సరళ సమీకరణాలు మరియు రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు. అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించడం

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్‌లోని ప్రభుత్వ సంస్థల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

రెండు తెలియని వాటిలో సరళ సమీకరణం అనే భావన మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. సమీకరణాలు ఒక సమస్యలో వ్యక్తిగతంగా లేదా ఒకేసారి అనేక సమీకరణాలలో ఉండవచ్చు. అటువంటి సందర్భాలలో, సమీకరణాలు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటే ఏమిటి

సమీకరణాల వ్యవస్థ- ఇవి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలు, వీటికి అన్ని సాధారణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం అవసరం. సాధారణంగా, సమీకరణాల వ్యవస్థను వ్రాయడానికి, అవి నిలువు వరుసలో వ్రాయబడతాయి మరియు ఒక సాధారణ కర్లీ బ్రాకెట్ డ్రా చేయబడుతుంది. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క రికార్డింగ్ క్రింద ప్రదర్శించబడింది.

(4x + 3y = 6
( 2x + y = 4

ఈ ఎంట్రీ అంటే రెండు వేరియబుల్స్‌తో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది. వ్యవస్థలో మూడు సమీకరణాలు ఉంటే, మేము మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థ గురించి మాట్లాడుతాము. మరియు ఎన్ని సమీకరణాలకైనా.

సిస్టమ్‌లో ఉన్న అన్ని సమీకరణాలు సరళంగా ఉంటే, అప్పుడు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇవ్వబడుతుంది. పై ఉదాహరణలో, రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ప్రదర్శించబడుతుంది. పైన పేర్కొన్నట్లుగా, సిస్టమ్ సాధారణ పరిష్కారాలను కలిగి ఉండవచ్చు. మేము క్రింద "సాధారణ పరిష్కారం" అనే పదం గురించి మాట్లాడుతాము.

పరిష్కారం ఏమిటి?

రెండు తెలియని రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం ఒక జత సంఖ్యలు (x,y) అంటే మనం ఈ సంఖ్యలను సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలోకి మార్చినట్లయితే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాలు నిజమైన సమానత్వంగా మారుతాయి.

ఉదాహరణకు, మనకు రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉంది. మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే అన్ని జతల సంఖ్యలు.

రెండవ సమీకరణం కోసం, పరిష్కారం ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యల జతలుగా ఉంటుంది. మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలు రెండింటినీ సంతృప్తిపరిచే సంఖ్యల జత ఉంటే, ఈ జంట సంఖ్యలు రెండు తెలియని రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారంగా ఉంటాయి.

గ్రాఫిక్ పరిష్కారం

గ్రాఫికల్‌గా, సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారం అనేది విమానంలోని నిర్దిష్ట రేఖ యొక్క అన్ని పాయింట్లు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం, మనకు అనేక సరళ రేఖలు ఉంటాయి (సమీకరణాల సంఖ్య ప్రకారం). మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం అన్ని పంక్తులు కలిసే బిందువుగా ఉంటుంది. అటువంటి పాయింట్ లేకపోతే, అప్పుడు వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు లేవు. అన్ని పంక్తులు కలుస్తున్న పాయింట్ ఈ పంక్తులలో ప్రతిదానికి చెందినది, కాబట్టి పరిష్కారాన్ని సాధారణం అంటారు.

మార్గం ద్వారా, వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను ప్లాట్ చేయడం మరియు వాటి సాధారణ పాయింట్‌ను కనుగొనడం సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి మార్గాలలో ఒకటి. ఈ పద్ధతిని గ్రాఫికల్ అంటారు.

సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఇతర మార్గాలు

రెండు వేరియబుల్స్‌లో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ఇతర మార్గాలు ఉన్నాయి. రెండు తెలియని వాటితో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులు.

వివిధ ప్రక్రియల గణిత నమూనా కోసం ఆర్థిక రంగంలో సమీకరణాల వ్యవస్థలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. ఉదాహరణకు, ఉత్పత్తి నిర్వహణ మరియు ప్రణాళిక, లాజిస్టిక్స్ మార్గాలు (రవాణా సమస్య) లేదా పరికరాల ప్లేస్‌మెంట్ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు.

