Wakati wa kusoma kazi na kuunda grafu yake, kwa hatua moja tunaamua alama za inflection na vipindi vya kubadilika. Data hizi, pamoja na vipindi vya kuongezeka na kupungua, hufanya iwezekane kuwakilisha kimkakati grafu ya kazi inayochunguzwa.
Uwasilishaji zaidi unachukulia kuwa unaweza kufanya hadi mpangilio fulani na aina tofauti.
Wacha tuanze kusoma nyenzo na ufafanuzi muhimu na dhana. Ifuatayo, tutatoa sauti ya uhusiano kati ya thamani ya derivative ya pili ya kazi kwa muda fulani na mwelekeo wa convexity yake. Baada ya hayo, tutaendelea kwa masharti ambayo inaruhusu sisi kuamua pointi za inflection za grafu ya kazi. Kulingana na maandishi tutatoa mifano ya kawaida na ufumbuzi wa kina.
Urambazaji wa ukurasa.
Convexity, concavity ya kazi, hatua ya inflection.
Ufafanuzi.
mbonyeo chini kwenye muda X ikiwa grafu yake haiko chini kuliko tangent kwake katika hatua yoyote ya muda X.
Ufafanuzi.
Kazi ya kutofautisha inaitwa convex juu kwenye muda wa X ikiwa grafu yake haipo juu kuliko tanjenti yake wakati wowote katika muda wa X.
Kitendaji cha juu cha mbonyeo mara nyingi huitwa mbonyeo, na kulegea chini - concave.
Angalia mchoro unaoonyesha ufafanuzi huu.
Ufafanuzi.
Hatua inaitwa sehemu ya kualika ya grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) ikiwa katika hatua fulani kuna tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa (inaweza kuwa sambamba na mhimili wa Oy) na kuna kitongoji cha sehemu ambayo upande wa kushoto na kulia wa nukta M grafu ya kazi ina mwelekeo tofauti wa convexity.
Kwa maneno mengine, hatua M inaitwa hatua ya inflection ya grafu ya kazi ikiwa kuna tangent katika hatua hii na grafu ya kazi inabadilisha mwelekeo wa convexity, kupita kwa njia hiyo.
Ikiwa ni lazima, rejelea sehemu ili kukumbuka masharti ya kuwepo kwa tangent isiyo ya wima na ya wima.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha baadhi ya mifano ya alama za inflection (zilizowekwa alama nyekundu). Kumbuka kuwa baadhi ya vitendakazi huenda visiwe na nukta za unyambulishaji, ilhali zingine zinaweza kuwa na nukta moja, kadhaa, au nyingi kabisa.
Kutafuta vipindi vya ubadilishaji wa chaguo za kukokotoa.
Wacha tuunde nadharia ambayo huturuhusu kubaini vipindi vya kukokotoa vya chaguo la kukokotoa.
Nadharia.
Ikiwa kazi y=f(x) ina derivative ya pili ya mwisho kwenye muda X na ikiwa ukosefu wa usawa unashikilia. 
(), kisha grafu ya chaguo za kukokotoa ina mwonekano unaoelekezwa chini (juu) na X.
Nadharia hii hukuruhusu kupata vipindi vya mshikamano na ugumu wa kazi; unahitaji tu kutatua usawa na, mtawaliwa, kwenye kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya asili.
Ikumbukwe kwamba pointi ambapo kazi y=f(x) imefafanuliwa na derivative ya pili haipo itajumuishwa katika vipindi vya mng'ao na unyambulishaji.
Hebu tuelewe hili kwa mfano.
Mfano.
Jua vipindi ambavyo grafu ya chaguo la kukokotoa 
ina msukosuko unaoelekezwa juu na upenyo unaoelekezwa chini.
Suluhisho.
Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti nzima nambari za kweli.
Hebu tutafute derivative ya pili. 
Kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya pili sanjari na kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya asili, kwa hivyo, ili kujua vipindi vya concavity na convexity, inatosha kutatua na ipasavyo. 
Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa ni la kukokotoa kuelekea chini kwenye muda na kukunjamana kwenda juu kwenye muda.
Mchoro wa picha.
Sehemu ya grafu ya kazi katika muda wa convex inaonyeshwa kwa bluu, na katika muda wa concavity - katika nyekundu.
Sasa hebu tuchunguze mfano wakati kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya pili hailingani na kikoa cha ufafanuzi wa kazi. Katika kesi hii, kama tulivyokwisha sema, vidokezo vya kikoa cha ufafanuzi ambapo derivative ya pili ya mwisho haipo inapaswa kujumuishwa katika vipindi vya ushawishi na (au) concavity.
Mfano.
Pata vipindi vya msongamano na msongamano wa grafu ya chaguo za kukokotoa.
Suluhisho.
Wacha tuanze na kikoa cha kazi:
Wacha tupate derivative ya pili: 
Kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya pili ni seti 
. Kama unavyoona, x=0 ni ya kikoa cha chaguo la kukokotoa asilia, lakini si mali ya kikoa cha derivative ya pili. Usisahau kuhusu hatua hii; itahitaji kujumuishwa katika muda wa convexity na (au) concavity.
Sasa tunatatua kutofautiana kwenye kikoa cha ufafanuzi wa kazi ya awali. Hebu tutume maombi. Nambari ya kujieleza 
huenda hadi sifuri saa 
au 
, dhehebu - kwa x = 0 au x = 1. Tunapanga alama hizi kwa mpangilio kwenye mstari wa nambari na kujua ishara ya usemi kwenye kila vipindi vilivyojumuishwa kwenye kikoa cha ufafanuzi wa kazi asilia (inaonyeshwa kama eneo lenye kivuli kwenye mstari wa nambari ya chini). Kwa thamani chanya tunaweka ishara ya kuongeza, kwa thamani hasi tunaweka ishara ya kutoa. 
Hivyo,
Na 
Kwa hivyo, kwa kujumuisha nukta x=0, tunapata jibu.
Katika 
grafu ya chaguo za kukokotoa ina mnyumbuliko unaoelekezwa chini, na 
- convexity kuelekezwa juu.
Mchoro wa picha.
Sehemu ya grafu ya kazi kwenye muda wa msongamano inaonyeshwa kwa rangi ya samawati, kwenye vipindi vya msongamano - kwa rangi nyekundu, mstari wa nukta nyeusi ni asymptote ya wima.
Masharti ya lazima na ya kutosha kwa inflection.
Hali ya lazima kwa inflection.
Hebu tutengeneze hali ya lazima kwa inflection kazi graphics.
Acha grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) iwe na uangaze kwa uhakika na iwe na derivative ya pili inayoendelea, kisha usawa unashikilia.
