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు సంఖ్య ´ z = x - iy అంటారు.
సంక్లిష్ట సంయోగం
(లేదా కేవలం
సంయోగం
) ఈ సంఖ్యకు z. అప్పుడు, స్పష్టంగా, z సంఖ్య కూడా ´ z సంఖ్యతో సంయోగం అవుతుంది. M(z) మరియు M 1 (´ z) బిందువులు x అక్షం గురించి సుష్టంగా ఉంటాయి. z = ´ z సమానత్వం నుండి y = 0 మరియు వైస్ వెర్సా. దాని అర్థం ఏమిటంటే
సమానమైన సంఖ్య

దాని సంయోగం నిజమైనది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.
z మరియు -z సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్లు ప్రారంభ బిందువు Oకి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి. z మరియు − ´z సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్లు y-యాక్సిస్‌కు సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి. సమానత్వం z = ´ z నుండి అది x = 0 మరియు వైస్ వెర్సాను అనుసరిస్తుంది. కాబట్టి, షరతు z =− ´ z అనేది పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్యకు ప్రమాణం. ఏదైనా సంఖ్య z కోసం, స్పష్టంగా | z | = | z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి
రెండు సంయోగ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు వాస్తవ సంఖ్యలు: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. కాంప్లెక్స్ 6 యొక్క మొత్తం, ఉత్పత్తి లేదా భాగానికి సంయోగం చేసే సంఖ్య
సంఖ్యలు వరుసగా, ఇవ్వబడిన సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు సంయోగం చేసే సంఖ్యల మొత్తం, ఉత్పత్తి లేదా గుణకం: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; z 1 z 2 = z 1 z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై కార్యకలాపాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించి ఈ సమానతలను సులభంగా ధృవీకరించవచ్చు. a మరియు b వరుసగా A మరియు B పాయింట్ల సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లు అయితే, c = a + b అనేది పాయింట్ C యొక్క కోఆర్డినేట్, అంటే ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Fig. 3). సంక్లిష్ట సంఖ్య d = a − b అనేది ⃗ OD = ⃗ OA - ⃗ OB అనే పాయింట్ Dకి అనుగుణంగా ఉంటుంది. A మరియు B పాయింట్ల మధ్య దూరం | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a - b ∨¿ (1) ¿ z ∨ 2 = z ´ z , అప్పుడు ¿ AB ∨ 2 =(a - b) (´ a) .. (2)
సమీకరణం
z´ z = r 2
కేంద్రంతో వృత్తాన్ని నిర్వచిస్తుంది