జనాభా పరిమాణాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థలు గణితంలో మాత్రమే కాకుండా, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం మరియు జీవశాస్త్రంలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేది అనేక వేరియబుల్స్‌తో కూడిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సమీకరణాలు, దీని కోసం సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం. అన్ని సమీకరణాలు నిజమైన సమానత్వం లేదా క్రమం ఉనికిలో లేదని రుజువు చేసే అటువంటి సంఖ్యల క్రమం.

సరళ సమీకరణం

ax+by=c రూపంలోని సమీకరణాలను లీనియర్ అంటారు. x, y అనే పదాలు తెలియనివి, వీటి విలువ తప్పనిసరిగా కనుగొనబడాలి, b, a అనేది వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలు, c అనేది సమీకరణం యొక్క ఉచిత పదం.
ప్లాట్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సరళ రేఖలా కనిపిస్తుంది, వీటిలో అన్ని పాయింట్లు బహుపదికి పరిష్కారాలు.

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల రకాలు

సరళమైన ఉదాహరణలు X మరియు Y అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలుగా పరిగణించబడతాయి.

F1(x, y) = 0 మరియు F2(x, y) = 0, ఇక్కడ F1,2 ఫంక్షన్‌లు మరియు (x, y) ఫంక్షన్ వేరియబుల్స్.

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి - దీని అర్థం సిస్టమ్ నిజమైన సమానత్వంగా మారే విలువలను (x, y) కనుగొనడం లేదా x మరియు y యొక్క తగిన విలువలు లేవని నిర్ధారించడం.

ఒక బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లుగా వ్రాయబడిన ఒక జత విలువలు (x, y), సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారం అంటారు.

సిస్టమ్‌లకు ఒక సాధారణ పరిష్కారం ఉంటే లేదా పరిష్కారం లేనట్లయితే, వాటిని సమానమైనవి అంటారు.

సరళ సమీకరణాల సజాతీయ వ్యవస్థలు అంటే కుడి వైపు సున్నాకి సమానంగా ఉండే వ్యవస్థలు. సమాన సంకేతం తర్వాత కుడి భాగం విలువను కలిగి ఉంటే లేదా ఫంక్షన్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడినట్లయితే, అటువంటి వ్యవస్థ భిన్నమైనది.

వేరియబుల్స్ సంఖ్య రెండు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, అప్పుడు మనం మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్తో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణ గురించి మాట్లాడాలి.

వ్యవస్థలను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, పాఠశాల పిల్లలు సమీకరణాల సంఖ్య తప్పనిసరిగా తెలియని వారి సంఖ్యతో సమానంగా ఉండాలని అనుకుంటారు, అయితే ఇది అలా కాదు. సిస్టమ్‌లోని సమీకరణాల సంఖ్య వేరియబుల్స్‌పై ఆధారపడి ఉండదు; కావలసినన్ని వాటిలో ఉండవచ్చు.

సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సరళమైన మరియు సంక్లిష్టమైన పద్ధతులు

అటువంటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ విశ్లేషణ పద్ధతి లేదు; అన్ని పద్ధతులు సంఖ్యా పరిష్కారాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. పాఠశాల గణిత కోర్సు ప్రస్తారణ, బీజగణిత సంకలనం, ప్రత్యామ్నాయం, అలాగే గ్రాఫికల్ మరియు మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతులు, గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం వంటి పద్ధతులను వివరంగా వివరిస్తుంది.

పరిష్కార పద్ధతులను బోధించేటప్పుడు ప్రధాన పని ఏమిటంటే, సిస్టమ్‌ను ఎలా సరిగ్గా విశ్లేషించాలో మరియు ప్రతి ఉదాహరణకి సరైన పరిష్కార అల్గోరిథంను ఎలా కనుగొనాలో నేర్పడం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ప్రతి పద్ధతికి నియమాలు మరియు చర్యల వ్యవస్థను గుర్తుంచుకోవడం కాదు, కానీ ఒక నిర్దిష్ట పద్ధతిని ఉపయోగించే సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడం.

