Dhana za sine (), kosine (), tangent (), cotangent () zimeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na dhana ya pembe. Ili kuelewa haya vizuri, kwa mtazamo wa kwanza, dhana tata(ambayo husababisha hali ya kutisha kwa watoto wengi wa shule), na kuhakikisha kwamba "shetani haogopi kama alivyochorwa," hebu tuanze tangu mwanzo na kuelewa dhana ya pembe.
Dhana ya pembe: radian, shahada
Hebu tuangalie picha. Vector "imegeuka" kuhusiana na uhakika kwa kiasi fulani. Kwa hivyo kipimo cha mzunguko huu kuhusiana na nafasi ya awali itakuwa kona.
Nini kingine unahitaji kujua kuhusu dhana ya angle? Kweli, kwa kweli, vitengo vya pembe!
Angle, katika jiometri na trigonometry, inaweza kupimwa kwa digrii na radiani.
Pembe ya (shahada moja) inaitwa pembe ya kati katika mduara, kulingana na arc ya mviringo sawa na sehemu ya mduara. Kwa hivyo, mduara mzima una "vipande" vya arcs za mviringo, au angle iliyoelezwa na mduara ni sawa.
Hiyo ni, takwimu hapo juu inaonyesha angle sawa na, yaani, angle hii inakaa kwenye arc ya mviringo ukubwa wa mduara.
Pembe katika radiani ni pembe ya kati katika duara iliyopunguzwa na safu ya duara ambayo urefu wake ni sawa na radius ya duara. Kweli, umeigundua? Ikiwa sivyo, basi wacha tufikirie kutoka kwa mchoro.
Kwa hivyo, takwimu inaonyesha pembe sawa na radian, ambayo ni, pembe hii inakaa kwenye safu ya mviringo, urefu ambao ni sawa na radius ya duara (urefu ni sawa na urefu au radius. sawa na urefu arcs). Kwa hivyo, urefu wa arc huhesabiwa na formula:
Ambapo ni pembe ya kati katika radiani.
Kweli, ukijua hili, unaweza kujibu ni radians ngapi zilizomo kwenye pembe iliyoelezewa na duara? Ndio, kwa hili unahitaji kukumbuka formula ya mduara. Huyu hapa:
Kweli, sasa hebu tuunganishe fomula hizi mbili na tupate kuwa pembe iliyoelezewa na duara ni sawa. Hiyo ni, kwa kuunganisha thamani katika digrii na radian, tunapata hiyo. Kwa mtiririko huo,. Kama unavyoona, tofauti na "digrii", neno "radian" limeachwa, kwani kitengo cha kipimo kawaida huwa wazi kutoka kwa muktadha.
Je, kuna radian ngapi? Hiyo ni sawa!
Nimeelewa? Kisha endelea na urekebishe:
Je, una matatizo? Kisha angalia majibu:
Pembetatu ya kulia: sine, kosine, tangent, cotangent ya pembe
Kwa hivyo, tuligundua dhana ya pembe. Lakini sine, kosine, tanjiti, na cotangent ya pembe ni nini? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, pembetatu sahihi itatusaidia.
Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu hii ni upande); miguu ni pande mbili zilizobaki na (zile zilizo karibu na pembe ya kulia), na ikiwa tunazingatia miguu inayohusiana na pembe, basi mguu ni mguu wa karibu, na mguu ni kinyume. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?
Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.
Katika pembetatu yetu.
Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Katika pembetatu yetu.
Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) hadi karibu (karibu).
Katika pembetatu yetu.
Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).
Katika pembetatu yetu.
Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:
Cosine→gusa→gusa→karibu;
Cotangent→gusa→gusa→karibu.
Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:
Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe. Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu:, lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe kutoka kwa pembetatu:. Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.
Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!
Kwa pembetatu iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata.
Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe.
Mduara wa kitengo (trigonometric).
Kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara na radius sawa na. Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.
Kama unavyoona, mduara uliopewa kujengwa ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu Radi ya mduara sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili, nafasi ya kuanzia Vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili (kwa mfano wetu, hii ni radius).
Kila hatua kwenye mduara inalingana na nambari mbili: kuratibu mhimili na kuratibu mhimili. Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu. Ni mstatili kwa sababu ni perpendicular kwa mhimili.
Je, pembetatu ni sawa na nini? Hiyo ni sawa. Kwa kuongeza, tunajua kwamba hii ni radius mduara wa kitengo, inamaanisha . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:
Je, pembetatu ni sawa na nini? Naam, bila shaka,! Badilisha thamani ya radius kwenye fomula hii na upate:
Kwa hivyo, unaweza kujua ni nini kinachoratibu hatua ya mduara? Naam, hakuna njia? Nini kama wewe kutambua kwamba na ni idadi tu? Je, inalingana na kuratibu gani? Naam, bila shaka, kuratibu! Na inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, kuratibu! Kwa hivyo, kipindi.
Nini basi na ni sawa na? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi sambamba wa tangent na cotangent na kupata hiyo, a.
Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:
Nini kimebadilika katika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Fikiria pembetatu ya kulia: pembe (kama karibu na pembe). Ni maadili gani ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe? Hiyo ni kweli, tunazingatia ufafanuzi unaofaa kazi za trigonometric:
Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.
Tayari imetajwa kuwa nafasi ya awali ya vector ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili. Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.
Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius karibu na duara ni au. Inawezekana kuzungusha vekta ya radius kwenda au kwa? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, kwa hiyo, vector ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kuacha kwenye nafasi au.
Katika kesi ya pili, yaani, vector ya radius itafanya tatu mapinduzi kamili na kuacha katika au nafasi.
Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na au (ambapo ni nambari yoyote) zinalingana na nafasi sawa ya vekta ya radius.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha pembe. Picha sawa inafanana na kona, nk. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na fomula ya jumla au (iko wapi nambari kamili)
Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:
Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:
Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:
Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: pembe inalingana na hatua na kuratibu, kwa hivyo:
Haipo;
Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki sawa, tunagundua kuwa pembe katika zinahusiana na pointi na kuratibu, kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazolingana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.
