Liczby ujemne. Znajdź ułamki zwykłe wśród podanych liczb

Liczby ujemne to liczby ze znakiem minus (-), na przykład −1, −2, −3. Brzmi jak: minus jeden, minus dwa, minus trzy.

Przykład zastosowania liczby ujemne to termometr pokazujący temperaturę ciała, powietrza, gleby lub wody. Zimą, gdy na zewnątrz jest bardzo zimno, temperatura może być ujemna (lub, jak mówią, „minus”).

Na przykład -10 stopni zimna:

Zwykłe liczby, które oglądaliśmy wcześniej, takie jak 1, 2, 3, nazywane są dodatnimi. Liczby dodatnie to liczby ze znakiem plus (+).

Podczas zapisywania liczb dodatnich nie zapisuje się znaku +, dlatego widzimy znane nam liczby 1, 2, 3. Pamiętajmy jednak, że te liczby dodatnie wyglądają tak: +1, +2 , +3.

Treść lekcji

Jest to linia prosta, na której znajdują się wszystkie liczby: zarówno ujemne, jak i dodatnie. Następująco:

Pokazane tutaj liczby mieszczą się w przedziale od -5 do 5. W rzeczywistości oś współrzędnych jest nieskończona. Na rysunku przedstawiono jedynie niewielki jego fragment.

Liczby na osi współrzędnych są oznaczone kropkami. Na rysunku początek stanowi gruba czarna kropka. Odliczanie zaczyna się od zera. Liczby ujemne są zaznaczone po lewej stronie początku, a liczby dodatnie po prawej stronie.

Linia współrzędnych biegnie w nieskończoność po obu stronach. Nieskończoność w matematyce jest symbolizowana przez symbol ∞. Kierunek ujemny będzie oznaczony symbolem −∞, a kierunek dodatni symbolem +∞. Wtedy możemy powiedzieć, że wszystkie liczby od minus nieskończoności do plus nieskończoności znajdują się na osi współrzędnych:

Każdy punkt na linii współrzędnych ma swoją nazwę i współrzędną. Nazwa to dowolna litera łacińska. Koordynować to liczba określająca położenie punktu na tej prostej. Mówiąc najprościej, współrzędna to właśnie liczba, którą chcemy zaznaczyć na linii współrzędnych.

Na przykład punkt A(2) brzmi: „punkt A o współrzędnej 2” i będzie oznaczone na linii współrzędnych w następujący sposób:

Tutaj A to nazwa punktu, 2 to współrzędna punktu A.

Przykład 2. Punkt B(4) brzmi: „punkt B o współrzędnej 4”

Tutaj B to nazwa punktu, 4 to współrzędna punktu B.

Przykład 3. Punkt M(−3) brzmi: „punkt M o współrzędnej minus trzy” i będzie oznaczone na linii współrzędnych w następujący sposób:

Tutaj M to nazwa punktu, -3 to współrzędna punktu M .

Punkty mogą być oznaczone dowolnymi literami. Ale ogólnie przyjmuje się, że oznacza się je wielkimi literami łacińskimi. Co więcej, początek raportu, który jest nazywany inaczej pochodzenie zwykle oznaczane wielką łacińską literą O

Łatwo zauważyć, że liczby ujemne leżą po lewej stronie względem początku, a liczby dodatnie po prawej stronie.

Są takie zwroty jak „im dalej w lewo, tym mniej” I „im dalej w prawo, tym bardziej”. Pewnie już się domyślacie, o czym mówimy. Z każdym krokiem w lewo liczba będzie się zmniejszać. Z każdym krokiem w prawo liczba będzie rosła. Strzałka skierowana w prawo wskazuje dodatni kierunek odniesienia.

Porównywanie liczb ujemnych i dodatnich

Zasada nr 1. Każda liczba ujemna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba dodatnia.

Na przykład porównajmy dwie liczby: −5 i 3. Minus pięć mniej niż trzy, mimo że pięć rzuca się w oczy przede wszystkim jako liczba większa od trzech.

