Wielomian to suma jednomianów, czyli iloczynów liczb i zmiennych. Wygodniej jest z nim pracować, ponieważ najczęściej konwersja wyrażenia na wielomian pozwala na jego znaczne uproszczenie.
Instrukcje
Rozwiń wszystkie nawiasy wyrażenia. Aby to zrobić, użyj formuł, na przykład (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Jeżeli nie znasz wzorów lub trudno je zastosować do danego wyrażenia, otwieraj kolejno nawiasy. Aby to zrobić, pomnóż pierwszy wyraz pierwszego wyrażenia przez każdy wyraz drugiego wyrażenia, następnie drugi wyraz pierwszego wyrażenia przez każdy wyraz drugiego itd. W rezultacie wszystkie elementy obu nawiasów zostaną pomnożone przez siebie.
Jeśli masz trzy wyrażenia w nawiasach, najpierw pomnóż pierwsze dwa, pozostawiając trzecie wyrażenie bez zmian. Po uproszczeniu wyniku uzyskanego poprzez przekształcenie pierwszych nawiasów, pomnóż go przez trzecie wyrażenie.
Ostrożnie podążaj za znakami przed czynnikami jednomianowymi. Jeśli pomnożysz dwa wyrazy o tym samym znaku (na przykład oba są dodatnie lub oba są ujemne), jednomian będzie miał znak „+”. Jeśli przed którymś terminem znajduje się „-”, nie zapomnij przenieść go na produkt.
Sprowadź wszystkie jednomiany do postaci standardowej. Oznacza to, że przestawiasz czynniki wewnątrz i upraszczasz. Na przykład wyrażenie 2x*(3,5x) będzie równe (2*3,5)*x*x=7x^2.
Po ujednoliceniu wszystkich jednomianów spróbuj uprościć wielomian. Aby to zrobić, pogrupuj terminy mające tę samą część ze zmiennymi, na przykład (2x+5x-6x)+(1-2). Upraszczając wyrażenie, otrzymasz x-1.
Zwróć uwagę na obecność parametrów w wyrażeniu. Czasami konieczne jest uproszczenie wielomianu tak, jakby parametr był liczbą.
Aby zamienić wyrażenie zawierające pierwiastek na wielomian, wypisz pod nim wyrażenie, które zostanie podniesione do kwadratu. Na przykład użyj formuły a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, a następnie usuń pierwiastek wraz z potęgą parzystą. Jeśli nie możesz pozbyć się znaku pierwiastka, nie będziesz mógł przekonwertować wyrażenia na standardowy wielomian.
„Doskonalanie umiejętności numerycznych” - Składanie liczb. Powtarzanie czynności. Mnożenie. Dodatek. Zasady otwierania nawiasów. Dodatek liczby ujemne. Odejmowanie. Dodatek zwykłe ułamki. Dodawanie liczb z różnymi znakami. Doskonalenie umiejętności obsługi komputera. Odejmowanie liczba jednocyfrowa. Schemat referencyjny. Akcja w kolumnie. Mnożenie jednomianu przez wielomian.
„Różnica kwadratów liczb” - Kwadrat. Skrócona formuła mnożenia. Różnica kwadratów dwóch wyrażeń. Praca ze stołem. Różnica kwadratów. Znaczenie geometryczne formuły. Jak odczytać formułę? Wykonaj mnożenie. Czy kolejność wpisywania nawiasów ma wpływ na wynik? Wzór (a+b)(a-b)=a2-b2. Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i ich sumy.
„Mnożenie wielomianu przez wielomian” - Zasada mnożenia wielomianu przez wielomian. Gra „Otwórz obrazek”. Otwórz zdjęcie. Każdy wyraz pierwszego wielomianu jest mnożony kolejno przez każdy wyraz drugiego wielomianu. Rozważmy iloczyn najprostszych wielomianów, a mianowicie dwumianów. Jeden wielomian ma m wyrazów, a drugi n wyrazów. Plan lekcji.
