Kalkulator internetowy.
Izolowanie kwadratu dwumianu i rozkładanie na czynniki kwadratowego trójmianu.

Ten program matematyczny odróżnia dwumian kwadratowy od trójmianu kwadratowego, tj. wykonuje transformację typu:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) i rozkłada na czynniki trójmian kwadratowy : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Te. problemy sprowadzają się do znalezienia liczb \(p, q\) i \(n, m\)

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniach do testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz przeprowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie. młodsi bracia czy sióstr, wzrasta natomiast poziom wykształcenia w zakresie rozwiązywanych problemów.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania trójmianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Ponadto, liczby ułamkowe można wprowadzić nie tylko jako ułamek dziesiętny, ale także jako ułamek zwykły.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych frakcja można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Możesz na przykład wejść miejsca dziesiętne w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wejściu ułamek liczbowy Licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5x +1/7x^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Przykład szczegółowe rozwiązanie

Izolowanie kwadratu dwumianu.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\lewo(x+\frac(1)(2) \prawo)^2-\frac(9)(2) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2\lewo(x+\frac(1)(2) \prawo)^2-\frac(9)(2) $$ Faktoryzacja.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lewo(x^2+x-2 \prawo) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2 \lewo(x -1 \prawo) \lewo(x +2 \prawo) $$

Decydować

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Izolowanie kwadratu dwumianu od kwadratowego trójmianu

Jeśli kwadratowa oś trójmianu 2 +bx+c jest przedstawiona jako a(x+p) 2 +q, gdzie p i q są liczby rzeczywiste, to mówią, że od kwadratowy trójmian, kwadrat dwumianu jest podświetlony.

Z trójmianu 2x 2 +12x+14 wyodrębniamy kwadrat dwumianu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Aby to zrobić, wyobraź sobie 6x jako iloczyn 2*3*x, a następnie dodaj i odejmij 3 2. Otrzymujemy:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. My wyodrębnij dwumian kwadratowy z trójmianu kwadratowego i pokazał, że:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Jeżeli kwadratową oś trójmianu 2 +bx+c przedstawimy w postaci a(x+n)(x+m), gdzie n i m są liczbami rzeczywistymi, to mówimy, że operacja została wykonana faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Pokażmy na przykładzie, jak odbywa się ta transformacja.

Rozłóżmy na czynniki trójmian kwadratowy 2x2 +4x-6.

Weźmy współczynnik a z nawiasów, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Przekształćmy wyrażenie w nawiasach.
Aby to zrobić, wyobraź sobie 2x jako różnicę 3x-1x i -3 jako -1*3. Otrzymujemy:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. My rozłożył na czynniki trójmian kwadratowy i pokazał, że:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Należy zauważyć, że rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego jest możliwy tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe odpowiadające temu trójmianowi ma pierwiastki.
Te. w naszym przypadku możliwe jest rozłożenie na czynniki trójmianu 2x 2 +4x-6, jeśli równanie kwadratowe 2x 2 +4x-6 =0 ma pierwiastki. W procesie faktoryzacji ustaliliśmy, że równanie 2x 2 + 4x-6 = 0 ma dwa pierwiastki 1 i -3, ponieważ przy tych wartościach równanie 2(x-1)(x+3)=0 zamienia się w prawdziwą równość.

Książki (podręczniki) Streszczenia Jednolitego Egzaminu Państwowego i Jednolitego Państwowego Egzaminu Testy online Gry, łamigłówki Rysowanie wykresów funkcji Słownik pisowni języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog średnich instytucji edukacyjnych Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań

Definicja

Wyrażenia postaci 2 x 2 + 3 x + 5 nazywane są trójmianami kwadratowymi. W przypadek ogólny trójmian kwadratowy jest wyrażeniem postaci a x 2 + b x + c, gdzie a, b, c a, b, c - dowolne liczby i a ≠ 0.

Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - 4 x + 5. Zapiszmy to w następującej formie: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Dodajmy 2 2 do tego wyrażenia i odejmijmy 2 2, otrzymamy: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Zauważ, że x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, więc x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformacja, której dokonaliśmy, nazywa się „izolowanie doskonałego kwadratu od trójmianu kwadratowego”.

Atrakcja idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego 9 x 2 + 3 x + 1.

Zauważ, że 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Następnie `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Do otrzymanego wyrażenia dodaj i odejmij `(1/2)^2` i otrzymaj

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Pokażemy, jak metoda wyodrębniania kwadratu doskonałego z trójmianu kwadratowego jest wykorzystywana do rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego.

Uwzględnij trójmian kwadratowy 4 x 2 - 12 x + 5.

Wybieramy idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Teraz stosujemy wzór a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , otrzymujemy: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Uwzględnij trójmian kwadratowy - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Teraz zauważamy, że 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Do wyrażenia 9 x 2 - 12 x dodajemy wyraz 2 2 i otrzymujemy:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów i mamy:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Rozłóż na czynniki trójmian kwadratowy 3 x 2 - 14 x - 5 .

Nie możemy przedstawić wyrażenia 3 x 2 jako kwadratu jakiegoś wyrażenia, ponieważ nie uczyliśmy się tego jeszcze w szkole. Przejdziesz przez to później, a w Zadaniu nr 4 będziemy się uczyć pierwiastki kwadratowe. Pokażmy, jak można rozłożyć na czynniki dany trójmian kwadratowy:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Pokażemy Ci, jak zastosować metodę idealnych kwadratów, aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego.
Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - x + 3. Wybierz cały kwadrat:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Zauważ, że gdy `x=1/2` wartość trójmianu kwadratowego wynosi `11/4`, a gdy `x!=1/2` dodaje się wartość `11/4` Liczba dodatnia, więc otrzymujemy liczbę większą niż `11/4`. Zatem, najmniejsza wartość trójmian kwadratowy wynosi „11/4” i jest uzyskiwany, gdy „x=1/2”.

