కలయిక అనేది స్థిర సంఖ్యతో మరియు మూలకాల పునరావృత్తులు లేకుండా పరిమిత సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క క్రమం లేని ఎంపిక. వేర్వేరు కలయికలు కనీసం ఒక మూలకంలో తేడా ఉండాలి మరియు మూలకాల క్రమం పట్టింపు లేదు. ఉదాహరణకు, లాటిన్ అక్షరాల (AEIOU) యొక్క అన్ని అచ్చుల సెట్ నుండి, మీరు 3 అక్షరాలతో 10 విభిన్న కలయికలను చేయవచ్చు, ఈ క్రింది క్రమం లేని త్రిపాదిలను ఏర్పరుస్తుంది:
AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.
మీరు వాటిని ఒకేసారి 2 అక్షరాలను కలిపి, ఈ క్రింది క్రమం లేని జతలను చేస్తే, అదే ఐదు అక్షరాల నుండి మీరు 10 విభిన్న కలయికలను కూడా పొందవచ్చని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది:
AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.
అయితే, మీరు అదే అచ్చు లాటిన్ అక్షరాలను 4తో కలిపితే, మీరు క్రింది 5 విభిన్న కలయికలను మాత్రమే పొందుతారు:
AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.
సాధారణంగా, m మూలకాల యొక్క n విభిన్న మూలకాల కలయికల సంఖ్యను సూచించడానికి, క్రింది ఫంక్షనల్, ఇండెక్స్ లేదా వెక్టర్ (Appel) ప్రతీకవాదం ఉపయోగించబడుతుంది:
సంజ్ఞామానం యొక్క రూపంతో సంబంధం లేకుండా, m మూలకాల ద్వారా n మూలకాల కలయికల సంఖ్యను క్రింది గుణకార మరియు కారకం సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్ణయించవచ్చు:
ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి గణనల ఫలితం లాటిన్ అక్షరాలలో అచ్చుల కలయికతో పైన చర్చించిన ఉదాహరణ ఫలితాలతో సమానంగా ఉందని తనిఖీ చేయడం సులభం. ప్రత్యేకించి, n=5 మరియు m=3తో, ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి గణనలు క్రింది ఫలితాన్ని ఇస్తాయి:
సాధారణ సందర్భంలో, కలయికల సంఖ్యకు సంబంధించిన సూత్రాలు సంయోగ అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు n మరియు m యొక్క ఏదైనా పూర్ణాంక విలువలకు చెల్లుబాటు అవుతాయి, అంటే n > m > 0. m > n మరియు m అయితే< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:
అదనంగా, గుణకార మరియు కారకం సూత్రాలలోకి ప్రత్యక్ష ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సులభంగా తనిఖీ చేయగల కలయికల క్రింది పరిమితి సంఖ్యలను గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:
n వాస్తవ సంఖ్య అయినప్పుడు కూడా గుణకార సూత్రం చెల్లుబాటు అవుతుందని కూడా గమనించాలి, m ఇప్పటికీ పూర్ణాంకం విలువ ఉన్నంత వరకు. అయినప్పటికీ, దానిని ఉపయోగించి గణన యొక్క ఫలితం, అధికారిక చెల్లుబాటును కొనసాగిస్తూ, దాని కలయిక అర్థాన్ని కోల్పోతుంది.
కలయికల గుర్తింపులు
n మరియు m యొక్క ఏకపక్ష విలువల కోసం కలయికల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి గుణకార మరియు కారకం సూత్రాల యొక్క ఆచరణాత్మక ఉపయోగం వాటి లవం మరియు హారం యొక్క కారకమైన ఉత్పత్తుల యొక్క ఘాతాంక పెరుగుదల కారణంగా తక్కువ ఉత్పాదకతను కలిగి ఉంటుంది. n మరియు m యొక్క సాపేక్షంగా చిన్న విలువలకు కూడా, ఈ ఉత్పత్తులు తరచుగా ఆధునిక కంప్యూటింగ్ మరియు సాఫ్ట్‌వేర్ సిస్టమ్‌లలో పూర్ణాంకాలను సూచించే సామర్థ్యాలను మించిపోతాయి. అంతేకాకుండా, వాటి విలువలు కలయికల సంఖ్య యొక్క ఫలిత విలువ కంటే గణనీయంగా ఎక్కువగా ఉంటాయి, ఇది చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, m=8 మూలకాలతో n=10 కలయికల సంఖ్య 45 మాత్రమే. అయితే, కారకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ విలువను కనుగొనడానికి, మీరు ముందుగా 10 యొక్క చాలా పెద్ద విలువలను లెక్కించాలి! న్యూమరేటర్‌లో మరియు 8! హారంలో:
పెద్ద పరిమాణాలను ప్రాసెస్ చేయడానికి సమయం తీసుకునే కార్యకలాపాలను తొలగించడానికి, కలయికల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి, మీరు వివిధ పునరావృత సంబంధాలను ఉపయోగించవచ్చు, ఇది నేరుగా గుణకార మరియు కారకాల సూత్రాల నుండి అనుసరిస్తుంది. ప్రత్యేకించి, కింది పునరావృత సంబంధం గుణకార సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది, ఇది కలయికల సంఖ్యకు మించి దాని సూచికల నిష్పత్తిని తీసుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది:
చివరగా, సబ్‌స్క్రిప్ట్‌ను స్థిరంగా ఉంచడం కింది పునరావృత సంబంధాన్ని అందిస్తుంది, ఇది కలయికల సంఖ్య కోసం కారకం సూత్రం నుండి సులభంగా పొందవచ్చు:
ప్రాథమిక పరివర్తనల తరువాత, మూడు పునరావృత సంబంధాలను క్రింది రూపాల్లో సూచించవచ్చు:
మనం ఇప్పుడు మొదటి 2 సూత్రాలకు ఎడమ మరియు కుడి వైపులా జోడించి, ఫలితాన్ని n ద్వారా తగ్గిస్తే, మనకు ఒక ముఖ్యమైన పునరావృత సంబంధం వస్తుంది, దీనిని కలయిక సంఖ్యలను జోడించే గుర్తింపు అంటారు:
అదనపు గుర్తింపు అనేది n మరియు m యొక్క పెద్ద విలువల కోసం కలయికల సంఖ్యను సమర్ధవంతంగా నిర్ణయించడానికి ప్రాథమిక పునరావృత నియమాన్ని అందిస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది కారకం ఉత్పత్తులలో గుణకార కార్యకలాపాలను సరళమైన జోడింపు కార్యకలాపాలతో మరియు తక్కువ సంఖ్యలో కలయికల ద్వారా భర్తీ చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. ప్రత్యేకించి, అదనంగా గుర్తింపును ఉపయోగించి, పైన చర్చించిన m=8 మూలకాల ద్వారా n=10 కలయికల సంఖ్యను గుర్తించడం ఇప్పుడు సులభం, ఈ క్రింది పునరావృత పరివర్తనల క్రమాన్ని అమలు చేయడం ద్వారా:
అదనంగా, పరిమిత మొత్తాలను లెక్కించడానికి అనేక ఉపయోగకరమైన సంబంధాలను అదనంగా గుర్తింపు నుండి పొందవచ్చు, ప్రత్యేకించి, సబ్‌స్క్రిప్ట్ ద్వారా సమ్మషన్ కోసం సూత్రం, ఇది క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
అదనపు గుర్తింపులో మనం పదం పాటు పునరావృతతను అతి పెద్ద సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌తో విస్తరింపజేస్తే ఈ సంబంధం పొందబడుతుంది, అయితే దాని సబ్‌స్క్రిప్ట్ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఈ క్రింది సంఖ్యా ఉదాహరణ పునరావృత పరివర్తనల ప్రక్రియను వివరిస్తుంది:
సహజ సంఖ్యల శక్తుల మొత్తాన్ని లెక్కించడానికి సబ్‌స్క్రిప్ట్ సమ్మషన్ ఫార్ములా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ప్రత్యేకించి, m=1ని ఊహిస్తే, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సహజ శ్రేణి యొక్క మొదటి n సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడం సులభం:
సమ్మషన్ ఫార్ములా యొక్క మరొక ఉపయోగకరమైన సంస్కరణను అతిచిన్న సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌తో పదంతో పాటు అదనంగా గుర్తింపు యొక్క పునరావృతతను విస్తరించడం ద్వారా పొందవచ్చు. కింది సంఖ్యా ఉదాహరణ పునరావృత పరివర్తనల యొక్క ఈ సంస్కరణను వివరిస్తుంది:
సాధారణ సందర్భంలో, అటువంటి పరివర్తనల ఫలితంగా, కలయికల సంఖ్యల మొత్తం పొందబడుతుంది, వీటిలో రెండు సూచికలు పొరుగు నిబంధనల నుండి ఒకదానితో ఒకటి భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు సూచికలలో వ్యత్యాసం స్థిరంగా ఉంటుంది (పరిశీలించిన ఉదాహరణలో, ఇది ఒకటికి కూడా సమానం). అందువల్ల, కలయిక సంఖ్యల యొక్క రెండు సూచికల కోసం మేము క్రింది సమ్మషన్ సూత్రాన్ని పొందుతాము:
పైన చర్చించిన పునరావృత సంబంధాలు మరియు సమ్మషన్ సూత్రాలతో పాటు, కలయిక సంఖ్యల కోసం అనేక ఇతర ఉపయోగకరమైన గుర్తింపులు సంయోగ విశ్లేషణలో పొందబడ్డాయి. వాటిలో ముఖ్యమైనది సమరూప గుర్తింపు, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
5 మూలకాల కలయికల సంఖ్యలను 2 మరియు (5 2) = 3తో పోల్చడం ద్వారా సమరూప గుర్తింపు యొక్క ప్రామాణికతను క్రింది ఉదాహరణలో ధృవీకరించవచ్చు:
సమరూపత గుర్తింపు స్పష్టమైన సంయోగ అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే, n మూలకాల నుండి m మూలకాలను ఎంచుకోవడానికి ఎంపికల సంఖ్యను నిర్ణయించడం ద్వారా, ఇది ఎంపిక చేయని మిగిలిన (nm) మూలకాల నుండి కలయికల సంఖ్యను ఏకకాలంలో ఏర్పాటు చేస్తుంది. కలయికల సంఖ్య కోసం కారకమైన సూత్రంలో m (nm) ద్వారా భర్తీ చేయడం ద్వారా సూచించిన సమరూపత వెంటనే పొందబడుతుంది:
సంఖ్యలు మరియు కలయిక గుర్తింపులు ఆధునిక గణన గణితంలో వివిధ రంగాలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. అయినప్పటికీ, వారి అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన అప్లికేషన్లు న్యూటన్ యొక్క ద్విపద మరియు పాస్కల్ త్రిభుజానికి సంబంధించినవి.
ద్విపద సిద్ధాంతం
వివిధ గణిత పరివర్తనలు మరియు గణనలను నిర్వహించడానికి, బీజగణిత ద్విపద (ద్విపద) యొక్క ఏదైనా సహజ శక్తిని బహుపది రూపంలో సూచించగలగడం చాలా ముఖ్యం. చిన్న శక్తుల కోసం, ద్విపదలను నేరుగా గుణించడం ద్వారా కావలసిన బహుపదిని సులభంగా పొందవచ్చు. ప్రత్యేకించి, రెండు పదాల మొత్తం యొక్క స్క్వేర్ మరియు క్యూబ్ కోసం క్రింది సూత్రాలు ప్రాథమిక గణిత శాస్త్రం నుండి బాగా తెలుసు:
సాధారణ సందర్భంలో, బైనామియల్ యొక్క ఏకపక్ష డిగ్రీ n కోసం, బహుపది రూపంలో అవసరమైన ప్రాతినిధ్యం న్యూటన్ యొక్క ద్విపద సిద్ధాంతం ద్వారా అందించబడుతుంది, ఇది క్రింది సమానత్వాన్ని నిజమని ప్రకటించింది:
ఈ సమానత్వాన్ని సాధారణంగా న్యూటన్ ద్విపద అంటారు. దాని కుడి వైపున ఉన్న బహుపది ఎడమ వైపున ఉన్న ద్విపద యొక్క n పదాల X మరియు Y యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం ద్వారా ఏర్పడుతుంది మరియు వాటి ముందు ఉన్న గుణకాలను ద్విపద అని పిలుస్తారు మరియు సూచికలతో కలయికల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి, ఇవి వారి శక్తుల నుండి పొందబడతాయి. కాంబినేటోరియల్ విశ్లేషణలో న్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రం యొక్క ప్రత్యేక ప్రజాదరణను దృష్టిలో ఉంచుకుని, ద్విపద గుణకం మరియు కలయికల సంఖ్య సాధారణంగా పర్యాయపదంగా పరిగణించబడతాయి.
సహజంగానే, స్క్వేర్డ్ మరియు క్యూబ్డ్ సమ్ సూత్రాలు వరుసగా n=2 మరియు n=3 కోసం ద్విపద సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు. అధిక డిగ్రీలను నిర్వహించడానికి (n>3), న్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి. నాల్గవ డిగ్రీ ద్విపద (n=4) కోసం దాని అప్లికేషన్ క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా ప్రదర్శించబడుతుంది:
అరబ్ తూర్పు మరియు పశ్చిమ ఐరోపాలోని మధ్యయుగ గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు న్యూటన్‌కు ముందే ద్విపద సూత్రం తెలిసినదని గమనించాలి. కాబట్టి, దాని సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పేరు చారిత్రాత్మకంగా సరైనది కాదు. న్యూటన్ యొక్క మెరిట్ ఏమిటంటే, అతను ఈ సూత్రాన్ని ఏకపక్ష వాస్తవ ఘాతాంకం r విషయంలో సాధారణీకరించాడు, ఇది ఏదైనా సానుకూల లేదా ప్రతికూల హేతుబద్ధమైన మరియు అహేతుక విలువలను తీసుకోవచ్చు. సాధారణ సందర్భంలో, అటువంటి న్యూటన్ ద్విపద సూత్రం కుడి వైపున అనంతమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు సాధారణంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:
ఉదాహరణకు, ఘాతాంకం r=1/2 యొక్క సానుకూల భిన్న విలువతో, ద్విపద గుణకాల విలువలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, కింది విస్తరణ పొందబడుతుంది:
సాధారణ సందర్భంలో, ఏదైనా ఘాతాంకం కోసం న్యూటన్ యొక్క ద్విపద ఫార్ములా అనేది మాక్లారిన్ సూత్రం యొక్క ప్రత్యేక వెర్షన్, ఇది పవర్ సిరీస్‌గా ఏకపక్ష ఫంక్షన్‌ని విస్తరించడాన్ని ఇస్తుంది. న్యూటన్ |z| కోసం చూపించాడు< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0 . మనం ఇప్పుడు Z=X/Yని సెట్ చేసి, ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను Ynతో గుణిస్తే, పైన చర్చించిన న్యూటన్ ద్విపద సూత్రం యొక్క సంస్కరణ మనకు లభిస్తుంది.
