Mlolongo wa nambari.
Kwanza, hebu tufikirie juu ya neno lenyewe: mlolongo ni nini? Mlolongo ni wakati kitu kinafuata kitu. Kwa mfano, mlolongo wa vitendo, mlolongo wa misimu. Au wakati mtu yuko nyuma ya mtu. Kwa mfano, mlolongo wa watu katika foleni, mlolongo wa tembo kwenye njia ya shimo la kumwagilia.
Hebu tufafanue mara moja sifa za tabia mifuatano. Kwanza, mlolongo wa wanachama ziko madhubuti ndani kwa utaratibu fulani . Kwa hivyo, ikiwa watu wawili kwenye foleni wamebadilishwa, basi hii itakuwa tayari nyingine baadae. Pili, kila mtu mlolongo mwanachama Unaweza kugawa nambari ya serial:
Ni sawa na nambari. Hebu kwa kila mmoja thamani ya asili kulingana na kanuni fulani inavyotakikana nambari halisi. Kisha wanasema kwamba mlolongo wa nambari hutolewa.
Ndio, ndani matatizo ya hisabati Tofauti hali za maisha mlolongo karibu kila mara una nyingi sana nambari.
Ambapo:
Imeitwa mwanachama wa kwanza mifuatano;
– mwanachama wa pili mifuatano;
– mwanachama wa tatu mifuatano;
– nth au mwanachama wa kawaida mifuatano;
Katika mazoezi, mlolongo kawaida hutolewa formula ya neno la kawaida, Kwa mfano:
- mlolongo wa nambari chanya sawa:
Kwa hivyo, rekodi huamua kipekee washiriki wote wa mlolongo - hii ndio kanuni (formula) ambayo maadili ya asili 
nambari zimewekwa kwenye mawasiliano. Kwa hiyo, mlolongo mara nyingi huonyeshwa kwa ufupi na neno la kawaida, na badala ya "x" wengine wanaweza kutumika. barua, Kwa mfano:
Mlolongo wa nambari zisizo za kawaida chanya:
Mlolongo mwingine wa kawaida:
Kama wengi wamegundua, kigezo cha "en" kinachukua jukumu la aina ya kaunta.
Kwa kweli, tulishughulikia mlolongo wa nambari nyuma katika shule ya sekondari. Hebu tukumbuke maendeleo ya hesabu. Sitaandika tena ufafanuzi; wacha tuguse kiini na mfano maalum. Wacha iwe muhula wa kwanza, na - hatua maendeleo ya hesabu. Kisha:
- muhula wa pili wa maendeleo haya;
- awamu ya tatu ya maendeleo haya;
- nne;
- tano;
Na, ni wazi, neno la nth limetolewa mara kwa mara fomula
Kumbuka: V formula ya kawaida kila mwanachama anayefuata anaonyeshwa kupitia mwanachama aliyetangulia au hata kupitia kundi zima la wanachama waliotangulia.
Njia inayosababishwa haitumiki sana katika mazoezi - kupata, kusema, kwa , unahitaji kupitia masharti yote ya awali. Na katika hisabati, usemi unaofaa zaidi wa muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu umetolewa: 
. Kwa upande wetu:
Badilisha nambari za asili kwenye fomula na uangalie usahihi wa ile iliyojengwa hapo juu mlolongo wa nambari.
Mahesabu sawa yanaweza kufanywa kwa maendeleo ya kijiometri, muhula wa nth ambao umetolewa na fomula, muhula wa kwanza uko wapi, na - dhehebu mwendelezo. Katika kazi za hesabu, muhula wa kwanza mara nyingi ni sawa na moja.
Mifano:
maendeleo huweka mlolongo 
;
maendeleo 
huweka mlolongo;
maendeleo 
huweka mlolongo 
;
maendeleo 
huweka mlolongo 
.
Natumai kila mtu anajua kuwa -1 kwa nguvu isiyo ya kawaida ni sawa na -1, na kwa nguvu sawa - moja.
Maendeleo inaitwa kupungua kabisa, ikiwa (kesi mbili za mwisho).
Wacha tuongeze marafiki wawili wapya kwenye orodha yetu, mmoja wao amegonga tu kwenye tumbo la mfuatiliaji:
Mlolongo katika jargon ya hisabati inaitwa "blinker":
Hivyo, mlolongo wanachama wanaweza kurudiwa. Kwa hivyo, katika mfano unaozingatiwa, mlolongo una nambari mbili zinazobadilishana sana.
Je, hutokea kwamba mlolongo unajumuisha nambari zinazofanana? Hakika. Kwa mfano, inauliza nambari isiyo na kikomo"tatu". Kwa aesthetes, kuna kesi wakati "en" bado inaonekana rasmi katika fomula:
Kiwanda:
Rekodi iliyofupishwa tu ya kazi:
Sio graphomania hata kidogo, itakuwa muhimu kwa kazi;-) Ninapendekeza kuelewa, kukumbuka na hata kuiga kwenye daftari. ...Swali moja lilikuja akilini: kwa nini hakuna mtu yeyote anayeunda graffiti muhimu kama hiyo? Mwanamume amepanda gari moshi, akiangalia nje ya dirisha na kusoma mambo ya ndani. Punks wanapumzika =)
Labda wasomaji wengine bado hawaelewi kikamilifu jinsi ya kuelezea washiriki wa mlolongo, wakijua mwanachama wa kawaida. Hiyo kesi adimu, wakati risasi ya udhibiti inarudi hai:
Wacha tushughulike na mlolongo 
.