Znajdź największą wartość trójmianu kwadratowego - 16 2 + 8 x + 6.

Wybieramy idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Gdy `x=1/4` wartość trójmianu kwadratowego wynosi 7, a gdy `x!=1/4` od liczby 7 odejmuje się liczbę dodatnią, czyli otrzymujemy liczbę mniejszą niż 7. Zatem liczba 7 jest najwyższa wartość trójmian kwadratowy i otrzymuje się go, gdy `x=1/4`.

Rozłóż licznik i mianownik ułamka `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` i skróć ułamek.

Zauważ, że mianownik ułamka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Rozłóżmy licznik ułamka na czynniki, stosując metodę izolowania pełnego kwadratu od trójmianu kwadratowego. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ten ułamek doprowadziło do postaci `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po redukcji przez (x - 3) otrzymujemy `(x+5)/(x-3)`.

Rozłóż wielomian na czynniki x 4 - 13 x 2 + 36.

Zastosujmy metodę izolowania pełnego kwadratu do tego wielomianu. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

dzwonił x

1.2.3. Używanie skróconych tożsamości mnożenia

Przykład. Współczynnik x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Rozkładanie wielomianu na czynniki na podstawie jego pierwiastków

Twierdzenie. Niech wielomian P x ma pierwiastek x 1 . Następnie wielomian ten można rozłożyć na czynniki w następujący sposób: P x x x 1 S x , gdzie S x jest wielomianem, którego stopień jest o jeden mniejszy

wartości na przemian w wyrażeniu na P x. Otrzymujemy to, gdy x 2-

wyrażenie zmieni się na 0, to znaczy P 2 0, co oznacza, że ​​x 2 jest pierwiastkiem wielo-

członek. Podziel wielomian P x przez x 2 .

X 3 3x 2 10x 24
32x2	24 10x	x2 x12

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Wybór całego kwadratu

Metoda wyboru pełnego kwadratu opiera się na zastosowaniu wzorów: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Wyodrębnianie pełnego kwadratu jest transformacją tożsamości, w której dany trójmian jest reprezentowany jako a b 2 suma lub różnica kwadratu dwumianu i jakiegoś wyrażenia numerycznego lub alfabetycznego.

Trójmian kwadratowy względem zmienny rozmiar istnieje wyraz formy

topór 2 bx c , gdzie a, b i c – podane liczby i 0.

Przekształćmy kwadratową oś trójmianu 2 bx c w następujący sposób.

x2:

współczynnik

Następnie reprezentujemy wyrażenie b x jako 2b x (dwukrotność iloczynu

x): a x

Do wyrażenia w nawiasie dodajemy i odejmujemy od niego liczbę

który jest kwadratem liczby

W rezultacie otrzymujemy:

Zauważam to teraz

Dostajemy

4a 2

Przykład. Wybierz cały kwadrat.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x1 15

2x12 7.

4 za 2,

1.4. Wielomiany w kilku zmiennych

Wielomiany w kilku zmiennych, podobnie jak wielomiany w jednej zmiennej, można dodawać, mnożyć i podnosić do potęgi naturalnej.

Ważny identyczna transformacja wielomian kilku zmiennych to faktoryzacja. Stosowane są tutaj takie metody faktoryzacji jak usuwanie wspólny mnożnik poza nawiasami, grupowanie, stosowanie skróconych tożsamości mnożenia, podkreślanie całego kwadratu, wprowadzanie zmiennych pomocniczych.

1. Rozłóż na czynniki wielomian P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Współczynnik P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Zastosujmy metodę grupowania

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Współczynnik P x ,y x 4 4y 4 . Wybierzmy cały kwadrat:

x 4 lata 4x 44 x 2 lata 24 lata 24 x 2 lata 2x 22 lata 2 2 4 x 2 lata 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1,5. Właściwości stopnia z dowolnym wykładnikiem wymiernym

Stopień z dowolnym racjonalny wskaźnik ma następujące właściwości:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	za r 1a r 2a r 1r 2,
3. za r 1r 2 za r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1,
	a r 1				ar 1
					br 1

gdzie a 0;b 0;r 1;r 2 są dowolnymi liczbami wymiernymi.

1. Pomnóż 8

x 3 12 x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Rozłóż na czynniki

2x 3

1.6. Ćwiczenia do samodzielnego wykonania

1. Wykonuj czynności, korzystając ze skróconych wzorów mnożenia. 1) 52;

2) 3 do 72;

3) nb n2 .

4) 1x3 ;

	3 lata 3;

7) 8 za 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Oblicz, używając skróconych tożsamości mnożenia:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Udowodnij tożsamość:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) za 2b 2 2 2 ab 2 za 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Rozłóż na czynniki następujące wielomiany:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 topór 38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 za 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 osi 3 45 osi 2 45 osi 15 a ;

15) 9 za 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27 t 6 .

5. Oblicz najprościej:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Znajdź iloraz i resztę wielomianu P x wielomianemQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Qxx3 2x2x; 3) P x x 6 1; Qxx4 4x2 .

7. Udowodnić, że wielomian x 2 2x 2 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

8. Znajdź pierwiastki wielomianu:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. Czynnik:

1) 6 za 2 za 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Rozwiązuj równania, wyodrębniając cały kwadrat:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Znajdź znaczenie wyrażeń:

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Oblicz:

16 0,25

16 0,25