„Rozkładanie wielomianu na czynniki” – transformacja wstępna. Sklasyfikuj te wielomiany zgodnie z metodą faktoryzacji. Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Metoda selekcji pełny kwadrat. Testora. Odpowiedzi: Konspekt lekcji: Konfucjusz. Skrócone wzory na mnożenie. Metoda grupowania.
„Przekształcenie wyrażenia całkowitego na wielomian” – Które z wyrażeń jest liczbami całkowitymi: Przykładami wyrażeń całkowitych są następujące wyrażenia: Cele lekcji: Ćwiczenie uczniów z redukcji podobne terminy. Wielomiany, a w szczególności jednomiany, są wyrażeniami całkowitymi. Rozwijaj umiejętności komputerowe uczniów. Wprowadź pojęcie całego wyrażenia. Konwersja wyrażeń całkowitych.
„Lekcja na temat skróconych wzorów na mnożenie” - Cel lekcji: Powtórzenie i podsumowanie praktycznych umiejętności i umiejętności na temat „Skrócone wzory na mnożenie”. Temat lekcji: WZORY NA MNOŻENIE ZREDUKOWANE. Przygotuj się na to, co nadchodzi praca testowa. Zadanie: Boki pierwszego kwadratu mają długość 1 cm więcej stron drugi kwadrat, a powierzchnia pierwszego kwadratu wynosi 9 cm2 więcej obszaru drugi kwadrat.
Łącznie w tej tematyce znajdują się 24 prezentacje
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Używając własność rozdzielcza mnożenia można przekształcić (uprościć) na wielomian, iloczyn jednomianu i wielomianu. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynu podwójnego.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniejszą rzeczą jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Wielomian to suma jednomianów, czyli iloczynów liczb i zmiennych. Praca z nim jest wygodniejsza, ponieważ najczęściej przekształcenie wyrażenia w wielomian pozwala na jego znacznie większe uproszczenie.
Instrukcje
1. Rozwiń wszystkie nawiasy wyrażenia. Aby to zrobić, użyj formuł, powiedzmy, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Jeśli nie znasz wzorów lub trudno je zastosować do danego wyrażenia, otwieraj krok po kroku nawiasy. Aby to zrobić, pomnóż pierwszy wyraz pierwszego wyrażenia przez cały wyraz drugiego wyrażenia, następnie drugi wyraz pierwszego wyrażenia przez cały wyraz drugiego itd. W rezultacie wszystkie elementy obu nawiasów zostaną pomnożone przez siebie.
2. Jeśli masz trzy wyrażenia w nawiasach, najpierw pomnóż pierwsze dwa, pozostawiając trzecie wyrażenie bez zmian. Po uproszczeniu wyniku uzyskanego w wyniku przekształcenia pierwszych nawiasów, pomnóż go przez trzecie wyrażenie.
3. Uważaj, aby obserwować znaki przed czynnikami jednomianowymi. Jeśli pomnożysz dwa wyrazy o tym samym znaku (powiedzmy, że oba są poprawne lub oba są ujemne), jednomian będzie miał znak „+”. Jeśli przed jednym terminem znajduje się „-”, nie zapomnij przenieść go do pracy.
4. Sprowadź wszystkie jednomiany do postaci standardowej. Oznacza to, że przestawiasz czynniki wewnątrz i upraszczasz. Powiedzmy, że wyrażenie 2x*(3,5x) będzie równe (2*3,5)*x*x=7x^2.
5. Po ujednoliceniu wszystkich jednomianów spróbuj uprościć wielomian. Aby to zrobić, członkowie grupy, którzy mają identyczne części ze zmiennymi, powiedzmy (2x+5x-6x)+(1-2). Upraszczając wyrażenie, otrzymasz x-1.
6. Zwróć uwagę na obecność parametrów w wyrażeniu. Czasami relief wielomianu należy wykonać tak, jakby parametr był liczbą.
7. Aby przekonwertować wyrażenie zawierające pierwiastek na wielomian, wypisz pod nim wyrażenie, które zostanie podniesione do kwadratu. Powiedzmy, że użyj formuły a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, a następnie usuń znak pierwiastka wraz ze stopniem parzystym. Jeśli nie można pozbyć się znaku pierwiastka, nie będzie można przekonwertować wyrażenia na wielomian postaci standardowej.