Kwanza, hebu tubadilishe thamani katika neno la nth na tufanye mahesabu kwa uangalifu:
Kisha tunaunganisha nambari ifuatayo:
Nne:
Kweli, sasa hakuna aibu katika kupata alama bora:
Dhana ya kikomo cha mlolongo.
Ili kuelewa vyema habari ifuatayo, inashauriwa KUELEWA ni nini kikomo cha chaguo la kukokotoa. Bila shaka, katika kozi ya kawaida uchambuzi wa hisabati kwanza wanazingatia kikomo cha mlolongo na kisha tu kikomo cha kazi, lakini ukweli ni kwamba tayari nimezungumza kwa undani juu ya kiini cha kikomo. Kwa kuongezea, kwa nadharia, mlolongo wa nambari unachukuliwa kuwa kesi maalum ya kazi, na watu ambao wanajua kikomo cha kazi watafurahiya zaidi.
Wacha tualike rafiki rahisi kucheza:
Nini kinatokea wakati "en" inaongezeka hadi isiyo na mwisho? Kwa wazi, washiriki wa mlolongo watakuwa karibu sana karibia sifuri. Huu ndio ukomo wa mlolongo huu, ambao umeandikwa kama ifuatavyo:
Ikiwa kikomo cha mlolongo sawa na sifuri, basi inaitwa usio na kikomo.
Katika nadharia ya uchanganuzi wa hisabati imetolewa ufafanuzi mkali wa kikomo cha mlolongo kupitia kinachojulikana kitongoji cha epsilon. Nakala inayofuata itatolewa kwa ufafanuzi huu, lakini kwa sasa hebu tuangalie maana yake:
Wacha tuonyeshe kwenye mstari wa nambari masharti ya mlolongo na ulinganifu wa kitongoji kwa heshima na sifuri (kikomo):
Sasa piga eneo la bluu na kingo za mitende yako na uanze kupunguza, ukivuta kuelekea kikomo (hatua nyekundu). Nambari ni kikomo cha mfuatano ikiwa KWA ujirani WOWOTE uliochaguliwa awali (ndogo upendavyo) itakuwa ndani yake nyingi sana wanachama wa mlolongo, na NJE yake - tu mwisho idadi ya wanachama (au hakuna kabisa). Hiyo ni, jirani ya epsilon inaweza kuwa microscopic, na hata ndogo, lakini "mkia usio na mwisho" wa mlolongo lazima mapema au baadaye uingie kabisa jirani hii.
Kuna hata kazi kama hiyo - thibitisha kikomo cha mlolongo kwa kutumia ufafanuzi.
Mlolongo pia hauna kikomo: na tofauti ambayo washiriki wake hawaruki na kurudi, lakini wanakaribia kikomo kutoka kulia pekee.
Kwa kawaida, kikomo kinaweza kuwa sawa na nyingine yoyote nambari ya mwisho, mfano wa msingi:
Hapa sehemu inaelekea sifuri, na ipasavyo, kikomo ni sawa na "mbili".
Ikiwa mlolongo ipo kikomo cha mwisho , basi inaitwa kuungana(hasa, usio na kikomo katika ). KATIKA vinginevyo – tofauti, katika kesi hii, chaguzi mbili zinawezekana: ama kikomo haipo kabisa, au ni usio. KATIKA kesi ya mwisho mlolongo unaitwa kubwa isiyo na kikomo. Wacha tuchunguze mifano ya aya ya kwanza:
Mifuatano 
ni kubwa isiyo na kikomo, wanachama wao wanapoelekea kwa ujasiri kuelekea "plus infinity":
Mwendelezo wa hesabu na muhula na hatua ya kwanza pia ni kubwa sana:
Kwa njia, maendeleo yoyote ya hesabu hutofautiana, isipokuwa kesi na hatua ya sifuri - wakati wa nambari maalum inaongezwa bila mwisho. Ukomo wa mlolongo kama huo upo na unaendana na muhula wa kwanza.
Mlolongo una hatima sawa:
Ukuaji wowote wa kijiometri unaopungua sana, kama inavyoonekana wazi kutoka kwa jina, ndogo isiyo na kikomo:
Ikiwa dhehebu la maendeleo ya kijiometri ni , basi mlolongo ni mkubwa sana:
Ikiwa, kwa mfano, basi kikomo haipo kabisa, kwani washiriki wanaruka bila kuchoka kwa "pamoja na infinity" au "minus infinity". A akili ya kawaida na nadharia za Matan zinaonyesha kwamba ikiwa kitu kinajitahidi mahali fulani, basi hii ndiyo mahali pekee inayopendwa.
Baada ya ufunuo kidogo 
inakuwa wazi kwamba "mwanga wa mwanga" ni lawama kwa kutupa bila kudhibitiwa, ambayo, kwa njia, inatofautiana yenyewe.