Majibu:
Haipo
Haipo
Haipo
Haipo
Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:
Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:
Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na, iliyotolewa kwenye jedwali hapa chini, lazima ikumbukwe:
Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja rahisi sana kukumbuka maadili yanayolingana:
Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe (), pamoja na thamani ya tangent ya pembe. Kujua maadili haya, ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:
Kujua hili, unaweza kurejesha maadili kwa. Nambari "" italingana na denominator "" italingana. Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka maadili yote kutoka kwa meza.
Kuratibu za nukta kwenye duara
Inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye duara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko?
Naam, bila shaka unaweza! Hebu tutoe nje formula ya jumla kupata viwianishi vya uhakika.
Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:
Tunapewa kwamba hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Inahitajika kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha hatua kwa digrii.
Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu kwa uhakika kunalingana na urefu wa sehemu. Urefu wa sehemu unafanana na uratibu wa katikati ya duara, yaani, ni sawa. Urefu wa sehemu unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:
Kisha tuna hiyo kwa uratibu wa uhakika.
Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y ya kuratibu kwa uhakika. Hivyo,
Kwa hiyo, katika mtazamo wa jumla kuratibu za pointi imedhamiriwa na fomula:
Kuratibu za katikati ya duara,
Radi ya mduara,
Pembe ya mzunguko wa radius ya vekta.
Kama unaweza kuona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:
Kweli, hebu tujaribu fomula hizi kwa kufanya mazoezi ya kutafuta alama kwenye duara?
1. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
2. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
3. Tafuta viwianishi vya nukta kwenye mduara wa kitengo uliopatikana kwa kuzungusha uhakika.
4. Hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Ni muhimu kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha vector ya awali ya radius na.
5. Hatua ni katikati ya mduara. Radi ya mduara ni sawa. Ni muhimu kupata kuratibu za hatua iliyopatikana kwa kuzungusha vector ya awali ya radius na.
Je! unatatizika kupata viwianishi vya nukta kwenye duara?
Tatua mifano hii mitano (au pata vizuri kuitatua) na utajifunza kuipata!
1.
Unaweza kugundua hilo. Lakini tunajua ni nini kinacholingana na mapinduzi kamili ya mahali pa kuanzia. Hivyo, hatua inayotakiwa itakuwa katika nafasi sawa na wakati wa kuwasha. Kujua hili, tunapata kuratibu zinazohitajika za uhakika:
2. Mduara wa kitengo umejikita katika hatua, ambayo inamaanisha tunaweza kutumia fomula zilizorahisishwa:
Unaweza kugundua hilo. Tunajua ni nini kinacholingana na mapinduzi mawili kamili ya mahali pa kuanzia. Kwa hivyo, hatua inayotakiwa itakuwa katika nafasi sawa na wakati wa kugeuka. Kujua hili, tunapata kuratibu zinazohitajika za uhakika:
Sine na cosine ni maadili ya meza. Tunakumbuka maana zao na kupata:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
3. Mduara wa kitengo umejikita katika hatua, ambayo inamaanisha tunaweza kutumia fomula zilizorahisishwa:
Unaweza kutambua hilo. Wacha tuonyeshe mfano unaohusika kwenye takwimu:
Radi hufanya pembe sawa na na mhimili. Kujua kwamba maadili ya jedwali ya cosine na sine ni sawa, na baada ya kuamua kwamba cosine hapa inachukua maana hasi, na sine ni chanya, tunayo:
Maelezo zaidi mifano inayofanana hueleweka wakati wa kusoma fomula za kupunguza vitendaji vya trigonometric katika mada.
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
4.
Pembe ya kuzunguka kwa radius ya vekta (kwa hali)
Kuamua ishara zinazolingana za sine na cosine, tunaunda mduara wa kitengo na pembe:
Kama unavyoona, thamani, yaani, ni chanya, na thamani, yaani, ni hasi. Kujua maadili ya tabular ya kazi zinazolingana za trigonometric, tunapata kwamba:
Wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwenye fomula yetu na tupate kuratibu:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
5. Ili kutatua tatizo hili, tunatumia fomula kwa fomu ya jumla, wapi
Kuratibu za katikati ya duara (katika mfano wetu,
Radi ya mduara (kwa hali)
Angle ya mzunguko wa radius ya vector (kwa hali).
Wacha tubadilishe maadili yote kwenye fomula na tupate:
na - maadili ya meza. Wacha tukumbuke na tubadilishe katika fomula:
Kwa hivyo, hatua inayotakiwa ina kuratibu.
MUHTASARI NA FOMU ZA MSINGI
Sine ya pembe ni uwiano wa mguu ulio kinyume (mbali) na hypotenuse.
Cosine ya pembe ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Tangent ya pembe ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) na upande wa karibu (karibu).
Cotangent ya pembe ni uwiano wa upande wa karibu (karibu) na upande wa kinyume (mbali).
Maagizo
Pembetatu inaitwa pembe ya kulia ikiwa moja ya pembe zake ni digrii 90. Inajumuisha miguu miwili na hypotenuse. Hypotenuse inaitwa upande mkubwa pembetatu hii. Inalala dhidi ya pembe ya kulia. Miguu, ipasavyo, inaitwa pande zake ndogo. Wanaweza kuwa sawa kwa kila mmoja au kuwa na ukubwa tofauti. Usawa wa miguu ndio unafanya kazi na pembetatu ya kulia. Uzuri wake ni kwamba unachanganya takwimu mbili: mstatili na pembetatu ya isosceles. Ikiwa miguu si sawa, basi pembetatu ni ya kiholela na hufuata sheria ya msingi: pembe kubwa, zaidi ya moja amelala kinyume chake inazunguka.