దాని సార్వత్రికత ఉన్నప్పటికీ, ద్విపద సిద్ధాంతం ద్విపద యొక్క నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకాల శక్తులకు మాత్రమే దాని కలయిక అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ద్విపద గుణకాల కోసం అనేక ఉపయోగకరమైన గుర్తింపులను నిరూపించడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చు. ప్రత్యేకించి, సబ్‌స్క్రిప్ట్ మరియు రెండు సూచికల ద్వారా కలయికల సంఖ్యలను సంగ్రహించడానికి సూత్రాలు పైన చర్చించబడ్డాయి. X = Y = 1 లేదా Z = 1ని ఉంచడం ద్వారా న్యూటన్ ద్విపద సూత్రం నుండి తప్పిపోయిన సూపర్‌స్క్రిప్ట్ సమ్మషన్ గుర్తింపును సులభంగా పొందవచ్చు:
మరొక ఉపయోగకరమైన గుర్తింపు ద్విపద గుణకాల మొత్తాల సమానత్వాన్ని సరి మరియు బేసి సంఖ్యలతో ఏర్పాటు చేస్తుంది. X = 1 మరియు Y = 1 లేదా Z = 1 అయితే ఇది న్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రం నుండి వెంటనే పొందబడుతుంది:
చివరగా, పరిగణించబడిన రెండు గుర్తింపుల నుండి మేము ద్విపద గుణకాల మొత్తం యొక్క గుర్తింపును సరి లేదా బేసి సంఖ్యలతో మాత్రమే పొందుతాము:
పరిగణించబడిన గుర్తింపులు మరియు కలయికల సంఖ్య యొక్క గుర్తు క్రింద నుండి సూచికలను తొలగించే పునరావృత నియమం ఆధారంగా, అనేక ఆసక్తికరమైన సంబంధాలను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకు, సూపర్‌స్క్రిప్ట్ సమ్మషన్ ఫార్ములాలో మనం ప్రతిచోటా nని (n1)తో భర్తీ చేసి, ప్రతి పదంలోని సూచికలను తీసివేస్తే, మనకు ఈ క్రింది సంబంధం వస్తుంది:
సరి మరియు బేసి సంఖ్యలతో ద్విపద గుణకాల మొత్తానికి ఫార్ములాలో సారూప్య సాంకేతికతను ఉపయోగించి, ఈ క్రింది సంబంధం యొక్క ప్రామాణికతను నిరూపించడం సాధ్యమవుతుంది:
మరొక ఉపయోగకరమైన గుర్తింపు క్రింది Cauchy సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఏకపక్ష డిగ్రీల n మరియు k యొక్క రెండు ద్విపదల యొక్క సుష్టంగా ఉన్న ద్విపద గుణకాల ఉత్పత్తుల మొత్తాన్ని సులభంగా లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:
ఈ ఫార్ములా యొక్క చెల్లుబాటు క్రింది సారూప్య సంబంధం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న వేరియబుల్ Z యొక్క ఏదైనా డిగ్రీ m కోసం గుణకాల యొక్క అవసరమైన సమానత్వం నుండి అనుసరిస్తుంది:
ప్రత్యేక సందర్భంలో n=k=m ఉన్నప్పుడు, సమరూప గుర్తింపును పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ద్విపద గుణకాల యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తానికి మరింత జనాదరణ పొందిన ఫార్ములా లభిస్తుంది:
ద్విపద గుణకాల కోసం అనేక ఇతర ఉపయోగకరమైన గుర్తింపులను కాంబినేటోరియల్ విశ్లేషణపై విస్తృతమైన సాహిత్యంలో కనుగొనవచ్చు. అయినప్పటికీ, వారి అత్యంత ప్రసిద్ధ ఆచరణాత్మక అప్లికేషన్ పాస్కల్ త్రిభుజానికి సంబంధించినది.
పాస్కల్ ట్రయాంగిల్
పాస్కల్ యొక్క అంకగణిత త్రిభుజం ద్విపద గుణకాలతో రూపొందించబడిన అనంతమైన సంఖ్యా పట్టికను ఏర్పరుస్తుంది. దాని పంక్తులు పై నుండి క్రిందికి బినామియల్స్ యొక్క శక్తుల ద్వారా క్రమం చేయబడతాయి. ప్రతి పంక్తిలో, ద్విపద గుణకాలు ఎడమ నుండి కుడికి సంబంధిత కలయిక సంఖ్యల సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌ల ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. పాస్కల్ త్రిభుజం సాధారణంగా ఐసోసెల్ లేదా దీర్ఘచతురస్రాకార రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.
మరింత దృశ్యమానం మరియు సాధారణం అనేది సమద్విబాహుల ఆకృతి, ఇక్కడ ద్విపద గుణకాలు, అస్థిరంగా ఉండి, అనంతమైన సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. 4వ డిగ్రీ (n=4) వరకు ద్విపదల కోసం దాని ప్రారంభ భాగం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
సాధారణంగా, పాస్కల్ యొక్క సమద్విబాహు త్రిభుజం ద్విపద గుణకాలను నిర్ణయించడానికి అనుకూలమైన రేఖాగణిత నియమాన్ని అందిస్తుంది, ఇది సంకలనం యొక్క గుర్తింపులు మరియు సంఖ్య కలయికల సమరూపతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, అదనపు గుర్తింపు ప్రకారం, ఏదైనా ద్విపద గుణకం దానికి దగ్గరగా ఉన్న మునుపటి అడ్డు వరుసలోని రెండు గుణకాల మొత్తం. సమరూప గుర్తింపు ప్రకారం, పాస్కల్ యొక్క సమద్విబాహు త్రిభుజం దాని ద్విభాగానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, దానిలోని ప్రతి పంక్తులు ద్విపద గుణకాల యొక్క సంఖ్యాపరమైన పాలిండ్రోమ్. సూచించిన బీజగణిత మరియు రేఖాగణిత లక్షణాలు పాస్కల్ యొక్క సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని సులభంగా విస్తరించడం మరియు ఏకపక్ష శక్తుల ద్విపద గుణకాల విలువలను స్థిరంగా కనుగొనడం సాధ్యపడుతుంది.
అయినప్పటికీ, పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క వివిధ లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి, అధికారికంగా మరింత కఠినమైన దీర్ఘచతురస్రాకార ఆకృతిని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ఈ ఆకృతిలో, ఇది ద్విపద గుణకాల యొక్క తక్కువ త్రిభుజాకార మాతృక ద్వారా పేర్కొనబడుతుంది, ఇక్కడ అవి అనంతమైన లంబ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. 9వ డిగ్రీ (n=9) వరకు ద్విపదల కోసం పాస్కల్ కుడి త్రిభుజం యొక్క ప్రారంభ భాగం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
జ్యామితీయంగా, అటువంటి దీర్ఘచతురస్రాకార పట్టిక పాస్కల్ యొక్క సమద్విబాహు త్రిభుజాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా మార్చడం ద్వారా పొందబడుతుంది. ఫలితంగా, పాస్కల్ యొక్క సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క పార్శ్వ భుజాలకు సమాంతరంగా ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి పాస్కల్ యొక్క కుడి త్రిభుజం యొక్క నిలువు మరియు వికర్ణాలుగా మారుతుంది మరియు రెండు త్రిభుజాల క్షితిజ సమాంతర రేఖలు సమానంగా ఉంటాయి. అదే సమయంలో, ద్విపద గుణకాల యొక్క సంకలనం మరియు సమరూపత యొక్క నియమాలు చెల్లుబాటులో ఉంటాయి, అయినప్పటికీ పాస్కల్ యొక్క లంబకోణ త్రిభుజం దాని సమద్విబాహు ప్రతిరూపం యొక్క దృశ్యమాన సమరూప లక్షణాన్ని కోల్పోతుంది. దీనిని భర్తీ చేయడానికి, పాస్కల్ కుడి త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతరాలు, నిలువు మరియు వికర్ణాల కోసం ద్విపద గుణకాల యొక్క వివిధ సంఖ్యా లక్షణాలను అధికారికంగా విశ్లేషించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
పాస్కల్ కుడి త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతరాల విశ్లేషణను ప్రారంభించడం ద్వారా, సూపర్‌స్క్రిప్ట్ ద్వారా ద్విపదలను సంక్షిప్తం చేసే సూత్రానికి అనుగుణంగా n సంఖ్యతో ఏదైనా అడ్డు వరుసలోని మూలకాల మొత్తం 2nకి సమానం అని గమనించడం సులభం. n సంఖ్యతో ఉన్న ఏదైనా క్షితిజ సమాంతర రేఖల పైన ఉన్న మూలకాల మొత్తం (2 n 1)కి సమానం అని దీని నుండి అనుసరిస్తుంది. ప్రతి క్షితిజ సమాంతర మూలకాల మొత్తం విలువ బైనరీ సంఖ్య వ్యవస్థలో వ్రాయబడితే ఈ ఫలితం చాలా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, n=4 కోసం ఈ అదనంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
రెండు శక్తులకు సంబంధించిన క్షితిజ సమాంతరాల యొక్క రెండు ఆసక్తికరమైన లక్షణాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. క్షితిజ సమాంతర సంఖ్య రెండు (n=2 k) యొక్క శక్తి అయితే, దాని అన్ని అంతర్గత మూలకాలు (బాహ్య వాటిని మినహాయించి) సరి సంఖ్యలు అని తేలింది. దీనికి విరుద్ధంగా, క్షితిజ సమాంతర రేఖ యొక్క అన్ని సంఖ్యలు దాని సంఖ్య రెండు (n=2 k 1) శక్తి కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటే బేసిగా ఉంటాయి. అంతర్గత ద్విపద గుణకాల సమానత్వాన్ని తనిఖీ చేయడం ద్వారా ఈ లక్షణాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించవచ్చు, ఉదాహరణకు, క్షితిజ సమాంతర n=4 మరియు n=3 లేదా n=8 మరియు n=7.
ఇప్పుడు పాస్కల్ యొక్క కుడి త్రిభుజం యొక్క అడ్డు వరుస సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య p. అప్పుడు దాని అన్ని అంతర్గత ద్విపద గుణకాలు p ద్వారా భాగించబడతాయి. ప్రధాన ఆకృతి సంఖ్యల యొక్క చిన్న విలువలను తనిఖీ చేయడం ఈ లక్షణం సులభం. ఉదాహరణకు, ఐదవ క్షితిజ సమాంతర (5, 10 మరియు 5) యొక్క అన్ని అంతర్గత ద్విపద గుణకాలు స్పష్టంగా 5 ద్వారా భాగించబడతాయి. ఏదైనా ప్రధాన సమాంతర సంఖ్య p కోసం ఈ ఫలితాన్ని నిరూపించడానికి, మీరు దాని ద్విపద గుణకాల కోసం గుణకార సూత్రాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయాలి:
p అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి, m!తో భాగించబడదు కాబట్టి, ద్విపద గుణకం యొక్క పూర్ణాంక విలువకు హామీ ఇవ్వడానికి ఈ సూత్రం యొక్క లవం యొక్క మిగిలిన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి తప్పనిసరిగా m ద్వారా భాగించబడాలి. ఇది చతురస్రాకార బ్రాకెట్లలోని నిష్పత్తి సహజ సంఖ్య N మరియు కావలసిన ఫలితం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది:
ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగించి, పాస్కల్ త్రిభుజంలోని అన్ని క్షితిజ సమాంతర రేఖల సంఖ్యలు, ఇచ్చిన ప్రధాన సంఖ్య p ద్వారా భాగించబడే అంతర్గత మూలకాలు p యొక్క శక్తులు, అంటే అవి n=p k రూపాన్ని కలిగి ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించగలము. ప్రత్యేకించి, p=3 అయితే, ప్రధాన సంఖ్య p అడ్డు వరుస 3లోని అన్ని అంతర్గత మూలకాలను మాత్రమే కాకుండా, పైన ఏర్పాటు చేసినట్లుగా, ఉదాహరణకు, 9వ అడ్డంగా (9, 36, 84 మరియు 126) విభజిస్తుంది. మరోవైపు, పాస్కల్ యొక్క త్రిభుజంలో ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖను కనుగొనడం అసాధ్యం, దీని అంతర్గత మూలకాలు అన్నీ మిశ్రమ సంఖ్యతో భాగించబడతాయి. లేకపోతే, అటువంటి క్షితిజ సమాంతర రేఖ యొక్క సంఖ్య ఏకకాలంలో దాని అన్ని అంతర్గత మూలకాలు విభజించబడిన మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క ప్రధాన విభజనల శక్తిగా ఉండాలి, అయితే ఇది స్పష్టమైన కారణాల వల్ల అసాధ్యం.
పరిగణించబడిన పరిగణనలు పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతర మూలకాల యొక్క విభజన కోసం క్రింది సాధారణ ప్రమాణాన్ని రూపొందించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి. n సంఖ్యతో పాస్కల్ త్రిభుజంలోని ఏదైనా క్షితిజ సమాంతర రేఖ యొక్క అన్ని అంతర్గత మూలకాల యొక్క గొప్ప సాధారణ డివైజర్ (GCD) అన్ని ఇతర సందర్భాలలో n=pk లేదా 1 అయితే ప్రధాన సంఖ్య pకి సమానం:
ఏదైనా 0కి GCD(Cmn) = ( )< m < n .
క్షితిజ సమాంతరాల విశ్లేషణ ముగింపులో, వాటిని రూపొందించే ద్విపద గుణకాల శ్రేణిని కలిగి ఉన్న మరో ఆసక్తికరమైన ఆస్తిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం విలువ. సంఖ్య nతో ఉన్న ఏదైనా క్షితిజ సమాంతర రేఖ యొక్క ద్విపద గుణకాలు సంఖ్య 10 యొక్క వరుస శక్తులతో గుణించబడితే, ఆపై ఈ ఉత్పత్తులన్నీ జోడించబడితే, ఫలితం 11 n. ఈ ఫలితం యొక్క అధికారిక సమర్థన న్యూటన్ ద్విపద సూత్రంలోకి X=10 మరియు Y=1 (లేదా Z=1) విలువల ప్రత్యామ్నాయం. కింది సంఖ్యా ఉదాహరణ n=5 కోసం ఈ ఆస్తి యొక్క నెరవేర్పును వివరిస్తుంది:
పాస్కల్ యొక్క కుడి త్రిభుజం యొక్క నిలువు యొక్క లక్షణాల విశ్లేషణ వారి మూలకాల యొక్క వ్యక్తిగత లక్షణాల అధ్యయనంతో ప్రారంభమవుతుంది. అధికారికంగా, ప్రతి నిలువు m స్థిరమైన సూపర్‌స్క్రిప్ట్ (m) మరియు సబ్‌స్క్రిప్ట్ యొక్క పెరుగుదలతో ద్విపద గుణకాల యొక్క క్రింది అనంతమైన క్రమం ద్వారా ఏర్పడుతుంది:
సహజంగానే, m=0 వాటి శ్రేణిని పొందినప్పుడు మరియు m=1 ఉన్నప్పుడు సహజ సంఖ్యల శ్రేణి ఏర్పడుతుంది. m=2 అయినప్పుడు నిలువు త్రిభుజాకార సంఖ్యలతో రూపొందించబడింది. ప్రతి త్రిభుజాకార సంఖ్యను ఒక సమబాహు త్రిభుజం రూపంలో ఒక విమానంలో చిత్రీకరించవచ్చు, ఇది చెకర్‌బోర్డ్ నమూనాలో అమర్చబడిన ఏకపక్ష వస్తువులతో (న్యూక్లియై) నిండి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ప్రతి త్రిభుజాకార సంఖ్య T k విలువను సూచించే కెర్నల్‌ల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది మరియు దానిని సూచించడానికి ఎన్ని వరుసల కెర్నల్‌లు అవసరమో సూచిక చూపుతుంది. ఉదాహరణకు, 4 ప్రారంభ త్రిభుజాకార సంఖ్యలు అణు "@" చిహ్నాల సంబంధిత సంఖ్య యొక్క క్రింది కాన్ఫిగరేషన్‌లను సూచిస్తాయి:
ఇదే విధంగా సహజ సంఖ్యలను వర్గీకరించడం ద్వారా పొందబడిన S k వర్గ సంఖ్యలను మరియు సాధారణంగా, సాధారణ బహుభుజాలను క్రమం తప్పకుండా పూరించడం ద్వారా ఏర్పడే బహుభుజి సంఖ్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవచ్చని గమనించాలి. ప్రత్యేకించి, 4 ప్రారంభ వర్గ సంఖ్యలను ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు:
పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క నిలువుల విశ్లేషణకు తిరిగి వెళితే, m=3 వద్ద తదుపరి నిలువు టెట్రాహెడ్రల్ (పిరమిడ్) సంఖ్యలతో నింపబడిందని మనం గమనించవచ్చు. అటువంటి ప్రతి సంఖ్య P k టెట్రాహెడ్రాన్ ఆకారంలో అమర్చబడే కోర్ల సంఖ్యను నిర్దేశిస్తుంది మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో దానిని చిత్రీకరించడానికి ఎన్ని అడ్డంగా ఉండే త్రిభుజాకార పొరల కోర్ల వరుసలు అవసరమో సూచిక నిర్ణయిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, అన్ని క్షితిజ సమాంతర పొరలు తప్పనిసరిగా వరుస త్రిభుజాకార సంఖ్యలుగా సూచించబడాలి. m>3 ఫారమ్ హైపర్‌టెట్రేడల్ సంఖ్యల కోసం పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క క్రింది నిలువు వరుసల మూలకాలు, ఇవి విమానంలో లేదా త్రిమితీయ ప్రదేశంలో దృశ్యమాన రేఖాగణిత వివరణను కలిగి ఉండవు, కానీ అధికారికంగా త్రిభుజాకార మరియు టెట్రాహెడల్ సంఖ్యల బహుమితీయ అనలాగ్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.
పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క నిలువు సంఖ్యల శ్రేణి పరిగణించబడిన వ్యక్తిగత ఆకార లక్షణాలను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, వాటి కోసం, సబ్‌స్క్రిప్ట్ ద్వారా కలయికల సంఖ్యలను సంక్షిప్తీకరించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ప్రారంభ మూలకాల విలువల యొక్క పాక్షిక మొత్తాలను అదే విధంగా లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది. . పాస్కల్ త్రిభుజంలో, ఈ సూత్రం కింది రేఖాగణిత వివరణను కలిగి ఉంటుంది. ఏదైనా నిలువు యొక్క n ఎగువ ద్విపద గుణకాల విలువల మొత్తం తదుపరి నిలువు మూలకం యొక్క విలువకు సమానం, ఇది ఒక పంక్తి క్రింద ఉంది. ఈ ఫలితం త్రిభుజాకార, టెట్రాహెడ్రల్ మరియు హైపర్‌టెట్రాహెడల్ సంఖ్యల రేఖాగణిత నిర్మాణంతో కూడా స్థిరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే అటువంటి ప్రతి సంఖ్య యొక్క ప్రాతినిధ్యం లోయర్ ఆర్డర్ సంఖ్యలను సూచించే కోర్ లేయర్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి, nవ త్రిభుజాకార సంఖ్య Tn దాని సరళ పొరలను సూచించే అన్ని సహజ సంఖ్యలను సంగ్రహించడం ద్వారా పొందవచ్చు:
అదేవిధంగా, క్షితిజ సమాంతర కోర్ పొరలను రూపొందించే మొదటి n త్రిభుజాకార సంఖ్యల కింది మొత్తాన్ని లెక్కించడం ద్వారా టెట్రాహెడ్రల్ సంఖ్య Pnని కనుగొనడం కష్టం కాదు:
పాస్కల్ యొక్క కుడి త్రిభుజంలోని క్షితిజ సమాంతరాలు మరియు నిలువులతో పాటు, మూలకాల యొక్క వికర్ణ వరుసలను గుర్తించవచ్చు, వీటి లక్షణాల అధ్యయనం కూడా కొంత ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, సాధారణంగా అవరోహణ మరియు ఆరోహణ వికర్ణాల మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటుంది. దిగువ వికర్ణాలు పాస్కల్ యొక్క కుడి త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్‌కు సమాంతరంగా ఉంటాయి. అవి రెండు సూచికల పెంపుతో ద్విపద గుణకాల శ్రేణి ద్వారా ఏర్పడతాయి. సమరూపత యొక్క గుర్తింపు కారణంగా, అవరోహణ వికర్ణాలు వాటి మూలకాల విలువలతో పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క సంబంధిత నిలువు వరుసలతో సమానంగా ఉంటాయి మరియు అందువల్ల పైన చర్చించిన వాటి అన్ని లక్షణాలను పునరావృతం చేస్తాయి. నిలువు సున్నాలను పరిగణనలోకి తీసుకోకపోతే, అవరోహణ వికర్ణం మరియు నిలువు ఏదైనా సంఖ్యతో నిలువుగా ఉండే మూలకాల యొక్క యాదృచ్చికం ద్వారా సూచించబడిన అనురూపాన్ని గుర్తించవచ్చు:
ఆరోహణ వికర్ణాలు పాస్కల్ కుడి త్రిభుజం యొక్క హైపోటెన్యూస్‌కు జ్యామితీయంగా లంబంగా సంఖ్యల శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి. అవి సూపర్‌స్క్రిప్ట్ యొక్క దిగువ మరియు ఇంక్రిమెంట్ తగ్గింపుతో ద్విపద గుణకాలతో నిండి ఉంటాయి. ప్రత్యేకించి, 7 ఎగువ ఆరోహణ వికర్ణాలు వెనుకంజలో ఉన్న సున్నాలను పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా క్రింది సంఖ్యా క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తాయి:
సాధారణంగా, ఆరోహణ వికర్ణ సంఖ్య n కింది ద్విపద గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి సూచికల మొత్తం (n1)కి సమానంగా ఉంటుంది:
కలయిక సంఖ్యల జోడింపు గుర్తింపు కారణంగా, ప్రతి వికర్ణ మూలకం రెండు మునుపటి ఆరోహణ వికర్ణాల నుండి సూచికలకు సంబంధించిన రెండు మూలకాల మొత్తానికి సమానం. ఇది ప్రతి తదుపరి ఆరోహణ వికర్ణాన్ని రెండు మునుపటి వికర్ణాల నుండి ప్రక్కనే ఉన్న క్షితిజ సమాంతర మూలకాల యొక్క జత సమ్మషన్ ద్వారా నిర్మించడానికి అనుమతిస్తుంది, పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని వికర్ణంతో పాటు అనంతంగా విస్తరిస్తుంది. పాస్కల్ యొక్క త్రిభుజం యొక్క క్రింది భాగం 6 మరియు 7 సంఖ్యల వికర్ణాలతో పాటు ఆరోహణ వికర్ణ సంఖ్య 8 నిర్మాణాన్ని వివరిస్తుంది:
ఈ నిర్మాణ పద్ధతిలో, 3వ నుండి ప్రారంభమయ్యే ఏదైనా ఆరోహణ వికర్ణ మూలకాల మొత్తం రెండు మునుపటి ఆరోహణ వికర్ణాల మూలకాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మొదటి 2 వికర్ణాలు ఒకే మూలకాన్ని కలిగి ఉంటాయి, విలువ వీటిలో 1. సంబంధిత గణనల ఫలితాలు క్రింది సంఖ్యా శ్రేణిని ఏర్పరుస్తాయి, దీని ప్రకారం మీరు పాస్కల్ కుడి త్రిభుజం యొక్క ఆరోహణ వికర్ణాల యొక్క పరిగణించబడిన ఆస్తి యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయవచ్చు:
ఈ సంఖ్యలను విశ్లేషించడం ద్వారా, ఇదే విధమైన చట్టం ప్రకారం, ఫైబొనాక్సీ సంఖ్యల యొక్క ప్రసిద్ధ క్రమం ఏర్పడిందని మీరు చూడవచ్చు, ఇక్కడ ప్రతి తదుపరి సంఖ్య మునుపటి రెండు సంఖ్యల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మొదటి రెండు సంఖ్యలు 1కి సమానంగా ఉంటాయి:
అందువలన, మేము ఈ క్రింది ముఖ్యమైన ముగింపును తీసుకోవచ్చు: పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క మూలకాల యొక్క వికర్ణ మొత్తాలు ఫైబొనాక్సీ క్రమాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ ఆస్తి పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన లక్షణాన్ని స్థాపించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఫిబొనాక్సీ సూత్రాన్ని పునరావృతంగా విస్తరించడం, మొదటి n ఫైబొనాక్సీ సంఖ్యల మొత్తం (F n+2 1)కి సమానమని నిరూపించడం సులభం.
కాబట్టి, ఎగువ n వికర్ణాలను పూరించే ద్విపద గుణకాల మొత్తం కూడా (F n+2 1)కి సమానంగా ఉంటుంది. పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క మొదటి n వికర్ణాల మొత్తం దాని వికర్ణంలో సంఖ్య (n+2)తో ఉండే ద్విపద గుణకాల మొత్తం కంటే 1 తక్కువగా ఉంటుంది.
ముగింపులో, పాస్కల్ త్రిభుజం యొక్క క్షితిజ సమాంతరాలు, నిలువు మరియు వికర్ణాల యొక్క పరిగణించబడిన లక్షణాలు మొదటి చూపులో ఉమ్మడిగా ఏమీ లేని వివిధ గణిత అంశాలను ఒకదానితో ఒకటి అనుసంధానించే భారీ రకాల అవకాశాలను ఖాళీ చేయవని గమనించాలి. ఇటువంటి అసాధారణ లక్షణాలు పాస్కల్ యొక్క త్రిభుజాన్ని అత్యంత ఖచ్చితమైన సంఖ్యా వ్యవస్థలలో ఒకటిగా పరిగణించటానికి అనుమతిస్తాయి, దీని సామర్థ్యాలన్నింటినీ జాబితా చేయలేము మరియు అతిగా అంచనా వేయడం కష్టం.
పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని ఉపయోగించి కలయికల సంఖ్యను లెక్కించడానికి అల్గోరిథం క్రింద ప్రదర్శించబడింది:
ప్రైవేట్ ఫంక్షన్ SochTT (ByVal n పూర్ణాంకం వలె, ByVal k పూర్ణాంకం వలె) రెండింతలు మసకగా i పూర్ణాంకం వలె డిమ్ j పూర్ణాంకం వలె మసకబారిన TT () డబుల్ రీడిమ్ TT వలె (n, k) i = 0 నుండి n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 తదుపరి i కోసం = 2 నుండి n కోసం j = 1 నుండి i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) తదుపరి తదుపరి SochTT = TT (n, k) ముగింపు ఫంక్షన్
మీరు కలయికల సంఖ్యను చాలాసార్లు లెక్కించవలసి వస్తే, పాస్కల్ త్రిభుజాన్ని ఒకసారి నిర్మించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ఆపై శ్రేణి నుండి డేటాను స్వీకరించండి.
డిమ్ TT () డబుల్ ప్రైవేట్ సబ్ క్రియేట్‌టిటీ () రీడిమ్ TT (0, 0) బిల్డ్‌టిటి 0, 0 ఎండ్ సబ్ ప్రైవేట్ ఫంక్షన్ SochTT (ByVal n పూర్ణాంకంగా, ByVal k పూర్ణాంకం) డబుల్ అయితే n > Ubound (TT) ఆపై BuildTT Ubound (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) ఎండ్ ఫంక్షన్ ప్రైవేట్ సబ్ టెర్మినేట్TT () రీడిమ్ TT (0, 0) ఎండ్ సబ్ ప్రైవేట్ సబ్ బిల్డ్ TT (బైవాల్ స్టార్ట్ పూర్ణాంకం, బైవాల్ ఎండ్ పూర్ణాంకం) డిమ్ i పూర్ణాంకం మసకబారడం j పూర్ణాంకం రీడిమ్‌గా ప్రిజర్వ్ TT (ముగింపు, ముగింపు) కోసం i = ప్రారంభం నుండి ముగింపు వరకు TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 తర్వాత ముగింపు అయితే< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub
మొదట మీరు CreateTT విధానాన్ని కాల్ చేయాలి. మీరు SochTT ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి కలయికల సంఖ్యను పొందవచ్చు. మీకు త్రిభుజం అవసరం లేనప్పుడు, TerminateTT విధానాన్ని కాల్ చేయండి. పై కోడ్‌లో, SochTT ఫంక్షన్‌కు కాల్ చేస్తున్నప్పుడు, త్రిభుజం ఇంకా అవసరమైన స్థాయికి పూర్తి చేయకపోతే, అది BuildTT విధానాన్ని ఉపయోగించి పూర్తి చేయబడుతుంది. ఫంక్షన్ అప్పుడు TT శ్రేణి యొక్క కావలసిన మూలకాన్ని పొందుతుంది మరియు దానిని తిరిగి ఇస్తుంది.
డిమ్ X () పూర్ణాంకంగా డిమ్ కౌంటర్ () పూర్ణాంకం డిమ్ కె పూర్ణాంకం డిమ్ ఎన్ పూర్ణాంకం పబ్లిక్ సబ్ సోచ్() డిమ్ ఐ పూర్ణాంకం ఎన్ = సింట్(ఇన్‌పుట్‌బాక్స్("ఎంటర్ ఎన్")) కె = సింట్(ఇన్‌పుట్‌బాక్స్("కె ఎంటర్ చేయండి ")) K = K + 1 ReDim X(N) i = 1 నుండి N X(i) = i తదుపరి txtOut.Text = "" ReDim కౌంటర్(K) కౌంటర్(0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate( ByVal c పూర్ణాంకం వలె) మసకబారిన i పూర్ణాంకం వలె మసకబారిన j పూర్ణాంకం వలె మసకబారిన n1 పూర్ణాంకం వలె మసకబారిన అవుట్() పూర్ణాంకం వలె Dim X1() పూర్ణాంకం వలె c = K అయితే, I = 1 నుండి K - 1 వరకు ఔట్ (K) X1 = Xను రీడిమ్ చేయండి n1 = 0 j కోసం = 1 నుండి N అయితే X1(j)<>0 అప్పుడు n1 = n1 + 1 అయితే n1 = కౌంటర్(i) అప్పుడు అవుట్(i) = X1(j) X1(j) = 0 నిష్క్రమించండి తదుపరి txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf వేరే కోసం కౌంటర్(సి) = కౌంటర్ (సి - 1) నుండి N - c + 1 SochGenerate c + 1 తదుపరి ముగింపు సబ్ ముగింపు అయితే
సహజ సంఖ్యల కలయికలను జాబితా చేయడం
అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, ఇచ్చిన పరిమిత సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి పొందగలిగే స్థిర కార్డినాలిటీ యొక్క అన్ని కలయికలను జాబితా చేయడం అవసరం మరియు వాటి సంఖ్యను మాత్రమే నిర్ణయించదు. ఏదైనా పరిమిత సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క పూర్ణాంక సంఖ్య యొక్క ఎల్లప్పుడూ ఉన్న అవకాశాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, చాలా సందర్భాలలో సహజ సంఖ్యల కలయికలను లెక్కించడానికి అల్గారిథమ్‌ల వినియోగానికి పరిమితం చేయడం అనుమతించబడుతుంది. వాటిలో అత్యంత సహజమైన మరియు సరళమైనది సహజ సంఖ్యల కలయికలను జాబితా చేయడానికి అల్గోరిథం లెక్సిగ్రాఫిక్ ఆర్డర్.