వ్యాసార్థం గురించి

ఆర్.
సంబంధం AC CB = λ, (λ ≠ − 1) దీనిలో C విభజించబడింది ఈ విభాగం AB, ఈ పాయింట్ల సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది: λ = c - a b - c, λ = ´ λ, ఇక్కడ నుండి c = a + λb 1 + λ (3) λ = 1 కోసం, పాయింట్ C అనేది మధ్య బిందువు AB విభాగంలో, మరియు వైస్ వెర్సా. అప్పుడు: c = 1 2 (a + b) (4) సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం సూత్రం ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది, అంటే, | a b | = | ఒక || బి | , మరియు 7
సమాంతరత మరియు లంబంగా మూడు బిందువుల సమరేఖీయత సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమతలంలో A(a) మరియు B(b) పాయింట్లను ఇవ్వనివ్వండి. వెక్టర్స్ ⃗ OA మరియు ⃗ OB arg a = arg b అయితే మరియు మాత్రమే సహ-దర్శకత్వం వహించబడతాయి, అనగా arg a – arg b=arg a b =0 (సంక్లిష్ట సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు, విభజన యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్ ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి తీసివేయబడుతుంది. డివిడెండ్). arg a - arg b= arg a b = ± π అయితే మాత్రమే ఈ వెక్టార్‌లు వ్యతిరేక దిశల్లో నిర్దేశించబడతాయని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. 0, π, - π వాదనలతో కూడిన సంక్లిష్ట సంఖ్యలు వాస్తవమైనవి.
పాయింట్లు O, A, B కోసం కొలినియారిటీ ప్రమాణం:
A(a) మరియు B(b) పాయింట్లు O ప్రారంభ బిందువుతో కొలీనియర్‌గా ఉండాలంటే, a b అనేది వాస్తవ సంఖ్య, అనగా a b = ´ a ´ b లేదా a ´ b = ´ a b (6 ) ఇప్పుడు A(a), B(b), C(c), D(d) పాయింట్లను తీసుకోండి. వెక్టర్స్ ⃗ BA మరియు ⃗ DC collie లు కాంప్లెక్స్ ద్వారా పాయింట్లు నిర్వచించబడినట్లయితే మరియు మాత్రమే సంఖ్యలు a-bమరియు с-d, ప్రారంభం Oతో సమిష్టిగా ఉంటాయి. గమనిక: 1. (6) ఆధారంగా మనకు: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a - b) (´ c - ´ d) =(´ a − ´ b ) (సి - డి) ; (8) 2. పాయింట్లు A, B, C, D యూనిట్ సర్కిల్ z z = 1కి చెందినట్లయితే, అప్పుడు ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ; ´ c = 1 c ; ´ d = 1 d మరియు అందువల్ల పరిస్థితి (8) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. A, B, C బిందువుల కోలినియారిటీ వెక్టర్స్ ⃗AB మరియు ⃗AC యొక్క కోలినియారిటీ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. (8) ఉపయోగించి, మనం పొందుతాము: (a - b) (´ a - ´ c) =(´ a - ´ b) (a - c) (10) A, B, C అనే పాయింట్‌లకు సంబంధించిన ప్రమాణం ఇది అదే సరళ రేఖకు. ఇది సుష్ట రూపంలో a (´ b -´ c) + b (´ c -´ a) + c (´ a - ´ b) = 0 (11) 8
పాయింట్లు A మరియు B లు z´ z = 1 యూనిట్ సర్కిల్‌కు చెందినట్లయితే, అప్పుడు ´ a = 1 a; ´ b = 1 b మరియు అందువల్ల ప్రతి సంబంధాలు (10) మరియు (11) రూపాంతరం చెందుతాయి ((a-b) ద్వారా తగ్గించబడిన తర్వాత: c + ab ´ c = a + b (12) పాయింట్లు A మరియు B స్థిరంగా ఉంటాయి, మరియు పాయింట్ మేము C ను వేరియబుల్‌గా పరిగణిస్తాము, దాని కోఆర్డినేట్‌ను z ద్వారా పునఃరూపకల్పన చేస్తాము. అప్పుడు ఫలిత సంబంధాలలో ప్రతి ఒక్కటి (10), (11), (12) AB: (´ a - ´ b) సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం అవుతుంది. z + (b - a) ´ z + a ´ b - b ´ a = 0, (10a) z + ab z = a + b. (12a) ప్రత్యేకించి, ప్రత్యక్ష OAకి a ´ z = ´ a సమీకరణం ఉంటుంది z. π 2 మరియు − π 2 ఆర్గ్యుమెంట్‌లతో కూడిన సంక్లిష్ట సంఖ్యలు పూర్తిగా ఊహాత్మకమైనవి. కాబట్టి, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b లేదా OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) ఖండితాలు AB మరియు CD సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి (a - b) (´ c - ´ d) + (´ a - ´ b) (c - d) = 0 (14) ప్రత్యేకించి, A, B, C, D పాయింట్లు ఉన్నప్పుడు z´ z = 1 యూనిట్ సర్కిల్‌కు చెందినది, అప్పుడు డిపెండెన్స్ (14) సరళీకృతం చేయబడింది: ab + cd = 0 (15) వెక్టర్స్ యొక్క స్కేలార్ ఉత్పత్తి. స్కేలార్ ఉత్పత్తివెక్టర్స్ ⃗ OA మరియు ⃗ OB కాంప్లెక్స్ కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా A మరియు B పాయింట్లు A మరియు B. a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 లెట్. అప్పుడు a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 -iy 2)+(x 1 -iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. కాబట్టి, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
ఇప్పుడు నాలుగు ఇవ్వండి ఏకపక్ష పాయింట్లు A(a), B(b), C(c), D(d) వాటి సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా. అప్పుడు 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) కోణాలు ∠ (AB ,CD) ద్వారా సానుకూలంగా ఓరియెంటెడ్ కోణం ద్వారా సూచించడానికి అంగీకరిస్తాము వెక్టర్ ⃗ తప్పనిసరిగా ABని తిప్పాలి, తద్వారా అది వెక్టర్ ⃗ CDతో సహ-దర్శకత్వం చేయబడుతుంది. అప్పుడు, cos ∠ (AB, CD)= (d - c) (´ b - ´ a) +(´ d -´ c)(b - a) 2 | d - c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d - c) (´ b -´ a) +(´ d -´ c)(b − a) 2 i | d - c || b − a | (19) వృత్తానికి సెకెంట్ల ఖండన స్థానం A, B, C మరియు D పాయింట్లు z z = 1 సర్కిల్‌పై ఉంటే, అప్పుడు ఖండన బిందువు యొక్క సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్ ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడుతుంది ´ z = (a + b) − (c + d) ab - cd (20) AB CDకి లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు z= 1 2 (a+b+c+d) (21) వృత్తం 10కి టాంజెంట్‌ల ఖండన స్థానం
z ´ z =1 వృత్తానికి టాంజెంట్‌ల ఖండన బిందువు యొక్క సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్ దాని పాయింట్ల వద్ద A(a) మరియు B(b) ఫార్ములా z= 2ab a + b (22) పాయింట్ యొక్క ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ ద్వారా కనుగొనబడుతుంది ఒక సరళ రేఖపైకి M(m) బిందువు యొక్క ఆర్తోగోనల్ ప్రొజెక్షన్ ఒక సరళ రేఖ AB పై, A(a) మరియు B(b) ఫార్ములా ద్వారా కనుగొనబడిన సందర్భంలో A మరియు B యూనిట్ సర్కిల్ z= 1 2కి చెందినప్పుడు (a + b + m - cb m) .
అధ్యాయం III.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలలో త్రిభుజం జ్యామితి
సంక్లిష్ట సంఖ్యల సమతలంలో, ఒక త్రిభుజం దాని శీర్షాలకు అనుగుణంగా మూడు సంక్లిష్ట సంఖ్యలచే నిర్వచించబడుతుంది. త్రిభుజం యొక్క సెంట్రాయిడ్ మరియు ఆర్థోసెంటర్. [2 ] త్రిభుజం ABC మరియు ఏదైనా బిందువు O యొక్క సెంట్రాయిడ్ G (మధ్యస్థాల ఖండన స్థానం) కోసం కింది సమానత్వం నిజమని తెలుసు: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). కాబట్టి, సెంట్రాయిడ్ G యొక్క కాంప్లెక్స్ కోఆర్డినేట్ g ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది g = 1 3 (a + b + c) (23) త్రిభుజం ABC యొక్క ఆర్థోసెంటర్ H యొక్క సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌ను a, b, కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా వ్యక్తీకరిద్దాం. దాని శీర్షాల సి. AH, BH, CH పంక్తులు వరుసగా A1, B1, C1 పాయింట్ల వద్ద త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలతను కలుస్తాయి. ఈ వృత్తం z ´ z =1 సమీకరణాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి, ఆపై (15) ప్రకారం మనకు: a 1 = - bc a , b 1 = - ca b , c 1 = - ab c సూత్రం (20) h = (a + a 1 ) -(b + b 1) a a 1 - bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
h=a+b+c ఎక్కడ నుండి వస్తుంది. (24) ఫలిత వ్యక్తీకరణలో త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లు సమరూపంగా ఉంటాయి, కాబట్టి త్రిభుజం యొక్క మూడవ ఎత్తు మొదటి రెండు ఖండన స్థానం గుండా వెళుతుంది. ఇలాంటి త్రిభుజాలు [2,1] ABC మరియు A 1 B 1 C 1 త్రిభుజాలు సారూప్యమైనవి మరియు ఒకే విధంగా ఉంటాయి (మొదటి రకమైన సారూప్యత), B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC మరియు కోణాలు B 1 A 1 C 1 మరియు BAC సమానంగా ఉంటే (కోణాలు ఓరియెంటెడ్‌గా ఉంటాయి). సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి, ఈ సమానతలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: |a 1 -b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 = arg c - a b - a . రెండు సమానత్వాలు 1 − a 1 c - a = b 1 - a 1 b - a = σ , (25) ఇక్కడ σ అనేది సంక్లిష్ట సంఖ్య, |σ|=k-సారూప్యత గుణకం. σ నిజమైతే, c 1 - a 1 c - a = ´ c 1 - ´ a 1 ´ c - ´ a , ఇక్కడ AC║A 1 C 1. తత్ఫలితంగా, ABC మరియు A 1 B 1 C 1 త్రిభుజాలు సజాతీయంగా ఉంటాయి. సంబంధం (25) అవసరం మరియు తగినంత పరిస్థితితద్వారా ABC మరియు A 1 B 1 C 1 త్రిభుజాలు ఒకేలా ఉంటాయి మరియు సమానంగా ఉంటాయి. దీనికి ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) సమాన త్రిభుజాలు అయితే | σ | = 1, అప్పుడు ABC మరియు A 1 B 1 C 1 త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు సంబంధం (25) అనేది ఒకేలా ఆధారిత త్రిభుజాల సమానత్వానికి సంకేతం, మరియు సంబంధం (26) అనేది వ్యతిరేక ఆధారిత త్రిభుజాల సమానత్వానికి సంకేతం. సాధారణ త్రిభుజాలు మీకు ఓరియెంటెడ్ కావాలంటే త్రిభుజం ABCఆధారిత త్రిభుజం BCA వలె ఉంటుంది, అప్పుడు త్రిభుజం ABC రెగ్యులర్‌గా ఉంటుంది. 12
కాబట్టి, (25) నుండి మేము త్రిభుజం ABC రెగ్యులర్‌గా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు తగినంత షరతును పొందుతాము (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) త్రిభుజం వైశాల్యం (రచయిత ద్వారా నిరూపించబడింది) మేము సానుకూలంగా ఆధారిత త్రిభుజం ABC యొక్క ప్రాంతం S కోసం సూత్రాన్ని పొందాము: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c - a) (´ b - ´ a) − (b - a) (´ c - ´ a)) = − 1 4i (a (´ b - ´ c) + b (´ c - ´ a) + c (´ a - ´ b)) లేదా S = i 4 (a (´ b - ´ c) + b (´ c - ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) ఒకవేళ త్రిభుజం ABC z ´ z = 1 సర్కిల్‌లో చెక్కబడి, ఆపై సూత్రం (28) రూపానికి రూపాంతరం చెందుతుంది: S = i 4 (a - b)(b - c)(c - a) abc (29) a యొక్క మధ్యరేఖ గురించి సిద్ధాంతం త్రిభుజం (రచయితచే నిరూపించబడింది)
సిద్ధాంతం
. మధ్య రేఖత్రిభుజం పునాదికి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు దానిలో సగానికి సమానంగా ఉంటుంది. రుజువు. M మరియు N పాయింట్లు AB మరియు BC భుజాల మధ్య బిందువులుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు m = b 2 ; n = b + c 2 . z 2 =z ´ z, అప్పుడు MN 2 =(m-n)(´ m - n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − బి ´ బి + బి ´ సి 4 - బి
సి , అందువలన MN ║AC. థేల్స్ సిద్ధాంతం (రచయితచే నిరూపించబడింది)
సిద్ధాంతం
. కోణం యొక్క ఒక వైపు సమాంతర రేఖలు సమాన భాగాలను కత్తిరించినట్లయితే, కోణం యొక్క మరొక వైపు అవి సమాన భాగాలను కత్తిరించాయి. రుజువు c=kb అని అనుకుందాం. BD||CE అయితే, మనకు (b-d)(´ c - 2 ´ d ¿= (´ b - ´ d) (c - 2d) బ్రాకెట్‌లను తెరిచి తీసుకురావడం సారూప్య నిబంధనలు, మనకు b´ c - 2 b ´ d - c d = ´ b c - 2 ´ b d - c ´ d cని kbతో మరియు ´ cని k ´bతో భర్తీ చేస్తే, మనకు bk ´ b -2b వస్తుంది ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . సారూప్య పదాలను మళ్లీ తీసుకురావడం మరియు ప్రతిదీ ఒక వైపుకు తరలించడం, మేము 2b ´ d + dk ´ b - 2 ´ b d - kb ´ d =0 పొందుతాము. మేము దానిని బయటకు తీస్తాము సాధారణ గుణకంమరియు మనకు 2(b´ d - ´ b d ¿+ k (´ b d - b ´ d) = 0. అందుకే k=2, అంటే c=2b. అదేవిధంగా, f=3b, మొదలైనవి అని నిరూపించబడింది. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ( రచయిత నిరూపించారు) బి కుడి త్రిభుజంహైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం మొత్తానికి సమానంచదరపు కాళ్ళు 14
రుజువు. పాయింట్లు B మరియు C మధ్య దూరం BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´bకి సమానం. నుండి |z| 2 = z ´ z , ఆపై AC 2 =(a-c)(c ´ a - ´ ¿ ¿=(a - 0) (´ a - 0)=a ´ a. AB 2 =(a-b)(´ a - ´ b) ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. b అనేది వాస్తవ సంఖ్య కాబట్టి, అనగా b= ´ b, అప్పుడు -a ´ b =- ab. పాయింట్ A Oy అక్షం మీద ఉంటుంది కాబట్టి, ఆపై a = - ´ a, అంటే - ´ ab = ab. అందువలన, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. సిద్ధాంతం ఆయిలర్ యొక్క సరళ రేఖ (రచయితచే నిరూపించబడింది) త్రిభుజం యొక్క ఆర్థోసెంటర్, సెంట్రాయిడ్ మరియు చుట్టుకేంద్రం ఒకే సరళ రేఖపై ఉన్నాయని నిరూపిద్దాం (ఈ సరళ రేఖను యూలర్ సరళ రేఖ అంటారు), మరియు OG = 1/2GH. 15
రుజువు: పాయింట్ G(g) అనేది ABC త్రిభుజం యొక్క సెంట్రాయిడ్, H(h) అనేది ఆర్థోసెంటర్ మరియు O(o) అనేది త్రిభుజం యొక్క చుట్టుపక్కల వృత్తం యొక్క కేంద్రం. ఈ పాయింట్లు కొలినియర్‌గా ఉండాలంటే, సమానత్వం (10) తప్పనిసరిగా సంతృప్తి చెందాలి: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g - ´ o ¿ (g - h) =0 మనం పాయింట్ Oని తీసుకుందాం మూలం, ఆపై g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g - h) =g 2 -g ´ h -¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) ది ఆర్థోసెంటర్ యొక్క కాంప్లెక్స్ కోఆర్డినేట్ ఫార్ములా (24) h=a+b+c, (30a) మరియు సెంట్రాయిడ్ సూత్రం (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) ప్రకారం (30c) ప్రత్యామ్నాయంగా లెక్కించబడుతుంది. 30), మనకు 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿)) = 0. సమానత్వం (10) సంతృప్తి చెందింది, కాబట్టి, సెంట్రాయిడ్, ఆర్థోసెంటర్ మరియు చుట్టుకొలత త్రిభుజం మధ్యలో ఉన్న వృత్తాలు ఒకే సరళ రేఖపై ఉంటాయి OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) మాకు వచ్చింది, ఆ OG= 1 2 GH. సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది. 16
ఆయిలర్స్ సర్కిల్ (తొమ్మిది పాయింట్ల వృత్తం). ABC త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి రచయితచే నిరూపించబడింది. అని ఒప్పుకుందాం | OA | = | OB | = | OC | =1, అనగా. త్రిభుజం యొక్క అన్ని శీర్షాలు యూనిట్ సర్కిల్ z z z = 1కి చెందినవి (వృత్తం O యొక్క కేంద్రం మూలం మరియు వ్యాసార్థం పొడవు యొక్క యూనిట్). ఏకపక్ష త్రిభుజం యొక్క మూడు ఎత్తుల స్థావరాలు, దాని మూడు భుజాల మధ్య బిందువులు మరియు దాని శీర్షాలను ఆర్థోసెంటర్‌తో అనుసంధానించే మూడు విభాగాల మధ్య బిందువులు ఒకే సర్కిల్‌పై ఉన్నాయని మరియు దాని కేంద్రం OH సెగ్మెంట్ మధ్య బిందువు అని నిరూపిద్దాం. , ఇక్కడ H, రీకాల్, త్రిభుజం ABC యొక్క ఆర్థోసెంటర్. అటువంటి సర్కిల్ అంటారు
ఆయిలర్ సర్కిల్
. పాయింట్లు K, L మరియు M త్రిభుజం ABC యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులుగా ఉండనివ్వండి, Q, N, P పాయింట్లు దాని ఎత్తుల స్థావరాలు, పాయింట్లు F, E, D అనే పాయింట్లు దాని శీర్షాలను ఆర్థోసెంటర్‌తో అనుసంధానించే మూడు విభాగాల మధ్య బిందువులు. D, E, F, K, L, M, N, P, Q పాయింట్లు ఒకే సర్కిల్‌కు చెందినవని నిరూపిద్దాం. సంబంధిత కాంప్లెక్స్ కోఆర్డినేట్‌లను పాయింట్లకు కేటాయించండి: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; ఇ = 2 సి + ఎ + బి 2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c - ab c) , q = 1 2 (a + c + b - ac b) , p = 1 2 (c + b + a - cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | a 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | బి 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 - ఇ | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | బి 2 | O 1 N= | o 1 - n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | ఒక || బి | | సి | , O 1 Q= 1 2 | ఒక || సి | | బి | , O 1 F= 1 2 | బి || సి | | ఒక | . 17
ఎందుకంటే ABC త్రిభుజం z´ z = 1 సర్కిల్‌లో చెక్కబడి ఉంటుంది, ఆపై | ఒక | = | బి | = | సి | = 1,→ | a 2 | = | బి 2 | = | c 2 | = 1 2 | ఒక || బి | | సి | = 1 2 | ఒక || సి | | బి | = 1 2 | బి || సి | | ఒక | = 1 2 కాబట్టి, పాయింట్లు D, E, F, K, L, M, N, Q, F ఒకే వృత్తానికి చెందినవి గాస్ సిద్ధాంతం ABC త్రిభుజం BC, CA, AB భుజాలను కలిగి ఉన్న పంక్తులను ఒక పంక్తి వరుసగా కలుస్తే, వద్ద పాయింట్లు A 1, B 1 , C 1, ఆపై AA 1, BB 1, СС 1 విభాగాల మధ్య బిందువులు కోలినియర్. రుజువు. (11) ఉపయోగించి, మేము AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c పాయింట్ల ట్రిపుల్స్ యొక్క కోలినియరిటీ కోసం షరతులను వ్రాస్తాము - బి (ఎ 0 ,) సి - బి ఎ () బి - ఎ () ఎ - సి బి (0,) ఎ - సి బి () సి - బి () బి - ఎ సి (0,) బి - ఎ (సి) ఎ - సి () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                 b c అయితే మధ్య బిందువు N, 1 విభాగాలు AA 1, BB 1, CC 1 , అప్పుడు మేము 0) () () (      n m p m p n p n m (32) నుండి), (2 1), (2 1), (2 1 అని చూపించాలి 1 1 1 c c pbb n a m       అప్పుడు నిరూపించబడుతున్న సమానత్వం (31) దీనికి సమానం: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1           b b a c c a c c b b c c b b a లేదా గుణకారం తర్వాత: 0) () () () () () () () () () 1 1 1 1 1 1 1 1        b a c b a with b a c b a c a c b a with b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) ఇప్పుడు చూడటం సులభం (33) సమానతలను పదం వారీగా చేర్చడం ద్వారా పొందబడుతుంది (31). రుజువు పూర్తయింది. . 18