Kutoka kwa hali hii inafuata kwamba abscissas ya pointi za inflection inapaswa kutafutwa kati ya wale ambao derivative ya pili ya kazi hupotea. LAKINI, hali hii haitoshi, yaani, sio maadili yote ambayo derivative ya pili ni sawa na sifuri ni abscissas ya pointi za inflection.
Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa ufafanuzi wa hatua ya inflection inahitaji kuwepo kwa mstari wa tangent, au moja ya wima. Hii ina maana gani? Na hii inamaanisha yafuatayo: abscissas ya vidokezo vya inflection inaweza kuwa kila kitu kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa kazi ambayo 
Na 
. Hizi ni kawaida pointi ambapo denominator ya derivative ya kwanza hupotea.
Hali ya kwanza ya kutosha kwa inflection.
Baada ya yote ambayo yanaweza kuwa abscissas ya pointi za inflection zimepatikana, unapaswa kutumia hali ya kwanza ya kutosha kwa inflection kazi graphics.
Acha chaguo la kukokotoa y=f(x) liwe endelevu kwa uhakika, iwe na tanjiti (labda wima) ndani yake, na acha chaguo hili la kukokotoa liwe na derivative ya pili katika eneo fulani la uhakika. Halafu, ikiwa ndani ya kitongoji hiki upande wa kushoto na kulia wa , derivative ya pili ina ishara tofauti, basi ni sehemu ya inflection ya grafu ya chaguo za kukokotoa.
Kama unaweza kuona, hali ya kwanza ya kutosha hauhitaji kuwepo kwa derivative ya pili katika hatua yenyewe, lakini inahitaji kuwepo kwake katika kitongoji cha uhakika.
Sasa hebu tufanye muhtasari wa habari zote kwa namna ya algorithm.
Algorithm ya kutafuta nukta za unyambulishaji wa chaguo za kukokotoa.
Tunapata abscissas zote za sehemu za inflection zinazowezekana za grafu ya kazi (au Na ) na ujue kwa kupitia ambayo alama ya derivative ya pili inabadilisha. Maadili kama haya yatakuwa abscissa ya alama za inflection, na alama zinazolingana zitakuwa alama za kugeuza za grafu ya kazi.
Hebu tuangalie mifano miwili ya kutafuta nukta za unyambulishaji kwa ufafanuzi.
Mfano.
Tafuta sehemu za inflection na vipindi vya unyambulishaji na upenyo wa grafu ya chaguo za kukokotoa 
.
Suluhisho.
Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti nzima ya nambari halisi.
Wacha tupate derivative ya kwanza: 
Kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya kwanza pia ni seti nzima ya nambari halisi, kwa hivyo usawa Na haijatimizwa kwa yoyote.
Wacha tupate derivative ya pili:
Wacha tujue ni maadili gani ya hoja x derivative ya pili huenda kwa sifuri: 
Kwa hivyo, abscissas ya pointi za inflection zinazowezekana ni x=-2 na x=3.
Sasa inabakia kuangalia, kwa kutumia ishara ya kutosha ya inflection, ambayo ya pointi hizi ishara ya pili ya mabadiliko ya derivative. Ili kufanya hivyo, panga alama x=-2 na x=3 kwenye mhimili wa nambari na, kama ilivyo njia ya muda ya jumla, tunaweka ishara za derivative ya pili juu ya kila muda. Chini ya kila kipindi, mwelekeo wa upenyo wa grafu ya chaguo za kukokotoa huonyeshwa kwa mpangilio na arcs. 
Nyenzo ya pili ya mabadiliko huashiria kutoka jumlisha hadi minus, ikipitia ncha x=-2 kutoka kushoto kwenda kulia, na hubadilisha ishara kutoka minus hadi plus, kupita x=3. Kwa hivyo, zote mbili x=-2 na x=3 ni abscissas ya pointi za inflection za grafu ya kazi. Zinalingana na alama za grafu na.
Kuangalia tena mstari wa nambari na ishara za derivative ya pili kwa vipindi vyake, tunaweza kupata hitimisho kuhusu vipindi vya convexity na concavity. Grafu ya chaguo za kukokotoa ni mbonyeo kwenye muda na inapinda kwenye vipindi na .
Mchoro wa picha.
Sehemu ya jedwali la kukokotoa kwenye muda wa mbonyeo huonyeshwa kwa rangi ya samawati, kwenye muda wa mnyauko - kwa rangi nyekundu, na nukta za infleksi zinaonyeshwa kama nukta nyeusi.
Mfano.
Pata abscissa ya sehemu zote za inflection za grafu ya kazi 
.
Suluhisho.
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni seti nzima ya nambari halisi.
Hebu tutafute derivative. 
Derivative ya kwanza, tofauti na chaguo la kukokotoa asilia, haijafafanuliwa kuwa x=3. Lakini 
Na 
. Kwa hiyo, katika hatua na abscissa x = 3 kuna tangent wima kwa grafu ya kazi ya awali. Kwa hivyo, x=3 inaweza kuwa abscissa ya hatua ya inflection ya grafu ya kazi.
Tunapata derivative ya pili, kikoa chake cha ufafanuzi na pointi ambapo inatoweka: 
Tulipata abscissas mbili zaidi zinazowezekana za alama za inflection. Tunaweka alama zote tatu kwenye mstari wa nambari na kuamua ishara ya derivative ya pili kwenye kila vipindi vinavyotokana. 
Ishara ya mabadiliko ya derivative ya pili wakati wa kupita kwa kila moja ya alama, kwa hivyo, zote ni abscissas ya alama za inflection.
Grafu ya kipengele y=f(x) kuitwa mbonyeo kwa muda (a; b), ikiwa iko chini ya tanjenti zake zozote kwa muda huu.
Grafu ya kipengele y=f(x) kuitwa concave kwa muda (a; b), ikiwa iko juu ya tanjenti zake zozote kwa muda huu.
Kielelezo kinaonyesha mkunjo ambao ni mbonyeo kwa (a; b) na endelea (b;c).
Mifano.
Hebu tuzingatie kigezo cha kutosha kinachoturuhusu kubainisha ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika muda fulani itakuwa ya kukokotoa au ya kukunjamana.
Nadharia. Hebu y=f(x) inayoweza kutofautishwa (a; b). Ikiwa katika sehemu zote za muda (a; b) derivative ya pili ya kazi y = f(x) hasi, i.e. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 - pinda.
Ushahidi. Wacha tuchukue kwa uhakika kwamba f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Wacha tuchukue kazi kwenye grafu y = f(x) hatua ya kiholela M0 pamoja na abscissa x 0 Î ( a; b) na kuchora kwa uhakika M0 tangent. Mlinganyo wake. Lazima tuonyeshe kwamba grafu ya chaguo la kukokotoa imewashwa (a; b) iko chini ya tangent hii, i.e. kwa thamani sawa x mpangilio wa curve y = f(x) itakuwa chini ya mpangilio wa tangent.