7వ తరగతి సాధారణ విద్యా పాఠ్యాంశాల కోసం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం చాలా సులభం మరియు చాలా వివరంగా వివరించబడింది. ఏదైనా గణిత పాఠ్య పుస్తకంలో, ఈ విభాగానికి తగినంత శ్రద్ధ ఇవ్వబడుతుంది. గాస్ మరియు క్రామెర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం ఉన్నత విద్య యొక్క మొదటి సంవత్సరాల్లో మరింత వివరంగా అధ్యయనం చేయబడుతుంది.

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి యొక్క చర్యలు రెండవ పరంగా ఒక వేరియబుల్ యొక్క విలువను వ్యక్తీకరించే లక్ష్యంతో ఉంటాయి. వ్యక్తీకరణ మిగిలిన సమీకరణంలోకి భర్తీ చేయబడింది, తర్వాత అది ఒక వేరియబుల్‌తో రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. సిస్టమ్‌లోని తెలియని వ్యక్తుల సంఖ్యను బట్టి చర్య పునరావృతమవుతుంది

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి తరగతి 7 యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణకి ఒక పరిష్కారాన్ని ఇద్దాం:

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, వేరియబుల్ x F(X) = 7 + Y ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది. ఫలితంగా వ్యక్తీకరణ, X స్థానంలో సిస్టమ్ యొక్క 2వ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయబడింది, 2వ సమీకరణంలో ఒక వేరియబుల్ Yని పొందడంలో సహాయపడింది. . ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడం సులభం మరియు Y విలువను పొందడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. పొందిన విలువలను తనిఖీ చేయడం చివరి దశ.

ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణను పరిష్కరించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. సమీకరణాలు సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు రెండవ తెలియని పరంగా వేరియబుల్‌ను వ్యక్తీకరించడం తదుపరి గణనలకు చాలా గజిబిజిగా ఉంటుంది. సిస్టమ్‌లో 3 కంటే ఎక్కువ తెలియనివి ఉన్నప్పుడు, ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా పరిష్కరించడం కూడా సరికాదు.

సరళ అసమాన సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉదాహరణ యొక్క పరిష్కారం:

బీజగణిత సంకలనాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారం

అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సిస్టమ్‌లకు పరిష్కారాల కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, సమీకరణాలు పదం ద్వారా పదం జోడించబడతాయి మరియు వివిధ సంఖ్యలతో గుణించబడతాయి. గణిత కార్యకలాపాల యొక్క అంతిమ లక్ష్యం ఒక వేరియబుల్‌లోని సమీకరణం.

ఈ పద్ధతిని వర్తింపజేయడానికి అభ్యాసం మరియు పరిశీలన అవసరం. 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పుడు అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం సులభం కాదు. సమీకరణాలు భిన్నాలు మరియు దశాంశాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు బీజగణిత సంకలనం ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

పరిష్కార అల్గోరిథం:

1. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నిర్దిష్ట సంఖ్యతో గుణించండి. అంకగణిత ఆపరేషన్ ఫలితంగా, వేరియబుల్ యొక్క గుణకాలలో ఒకటి 1కి సమానంగా ఉండాలి.
2. పదం ద్వారా ఫలిత వ్యక్తీకరణ పదాన్ని జోడించి, తెలియని వాటిలో ఒకదాన్ని కనుగొనండి.
3. మిగిలిన వేరియబుల్‌ను కనుగొనడానికి ఫలిత విలువను సిస్టమ్ యొక్క 2వ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా పరిష్కారం యొక్క పద్ధతి

సిస్టమ్‌కు రెండు సమీకరణాలకు మించకుండా పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరమైతే కొత్త వేరియబుల్‌ని ప్రవేశపెట్టవచ్చు; తెలియని వారి సంఖ్య కూడా రెండు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు.

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలలో ఒకదాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. కొత్త సమీకరణం పరిచయం చేయబడిన తెలియని వాటి కోసం పరిష్కరించబడుతుంది మరియు ఫలిత విలువ అసలు వేరియబుల్‌ను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

కొత్త వేరియబుల్ tని పరిచయం చేయడం ద్వారా, సిస్టమ్ యొక్క 1వ సమీకరణాన్ని ప్రామాణిక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌కి తగ్గించడం సాధ్యమవుతుందని ఉదాహరణ చూపిస్తుంది. మీరు వివక్షను కనుగొనడం ద్వారా బహుపదిని పరిష్కరించవచ్చు.