Wynika to z faktu, że -5 jest liczbą ujemną, a 3 jest liczbą dodatnią. Na linii współrzędnych możesz zobaczyć, gdzie znajdują się liczby -5 i 3

Można zauważyć, że −5 leży po lewej stronie, a 3 po prawej stronie. I to powiedzieliśmy „im dalej w lewo, tym mniej” . A reguła mówi, że każda liczba ujemna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba dodatnia. Wynika, że

−5 < 3

„Minus pięć to mniej niż trzy”

Zasada 2. Z dwóch liczb ujemnych ta, która znajduje się po lewej stronie osi współrzędnych, jest mniejsza.

Na przykład porównajmy liczby -4 i -1. Minus cztery mniej, niż minus jeden.

Dzieje się tak ponownie dlatego, że na linii współrzędnych −4 znajduje się po lewej stronie niż −1

Można zauważyć, że −4 leży po lewej stronie, a −1 po prawej stronie. I to powiedzieliśmy „im dalej w lewo, tym mniej” . A reguła mówi, że z dwóch liczb ujemnych ta, która znajduje się po lewej stronie osi współrzędnych, jest mniejsza. Wynika, że

Minus cztery to mniej niż minus jeden

Zasada 3. Zero jest większe niż jakakolwiek liczba ujemna.

Na przykład porównajmy 0 i -3. Zero więcej niż minus trzy. Wynika to z faktu, że na linii współrzędnych 0 znajduje się bardziej na prawo niż -3

Można zauważyć, że 0 leży po prawej stronie, a -3 po lewej stronie. I to powiedzieliśmy „im dalej w prawo, tym bardziej” . A reguła mówi, że zero jest większe niż jakakolwiek liczba ujemna. Wynika, że

Zero jest większe niż minus trzy

Zasada 4. Zero jest mniejsze niż jakakolwiek liczba dodatnia.

Na przykład porównajmy 0 i 4. Zero mniej, niż 4. Jest to w zasadzie jasne i prawdziwe. Ale spróbujemy to zobaczyć na własne oczy, ponownie na linii współrzędnych:

Można zauważyć, że na linii współrzędnych 0 znajduje się po lewej stronie, a 4 po prawej stronie. I to powiedzieliśmy „im dalej w lewo, tym mniej” . A reguła mówi, że zero jest mniejsze niż jakakolwiek liczba dodatnia. Wynika, że

Zero jest mniejsze niż cztery

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Liczby dodatnie i ujemne
Linia współrzędnych
Chodźmy prosto. Zaznaczmy na nim punkt 0 (zero) i przyjmijmy ten punkt jako punkt wyjścia.

Wskazujemy strzałką kierunek ruchu w linii prostej w prawo od początku współrzędnych. W tym kierunku od punktu 0 będziemy rysować liczby dodatnie.

Oznacza to, że liczby, które są już nam znane, z wyjątkiem zera, nazywane są dodatnimi.

Czasami liczby dodatnie są zapisywane ze znakiem „+”. Na przykład „+8”.

Dla uproszczenia znak „+” przed liczbą dodatnią jest zwykle pomijany i zamiast „+8” wpisuje się po prostu 8.

Dlatego „+3” i „3” to ta sama liczba, tylko inaczej oznaczona.

Wybierzmy jakiś odcinek, którego długość przyjmiemy jako jeden i przesuńmy go kilka razy w prawo od punktu 0. Na końcu pierwszego odcinka zapisana jest cyfra 1, na końcu drugiego - liczba 2 itd.

Umieszczając segment jednostkowy na lewo od początku układu współrzędnych otrzymujemy liczby ujemne: -1; -2; itp.

Liczby ujemne służy do oznaczania różnych wielkości, takich jak: temperatura (poniżej zera), przepływ – czyli dochód ujemny, głębokość – wysokość ujemna i inne.