Hakika, kwa mlolongo ni rahisi kuchagua -jirani ambayo, sema, inashikilia nambari -1 tu. Kwa hivyo, idadi isiyo na kikomo ya washiriki wa mfuatano ("pamoja na wale") watasalia nje ya mtaa huu. Lakini kwa ufafanuzi, "mkia usio na mwisho" wa mlolongo kutoka kwa wakati fulani (nambari ya asili) lazima. kikamilifu nenda katika maeneo YOYOTE ya kikomo chako. Hitimisho: anga ni kikomo.
Kiwanda ni kubwa isiyo na kikomo mlolongo:
Zaidi ya hayo, inakua kwa kurukaruka na mipaka, kwa hiyo ni nambari ambayo ina tarakimu (tarakimu) zaidi ya 100! Kwa nini hasa 70? Juu yake kihesabu changu cha uhandisi kinaomba huruma.
Kwa risasi ya kudhibiti, kila kitu ni ngumu zaidi, na tumekuja kwenye sehemu ya vitendo ya hotuba, ambayo tutachambua mifano ya mapigano:
Jinsi ya kupata kikomo cha mlolongo.
Lakini sasa ni muhimu kuwa na uwezo wa kutatua mipaka ya kazi, angalau katika ngazi ya mbili masomo ya msingi: Mipaka. Mifano ya ufumbuzi Na Mipaka ya Ajabu. Kwa sababu njia nyingi za suluhisho zitakuwa sawa. Lakini, kwanza kabisa, hebu tuchambue tofauti za kimsingi kati ya kikomo cha mlolongo na kikomo cha chaguo la kukokotoa:
Katika kikomo cha mlolongo, kigezo cha "nguvu" "en" kinaweza kuelekea tu kwa "pamoja na infinity"- kuelekea kuongezeka kwa idadi ya asili 
.
Katika kikomo cha chaguo za kukokotoa, "x" inaweza kuelekezwa popote - kwa "plus/minus infinity" au kwa nambari halisi ya kiholela.
Kufuatia tofauti(isiyoendelea), yaani, inajumuisha washiriki waliojitenga. Moja, mbili, tatu, nne, tano, bunny alitoka kwa matembezi. Hoja ya chaguo za kukokotoa ina sifa ya kuendelea, yaani, "X" vizuri, bila tukio, huwa na thamani moja au nyingine. Na, ipasavyo, maadili ya kazi pia yataendelea kukaribia kikomo chao.
Kwa sababu ya uwazi ndani ya mlolongo kuna vitu vyao vya saini, kama vile vifaa, "taa zinazowaka", maendeleo, nk. Na sasa nitajaribu kuchambua mipaka ambayo ni maalum kwa mlolongo.
Wacha tuanze na maendeleo:
Mfano 1
Suluhisho: kitu sawa na ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, lakini ni hivyo kweli? Kwa uwazi, hebu tuandike maneno machache ya kwanza: 
Tangu, basi tunazungumzia kiasi masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, ambao hukokotolewa na fomula.
Wacha tufanye uamuzi:
Tunatumia fomula kwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana: . KATIKA kwa kesi hii: - muhula wa kwanza, - denominator ya maendeleo.
Jambo kuu ni kukabiliana nayo sehemu ya hadithi nne:
Kula.
Mfano 2
Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo na upate kikomo chake 
Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Ili kuondoa kutokuwa na uhakika katika nambari, utahitaji kutumia fomula kwa jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya hesabu:
, ya kwanza iko wapi na a ni muhula wa nth wa maendeleo.
Kwa kuwa ndani ya mlolongo "en" daima huelekea "plus infinity", haishangazi kwamba kutokuwa na uhakika ni mojawapo ya maarufu zaidi.
Na mifano mingi hutatuliwa kwa njia sawa na mipaka ya kazi!
Jinsi ya kuhesabu mipaka hii? Tazama Mifano Na. 1-3 ya somo Mipaka. Mifano ya ufumbuzi.
Au labda kitu ngumu zaidi kama 
? Angalia Mfano Nambari 3 wa makala Mbinu za kutatua mipaka.
Kwa mtazamo rasmi, tofauti itakuwa katika herufi moja tu - "x" hapa, na "en" hapa.
Mbinu ni sawa - nambari na dhehebu lazima zigawanywe na "en" kwa kiwango cha juu zaidi.
Pia, kutokuwa na uhakika ndani ya mlolongo ni kawaida sana. Jinsi ya kutatua mipaka kama 
inaweza kupatikana katika Mifano No. 11-13 ya makala hiyo hiyo.
Ili kuelewa kikomo, rejelea Mfano Na. 7 wa somo Mipaka ya Ajabu(pili kikomo cha ajabu pia ni halali kwa kesi tofauti). Suluhisho litakuwa tena kama nakala ya kaboni na tofauti ya herufi moja.