అధ్యాయం IV.

సంక్లిష్ట సంఖ్య పద్ధతిని ఉపయోగించి USE సమస్యలు మరియు వివిధ ఒలింపియాడ్‌లను పరిష్కరించడం.
సమస్య 1. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ -2012, P-4 లంబ కోణం C ఉన్న లంబకోణం ABC యొక్క మధ్యస్థ ADని కలిగి ఉన్న లైన్‌పై, 4కి సమానమైన దూరంలో ఉన్న శీర్షం A నుండి దూరంగా ఉన్న పాయింట్ E తీసుకోబడుతుంది. వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి త్రిభుజం BCE అయితే BC=6, AC= 4. మొదటి పరిష్కారం. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AD=5. అప్పుడు ED=1 కిరణం ADపై పాయింట్ E ఉండనివ్వండి. మధ్యస్థ AD AE కంటే పొడవుగా ఉంటుంది మరియు పాయింట్ E త్రిభుజం ABC (Fig. 1) లోపల ఉంటుంది. లంబంగా EFని పాయింట్ E నుండి లైన్ BCకి వదిలివేసి, DEF మరియు DAC లాంటి లంబ త్రిభుజాలను పరిశీలిద్దాం. ఈ త్రిభుజాల సారూప్యత నుండి మనం కనుగొన్నాము: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
కాబట్టి, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. ఇప్పుడు E మరియు D (Fig. 2) మధ్య A అబద్ధాన్ని సూచించనివ్వండి. ఈ సందర్భంలో ED=9 మరియు EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . అప్పుడు S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. సమాధానం: 2.4; 21.6 సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించడం. కేస్ I: పాయింట్ E రే ADపై ఉంటుంది. D అనేది CBకి మధ్యలో ఉన్నందున, CD=3. మరియు CA=4 నుండి, AD=5, అంటే DE=1 అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. పాయింట్ Cని ప్రారంభ బిందువుగా మరియు CA మరియు CB పంక్తులను నిజమైన మరియు ఊహాత్మక అక్షాలుగా తీసుకుందాం. తర్వాత A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). పాయింట్లు A, E మరియు D కోలినియర్, అప్పుడు e - 4 3i - e = 4 అంటే e= 12i + 4 5 . సూత్రం ప్రకారం (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e - ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 కేస్ II: పాయింట్ A పాయింట్లు D మరియు E మధ్య ఉంటుంది , అప్పుడు 4 - e 3i - 4 = 4 5 , అనగా e= 36 - 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 - 12 i 5 - − 36 − 12i 5 పరిష్కరించడానికి. 4 మరియు 21 మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగించి ఒక సమస్య, అనేక అంచనాలను కలిగి ఉండటం అవసరం, అది వెంటనే కనిపించకపోవచ్చు, కానీ చాలా కాలం తార్కికం తర్వాత, విద్యార్థి బాగా సిద్ధమైనట్లయితే, అప్పుడు పరిష్కారం తక్షణమే ఏర్పడుతుంది. రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరించడం, మేము రెడీమేడ్ ఫార్ములాలను ఉపయోగిస్తాము, శోధనలో సమయాన్ని ఆదా చేస్తాము, అయినప్పటికీ, సూత్రాలు తెలియకుండా, సంక్లిష్ట సంఖ్య పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించలేమని మేము అర్థం చేసుకున్నాము. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతి పద్ధతికి దాని స్వంతం ఉంటుంది. లాభాలు మరియు నష్టాలు.
టాస్క్ 2 (MIOO, 2011):
“పాయింట్ M సెగ్మెంట్ ABపై ఉంది. AB వ్యాసం కలిగిన వృత్తంలో, పాయింట్ C తీసుకోబడుతుంది, A, M మరియు B పాయింట్ల నుండి వరుసగా 20, 14 మరియు 15 దూరంలో ఉంటుంది. త్రిభుజం BMC వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి." 20
పరిష్కారం: AB అనేది వృత్తం యొక్క వ్యాసం కాబట్టి, ∆ ABC దీర్ఘచతురస్రాకారంగా ఉంటుంది, ∠ C = 90 ° C ని ఇలా తీసుకుందాం సున్నా పాయింట్విమానం, తర్వాత A(20i), B(15), M(z). CM=14 కాబట్టి, సమానత్వం z z z = 196 నిజం, అనగా పాయింట్ M ∈ పాయింట్ C మరియు r=14 వద్ద కేంద్రంతో వృత్తం. ఈ సర్కిల్ యొక్క ఖండన బిందువులను AB పంక్తితో కనుగొనండి: AB (10a) రేఖ యొక్క సమీకరణం: 20 i (15 -´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i - 15) = 0 పునఃస్థాపన ´ z 196 z తో మరియు మొత్తం సమీకరణాన్ని (4 i - 3) ద్వారా గుణిస్తే, మేము z కోసం వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము: 25 z 2 + 120 i (4 i - 3) z + 196 (4 i - 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 ఫార్ములా (28) ఉపయోగించి, మేము ప్రాంతం ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b - ´ c) + b (´ c) − ´ z) + c (´ z - ´ b)) ఎక్కడ c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 - 4 i) (6 i ± √ 13) పూర్తయింది సమానమైన పరివర్తనలు, మేము S = 54 ± 12 √ 13 sq. యూనిట్లు సమాధానం. 54 ± 12 √ 13 చ. యూనిట్లు మీరు సమస్యను పరిష్కరిస్తే రేఖాగణిత పద్ధతులు, అప్పుడు రెండు వేర్వేరు కేసులను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం: 1వ - పాయింట్ M A మరియు D మధ్య ఉంటుంది; 2వ - D మరియు B. మధ్య 21