Jak widać na rysunku, liczby ujemne to liczby już nam znane, tylko ze znakiem minus: -8; -5,25 itd.

• Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Oś liczbowa jest zwykle ustawiona poziomo lub pionowo.

Jeśli linia współrzędnych jest położona pionowo, wówczas kierunek od początku układu współrzędnych w górę jest zwykle uważany za dodatni, a kierunek od początku w dół za ujemny.

Strzałka wskazuje kierunek dodatni.

Linia prosta oznaczona:
. początek (punkt 0);
. segment jednostkowy;
. strzałka wskazuje kierunek dodatni;
zwany linia współrzędnych lub oś liczbowa.

Liczby przeciwne na linii współrzędnych
Zaznaczmy na osi współrzędnych dwa punkty A i B, które znajdują się w tej samej odległości od punktu 0 odpowiednio po prawej i lewej stronie.

W tym przypadku długości odcinków OA i OB są takie same.

Oznacza to, że współrzędne punktów A i B różnią się jedynie znakiem.


Mówi się również, że punkty A i B są symetryczne względem początku.
Współrzędna punktu A jest dodatnia „+2”, współrzędna punktu B ma znak minus „-2”.
A (+2), B (-2).

• Liczby różniące się tylko znakiem nazywane są liczbami przeciwnymi. Odpowiednie punkty osi numerycznej (współrzędnych) są symetryczne względem początku.

Każdy numer ma tylko jedną liczbę przeciwną. Tylko liczba 0 nie ma przeciwieństwa, ale można powiedzieć, że jest przeciwieństwem samej siebie.

Zapis „-a” oznacza liczbę przeciwną do „a”. Pamiętaj, że litera może ukrywać liczbę dodatnią lub ujemną.

Przykład:
-3 jest liczbą przeciwną 3.

Zapisujemy to jako wyrażenie:
-3 = -(+3)

Przykład:
-(-6) jest liczbą przeciwną do liczby ujemnej -6. Zatem -(-6) jest liczbą dodatnią 6.

Zapisujemy to jako wyrażenie:
-(-6) = 6

Dodawanie liczb ujemnych
Dodawanie liczb dodatnich i ujemnych można analizować za pomocą osi liczbowej.

Wygodnie jest wykonać dodawanie małych liczb modulo na linii współrzędnych, wyobrażając sobie w myślach, jak punkt oznaczający liczbę porusza się wzdłuż osi liczb.

Weźmy jakąś liczbę, na przykład 3. Oznaczmy ją na osi liczbowej punktem A.

Dodajmy do tej liczby liczbę dodatnią 2. Będzie to oznaczać, że punkt A należy przesunąć o dwa segmenty jednostkowe w kierunku dodatnim, czyli w prawo. W rezultacie otrzymujemy punkt B o współrzędnej 5.
3 + (+ 2) = 5

Aby dodać liczbę ujemną (- 5) do liczby dodatniej, na przykład 3, punkt A należy przesunąć o 5 jednostek długości w kierunku ujemnym, czyli w lewo.

W tym przypadku współrzędna punktu B wynosi - 2.

Zatem kolejność dodawania liczb wymiernych za pomocą osi liczbowej będzie następująca:
. zaznacz punkt A na linii współrzędnych o współrzędnej równej pierwszemu wyrazowi;
. przesuń go o odległość równą modułowi drugiego członu w kierunku odpowiadającym znakowi przed drugą liczbą (plus - przesuń w prawo, minus - w lewo);
. uzyskany na osi punkt B będzie miał współrzędną równą sumie tych liczb.

Przykład.
- 2 + (- 6) =

Przechodząc od punktu - 2 w lewo (ponieważ przed 6 znajduje się znak minus), otrzymujemy - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Dodawanie liczb o tych samych znakach
Dodawanie liczb wymiernych może być łatwiejsze, jeśli użyjesz koncepcji modułu.