Mifano minne ifuatayo (Na. 3-6) pia ni "miwili-mbili", lakini katika mazoezi kwa sababu fulani ni sifa zaidi ya mipaka ya mlolongo kuliko mipaka ya kazi:
Mfano 3
Pata kikomo cha mlolongo
Suluhisho: mwanzoni suluhisho kamili, kisha maoni ya hatua kwa hatua:
(1) Katika nambari tunatumia fomula mara mbili.
(2) Tunawasilisha masharti yanayofanana katika nambari.
(3) Ili kuondoa kutokuwa na uhakika, gawanya nambari na kiashiria kwa (“en” hadi kiwango cha juu zaidi).
Kama unaweza kuona, hakuna kitu ngumu.
Mfano 4
Pata kikomo cha mlolongo
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako, fomula zilizofupishwa za kuzidisha kusaidia.
Ndani ya s dalili Mlolongo hutumia njia sawa ya kugawanya nambari na denominator:
Mfano 5
Pata kikomo cha mlolongo
Suluhisho Wacha tuipange kulingana na mpango huo huo:
(1) Kutumia sifa za digrii, hebu tuondoe kila kitu kisichohitajika kutoka kwa viashiria, tukiacha tu "en" huko.
(2) Tunaangalia ni mfuatano gani wa kielelezo ulio katika kikomo: na uchague mlolongo na kubwa zaidi msingi:. Ili kuondoa kutokuwa na uhakika, gawanya nambari na denomina kwa .
(3) Tunatekeleza mgawanyo wa muhula kwa muda katika nambari na denominata. Kwa kuwa inapungua sana maendeleo ya kijiometri, basi inaelekea sifuri. Na hata zaidi, mara kwa mara kugawanywa na kuongezeka kwa maendeleo huwa na sifuri:. Tunafanya maelezo sahihi na kuandika jibu.
Mfano 6
Pata kikomo cha mlolongo
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako.
Kwa namna fulani, bila kustahili, mwandiko wa maridadi, asili tu kwa kikomo cha uthabiti, ulibaki katika usahaulifu. Ni wakati wa kurekebisha hali:
Mfano 7
Pata kikomo cha mlolongo
Suluhisho: ili kuondokana na "mpinzani wa milele" unahitaji kuandika vipengele kwa namna ya bidhaa. Lakini kabla ya kuanza na graffiti ya hisabati, hebu tuzingatie mfano maalum, Kwa mfano: .
Sababu ya mwisho katika bidhaa ni sita. Ni nini kinachohitajika kufanywa ili kupata kizidishi cha hapo awali? Ondoa moja: 6 - 1 = 5. Ili kupata multiplier, ambayo iko hata zaidi, unahitaji kuondoa moja kutoka tano tena: 5 - 1 = 4. Na kadhalika.
Usijali, hili si somo la daraja la kwanza. shule ya urekebishaji, Kwa kweli tunafahamiana na algorithm muhimu na ya ulimwengu wote yenye kichwa " jinsi ya kupanua kiwanda chochote" Wacha tushughulike na mvurugaji mbaya zaidi kwenye gumzo letu:
Kwa wazi, sababu ya mwisho katika bidhaa itakuwa.
Jinsi ya kupata multiplier ya awali? Ondoa moja:
Jinsi ya kupata babu-babu? Ondoa moja tena:.
Kweli, wacha tusogee hatua moja zaidi:
Kwa hivyo, monster wetu atasaini kama ifuatavyo:
Kwa nambari za nambari kila kitu ni rahisi, sawa, wahuni wadogo.
Wacha tufanye uamuzi:
(1) Tunaelezea factorials
(2) Nambari ina istilahi MBILI. Tunachukua kutoka kwa mabano kila kitu kinachoweza kutolewa, katika kesi hii hii ndiyo kazi. Mabano ya mraba, kama nilivyosema mahali fulani mara kadhaa, hutofautiana na mabano kwa usawa wao tu.
(3) Punguza nambari na kiashiria kwa .... ...mmmh, kuna upuuzi mwingi hapa.
(4) Rahisisha nambari
(5) Punguza nambari na kiashiria kwa . Hapa ndani kwa kiasi fulani bahati. KATIKA kesi ya jumla juu na chini unapata polynomials za kawaida, baada ya hapo lazima ufanye kitendo cha kawaida - gawanya nambari na dhehebu kwa "en" kwa nguvu ya juu zaidi.
Wanafunzi wa hali ya juu zaidi ambao wanaweza kuvunja kwa urahisi vipengele katika vichwa vyao wanaweza kutatua mfano kwa haraka zaidi. Katika hatua ya kwanza, tunagawanya nambari kwa neno la denominator kwa muda na kiakili hufanya vifupisho:
Lakini njia ya kuoza bado ni ya uhakika zaidi na ya kuaminika.
Mfano 8
Pata kikomo cha mlolongo
Kama ilivyo katika jamii yoyote, kati ya mlolongo wa nambari kuna watu wa kupindukia.
Nadharia: kazi mlolongo mdogo kwa mlolongo usio na kikomo - kuna mlolongo usio na kikomo.
Ikiwa hauelewi kabisa neno "kizuizi", tafadhali soma nakala hiyo kuhusu kazi za msingi na grafu.