బాగా తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వివక్షత యొక్క విలువను కనుగొనడం అవసరం: D = b2 - 4*a*c, ఇక్కడ D అనేది కావలసిన వివక్షత, b, a, c బహుపది యొక్క కారకాలు. ఇచ్చిన ఉదాహరణలో, a=1, b=16, c=39, కాబట్టి D=100. వివక్షత సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: t = -b±√D / 2*a, వివక్షత సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది: x = -b / 2*a.

ఫలిత వ్యవస్థలకు పరిష్కారం అదనపు పద్ధతి ద్వారా కనుగొనబడుతుంది.

వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి దృశ్య పద్ధతి

3 సమీకరణ వ్యవస్థలకు అనుకూలం. కోఆర్డినేట్ యాక్సిస్‌లో సిస్టమ్‌లో చేర్చబడిన ప్రతి సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడంలో ఈ పద్ధతి ఉంటుంది. వక్రరేఖల ఖండన పాయింట్ల కోఆర్డినేట్లు వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పరిష్కారంగా ఉంటాయి.

గ్రాఫికల్ పద్ధతిలో అనేక సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు ఉన్నాయి. దృశ్య మార్గంలో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతి పంక్తికి రెండు పాయింట్లు నిర్మించబడ్డాయి, వేరియబుల్ x యొక్క విలువలు ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి: 0 మరియు 3. x విలువల ఆధారంగా, y కోసం విలువలు కనుగొనబడ్డాయి: 3 మరియు 0. కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లు (0, 3) మరియు (3, 0) గ్రాఫ్‌లో గుర్తించబడ్డాయి మరియు ఒక లైన్ ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడ్డాయి.

రెండవ సమీకరణం కోసం దశలను పునరావృతం చేయాలి. పంక్తుల ఖండన స్థానం వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం.

కింది ఉదాహరణకి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు గ్రాఫికల్ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం: 0.5x-y+2=0 మరియు 0.5x-y-1=0.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం లేదు, ఎందుకంటే గ్రాఫ్‌లు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు వాటి మొత్తం పొడవుతో కలుస్తాయి.

ఉదాహరణలు 2 మరియు 3 నుండి సిస్టమ్‌లు ఒకేలా ఉంటాయి, కానీ నిర్మించినప్పుడు వాటి పరిష్కారాలు భిన్నంగా ఉన్నాయని స్పష్టమవుతుంది. సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఉందా లేదా అని చెప్పడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని గుర్తుంచుకోవాలి; గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం ఎల్లప్పుడూ అవసరం.

మాతృక మరియు దాని రకాలు

సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను సంక్షిప్తంగా వ్రాయడానికి మాత్రికలు ఉపయోగించబడతాయి. మ్యాట్రిక్స్ అనేది సంఖ్యలతో నిండిన ఒక ప్రత్యేక రకం పట్టిక. n*m n - అడ్డు వరుసలు మరియు m - నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది.

నిలువు వరుసలు మరియు అడ్డు వరుసల సంఖ్య సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాతృక చతురస్రంగా ఉంటుంది. మ్యాట్రిక్స్-వెక్టార్ అనేది అనంతమైన సాధ్యమైన వరుసల సంఖ్యతో ఒక నిలువు వరుస యొక్క మాతృక. వికర్ణాలలో ఒకదానితో పాటు ఇతర సున్నా మూలకాలతో కూడిన మాతృకను గుర్తింపు అంటారు.

విలోమ మాతృక అనేది ఒక మాతృక, దీని ద్వారా గుణించబడినప్పుడు అసలైనది యూనిట్ మ్యాట్రిక్స్‌గా మారుతుంది; అటువంటి మాత్రిక అసలు స్క్వేర్‌కి మాత్రమే ఉంటుంది.

సమీకరణాల వ్యవస్థను మాతృకగా మార్చడానికి నియమాలు

సమీకరణాల వ్యవస్థలకు సంబంధించి, సమీకరణాల యొక్క గుణకాలు మరియు ఉచిత నిబంధనలు మాతృక సంఖ్యలుగా వ్రాయబడతాయి; ఒక సమీకరణం మాతృక యొక్క ఒక వరుస.