సంక్లిష్ట సంఖ్యల పద్ధతిని ఉపయోగించి సమస్యను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, ఒక వృత్తం మరియు రేఖ యొక్క ఖండన యొక్క రెండు పాయింట్ల ఉనికి కారణంగా పరిష్కారం యొక్క ద్వంద్వత్వం పొందబడుతుంది. ఈ పరిస్థితి సాధారణ తప్పును నివారించడానికి అనుమతిస్తుంది.
సమస్య 3
ABC త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ AA 1, BB 1 మరియు CC 1 పాయింట్ M వద్ద కలుస్తాయి. ఇది AB=6MC 1 అని తెలుస్తుంది. ABC త్రిభుజం కుడి త్రిభుజం అని నిరూపించండి. పరిష్కారం: C అనేది విమానం యొక్క సున్నా బిందువుగా ఉండనివ్వండి మరియు A పాయింట్‌కి నిజమైన యూనిట్‌ను కేటాయించండి. b అనేది పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్య అని నిరూపించడానికి సమస్య తగ్గుతుంది. AB 2 = (b - 1) (´ b - 1) . M అనేది సెంట్రాయిడ్, దాని కోఆర్డినేట్ 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 - 1 2 b - 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 - 1 2 ´ b - 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) AB=6MC 1 నుండి, అప్పుడు (b - 1) (´ b - 1) = (b + 1) (´ b + 1) . పరివర్తనలను పూర్తి చేసిన తర్వాత, మేము b =- ´ bని పొందుతాము, అనగా b అనేది పూర్తిగా ఊహాత్మక సంఖ్య, అనగా C కోణం ఒక సరళ రేఖ.
టాస్క్ 4.
22
పాయింట్ O చుట్టూ 90° భ్రమణ ఫలితంగా, సెగ్మెంట్ AB సెగ్మెంట్ A "B"గా మారింది. OAB త్రిభుజం యొక్క మధ్యస్థ OM "B" రేఖకు లంబంగా ఉందని నిరూపించండి. పరిష్కారం: O, A, B అక్షాంశాలు వరుసగా 0.1, bకి సమానంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు A " మరియు B " పాయింట్లు a" = i మరియు b" = bi కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు AB విభాగంలోని M మధ్యలో m = 1 2 (1 + bi) కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి. మనం కనుగొంటాము: a " - b m - 0 = i - b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i - b) i - b = 2i సంఖ్య పూర్తిగా ఊహాత్మకం. పెర్పెండిక్యులారిటీ ప్రమాణం ఆధారంగా (విభాగాలు AB మరియు CD లంబంగా ఉంటాయి మరియు సంఖ్య a - b c - d పూర్తిగా ఊహాత్మకంగా ఉంటే మాత్రమే), OM మరియు A 'B పంక్తులు లంబంగా ఉంటాయి.
సమస్య 5
. 23
త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు యొక్క పునాది నుండి, ఈ ఎత్తుకు అనుగుణంగా లేని రెండు వైపులా లంబంగా పడిపోతుంది. ఈ లంబాల స్థావరాల మధ్య దూరం త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదని నిరూపించండి. పరిష్కారం: త్రిభుజం ABC ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు దాని చుట్టూ ఉన్న వృత్తం z ´ z = 1 సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. CD అనేది త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు అయితే, d = 1 2 (a + b + c - ab c) పాయింట్ D నుండి AC మరియు BCకి పడిపోయిన లంబాల M మరియు N స్థావరాల సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి. m = 1 2 (a + c + d - ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d - bc ´ d 2) మేము కనుగొన్నాము: m - n = 1 2 (a - b + c ´ d ( b - a)) = 1 2 ( a - b) (1 − c ´ d) = (a - b) (a - c) (b - c) 4 ab నుండి | ఒక | = | బి | = 1, అప్పుడు | m - n | = | (a - b) × (b - c) (c - a) | 4 . ఈ వ్యక్తీకరణ a, b, c, i.eకి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది. దూరం MN త్రిభుజం ఎత్తు ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు.
ముగింపు
24
"తప్పకుండా! సంక్లిష్ట సంఖ్యలు లేకుండా అన్ని సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు. కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే సంక్లిష్ట సంఖ్యల బీజగణితం మరొకటి సమర్థవంతమైన పద్ధతిప్లానిమెట్రిక్ సమస్యలను పరిష్కరించడం. మేము ఇచ్చిన పనికి మరింత ప్రభావవంతమైన పద్ధతిని ఎంచుకోవడం గురించి మాత్రమే మాట్లాడగలము. నిర్దిష్ట సమస్యకు అన్వయించకుండా సాధారణంగా ఈ పద్ధతులను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే నిర్దిష్ట పద్ధతి యొక్క ప్రయోజనాల గురించి వివాదాలు అర్థరహితం” [2]. పద్ధతి యొక్క అధ్యయనంలో పెద్ద స్థానం సూత్రాల సమితిచే ఆక్రమించబడింది. ఇది
ప్రధాన ప్రతికూలత
పద్ధతి మరియు అదే సమయంలో
గౌరవం
, ఇది తగినంతగా పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది కాబట్టి క్లిష్టమైన పనులుప్రాథమిక గణనలతో రెడీమేడ్ సూత్రాల ప్రకారం. అదనంగా, ప్లానిమెట్రీ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు నేను నమ్ముతున్నాను ఈ పద్ధతిసార్వత్రికమైనది.
గ్రంథ పట్టిక
1. మార్కుషెవిచ్ A.I. కాంప్లెక్స్ నంబర్లు మరియు కన్ఫార్మల్ మ్యాపింగ్స్ - M.: స్టేట్ పబ్లిషింగ్ హౌస్ ఆఫ్ టెక్నికల్ అండ్ థియరిటికల్ లిటరేచర్, 1954. - 52 p. 25
2. పొనారిన్ యా. పి. జ్యామితీయ సమస్యలలో సంక్లిష్ట సంఖ్యల బీజగణితం: పాఠశాలల గణిత తరగతుల విద్యార్థులకు, ఉపాధ్యాయులు మరియు బోధనా విశ్వవిద్యాలయాల విద్యార్థుల కోసం ఒక పుస్తకం - M.: MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. ష్వెత్సోవ్ D. సిమ్సన్ లైన్ నుండి డ్రోజ్-ఫార్నీ సిద్ధాంతం వరకు, క్వాంట్. - నం. 6, 2009. – పే. 44-48 4. యాగ్లోమ్ I. M. రేఖాగణిత పరివర్తనాలు. సరళ మరియు వృత్తాకార రూపాంతరాలు. - స్టేట్ పబ్లిషింగ్ హౌస్ ఆఫ్ టెక్నికల్ అండ్ థియరిటికల్ లిటరేచర్, 1956. – 612 p. 5. యాగ్లోమ్ I.M. కాంప్లెక్స్ సంఖ్యలు మరియు జ్యామితిలో వాటి అప్లికేషన్ - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. మోర్కోవిచ్ A.G. మరియు ఇతరులు, బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం 10వ తరగతి. 2 గంటల్లో. పార్ట్ 1. సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులకు పాఠ్య పుస్తకం (ప్రొఫైల్ స్థాయి) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. ఆండ్రోనోవ్ I.K. వాస్తవ మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల గణితం - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26