Zwięzłość, jak mówią, jest siostrą daru. Każdy chce się popisywać za nic, ale jego siostra to trudna sprawa. Z jakiegoś powodu fenomenalne myśli przybierają formę złożone zdania z większością cykli partycypacyjnych. Jednakże w Twojej mocy jest uproszczenie propozycji oraz uczynienie ich zrozumiałymi i dostępnymi dla wszystkich.
Instrukcje
1. Aby ułatwić życie odbiorcy (czy to słuchaczowi, czy czytelnikowi), staraj się zastępować cykle partycypacyjne i partycypacyjne krótkimi zdaniami podrzędnymi, tylko jeśli powyższych cykli jest zbyt wiele w jednym zdaniu. „Kot, który wrócił do domu, właśnie zjadł mysz, mruczał głośno, głaskał swojego właściciela, próbując spojrzeć mu w oczy, mając nadzieję, że żebrze o rybę przyniesioną ze sklepu” - to nie zadziała. Rozbij podobną konstrukcję na kilka części, nie spiesz się i nie próbuj powiedzieć wszystkiego w jednym zdaniu, a będziesz w błogości.
2. Jeśli planowałeś utalentowaną wypowiedź, ale okazało się, że masz za dużo Zdania podrzędne(zwłaszcza z jednym spójnikiem), wówczas lepiej podzielić wypowiedź na kilka odrębnych zdań lub pominąć jakiś element. „Postanowiliśmy, że on powie Marinie Wasiljewnej, że Katya powie Vicie, że…” – można tak ciągnąć w nieskończoność. Zatrzymaj się w odpowiednim czasie i pamiętaj o osobie, która to przeczyta lub wysłucha.
3. Jednak pułapki kryją się nie tylko w strukturze zdania. Zwróć uwagę na słownictwo. Obcojęzyczne słowa, terminy długie, słowa zaczerpnięte z fikcja XIX wiek - wszystko to tylko skomplikuje percepcję. Musisz sam określić, dla jakiego odbiorcy piszesz tekst: technicy oczywiście znają zarówno trudne terminy, jak i konkretne słowa; ale jeśli zaoferujesz te same słowa nauczycielce literatury, jest mało prawdopodobne, że cię zrozumie.
4. Prezent to świetna sprawa. Jeśli jesteś geniuszem (a nie ma ludzi bez umiejętności), otwiera się przed tobą wiele dróg. Ale dar nie leży w trudnościach, ale w prostocie, niezależnie od tego, jak niezwykłej. Zachowaj prostotę, a Twoje prezenty będą jasne i dostępne dla wszystkich.
Wideo na ten temat
Nawet najtrudniejsze równanie przestaje wyglądać odstraszająco, jeśli sprowadzisz je do postaci, z którą się już spotkałeś. Zwłaszcza prosta metoda, ratuje w każdej sytuacji redukcja wielomianów do postaci standardowej. Jest to punkt wyjścia, od którego można przejść do rozwiązania.
Będziesz potrzebować
- papier
- kolorowe długopisy
Instrukcje
1. Zapamiętaj standardową postać wielomianu, abyś wiedział, co powinieneś otrzymać na końcu. Ważna jest nawet kolejność pisania: członkowie z w większym stopniu. Ponadto zwyczajowo zapisuje się najpierw nieznane, oznaczone literami na początku alfabetu.
2. Zapisz początkowy wielomian i zacznij szukać podobnych terminów. Są to elementy podanego równania, które mają identyczną część literową i/lub część cyfrową. Dla większej przejrzystości zaznacz wykryte pary. Należy pamiętać, że podobieństwo nie oznacza tożsamości - najważniejsze jest to, że jeden członek pary zawiera drugi. Zatem wyrazy xy, xy2z i xyz będą podobne - mają część uniwersalną w postaci iloczynu x i y. To samo dotyczy wyrażeń mocy.