Kwa hivyo, equation ya curve ni y = f(x). Wacha tuonyeshe mpangilio wa tangent inayolingana na abscissa x. Kisha. Kwa hivyo, tofauti kati ya kuratibu za curve na tanjenti kwa thamani sawa x mapenzi.
Tofauti f(x) - f(x 0) badilisha kulingana na nadharia ya Lagrange, wapi c kati ya x Na x 0.
Hivyo,
Tunatumia tena nadharia ya Lagrange kwa usemi katika mabano ya mraba:, wapi c 1 kati ya c 0 Na x 0. Kulingana na masharti ya nadharia f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Kwa hivyo, sehemu yoyote kwenye curve iko chini ya tangent kwa curve kwa maadili yote x Na x 0 Î ( a; b), ambayo ina maana kwamba curve ni convex. Sehemu ya pili ya nadharia inathibitishwa kwa njia sawa.
Mifano.
Pointi ya grafu kazi inayoendelea, kutenganisha sehemu yake ya convex kutoka sehemu ya concave, inaitwa hatua ya inflection.
Kwa wazi, katika hatua ya inflection, tangent, ikiwa iko, inapita kati ya curve, kwa sababu. kwa upande mmoja wa hatua hii curve iko chini ya tangent, na kwa upande mwingine - juu yake.
Wacha tuamue masharti ya kutosha kwa ukweli kwamba kupewa point curve ni hatua ya inflection.
Nadharia. Acha curve ifafanuliwe na equation y = f(x). Kama f ""(x 0) = 0 au f ""(x 0) haipo hata wakati wa kupita thamani x = x 0 derivative f ""(x) hubadilisha ishara, kisha hatua katika grafu ya kazi na abscissa x = x 0 kuna inflection point.
Ushahidi. Hebu f ""(x) < 0 при x < x 0 Na f ""(x) > 0 kwa x > x 0. Kisha saa x < x 0 curve ni convex, na wakati x > x 0- tambarare. Kwa hiyo, uhakika A, amelala kwenye curve, na abscissa x 0 kuna inflection point. Kesi ya pili inaweza kuzingatiwa sawa, wakati f ""(x) > 0 kwa x < x 0 Na f ""(x) < 0 при x > x 0.
Kwa hivyo, pointi za inflection zinapaswa kutafutwa tu kati ya pointi hizo ambapo derivative ya pili inatoweka au haipo.
Mifano. Tafuta sehemu za inflection na uamue vipindi vya msongamano na msongamano wa curves.
ASYMPTOTES ZA GRAFU YA KAZI
Wakati wa kusoma kazi, ni muhimu kuanzisha sura ya grafu yake kwa umbali usio na kikomo wa hatua ya grafu kutoka kwa asili.
Ya riba hasa ni kesi wakati grafu ya kazi, wakati hatua yake ya kutofautiana inapoondolewa kwa infinity, inakaribia kwa muda usiojulikana mstari fulani wa moja kwa moja.
Mstari wa moja kwa moja unaitwa kutokuwa na dalili kazi graphics y = f(x), ikiwa umbali kutoka kwa uhakika wa kutofautiana M graphics kwa mstari huu wakati wa kuondoa uhakika M kwa infinity huwa na sifuri, i.e. hatua kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa, kwa vile inaelekea kutokuwa na mwisho, lazima ifikie kwa muda usiojulikana asymptote.
Curve inaweza kukaribia asymptote yake wakati inabaki upande mmoja wake au na pande tofauti, seti isiyo na mwisho mara moja kuvuka asymptote na kusonga kutoka upande mmoja hadi mwingine.
Ikiwa tunaashiria kwa d umbali kutoka kwa uhakika M curve kwa asymptote, basi ni wazi kuwa d huwa sifuri kadiri nukta inavyosogea. M kwa usio na mwisho.
Tutafautisha zaidi kati ya asymptotes za wima na oblique.
ASYMPTOTES WIMA
Hebu saa x→ x 0 kutoka kwa kazi yoyote ya upande y = f(x) huongezeka kwa ukomo kwa thamani kamili, i.e. au au 
. Kisha kutoka kwa ufafanuzi wa asymptote inafuata kwamba mstari wa moja kwa moja x = x 0 ni asymptote. Kinyume chake pia ni dhahiri, ikiwa mstari x = x 0 ni asymptote, i.e. .
Kwa hivyo, asymptote ya wima ya grafu ya kazi y = f(x) inaitwa mstari wa moja kwa moja ikiwa f(x)→ ∞ chini ya angalau moja ya masharti x→ x 0-0 au x → x 0 + 0, x = x 0
Kwa hiyo, ili kupata asymptotes wima ya grafu ya kazi y = f(x) haja ya kupata maadili hayo x = x 0, ambapo chaguo za kukokotoa huenda kwa infinity (hukumbwa na kutoendelea kabisa). Kisha asymptote ya wima ina equation x = x 0.
Mifano.
ASYMPTOTES ZA SLANT
Kwa kuwa asymptote ni mstari wa moja kwa moja, basi ikiwa curve y = f(x) ina asymptote ya oblique, basi equation yake itakuwa y = kx + b. Kazi yetu ni kupata coefficients k Na b.
Nadharia. Moja kwa moja y = kx + b hutumika kama asymptote oblique katika x→ +∞ kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y
= f(x) basi na lini tu 
. Taarifa kama hiyo ni kweli kwa x → –∞.
Ushahidi. Hebu Mbunge- urefu wa sehemu, sawa na umbali kutoka kwa uhakika M kutokuwa na dalili. Kwa hali. Hebu tuonyeshe kwa φ angle ya mwelekeo wa asymptote kwa mhimili Ng'ombe. Kisha kutoka ΔMNP inafuata hiyo. Kwa kuwa φ ni pembe ya mara kwa mara (φ ≠ π/2), basi, lakini
Tunapochora chaguo za kukokotoa, ni muhimu kutambua vipindi vya msongamano na nukta za mkato. Tunazihitaji, pamoja na vipindi vya kupungua na kuongezeka, ili kuwakilisha kazi hiyo kwa uwazi katika umbo la picha.
Kuelewa mada hii kunahitaji ujuzi wa nini derivative ya chaguo la kukokotoa ni na jinsi ya kuitathmini kwa mpangilio fulani, na pia uwezo wa kutatua. aina tofauti ukosefu wa usawa
Mwanzoni mwa kifungu, dhana za msingi zinafafanuliwa. Kisha tutaonyesha uhusiano gani kati ya mwelekeo wa convexity na thamani ya derivative ya pili kwa muda fulani. Ifuatayo, tutaonyesha hali ambazo pointi za inflection za grafu zinaweza kuamua. Hoja zote zitaonyeshwa kwa mifano ya suluhisho la shida.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Ufafanuzi 1
Katika mwelekeo wa chini juu ya muda fulani katika kesi wakati grafu yake iko si chini kuliko tangent yake wakati wowote katika muda huu.