Nadharia sawa ni kweli, kwa njia, kwa kazi: bidhaa utendakazi mdogo kwa muda usiojulikana kazi ndogo- ni kazi isiyo na kikomo.
Mfano 9
Pata kikomo cha mlolongo
Suluhisho: mlolongo - mdogo: 
, na mlolongo ni mdogo sana, ambayo inamaanisha, kulingana na nadharia inayolingana: 
Ufafanuzi wa mlolongo wa nambari hutolewa. Mifano ya mlolongo unaoongezeka sana, unaofanana na unaotofautiana huzingatiwa. Mlolongo ulio na nambari zote za busara huzingatiwa.
Ufafanuzi.
Mfuatano wa nambari (xn)
inayoitwa sheria (kanuni), kulingana na ambayo, kila mtu nambari ya asili n= 1, 2, 3, . . .
nambari fulani x n imepewa.
Sehemu ya x n inaitwa muhula wa nth au kipengele cha mfuatano.
Mfuatano huo umebainishwa kama neno la nth lililoambatanishwa katika viunga vilivyopinda: . Majina yafuatayo pia yanawezekana:. Zinaonyesha wazi kwamba faharisi n ni ya seti ya nambari asilia na mlolongo yenyewe una idadi isiyo na kikomo ya maneno. Hapa kuna mifano ya mlolongo:
,
,
.
Kwa maneno mengine, mfuatano wa nambari ni kazi ambayo uwanja wake wa ufafanuzi ni seti ya nambari asilia. Idadi ya vipengele vya mlolongo haina mwisho. Miongoni mwa vipengele kunaweza pia kuwa na wanachama maadili sawa. Pia, mlolongo unaweza kuzingatiwa kama seti iliyohesabiwa ya nambari inayojumuisha idadi isiyo na kikomo ya washiriki.
Tutapendezwa zaidi na swali la jinsi mlolongo hutenda wakati n inaelekea kutokuwa na mwisho: . Nyenzo hii imewasilishwa katika sehemu Kikomo cha mlolongo - nadharia za msingi na mali. Hapa tutaangalia baadhi ya mifano ya mlolongo.
Mifano ya Mfuatano
Mifano ya mlolongo unaoongezeka sana
Fikiria mlolongo. Mwanachama wa kawaida wa mlolongo huu ni . Hebu tuandike maneno machache ya kwanza:
.
Inaweza kuonekana kuwa nambari n inavyoongezeka, vitu huongezeka kwa muda usiojulikana maadili chanya. Tunaweza kusema kwamba mlolongo huu unaelekea: kwa.
Sasa fikiria mlolongo na neno la kawaida. Hapa kuna washiriki wake wachache wa kwanza:
.
Nambari n inapoongezeka, vipengele vya mlolongo huu huongezeka kwa muda usiojulikana thamani kamili, lakini hawana ishara ya mara kwa mara. Hiyo ni, mlolongo huu unaelekea: saa.
Mifano ya mifuatano inayobadilika kuwa nambari yenye kikomo
Fikiria mlolongo. Mwanachama wake wa kawaida. Masharti ya kwanza yana fomu ifuatayo:
.
Inaweza kuonekana kuwa nambari n inapoongezeka, vipengee vya mlolongo huu vinakaribia thamani yao ya kikomo a = 0
: katika . Kwa hivyo kila neno linalofuata liko karibu na sifuri kuliko lile lililotangulia. Kwa maana fulani, tunaweza kuzingatia kwamba kuna takriban thamani ya nambari a = 0
na makosa. Ni wazi kwamba kadiri n inavyoongezeka, kosa hili huelekea sifuri, ambayo ni, kwa kuchagua n, kosa linaweza kufanywa kuwa ndogo kama unavyotaka. Aidha, kwa kosa lolote ε > 0
unaweza kubainisha nambari N hivi kwamba kwa vipengele vyote vilivyo na nambari kubwa kuliko N:, mkengeuko wa nambari kutoka kwa thamani ya kikomo a hautazidi kosa ε:.
Ifuatayo, fikiria mlolongo. Mwanachama wake wa kawaida. Hapa kuna baadhi ya wanachama wake wa kwanza:
.
Katika mlolongo huu, maneno yenye nambari hata ni sawa na sifuri. Masharti na odd n ni sawa. Kwa hivyo, n inapoongezeka, maadili yao yanakaribia thamani ya kikomo a = 0
. Hii pia inafuata kutokana na ukweli kwamba
.
Kama tu katika mfano uliopita, tunaweza kubainisha kosa dogo kiholela ε > 0
, ambayo inawezekana kupata nambari N hivi kwamba vipengee vilivyo na nambari kubwa kuliko N vitatoka kwa thamani ya kikomo a = 0
kwa kiasi kisichozidi hitilafu maalum. Kwa hivyo mlolongo huu hubadilika kuwa thamani a = 0
: katika .
Mifano ya mlolongo tofauti
Fikiria mlolongo na istilahi ifuatayo ya kawaida:
Hapa kuna wanachama wake wa kwanza:
.