3. Oznacz w różny sposób różnych podobnych członków. Aby to osiągnąć, podkreślaj pojedynczymi, podwójnymi i potrójnymi liniami, kolorem i innymi kształtami linii.
4. Po znalezieniu wszystkich podobnych członków zacznij je łączyć. Aby to zrobić, w wykrytych parach usuń podobne terminy z nawiasów. Nie zapomnij o tym w forma standardowa Wielomian nie ma podobnych wyrazów.
5. Sprawdź, czy w Twoim wpisie pozostały jakieś identyczne elementy. W niektórych przypadkach możesz ponownie mieć podobnych członków. Powtórz operację łączenia ich.
6. Pamiętaj o uzupełnieniu drugich danych wymaganych do zapisania wielomianu w postaci standardowej: cały jego uczestnik musi być przedstawiony jako jednomian w postaci standardowej: na pierwszym miejscu jest czynnik liczbowy, na drugim miejscu zmienna lub zmienne następujące po wskazana kolejność. W tym przypadku pierwszeństwo ma kolejność liter określona alfabetem. Stopnie malejące są brane pod uwagę w drugiej kolejności. Więc, standardowy widok Zapis jednomianowy to 7xy2, natomiast y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 nie spełniają wymagań.
Wideo na ten temat
Nauki matematyczne rozumieją różne projekty, ciągi liczb, zależności między nimi, układanie równań i ich rozwiązywanie. Ten język formalny, które pozwalają na jasne opisanie niemal doskonałych właściwości obiektów rzeczywistych, rozumianych w innych dziedzinach nauki. Jedną z takich konstrukcji jest wielomian.
Instrukcje
1. Wielomian lub wielomian (od greckiego „poly” - wiele i łacińskiego „nomen” - nazwa) - klasa funkcje elementarne algebra klasyczna i geometria algebraiczna. Jest to funkcja jednej zmiennej, która ma postać F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, gdzie c_i to stałe wskaźniki, x to zmienna.
2. Wielomiany są używane w wielu obszarach, w tym w liczbach zerowych, ujemnych i zespolonych, teorii grup, pierścieniach, węzłach, zbiorach itp. Zastosowanie obliczeń wielomianowych znacznie ułatwia wyrażenie właściwości różnych obiektów.
3. Podstawowe definicje wielomianu: Każdy wyraz wielomianu nazywany jest jednomianem lub jednomianem. Wielomian składający się z 2 jednomianów nazywany jest dwumianem lub dwumianem. Współczynniki wielomianowe – rzeczywiste lub Liczby zespolone. Jeśli wiodący wykładnik wynosi 1, wówczas wielomian nazywa się unitarnym (zredukowanym). Potęgi zmiennej w dowolnym jednomianie są liczbami całkowitymi liczby nieujemne, stopień maksymalny określa stopień wielomianu, a jego pełny stopień nazywamy liczbą całkowitą, równa sumie wszystkie stopnie. Jednomian odpowiadający stopień zerowy, nazywany jest członkiem wolnym. Wielomian, którego wszystkie jednomiany są identyczne pełny stopień, nazywa się jednorodnym.
4. Niektóre często używane wielomiany zostały nazwane imieniem naukowca, który je zdefiniował, a także opisał definiowane przez nie funkcje. Powiedzmy, że dwumian Newtona to wzór na rozkład wielomianu dwóch zmiennych na poszczególne wyrazy w celu obliczenia potęg. To są ci słynni program nauczania zapisanie kwadratów sumy i różnicy (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 i kwadraty różnicy (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).
5. Jeśli dopuścimy ujemne stopnie w zapisie wielomianu, otrzymamy wielomian lub szereg Laurenta; Wielomian Czebyszewa jest stosowany w teorii aproksymacji; Wielomian Hermite'a - w teorii prawdopodobieństwa; Lagrange’a – za całkowanie numeryczne i interpolacja; Taylor - przy aproksymacji funkcji itp.
Notatka!