Ufafanuzi 2
Chaguo la kukokotoa la kutofautishwa ni mbonyeo kwenda juu kwa muda fulani ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa la kukokotoa haipo juu zaidi ya tanjiti yake wakati wowote katika muda huu.
Kitendaji cha mbonyeo cha chini kinaweza pia kuitwa kitendakazi cha mbonyeo. Ufafanuzi zote mbili zimeonyeshwa wazi kwenye jedwali hapa chini:
Ufafanuzi 3
Sehemu ya mkao wa chaguo za kukokotoa- hii ni hatua M (x 0 ; f (x 0)), ambayo kuna tangent kwa grafu ya kazi, kulingana na kuwepo kwa derivative karibu na hatua x 0, ambapo kutoka kushoto. na upande wa kulia grafu ya kazi inachukua mwelekeo tofauti wa convexity.
Kuweka tu, hatua ya inflection ni mahali kwenye grafu ambapo kuna tangent, na mwelekeo wa convexity ya grafu wakati wa kupita mahali hapa utabadilisha mwelekeo wa convexity. Ikiwa hukumbuki chini ya hali gani kuwepo kwa tangent ya wima na isiyo ya wima inawezekana, tunapendekeza kurudia sehemu kwenye tangent ya grafu ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika.
Ifuatayo ni grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo ina nukta kadhaa za inflection, ambazo zimeangaziwa kwa rangi nyekundu. Hebu tufafanue kwamba uwepo wa pointi za inflection sio lazima. Kwenye grafu ya kazi moja kunaweza kuwa na moja, mbili, kadhaa, nyingi sana au hakuna.
Katika sehemu hii, tutazungumza juu ya nadharia ambayo unaweza kuamua vipindi vya uboreshaji kwenye grafu ya kazi fulani.
Ufafanuzi 4
Grafu ya chaguo za kukokotoa itakuwa ya kukokotoa kuelekea chini au juu ikiwa chaguo za kukokotoa y = f (x) zina kiingilio cha pili chenye kikomo kwenye muda uliobainishwa wa x, mradi tu ukosefu wa usawa f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) itakuwa kweli.
Kutumia nadharia hii, unaweza kupata vipindi vya mng'ao na mnyumbuliko kwenye grafu yoyote ya chaguo za kukokotoa. Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kutatua usawa f "" (x) ≥ 0 na f "" (x) ≤ 0 kwenye kikoa cha ufafanuzi wa kazi inayofanana.
Hebu tufafanue kwamba pointi hizo ambazo derivative ya pili haipo, lakini kazi y = f (x) imefafanuliwa, itajumuishwa katika vipindi vya convexity na concavity.
Hebu tuangalie mfano kazi maalum jinsi ya kutumia nadharia hii kwa usahihi.
Mfano 1
Hali: kutokana na kazi y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Amua ni kwa vipindi vipi grafu yake itakuwa na msongamano na msongamano.
Suluhisho
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni seti nzima ya nambari halisi. Wacha tuanze kwa kuhesabu derivative ya pili.
y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
Tunaona kwamba kikoa cha ufafanuzi wa derivati ya pili inapatana na kikoa cha chaguo la kukokotoa lenyewe.Hii ina maana kwamba ili kutambua vipindi vya unyambulishaji, tunahitaji kutatua kukosekana kwa usawa f "" (x) ≥ 0 na f "" (x ) ≤ 0.
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
Tulipata ratiba hiyo kazi iliyopewa itakuwa na concavity kwenye sehemu [2; + ∞) na msongamano kwenye sehemu (- ∞; 2 ] .
Kwa uwazi, hebu tuchore grafu ya kazi na tuweke alama kwenye sehemu ya mbonyeo kwa rangi ya samawati na sehemu ya concave kwa rangi nyekundu.
Jibu: grafu ya kazi iliyotolewa itakuwa na concavity kwenye sehemu [2; + ∞) na msongamano kwenye sehemu (- ∞; 2 ] .
Lakini nini cha kufanya ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya pili hailingani na kikoa cha ufafanuzi wa kazi? Hapa maoni yaliyotolewa hapo juu yatakuwa na manufaa kwetu: pia tutajumuisha pointi hizo ambapo derivative ya pili ya mwisho haipo katika sehemu za concavity na convex.
Mfano 2
Hali: kutokana na kazi y = 8 x x - 1 . Amua ni katika vipindi gani grafu yake itakuwa nyororo na ambayo itakuwa convex.
Suluhisho
Kwanza, hebu tujue kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa.
x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [0; 1) ∪ (1 ; + ∞)
Sasa tunahesabu derivative ya pili:
y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3
Kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya pili ni seti x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Tunaona kwamba x sawa na sifuri itakuwa ya kikoa cha chaguo la kukokotoa asilia, lakini si kwa kikoa cha kitoweo cha pili. Hatua hii lazima iingizwe katika sehemu ya concavity au convex.
Baada ya hayo, tunahitaji kutatua usawa f "" (x) ≥ 0 na f "" (x) ≤ 0 kwenye kikoa cha ufafanuzi wa kazi iliyotolewa. Tunatumia njia ya muda kwa hili: na x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 au x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 nambari 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 inakuwa 0, na denominata ni 0 kwa x, sawa na sifuri au kitengo.
Wacha tupange alama zinazotokana kwenye grafu na tuamue ishara ya usemi kwenye vipindi vyote ambavyo vitajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa kazi asilia. Eneo hili linaonyeshwa kwa kivuli kwenye grafu. Ikiwa thamani ni chanya, tunaweka alama ya muda kwa kuongeza, ikiwa hasi, kisha kwa minus.
Kwa hivyo,
f "" (x) ≥ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , na f "" (x) ≤ 0 x ∈ [0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)
Tunajumuisha alama ya awali x = 0 na kupata jibu linalohitajika. Grafu ya chaguo za kukokotoa asilia itakuwa laini kuelekea chini kwa 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , na juu - kwa x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
Wacha tuchore grafu, tukiashiria sehemu ya laini katika bluu na sehemu ya concave kwa nyekundu. Asymptote ya wima yenye alama ya mstari mweusi wa vitone.
Jibu: Grafu ya chaguo za kukokotoa asilia itakuwa laini kuelekea chini kwa 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , na juu - kwa x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
Masharti ya ugeuzaji wa grafu ya chaguo za kukokotoa
Wacha tuanze kwa kuunda hali inayofaa kwa uboreshaji wa grafu ya kazi fulani.