Kuna njia kadhaa za kupata hypotenuse na pembe. Lakini kabla ya kutumia mmoja wao, unapaswa kuamua ni angle gani inayojulikana. Ikiwa unapewa pembe na upande ulio karibu nayo, basi ni rahisi kupata hypotenuse kwa kutumia cosine ya pembe. Cosine angle ya papo hapo(cos a) katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse. Inafuata kwamba hypotenuse (c) itakuwa sawa na uwiano wa mguu wa karibu (b) na cosine ya pembe a (cos a). Hii inaweza kuandikwa hivi: cos a=b/c => c=b/cos a.
Ikiwa pembe na mguu wa kinyume hutolewa, basi unapaswa kufanya kazi. Sini ya pembe ya papo hapo (sin a) katika pembetatu ya kulia ni uwiano upande kinyume(a) kwa hypotenuse (c). Hapa kanuni ni sawa na katika mfano uliopita, tu badala ya kazi ya cosine, sine inachukuliwa. dhambi a=a/c => c=a/dhambi a.
Unaweza pia kutumia kazi ya trigonometric kama vile . Lakini kupata thamani inayotaka itakuwa ngumu zaidi. Tangent ya pembe ya papo hapo (tg a) katika pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa kinyume (a) na mguu wa karibu (b). Baada ya kupata pande zote mbili, tumia nadharia ya Pythagorean (mraba wa hypotenuse sawa na jumla mraba wa miguu) na kubwa zaidi itapatikana.
Kumbuka
Unapofanya kazi na nadharia ya Pythagorean, kumbuka kuwa unashughulika na digrii. Baada ya kupata jumla ya mraba wa miguu, unahitaji kuchukua mizizi ya mraba kupata jibu la mwisho.
Vyanzo:
- jinsi ya kupata mguu na hypotenuse
Hypotenuse ni upande katika pembetatu ya kulia ambayo iko kinyume na pembe ya digrii 90. Ili kuhesabu urefu wake, inatosha kujua urefu wa moja ya miguu na saizi ya moja ya pembe za papo hapo za pembetatu.
Maagizo
Kwa kuzingatia pembe ya mstatili inayojulikana na ya papo hapo, basi saizi ya hypotenuse itakuwa uwiano wa mguu kwa / wa pembe hii, ikiwa pembe hii ni kinyume / karibu nayo:
h = C1 (au C2)/sinα;
h = C1 (au C2)/cosα.
Mfano: Acha ABC yenye hypotenuse AB na C itolewe.Acha angle B iwe digrii 60 na angle A iwe digrii 30. Urefu wa mguu BC ni cm 8. Urefu wa hypotenuse AB unahitajika. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia yoyote ya njia zilizopendekezwa hapo juu:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Neno" mguu" Imetoholewa kutoka Maneno ya Kigiriki"perpendicular" au "bomba" - hii inaelezea kwa nini pande zote mbili za pembetatu ya kulia, zinazojumuisha angle yake ya digrii tisini, ziliitwa hivyo. Tafuta urefu wa yoyote kati ya mguu ov sio ngumu ikiwa thamani ya pembe ya karibu na vigezo vingine vinajulikana, kwani katika kesi hii maadili ya pembe zote tatu yatajulikana.
Maagizo
Ikiwa, pamoja na thamani ya pembe iliyo karibu (β), urefu wa pili mguu a (b), kisha urefu mguu na (a) inaweza kufafanuliwa kama sehemu ya urefu wa inayojulikana mguu na kuendelea angle inayojulikana: a=b/tg(β). Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa trigonometric hii. Unaweza kufanya bila tangent ikiwa unatumia nadharia. Inafuata kutoka kwa hiyo kwamba urefu wa taka kwa sine ya pembe tofauti na uwiano wa urefu wa inayojulikana. mguu na kwa sine ya pembe inayojulikana. Kinyume na taka mguu y pembe ya papo hapo inaweza kuonyeshwa kupitia pembe inayojulikana kama 180°-90°-β = 90°-β, kwa kuwa jumla ya pembe zote za pembetatu yoyote lazima iwe 180°, na moja ya pembe zake ni 90°. Kwa hivyo, urefu unaohitajika mguu na inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Ikiwa thamani ya pembe iliyo karibu (β) na urefu wa hypotenuse (c) inajulikana, basi urefu mguu na (a) inaweza kuhesabiwa kama bidhaa ya urefu wa hypotenuse na kosine ya pembe inayojulikana: a=c∗cos(β). Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa cosine kama chaguo za kukokotoa za trigonometriki. Lakini unaweza kutumia, kama katika hatua ya awali, theorem ya sines na kisha urefu wa taka mguu a itakuwa sawa na bidhaa ya sine kati ya 90° na pembe inayojulikana na uwiano wa urefu wa hypotenuse na sine ya pembe ya kulia. Na kwa kuwa sine ya 90° ni sawa na moja, tunaweza kuiandika hivi: a=sin(90°-β)∗c.
Mahesabu ya vitendo yanaweza kufanywa, kwa mfano, kwa kutumia OS iliyojumuishwa Programu ya Windows kikokotoo. Ili kuiendesha, unaweza kuchagua "Run" kutoka kwenye orodha kuu kwenye kitufe cha "Anza", chapa amri ya calc na ubofye "Sawa". Katika toleo rahisi zaidi la kiolesura cha programu hii inayofungua kwa chaguo-msingi, kazi za trigonometric hazijatolewa, kwa hivyo baada ya kuizindua, unahitaji kubofya sehemu ya "Angalia" kwenye menyu na uchague mstari "Kisayansi" au "Uhandisi" ( kulingana na toleo lililotumiwa mfumo wa uendeshaji).