ఈ అల్గారిథమ్‌ను అధికారికంగా వివరించడానికి, ప్రధాన సెట్, m మూలకాల యొక్క అన్ని కలయికలు తప్పనిసరిగా జాబితా చేయబడాలి, 1 నుండి n వరకు వరుస సహజ సంఖ్యలను ఏర్పరుస్తాయని భావించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. అప్పుడు m యొక్క ఏదైనా కలయిక ఆర్డరింగ్ ఫలితంగా, అటువంటి కలయికల వెక్టర్ యొక్క ప్రతి స్థానంలోని విలువ సహజంగా ఈ క్రింది విధంగా ఎగువ మరియు దిగువ నుండి విలువలో పరిమితం చేయబడుతుంది: లెక్సిగ్రాఫిక్ అల్గోరిథం అటువంటి కలయిక వెక్టర్‌లను క్రమానుగతంగా ఉత్పత్తి చేస్తుంది, లెక్సిగ్రాఫికల్‌గా అతి చిన్న వెక్టర్‌తో మొదలవుతుంది, ఇక్కడ అన్ని స్థానాలు వాటి సూచికలకు సమానమైన మూలకాల యొక్క క్రింది కనీస సాధ్యం విలువలను కలిగి ఉంటాయి: ప్రతి వరుస కలయిక వెక్టర్ దాని పరిమితి విలువను ఇంకా చేరుకోని కుడివైపు మూలకాన్ని కనుగొనడానికి ఎడమ నుండి కుడికి దాని మూలకాన్ని స్కాన్ చేసిన తర్వాత ప్రస్తుత దాని నుండి ఏర్పడుతుంది: అటువంటి మూలకం యొక్క విలువను 1 ద్వారా పెంచాలి. దాని కుడి వైపున ఉన్న ప్రతి మూలకానికి సాధ్యమైనంత చిన్న విలువను కేటాయించాలి, ఇది ఎడమ వైపున ఉన్న దాని పొరుగు కంటే 1 ఎక్కువ. ఈ మార్పుల తర్వాత, కలయికల తదుపరి వెక్టర్ క్రింది మూలక కూర్పును కలిగి ఉంటుంది: అందువల్ల, తదుపరి కలయిక వెక్టర్ మునుపటి కంటే లెక్సిగ్రాఫికల్‌గా పెద్దదిగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాటి ప్రారంభ (j1) మూలకాల విలువలు విలువలో సమానంగా ఉంటాయి మరియు j స్థానంలో ఉన్న మూలకం విలువ మునుపటి దాని కంటే 1 ఎక్కువగా ఉంటుంది. . లెక్సిగ్రాఫిక్ ఆర్డర్‌ను పెంచడం యొక్క పేర్కొన్న సంబంధం అల్గారిథమ్ యొక్క అన్ని పునరావృతాల వద్ద సంతృప్తి చెందుతుందని హామీ ఇవ్వబడుతుంది. ఫలితంగా లెక్సిగ్రాఫిక్ సీక్వెన్స్ పెరుగుతోంది, ఇది లెక్సిగ్రాఫికల్ అతిపెద్ద కలయిక వెక్టర్ ద్వారా పూర్తి చేయబడుతుంది, ఇక్కడ అన్ని స్థానాల్లోని మూలకాలు క్రింది గరిష్ట విలువలను కలిగి ఉంటాయి: పరిగణించబడిన లెక్సిగ్రాఫిక్ అల్గోరిథం క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడింది, ఇక్కడ n=6 మొదటి సహజ సంఖ్యల యొక్క అన్ని 15 కలయికలను m=4 సంఖ్యల ద్వారా, అంటే, ప్రధాన ఉత్పాదక యొక్క అన్ని 4-మూలకాల ఉపసమితులను పెంచే లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో జాబితా చేయడం అవసరం. 6 మూలకాల నుండి సెట్ (1, 2, 3, 4 , 5, 6) గణన ఫలితాలు క్రింది పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి: ఈ ఉదాహరణలో, కలయిక వెక్టర్స్ స్థానాల్లోని సంఖ్యల యొక్క అతిపెద్ద అనుమతించదగిన విలువలు వరుసగా, 3, 4, 5 మరియు 6. ఫలితాల వివరణ సౌలభ్యం కోసం, ప్రతి కలయిక వెక్టర్‌లో, కుడివైపు మూలకం, కలిగి ఉంటుంది దాని గరిష్ట విలువను ఇంకా చేరుకోలేదు, అండర్లైన్ చేయబడింది. కలయిక వెక్టర్స్ యొక్క సంఖ్యా సూచికలు లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో వాటి సంఖ్యలను నిర్ణయిస్తాయి. సాధారణ సందర్భంలో, m ద్వారా n మూలకాల యొక్క ఏదైనా కలయిక యొక్క లెక్సిగ్రాఫిక్ సంఖ్య N కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు, ఇక్కడ, సౌందర్య కారణాల కోసం, కలయికల సంఖ్యలను సూచించడానికి Appel సింబాలిజం ఉపయోగించబడుతుంది: ప్రత్యేకించి, లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో m=4 యొక్క n=6 మూలకాల కలయిక సంఖ్య (1, 3, 4, 6) కోసం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్రింది గణనలు N=8 ఫలితాన్ని ఇస్తాయి, ఇది పైన చర్చించిన ఉదాహరణకి అనుగుణంగా ఉంటుంది: సాధారణ సందర్భంలో, రెండు సూచికల కోసం కలయికల సంఖ్యల మొత్తానికి గుర్తింపును ఉపయోగించి, దీన్ని ఉపయోగించి లెక్కించినప్పుడు లెక్సిగ్రాఫికల్‌గా అతి చిన్న కలయిక (1, ... i, ... m) సంఖ్యను చూపడం సాధ్యమవుతుంది. సూత్రం ఎల్లప్పుడూ 1కి సమానంగా ఉంటుంది: ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణించినప్పుడు లెక్సిగ్రాఫికల్ అతిపెద్ద కలయిక (m, ... nm+i, … n) సంఖ్య m ద్వారా n మూలకాల కలయికల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుందని కూడా స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: లెక్సిగ్రాఫిక్ కలయిక సంఖ్యలను లెక్కించే ఫార్ములా విలోమ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు, ఇక్కడ మీరు లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో దాని సంఖ్య ద్వారా కలయిక వెక్టర్‌ను నిర్ణయించాలి. అటువంటి విలోమ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, అది తప్పనిసరిగా సమీకరణం రూపంలో వ్రాయబడాలి, ఇక్కడ కావలసిన కలయిక యొక్క వెక్టర్ యొక్క మూలకాల యొక్క అన్ని తెలియని విలువలు (C 1, ... C i, ... C m ) దాని కుడి వైపు కలయికల సంఖ్యలలో కేంద్రీకృతమై ఉంటాయి మరియు కలయికల సంఖ్య యొక్క తెలిసిన వ్యత్యాసం L ప్రతి m మరియు అవసరమైన కలయిక N మూలకాల యొక్క ఎడమ వైపున వ్రాయబడుతుంది: ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం క్రింది “అత్యాశ” అల్గోరిథం ద్వారా అందించబడుతుంది, దీని పునరావృతాల సమయంలో కావలసిన కలయిక యొక్క వెక్టర్ యొక్క మూలకాల విలువలు వరుసగా ఎంపిక చేయబడతాయి. ప్రారంభ పునరావృతంలో, C 1 యొక్క కనీస సాధ్యం (దాని పరిమితుల్లో) విలువ ఎంపిక చేయబడింది, దీనిలో కుడి వైపున ఉన్న మొదటి పదం గరిష్ట విలువ L కంటే మించకుండా ఉంటుంది: ఇప్పుడు L యొక్క ఎడమ వైపు C 1 ఎంచుకున్న విలువతో కుడి వైపున ఉన్న కలయికల మొదటి సంఖ్యతో తగ్గించబడాలి మరియు రెండవ పునరావృతం వద్ద C 2 విలువను నిర్ణయించండి: అదేవిధంగా, చివరి మూలకం C m వరకు కావలసిన కలయిక యొక్క అన్ని ఇతర మూలకాల C i విలువలను ఎంచుకోవడానికి అన్ని తదుపరి పునరావృత్తులు చేయాలి: స్పష్టమైన కారణాల వల్ల, చివరి మూలకం C m విలువను L యొక్క ఎడమ వైపు అవశేష విలువకు దాని కలయికల సంఖ్య యొక్క సమానత్వం ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు: C m కలయిక యొక్క చివరి మూలకం యొక్క విలువ దాని సాధ్యమైన విలువలను లెక్కించకుండా మరింత సరళంగా కనుగొనవచ్చని గమనించాలి: పరిగణించబడిన అల్గోరిథం యొక్క పునరావృతాల అమలు క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడింది, ఇక్కడ n=6 మరియు m=4 అయితే లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో N=8 సంఖ్యతో కలయికలను నిర్ణయించడం అవసరం: లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో ఇచ్చిన సంఖ్య ద్వారా కలయికను నిర్ణయించే అల్గారిథమిక్ సామర్థ్యం వివిధ దిశలలో ఉపయోగించబడుతుంది. ప్రత్యేకించి, లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో కలయికలను జాబితా చేస్తున్నప్పుడు, ముందుగా పొందిన ఏదైనా కలయికకు తిరిగి రావడాన్ని నిర్ధారించడం అవసరం, దాని సంఖ్యను మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. అదనంగా, ఏ క్రమంలోనైనా కలయికలను రూపొందించడం సాధ్యమవుతుంది, ఇది వారి లెక్సిగ్రాఫిక్ సంఖ్యల యొక్క ఏకపక్షంగా ఇవ్వబడిన క్రమం ద్వారా నియంత్రించబడుతుంది. ఇప్పుడు మేము లెక్సికోగ్రాఫిక్ క్రమంలో కలయికలను రూపొందించడానికి ఒక అల్గోరిథంను అందిస్తున్నాము: 2 కోసం i:= 1 నుండి k do A[i] := i; 5 వ్రాయడం ప్రారంభించండి(A, …, A[k]); 6 A[k] = n అయితే p:= p 1 else p:= k; 8 కోసం i:= k డౌన్‌టు p do A[i] := A[p] + i p + 1 పునరావృత మూలకాలతో కలయికలు అన్ని మూలకాలు విభిన్నంగా ఉండే సాంప్రదాయ కలయిక వలె కాకుండా, పునరావృతాలతో కూడిన కలయిక పరిమిత సమితి యొక్క మూలకాల యొక్క క్రమం లేని ఎంపికను ఏర్పరుస్తుంది, ఇక్కడ ఏదైనా మూలకం నిరవధికంగా తరచుగా కనిపిస్తుంది మరియు ఒకే కాపీలో తప్పనిసరిగా ఉండదు. ఈ సందర్భంలో, మూలకాల యొక్క పునరావృతాల సంఖ్య సాధారణంగా కలయిక యొక్క పొడవు ద్వారా మాత్రమే పరిమితం చేయబడుతుంది మరియు కనీసం ఒక మూలకంలో తేడా ఉన్న కలయికలు భిన్నంగా పరిగణించబడతాయి. ఉదాహరణకు, సెట్ 1, 2 మరియు 3 నుండి 4 ఐచ్ఛికంగా భిన్నమైన సంఖ్యలను ఎంచుకోవడం ద్వారా, మీరు పునరావృతాలతో కింది 15 కలయికలను సృష్టించవచ్చు: 1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.
సాధారణంగా, ఏకపక్ష రకాలైన n మూలకాలను ఎంచుకోవడం ద్వారా పునరావృతాలతో కలయికలు ఏర్పడతాయి. అయినప్పటికీ, అవి ఎల్లప్పుడూ 1 నుండి n వరకు వరుస సహజ సంఖ్యలతో అనుబంధించబడతాయి. ఈ శ్రేణిలో ఐచ్ఛికంగా వేర్వేరు సంఖ్యల m యొక్క ఏదైనా కలయిక వెక్టర్ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది, వాటిని ఎడమ నుండి కుడికి తగ్గని క్రమంలో అమర్చవచ్చు: సహజంగానే, ఈ రకమైన సంజ్ఞామానంతో, అపరిమిత పునరావృతాల అవకాశం కారణంగా ఏదైనా పొరుగు మూలకాలు సమానంగా ఉంటాయి. అయితే, m ద్వారా n మూలకాల పునరావృత్తులు కలిగిన ప్రతి కలయిక వెక్టర్ m ద్వారా (n+m−1) మూలకాల కలయిక వెక్టర్‌తో అనుబంధించబడుతుంది, ఇది క్రింది విధంగా నిర్మించబడింది: వెక్టార్ f యొక్క మూలకాల యొక్క ఏదైనా విలువలకు, వెక్టర్ C యొక్క మూలకాలు భిన్నంగా ఉంటాయని మరియు 1 నుండి (n+m1) పరిధి నుండి వాటి విలువలను పెంచే క్రమంలో ఖచ్చితంగా క్రమబద్ధీకరించబడిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. : కలయిక వెక్టర్స్ f మరియు C యొక్క మూలకాల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉండటం వలన m ద్వారా n మూలకాల పునరావృతాలతో కలయికలను క్రమపద్ధతిలో జాబితా చేయడానికి క్రింది సాధారణ పద్ధతిని ప్రతిపాదించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో, m యొక్క (n+m1) మూలకాల యొక్క అన్ని C కలయికలను జాబితా చేయడం మాత్రమే అవసరం, వాటిలో ప్రతి మూలకాలను ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పునరావృతమయ్యే fతో కలయికల యొక్క సంబంధిత మూలకాలుగా వరుసగా మారుస్తుంది: ఫలితంగా, మూలకాల పునరావృతాలతో కలయికల వెక్టర్స్ క్రమం ఏర్పడుతుంది, ఇవి మూలకాల పునరావృత్తులు లేకుండా సంబంధిత కలయికలను జాబితా చేయడం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన క్రమంలో అమర్చబడతాయి. ప్రత్యేకించి, 4 అంకెల పునరావృతాలతో 3 అంకెల 1, 2 మరియు 3 కలయికల యొక్క పై క్రమాన్ని పొందేందుకు, 6 అంకెల 1,2,3,4, 5 పునరావృత్తులు లేకుండా అన్ని కలయికలను లెక్సిగ్రాఫిక్ క్రమంలో జాబితా చేయడం అవసరం. మరియు 6 ఒక్కొక్కటి 4 అంకెలు, వాటిని సూచించిన విధంగా మారుస్తుంది. కింది ఉదాహరణ 8వ లెక్సికోగ్రాఫిక్ సంఖ్యతో కలయిక (1,3,4,6) యొక్క అటువంటి మార్పిడిని చూపుతుంది: మూలకాలతో మరియు పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యంగా పరిగణించబడుతుంది అంటే వాటి సెట్‌లు సమానంగా