Ufafanuzi 5
Wacha tuseme kwamba tunayo kazi y = f (x), grafu ambayo ina sehemu ya inflection. Katika x = x 0 ina derivative ya pili inayoendelea, kwa hivyo usawa f "" (x 0) = 0 utashikilia.
Kuzingatia hali hii, tunapaswa kutafuta alama za inflection kati ya zile ambazo derivative ya pili itageuka kuwa 0. Hali hii haitoshi: sio pointi zote hizo zinafaa kwetu.
Pia kumbuka kuwa, kulingana na ufafanuzi wa jumla, tutahitaji mstari wa tangent, wima au usio wima. Kwa mazoezi, hii inamaanisha kwamba ili kupata alama za inflection, unapaswa kuchukua zile ambazo derivative ya pili ya chaguo la kukokotoa hugeuka kuwa 0. Kwa hivyo, ili kupata abscissa ya alama za inflection, tunahitaji kuchukua zote x 0 kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa kazi, ambapo lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ na lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Mara nyingi, hizi ni alama ambazo denominator ya derivative ya kwanza inakuwa 0.
Hali ya kwanza ya kutosha ya kuwepo kwa hatua ya inflection katika grafu ya chaguo la kukokotoa
Tumepata maadili yote ya x 0 ambayo yanaweza kuchukuliwa kama abscissas ya pointi za inflection. Baada ya hayo, tunahitaji kutumia hali ya kwanza ya kutosha ya inflection.
Ufafanuzi 6
Wacha tuseme kwamba tunayo kazi y = f (x) ambayo ni endelevu kwa uhakika M (x 0 ; f (x 0))). Zaidi ya hayo, ina tanjiti katika hatua hii, na chaguo la kukokotoa lenyewe lina derivative ya pili karibu na nukta hii x 0. Katika kesi hii, ikiwa upande wa kushoto na wa kulia derivative ya pili hupata ishara kinyume, basi hatua hii inaweza kuchukuliwa kuwa hatua ya inflection.
Tunaona kwamba hali hii haihitaji kwamba derivative ya pili lazima iwepo katika hatua hii; uwepo wake katika eneo la uhakika x 0 inatosha.
Ni rahisi kuwasilisha kila kitu kilichosemwa hapo juu kwa namna ya mlolongo wa vitendo.
- Kwanza unahitaji kupata abscissas x 0 ya pointi iwezekanavyo inflection, ambapo f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
- Wacha tujue ni alama gani derivative itabadilisha ishara. Maadili haya ni abscissas ya pointi za inflection, na pointi M (x 0 ; f (x 0)) zinazolingana nazo ni pointi za inflection zenyewe.
Kwa uwazi, tutachambua shida mbili.
Mfano 3
Hali: kutokana na kazi y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Amua ambapo grafu ya chaguo hili la kukokotoa itakuwa na nukta za unyambulishaji na nukta mgeuko.
Suluhisho
Kitendaji kilichobainishwa kinafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Tunahesabu derivative ya kwanza:
y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2
Sasa hebu tupate kikoa cha ufafanuzi wa derivative ya kwanza. Pia ni seti ya nambari zote halisi. Hii ina maana kwamba usawa lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ na lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ hauwezi kutoshelezwa kwa thamani zozote za x 0 .
Tunahesabu derivative ya pili:
y "" = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3
Tulipata abscissa ya alama mbili zinazowezekana za inflection - 2 na 3. Tunachobaki kufanya ni kuangalia ni wakati gani derivative inabadilisha ishara yake. Hebu tuchore mstari wa nambari na tupange pointi hizi juu yake, baada ya hapo tutaweka ishara za derivative ya pili kwenye vipindi vinavyotokana.
Tao zinaonyesha mwelekeo wa upenyo wa grafu katika kila kipindi.
Mabadiliko ya derivative ya pili yanaashiria kinyume (kutoka plus hadi minus) kwa uhakika na abscissa 3, kupita ndani yake kutoka kushoto kwenda kulia, na pia hufanya hivi (kutoka minus hadi plus) kwa uhakika na abscissa 3. Hii ina maana kwamba tunaweza kuhitimisha kwamba x = - 2 na x = 3 ni abscissas ya pointi inflection ya grafu kazi. Watafanana na pointi za grafu - 2; - 4 3 na 3; - 15 8 .
Wacha tuangalie tena picha ya mhimili wa nambari na ishara zinazosababishwa kwa vipindi ili kupata hitimisho juu ya maeneo ya mshikamano na uboreshaji. Inageuka kuwa convexity itakuwa iko kwenye sehemu - 2; 3, na mshikamano kwenye sehemu (- ∞; - 2 ] na [3; + ∞).
Suluhisho la shida linaonyeshwa wazi kwenye grafu: Rangi ya bluu- convexity, nyekundu - concavity, rangi nyeusi inamaanisha pointi za inflection.
Jibu: convexity itakuwa iko kwenye sehemu - 2; 3, na mshikamano kwenye sehemu (- ∞; - 2 ] na [3; + ∞).
Mfano 4
Hali: kuhesabu abscissa ya pointi zote za inflection ya grafu ya kazi y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .
Suluhisho
Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti ya nambari zote halisi. Tunahesabu derivative:
y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5
Tofauti na chaguo za kukokotoa, derivative yake ya kwanza haitafafanuliwa kwa thamani ya x sawa na 3, lakini:
lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
Hii ina maana kwamba tanjiti wima kwa grafu itapita katika hatua hii. Kwa hiyo, 3 inaweza kuwa abscissa ya hatua ya inflection.
Tunahesabu derivative ya pili. Pia tunapata kikoa cha ufafanuzi wake na vidokezo ambavyo inageuka kuwa 0:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 6≈2 0.4675
Sasa tunayo nukta mbili zaidi za unyambulishaji zinazowezekana. Wacha tupange zote kwenye mstari wa nambari na uweke alama kwa vipindi vinavyotokana:
Ishara itabadilika wakati wa kupitia kila nukta iliyoonyeshwa, ambayo ina maana kwamba zote ni pointi za inflection.
Jibu: Wacha tuchore grafu ya chaguo la kukokotoa, tukiweka alama kwenye miunganiko kwa rangi nyekundu, minyumbuliko kwa rangi ya samawati, na alama za inflection kwa rangi nyeusi:
Kujua hali ya kwanza ya kutosha kwa inflection, tunaweza kuamua pointi muhimu ambayo uwepo wa derivative ya pili sio lazima. Kulingana na hili, hali ya kwanza inaweza kuchukuliwa kuwa ya ulimwengu wote na inayofaa kwa kutatua aina tofauti kazi.