Video kwenye mada
Neno "kathet" lilikuja kwa Kirusi kutoka kwa Kigiriki. KATIKA tafsiri sahihi ina maana ya bomba, yaani, perpendicular kwa uso wa dunia. Katika hisabati, miguu ni pande zinazounda pembe ya kulia ya pembetatu ya kulia. Upande ulio kinyume na pembe hii inaitwa hypotenuse. Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu na teknolojia kazi ya kulehemu.
Chora pembetatu ya kulia DIA. Weka miguu yake alama kama a na b, na hypotenuse yake kama c. Pande zote na pembe za pembetatu ya kulia hufafanuliwa kati yao wenyewe. Uwiano wa mguu kinyume na moja ya pembe za papo hapo kwa hypotenuse inaitwa sine pembe iliyopewa. KATIKA pembetatu iliyotolewa sinCAB=a/c. Cosine ni uwiano wa hypotenuse ya mguu wa karibu, yaani, cosCAB=b/c. Mahusiano ya kinyume huitwa secant na cosecant.
Secant ya angle hii inapatikana kwa kugawanya hypotenuse na mguu wa karibu, yaani, secCAB = c / b. Matokeo yake ni ulinganifu wa kosine, yaani, inaweza kuonyeshwa kwa kutumia fomula secCAB=1/cosSAB.
Kosekanati ni sawa na mgawo wa hypotenuse iliyogawanywa na upande wa pili na ni wingi. kinyume cha sine. Inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula cosecCAB=1/sinCAB
Miguu yote miwili imeunganishwa kwa kila mmoja na kwa cotangent. KATIKA kwa kesi hii tangent itakuwa uwiano wa upande a kwa upande b, yaani, upande kinyume na upande wa karibu. Uhusiano huu unaweza kuonyeshwa kwa fomula tgCAB=a/b. Kwa mtiririko huo, uhusiano wa kinyume kutakuwa na cotangent: ctgCAB=b/a.
Uhusiano kati ya ukubwa wa hypotenuse na miguu yote miwili imedhamiriwa na Pythagoras ya kale ya Kigiriki. Watu bado wanatumia nadharia na jina lake. Inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu, yaani, c2 = a2 + b2. Ipasavyo, kila mguu utakuwa sawa na kipeo kutoka kwa tofauti kati ya mraba wa hypotenuse na mguu mwingine. Fomula hii inaweza kuandikwa kama b=√(c2-a2).
Urefu wa mguu pia unaweza kuonyeshwa kupitia uhusiano unaojulikana kwako. Kulingana na nadharia za sines na cosines, mguu sawa na bidhaa hypotenuse kwa moja ya kazi hizi. Inaweza kuonyeshwa kama na au cotangent. Mguu a unaweza kupatikana, kwa mfano, kwa kutumia formula a = b*tan CAB. Kwa njia sawa, kulingana na tangent iliyotolewa au , mguu wa pili umeamua.
Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu. Inatumika kwa mji mkuu wa Ionic na inapita katikati ya mgongo wake. Hiyo ni, katika kesi hii, neno hili ni perpendicular kwa mstari fulani.
Katika teknolojia ya kulehemu kuna "fillet weld mguu". Kama katika hali nyingine, hii ni umbali mfupi zaidi. Hapa tunazungumzia kuhusu pengo kati ya sehemu moja ya svetsade hadi mpaka wa mshono ulio juu ya uso wa sehemu nyingine.
Video kwenye mada
Vyanzo:
- mguu na hypotenuse ni nini mnamo 2019
Katika maisha mara nyingi tutalazimika kushughulika matatizo ya hisabati: shuleni, chuo kikuu, na kisha kumsaidia mtoto wako kumaliza kazi ya nyumbani. Watu katika taaluma fulani watakutana na hisabati kila siku. Kwa hivyo, ni muhimu kukumbuka au kukumbuka sheria za hisabati. Katika makala hii tutaangalia mmoja wao: kutafuta upande wa pembetatu sahihi.
Pembetatu ya kulia ni nini
Kwanza, hebu tukumbuke pembetatu sahihi ni nini. Pembetatu ya kulia-Hii takwimu ya kijiometri ya sehemu tatu zinazounganisha pointi ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa, na moja ya pembe za takwimu hii ni digrii 90. Pande zinazounda pembe ya kulia huitwa miguu, na upande ulio kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse.
Kutafuta mguu wa pembetatu ya kulia
Kuna njia kadhaa za kujua urefu wa mguu. Ningependa kuzizingatia kwa undani zaidi.
Nadharia ya Pythagorean kupata upande wa pembetatu ya kulia
Ikiwa tunajua hypotenuse na mguu, basi tunaweza kupata urefu mguu maarufu kulingana na nadharia ya Pythagorean. Inasikika kama hii: "Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu." Mfumo: c²=a²+b², ambapo c ni hypotenuse, a na b ni miguu. Tunabadilisha fomula na kupata: a²=c²-b².
Mfano. Hypotenuse ni sentimita 5, na mguu ni sentimita 3. Tunabadilisha fomula: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ifuatayo tunatatua: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Uwiano wa trigonometric kupata mguu wa pembetatu ya kulia
Unaweza pia kupata mguu usiojulikana ikiwa upande mwingine wowote na pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia inajulikana. Kuna chaguzi nne za kutafuta mguu kwa kutumia kazi za trigonometric: sine, cosine, tangent, cotangent. Jedwali hapa chini litatusaidia kutatua matatizo. Hebu fikiria chaguzi hizi.
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia sine
Sini ya pembe (dhambi) ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Mfumo: sin=a/c, ambapo a ni mguu kinyume na pembe iliyotolewa, na c ni hypotenuse. Ifuatayo, tunabadilisha fomula na kupata: a=sin*c.
Mfano. Hypotenuse ni 10 cm, angle A ni digrii 30. Kutumia meza, tunahesabu sine ya angle A, ni sawa na 1/2. Kisha, kwa kutumia fomula iliyobadilishwa, tunatatua: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cosine
Cosine ya pembe (cos) ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse. Mfumo: cos=b/c, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe fulani, na c ni hypotenuse. Wacha tubadilishe fomula na tupate: b=cos*c.