Dwumian Newtona jest często wspominany w książkach („Mistrz i Małgorzata”) i filmach („Stalker”), gdy bohaterowie decydują problemy matematyczne. Ten termin dobrze znany i dlatego uważany za najbardziej znany wielomian.
Wyrażenia są często przekształcane w celu ułatwienia ich używania. W tym celu stosuje się specjalne zależności, a także reguły redukcji i redukcji podobnych.
Będziesz potrzebować
- – operacje na ułamkach;
- – skrócone wzory na mnożenie;
- - kalkulator.
Instrukcje
1. Najprostszą reformą jest wprowadzenie podobnych. Jeśli istnieje kilka wyrazów będących jednomianami o identycznych współczynnikach, można dodać ich wykładnik, biorąc pod uwagę znaki pojawiające się przed tymi wykładnikami. Powiedzmy wyrażenie 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Jeśli identyczne czynniki mają różne stopnie, niedopuszczalne jest łączenie podobnych w podobny sposób. Grupuj tylko te wskaźniki, które mają czynniki o identycznym stopniu. Powiedzmy uprościć wyrażenie 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
3. Jeśli to możliwe, użyj skróconych wzorów na mnożenie. Do szczególnie znanych należą sześcian i kwadrat sumy lub różnicy 2 liczb. Oni reprezentują szczególny przypadek Dwumian Newtona. Skrócone wzory na mnożenie obejmują również różnicę między kwadratami 2 liczb. Powiedzmy, aby odkryć wartości wyrażenia 625-1150+529=(25-23)?=4. Lub 1296-576=(36+24) (36-24)=720.
4. Kiedy dokonać konwersji wyrażenie, który jest ułamkiem naturalnym, oddziel cały licznik i mianownik wspólny mnożnik i skróć przez to licznik i mianownik. Powiedzmy, że skróć ułamek 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Aby to zrobić, przekształć go w postać 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Utnij to wyrażenie przez 3 (a+b) otrzymujesz 1/(4 (a-b)).
5. Transformatorowy wyrażenia trygonometryczne, użyj znanych tożsamości trygonometrycznych. Należą do nich główna tożsamość sin?(x)+cos?(x)=1, a także wzory na styczną i jej związek z kotangensem sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tangens(x) = ctg(x). Wzory na sumę różnicy argumentów, a także wiele argumentów. Powiedzmy, że konwertujemy wyrażenie(cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tan(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) grzech(x)= cos(2x) cos(x) grzech(x) 2/2= cos(2x) grzech(2x)/2=cos(2x) grzech(2x) 2/4= grzech(4x)/4 . Ten wyrażenie dużo łatwiej policzyć.
Procedurę reformowania formuł stosuje się w każdej nauce posługującej się formalnym językiem matematyki. Formuły składają się ze specjalnych symboli połączonych ze sobą według określonych zasad.
Będziesz potrzebować
- Znajomość zasad reformowania tożsamości matematycznej, tabela tożsamości matematycznych.
Instrukcje
1. Zbadaj wyrażenie na obecność ułamków. Licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez to samo wyrażenie, pozbywając się mianownika. Podczas ponownego formatowania równania sprawdź, czy w mianownikach znajdują się jakieś zmienne. Jeśli tak, dodaj warunek, że wyrażenie w mianowniku nie jest równe zero. Wybierz z tego dane nieprawidłowe wartości zmiennych, czyli ograniczeń w dziedzinie definicji.
2. Zastosuj zasady operacji na potęgach dla identycznych podstaw. W efekcie liczba terminów ulegnie zmniejszeniu.
3. Przesuń wyrazy zawierające zmienną na jedną stronę równania, a te, które jej nie zawierają - na drugą. Aby ułatwić sobie zadanie, zastosuj tożsamości matematyczne do każdej części równania.
4. Grupuj terminy jednorodne. Aby to zrobić, wyjmij z nawiasu zmienną uniwersalną, w której zapisz sumę wskaźników, biorąc pod uwagę znaki. Stopień tej samej zmiennej jest traktowany jako inna zmienna.