శక్తివంతమైనవి. కాబట్టి, సాధారణ సందర్భంలో, m ద్వారా n మూలకాల పునరావృత్తులు కలిగిన కలయికల సంఖ్య m ద్వారా (n+m1) మూలకాల పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికల సంఖ్యకు సమానం. పునరావృత్తులు f మరియు పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికల సంఖ్యలను సూచించడానికి అదే ప్రతీకవాదాన్ని ఉపయోగించి, ఈ సమానత్వాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: పైన పరిగణించబడిన ఉదాహరణ కోసం, n=3 మరియు m=4, పునరావృత కలయికల సంఖ్య 15కి సమానంగా ఉంటుందో లేదో తనిఖీ చేయడం సులభం, ఇది వాటి ప్రత్యక్ష జాబితా ఫలితంతో సమానంగా ఉంటుంది: క్లాసికల్ వెర్షన్ వలె కాకుండా, పునరావృత్తులు n మరియు m కలయిక పారామితుల విలువలు ఒకదానికొకటి నేరుగా సంబంధం కలిగి ఉండవు, కాబట్టి వాటి సానుకూల విలువల కలయిక కోసం f(n,m)>0. సంబంధిత సరిహద్దు పరిస్థితులు (n+m1) మరియు (n1) లేదా (n+m1) మరియు m విలువల మధ్య సమానత్వం నుండి నిర్ణయించబడతాయి: m అనేది 1కి సమానం అయితే, మూలకాల యొక్క పునరావృత్తులు సాధ్యం కావు మరియు అందువల్ల, n>0 యొక్క ఏదైనా సానుకూల విలువకు ఈ క్రింది సమానత్వం సరైనదని కూడా చాలా స్పష్టంగా ఉండాలి: అదనంగా, n మరియు m యొక్క ఏదైనా సానుకూల విలువలకు పునరావృత్తులు కలిగిన కలయికల సంఖ్యల కోసం, కింది పునరావృత సంబంధం చెల్లుబాటు అవుతుంది, ఇది మూలకాల పునరావృత్తులు లేకుండా కలయికల సంఖ్యలకు అదనపు గుర్తింపును పోలి ఉంటుంది: వాస్తవానికి, ఇది ఎడమ మరియు కుడి వైపులా పునరావృత్తులు లేకుండా సంబంధిత సంఖ్యల కలయికల యొక్క అధికారిక ప్రత్యామ్నాయంపై సూచించిన అదనపు గుర్తింపుగా మారుతుంది: కారకం ఉత్పత్తులను లెక్కించే శ్రమతో కూడిన కార్యకలాపాలను తొలగించడం మరియు వాటిని సరళమైన జోడింపు కార్యకలాపాలతో భర్తీ చేయడం ముఖ్యం అయినప్పుడు, పరిగణించబడిన పునరావృత సంబంధం పునరావృత్తులుతో కలయికల సంఖ్యను సమర్థవంతంగా నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, f(n,m) విలువను లెక్కించడానికి, మీరు f(1,m) మరియు f(i,1) ఫారమ్ యొక్క నిబంధనల మొత్తాన్ని పొందే వరకు మాత్రమే ఈ పునరావృత సంబంధాన్ని వర్తింపజేయాలి, ఇక్కడ i n నుండి 1 పరిధిలోని విలువలను తీసుకుంటుంది. పరిమాణం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం అటువంటి పదాలు వరుసగా 1 మరియు iకి సమానంగా ఉంటాయి. కింది ఉదాహరణ n=3 మరియు m=4 విషయంలో ఈ పరివర్తన సాంకేతికత యొక్క ఉపయోగాన్ని వివరిస్తుంది: బైనరీ కలయికలను జాబితా చేయడం అసెంబ్లీ భాషలో హార్డ్‌వేర్ లేదా ప్రోగ్రామింగ్‌లో కలయికలను అమలు చేస్తున్నప్పుడు, బైనరీ ఫార్మాట్‌లో కలయిక రికార్డులను ప్రాసెస్ చేయగలగడం ముఖ్యం. ఈ సందర్భంలో, m యొక్క ఏదైనా n మూలకాల కలయిక n-bit బైనరీ సంఖ్య (B n,...B j,...B 1) రూపంలో పేర్కొనబడాలి, ఇక్కడ m యూనిట్ అంకెలు మూలకాలను సూచిస్తాయి కలయిక, మరియు మిగిలిన (nm) అంకెలు సున్నా విలువలను కలిగి ఉంటాయి. సహజంగానే, ఈ రకమైన సంజ్ఞామానంతో, 1 యొక్క అంకెల అమరికలో విభిన్న కలయికలు తప్పనిసరిగా విభిన్నంగా ఉండాలి మరియు n-బిట్ బైనరీ సెట్లో m వాటిని లేదా (nm) సున్నాలను అమర్చడానికి C(n,m) మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, కింది పట్టిక అటువంటి 6 బైనరీ కలయికలను జాబితా చేస్తుంది, ఇది 2 ద్వారా ఏకపక్ష సమితి (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) యొక్క 4 మూలకాల యొక్క అన్ని కలయికలకు 4-బిట్ బైనరీ సంఖ్యలను అందిస్తుంది: సాధారణ సందర్భంలో, అటువంటి బైనరీ కలయికలను లెక్కించే పని m one మరియు (nm) జీరో బిట్‌ల యొక్క విభిన్న అమరికలతో అన్ని n-bit బైనరీ సెట్ల యొక్క క్రమబద్ధమైన శోధనకు వస్తుంది. సరళమైన రూపంలో, అటువంటి శోధన ప్రక్కనే ఉన్న బిట్‌లను షిఫ్ట్ (ట్రాన్స్‌పోజిటివ్-షిఫ్ట్ అల్గోరిథంలు)తో ట్రాన్స్‌పోజ్ చేసే వివిధ పద్ధతుల ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది. ఇవి పునరుక్తి అల్గారిథమ్‌లు, మరియు వాటి పేర్లు ప్రతి దశలో చేసే కార్యకలాపాల స్వభావాన్ని ప్రతిబింబిస్తాయి. ట్రాన్స్‌పోజిటివ్-షిఫ్ట్ అల్గారిథమ్‌ల యొక్క పునరావృత విధానాలు బైనరీ సెట్‌తో ప్రారంభమయ్యే బైనరీ కలయికల క్రమాలను ఏర్పరుస్తాయి, ఇక్కడ అన్నీ తక్కువ-ఆర్డర్ అంకెలలో (కుడివైపు) కేంద్రీకృతమై ఉంటాయి మరియు అన్ని 1లు అధిక-ఆర్డర్ అంకెల్లో ఉన్నప్పుడు ముగుస్తాయి ( ఎడమవైపు): ప్రారంభ మరియు చివరి కలయికలలో సరిపోలుతున్నప్పుడు, ఈ సీక్వెన్సులు ఇంటర్మీడియట్ బైనరీ సెట్‌లు జాబితా చేయబడిన క్రమంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. ఏదేమైనా, అన్ని సందర్భాల్లో, ప్రతి తదుపరి బైనరీ కలయిక సంబంధిత ట్రాన్స్‌పోజిషన్ మరియు షిఫ్ట్ ఆపరేషన్‌ల ఫలితంగా మునుపటి నుండి ఏర్పడుతుంది. అదే సమయంలో, వివిధ ట్రాన్స్‌పోజిటివ్-షిఫ్ట్ అల్గారిథమ్‌లు ట్రాన్స్‌పోజిషన్ కోసం ఒక జత బిట్‌లను మరియు షిఫ్టింగ్ కోసం బిట్‌ల సమూహాన్ని ఎంచుకునే విధానంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. ఎడమ మరియు కుడి షిఫ్ట్‌తో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గారిథమ్‌ల కోసం ఈ ప్రత్యేకత క్రింద చర్చించబడింది. ఎడమ షిఫ్ట్‌తో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గారిథమ్‌లో, ప్రతి దశలో, ఎడమవైపు ఉన్న జత అంకెల 01ని 10 (ట్రాన్స్‌పోజిషన్)తో భర్తీ చేయడం ద్వారా మరియు లీడింగ్ యూనిట్ అంకెల సమూహాన్ని ఏదైనా ఉంటే, దానికి దగ్గరగా మార్చడం ద్వారా తదుపరి బైనరీ కలయిక ప్రస్తుత దాని నుండి పొందబడుతుంది. మార్పిడి (షిఫ్ట్) తర్వాత పొందిన జత 10. ఈ సందర్భంలో ప్రస్తుత బైనరీ కలయికలో ప్రముఖ అంకెలలో యూనిట్లు లేనట్లయితే, ఈ దశలో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ తర్వాత లీడింగ్ యూనిట్ పొందినప్పటికీ, షిఫ్ట్ నిర్వహించబడదు. ట్రాన్స్‌పోజిషన్ తర్వాత పొందిన జత 10కి ముందు అత్యంత ముఖ్యమైన బిట్‌లలో సున్నాలు లేనప్పుడు కూడా షిఫ్ట్ నిర్వహించబడదు. పరిగణించబడిన చర్యలు ఈ అల్గోరిథం యొక్క రెండు వరుస పునరావృత్తులు చేయడం యొక్క క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడ్డాయి, ఇక్కడ ఒక పునరావృతం (15) వద్ద మాత్రమే ట్రాన్స్‌పోజిషన్ (T") నిర్వహించబడుతుంది మరియు మరొక పునరావృతం వద్ద (16) ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ఒక షిఫ్ట్ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది ( T"+S"): కుడి-షిఫ్ట్ ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గారిథమ్‌లో, ప్రతి దశలో సంభావితంగా ఒకే విధమైన దశలు నిర్వహించబడతాయి. ట్రాన్స్‌పోజిషన్ మాత్రమే 01 యొక్క కుడివైపు బిట్‌లను 10తో భర్తీ చేస్తుందని నిర్ధారిస్తుంది (ఎడమవైపు ఉన్న వాటికి బదులుగా), ఆపై దానికి కుడివైపున ఉన్న అన్ని బిట్‌లు తక్కువ ముఖ్యమైన బిట్‌లకు మార్చబడతాయి. మునుపటిలా, కుడివైపుకి మార్చగల యూనిట్లు ఉంటే మాత్రమే షిఫ్ట్ నిర్వహిస్తారు. పరిగణించబడిన చర్యలు ఈ అల్గోరిథం యొక్క రెండు వరుస పునరావృత్తులు చేయడం యొక్క క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడ్డాయి, ఇక్కడ ఒక పునరావృతం (3) వద్ద మాత్రమే ట్రాన్స్‌పోజిషన్ (T") నిర్వహించబడుతుంది మరియు మరొక పునరావృతంలో (4) ట్రాన్స్‌పోజిషన్ ఒక షిఫ్ట్ ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది ( T"+S"): బేస్ 2 నంబర్ సిస్టమ్‌లో బైనరీ కాంబినేషన్‌లను పూర్ణాంకాలుగా అన్వయించినట్లయితే రెండు అల్గారిథమ్‌ల పునరావృత్తులు సంకలిత రూపంలో వ్రాయబడతాయని గమనించాలి.ముఖ్యంగా, కుడి షిఫ్ట్‌తో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గోరిథం కోసం, ప్రతి తదుపరి బైనరీ కలయిక (B" n ,…B" j , …B" 1), కింది సంకలిత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పూర్ణాంకాలను జోడించడం ద్వారా ప్రస్తుత కలయిక (B n,…B j,…B 1) నుండి ఎల్లప్పుడూ పొందవచ్చు: ఈ సంకలిత సూత్రంలో, రెండుల f మరియు t శక్తుల ఘాతాంకాలు వరుసగా, ప్రస్తుత బైనరీ కలయిక యొక్క తక్కువ-ఆర్డర్ సున్నా అంకెల సంఖ్యను మరియు వాటికి ఎడమ వైపున ఉన్న వాటి సంఖ్యను సూచిస్తాయి. ఉదాహరణకు, n=6 అంకెల f =1 మరియు t =3 యొక్క 4వ బైనరీ కలయిక (001110) కోసం. కాబట్టి, పునరావృతం 5 వద్ద సంకలిత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి తదుపరి బైనరీ కలయికను లెక్కించడం క్రింది ఫలితాన్ని ఇస్తుంది, ఇది ట్రాన్స్‌పోజిషన్ మరియు షిఫ్ట్ ఆపరేషన్‌లను నిర్వహించడానికి సమానం: ఎడమ మరియు కుడి షిఫ్ట్‌లతో పరిగణించబడే ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గారిథమ్‌ల తులనాత్మక విశ్లేషణ కోసం, బైనరీ కాంబినేషన్‌ల సీక్వెన్స్‌లను వాటి పునరావృత్తులుగా పోల్చడం మంచిది. క్రింది పట్టిక 2 యొక్క 4 మూలకాల యొక్క బైనరీ కలయికల యొక్క రెండు క్రమాలను చూపుతుంది, ఇవి వరుసగా ఎడమ (TSL) మరియు కుడి (TSR) షిఫ్ట్ అల్గారిథమ్‌ల ద్వారా పొందబడతాయి: ఈ 2 సీక్వెన్స్‌లను పోల్చి చూస్తే, అవి రివర్స్ మిర్రర్ అని మీరు చూడవచ్చు. దీనర్థం, వాటి శ్రేణుల పరస్పర వ్యతిరేక చివరల నుండి ఒకే దూరంలో ఉన్న ఏవైనా రెండు బైనరీ కలయికలు ఒకదానికొకటి ప్రతిబింబించే ప్రతిబింబం, అంటే వాటిలో దేనిలోనైనా బిట్‌ల ఇండెక్సింగ్ రివర్స్ అయినప్పుడు అవి సమానంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, TSL సీక్వెన్స్ (0101) ప్రారంభం నుండి రెండవ బైనరీ నమూనా, TSR సీక్వెన్స్ చివరి నుండి రెండవది అయిన బైనరీ నమూనా (1010) యొక్క అద్దం చిత్రం. సాధారణంగా, ఒక శ్రేణి యొక్క సంఖ్య iతో ఏదైనా బైనరీ కలయిక మరొక శ్రేణి యొక్క సంఖ్య (ni+1)తో కూడిన బైనరీ కలయిక యొక్క అద్దం చిత్రం. ఈ సీక్వెన్స్‌ల మధ్య ఈ సంబంధం బైనరీ కాంబినేషన్‌లను లెక్కించడానికి పరిగణించబడే రెండు అల్గారిథమ్‌లలో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ మరియు షిఫ్ట్ ఆపరేషన్‌ల యొక్క సుష్ట స్వభావం యొక్క పరిణామం. మూలకాల పునరావృతాలతో కలయికలను రికార్డ్ చేయడానికి బైనరీ ఆకృతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చని గమనించాలి. దీన్ని చేయడానికి, పునరావృత్తులు మరియు బైనరీ కలయికలతో కలయికల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూపాన్ని ఏర్పాటు చేయడం అవసరం, ఇవి క్రింది విధంగా నిర్మించబడ్డాయి. పునరావృత్తులతో ఏకపక్ష కలయిక ఉండనివ్వండి, ఇది ఉత్పాదక సమితి యొక్క n మూలకాల నుండి m ఐచ్ఛికంగా విభిన్న మూలకాలను ఎంచుకోవడం ద్వారా పొందబడుతుంది. కావలసిన సరిపోలికను స్థాపించడానికి, మీరు ముందుగా ఏర్పడే సెట్ (పిల్లి) యొక్క అన్ని మూలకాలను కలయికకు జోడించాలి, ఆపై ఫలిత సంయోగాన్ని (క్రమబద్ధీకరించండి) క్రమబద్ధీకరించాలి, తద్వారా అన్ని ఒకే మూలకాలు పక్కపక్కనే ఉంటాయి. ఫలితం (n+m) మూలకాల శ్రేణి, ఇక్కడ ఒకే మూలకాల యొక్క n సమూహాలు ఉంటాయి. మూలకాల మధ్య మొత్తం (n+m1) ఖాళీలు ఉంటాయి, వాటిలో ఒకేలాంటి మూలకాల సమూహాల మధ్య (n1) ఖాళీలు మరియు సమూహాలలోని మూలకాల మధ్య m ఖాళీలు ఉంటాయి. స్పష్టత కోసం, మీరు సూచించిన ఖాళీలలో "|" చిహ్నాలను ఉంచవచ్చు. మరియు తదనుగుణంగా. మనం ఇప్పుడు 1ని సమూహాల మధ్య ఖాళీలకు (|) మరియు 0ని అన్ని ఇతర ఖాళీలకు () సరిపోల్చినట్లయితే, మనకు బైనరీ కలయిక వస్తుంది. ఇది (n+m1) బిట్‌ల బైనరీ సెట్‌తో ఏర్పడుతుంది, ఇక్కడ (n1) వన్‌లు మరియు m జీరో బిట్‌లు, వీటి స్థానం ప్రత్యేకంగా m ద్వారా n మూలకాల పునరావృతాలతో అసలైన కలయికకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. పరిగణించబడిన పరివర్తన సాంకేతికత పునరావృత్తులు (BBD)తో కలయికను ఉపయోగించి బైనరీ కలయికను (1001101) నిర్మించే క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడింది, వీటిలో మూలకాలు మొదటి ఐదు లాటిన్ అక్షరాల ఉత్పత్తి సెట్ నుండి ఎంపిక చేయబడ్డాయి: సాధారణంగా, అటువంటి బైనరీ సెట్ల సంఖ్య (n+m1) బైనరీ అంకెలలో (n1) వాటిని (లేదా m సున్నాలు) అమర్చడానికి మార్గాల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది. ఈ విలువ స్పష్టంగా (n+m1) నుండి (n1) లేదా m ద్వారా కలయికల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది, అంటే C(n+m1,n1) లేదా C(n+m1,m)కి సమానం n మూలకాల యొక్క f(n,m) పునరావృతాలతో కలయికల సంఖ్య, ప్రతి m. అందువల్ల, పునరావృత్తులు మరియు బైనరీ కలయికలతో కలయికల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యతను కలిగి ఉండటం వలన, బైనరీ కలయికల గణనకు పునరావృతాలతో కలయికల గణనను తగ్గించడం చట్టబద్ధమైనది, ఉదాహరణకు, ఎడమ లేదా కుడి షిఫ్ట్‌తో ట్రాన్స్‌పోజిషన్ అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించడం. దీని తరువాత, మీరు ఫలిత బైనరీ కలయికలను ఉపయోగించి పునరావృతాలతో అవసరమైన కలయికలను మాత్రమే పునరుద్ధరించాలి. కింది రికవరీ టెక్నిక్‌ని ఉపయోగించడం ద్వారా ఇది ఎల్లప్పుడూ చేయవచ్చు. m యొక్క పునరావృతాలతో కలయికలు తప్పనిసరిగా వేర్వేరు మూలకాలతో ఏర్పడని మూలకాల నుండి ప్రధాన సెట్‌ను ఏకపక్ష మార్గంలో ఆర్డర్ చేయనివ్వండి, తద్వారా దాని ప్రతి మూలకం 1 నుండి n వరకు నిర్దిష్ట క్రమ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. (n+m1) బైనరీ అంకెలు, ఇక్కడ (n1) వన్స్ మరియు m సున్నా అంకెలు ఉన్న బైనరీ కలయికల గణనను కూడా అమలు చేద్దాం. ప్రతి బైనరీ కలయికను కల్పిత యూనిట్ అంకెతో ఎడమ వైపున భర్తీ చేయవచ్చు మరియు అన్ని యూనిట్ అంకెలను 1 నుండి n వరకు పూర్ణాంకాలతో ఎడమ నుండి కుడికి లెక్కించవచ్చు. అప్పుడు బైనరీ కలయిక యొక్క ప్రతి i-th యూనిట్ తర్వాత వరుసగా ఉన్న సున్నాల సంఖ్య, పునరావృతాలతో సంబంధిత కలయికలో ప్రధాన సెట్ యొక్క i-వ మూలకం యొక్క ఉదాహరణల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది. పరిగణించబడిన సాంకేతికత క్రింది ఉదాహరణ ద్వారా వివరించబడింది, ఇక్కడ, బైనరీ కలయిక (1001101) ఉపయోగించి, BBD యొక్క పునరావృతాలతో కలయిక పునరుద్ధరించబడుతుంది, వీటిలో మూలకాలు అక్షర క్రమంలో వ్రాయబడిన మొదటి ఐదు లాటిన్ అక్షరాల ఉత్పత్తి సెట్ నుండి ఎంపిక చేయబడతాయి. , మరియు ఓవర్‌లైన్ ఈ కలయికలో లేని అంశాలను సూచిస్తుంది: ఈ ఉదాహరణ యొక్క పరిస్థితులలో సారూప్య చర్యలను చేయడం ద్వారా, మీరు 7-బిట్ బైనరీ సెట్‌లను రూపొందించే మొత్తం 35 బైనరీ కాంబినేషన్‌లను జాబితా చేయవచ్చు, ఇక్కడ 4 ఒకటి మరియు 3 సున్నాలు ఉంటాయి మరియు 3 యొక్క 5 మూలకాల పునరావృతాలతో సంబంధిత కలయికలను పునరుద్ధరించవచ్చు. కాంబినేటరిక్స్‌లో, ఇచ్చిన వస్తువులు (మూలకాలు) నుండి ఒక నిర్దిష్ట రకం యొక్క ఎన్ని కలయికలను తయారు చేయవచ్చు అనే ప్రశ్నలను వారు అధ్యయనం చేస్తారు. ఒక శాఖగా కాంబినేటరిక్స్ యొక్క పుట్టుక జూదం యొక్క సిద్ధాంతంపై B. పాస్కల్ మరియు P. ఫెర్మాట్ యొక్క రచనలతో ముడిపడి ఉంది. కాంబినేటోరియల్ పద్ధతుల అభివృద్ధికి గొప్ప సహకారం G.V. లీబ్నిజ్, J. బెర్నౌలీ మరియు L. యూలర్. ఫ్రెంచ్ తత్వవేత్త, రచయిత, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు భౌతిక శాస్త్రవేత్త బ్లేజ్ పాస్కల్ (1623-1662) ప్రారంభంలోనే తన అత్యుత్తమ గణిత సామర్థ్యాలను చూపించాడు. పాస్కల్ యొక్క గణిత శాస్త్ర ఆసక్తుల పరిధి చాలా వైవిధ్యమైనది. పాస్కల్ ఒక విషయం నిరూపించాడు గాట్‌ఫ్రైడ్ విల్హెల్మ్ లీబ్నిజ్ (1646-1716) ఒక జర్మన్ తత్వవేత్త, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు ఆవిష్కర్త, న్యాయవాది, చరిత్రకారుడు మరియు భాషా శాస్త్రవేత్త. గణితంలో, I. న్యూటన్‌తో పాటు, అతను అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్‌ను అభివృద్ధి చేశాడు. అతను కాంబినేటరిక్స్‌కు ముఖ్యమైన రచనలు చేశాడు. అతని పేరు, ముఖ్యంగా, సంఖ్య-సిద్ధాంత సమస్యలతో ముడిపడి ఉంది. గాట్‌ఫ్రైడ్ విల్హెల్మ్ లీబ్నిజ్ తక్కువ ఆకట్టుకునే రూపాన్ని కలిగి ఉన్నాడు మరియు అందువల్ల సాదాసీదాగా కనిపించే వ్యక్తి యొక్క ముద్రను ఇచ్చాడు. ఒకరోజు ప్యారిస్‌లో, తనకు తెలిసిన తత్వవేత్త పుస్తకాన్ని కొనుగోలు చేయాలనే ఆశతో అతను ఒక పుస్తక దుకాణంలోకి వెళ్లాడు. ఒక సందర్శకుడు ఈ పుస్తకం గురించి అడిగినప్పుడు, పుస్తక విక్రేత, అతనిని తల నుండి కాలి వరకు పరిశీలించి, ఎగతాళిగా ఇలా అన్నాడు: “మీకు ఇది ఎందుకు అవసరం? మీరు నిజంగా అలాంటి పుస్తకాలను చదవగలరా? శాస్త్రవేత్త సమాధానం చెప్పే ముందు, పుస్తక రచయిత స్వయంగా దుకాణంలోకి ప్రవేశించాడు: “గ్రేట్ లీబ్నిజ్‌కు శుభాకాంక్షలు మరియు గౌరవం!” ఇది నిజంగా ప్రసిద్ధ లీబ్నిజ్ అని విక్రేత అర్థం చేసుకోలేకపోయాడు, దీని పుస్తకాలు శాస్త్రవేత్తలలో చాలా డిమాండ్‌లో ఉన్నాయి. భవిష్యత్తులో, కిందివి ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి లేమ్మా.మూలకాల సమితిలో మరియు ఒక సెట్లో - మూలకాలలో లెట్. అప్పుడు అన్ని విభిన్న జతల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది. రుజువు.నిజానికి, ఒక సెట్ నుండి ఒక మూలకంతో మనం అలాంటి విభిన్న జతలను మరియు మొత్తంగా మూలకాల సమితిలో చేయవచ్చు. ప్లేస్‌మెంట్‌లు, ప్రస్తారణలు, కలయికలు మనకు మూడు మూలకాల సమితిని కలిగి ఉండండి. ఈ అంశాలలో రెండింటిని మనం ఏయే మార్గాల్లో ఎంచుకోవచ్చు? . నిర్వచనం.మూలకాల ద్వారా విభిన్న మూలకాల సమితి యొక్క అమరికలు > మూలకాల ద్వారా ఇవ్వబడిన మూలకాలతో రూపొందించబడిన కలయికలు మరియు మూలకాలలో లేదా మూలకాల క్రమంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. మూలకాల ద్వారా మూలకాల సమితి యొక్క అన్ని అమరికల సంఖ్య (ఫ్రెంచ్ పదం “అరేంజ్‌మెంట్” యొక్క ప్రారంభ అక్షరం నుండి, అంటే అమరిక అని అర్ధం), ఎక్కడ మరియు . సిద్ధాంతం.మూలకాల ద్వారా మూలకాల సమితి యొక్క ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది రుజువు.మనకు ఎలిమెంట్స్ ఉన్నాయని అనుకుందాం. సాధ్యమయ్యే నియామకాలు ఉండనివ్వండి. మేము ఈ ప్లేస్‌మెంట్‌లను వరుసగా నిర్మిస్తాము. ముందుగా, మొదటి ప్లేస్‌మెంట్ ఎలిమెంట్‌ను నిర్వచిద్దాం. ఇచ్చిన మూలకాల నుండి వివిధ మార్గాల్లో ఎంచుకోవచ్చు. మొదటి మూలకాన్ని ఎంచుకున్న తర్వాత, రెండవ మూలకాన్ని ఎంచుకోవడానికి ఇంకా మార్గాలు ఉన్నాయి. అలాంటి ప్రతి ఎంపిక కొత్త ప్లేస్‌మెంట్‌ను ఇస్తుంది కాబట్టి, ఈ ఎంపికలన్నీ ఒకదానితో ఒకటి ఉచితంగా కలపవచ్చు. అందువల్ల మనకు ఉన్నాయి: ఉదాహరణ.ఐదు రంగులలో పదార్థం ఉంటే జెండాను వివిధ రంగుల మూడు సమాంతర చారలతో ఎన్ని రకాలుగా రూపొందించవచ్చు? పరిష్కారం.అవసరమైన మూడు-బ్యాండ్ ఫ్లాగ్‌ల సంఖ్య: నిర్వచనం.మూలకాల సమితి యొక్క ప్రస్తారణ అనేది ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో మూలకాల అమరిక. అందువలన, మూడు మూలకాల సమితి యొక్క అన్ని విభిన్న ప్రస్తారణలు మూలకాల యొక్క అన్ని ప్రస్తారణల సంఖ్య సూచించబడుతుంది (ఫ్రెంచ్ పదం "ప్రస్తారణ" యొక్క ప్రారంభ అక్షరం నుండి, అంటే "ప్రస్తారణ", "కదలిక"). కాబట్టి, అన్ని విభిన్న ప్రస్తారణల సంఖ్య సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది ఉదాహరణ.ఒకదానికొకటి దాడి చేయకుండా చదరంగంపై రూక్స్ ఎన్ని రకాలుగా ఉంచవచ్చు? పరిష్కారం.అవసరమైన రూక్స్ సంఖ్య ఎ-ప్రియరీ! నిర్వచనం.మూలకాల ద్వారా విభిన్న మూలకాల కలయికలు మూలకాల ద్వారా ఇవ్వబడిన మూలకాలతో రూపొందించబడిన కలయికలు మరియు కనీసం ఒక మూలకంలో తేడా (ఇతర మాటలలో, ఇచ్చిన మూలకాల యొక్క మూలకం ఉపసమితులు). మీరు చూడగలిగినట్లుగా, కలయికలలో, ప్లేస్‌మెంట్‌ల వలె కాకుండా, మూలకాల క్రమం పరిగణనలోకి తీసుకోబడదు. మూలకాల యొక్క అన్ని కలయికల సంఖ్య, ప్రతి మూలకాలు సూచించబడతాయి (ఫ్రెంచ్ పదం "కలయిక" యొక్క ప్రారంభ అక్షరం నుండి, దీని అర్థం "కలయిక"). సంఖ్యలు రెండు సెట్ల నుండి అన్ని కలయికలు . సంఖ్యల లక్షణాలు (\sf C)_n^k నిజానికి, ఇచ్చిన -ఎలిమెంట్ సెట్‌లోని ప్రతి -ఎలిమెంట్ ఉపసమితి అదే సెట్‌లోని ఒక ఎలిమెంట్ ఉపసమితికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. నిజానికి, మేము ఈ క్రింది విధంగా మూలకాల ఉపసమితులను ఎంచుకోవచ్చు: ఒక మూలకాన్ని పరిష్కరించండి; ఈ మూలకాన్ని కలిగి ఉన్న -ఎలిమెంట్ ఉపసమితుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది; ఈ మూలకాన్ని కలిగి లేని -ఎలిమెంట్ ఉపసమితుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది. పాస్కల్ త్రిభుజం ఈ త్రిభుజంలో, ప్రతి అడ్డు వరుసలోని తీవ్ర సంఖ్యలు 1కి సమానంగా ఉంటాయి మరియు ప్రతి నాన్-ఎక్స్‌ట్రీమ్ సంఖ్య మునుపటి అడ్డు వరుస నుండి దాని పైన ఉన్న రెండు సంఖ్యల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది. అందువలన, ఈ త్రిభుజం మీరు సంఖ్యలను లెక్కించేందుకు అనుమతిస్తుంది. సిద్ధాంతం. రుజువు.మూలకాల సమితిని పరిశీలిద్దాం మరియు క్రింది సమస్యను రెండు విధాలుగా పరిష్కరిద్దాం: ఇచ్చిన మూలకాల నుండి ఎన్ని సీక్వెన్సులు తయారు చేయవచ్చు 1 మార్గం. మేము సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి సభ్యుడిని ఎంచుకుంటాము, తరువాత రెండవ, మూడవ, మొదలైనవి. సభ్యుడు పద్ధతి 2. ముందుగా ఇచ్చిన సెట్ నుండి ఎలిమెంట్‌లను ఎంచుకుందాం, ఆపై వాటిని కొన్ని క్రమంలో అమర్చండి ఈ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను దీని ద్వారా గుణించండి: ఉదాహరణ."స్పోర్ట్‌లోటో" గేమ్‌లో మీరు 36లో 5 సంఖ్యలను ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? అవసరమైన మార్గాల సంఖ్య పనులు. 1.