Mfano. Angle A ni sawa na digrii 60, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu cosine ya angle A, ni sawa na 1/2. Ifuatayo tunatatua: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia tangent
Tangenti ya pembe (tg) ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Fomula: tg=a/b, ambapo a ni upande ulio kinyume na pembe, na b ni upande wa karibu. Wacha tubadilishe fomula na tupate: a=tg*b.
Mfano. Angle A ni sawa na digrii 45, hypotenuse ni sawa na cm 10. Kutumia meza, tunahesabu tangent ya angle A, ni sawa na Tatua: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Tafuta mguu wa pembetatu ya kulia kwa kutumia cotangent
Angle cotangent (ctg) ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa kinyume. Mfumo: ctg=b/a, ambapo b ni mguu ulio karibu na pembe, na ni mguu wa kinyume. Kwa maneno mengine, kotangenti ni "tangent iliyogeuzwa." Tunapata: b=ctg*a.
Mfano. Angle A ni digrii 30, mguu wa kinyume ni cm 5. Kulingana na meza, tangent ya angle A ni √3. Tunakokotoa: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Kwa hiyo sasa unajua jinsi ya kupata mguu katika pembetatu ya kulia. Kama unaweza kuona, sio ngumu sana, jambo kuu ni kukumbuka kanuni.
Maagizo
Video kwenye mada
Kumbuka
Wakati wa kuhesabu pande za pembetatu ya kulia, ujuzi wa sifa zake unaweza kuchukua jukumu:
1) Ikiwa mguu wa pembe ya kulia iko kinyume na pembe ya digrii 30, basi sawa na nusu hypotenuse;
2) Hypotenuse daima ni ndefu kuliko miguu yoyote;
3) Ikiwa mduara umezungukwa karibu na pembetatu ya kulia, basi katikati yake lazima iwe katikati ya hypotenuse.
Hypotenuse ni upande katika pembetatu ya kulia ambayo iko kinyume na pembe ya digrii 90. Ili kuhesabu urefu wake, inatosha kujua urefu wa moja ya miguu na saizi ya moja ya pembe za papo hapo za pembetatu.
Maagizo
Hebu tujue moja ya miguu na pembe iliyo karibu nayo. Ili kuwa mahususi, acha hizi ziwe upande |AB| na pembe α. Kisha tunaweza kutumia formula kwa cosine ya trigonometric- cosine ya uwiano wa mguu wa karibu na . Wale. katika nukuu yetu cos α = |AB| / |AC|. Kutokana na hili tunapata urefu wa hypotenuse |AC| = |AB| /cos α.
Ikiwa tunajua upande |BC| na pembe α, basi tutatumia fomula ya kuhesabu sine ya pembe - sine ya pembe sawa na uwiano upande kinyume na hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Tunapata kwamba urefu wa hypotenuse ni |AC| = |BC| /cos α.
Kwa uwazi, hebu tuangalie mfano. Acha urefu wa mguu |AB| upewe. = 15. Na angle α = 60 °. Tunapata |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Wacha tuangalie jinsi unaweza kuangalia matokeo yako kwa kutumia nadharia ya Pythagorean. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuhesabu urefu wa mguu wa pili |BC|. Kwa kutumia fomula ya tanjiti ya pembe tan α = |BC| / |AC|, tunapata |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60 ° = 15 * √3. Ifuatayo, tunatumia nadharia ya Pythagorean, tunapata 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Angalia imekamilika.
Baada ya kuhesabu hypotenuse, angalia ikiwa thamani inayotokana inakidhi nadharia ya Pythagorean.
Vyanzo:
- Jedwali nambari kuu kutoka 1 hadi 10000
Miguu ni pande mbili fupi za pembetatu ya kulia zinazounda kipeo ambacho ukubwa wake ni 90°. Upande wa tatu katika pembetatu kama hiyo inaitwa hypotenuse. Pande zote hizi na pembe za pembetatu zimeunganishwa na uhusiano fulani ambao hufanya iwezekanavyo kuhesabu urefu wa mguu ikiwa vigezo vingine kadhaa vinajulikana.
Maagizo
Tumia nadharia ya Pythagorean kwa mguu (A) ikiwa unajua urefu wa pande zingine mbili (B na C) za pembetatu ya kulia. Nadharia hii inasema kwamba jumla ya urefu wa mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse. Inafuata kutoka kwa hili kwamba urefu wa kila mguu ni sawa na mzizi wa mraba wa urefu wa hypotenuse na mguu wa pili: A=√(C²-B²).
Tumia ufafanuzi wa kazi ya moja kwa moja ya trigonometric "sine" kwa pembe ya papo hapo ikiwa unajua ukubwa wa pembe (α) iliyolala kinyume na mguu unaohesabiwa na urefu wa hypotenuse (C). Hii inasema kwamba sine ya hii inayojulikana kwa urefu wa mguu unaotaka hadi urefu wa hypotenuse. Hii ina maana kwamba urefu wa mguu unaotakiwa ni sawa na bidhaa ya urefu wa hypotenuse na sine ya pembe inayojulikana: A=C∗sin(α). Kwa hawa sawa idadi inayojulikana Unaweza pia kutumia kosekanti na kukokotoa urefu unaohitajika kwa kugawanya urefu wa hypotenuse kwa kosekanti ya pembe inayojulikana A=C/cosec(α).
Tumia ufafanuzi wa kazi ya cosine ya trigonometric ya moja kwa moja ikiwa, pamoja na urefu wa hypotenuse (C), ukubwa wa angle ya papo hapo (β) iliyo karibu na inayotakiwa pia inajulikana. Cosine ya pembe hii ni uwiano wa urefu wa mguu unaohitajika na hypotenuse, na kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kuwa urefu wa mguu ni sawa na bidhaa ya urefu wa hypotenuse na cosine ya angle inayojulikana: A=C∗cos(β). Unaweza kutumia ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za secant na kuhesabu thamani inayotakiwa, ikigawanya urefu wa hypotenuse kwa sekunde ya pembe inayojulikana A=C/sec(β).