Kumbuka kuwa kuna hali mbili zaidi za unyambulishaji, lakini zinaweza kutumika tu wakati kuna derivative yenye kikomo katika sehemu iliyobainishwa.
Ikiwa tunayo f "" (x 0) = 0 na f """ (x 0) ≠ 0, basi x 0 itakuwa abscissa ya hatua ya inflection ya grafu y = f (x).
Mfano 5
Hali: kazi y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 imetolewa. Amua ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa itakuwa na sehemu ya kugeuza katika hatua ya 3; 4 5 .
Suluhisho
Jambo la kwanza la kufanya ni kuhakikisha kuwa hatua hii kwa ujumla itakuwa ya grafu ya kazi hii.
y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
Chaguo la kukokotoa limefafanuliwa kwa hoja zote ambazo ni nambari halisi. Wacha tuhesabu derivatives ya kwanza na ya pili:
y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)
Tuligundua kwamba derivative ya pili itaenda kwa 0 ikiwa x ni sawa na 0. Hii ina maana kwamba hali ya inflection muhimu kwa hatua hii itatimizwa. Sasa tunatumia hali ya pili: pata derivative ya tatu na ujue ikiwa itageuka 0 saa 3:
y " "" = 1 10 (x - 3) " = 1 10
Nyingine ya tatu haitatoweka kwa thamani yoyote ya x. Kwa hiyo, tunaweza kuhitimisha kwamba hatua hii itakuwa hatua ya inflection ya grafu ya kazi.
Jibu: Wacha tuonyeshe suluhisho katika mfano:
Hebu tuchukulie kwamba f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 na f (n + 1) (x 0) ≠ 0 Katika kesi hii, hata n, tunapata kwamba x 0 ni abscissa ya hatua ya inflection ya grafu y = f (x).
Mfano 6
Hali: ikipewa kazi y = (x - 3) 5 + 1. Piga hesabu ya alama za inflection za grafu yake.
Suluhisho
Kitendaji hiki kinafafanuliwa kwenye seti nzima ya nambari halisi. Tunahesabu derivative: y " = ((x - 3) 5 + 1) "= 5 x - 3 4 . Kwa kuwa pia itaamuliwa kwa kila mtu maadili halisi hoja, basi wakati wowote katika grafu yake kutakuwa na tangent isiyo ya wima.
Sasa hebu tuhesabu kwa maadili gani derivative ya pili itageuka kuwa 0:
y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
Tuligundua kuwa katika x = 3 grafu ya chaguo la kukokotoa inaweza kuwa na sehemu ya kugeuza. Wacha tutumie sharti la tatu kudhibitisha hii:
y " "" = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " "" (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0
Tunayo n = 4 kwa hali ya tatu ya kutosha. Hii idadi sawa, ambayo ina maana kwamba x = 3 itakuwa abscissa ya hatua ya inflection na hatua ya grafu ya kazi (3; 1) inalingana nayo.
Jibu: Hapa kuna grafu ya chaguo hili la kukokotoa iliyo na viambatanisho, mipasuko na sehemu ya unyambulishaji alama:
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Inabakia kuzingatia convexity, concavity na kinks ya grafu. Wacha tuanze na tovuti ambazo wageni wanapenda sana mazoezi ya viungo. Tafadhali simama na konda mbele au nyuma. Huu ni mkumbo. Sasa nyosha mikono yako mbele yako, weka mikono yako juu, na ufikirie kuwa umeshikilia gogo kubwa kwenye kifua chako ... ... sawa, ikiwa hupendi logi, basi kitu/mtu mwingine afanye = ) Huu ni unyogovu. Vyanzo kadhaa vina maneno sawa bulge up Na bulge chini, lakini mimi ni shabiki wa majina mafupi.
! Tahadhari
: baadhi ya waandishi kuamua convexity na concavity hasa kinyume. Hili pia ni sahihi kihisabati na kimantiki, lakini mara nyingi si sahihi kabisa kwa mtazamo wa kimsingi, ikijumuisha katika kiwango cha uelewaji wetu wa masharti. Kwa hiyo, kwa mfano, lens yenye tubercles inaitwa lens biconvex, lakini si kwa depressions (biconcave).
Na, sema, kitanda cha "concave" - bado "haijashikamana" =) (hata hivyo, ikiwa unapanda chini yake, basi tutazungumza tayari juu ya kubadilika; =)) Ninafuata njia inayolingana na asili. vyama vya watu.
Ufafanuzi rasmi wa convexity na concavity ya grafu ni ngumu sana kwa teapot, kwa hivyo tutajiwekea kikomo kwa tafsiri ya kijiometri ya wazo kwenye mifano maalum. Fikiria grafu ya chaguo la kukokotoa kuendelea kwenye safu nzima ya nambari: 
Ni rahisi kujenga na mabadiliko ya kijiometri, na, pengine, wasomaji wengi wanafahamu jinsi inavyopatikana kutoka kwa parabola ya cubic.
Hebu piga simu sauti kuunganisha mstari mbili pointi mbalimbali sanaa za michoro.
Grafu ya chaguo la kukokotoa ni mbonyeo kwa muda fulani, ikiwa iko si kidogo chord yoyote ya muda fulani. Mstari wa majaribio uko wazi kwenye , na, ni wazi, hapa sehemu yoyote ya grafu iko JUU yake. sauti. Ili kuonyesha ufafanuzi, nilichora mistari mitatu nyeusi.
Kazi za grafu ni concave kwa muda, ikiwa iko sio juu zaidi chord yoyote ya muda huu. Katika mfano unaozingatiwa, mgonjwa yuko chini kwa muda. Jozi ya sehemu za kahawia zinaonyesha kwa uthabiti kwamba kipande chochote cha grafu kiko CHINI yake. sauti.
Sehemu kwenye grafu ambayo inabadilika kutoka kwa convex hadi concave au concavity kwa convexity inaitwa hatua ya inflection. Tunayo katika nakala moja (kesi ya kwanza), na, kwa mazoezi, kwa nukta ya inflection tunaweza kumaanisha sehemu ya kijani kibichi ya mstari yenyewe na thamani ya "X".
MUHIMU! Kinks za grafu zinapaswa kuchorwa kwa uangalifu na laini sana. Aina zote za "makosa" na "ukali" hazikubaliki. Inachukua tu mafunzo kidogo.
Mbinu ya pili ya kubainisha unyumbufu/mnyumbuliko katika nadharia inatolewa kupitia tanjiti:
Convex kwa muda grafu iko sio juu zaidi tangent inayotolewa nayo hatua ya kiholela ya muda huu. Concave kwenye grafu ya muda - si kidogo tangent yoyote katika muda huu.