కారు లైసెన్స్ ప్లేట్లు రష్యన్ వర్ణమాల యొక్క 3 అక్షరాలు (33 అక్షరాలు) మరియు 4 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. ఎన్ని వేర్వేరు లైసెన్స్ ప్లేట్ నంబర్‌లు ఉన్నాయి? విభజనలు సంఖ్యలలో లేదా వాటి నిబంధనల క్రమంలో తేడా ఉంటే అవి భిన్నంగా పరిగణించబడతాయి. పరంగా సంఖ్య యొక్క ఎన్ని విభిన్న విభజనలు ఉన్నాయి? కలయికల సంఖ్య కలయికనుండి nద్వారా కెఒక సెట్ అని పిలుస్తారు కెడేటా నుండి ఎంచుకున్న అంశాలు nఅంశాలు. మూలకాల క్రమంలో మాత్రమే తేడా ఉండే సెట్‌లు (కానీ కూర్పులో కాదు) ఒకేలా పరిగణించబడతాయి; అందుకే కలయికలు ప్లేస్‌మెంట్‌ల నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. కలయికల సంఖ్య nద్వారా కె
ద్విపద గుణకంతో సమానం స్థిర విలువ కోసం nనుండి పునరావృతాలతో కలయికల సంఖ్యల ఫంక్షన్‌ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది nద్వారా కెఉంది: పునరావృతాలతో కలయికల సంఖ్యల ద్విమితీయ ఉత్పాదక విధి: వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010. 70 డెబ్బై 67 68 69 70 71 72 73 40 50 60 70 80 90 100 కారకం: 2×5×7 రోమన్ సంజ్ఞామానం: LXX బైనరీ: 100 0110 ... వికీపీడియా కాంతి సంఖ్య, బాహ్యాన్ని ప్రత్యేకంగా వ్యక్తీకరించే షరతులతో కూడిన సంఖ్య ఫోటోగ్రఫీ సమయంలో పరిస్థితులు (సాధారణంగా విషయం యొక్క ప్రకాశం మరియు ఉపయోగించిన ఫోటోగ్రాఫిక్ పదార్థం యొక్క ఫోటోసెన్సిటివిటీ). E. h. యొక్క ఏదైనా విలువను అనేక సార్లు ఎంచుకోవచ్చు. కలయికల ఎపర్చరు సంఖ్య... ... పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ పాలిటెక్నిక్ నిఘంటువు ఒకే వస్తువుకు సంబంధించి మరియు అనేక వస్తువులకు సంబంధించి రెండు వస్తువులను వేరుచేసే సంఖ్య యొక్క రూపం. ఈ రూపం ఆధునిక రష్యన్ భాషలో లేదు, కానీ దాని ప్రభావం యొక్క అవశేషాలు మిగిలి ఉన్నాయి. కాబట్టి, రెండు పట్టికల కలయికలు (cf. బహువచనం... ... భాషా పదాల నిఘంటువు కాంబినేటోరియల్ మ్యాథమెటిక్స్, కాంబినేటరిక్స్, ఇచ్చిన నియమాలకు అనుగుణంగా సెట్ చేయబడిన నిర్దిష్ట, సాధారణంగా పరిమిత అంశాలను ఎంచుకోవడం మరియు అమర్చడంలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అంకితమైన గణిత శాఖ. అటువంటి ప్రతి నియమం నిర్మాణ పద్ధతిని నిర్ణయిస్తుంది ... ... మ్యాథమెటికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా కాంబినేటరిక్స్‌లో, బై కలయిక అనేది వేర్వేరు మూలకాలను కలిగి ఉన్న ఇచ్చిన సెట్ నుండి ఎంపిక చేయబడిన మూలకాల సమితి. మూలకాల క్రమంలో మాత్రమే తేడా ఉండే సెట్‌లు (కానీ కూర్పులో కాదు) ఒకేలా పరిగణించబడతాయి, ఈ కలయికలు ... ... వికీపీడియా సంఘటనల అధ్యయనంలో నిమగ్నమై, వాటి సంభవం ఖచ్చితంగా తెలియదు. సంఘటనల సంభావ్యతలకు సంఖ్యాపరమైన విలువలను కేటాయించడం తరచుగా అనవసరమైనప్పటికీ, ఇతరులతో పోలిస్తే కొన్ని సంఘటనలు సంభవించడాన్ని ఆశించడం యొక్క సహేతుకతను నిర్ధారించడానికి ఇది మాకు అనుమతిస్తుంది. కొల్లియర్స్ ఎన్సైక్లోపీడియా 1) గణిత సమ్మేళన విశ్లేషణ వలె ఉంటుంది. 2) కొన్ని షరతులకు లోబడి కలయికల సంఖ్యను అధ్యయనం చేయడంతో అనుబంధించబడిన ప్రాథమిక గణిత శాస్త్రం యొక్క ఒక విభాగం, ఇచ్చిన పరిమిత వస్తువుల నుండి కంపోజ్ చేయవచ్చు... ... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా - (గ్రీకు పారడాక్సోస్ ఊహించని, వింత) విస్తృత అర్థంలో: సాధారణంగా ఆమోదించబడిన, స్థాపించబడిన అభిప్రాయం నుండి తీవ్రంగా విభేదించే ఒక ప్రకటన, "బేషరతుగా సరైనది" అనిపించే వాటిని తిరస్కరించడం; ఇరుకైన అర్థంలో, రెండు వ్యతిరేక ప్రకటనలు, కోసం... ... ఫిలాసఫికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా - (లేదా చేరికలు మరియు మినహాయింపుల సూత్రం) పరిమిత సంఖ్యలో పరిమిత సెట్ల యూనియన్ యొక్క కార్డినాలిటీని నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే కాంబినేటోరియల్ ఫార్ములా, ఇది సాధారణ సందర్భంలో ఒకదానితో ఒకటి కలుస్తుంది ... వికీపీడియా తెలిసిన క్రమంలో ఇచ్చిన వస్తువులను పంపిణీ చేసే వివిధ మార్గాల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి సంబంధించిన గణిత సిద్ధాంతం; సమీకరణాల సిద్ధాంతం మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో ముఖ్యంగా ముఖ్యమైనది. ఈ రకమైన సరళమైన పనులు ... ... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు F.A. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్ ఈ వ్యాసంలో మేము కాంబినేటరిక్స్ అని పిలువబడే గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యేక విభాగం గురించి మాట్లాడుతాము. సూత్రాలు, నియమాలు, సమస్య పరిష్కార ఉదాహరణలు - మీరు కథనాన్ని చివరి వరకు చదవడం ద్వారా ఇక్కడ అన్నింటినీ కనుగొనవచ్చు. కాబట్టి ఈ విభాగం ఏమిటి? కాంబినేటరిక్స్ ఏదైనా వస్తువులను లెక్కించే సమస్యతో వ్యవహరిస్తుంది. కానీ ఈ సందర్భంలో, వస్తువులు రేగు, బేరి లేదా ఆపిల్ల కాదు, కానీ ఏదో. కాంబినేటరిక్స్ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడంలో మాకు సహాయపడుతుంది. ఉదాహరణకు, కార్డులు ఆడుతున్నప్పుడు - ప్రత్యర్థి ట్రంప్ కార్డును కలిగి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి? లేదా ఈ ఉదాహరణ: ఇరవై గోళీల సంచి నుండి మీరు తెల్లటి రంగును పొందే సంభావ్యత ఏమిటి? ఈ రకమైన సమస్య కోసం మనం కనీసం ఈ గణిత శాఖ యొక్క ప్రాథమికాలను తెలుసుకోవాలి. కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక భావనలు మరియు సూత్రాల సమస్యను పరిశీలిస్తే, మేము కాంబినేటోరియల్ కాన్ఫిగరేషన్‌లకు శ్రద్ధ చూపలేము. అవి సూత్రీకరించడానికి మాత్రమే కాకుండా, వివిధ ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగించబడతాయి. అటువంటి నమూనాల ఉదాహరణలు: మేము మొదటి మూడు గురించి మరింత వివరంగా తరువాత మాట్లాడుతాము, అయితే ఈ విభాగంలో కూర్పు మరియు విభజనపై మేము శ్రద్ధ చూపుతాము. వారు నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క కూర్పు గురించి మాట్లాడినప్పుడు (ఉదాహరణకు, a), నిర్దిష్ట ధనాత్మక సంఖ్యల ఆర్డర్ మొత్తంగా a సంఖ్యను సూచించడం అని అర్థం. మరియు విభజన అనేది క్రమం లేని మొత్తం. మేము నేరుగా కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలకు మరియు సమస్యల పరిశీలనకు వెళ్లే ముందు, గణితశాస్త్రంలోని ఇతర శాఖల మాదిరిగానే కాంబినేటరిక్స్‌కు దాని స్వంత ఉపవిభాగాలు ఉన్నాయని దృష్టి పెట్టడం విలువ. వీటితొ పాటు: మొదటి సందర్భంలో, మేము కాలిక్యులేటివ్ కాంబినేటరిక్స్ గురించి మాట్లాడుతున్నాము; సమస్యలు సెట్ల మూలకాల ద్వారా ఏర్పడిన వివిధ కాన్ఫిగరేషన్ల గణన లేదా గణనను పరిగణలోకి తీసుకుంటాయి. నియమం ప్రకారం, ఈ సెట్‌లపై కొన్ని పరిమితులు విధించబడతాయి (విలక్షణత, అస్పష్టత, పునరావృతమయ్యే అవకాశం మొదలైనవి). మరియు ఈ కాన్ఫిగరేషన్ల సంఖ్య అదనంగా లేదా గుణకారం యొక్క నియమాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది, ఇది మేము కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము. స్ట్రక్చరల్ కాంబినేటరిక్స్‌లో గ్రాఫ్‌లు మరియు మాట్రాయిడ్‌ల సిద్ధాంతాలు ఉంటాయి. తీవ్రమైన కాంబినేటరిక్స్ సమస్యకు ఉదాహరణ ఏమిటంటే, కింది లక్షణాలను సంతృప్తిపరిచే గ్రాఫ్ యొక్క అతిపెద్ద పరిమాణం ఏమిటి... నాల్గవ పేరాలో, యాదృచ్ఛిక కాన్ఫిగరేషన్‌లలో సాధారణ నిర్మాణాల ఉనికిని అధ్యయనం చేసే రామ్సే సిద్ధాంతాన్ని మేము ప్రస్తావించాము. ప్రాబబిలిస్టిక్ కాంబినేటరిక్స్ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వగలదు - ఇచ్చిన సెట్‌కు నిర్దిష్ట ఆస్తి ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి. మీరు ఊహించినట్లుగా, టోపోలాజికల్ కాంబినేటరిక్స్ టోపోలాజీలో పద్ధతులను వర్తింపజేస్తుంది. చివరకు, ఏడవ పాయింట్ - ఇన్ఫినిటరీ కాంబినేటరిక్స్ అనంతమైన సెట్‌లకు కాంబినేటరిక్స్ పద్ధతుల అనువర్తనాన్ని అధ్యయనం చేస్తుంది. కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలలో మీరు చాలా సరళమైన వాటిని కనుగొనవచ్చు, వాటితో మాకు చాలా కాలంగా సుపరిచితం. ఒక ఉదాహరణ మొత్తం నియమం. మనకు రెండు చర్యలు (C మరియు E) ఇచ్చారని అనుకుందాం, అవి పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి అయితే, C చర్యను అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు (ఉదాహరణకు, a), మరియు చర్య Eని b-మార్గాలలో నిర్వహించవచ్చు, అప్పుడు వాటిలో ఏదైనా ( C లేదా E) a + b మార్గాలలో నిర్వహించవచ్చు . సిద్ధాంతంలో, ఇది అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం; మేము ఒక సాధారణ ఉదాహరణను ఉపయోగించి మొత్తం విషయాన్ని తెలియజేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. ఒక తరగతిలో సగటు విద్యార్థుల సంఖ్యను తీసుకుందాం - ఇరవై ఐదు అని అనుకుందాం. వారిలో పదిహేను మంది అమ్మాయిలు, పది మంది అబ్బాయిలు ఉన్నారు. ప్రతి రోజు ఒక్కో తరగతికి ఒకరిని డ్యూటీకి కేటాయిస్తారు. ఈరోజు క్లాస్ మానిటర్‌ని నియమించడానికి ఎన్ని మార్గాలు ఉన్నాయి? సమస్యకు పరిష్కారం చాలా సులభం; మేము అదనపు నియమాన్ని ఆశ్రయిస్తాము. సమస్య యొక్క పాఠం అబ్బాయిలు మాత్రమే లేదా అమ్మాయిలు మాత్రమే డ్యూటీలో ఉండవచ్చని చెప్పలేదు. అందువల్ల, అది పదిహేను మంది అమ్మాయిలలో ఎవరైనా కావచ్చు లేదా పది మంది అబ్బాయిలలో ఎవరైనా కావచ్చు. మొత్తం నియమాన్ని వర్తింపజేస్తే, ప్రాథమిక పాఠశాల విద్యార్థి సులభంగా నిర్వహించగల సరళమైన ఉదాహరణను మేము పొందుతాము: 15 + 10. లెక్కించిన తర్వాత, మనకు సమాధానం వస్తుంది: ఇరవై ఐదు. అంటే, ఈరోజు డ్యూటీకి క్లాస్ కేటాయించడానికి ఇరవై ఐదు మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు గుణకార నియమాన్ని కూడా కలిగి ఉంటాయి. సిద్ధాంతంతో ప్రారంభిద్దాం. మేము అనేక చర్యలను (a) చేయవలసి ఉందని అనుకుందాం: మొదటి చర్య 1 మార్గాల్లో, రెండవది - 2 మార్గాల్లో, మూడవది - 3 విధాలుగా, మరియు చివరి ఎ-యాక్షన్ వరకు, 3 మార్గాల్లో ప్రదర్శించబడుతుంది. అప్పుడు ఈ చర్యలన్నీ (వీటిలో మనకు మొత్తం ఉంది) N మార్గాల్లో నిర్వహించవచ్చు. తెలియని Nని ఎలా లెక్కించాలి? ఫార్ములా దీనితో మాకు సహాయం చేస్తుంది: N = c1 * c2 * c3 *…* ca. మళ్ళీ, సిద్ధాంతంలో ఏమీ స్పష్టంగా లేదు, కాబట్టి గుణకారం నియమాన్ని వర్తింపజేయడానికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. పదిహేను మంది అమ్మాయిలు మరియు పది మంది అబ్బాయిలు ఉన్న ఇరవై ఐదు మంది ఒకే తరగతి తీసుకుందాం. ఈసారి మాత్రమే మనం డ్యూటీలో ఇద్దరిని ఎంపిక చేసుకోవాలి. వారు కేవలం అబ్బాయిలు లేదా అమ్మాయిలు కావచ్చు లేదా అబ్బాయి మరియు అమ్మాయి కావచ్చు. సమస్య యొక్క ప్రాథమిక పరిష్కారానికి వెళ్దాం. మేము డ్యూటీలో మొదటి వ్యక్తిని ఎంచుకుంటాము, మేము చివరి పేరాలో నిర్ణయించినట్లుగా, మేము ఇరవై ఐదు సాధ్యమైన ఎంపికలను పొందుతాము. డ్యూటీలో ఉన్న రెండవ వ్యక్తి మిగిలిన వ్యక్తులలో ఎవరైనా కావచ్చు. మాకు ఇరవై ఐదు మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, మేము ఒకరిని ఎంచుకున్నాము, అంటే డ్యూటీలో ఉన్న రెండవ వ్యక్తి మిగిలిన ఇరవై నాలుగు మందిలో ఎవరైనా కావచ్చు. చివరగా, మేము గుణకార నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము మరియు విధుల్లో ఉన్న ఇద్దరు అధికారులను ఆరు వందల విధాలుగా ఎన్నుకోవచ్చని కనుగొన్నాము. ఇరవై ఐదు మరియు ఇరవై నాలుగు గుణించడం ద్వారా మేము ఈ సంఖ్యను పొందాము. ఇప్పుడు మనం మరొక కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తాము. వ్యాసం యొక్క ఈ విభాగంలో మనం ప్రస్తారణల గురించి మాట్లాడుతాము. ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి సమస్యను వెంటనే పరిగణించాలని మేము ప్రతిపాదిస్తున్నాము. బిలియర్డ్ బంతులను తీసుకుందాం, వాటిలో nవ సంఖ్య ఉంది. వాటిని వరుసగా అమర్చడానికి, అంటే ఆర్డర్ చేసిన సెట్‌ను రూపొందించడానికి ఎన్ని ఎంపికలు ఉన్నాయో మనం లెక్కించాలి. ప్రారంభిద్దాం, మనకు బంతులు లేకుంటే, ప్లేస్‌మెంట్ కోసం మాకు సున్నా ఎంపికలు కూడా ఉన్నాయి. మరియు మనకు ఒక బంతి ఉంటే, అప్పుడు అమరిక కూడా అదే విధంగా ఉంటుంది (గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: P1 = 1). రెండు బంతులను రెండు రకాలుగా ఉంచవచ్చు: 1,2 మరియు 2,1. కాబట్టి, P2 = 2. మూడు బంతులను ఆరు విధాలుగా అమర్చవచ్చు (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. అలాంటి బంతులు మూడు కాదు, పది లేదా పదిహేను ఉంటే? సాధ్యమయ్యే అన్ని ఎంపికలను జాబితా చేయడానికి చాలా సమయం పడుతుంది, అప్పుడు కాంబినేటరిక్స్ మా సహాయానికి వస్తుంది. ప్రస్తారణ సూత్రం మనకు ఆసక్తి ఉన్న ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. Pn = n *P (n-1). మేము సూత్రాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. మరియు ఇది మొదటి సహజ సంఖ్యల ఉత్పత్తి. ఈ సంఖ్యను ఫాక్టోరియల్ అంటారు మరియు n గా సూచించబడుతుంది! సమస్యను పరిశీలిద్దాం. ప్రతి ఉదయం కౌన్సెలర్ తన బృందాన్ని (ఇరవై మంది) వరుసలో ఉంచుతాడు. జట్టులో ముగ్గురు మంచి స్నేహితులు ఉన్నారు - కోస్త్యా, సాషా మరియు లేషా. వారు ఒకరికొకరు నిలబడటానికి సంభావ్యత ఏమిటి? ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు "మంచి" ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యతో విభజించాలి. మొత్తం ప్రస్తారణల సంఖ్య 20! = 2.5 క్విన్టిలియన్. "మంచి" ఫలితాల సంఖ్యను ఎలా లెక్కించాలి? కోస్త్య, సాషా మరియు లేషా ఒక సూపర్మ్యాన్ అని అనుకుందాం. అప్పుడు మాకు పద్దెనిమిది సబ్జెక్టులు మాత్రమే ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో ప్రస్తారణల సంఖ్య 18 = 6.5 క్వాడ్రిలియన్. వీటన్నింటితో, కోస్త్యా, సాషా మరియు లేషా తమ విడదీయరాని మూడింటిలో తమలో తాము ఏకపక్షంగా కదలగలరు మరియు అది మరో 3! = 6 ఎంపికలు. అంటే మనకు మొత్తం 18 “మంచి” ఏర్పాట్లు ఉన్నాయి! * 3! మనం చేయాల్సిందల్లా కావలసిన సంభావ్యతను కనుగొనడమే: (18! * 3!) / 20! ఇది సుమారు 0.016కి సమానం. శాతాలుగా మార్చినట్లయితే, అది 1.6% మాత్రమే అవుతుంది. ఇప్పుడు మనం మరొక చాలా ముఖ్యమైన మరియు అవసరమైన కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తాము. ప్లేస్‌మెంట్ మా తదుపరి సంచిక, ఈ వ్యాసంలోని ఈ విభాగంలో పరిగణించమని మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము. మేము సంక్లిష్టతలకు వెళుతున్నాము. మేము మొత్తం సెట్ (n) నుండి కాకుండా, చిన్నది (m) నుండి సాధ్యమయ్యే ప్రస్తారణలను పరిగణించాలనుకుంటున్నాము. అంటే, మేము m ద్వారా n అంశాల ప్రస్తారణలను పరిశీలిస్తున్నాము. కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు గుర్తుంచుకోవడమే కాదు, అర్థం చేసుకోవాలి. అవి మరింత క్లిష్టంగా మారినప్పటికీ, మనకు ఒక పరామితి లేదు, కానీ రెండు. m = 1, ఆపై A = 1, m = 2, ఆపై A = n * (n - 1) అని అనుకుందాం. మేము ఫార్ములాను మరింత సరళీకృతం చేసి, ఫాక్టోరియల్స్ ఉపయోగించి సంజ్ఞామానానికి మారినట్లయితే, మేము పూర్తిగా లాకోనిక్ సూత్రాన్ని పొందుతాము: A = n! / (n - m)! మేము దాదాపు అన్ని ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్ సూత్రాలను ఉదాహరణలతో సమీక్షించాము. ఇప్పుడు ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్ కోర్సును పరిగణించే చివరి దశకు వెళ్దాం - కలయికలను తెలుసుకోవడం. ఇప్పుడు మనం కలిగి ఉన్న n నుండి m ఐటెమ్‌లను ఎంచుకుంటాము మరియు సాధ్యమయ్యే ప్రతి విధంగా ప్రతిదాన్ని ఎంచుకుంటాము. ఇది ప్లేస్‌మెంట్ నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది? మేము ఆర్డర్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోము. ఈ క్రమం లేని సెట్ కలయికగా ఉంటుంది. మేము వెంటనే సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: C. మేము n నుండి m బాల్‌ల ప్లేస్‌మెంట్‌ను తీసుకుంటాము. మేము ఆర్డర్‌పై శ్రద్ధ చూపడం మానేస్తాము మరియు పునరావృత కలయికలతో ముగించాము. కలయికల సంఖ్యను పొందడానికి మనం ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యను mతో భాగించాలి! (m కారకం). అంటే, C = A / m! అందువల్ల, n బంతుల నుండి ఎంచుకోవడానికి కొన్ని మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, ఇది దాదాపు అన్నింటిని ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం. దీని కోసం ఒక తార్కిక వ్యక్తీకరణ ఉంది: కొంచెం ఎంచుకోవడం దాదాపు ప్రతిదీ విసిరేయడం వంటిది. సగం అంశాలను ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు గరిష్ట సంఖ్యలో కలయికలను సాధించవచ్చని ఈ సమయంలో పేర్కొనడం కూడా ముఖ్యం. మేము కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలను వివరంగా పరిశీలించాము: ప్లేస్‌మెంట్, ప్రస్తారణ మరియు కలయిక. ఇప్పుడు మా పని కాంబినేటరిక్స్ సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన ఫార్ములా ఎంపికను సులభతరం చేయడం. మీరు క్రింది సరళమైన పథకాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: మేము కాంబినేటరిక్స్, ఫార్ములాలు మరియు కొన్ని ఇతర సమస్యలను పరిశీలించాము. ఇప్పుడు అసలు సమస్యను పరిగణలోకి తీసుకుందాం. మీ ముందు కివి, నారింజ మరియు అరటిపండు ఉన్నాయని ఊహించుకోండి. ప్రశ్న ఒకటి: వాటిని ఎన్ని విధాలుగా పునర్వ్యవస్థీకరించవచ్చు? దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రస్తారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: P = 3! = 6 మార్గాలు. ప్రశ్న రెండు: మీరు ఒక పండును ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? ఇది స్పష్టంగా ఉంది, మాకు కేవలం మూడు ఎంపికలు మాత్రమే ఉన్నాయి - కివి, నారింజ లేదా అరటిని ఎంచుకోండి, కానీ కలయిక సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం: C = 3! / (2! * 1!) = 3. ప్రశ్న మూడు: మీరు రెండు పండ్లను ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? మనకు కూడా ఏ ఎంపికలు ఉన్నాయి? కివి మరియు నారింజ; కివి మరియు అరటి; నారింజ మరియు అరటి. అంటే, మూడు ఎంపికలు ఉన్నాయి, అయితే ఇది కలయిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం సులభం: C = 3! / (1! * 2!) = 3 ప్రశ్న నాలుగు: మీరు మూడు పండ్లను ఎన్ని రకాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మూడు పండ్లను ఎంచుకోవడానికి ఒకే ఒక మార్గం ఉంది: కివి, నారింజ మరియు అరటిని తీసుకోండి. సి = 3! / (0! * 3!) = 1. ప్రశ్న ఐదు: మీరు కనీసం ఒక పండును ఎన్ని విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు? ఈ పరిస్థితి అంటే మనం ఒకటి, రెండు లేదా మూడు పండ్లను తీసుకోవచ్చు. అందువల్ల, మేము C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 ను కలుపుతాము. అంటే, టేబుల్ నుండి కనీసం ఒక పండు తీసుకోవడానికి మనకు ఏడు మార్గాలు ఉన్నాయి. k ద్వారా n మూలకాల కలయికల సంఖ్యను MS EXCELలో లెక్కిద్దాం. సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము కలయికల యొక్క అన్ని వైవిధ్యాలను షీట్‌లో ప్రదర్శిస్తాము (పదం యొక్క ఆంగ్ల అనువాదం: పునరావృతం లేకుండా కలయికలు). k మూలకాల యొక్క n విభిన్న మూలకాల కలయికలు కనీసం ఒక మూలకంలో తేడా ఉండే కలయికలు. ఉదాహరణకు, 5 మూలకాలు (1; 2; 3; 4; 5) కలిగి ఉన్న సెట్ నుండి తీసుకోబడిన అన్ని 3-మూలకాల కలయికలు క్రింద ఉన్నాయి: (1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5) గమనిక: ఇది MS EXCELని ఉపయోగించి కలయికల సంఖ్యను లెక్కించడం గురించిన కథనం. ప్రత్యేక పాఠ్యపుస్తకంలో సైద్ధాంతిక పునాదులను చదవమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము. ఈ కథనం నుండి కలయికలను నేర్చుకోవడం చెడ్డ ఆలోచన. ఉదాహరణ ఫైల్‌లో, ఇచ్చిన n మరియు k కోసం అన్ని కలయికలను ప్రదర్శించడానికి సూత్రాలు సృష్టించబడతాయి. సెట్ (n) యొక్క మూలకాల సంఖ్యను మరియు దాని నుండి మనం ఎంచుకున్న మూలకాల సంఖ్యను పేర్కొనడం ద్వారా (k), సూత్రాలను ఉపయోగించి మేము అన్ని కలయికలను ప్రదర్శిస్తాము. ఒక కార్ ట్రాన్స్పోర్టర్ 4 కార్లను రవాణా చేయగలదు. 7 వేర్వేరు కార్లను (LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo, Lada Largus) రవాణా చేయడం అవసరం. మొదటి కారు రవాణాదారుని ఎన్ని రకాలుగా నింపవచ్చు? కారు ట్రాన్స్పోర్టర్లో కారు యొక్క నిర్దిష్ట స్థలం ముఖ్యమైనది కాదు. మేము సంఖ్యను నిర్ణయించాలి కలయికలుకార్ ట్రాన్స్పోర్టర్ యొక్క 4 ప్రదేశాలలో 7 కార్లు. ఆ. n=7, మరియు k=4. అటువంటి 35 ఎంపికలు ఉన్నాయి =NUMCOMB(7,4).
ప్రొజెక్టివ్ జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాల నుండి (పాస్కల్ సిద్ధాంతం), ఒక సంగ్రహ యంత్రాన్ని (పాస్కల్ జోడించే యంత్రం) రూపొందించారు, ద్విపద గుణకాలను (పాస్కల్ యొక్క త్రిభుజం) లెక్కించడానికి ఒక పద్ధతిని అందించారు, రుజువు కోసం గణిత ప్రేరణ పద్ధతిని ఖచ్చితంగా నిర్వచించిన మరియు వర్తింపజేసిన మొదటి వ్యక్తి. అనంతమైన విశ్లేషణ అభివృద్ధిలో ఒక ముఖ్యమైన అడుగు చేసింది, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ఆవిర్భావంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించింది. హైడ్రోస్టాటిక్స్‌లో, పాస్కల్ దాని ప్రాథమిక నియమాన్ని (పాస్కల్ చట్టం) స్థాపించింది. పాస్కల్ యొక్క "లెటర్స్ టు ఏ ప్రొవిన్షియల్" ఫ్రెంచ్ క్లాసికల్ గద్యంలో ఒక కళాఖండం.
ప్రతి దానిలో ఏ మూలకం రెండుసార్లు కనిపించదు?
2.
పియానోలో 88 కీలు ఉన్నాయి. మీరు వరుసగా 6 శబ్దాలను ఎన్ని విధాలుగా ఉత్పత్తి చేయవచ్చు?
3.
5చే భాగించబడే ఆరు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి?
4.
మూడు పాకెట్లలో 7 రకాల నాణేలను ఎన్ని రకాలుగా ఉంచవచ్చు?
5.
దశాంశ సంజ్ఞామానంలో కనీసం ఒక్కసారైనా అంకెల 5ని కలిగి ఉండే ఎన్ని ఐదు అంకెల సంఖ్యలను మీరు తయారు చేయవచ్చు?
6.
వృత్తాకారంలో కదలడం ద్వారా ఒకరి నుండి మరొకరిని పొందగలిగితే, అదే మార్గాలను పరిగణనలోకి తీసుకుని, రౌండ్ టేబుల్ వద్ద 20 మందిని ఎన్ని విధాలుగా కూర్చోవచ్చు?
7.
ఎన్ని ఐదు అంకెల సంఖ్యలు 5తో భాగించబడతాయి మరియు ఒకే అంకెలను కలిగి ఉండవు?
8.
1 సెంటీమీటర్ల సెల్ వైపు ఉన్న గీసిన కాగితంపై, 100 సెంటీమీటర్ల వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తం గీస్తారు, అది కణాల పైభాగాల గుండా వెళ్లదు మరియు కణాల వైపులా తాకదు. ఈ వృత్తం ఎన్ని కణాలను కలుస్తుంది?
9.
సంఖ్యలు ప్రక్కనే మరియు ఆరోహణ క్రమంలో ఉండేలా సంఖ్యలను వరుసలో ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?
10.
ప్రతి అంకెను ఒకసారి మాత్రమే ఉపయోగించగలిగితే, అంకెల నుండి ఎన్ని ఐదు అంకెల సంఖ్యలను తయారు చేయవచ్చు?
11.
ROT అనే పదం నుండి, అక్షరాలను క్రమాన్ని మార్చడం ద్వారా, మీరు క్రింది పదాలను పొందవచ్చు: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. వాటిని అనగ్రామ్స్ అంటారు. LOGARITHM అనే పదం నుండి మీరు ఎన్ని అనగ్రామ్‌లను తయారు చేయవచ్చు?
12.
పిలుద్దాం విభజనసహజ సంఖ్య, సహజ సంఖ్యల మొత్తంగా దాని ప్రాతినిధ్యం. ఇక్కడ, ఉదాహరణకు, ఒక సంఖ్య యొక్క అన్ని విభజనలు:
13.
పెరగని అంకెల క్రమంతో ఎన్ని మూడు అంకెల సంఖ్యలు ఉన్నాయి?
14.
పెరగని అంకెల క్రమంతో ఎన్ని నాలుగు అంకెల సంఖ్యలు ఉన్నాయి?
15.
17 మందిని ఒక వరుసలో కూర్చోబెట్టడం ద్వారా వారు పక్కపక్కనే కూర్చోవడానికి ఎన్ని రకాలుగా చేయవచ్చు?
16.
అమ్మాయిలు మరియు అబ్బాయిలు వరుస సీట్లలో యాదృచ్ఛికంగా కూర్చుంటారు. ఇద్దరు ఆడపిల్లలు ఒకరి పక్కన కూర్చోకుండా వారిని ఎన్ని రకాలుగా కూర్చోబెట్టగలరు?
17.
అమ్మాయిలు మరియు అబ్బాయిలు వరుస సీట్లలో యాదృచ్ఛికంగా కూర్చుంటారు. అమ్మాయిలందరూ ఒకరికొకరు కూర్చునేలా వారిని ఎన్ని రకాలుగా కూర్చోబెట్టవచ్చు?స్పష్టమైన సూత్రాలు
లింకులు
ఇతర నిఘంటువులలో “సమ్మేళనాల సంఖ్య” ఏమిటో చూడండి:
పుస్తకాలు
కాంబినేటోరియల్ కాన్ఫిగరేషన్‌లు
విభాగాలు
అదనపు నియమం
గుణకార నియమం
పునర్వ్యవస్థీకరణ
వసతి
కలయిక
సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రాన్ని ఎలా ఎంచుకోవాలి?
ఉదాహరణ
కలయికలు మరియు ప్లేస్‌మెంట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం
కలయికల యొక్క అన్ని కలయికలను ప్రదర్శిస్తోంది
టాస్క్