5. Sprawdź, czy wzór zawiera przykłady identycznych przekształceń wielomianów. Powiedzmy, czy po prawej czy lewej stronie wzoru znajduje się różnica kwadratów, suma kostek, kwadrat różnicy, kwadrat sumy itp. Jeśli tak, zamień odkrytą próbkę na jej uproszczoną analogowo i ponownie spróbuj pogrupować terminy.
6. W przypadku reformy równania trygonometryczne, nierówności czy łatwe wyrażenia, znajdź w nich wzorce tożsamości trygonometryczne i użyj metody zastępowania części wyrażenia identycznym uproszczonym wyrażeniem. Ta reforma pozwala pozbyć się niepotrzebnych sinusów lub cosinusów.
7. Aby przekształcić kąty we wszystkie ogólna perspektywa lub w postaci radianów, użyj wzorów redukcyjnych. Późniejsza reformacja obliczyć wartość podwójny kąt Lub półkąt w zależności od pi.
ROZDZIAŁ IV.
ROZKŁAD WYRAŻEŃ NA PROSTE CZYNNIKI.
§ 1. Zamiana wielomianów na iloczyny bez stosowania skróconych wzorów na mnożenie i dzielenie.
Jeżeli wszystkie wyrazy wielomianu zawierają wspólny czynnik, wówczas można podzielić cały wielomian przez ten współczynnik i oznaczyć pomnożenie tego samego współczynnika przez powstały iloraz wielomianu. Od tego to wyrażenie nie zmieni swojego postępowania wartość ilościowa, ale przybierze formę produktu. Na przykład dwumian ab+ak można przedstawić w postaci A (b+c ).
Ta transformacja formy nazywa się wyciąganiem wspólnego czynnika z nawiasów. Wykonując tę czynność, należy uważać, aby ująć w nawiasy wszystko, co jest możliwe, tak aby w wyrażeniu ilorazu zawartego w nawiasach nie pozostał żaden wspólny czynnik.
Czasami po wyjęciu z nawiasów do ogólnego terminu podaje się znak minus. W tym przypadku członkowie ilorazu w nawiasach są zapisane znakami przeciwnymi do tych, które członkowie mieli przed sobą dany wielomian. Znak negatywny wspólny czynnik dotyczy całego produktu. Na przykład dwumian - ab+ak można przedstawić jako (- A )(pne ), a zamiast tego piszą - A (pne ), a minus nie dotyczy już jednego czynnika A , ale do całego dzieła.
Kiedy elementy wielomianu nie mają wspólnego czynnika, czasami po pomyślnym zgrupowaniu elementów w kilka grup zawierających po kilka elementów w każdej grupie, w tych utworzonych grupach znajduje się wspólny, a ponadto wielomianowy czynnik. Często dla takiego grupowania wystarczy ująć kilka członków w nawiasy ze znakiem + lub -.
Na przykład mając wyrażenie trzyterminowe A (B +Z )+b+c załączamy dwa ostatnie wyrazy w nawiasach z plusem i znajdujemy wyrażenie A (B +Z )+(b+c ), co można uznać za dwumian i które przekształca się w iloczyn ( A +1 )(b+c ).
Podobnie w wyrażeniu A (pne )-b+c dwa ostatnie wyrazy zamykamy w nawiasach z minusem, co powoduje, że wyrażenie przyjmuje formę A (pne )-(pne ), a następnie przekształcony w produkt ( A - 1 )(pne ).
W większości przypadków spotykanych w praktyce, aby znaleźć wspólny czynnik wielomianu, wymagane jest nie tylko połączenie wyrazów danego wielomianu w grupy, ale także wyprowadzenie w tych grupach wspólnego, innego dla każdej współczynnika jednomianu. grupy. Przy pomyślnym wyborze grup i pod obowiązkowym warunkiem usunięcia wszystkiego, co jest możliwe, łatwo jest znaleźć wspólny czynnik całego danego wielomianu.