అడ్డు వరుసలోని కనీసం ఒక మూలకం సున్నా కానట్లయితే, మాతృక అడ్డు వరుసను నాన్‌జీరోగా చెప్పవచ్చు. అందువల్ల, ఏదైనా సమీకరణాలలో వేరియబుల్స్ సంఖ్య భిన్నంగా ఉంటే, తప్పిపోయిన తెలియని స్థానంలో సున్నాని నమోదు చేయడం అవసరం.

మాతృక నిలువు వరుసలు ఖచ్చితంగా వేరియబుల్స్‌కు అనుగుణంగా ఉండాలి. దీని అర్థం వేరియబుల్ x యొక్క గుణకాలు ఒక నిలువు వరుసలో మాత్రమే వ్రాయబడతాయి, ఉదాహరణకు మొదటిది, తెలియని y యొక్క గుణకం - రెండవది మాత్రమే.

మాతృకను గుణించేటప్పుడు, మాతృకలోని అన్ని మూలకాలు వరుసగా సంఖ్యతో గుణించబడతాయి.

విలోమ మాతృకను కనుగొనే ఎంపికలు

విలోమ మాతృకను కనుగొనే సూత్రం చాలా సులభం: K -1 = 1 / |K|, ఇక్కడ K -1 అనేది విలోమ మాతృక, మరియు |K| మాతృక యొక్క నిర్ణయాధికారి. |కె| సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు, అప్పుడు సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఉంటుంది.

రెండు-ద్వారా-రెండు మాతృక కోసం డిటర్మినెంట్ సులభంగా లెక్కించబడుతుంది; మీరు వికర్ణ మూలకాలను ఒకదానికొకటి గుణించాలి. “త్రీ బై త్రీ” ఎంపిక కోసం, |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c ఫార్ములా ఉంది 3 + a 3 b 2 c 1 . మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు లేదా మీరు ప్రతి అడ్డు వరుస మరియు ప్రతి నిలువు వరుస నుండి ఒక మూలకాన్ని తీసుకోవాలని గుర్తుంచుకోవచ్చు, తద్వారా నిలువు వరుసల సంఖ్యలు మరియు మూలకాల వరుసలు పనిలో పునరావృతం కావు.

మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం

పరిష్కారాన్ని కనుగొనే మ్యాట్రిక్స్ పద్ధతి పెద్ద సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ మరియు ఈక్వేషన్స్‌తో సిస్టమ్‌లను పరిష్కరించేటప్పుడు గజిబిజిగా ఉండే ఎంట్రీలను తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణలో, a nm సమీకరణాల గుణకాలు, మాతృక వెక్టర్ x n వేరియబుల్స్, మరియు b n అనేది ఉచిత పదాలు.

గాస్సియన్ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

ఉన్నత గణితంలో, గాస్సియన్ పద్ధతి క్రామెర్ పద్ధతితో కలిసి అధ్యయనం చేయబడుతుంది మరియు సిస్టమ్‌లకు పరిష్కారాలను కనుగొనే ప్రక్రియను గాస్-క్రామెర్ సొల్యూషన్ మెథడ్ అంటారు. పెద్ద సంఖ్యలో సరళ సమీకరణాలతో వ్యవస్థల వేరియబుల్‌లను కనుగొనడానికి ఈ పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి.

గాస్ పద్ధతి ప్రత్యామ్నాయం మరియు బీజగణిత సంకలనం ద్వారా పరిష్కారాలను పోలి ఉంటుంది, కానీ మరింత క్రమబద్ధమైనది. పాఠశాల కోర్సులో, గాస్సియన్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం 3 మరియు 4 సమీకరణాల వ్యవస్థలకు ఉపయోగించబడుతుంది. వ్యవస్థను విలోమ ట్రాపజోయిడ్ రూపంలోకి తగ్గించడం పద్ధతి యొక్క ఉద్దేశ్యం. బీజగణిత పరివర్తనలు మరియు ప్రత్యామ్నాయాల ద్వారా, ఒక వేరియబుల్ యొక్క విలువ వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానిలో కనుగొనబడుతుంది. రెండవ సమీకరణం 2 తెలియని వాటితో కూడిన వ్యక్తీకరణ, అయితే 3 మరియు 4 వరుసగా 3 మరియు 4 వేరియబుల్స్‌తో ఉంటాయి.