Inaweza kuonekana kuwa maneno na nambari sawa:
,
ungana kwa thamani a 1 = 0
. Wanachama na nambari zisizo za kawaida:
,
ungana kwa thamani a 2 = 2
. Mlolongo wenyewe, n inapokua, hauunganishi kwa thamani yoyote.
Mlolongo na masharti yaliyosambazwa katika muda (0;1)
Sasa hebu tuangalie mlolongo wa kuvutia zaidi. Wacha tuchukue sehemu kwenye mstari wa nambari. Hebu tugawanye kwa nusu. Tunapata sehemu mbili. Hebu
.
Wacha tugawanye kila sehemu kwa nusu tena. Tunapata sehemu nne. Hebu
.
Wacha tugawanye kila sehemu kwa nusu tena. Hebu tuchukue
.
Nakadhalika.
Kama matokeo, tunapata mlolongo ambao vipengele vyake vinasambazwa ndani muda wazi (0; 1) . Hatua yoyote tunayochukua kutoka kwa muda uliofungwa , tunaweza kupata washiriki wa mlolongo ambao utakuwa karibu kiholela na hatua hii au sanjari nayo.
Kisha kutoka kwa mlolongo wa asili mtu anaweza kuchagua mfuatano ambao utaungana hatua ya kiholela kutoka kwa muda . Hiyo ni, nambari n inapoongezeka, washiriki wa inayofuata watakuja karibu na karibu na hatua iliyochaguliwa hapo awali.
Kwa mfano, kwa uhakika a = 0
unaweza kuchagua ifuatayo:
.
= 0
.
Kwa uhakika a = 1
Wacha tuchague safu ifuatayo:
.
Masharti ya ifuatayo huungana hadi thamani a = 1
.
Kwa kuwa kuna vifurushi vinavyobadilika kwa maana tofauti, basi mlolongo wa asili yenyewe hauunganishi kwa nambari yoyote.
Mfuatano ulio na nambari zote za busara
Sasa wacha tutengeneze mlolongo ambao una nambari zote za busara. Kwa kuongezea, kila nambari ya busara itaonekana katika mlolongo kama huo idadi isiyo na kikomo ya nyakati.
Nambari ya busara r inaweza kuwakilishwa ndani fomu ifuatayo:
,
nambari kamili iko wapi; - asili.
Tunahitaji kuhusisha kila nambari asilia n na jozi ya nambari p na q ili jozi yoyote p na q ijumuishwe katika mlolongo wetu.
Ili kufanya hivyo, chora p na q axes kwenye ndege. Tunachora mistari ya gridi kupitia nambari kamili za p na q. Kisha kila nodi ya gridi hii itaambatana nambari ya busara. Seti nzima ya nambari za busara itawakilishwa na seti ya nodi. Tunahitaji kutafuta njia ya kuhesabu nodi zote ili tusikose nodi zozote. Hii ni rahisi kufanya ikiwa unahesabu nodes kwa mraba, vituo ambavyo viko kwenye hatua (0; 0) (tazama picha). Katika kesi hii, sehemu za chini za mraba zilizo na q < 1 hatuhitaji. Kwa hivyo hazionyeshwa kwenye takwimu.
Kwa hivyo, kwa upande wa juu wa mraba wa kwanza tunayo:
.
Ifuatayo tunahesabu sehemu ya juu mraba ufuatao:
.
Tunahesabu sehemu ya juu ya mraba ufuatao:
.
Nakadhalika.
Kwa njia hii tunapata mlolongo ulio na nambari zote za busara. Unaweza kugundua kuwa nambari yoyote ya busara inaonekana katika mlolongo huu idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Hakika, pamoja na nodi, mlolongo huu pia utajumuisha nodes, ambapo ni nambari ya asili. Lakini nodi hizi zote zinalingana na nambari sawa ya busara.
Kisha kutoka kwa mlolongo ambao tumeunda, tunaweza kuchagua mfuatano (kuwa na idadi isiyo na kikomo ya vipengee), ambavyo vitu vyote ni sawa na nambari ya busara iliyoamuliwa mapema. Kwa kuwa mlolongo tuliounda una vifuatavyo vinavyobadilika kuwa nambari tofauti, basi mlolongo hauunganishi kwa nambari yoyote.
Hitimisho
Hapa tumetoa ufafanuzi sahihi wa mlolongo wa nambari. Pia tulizungumzia suala la muunganiko wake, kwa kuzingatia mawazo angavu. Ufafanuzi sahihi muunganiko unajadiliwa kwenye ukurasa Kuamua Kikomo cha Mfuatano. Sifa na nadharia zinazohusiana zimeelezwa kwenye ukurasa
Mfuatano wa nambari ni kazi ya nambari iliyofafanuliwa kwenye seti ya nambari asilia .
Ikiwa kazi imefafanuliwa kwenye seti ya nambari za asili 
, basi seti ya maadili ya kazi itahesabiwa na kila nambari 
inalingana na nambari 
. Katika kesi hii wanasema kwamba imetolewa mlolongo wa nambari. Nambari zinaitwa vipengele au washiriki wa mfuatano, na nambari 
- jumla au 
-th mwanachama wa mlolongo. Kila kipengele 
ina kipengele kinachofuata 
. Hii inaelezea matumizi ya neno "mlolongo".