Na przykład posiadanie wielomianu A 3 +a 2 B +2ok 2 +2B 3 , łączymy dwa pierwsze terminy w jedną grupę, a dwa ostatnie w drugą i umieszczamy je w nawiasach w pierwszej grupie A 2 i w drugim 2B 2 ; dostajemy A 2 (a+b )+ 2B 2 (a+b ) Lub ( a+b )(A 2 +2B 2 ). Ten sam wynik można osiągnąć, usuwając czynnik w pierwszym i trzecim wyrazie A , a w drugim i czwartym mnożnik B .
Podobnie łączenie w wielomian 3A 3 - 3A 2 B-ok 2 +B 3 pierwszy wyraz z trzecim, drugi z czwartym i wyjęcie mnożnika z pierwszej grupy A , a w drugim czynniku - B, odbierać A (3A 2 -B 2 )-B (3A 2 -B 2 ) Lub ( a-b )(3A 2 -B 2 ). Ten sam wynik uzyskalibyśmy, gdyby pierwsze dwa wyrazy wyjęto z nawiasów 3A 2 i z dwóch ostatnich -B 2 .
Należy zauważyć, że przekształcenia tego rodzaju są bardzo różnorodne, szczególnie w połączeniu z innymi operacjami algebraicznymi. Nie da się zatem podać ogólnych i całkowicie zdefiniowanych reguł tych przekształceń; Umiejętność w nich można nabyć jedynie poprzez dokładne i metodyczne ćwiczenia.
Czasami przed zgrupowaniem wyrazów wielomianu w celu uzyskania w nim współczynnika wielomianu konieczne jest rozwinięcie niektórych wyrazów na suma algebraiczna nowych członków podobnych do rozkładających się. W tym przypadku części rozszerzonych terminów są pogrupowane jako różne grupy. Zastosujmy metodę rozwinięcia do transformacji wyrażeń trójczłonowych.
Aby przekonwertować trójmian X 2 +5X+6 , rozszerzamy to określenie 5 X do sumy członków 2 X I 3 X . W ten sposób otrzymujemy:
X 2 +5X+6 = X 2 +2x+ 3 X +6 = X (X +2 )+3 (X +2 )==(X +2 )(X +3 ).
Aby przekonwertować trójmian X 2 +2X -15 , rozszerzamy termin + 2X w sumie członków + 5X I - 3X Znajdźmy:
X 2 +2X -15 = X 2 +5X - 3X -15 = X (X +5 )-3 (X +5 )==(X -3 )(X +5 ).
Istnieje ogólna zasada wskazująca, kiedy trójmian tej postaci można przekształcić w iloczyn i jak przeprowadzić takie przekształcenie. Aby wyprowadzić i zrozumieć tę regułę, wystarczy rozwinąć cztery typy trójmianu X 2 ± ( a+b )X +ok I X 2 ± ( a-b )X -ab , biorąc każdy z nich osobno i rozpoczynając transformację od otwarcia nawiasów. Następnie okazuje się, że te trójmiany, których pierwszy współczynnik przy X 2 jest jeden, drugi współczynnik przy X co chcesz, ale trzeci współczynnik lub termin, który nie zawiera X jest iloczynem algebraicznym tych właśnie wielkości, na które suma algebraiczna rozkłada się drugi współczynnik. Zatem w trójmianie X 2 +5X+6 współczynnik 5 jest sumą liczb 3 I 2 , A 6 jest iloczynem tych samych liczb w trójmianu X 2 +2X -15 współczynnik - 2 jest sumą ilości - 5 i + 3 , A - 15 jest produktem tych samych ilości. Aby przekształcić trójmian, gdy jest to możliwe, należy użyć znaków i wartości liczbowych trzeciego i drugiego współczynnika, aby znaleźć sposób na rozłożenie trzeciego współczynnika na iloczyn dwóch wielkości, a drugiego na sumę takie same ilości. Spójrzmy na kilka przykładów:
Niech na przykład zostanie podany trójkąt X 2 -11X+24 . Ponieważ współczynnik 24 jest dodatni, to wymagani jego producenci muszą mieć te same znaki. Sądząc po tym, że drugi współczynnik to 11 ujemne, widzimy, że ci producenci współczynników 24 lub współczynniki - 11 oba są negatywne. Wreszcie rozkład 24 przez dwa ujemny mnożnik i porównując ich sumę z - 11 , upewnijmy się, że aby przekształcić trójmian w iloczyn, musimy rozwinąć przeciętny członek - 11 X na członków - 3 X I - 8 X.