Pato formula inayohitajika kutoka kwa ufafanuzi sawa kwa derivative ya tangent ya kazi ya trigonometric, ikiwa pamoja na thamani ya angle ya papo hapo (α) imelala kinyume na mguu uliotaka (A), urefu wa mguu wa pili (B) unajulikana. Tangent ya pembe kinyume na mguu unaotaka ni uwiano wa urefu wa mguu huu hadi urefu wa mguu wa pili. Hii ina maana kwamba thamani inayotakiwa itakuwa sawa na bidhaa ya urefu wa mguu unaojulikana na tangent ya angle inayojulikana: A=B∗tg(α). Kutoka kwa idadi sawa inayojulikana, fomula nyingine inaweza kutolewa ikiwa tutatumia ufafanuzi wa kazi ya kotangent. Katika kesi hii, kuhesabu urefu wa mguu, itakuwa muhimu kupata uwiano wa urefu wa mguu unaojulikana kwa cotangent ya angle inayojulikana: A = B / ctg (α).
Video kwenye mada
Neno "kathet" lilikuja kwa Kirusi kutoka kwa Kigiriki. Kwa tafsiri kamili, ina maana ya bomba, yaani, perpendicular kwa uso wa dunia. Katika hisabati, miguu ni pande zinazounda pembe ya kulia ya pembetatu ya kulia. Upande ulio kinyume na pembe hii inaitwa hypotenuse. Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu na teknolojia ya kulehemu.
Secant ya angle hii inapatikana kwa kugawanya hypotenuse na mguu wa karibu, yaani, secCAB = c / b. Matokeo yake ni ulinganifu wa kosine, yaani, inaweza kuonyeshwa kwa kutumia fomula secCAB=1/cosSAB.
Kosekanati ni sawa na mgawo wa hypotenuse iliyogawanywa na upande wa kinyume na ni ulinganifu wa sine. Inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula cosecCAB=1/sinCAB
Miguu yote miwili imeunganishwa kwa kila mmoja na kwa cotangent. Katika kesi hii, tangent itakuwa uwiano wa upande wa upande wa b, yaani, kinyume na upande wa karibu. Uhusiano huu unaweza kuonyeshwa kwa fomula tgCAB=a/b. Ipasavyo, uwiano kinyume utakuwa kotanjiti: ctgCAB=b/a.
Uhusiano kati ya ukubwa wa hypotenuse na miguu yote miwili imedhamiriwa na Pythagoras ya kale ya Kigiriki. Watu bado wanatumia nadharia na jina lake. Inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu, yaani, c2 = a2 + b2. Ipasavyo, kila mguu utakuwa sawa na mzizi wa mraba wa tofauti kati ya mraba wa hypotenuse na mguu mwingine. Fomula hii inaweza kuandikwa kama b=√(c2-a2).
Urefu wa mguu pia unaweza kuonyeshwa kupitia uhusiano unaojulikana kwako. Kwa mujibu wa nadharia za sines na cosines, mguu ni sawa na bidhaa ya hypotenuse na moja ya kazi hizi. Inaweza kuonyeshwa kama na au cotangent. Mguu a unaweza kupatikana, kwa mfano, kwa kutumia formula a = b*tan CAB. Kwa njia sawa, kulingana na tangent iliyotolewa au , mguu wa pili umeamua.
Neno "cathet" pia hutumiwa katika usanifu. Inatumika kwa mji mkuu wa Ionic na inapita katikati ya mgongo wake. Hiyo ni, katika kesi hii, neno hili ni perpendicular kwa mstari fulani.
Katika teknolojia ya kulehemu kuna "fillet weld mguu". Kama katika hali nyingine, hii ni umbali mfupi zaidi. Hapa tunazungumzia pengo kati ya sehemu moja ya svetsade hadi mpaka wa mshono ulio kwenye uso wa sehemu nyingine.
Video kwenye mada
Vyanzo:
- mguu na hypotenuse ni nini mnamo 2019
Sine, cosine, tangent, cotangent ya pembe ni nini itakusaidia kuelewa pembetatu sahihi.
Pande za pembetatu ya kulia zinaitwaje? Hiyo ni kweli, hypotenuse na miguu: hypotenuse ni upande ulio kinyume na pembe ya kulia (kwa mfano wetu hii ni upande \(AC\)); miguu ni pande mbili zilizobaki \(AB\) na \(BC\) (zilizo karibu na pembe ya kulia), na ikiwa tutazingatia miguu inayohusiana na pembe \(BC\), basi mguu \(AB\) ni mguu wa karibu, na mguu \(BC\) ni kinyume. Kwa hiyo, sasa hebu tujibu swali: sine, cosine, tangent na cotangent ya angle ni nini?
Sine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa kinyume (mbali) kwa hypotenuse.
Katika pembetatu yetu:
\[ \dhambi \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosine ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) na hypotenuse.
Katika pembetatu yetu:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent ya pembe- hii ni uwiano wa upande wa kinyume (mbali) kwa karibu (karibu).
Katika pembetatu yetu:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangent ya pembe- hii ni uwiano wa mguu wa karibu (karibu) hadi kinyume (mbali).
Katika pembetatu yetu:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Ufafanuzi huu ni muhimu kumbuka! Ili iwe rahisi kukumbuka ni mguu gani wa kugawanya katika nini, unahitaji kuelewa wazi kuwa ndani tangent Na kotangent miguu tu hukaa, na hypotenuse inaonekana tu ndani sinus Na kosini. Na kisha unaweza kuja na mlolongo wa vyama. Kwa mfano, hii:
Cosine→gusa→gusa→karibu;
Cotangent→gusa→gusa→karibu.