అప్లికేషన్

సాంప్రదాయ సిద్ధాంతాలుప్రాథమిక జ్యామితి

న్యూటన్ సిద్ధాంతం.
ఒక వృత్తం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన చతుర్భుజంలో, వికర్ణాల మధ్య బిందువులు వృత్తం యొక్క కేంద్రంతో సమిష్టిగా ఉంటాయి. 27
రుజువు. వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని మూలంగా తీసుకుందాం, దాని వ్యాసార్థాన్ని ఒకదానికి సమానంగా సెట్ చేయండి. ఈ చతుర్భుజ త్రిభుజం A o B o C o D o భుజాల సంపర్క బిందువులను A, B, C, D (వృత్తాకార క్రమంలో) (Fig. 4) ద్వారా సూచిస్తాము. M మరియు N వరుసగా A o C o మరియు B o D o అనే వికర్ణాల మధ్య బిందువులుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, z = 2ab a + b వృత్తానికి టాంజెంట్ల ఖండన బిందువుల సూత్రం ప్రకారం, పాయింట్లు A o , B o , C o , D o వరుసగా సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a         ఇక్కడ a, b, c, d అనేవి A, B, C, D పాయింట్ల సంక్లిష్ట కోఆర్డినేట్‌లు. కాబట్టి.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m   నుండి, 1 , 1 b b a a   , 1 , 1 d d c c   అప్పుడు నేరుగా n m n m  (6) ఆధారంగా పాయింట్లు O, M, N కొలినియర్ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
పాస్కల్ సిద్ధాంతం

.
లిఖించబడిన షడ్భుజి యొక్క వ్యతిరేక భుజాలను కలిగి ఉన్న రేఖల ఖండన బిందువులు ఒకే రేఖపై ఉంటాయి. 28
రుజువు. షడ్భుజి ABCDEF మరియు P FA CD N EF BC M DE AB   ) () (,) () (,) () (   (Fig. 6) ఒక వృత్తంలో చెక్కబడి ఉండనివ్వండి (Fig. 6). మనం వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని విమానం యొక్క సున్నా బిందువుగా తీసుకుందాం మరియు దాని వ్యాసార్థం యూనిట్ పొడవుకు ఉంటుంది. తర్వాత, (17) ప్రకారం, మనకు: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n డి అబ్ ఇడిబిఎమ్      మరియు అదేవిధంగా .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd fc p n           f e dc b a సంఖ్యలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి, f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1 , అప్పుడు మౌఖిక తనిఖీ ద్వారా కనుగొనబడిన వ్యక్తీకరణ దాని సంయోగం యొక్క వాస్తవ సంఖ్యతో సమానంగా ఉందని వెల్లడిస్తుంది., i. దీనర్థం M, N, P బిందువుల సమరేఖీయత.
మోంగే యొక్క సిద్ధాంతం.
ఒక వృత్తంలో చెక్కబడిన చతుర్భుజంలో, భుజాల మధ్య బిందువుల గుండా వెళుతున్న పంక్తులు మరియు. ప్రతి వికర్ణం వ్యతిరేక భుజాలకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు తదనుగుణంగా, ఇతర వికర్ణం ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తుంది. దీనిని చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క మోంగే బిందువు అంటారు. రుజువు. చతుర్భుజ ABCD వైపులా లంబంగా ఉన్న ద్విభాగాలు చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం మధ్యలో కలుస్తాయి, వీటిని మనం ప్రారంభ బిందువుగా తీసుకుంటాము. ప్రతి బిందువు M(z)కి లంబంగా ఉన్న ద్విభాగానికి [AB] సంఖ్య b a b a z   ) (2 1 పూర్తిగా ఊహాత్మకం. 29
ప్రత్యేకించి, z=0కి ఇది సమానం) (2) (b a b a   . (AB), సంఖ్య b a d c z  కి లంబంగా వైపు CD మధ్యలో గుండా వెళుతున్న రేఖలోని ప్రతి పాయింట్ N(z)కి ) (2 1 పూర్తిగా ఊహాత్మకంగా ఉండాలి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉండాలి. కానీ z=) (2 1 d c b a    ఇది సమానం) (2 b a b a   అంటే పూర్తిగా ఊహాత్మకం. కాబట్టి, సంక్లిష్ట సమన్వయంతో పాయింట్ E) ( 2 1 d c b a    సూచించిన పంక్తిపై ఉంది మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ a, b, c, d అక్షరాలకు సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, అదేవిధంగా నిర్మించిన ఇతర ఐదు పంక్తులు పాయింట్ E. 30ని కలిగి ఉంటాయి.

• మేము కనెక్షన్ల ఆధారంగా ఉంటాము, యాంత్రిక సూత్రాలపై కాదు.
• సున్నా, పాక్షిక లేదా ప్రతికూల సంఖ్యల మాదిరిగానే సంక్లిష్ట సంఖ్యలను మన సంఖ్య వ్యవస్థకు పూరకంగా పరిశీలిద్దాం.
• మేము సారాంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి గ్రాఫిక్స్‌లో ఆలోచనలను దృశ్యమానం చేస్తాము మరియు వాటిని పొడి వచనంలో ప్రదర్శించడం మాత్రమే కాదు.

మరియు మాది రహస్య ఆయుధం: సారూప్యత ద్వారా నేర్చుకోవడం. మేము వారి పూర్వీకులు, ప్రతికూల సంఖ్యలతో ప్రారంభించడం ద్వారా సంక్లిష్ట సంఖ్యలను పొందుతాము. మీ కోసం ఇక్కడ ఒక చిన్న గైడ్ ఉంది:

ప్రస్తుతానికి, ఈ పట్టిక కొంచెం అర్ధమే, కానీ అది ఉండనివ్వండి. వ్యాసం ముగిసే సమయానికి ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది.

ప్రతికూల సంఖ్యలు ఏమిటో నిజంగా అర్థం చేసుకుందాం

ప్రతికూల సంఖ్యలు అంత సులభం కాదు. మీరు 18వ శతాబ్దంలో యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రవేత్త అని ఊహించుకోండి. మీకు 3 మరియు 4 ఉన్నాయి మరియు మీరు 4 – 3 = 1 వ్రాయవచ్చు. ఇది చాలా సులభం.

అయితే 3-4 అంటే ఏమిటి? సరిగ్గా దీని అర్థం ఏమిటి? మీరు 3 నుండి 4 ఆవులను ఎలా తీసుకెళ్లగలరు? మీరు ఏమీ కంటే తక్కువ ఎలా కలిగి ఉంటారు?

ప్రతికూల సంఖ్యలు పూర్తి అర్ధంలేనివిగా పరిగణించబడ్డాయి, ఇది "మొత్తం సమీకరణాల సిద్ధాంతంపై నీడను చూపుతుంది" (ఫ్రాన్సిస్ మాసెరెస్, 1759). ఈ రోజు ప్రతికూల సంఖ్యలను అశాస్త్రీయంగా మరియు పనికిరానిదిగా భావించడం పూర్తి అర్ధంలేనిది. ప్రతికూల సంఖ్యలు ప్రాథమిక గణితాన్ని ఉల్లంఘిస్తే మీ ఉపాధ్యాయుడిని అడగండి.

ఏం జరిగింది? మేము ఉపయోగకరమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్న సైద్ధాంతిక సంఖ్యను కనుగొన్నాము. ప్రతికూల సంఖ్యలను తాకడం లేదా అనుభూతి చెందడం సాధ్యం కాదు, కానీ అవి నిర్దిష్ట సంబంధాలను వివరించడంలో మంచివి (ఉదాహరణకు అప్పు వంటివి). ఇది చాలా ఉపయోగకరమైన ఆలోచన.

"నేను మీకు 30 బాకీ ఉన్నాను" అని చెప్పే బదులు మరియు నేను నలుపు రంగులో ఉన్నానా లేదా నలుపు రంగులో ఉన్నానా అని పదాలను చదవడం ద్వారా, నేను "-30" అని వ్రాసి దాని అర్థం ఏమిటో తెలుసుకోగలను. నేను డబ్బు సంపాదించి నా అప్పులను (-30 + 100 = 70) చెల్లిస్తే, నేను ఈ లావాదేవీని కొన్ని అక్షరాలలో సులభంగా వ్రాయగలను. నేను +70తో మిగిలిపోతాను.

ప్లస్ మరియు మైనస్ సంకేతాలు స్వయంచాలకంగా దిశను సంగ్రహిస్తాయి - ప్రతి లావాదేవీ తర్వాత మార్పులను వివరించడానికి మీకు పూర్తి వాక్యం అవసరం లేదు. గణితం సరళంగా, సొగసైనదిగా మారింది. ప్రతికూల సంఖ్యలు “స్పష్టమైనవి” కాదా అనేది ఇక పట్టింపు లేదు - అవి ఉపయోగకరమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి మరియు అవి మన దైనందిన జీవితంలో స్థిరపడే వరకు మేము వాటిని ఉపయోగించాము. మీకు తెలిసిన ఎవరైనా ప్రతికూల సంఖ్యల సారాంశాన్ని ఇంకా అర్థం చేసుకోకపోతే, ఇప్పుడు మీరు వారికి సహాయం చేస్తారు.

కానీ మనం తక్కువ చేయకూడదు మానవ బాధ: ప్రతికూల సంఖ్యలు స్పృహలో నిజమైన మార్పు. e సంఖ్యను మరియు మరెన్నో కనిపెట్టిన మేధావి అయిన ఆయిలర్‌కు కూడా ఈ రోజు మనకు తెలిసినంతగా ప్రతికూల సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోలేదు. అవి లెక్కల "అర్థం లేని" ఫలితాలుగా చూడబడ్డాయి.

ఒకప్పుడు అత్యుత్తమ గణిత శాస్త్రవేత్తలను కూడా గందరగోళానికి గురిచేసే ఆలోచనలను పిల్లలు ప్రశాంతంగా అర్థం చేసుకుంటారని ఆశించడం విచిత్రం.