Mlolongo kawaida hubainishwa ama kwa kuorodhesha vipengele vyake, au kwa kuonyesha sheria ambayo kipengele kilicho na nambari kinahesabiwa. 
, i.e. ikionyesha fomula yake 
- mwanachama wa 
.
Mfano.Kufuatia
inaweza kutolewa kwa formula:
.
Kawaida mlolongo huonyeshwa kama ifuatavyo: nk, ambapo fomula yake imeonyeshwa kwenye mabano. 
mwanachama wa th.
Mfano.Kufuatia
‑huu ni mlolongo
Seti ya vipengele vyote vya mlolongo 
iliyoonyeshwa na 
.
Hebu 
Na 
- mlolongo mbili.
NA ummah mifuatano 
Na 
inayoitwa mlolongo 
, Wapi 
, yaani..
R tofauti ya mfuatano huu inaitwa mfuatano 
, Wapi 
, yaani..
Kama 
Na
‑
mara kwa mara, kisha mlolongo
,
kuitwa mchanganyiko wa mstari
mifuatano 
Na 
, i.e.
Kazi mifuatano 
Na 
inayoitwa mlolongo na 
- mwanachama 
, i.e. 
.
Kama 
, basi tunaweza kuamua Privat
.
Jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa mlolongo 
Na 
wanaitwa algebranyimbo.
Mfano.Fikiria mlolongo 
Na 
, Wapi. Kisha 
, i.e. baadae 
ina vipengele vyote sawa na sifuri.
,
, i.e. vipengele vyote vya bidhaa na mgawo ni sawa 
.
Ukivuka baadhi ya vipengele vya mlolongo 
ili ibaki seti isiyo na mwisho vipengele, kisha tunapata mlolongo mwingine unaoitwa baadae mifuatano 
. Ukivuka vipengele vichache vya kwanza vya mlolongo 
, Hiyo mlolongo mpya kuitwa iliyobaki.
Kufuatia 
mdogojuu(kutoka chini), ikiwa ni kuweka 
mdogo kutoka juu (kutoka chini). Mlolongo unaitwa mdogo, ikiwa imefungwa juu na chini. Mfuatano umefungwa ikiwa tu ikiwa yoyote ya masalio yake yamefungwa.
Mifuatano ya kubadilishana
Wanasema hivyo baadae 
huungana ikiwa kuna nambari 
vile kwa mtu yeyote 
kuna kitu kama hicho 
hiyo kwa mtu yeyote 
, ukosefu wa usawa unashikilia: 
.
Nambari 
kuitwa kikomo cha mlolongo
. Wakati huo huo wanaandika 
au 
.
Mfano.
.
Hebu tuonyeshe hilo 
. Wacha tuweke nambari yoyote 
. Kutokuwa na usawa 
kutekelezwa kwa 
, vile vile 
, kwamba ufafanuzi wa muunganisho unafanywa kwa nambari 
. Ina maana, 
.
Kwa maneno mengine 
ina maana kwamba wanachama wote wa mlolongo 
na idadi kubwa ya kutosha hutofautiana kidogo na idadi 
, i.e. kuanzia nambari fulani 
(ikiwa) vipengele vya mfuatano viko katika muda 
ambayo inaitwa 
- ujirani wa uhakika 
.
Kufuatia 
, ambayo kikomo chake ni sifuri ( 
, au 
katika 
) inaitwa usio na kikomo.
Kuhusiana na infinitesimals, taarifa zifuatazo ni kweli:
Jumla ya infinitesimals mbili ni infinitesimal;
Bidhaa ya kiasi kisicho na kikomo na kikomo ni cha chini.
Nadharia
.Ili kwa mlolongo 
ilikuwa na kikomo, ilikuwa ni lazima na ya kutosha 
, Wapi 
- mara kwa mara; 
- usio na ukomo
.
Tabia za kimsingi za mlolongo wa kuunganishwa:
Sifa 3. na 4. ni za jumla kwa kesi ya idadi yoyote ya mfuatano wa muunganisho.
Kumbuka kuwa wakati wa kuhesabu kikomo cha sehemu ambayo nambari na denominator ni mchanganyiko wa nguvu za mstari. 
, kikomo cha sehemu sawa na kikomo mahusiano ya wanachama wakuu (yaani wanachama walio na digrii kubwa zaidi 
nambari na denominator).
Kufuatia 
inaitwa:
Mlolongo wote kama huo huitwa monotonous.
Nadharia
.
Ikiwa mlolongo 
ikiongezeka na kuwekewa mipaka hapo juu, basi inaungana na kikomo chake ni sawa na yake kamili makali ya juu; ikiwa mlolongo unapungua na kufungwa chini, basi hubadilika kwa infimum yake.
Dhana ya mlolongo wa nambari.
Hebu kila nambari ya asili n iendane na nambari n , kisha tunasema kwamba kazi n =f(n) imetolewa, ambayo inaitwa mlolongo wa nambari. Inaonyeshwa na n ,n=1,2,… au (a n ).
Nambari a 1 , a 2 , ... huitwa wajumbe wa mfuatano au vipengele vyake, n ni mwanachama wa jumla wa mfuatano, n ni nambari ya mwanachama n .