Kwanza kabisa, unahitaji kukumbuka kuwa sine, cosine, tangent na cotangent kwani uwiano wa pande za pembetatu hautegemei urefu wa pande hizi (kwa pembe sawa). Usiamini? Kisha hakikisha kwa kuangalia picha:
Fikiria, kwa mfano, cosine ya pembe \(\beta \) . Kwa ufafanuzi, kutoka kwa pembetatu \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lakini tunaweza kuhesabu cosine ya pembe \(\beta \) kutoka kwa pembetatu \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Unaona, urefu wa pande ni tofauti, lakini thamani ya cosine ya pembe moja ni sawa. Kwa hivyo, maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent inategemea tu ukubwa wa pembe.
Ikiwa unaelewa ufafanuzi, basi endelea na uimarishe!
Kwa pembetatu \ (ABC \) iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini, tunapata \(\dhambi \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\anza(safu)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\\alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\mwisho(safu) \)
Naam, umeipata? Kisha jaribu mwenyewe: hesabu sawa kwa pembe \(\beta \) .
Majibu: \(\dhambi \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Mduara wa kitengo (trigonometric).
Kwa kuelewa dhana za digrii na radiani, tulizingatia mduara wenye kipenyo sawa na \(1\) . Mzunguko kama huo unaitwa single. Itakuwa muhimu sana wakati wa kusoma trigonometry. Kwa hiyo, hebu tuangalie kwa undani zaidi.
Kama unaweza kuona, mduara huu umejengwa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Radi ya duara ni sawa na moja, wakati katikati ya duara iko kwenye asili ya kuratibu, nafasi ya awali ya vekta ya radius imewekwa kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\) (kwa mfano wetu, hii. ni radius \(AB\)).
Kila nukta kwenye duara inalingana na nambari mbili: kuratibu kando ya mhimili \(x\) na kuratibu kando ya mhimili wa \(y\). Nambari hizi za kuratibu ni nini? Na kwa ujumla, wana uhusiano gani na mada iliyopo? Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka juu ya pembetatu inayozingatiwa ya kulia. Katika takwimu hapo juu, unaweza kuona pembetatu mbili za kulia. Fikiria pembetatu \(ACG\) . Ni ya mstatili kwa sababu \(CG\) inaendana na mhimili \(x\) .
\(\cos \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni nini? Hiyo ni sawa \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Kwa kuongeza, tunajua kwamba \(AC\) ni radius ya duara ya kitengo, ambayo ina maana \(AC=1\) . Hebu tubadilishe thamani hii katika fomula yetu ya cosine. Hiki ndicho kinachotokea:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\dhambi \\alpha \) kutoka kwa pembetatu \(ACG \) ni sawa na nini? Naam, bila shaka, \(\dhambi \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Badilisha thamani ya radius \(AC\) kwenye fomula hii na upate:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Kwa hivyo, unaweza kusema ni nini kinachoratibu hatua \(C\) ya mduara inayo? Naam, hakuna njia? Je, ikiwa utagundua kuwa \(\cos \ \alpha \) na \(\sin \alpha \) ni nambari tu? \(\cos \alpha \) inalingana na kuratibu gani? Kweli, kwa kweli, kuratibu \(x\)! Na \(\sin \ alpha \) inalingana na uratibu gani? Hiyo ni kweli, ratibu \(y\)! Hivyo uhakika \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Je, basi \(tg \alpha \) na \(ctg \alpha \) ni sawa na nini? Hiyo ni kweli, hebu tutumie ufafanuzi unaolingana wa tangent na cotangent na tupate hiyo \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Nini ikiwa pembe ni kubwa zaidi? Kwa mfano, kama kwenye picha hii:
Ni nini kimebadilika katika mfano huu? Hebu tufikirie. Ili kufanya hivyo, hebu tugeuke tena kwenye pembetatu ya kulia. Zingatia pembetatu ya kulia \((A)_(1))((C)_(1))G \) : pembe (inayopakana na pembe \(\beta \) ). Ni nini thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwa pembe \((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Hiyo ni kweli, tunafuata ufafanuzi unaolingana wa kazi za trigonometric:
\(\anza(safu)(l)\sin \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))(C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\pembe ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\pembe ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\mwisho(safu) \)
Kweli, kama unavyoona, thamani ya sine ya pembe bado inalingana na kuratibu \(y\) ; thamani ya cosine ya pembe - kuratibu \(x\) ; na maadili ya tangent na cotangent kwa uwiano unaolingana. Kwa hivyo, mahusiano haya yanatumika kwa mzunguko wowote wa vector ya radius.
Imetajwa tayari kuwa nafasi ya awali ya vekta ya radius iko kando ya mwelekeo mzuri wa mhimili \(x\). Kufikia sasa tumezungusha vekta hii kinyume cha saa, lakini ni nini hufanyika ikiwa tutaizungusha kisaa? Hakuna kitu cha ajabu, utapata pia angle ya thamani fulani, lakini tu itakuwa mbaya. Kwa hivyo, wakati wa kuzungusha vekta ya radius kinyume cha saa, tunapata pembe chanya, na wakati wa kuzunguka saa - hasi.
Kwa hivyo, tunajua kuwa mapinduzi yote ya vekta ya radius kuzunguka duara ni \(360()^\circ \) au \(2\pi \) . Je, inawezekana kuzungusha vekta ya radius na \(390()^\circ \) au kwa \(-1140()^\circ \)? Naam, bila shaka unaweza! Katika kesi ya kwanza, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), kwa hivyo, vekta ya radius itafanya mapinduzi moja kamili na kusimama kwenye nafasi \(30()^\circ \) au \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Katika kesi ya pili, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaani, vekta ya radius itafanya mapinduzi matatu kamili na kuacha kwenye nafasi \(-60()^\circ \) au \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Kwa hivyo, kutoka kwa mifano hapo juu tunaweza kuhitimisha kuwa pembe ambazo hutofautiana na \(360()^\circ \cdot m \) au \(2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari yoyote), yanahusiana na nafasi sawa ya vector ya radius.
Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha pembe \(\beta =-60()^\circ \) . Picha sawa inalingana na kona \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) na kadhalika. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Pembe hizi zote zinaweza kuandikwa na formula ya jumla \(\beta +360()^\circ \cdot m\) au \(\beta +2\pi \cdot m \) (ambapo \(m \) ni nambari kamili)
\(\anza(safu)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\mwisho(safu) \)
Sasa, ukijua ufafanuzi wa kazi za msingi za trigonometric na kutumia mduara wa kitengo, jaribu kujibu maadili ni nini:
\(\anza(safu)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\dhambi \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\mwisho(safu) \)
Hapa kuna mduara wa kitengo kukusaidia:
Je, una matatizo? Kisha tufikirie. Kwa hivyo tunajua kwamba:
\(\anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\mwisho(safu)\)
Kuanzia hapa, tunaamua kuratibu za pointi zinazofanana na hatua fulani za angle. Kweli, wacha tuanze kwa mpangilio: kona ndani \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) inalingana na hatua iliyo na kuratibu \(\left(0;1 \right) \) , kwa hivyo:
\(\ dhambi 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- haipo;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Zaidi ya hayo, kwa kuzingatia mantiki hiyo hiyo, tunagundua kuwa pembe ndani \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\\ ) yanahusiana na pointi na kuratibu \(\kushoto(-1;0 \kulia),\text( )\kushoto(0;-1 \kulia),\text( )\left(1;0 \kulia),\text( )\left(0 ;1 \kulia) \), kwa mtiririko huo. Kujua hili, ni rahisi kuamua maadili ya kazi za trigonometric katika pointi zinazofanana. Jaribu mwenyewe kwanza, na kisha uangalie majibu.
Majibu:
\(\mtindo wa maonyesho \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\mtindo wa maonyesho \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\\pi =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(ctg)\\pi \)- haipo
\(\dhambi \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- haipo
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\dhambi \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- haipo
\(\dhambi \ 450()^\circ =\sin \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\dhambi \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \kushoto(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- haipo
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \kulia)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Kwa hivyo, tunaweza kutengeneza meza ifuatayo:
Hakuna haja ya kukumbuka maadili haya yote. Inatosha kukumbuka mawasiliano kati ya kuratibu za alama kwenye mduara wa kitengo na maadili ya kazi za trigonometric:
\(\kushoto. \anza(safu)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\mwisho(safu) \kulia\)\ \maandishi(Lazima ukumbuke au uweze kuionyesha!! \) !}
Lakini maadili ya kazi za trigonometric za pembe ndani na \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) kama inavyoonyeshwa kwenye jedwali hapa chini, lazima ukumbuke:
Usiogope, sasa tutakuonyesha mfano mmoja wa kukariri kwa urahisi kwa maadili yanayolingana:
Ili kutumia njia hii, ni muhimu kukumbuka maadili ya sine kwa hatua zote tatu za pembe ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), pamoja na thamani ya tangent ya pembe katika \(30()^\circ \) . Kujua maadili haya \(4\) ni rahisi sana kurejesha meza nzima - maadili ya cosine huhamishwa kwa mujibu wa mishale, ambayo ni:
\(\anza(safu)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \mwisho(safu) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ukijua hili, unaweza kurejesha maadili ya \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Nambari "\(1 \)" italingana na \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) na denominata "\(\sqrt(\text(3)) \)" italingana na \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Thamani za Cotangent huhamishwa kwa mujibu wa mishale iliyoonyeshwa kwenye takwimu. Ikiwa unaelewa hili na kukumbuka mchoro na mishale, basi itakuwa ya kutosha kukumbuka tu \(4\) maadili kutoka kwa meza.
Kuratibu za nukta kwenye duara
Je, inawezekana kupata uhakika (kuratibu zake) kwenye mduara, kujua kuratibu za katikati ya mduara, radius yake na angle ya mzunguko? Naam, bila shaka unaweza! Wacha tupate fomula ya jumla ya kupata viwianishi vya nukta. Kwa mfano, hapa kuna duara mbele yetu:
Tunapewa hatua hiyo \(K(((x)_(0)));((y)_(0)))=K(3;2) \)- katikati ya mduara. Radi ya mduara ni \(1.5\) . Ni muhimu kupata kuratibu za uhakika \(P\) zilizopatikana kwa kuzungusha uhakika \(O\) na \(\delta \) digrii.
Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, kuratibu \(x\) ya nukta \(P\) inalingana na urefu wa sehemu \(TP=UQ=UK+KQ\) . Urefu wa sehemu \(UK\) inalingana na kuratibu \(x\) ya katikati ya duara, yaani, ni sawa na \(3\) . Urefu wa sehemu \(KQ\) unaweza kuonyeshwa kwa kutumia ufafanuzi wa cosine:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
Halafu tunayo hiyo kwa uhakika \(P\) kuratibu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Kwa kutumia mantiki sawa, tunapata thamani ya y kuratibu kwa uhakika \(P\) . Hivyo,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Kwa hivyo, kwa ujumla, kuratibu za alama imedhamiriwa na fomula:
\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \mwisho(safu) \), Wapi
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - kuratibu za katikati ya duara,
\(r\) - radius ya duara,
\(\delta \) - angle ya mzunguko wa radius ya vector.
Kama unaweza kuona, kwa mduara wa kitengo tunachozingatia, fomula hizi zimepunguzwa sana, kwani kuratibu za kituo ni sawa na sifuri na radius ni sawa na moja:
\(\anza(safu)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \mwisho(safu) \)
Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!