ఊహాత్మక సంఖ్యలను నమోదు చేస్తోంది

ఊహాత్మక సంఖ్యలతోనూ ఇదే కథ. మనం రోజంతా ఇలాంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు:

సమాధానాలు 3 మరియు -3గా ఉంటాయి. కానీ కొంతమంది తెలివైన వ్యక్తి ఇక్కడ ఒక మైనస్‌ని జోడించారని ఊహించండి:

బాగా బాగా. ఇలాంటి ప్రశ్నే మొదటి సారి చూస్తేనే జనాలు ఉలిక్కి పడుతున్నారు. మీరు సున్నా కంటే తక్కువ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని లెక్కించాలనుకుంటున్నారా? ఇది అనూహ్యమైనది! (చారిత్రాత్మకంగా నిజంగా ఉన్నాయి ఇలాంటి ప్రశ్నలు, కానీ గతంలోని శాస్త్రవేత్తలను ఇబ్బంది పెట్టకుండా, ముఖం లేని తెలివైన వ్యక్తిని ఊహించుకోవడం నాకు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది).

ప్రతికూల సంఖ్యలు, సున్నా మరియు అహేతుక సంఖ్యలు (పునరావృతం కాని సంఖ్యలు) మాదిరిగానే ఇది క్రేజీగా కనిపిస్తోంది. ఈ ప్రశ్నకు "అసలు" అర్థం లేదు, సరియైనదా?

లేదు అది నిజం కాదు. "ఊహాత్మక సంఖ్యలు" అని పిలవబడేవి ఏ ఇతర వాటిలాగే సాధారణమైనవి (లేదా అసాధారణమైనవి): అవి ప్రపంచాన్ని వివరించడానికి ఒక సాధనం. -1, 0.3 మరియు 0 "ఉన్నాయి" అని మనం ఊహించే అదే స్ఫూర్తితో, కొంత సంఖ్య i ఉందని అనుకుందాం, ఇక్కడ:

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, -1ని పొందడానికి మీరు i దానికదే గుణిస్తారు. ఇప్పుడు ఏం జరుగుతోంది?

బాగా, మొదట మనకు ఖచ్చితంగా తలనొప్పి ఉంటుంది. కానీ "నేను ఉనికిలో ఉన్నట్లు నటిద్దాం" గేమ్ ఆడటం ద్వారా మనం వాస్తవానికి గణితాన్ని సరళంగా మరియు మరింత సొగసైనదిగా చేస్తాము. మేము సులభంగా వివరించగల కొత్త కనెక్షన్లు కనిపిస్తాయి.

ఆ పాత క్రోధస్వభావం గల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు -1 ఉనికిని నమ్మనట్లే మీరు iని నమ్మరు. మెదడును ట్యూబ్‌గా మార్చే అన్ని కొత్త భావనలను గ్రహించడం కష్టం, మరియు తెలివైన ఆయిలర్‌కు కూడా వాటి అర్థం వెంటనే ఉద్భవించదు. కానీ ప్రతికూల సంఖ్యలు మనకు చూపించినట్లుగా, వింత కొత్త ఆలోచనలు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి.

"ఊహాత్మక సంఖ్యలు" అనే పదం నాకు నచ్చదు - ఇది i యొక్క భావాలను కించపరచడానికి ప్రత్యేకంగా ఎంచుకున్నట్లు అనిపిస్తుంది. i సంఖ్య ఇతరుల మాదిరిగానే సాధారణం, కానీ దానికి "ఊహాత్మక" అనే మారుపేరు అతుక్కుపోయింది, కాబట్టి మేము దానిని కూడా ఉపయోగిస్తాము.

ప్రతికూల మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యల దృశ్య అవగాహన

x^2 = 9 సమీకరణం వాస్తవానికి దీని అర్థం:

x యొక్క ఏ రూపాంతరం, రెండుసార్లు వర్తించబడుతుంది, 1ని 9గా మారుస్తుంది?

రెండు సమాధానాలు ఉన్నాయి: "x = 3" మరియు "x = -3". అంటే, మీరు "స్కేల్ బై" 3 సార్లు లేదా "స్కేల్ బై 3 మరియు ఫ్లిప్" చేయవచ్చు (ఫలితం యొక్క రివర్స్ లేదా రిసిప్రోకల్ తీసుకోవడం అన్నీ నెగటివ్‌తో గుణించడం యొక్క వివరణలు).

ఇప్పుడు x^2 = -1 అనే సమీకరణం గురించి ఆలోచిద్దాం, దీనిని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

x యొక్క ఏ రూపాంతరం, రెండుసార్లు వర్తించబడుతుంది, 1ని -1గా మారుస్తుంది? మ్.

• మనం రెండుసార్లు గుణించలేము సానుకూల సంఖ్యఎందుకంటే ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటుంది.
• మేము ప్రతికూల సంఖ్యను రెండుసార్లు గుణించలేము ఎందుకంటే ఫలితం మళ్లీ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

మరి... భ్రమణం! ఇది అసాధారణంగా అనిపిస్తుంది, అయితే మనం xని “90 డిగ్రీల భ్రమణం”గా భావిస్తే, xని రెండుసార్లు వర్తింపజేయడం ద్వారా మనం 180 డిగ్రీల భ్రమణాన్ని చేస్తాము కోఆర్డినేట్ అక్షం, మరియు 1 -1గా మారుతుంది!

వావ్! మరియు మనం దాని గురించి కొంచెం ఆలోచించినట్లయితే, మనం రెండు విప్లవాలు చేయవచ్చు వ్యతిరేక దిశ, మరియు 1 నుండి -1 వరకు కూడా వెళ్ళండి. ఇది "ప్రతికూల" భ్రమణం లేదా -i ద్వారా గుణకారం:

మనం -iతో రెండుసార్లు గుణిస్తే, మొదటి గుణకారంలో మనకు -i 1 నుండి మరియు రెండవది -1 నుండి -i వస్తుంది. కాబట్టి నిజానికి రెండు ఉన్నాయి వర్గమూలాలు-1: i మరియు -i.

ఇది చాలా బాగుంది! మనకు పరిష్కారం వంటిది ఉంది, కానీ దాని అర్థం ఏమిటి?

• నేను సంఖ్యను కొలవడానికి "కొత్త ఊహాత్మక పరిమాణం"
• i (లేదా -i) అంటే సంఖ్యలు తిప్పినప్పుడు "అవుతాయి"
• i ద్వారా గుణించడం 90 డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో తిరుగుతోంది
• -iతో గుణించడం అనేది 90 డిగ్రీల సవ్యదిశలో భ్రమణం.
• రెండు దిశలలో రెండుసార్లు తిప్పడం -1 ఇస్తుంది: ఇది మనల్ని సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల (x-యాక్సిస్) యొక్క "సాధారణ" కోణానికి తీసుకువెళుతుంది.

అన్ని సంఖ్యలు 2 డైమెన్షనల్. అవును, అంగీకరించడం కష్టం, కానీ పురాతన రోమన్లు ​​అంగీకరించడం కూడా అంతే కష్టంగా ఉండేది. దశాంశాలులేదా దీర్ఘ విభజన. (1 మరియు 2 మధ్య ఎక్కువ సంఖ్యలు ఎలా ఉన్నాయి?). ఎవరిలాగే వింతగా కనిపిస్తారు కొత్త దారిగణితంలో ఆలోచిస్తారు.

మేము "రెండు చర్యలలో 1ని -1గా మార్చడం ఎలా?" మరియు సమాధానం కనుగొనబడింది: 1 90 డిగ్రీలు రెండుసార్లు తిప్పండి. గణితంలో చాలా విచిత్రమైన, కొత్త ఆలోచనా విధానం. కానీ చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంది. (మార్గం ద్వారా, సంక్లిష్ట సంఖ్యల యొక్క ఈ రేఖాగణిత వివరణ i అనే సంఖ్యను కనుగొన్న దశాబ్దాల తర్వాత మాత్రమే కనిపించింది).

అలాగే, అపసవ్య దిశలో విప్లవాన్ని తీసుకోవడం మర్చిపోవద్దు సానుకూల ఫలితం- ఇది పూర్తిగా మానవ సమావేశం, మరియు ప్రతిదీ పూర్తిగా భిన్నంగా ఉండవచ్చు.

సెట్ల కోసం శోధించండి

వివరాల్లోకి కొంచెం లోతుగా వెళ్దాం. మీరు ప్రతికూల సంఖ్యలను (-1 వంటి) గుణించినప్పుడు, మీరు ఒక సెట్‌ని పొందుతారు:

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

-1 సంఖ్య యొక్క పరిమాణాన్ని మార్చదు, గుర్తు మాత్రమే, మీరు అదే సంఖ్యను “+” గుర్తుతో లేదా “-” గుర్తుతో పొందుతారు. x సంఖ్య కోసం మీరు పొందుతారు:

• x, -x, x, -x, x, -x...

ఇది చాలా ఉపయోగకరమైన ఆలోచన. "x" సంఖ్య మంచి మరియు చెడు వారాలను సూచిస్తుంది. అని ఊహించుకుందాం మంచి వారంచెడును భర్తీ చేస్తుంది; ఇది మంచి వారం; 47వ వారం ఎలా ఉంటుంది?