సిస్టమ్‌ను వివరించిన రూపంలోకి తీసుకువచ్చిన తర్వాత, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలోకి తెలిసిన వేరియబుల్స్ యొక్క సీక్వెన్షియల్ ప్రత్యామ్నాయానికి తదుపరి పరిష్కారం తగ్గించబడుతుంది.

గ్రేడ్ 7 కోసం పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో, గాస్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కారం యొక్క ఉదాహరణ క్రింది విధంగా వివరించబడింది:

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, దశ (3) వద్ద రెండు సమీకరణాలు పొందబడ్డాయి: 3x 3 -2x 4 =11 మరియు 3x 3 +2x 4 =7. ఏదైనా సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వలన మీరు x n వేరియబుల్స్‌లో ఒకదానిని కనుగొనవచ్చు.

టెక్స్ట్‌లో పేర్కొన్న సిద్ధాంతం 5, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానిని సమానమైన దానితో భర్తీ చేస్తే, ఫలితంగా వచ్చే సిస్టమ్ కూడా అసలైన దానికి సమానంగా ఉంటుంది.

మిడిల్ స్కూల్ విద్యార్థులకు గాస్సియన్ పద్ధతిని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం, కానీ గణిత మరియు భౌతిక తరగతులలో అధునాతన అభ్యాస కార్యక్రమాలలో నమోదు చేయబడిన పిల్లల చాతుర్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి ఇది అత్యంత ఆసక్తికరమైన మార్గాలలో ఒకటి.

రికార్డింగ్ సౌలభ్యం కోసం, గణనలు సాధారణంగా ఈ క్రింది విధంగా చేయబడతాయి:

సమీకరణాల గుణకాలు మరియు ఉచిత పదాలు మాతృక రూపంలో వ్రాయబడతాయి, ఇక్కడ మాతృక యొక్క ప్రతి అడ్డు వరుస వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సమీకరణం యొక్క ఎడమ భాగాన్ని కుడి నుండి వేరు చేస్తుంది. రోమన్ సంఖ్యలు వ్యవస్థలోని సమీకరణాల సంఖ్యలను సూచిస్తాయి.

మొదట, పని చేయవలసిన మాతృకను వ్రాయండి, ఆపై అన్ని చర్యలు వరుసలలో ఒకదానితో నిర్వహించబడతాయి. ఫలిత మాతృక "బాణం" గుర్తు తర్వాత వ్రాయబడుతుంది మరియు ఫలితాన్ని సాధించే వరకు అవసరమైన బీజగణిత కార్యకలాపాలు కొనసాగించబడతాయి.

ఫలితం మాతృక అయి ఉండాలి, దీనిలో వికర్ణాలలో ఒకటి 1కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు అన్ని ఇతర గుణకాలు సున్నాకి సమానంగా ఉంటాయి, అనగా మాతృక యూనిట్ రూపానికి తగ్గించబడుతుంది. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సంఖ్యలతో గణనలను నిర్వహించడం మనం మర్చిపోకూడదు.

ఈ రికార్డింగ్ పద్ధతి తక్కువ గజిబిజిగా ఉంటుంది మరియు అనేక తెలియని వాటిని జాబితా చేయడం ద్వారా పరధ్యానంలో ఉండకుండా మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఏదైనా పరిష్కార పద్ధతి యొక్క ఉచిత ఉపయోగం సంరక్షణ మరియు కొంత అనుభవం అవసరం. అన్ని పద్ధతులు అనువర్తిత స్వభావం కలిగి ఉండవు. మానవ కార్యకలాపాల యొక్క నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో పరిష్కారాలను కనుగొనే కొన్ని పద్ధతులు మరింత ప్రాధాన్యతనిస్తాయి, మరికొన్ని విద్యా ప్రయోజనాల కోసం ఉన్నాయి.

సమీకరణాల వ్యవస్థలకు రెండు రకాల పరిష్కారాలను విశ్లేషిద్దాం:

1. ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి వ్యవస్థను పరిష్కరించడం.
2. సిస్టమ్ సమీకరణాల టర్మ్-బై-టర్మ్ జోడింపు (వ్యవకలనం) ద్వారా సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడం.