Hyperbola imejipinda kwa muda na inafanana kwenye: 
Wakati wa kupitia asili ya kuratibu, mabadiliko ya concavity kwa convexity, lakini uhakika USIHESABU hatua ya inflection, tangu kazi haijaamuliwa ndani yake.
Taarifa kali zaidi na nadharia juu ya mada inaweza kupatikana katika kitabu cha maandishi, na tunaendelea kwa sehemu kubwa ya vitendo:
Jinsi ya kupata vipindi vya convexity, vipindi vya concavity
na alama za inflection za grafu?
Nyenzo ni rahisi, stencilled na kimuundo hurudia utafiti wa utendaji kwa uliokithiri.
Umuhimu/mchongo wa grafu unabainisha derivative ya pili kazi.
Acha kitendakazi kiweze kutofautishwa mara mbili kwa muda fulani. Kisha:
- ikiwa derivative ya pili iko kwenye muda, basi grafu ya kazi ni convex kwa muda huu;
- ikiwa derivative ya pili iko kwenye muda, basi grafu ya kazi ni concave kwa muda huu.
Kuhusu ishara za derivative ya pili kwa heshima na nafasi taasisi za elimu chama cha prehistoric kinazunguka: "-" inaonyesha kuwa "huwezi kumwaga maji kwenye grafu ya utendaji" (convexity),
na "+" - "hutoa fursa kama hiyo" (concavity).
Hali ya lazima ya inflection
Ikiwa katika hatua kuna hatua ya inflection katika grafu ya kazi, Hiyo:
au thamani haipo(wacha tuisuluhishe, soma!).
Msemo huu ina maana kwamba kazi kuendelea kwa uhakika na katika kesi - inaweza kutofautishwa mara mbili katika kitongoji chake.
Umuhimu wa hali hiyo unaonyesha kwamba mazungumzo sio kweli kila wakati. Hiyo ni, kutoka kwa usawa (au kutokuwepo kwa thamani) haipaswi bado kuwepo kwa unyambulishaji katika jedwali la chaguo la kukokotoa katika hatua . Lakini katika hali zote mbili wanaita hatua muhimu ya derivative ya pili.
Hali ya kutosha kwa inflection
Ikiwa derivative ya pili inabadilika ishara wakati unapitia hatua, basi katika hatua hii kuna inflection katika grafu ya kazi.
Kunaweza kuwa hakuna alama za inflection (mfano tayari umefikiwa) hata kidogo, na kwa maana hii baadhi ya mifano ya kimsingi ni dalili. Wacha tuchambue derivative ya pili ya kazi: 
Kazi nzuri ya mara kwa mara inapatikana, yaani kwa thamani yoyote ya "x". Ukweli unaolala juu ya uso: parabola ni concave kote uwanja wa ufafanuzi, hakuna alama za inflection. Ni rahisi kutambua kwamba mgawo hasi katika "inverts" parabola na kuifanya convex (kama derivative ya pili, kazi mbaya ya mara kwa mara, itatuambia).
Utendakazi wa kielelezo pia concave saa: 
kwa thamani yoyote ya "x".
Bila shaka, grafu haina pointi za inflection.
Tunachunguza grafu kwa convexity/concavity kazi ya logarithmic :
Kwa hivyo, tawi la logarithm ni convex kwenye muda. Derivative ya pili pia inafafanuliwa kwa muda, lakini fikiria NI HARAMU, Kwa sababu ya muda uliopewa haijajumuishwa ndani kikoa kazi Sharti ni dhahiri - kwa kuwa hakuna grafu ya logarithm hapo, basi, kwa kawaida, hakuna mazungumzo juu ya ushawishi wowote / ushawishi / inflections.
Kama unaweza kuona, kila kitu kinakumbusha sana hadithi na kuongezeka, kupungua na mwisho wa kazi. Sawa na mimi algorithm ya kusoma grafu ya chaguo la kukokotoakwa convexity, concavity na kuwepo kwa kinks:
2) Kutafuta maadili muhimu. Ili kufanya hivyo, chukua derivative ya pili na kutatua equation. Pointi ambazo hakuna derivative ya 2, lakini ambayo imejumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa kazi yenyewe, pia inachukuliwa kuwa muhimu!
3) Weka alama kwenye mstari wa nambari pointi zote za kutoendelea zilizopatikana na pointi muhimu (kunaweza kuwa hakuna moja au nyingine - basi hakuna haja ya kuchora chochote (kama vile pia kesi rahisi), inatosha kujiwekea kikomo kwa maoni yaliyoandikwa). Mbinu ya muda kuamua ishara kwenye vipindi vinavyotokana. Kama ilivyoelezwa tu, mtu anapaswa kuzingatia wale tu vipindi ambavyo vimejumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Tunatoa hitimisho kuhusu unyambulishaji/unyambulisho na nukta za unyambulishaji wa grafu ya chaguo za kukokotoa. Tunatoa jibu.
Jaribu kutumia algorithm kwa maneno kwa kazi 
. Katika kesi ya pili, kwa njia, kuna mfano wakati hakuna hatua ya inflection kwenye grafu kwenye hatua muhimu. Walakini, wacha tuanze na kidogo zaidi kazi ngumu:
Mfano 1
Suluhisho:
1) Kazi imefafanuliwa na inaendelea kwenye mstari mzima wa nambari. Vizuri sana.
2) Wacha tupate derivative ya pili. Unaweza kwanza kufanya ujenzi wa mchemraba, lakini ni faida zaidi kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu:
Tafadhali kumbuka kuwa 
, ambayo ina maana kazi ni yasiyo ya kupungua. Ingawa hii haifai kwa kazi hiyo, inashauriwa kila wakati kuzingatia ukweli kama huo.
Wacha tupate vidokezo muhimu vya derivative ya pili:
- hatua muhimu
3) Wacha tuangalie utekelezaji hali ya kutosha inflection. Wacha tuamue ishara za derivative ya pili kwenye vipindi vinavyotokana.
Makini! Sasa tunafanya kazi na derivative ya pili (na sio na kazi!)
Matokeo yake, hatua moja muhimu ilipatikana:.
3) Weka alama mbili za kutoendelea kwenye mstari wa nambari, nukta muhimu, na uamue ishara za derivative ya pili kwenye vipindi vinavyotokana:
Nakukumbusha mbinu muhimu njia ya muda, hukuruhusu kuharakisha suluhisho kwa kiasi kikubwa. Derivative ya pili 
iligeuka kuwa ngumu sana, kwa hivyo sio lazima kuhesabu maadili yake, inatosha kufanya "makisio" kwa kila muda. Wacha tuchague, kwa mfano, hatua ya muda wa kushoto,
na ubadilishe: 
Sasa hebu tuchambue vizidishi: 
Mbili "minus" na "plus" hutoa "plus", kwa hiyo, ambayo ina maana kwamba derivative ya pili ni chanya kwa muda wote.