Załóżmy również, że dany jest trójmian X 2 - 7X-30 . Tutaj jest współczynnik 30 negatywny; dlatego producenci to mają różne znaki. Współczynnik -7 negatywny; W związku z tym przy tworzeniu go przez dodanie pierwszeństwo ma wyraz ujemny, który w ten sposób ma większą wartość liczbową. Dlatego członkiem jest 7X należy podzielić na członków - 10X I +3X.
Trójmiany, których pierwszy współczynnik nie jest jednością, również są często przekształcane w iloczyn. Dla takich przekształceń nie będziemy teraz wskazywać główna zasada, którego wniosek wymaga bardziej złożonego rozumowania.
Opracowując omówioną powyżej metodę przekształcania trójmianów w iloczyn, możemy rozwinąć wielomiany wyższe stopnie w tych przypadkach, gdy reprezentują iloczyny najprostszych dwumianów pierwszego stopnia. Aby uprościć takie przekształcenia, warto wyjaśnić następującą uwagę: załóżmy, że dowolny wielomian zawiera jako czynnik jakiś dwumian x + a . Od tego dwumianu przy wymianie X Poprzez - A , znika, a następnie wielomian zawierający x+a mnożnik również musi zniknąć wraz z tą zamianą. Podobnie, jeśli wielomian zawiera dwumian jako współczynnik Ha , który znika po wymianie X Poprzez A, wówczas sam wielomian znika po tej samej zamianie. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli wielomian zawierający różne stopnie X , znika po wymianie X Poprzez - A lub przez A , to prawdopodobnie dzieli się w pierwszym przypadku na x+a , a w drugim dalej Ha , ponieważ zanik wielomianu pod jednym ze wskazanych podstawień można wytłumaczyć jedynie faktem, że wielomian zawiera odpowiedni współczynnik dwumianu. Powyższe uwagi pozwalają w prosty sposób odkryć współczynnik dwumianu w wielomianie, a następnie czynnik ten można ująć w nawiasy, rozkładając wyrazy środkowe wielomianu na sumy algebraiczne.
Weźmy na przykład wielomian X 3 +6X 2 +11X+6 . Znika po wymianie X Poprzez - 1 i dlatego dzieli się na X +1. Znając ten współczynnik wcześniej, ułatwiamy sobie dekompozycję wyrazów na sumy, wybierając dla każdego wyrazu, zaczynając od najwyższego, część kolejnego wyrazu tak, aby para zgrupowanych wyrazów zawierała czynnik X +1 . Dlatego transformację przeprowadza się w następujący sposób:
X
3
+6X 2 +11X+6
= X
3
+X
2
+5X
2
+5X+6X+6
= X
2
(X
+1
)+ 5X
(X
+1
)+ 6
(X
+1
)= (X
+1
)(X
2
+5X
+6
) =
= (X
+1
)(X
+2
)(X
+3
)
Podobnie zauważamy, że wielomian X 3 -4X 2 -11X+30 przy wymianie spada do zera X Poprzez 2 i dlatego dzieli się na X- 2 . Dlatego wykonujemy transformację w następujący sposób:
X
3
-4X 2 -11X+30
= X
3
-2X 2 -2X
2
+4X-15X+30
= X
2
(X
-2
) -2X(X-2)-15
(X
-2
)=
=(X
-2
)(X
2
-2X
-15
)=(X
-2
)(X
+3
)(X
-5
).
Wstępny dobór mnożnika ułatwia fakt, że do wielomianu należy podstawić tylko te wielkości wartość numeryczna który jest uwzględniany jako współczynnik w ostatnim członie wielomianu. Ujawnia się to, rozważając wyrażenie wielomianu forma ogólna Pracuje ( X +A )(X +B )(X +C ) . Ostatni wyraz tego wielomianu to ABC.