X అంటే అది చెడ్డ వారం అవుతుంది. ప్రతికూల సంఖ్యలు ఎలా "సంకేతాన్ని అనుసరిస్తాయి" అని చూడండి - మనం లెక్కించడానికి బదులుగా (-1)^47ని కాలిక్యులేటర్‌లోకి నమోదు చేయవచ్చు ("వారం 1 మంచిది, వారం 2 చెడు... వారం 3 మంచిది..."). నిరంతరం ప్రత్యామ్నాయంగా ఉండే విషయాలు ప్రతికూల సంఖ్యలను ఉపయోగించి సంపూర్ణంగా రూపొందించబడతాయి.

సరే, మనం iతో గుణించడం కొనసాగిస్తే ఏమి జరుగుతుంది?

చాలా హాస్యాస్పదంగా ఉంది, ఇవన్నీ కొద్దిగా సరళీకృతం చేద్దాం:

గ్రాఫికల్‌గా ప్రదర్శించబడిన అదే విషయం ఇక్కడ ఉంది:

మేము ప్రతి 4 వ మలుపులో చక్రం పునరావృతం చేస్తాము. ఇది ఖచ్చితంగా అర్ధమే, సరియైనదా? ఎడమవైపుకు 4 మలుపులు అస్సలు తిరగకుండా ఒకే విధంగా ఉంటాయని ఏదైనా పిల్లవాడు మీకు చెప్తాడు. ఇప్పుడు ఊహాత్మక సంఖ్యల (i, i^2) నుండి విరామం తీసుకోండి మరియు మొత్తం సెట్‌ను చూడండి:

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

ప్రతికూల సంఖ్యలు సరిగ్గా ఎలా రూపొందించబడ్డాయి అద్దం ప్రతిబింబంసంఖ్యలు, ఊహాత్మక సంఖ్యలు "X" మరియు "Y" అనే రెండు పరిమాణాల మధ్య తిరిగే దేనినైనా మోడల్ చేయగలవు. లేదా ఏదైనా చక్రీయ, వృత్తాకార ఆధారపడటం - మీ మనస్సులో ఏదైనా ఉందా?

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవడం

పరిగణించవలసిన మరో వివరాలు ఉన్నాయి: ఒక సంఖ్య "వాస్తవం" మరియు "ఊహాత్మకం" రెండూ కాగలదా?

అనుమానం కూడా వద్దు. మనం సరిగ్గా 90 డిగ్రీలు తిరగాలని ఎవరు చెప్పారు? మనం ఒక పాదంతో “నిజమైన” పరిమాణంపై మరియు మరొకటి “కల్పిత” కోణంపై నిలబడితే, అది ఇలా కనిపిస్తుంది:

మేము 45 డిగ్రీల మార్క్ వద్ద ఉన్నాము, ఇక్కడ నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు సంఖ్య కూడా “1 + i”. ఇది హాట్ డాగ్ లాంటిది, అక్కడ కెచప్ మరియు ఆవాలు రెండూ ఉంటాయి - మీరు ఒకటి లేదా మరొకటి ఎంచుకోవాలని ఎవరు చెప్పారు?

ప్రాథమికంగా, మేము నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాల కలయికను ఎంచుకోవచ్చు మరియు దాని నుండి ఒక త్రిభుజాన్ని తయారు చేయవచ్చు. కోణం "భ్రమణం యొక్క కోణం" అవుతుంది. కాంప్లెక్స్ సంఖ్య అనేది వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాన్ని కలిగి ఉన్న సంఖ్యలకు ఫాన్సీ పేరు. అవి “a + bi” అని వ్రాయబడ్డాయి, ఇక్కడ:

• a - నిజమైన భాగం
• బి - ఊహాత్మక భాగం

చెడ్డది కాదు. కానీ ఒక్కటే మిగిలింది చివరి ప్రశ్న: సంక్లిష్ట సంఖ్య ఎంత "పెద్దది"? మేము పెద్ద చిత్రాన్ని కోల్పోతాము కాబట్టి మేము నిజమైన భాగాన్ని లేదా ఊహాత్మక భాగాన్ని విడిగా కొలవలేము.

ఒక అడుగు వెనక్కి వేద్దాం. పరిమాణం ప్రతికూల సంఖ్యసున్నా నుండి దూరం:

కనుగొనడానికి ఇది మరొక మార్గం సంపూర్ణ విలువ. కానీ సంక్లిష్ట సంఖ్యల కోసం 90 డిగ్రీల వద్ద రెండు భాగాలను ఎలా కొలవాలి?

ఆకాశంలో పక్షినా.. లేక విమానమా.. పైథాగరస్ రక్షించేందుకు వస్తున్నాడు!

ఈ సిద్ధాంతం సాధ్యమైన చోట పాప్ అప్ అవుతుంది, సిద్ధాంతం తర్వాత 2000 సంవత్సరాల తర్వాత కనుగొనబడిన సంఖ్యలలో కూడా. అవును, మేము ఒక త్రిభుజాన్ని తయారు చేస్తున్నాము మరియు దాని హైపోటెన్యూస్ సున్నా నుండి దూరానికి సమానంగా ఉంటుంది:

సంక్లిష్ట సంఖ్యను కొలవడం "కేవలం - గుర్తును వదిలివేయడం" అంత సులభం కానప్పటికీ, సంక్లిష్ట సంఖ్యలు చాలా ఉన్నాయి ఉపయోగకరమైన అప్లికేషన్లు. వాటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం.

నిజమైన ఉదాహరణ: భ్రమణాలు

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను అభ్యసించడానికి కళాశాల భౌతికశాస్త్రం వరకు మేము వేచి ఉండము. మేము ఈ రోజు దీన్ని చేస్తాము. సంక్లిష్ట సంఖ్యలను గుణించడం అనే అంశంపై చాలా చెప్పవచ్చు, కానీ ప్రస్తుతానికి మీరు ప్రధాన విషయం అర్థం చేసుకోవాలి:

• సంక్లిష్ట సంఖ్యతో గుణించడం దాని కోణంతో తిరుగుతుంది

ఇది ఎలా పని చేస్తుందో చూద్దాం. నేను పడవలో ఉన్నానని ఊహించుకోండి, తూర్పు వైపు ప్రతి 4 యూనిట్లు ఉత్తరం వైపుకు 3 యూనిట్లు ప్రయాణిస్తున్నాను. నేను నా కోర్సును 45 డిగ్రీలు అపసవ్య దిశలో మార్చాలనుకుంటున్నాను. నా కొత్త కోర్సు ఏమిటి?

ఎవరైనా ఇలా అనవచ్చు: “ఇది చాలా సులభం! సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ విలువను గూగుల్ చేయండి... ఆపై..." నేను నా కాలిక్యులేటర్‌ను బద్దలు కొట్టినట్లు భావిస్తున్నాను...

పైగా వెళ్దాం ఒక సాధారణ మార్గంలో: మేము 3 + 4i కోర్సులో ఉన్నాము (కోణం ఏమిటో పట్టింపు లేదు, మేము ఇప్పుడు పట్టించుకోము) మరియు మేము 45 డిగ్రీలు తిరగాలనుకుంటున్నాము. బాగా, 45 డిగ్రీలు 1 + i (ఆదర్శ వికర్ణం). కాబట్టి మన రేటును ఈ సంఖ్యతో గుణించవచ్చు!

ఇక్కడ సారాంశం ఉంది:

• ప్రారంభ శీర్షిక: 3 యూనిట్లు తూర్పు, 4 యూనిట్లు ఉత్తరం = 3 + 4i
• అపసవ్య దిశలో 45 డిగ్రీలు తిప్పండి = 1 + iతో గుణించండి

గుణించినప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

మా కొత్త మైలురాయి- పశ్చిమానికి 1 యూనిట్ (-1 తూర్పుకి) మరియు ఉత్తరానికి 7 యూనిట్లు, మీరు గ్రాఫ్‌లో కోఆర్డినేట్‌లను గీయవచ్చు మరియు వాటిని అనుసరించవచ్చు.

కానీ! మేము ఎటువంటి సైన్స్ మరియు కొసైన్‌లు లేకుండా 10 సెకన్లలో సమాధానాన్ని కనుగొన్నాము. వెక్టర్స్ లేవు, మాత్రికలు లేవు, మనం ఏ క్వాడ్రంట్‌లో ఉన్నామో ట్రాకింగ్ లేదు. ఇది సాధారణ అంకగణితం మరియు సమీకరణాన్ని రూపొందించడానికి కొద్దిగా బీజగణితం. ఊహాత్మక సంఖ్యలు భ్రమణానికి గొప్పవి!

అంతేకాకుండా, అటువంటి గణన యొక్క ఫలితం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మాకు కోణం (atan(7/-1) = 98.13కి బదులుగా కోర్సు (-1, 7) ఉంది మరియు మేము రెండవ క్వాడ్రంట్‌లో ఉన్నామని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది. సరిగ్గా, మీరు సూచించిన కోణాన్ని ఎలా గీయాలని మరియు అనుసరించాలని ప్లాన్ చేసారు చేతిలో ప్రొట్రాక్టర్‌ని ఉపయోగిస్తున్నారా?

లేదు, మీరు కోణాన్ని కొసైన్ మరియు సైన్ (-0.14 మరియు 0.99)గా మారుస్తారు, వాటి మధ్య ఉన్న సుమారు నిష్పత్తిని (సుమారు 1 నుండి 7 వరకు) కనుగొని త్రిభుజాన్ని గీయండి. మరియు ఇక్కడ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు నిస్సందేహంగా గెలుస్తాయి - ఖచ్చితంగా, మెరుపు వేగంగా మరియు కాలిక్యులేటర్ లేకుండా!