Vitendo vilivyotolewa maoni ni rahisi kutekeleza kwa maneno. Kwa kuongezea, ni faida kupuuza jambo hilo kabisa - ni chanya kwa "x" yoyote na haiathiri ishara za derivative yetu ya pili.
Kwa hiyo, umetupa taarifa gani?
Jibu: Grafu ya chaguo la kukokotoa iko concave saa 
na convex juu 
. Katika asili (ni wazi kwamba) kuna sehemu ya kugeuza katika grafu.
Wakati wa kupitisha vidokezo, derivative ya pili pia inabadilisha ishara, lakini haizingatiwi kuwa alama za inflection, kwani kazi hiyo ina shida kwao. mapumziko yasiyo na mwisho.
Katika mfano uliochambuliwa, derivative ya kwanza 
inatufahamisha kuhusu ukuaji wa kazi kote uwanja wa ufafanuzi. Daima kungekuwa na freebie vile =) Kwa kuongeza, ni dhahiri kwamba kuna tatu kutokuwa na dalili. Data nyingi zimepatikana, ambayo inaruhusu shahada ya juu kuegemea sasa mwonekano sanaa za michoro. Kwa lundo, kazi pia ni isiyo ya kawaida. Kulingana na ukweli ulioanzishwa, jaribu kufanya mchoro mbaya. Picha mwishoni mwa somo.
Mgawo wa uamuzi wa kujitegemea:
Mfano 6
Chunguza jedwali la chaguo za kukokotoa kwa upenyo, mng'ao na utafute nukta za unyambulishaji za grafu, ikiwa zipo.
Hakuna mchoro kwenye sampuli, lakini hairuhusiwi kuweka dhana;)
Tunasaga nyenzo bila kuhesabu alama za algorithm:
Mfano 7
Chunguza jedwali la chaguo za kukokotoa kwa upenyo, mnyumbuko na utafute nukta za unyambulishaji, kama zipo.
Suluhisho: kazi huvumilia pengo lisilo na mwisho kwa uhakika.
Kama kawaida, kila kitu kiko sawa na sisi: 
Derivatives sio ngumu zaidi, jambo kuu ni kuwa makini na "hairstyle" yao.
Katika mbio za marathoni, pointi mbili muhimu za derivative ya pili zinafunuliwa: 
Wacha tuamue ishara kwenye vipindi vinavyosababisha:
Kuna sehemu ya unyambulishaji kwenye grafu kwa uhakika; wacha tupate uratibu wa hoja hiyo: 
Wakati wa kupita kwa uhakika, derivative ya pili haibadilishi ishara, kwa hiyo, HAKUNA inflection kwenye grafu.
Jibu: vipindi vya msongamano: 
; muda wa concavity:; hatua ya kuangazia:.
Hebu tuzingatie mifano ya mwisho na kengele za ziada na filimbi:
Mfano 8
Tafuta vipindi vya unyambulishaji, mnyauko na sehemu za unyambulishaji za grafu
Suluhisho: pamoja na kutafuta uwanja wa ufafanuzi Hakuna shida maalum:
, wakati chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa pointi.
Wacha tuende kwenye njia iliyopigwa: 
- hatua muhimu.
Hebu tufafanue ishara na kuzingatia vipindi tu kutoka kwa kikoa cha chaguo la kukokotoa:
Kuna sehemu ya inflection kwenye grafu kwa uhakika; wacha tuhesabu kuratibu: 
Maagizo
Pointi inflection kazi lazima iwe ya kikoa cha ufafanuzi wake, ambayo lazima ipatikane kwanza. Ratiba kazi ni mstari unaoweza kuendelea au kuwa na mapumziko, kupungua au kuongezeka kwa monotonically, kuwa na kiwango cha chini au cha juu zaidi pointi(asymptotes), iwe mbonyeo au pinda. Mabadiliko makali katika majimbo mawili ya mwisho huitwa hatua ya inflection.
Sharti kuwepo inflection kazi inajumuisha usawa wa pili hadi sifuri. Kwa hivyo, kwa kutofautisha kazi mara mbili na kusawazisha usemi unaosababishwa na sifuri, tunaweza kupata abscissa ya vidokezo vinavyowezekana. inflection.
Hali hii inafuata kutokana na ufafanuzi wa mali ya convexity na concavity ya grafu kazi, i.e. hasi na thamani chanya derivative ya pili. Kwa uhakika inflection mabadiliko ya ghafla mali hizi, ambayo ina maana kwamba derivative hupita alama ya sifuri. Hata hivyo, kuwa sawa na sufuri bado haitoshi kuashiria mwitikio.
Kuna hali mbili za kutosha ambazo abscissa iliyopatikana katika hatua ya awali ni ya uhakika inflection:Kupitia hatua hii unaweza kuchora tangent kwa kazi. Derivative ya pili ina ishara tofauti kwa kulia na kushoto ya inayotarajiwa pointi inflection. Kwa hivyo, uwepo wake katika hatua yenyewe sio lazima; inatosha kuamua kuwa ndani yake inabadilisha ishara. kazi ni sawa na sifuri, na ya tatu sio.
Suluhisho: Tafuta. KATIKA kwa kesi hii hakuna vikwazo, kwa hiyo, ni nafasi nzima ya namba halisi. Kokotoa toleo la kwanza: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Makini na. Inafuata kutoka kwa hili kwamba uwanja wa ufafanuzi wa derivative ni mdogo. Hoja x = 5 imechomwa, ambayo inamaanisha kuwa tangent inaweza kupita ndani yake, ambayo kwa sehemu inalingana na ishara ya kwanza ya utoshelevu. inflection.
Bainisha usemi unaotokana na x → 5 – 0 na x → 5 + 0. Ni sawa na -∞ na +∞. Umethibitisha kwamba tanjiti wima hupitia nukta x=5. Hatua hii inaweza kugeuka kuwa uhakika inflection, lakini kwanza kokotoa toleo la pili: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.
Acha dhehebu kwani tayari umezingatia nukta x = 5. Tatua mlingano 2 x – 22 = 0. Ina mzizi mmoja x = 11. Hatua ya mwisho ni kuthibitisha hilo. pointi x=5 na x=11 ni pointi inflection. Kuchambua tabia ya derivative ya pili katika ujirani wao. Kwa wazi, katika hatua x = 5 inabadilisha ishara kutoka "+" hadi "-", na kwa uhakika x = 11 - kinyume chake. Hitimisho: zote mbili pointi ni pointi inflection. Hali ya kwanza ya kutosha imeridhika.