Kwa ufafanuzi, mlolongo wowote una idadi isiyo na kikomo ya vipengele.
Mifano ya mlolongo wa nambari.
Hesabu maendeleo - uendelezaji wa nambari ya fomu:
Hiyo ni, mlolongo wa nambari (masharti ya maendeleo), ambayo kila moja, kuanzia ya pili, hupatikana kutoka kwa ile ya awali kwa kuongeza nambari ya mara kwa mara d (hatua au tofauti ya maendeleo): 
.
Muda wowote wa mwendelezo unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya neno la jumla:
Mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ndio maana ya hesabu ya washiriki waliotangulia na wanaofuata wa mwendelezo: 
Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu yanaweza kuonyeshwa na fomula: 
Jumla ya masharti n mfululizo ya maendeleo ya hesabu yanayoanza na neno k: 
Mfano wa jumla ya maendeleo ya hesabu ni jumla ya mfululizo wa nambari asilia hadi n kujumlisha:
Jiometri maendeleo - mlolongo wa nambari 
(wanachama wa mwendelezo), ambamo kila nambari inayofuata, kuanzia ya pili, hupatikana kutoka kwa ile iliyotangulia kwa kuizidisha kwa nambari fulani q (denominator ya mwendelezo), ambapo 
,
:
Neno lolote la maendeleo ya kijiometri linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: 
Ikiwa b 1 > 0 na q > 1, mwendelezo ni mlolongo unaoongezeka ikiwa 0 Mwendelezo huo ulipata jina lake kutokana na sifa yake ya tabia: Bidhaa ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: Bidhaa ya masharti ya maendeleo ya kijiometri kuanzia neno la k-th na kuishia na neno la n-th inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri: Kama Kikomo cha uthabiti. Mfuatano unaitwa kuongezeka ikiwa kila mwanachama ni mkubwa kuliko wa awali. Mfuatano unaitwa kupungua ikiwa kila mwanachama ni chini ya wa awali. Mfuatano wa x n unaitwa bounded ikiwa kuna nambari m na M hivi kwamba kwa nambari yoyote asili n hali inatosheka. Inaweza kutokea kwamba washiriki wote wa mlolongo ( a n ) wenye ukuaji usio na kikomo wa nambari n watakaribia nambari fulani m. Nambari a inaitwa kikomo cha mfuatano X n ikiwa kwa kila Ε>0 kuna nambari (kulingana na Ε) n 0 =n o (Ε) ili kwa Katika kesi hii, wanaandika Muunganisho wa mlolongo. Mlolongo ambao kikomo chake ni kikomo inasemekana kuungana na kuwa: Ikiwa mlolongo hauna kikomo cha mwisho (kuhesabika), utaitwa tofauti. Maana ya kijiometri. Kama Nadharia 1) Juu ya upekee wa kikomo: Ikiwa mlolongo unaunganishwa, yaani, una kikomo, basi kikomo hiki ni cha pekee. Nadharia 2) Ikiwa mlolongo wa n unabadilika kuwa: Nadharia 3) Sharti kuwepo kwa kikomo. Ikiwa mlolongo unakutana, yaani, una kikomo, basi umefungwa. Uthibitisho: wacha tuchague n> N kama vile: Nadharia 4) Hali ya kutosha kwa kuwepo kwa kikomo. Ikiwa mlolongo ni monotonic na imefungwa, basi ina kikomo. . Nadharia 5) Hebu Nadharia tatu za mlolongo. Kama Mipaka ya Mali. Ikiwa (xn) na (yn) wana mipaka, basi: Kikomo cha uwiano wa polynomials (vipande). Wacha x n na y n ziwe polynomials katika digrii k, mtawaliwa, ambayo ni: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k , y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m Kikomo cha uwiano wa polynomials ni sawa na kikomo cha uwiano wa masharti yao ya kuongoza: Ikiwa kiwango cha nambari ni sawa na kiwango cha denominator, basi kikomo ni sawa na uwiano wa coefficients kwa nguvu za juu. Ikiwa kiwango cha nambari ni chini ya kiwango cha denominator, kikomo ni sifuri. Ikiwa kiwango cha nambari ni kikubwa kuliko kiwango cha denominator, kikomo kinaelekea kutokuwa na mwisho.
yaani, kila neno ni sawa na maana ya kijiometri ya majirani zake.
, basi lini 
, Na
katika 
.
.
ukosefu wa usawa unashikilia 
kwa wote (asili)n>n 0 .
au 
.
, basi washiriki wote wa mlolongo huu, isipokuwa nambari ya mwisho, wataanguka katika kitongoji cha Ε cha uhakika a. Kijiometri, mipaka ya mlolongo inamaanisha kuwa maadili yake yote yapo kwenye sehemu fulani.
, kisha matokeo yake yoyote 
ina kikomo sawa.
∎
na basi sharti x n ≤y n ridhike kwa n yoyote, thena 
na kwa mfuatano x n ,y n ,z n sharti x n ≤y n ≤z n imeridhika, basi kwa 
lazima 
.