మీరు నాలాంటి వారైతే, మీరు ఈ ఆవిష్కరణ మనసును హత్తుకునేలా చూస్తారు. కాకపోతే, గణితం మిమ్మల్ని అస్సలు ఉత్తేజపరచదని నేను భయపడుతున్నాను. క్షమించండి!

త్రికోణమితి మంచిది, కానీ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు గణనలను చాలా సులభతరం చేస్తాయి (cos(a + b)ని కనుగొనడం వంటివి). ఇది ఒక చిన్న ప్రకటన మాత్రమే; కింది కథనాలలో నేను మీకు పూర్తి మెనుని అందిస్తాను.

లిరికల్ డైగ్రెషన్: కొంతమంది ఇలా అనుకుంటారు: “హే, బదులుగా ఉత్తర/తూర్పు కోర్సును కలిగి ఉండటం అనుకూలమైనది కాదు సాధారణ కోణంఓడ గమనం కోసం!

ఇది నిజమా? సరే, నీది చూడు కుడి చెయి. మీ చిటికెన వేలు యొక్క ఆధారం మరియు చిట్కా మధ్య కోణం ఏమిటి చూపుడు వేలు? మీ గణన పద్ధతిలో అదృష్టం.

లేదా మీరు "సరే, చిట్కా X అంగుళాలు కుడివైపు మరియు Y అంగుళాలు పైకి ఉంటుంది" అని సమాధానం ఇవ్వవచ్చు మరియు మీరు దాని గురించి ఏదైనా చేయవచ్చు.

సంక్లిష్ట సంఖ్యలు దగ్గరవుతున్నాయా?

మేము సుడిగాలి వంటి సంక్లిష్ట సంఖ్యల రంగంలో నా ప్రాథమిక ఆవిష్కరణల ద్వారా వెళ్ళాము. మొదటి దృష్టాంతాన్ని చూడండి, అది ఇప్పుడు మరింత స్పష్టంగా ఉండాలి.

ఈ అందమైన, అద్భుతమైన సంఖ్యలలో కనుగొనడానికి ఇంకా చాలా ఉన్నాయి, కానీ నా మెదడు ఇప్పటికే అలసిపోయింది. నా లక్ష్యం చాలా సులభం:

• సంక్లిష్ట సంఖ్యలు "వెర్రి"గా మాత్రమే చూడబడుతున్నాయని మిమ్మల్ని ఒప్పించండి, కానీ వాస్తవానికి అవి చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి (ప్రతికూల సంఖ్యల వలె)
• భ్రమణం వంటి కొన్ని సమస్యలను సంక్లిష్ట సంఖ్యలు ఎలా సులభతరం చేస్తాయో చూపండి.

నేను ఈ అంశం గురించి అతిగా ఆందోళన చెందుతున్నట్లు అనిపిస్తే, దానికి కారణం ఉంది. ఊహాత్మక సంఖ్యలు నాకు చాలా సంవత్సరాలుగా వ్యామోహం - అవగాహన లేకపోవడం నాకు చికాకు కలిగించింది.

కానీ చీకటిలో నడవడం కంటే కొవ్వొత్తి వెలిగించడం ఉత్తమం: ఇవి నా ఆలోచనలు మరియు నా పాఠకుల మనస్సులలో కాంతి వెలుగుతుందని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను.

ఎపిలోగ్: కానీ అవి ఇంకా చాలా విచిత్రంగా ఉన్నాయి!

వారు ఇప్పటికీ నాకు వింతగా కనిపిస్తారని నాకు తెలుసు. నేను సున్నా ఆలోచనను కనుగొన్న మొదటి వ్యక్తిలా ఆలోచించడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాను.

జీరో అనేది ఒక వింత ఆలోచన, "ఏదో" అనేది "ఏమీ లేదు" అని సూచిస్తుంది మరియు ఇది ఏ విధంగానూ అర్థం కాలేదు. ప్రాచీన రోమ్ నగరం. సంక్లిష్ట సంఖ్యల విషయంలోనూ అంతే - ఇది కొత్త ఆలోచనా విధానం. కానీ సున్నా మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలు రెండూ గణితాన్ని చాలా సులభతరం చేస్తాయి. కొత్త నంబర్ సిస్టమ్‌ల వంటి విచిత్రమైన విషయాలను మనం ఎన్నడూ పరిచయం చేయకపోతే, మేము ఇప్పటికీ మన వేళ్లపై ప్రతిదీ లెక్కిస్తాము.

నేను ఈ సారూప్యతను పునరావృతం చేస్తున్నాను ఎందుకంటే సంక్లిష్ట సంఖ్యలు "సాధారణం కాదు" అని ఆలోచించడం చాలా సులభం. ఆవిష్కరణకు తెరతీద్దాం: భవిష్యత్తులో, 21వ శతాబ్దం వరకు ఎవరైనా సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఎలా విశ్వసించలేదని ప్రజలు జోక్ చేస్తారు.

అక్టోబర్ 23, 2015

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించే అవకాశం

జనరల్ ఎడ్యుకేషన్ స్కూల్‌లో మ్యాథమెటిక్స్ కోర్సులో

శాస్త్రీయ సలహాదారు:

మున్సిపల్ విద్యా సంస్థ

పెర్వోమైస్కాయ మాధ్యమిక పాఠశాల

తో. కిచ్మెంగ్స్కీ టౌన్

St. జరెచ్నాయ 38

సమర్పించబడిన పని సంక్లిష్ట సంఖ్యల అధ్యయనానికి అంకితం చేయబడింది. ఔచిత్యం: భౌతిక శాస్త్రం మరియు సాంకేతికతలో అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా వర్గ సమీకరణాలకు దారి తీస్తుంది ప్రతికూల వివక్ష. ఈ సమీకరణాలకు ప్రాంతంలో పరిష్కారం లేదు వాస్తవ సంఖ్యలు. కానీ అలాంటి అనేక సమస్యల పరిష్కారం చాలా ఖచ్చితమైన భౌతిక అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత:సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్ యొక్క సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మరియు విధులు సైన్స్ మరియు టెక్నాలజీకి సంబంధించిన అనేక ప్రశ్నలలో ఉపయోగించబడతాయి; వాటిని పరిష్కరించడానికి పాఠశాలలో ఉపయోగించవచ్చు వర్గ సమీకరణాలు.

వస్తువు ప్రాంతం: గణితం. పరిశోధన వస్తువు: బీజగణిత భావనలు మరియు చర్యలు. పరిశోధన విషయం- సంక్లిష్ట సంఖ్యలు. సమస్య: సంక్లిష్ట సంఖ్యలు మాధ్యమిక పాఠశాల గణిత కోర్సులో అధ్యయనం చేయబడవు, అయినప్పటికీ అవి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడతాయి. సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ప్రవేశపెట్టే అవకాశం ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షల కేటాయింపులుభవిష్యత్తులో. పరికల్పన:మాధ్యమిక పాఠశాలలో వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీరు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించవచ్చు. లక్ష్యం:మాధ్యమిక పాఠశాలలో 10వ తరగతిలో గణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నప్పుడు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించే అవకాశాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి. పనులు: 1. సంక్లిష్ట సంఖ్యల సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయండి 2. 10వ తరగతి గణితం కోర్సులో సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించే అవకాశాన్ని పరిగణించండి. 3. సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో పనులను అభివృద్ధి చేయండి మరియు పరీక్షించండి.

పరిష్కారాల కోసం బీజగణిత సమీకరణాలుతగినంత వాస్తవ సంఖ్యలు లేవు. అందువల్ల, ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించగలిగేలా చేయడానికి ప్రయత్నించడం సహజం, ఇది సంఖ్య..gif" width="10" height="65 src="> భావన యొక్క విస్తరణకు దారితీస్తుంది.

https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">

మీరు సాధారణ బీజగణితం యొక్క నియమాల ప్రకారం అటువంటి వ్యక్తీకరణలపై చర్య తీసుకోవడానికి అంగీకరించాలి మరియు దానిని ఊహించుకోవాలి

1572లో, ఇటాలియన్ బీజగణిత శాస్త్రజ్ఞుడు R. బొంబెల్లిచే ఒక పుస్తకం ప్రచురించబడింది, అందులో అటువంటి సంఖ్యలపై అంకగణిత కార్యకలాపాల కోసం మొదటి నియమాలు స్థాపించబడ్డాయి, వాటి నుండి వెలికితీసే వరకు క్యూబిక్ మూలాలు. "ఊహాత్మక సంఖ్యలు" అనే పేరు 1637లో ప్రవేశపెట్టబడింది. ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు తత్వవేత్త R. డెస్కార్టెస్, మరియు 1777లో అతిపెద్ద వాటిలో ఒకటి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు VIII X శతాబ్దం ఊహాత్మక యూనిట్ అని పిలుస్తారు మరియు ఇది i అని సూచించబడుతుంది. అందువలన, ఎక్కడ నుండి ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">8వ తరగతి " href="/text/category/8_klass/" rel = "bookmark">ఆల్జీబ్రాలో 8వ తరగతి.- M.: విద్య, 1994.-P.134-139.

2. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువుయువ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు / కాంప్. E-68. - M.: పెడగోగి, 19с