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి ద్వారామీరు ఒక సాధారణ అల్గోరిథంను అనుసరించాలి:
1. ఎక్స్ప్రెస్. ఏదైనా సమీకరణం నుండి మనం ఒక వేరియబుల్‌ని వ్యక్తపరుస్తాము.
2. ప్రత్యామ్నాయం. మేము వ్యక్తీకరించబడిన వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఫలిత విలువను మరొక సమీకరణంలోకి మారుస్తాము.
3. ఫలిత సమీకరణాన్ని ఒక వేరియబుల్‌తో పరిష్కరించండి. మేము వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము.

పరిష్కరించడానికి టర్మ్-బై-టర్మ్ జోడింపు (వ్యవకలనం) పద్ధతి ద్వారా వ్యవస్థఅవసరం:
1. వేరియబుల్‌ని ఎంచుకోండి, దాని కోసం మనం ఒకే విధమైన కోఎఫీషియంట్‌లను చేస్తాము.
2. మేము సమీకరణాలను జోడిస్తాము లేదా తీసివేస్తాము, ఫలితంగా ఒక వేరియబుల్‌తో సమీకరణం వస్తుంది.
3. ఫలితాన్ని పరిష్కరించండి సరళ సమీకరణం. మేము వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము.

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్లు.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి వ్యవస్థల పరిష్కారాన్ని వివరంగా పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ #1:

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరిద్దాం

ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం

2x+5y=1 (1 సమీకరణం)
x-10y=3 (2వ సమీకరణం)

1. ఎక్స్ప్రెస్
రెండవ సమీకరణంలో 1 గుణకంతో వేరియబుల్ x ఉందని చూడవచ్చు, అంటే రెండవ సమీకరణం నుండి వేరియబుల్ xని వ్యక్తీకరించడం చాలా సులభం.
x=3+10y

2.మనం దానిని వ్యక్తీకరించిన తర్వాత, మేము వేరియబుల్ xకి బదులుగా మొదటి సమీకరణంలో 3+10yని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము.
2(3+10y)+5y=1

3. ఫలిత సమీకరణాన్ని ఒక వేరియబుల్‌తో పరిష్కరించండి.
2(3+10y)+5y=1 (బ్రాకెట్‌లను తెరవండి)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25సం=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

సమీకరణ వ్యవస్థకు పరిష్కారం గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువులు, కాబట్టి మనం x మరియు y లను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఖండన స్థానం x మరియు y లను కలిగి ఉంటుంది. xని కనుగొనండి, మేము దానిని వ్యక్తీకరించిన మొదటి పాయింట్‌లో y ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

మనం మొదటి స్థానంలో x అనే వేరియబుల్‌ని వ్రాస్తాము, రెండవ స్థానంలో y అనే వేరియబుల్‌ని వ్రాస్తాము.
సమాధానం: (1; -0.2)

ఉదాహరణ #2:

పదం వారీగా కూడిక (వ్యవకలనం) పద్ధతిని ఉపయోగించి పరిష్కరిద్దాం.

అదనపు పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం

3x-2y=1 (1 సమీకరణం)
2x-3y=-10 (2వ సమీకరణం)

1. మనం వేరియబుల్‌ని ఎంచుకుంటాము, మనం xని ఎంచుకున్నామని అనుకుందాం. మొదటి సమీకరణంలో, వేరియబుల్ x 3 గుణకాన్ని కలిగి ఉంటుంది, రెండవది - 2. మేము గుణకాలను ఒకే విధంగా చేయాలి, దీని కోసం సమీకరణాలను గుణించడం లేదా ఏదైనా సంఖ్యతో విభజించే హక్కు మనకు ఉంది. మేము మొదటి సమీకరణాన్ని 2 ద్వారా మరియు రెండవది 3 ద్వారా గుణించి మొత్తం గుణకం 6ని పొందుతాము.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. వేరియబుల్ xని వదిలించుకోవడానికి మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి. సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. xని కనుగొనండి. మేము కనుగొన్న y ని ఏదైనా సమీకరణాలలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, మొదటి సమీకరణంలో చెప్పండి.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

ఖండన స్థానం x=4.6; y=6.4
సమాధానం: (4.6; 6.4)

మీరు ఉచితంగా పరీక్షలకు సిద్ధం కావాలా? ఆన్‌లైన్ ట్యూటర్ ఉచితంగా. తమాషా కాదు.