Musimy dodać liczby, które mają te same znaki.
Aby to zrobić, odrzucamy znaki liczb i bierzemy moduły tych liczb. Dodajmy moduły i postawmy znak przed sumą wspólną dla tych liczb.

Przykład.

Przykład dodawania liczb ujemnych.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Aby dodać liczby tego samego znaku, należy dodać ich moduły i umieścić przed sumą znak, który był przed wyrazami.

Dodawanie liczb z różnymi znakami
Jeśli liczby mają różne znaki, to postępujemy nieco inaczej niż przy dodawaniu liczb o tych samych znakach.
. Odrzucamy znaki przed liczbami, to znaczy bierzemy ich moduły.
. Od większego modułu odejmujemy mniejszy.
. Przed różnicą stawiamy znak, który był w liczbie z większym modułem.

Przykład dodania liczby ujemnej i dodatniej.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Przykład dodawania liczb mieszanych.

Aby dodać numery różnych znaków, potrzebujesz:
. odejmij mniejszy moduł od większego modułu;
. Przed powstałą różnicą postaw znak liczby o większym module.

Odejmowanie liczb ujemnych
Jak wiadomo odejmowanie jest przeciwieństwem dodawania.
Jeśli a i b są liczbami dodatnimi, to odejmowanie liczby b od liczby a oznacza znalezienie liczby c, która po dodaniu do liczby b daje liczbę a.
a - b = c lub c + b = a

Definicja odejmowania dotyczy wszystkich liczb wymiernych. To jest odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych można zastąpić dodatkiem.

• Aby odjąć inną liczbę od jednej liczby, należy dodać liczbę przeciwną do odejmowanej.

Lub w inny sposób możemy powiedzieć, że odejmowanie liczby b jest tym samym, co dodawanie, ale z liczbą przeciwną do b.
a - b = a + (- b)

Przykład.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Przykład.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Warto zapamiętać poniższe wyrażenia.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Zasady odejmowania liczb ujemnych
Jak widać z powyższych przykładów, odejmowanie liczby b jest dodawaniem do liczby przeciwnej do b.
Zasada ta obowiązuje nie tylko przy odejmowaniu mniejszej liczby od większej, ale także pozwala odjąć większą liczbę od mniejszej, czyli zawsze można znaleźć różnicę dwóch liczb.

Różnica może być liczbą dodatnią, liczbą ujemną lub liczbą zerową.

Przykłady odejmowania liczb ujemnych i dodatnich.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Wygodnie jest pamiętać o zasadzie znaku, która pozwala zmniejszyć liczbę nawiasów.
Znak plus nie zmienia znaku liczby, więc jeśli przed nawiasem znajduje się plus, znak w nawiasie nie ulega zmianie.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Znak minus przed nawiasami odwraca znak liczby w nawiasach.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Z równości jasno wynika, że ​​jeśli przed i w nawiasie znajdują się identyczne znaki, to otrzymujemy „+”, a jeśli znaki są różne, to otrzymujemy „-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Zasada znaków obowiązuje również wtedy, gdy nawiasy zawierają nie tylko jedną liczbę, ale algebraiczną sumę liczb.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - do + re - k + n

Należy pamiętać, że jeśli w nawiasach znajduje się kilka liczb, a przed nawiasami znajduje się znak minus, wówczas znaki przed wszystkimi liczbami w tych nawiasach muszą się zmienić.

Aby zapamiętać zasadę znaków, możesz utworzyć tabelę do określania znaków liczby.
Zasada znaku dla liczb

Lub naucz się prostej zasady.

• Dwa przeczenia dają odpowiedź twierdzącą,
• Plus razy minus równa się minus.

Mnożenie liczb ujemnych
Korzystając z pojęcia modułu liczby, formułujemy zasady mnożenia liczb dodatnich i ujemnych.

Mnożenie liczb o tych samych znakach
Pierwszym przypadkiem, z jakim możesz się spotkać, jest mnożenie liczb o tych samych znakach.
Aby pomnożyć dwie liczby o tych samych znakach:
. pomnóż moduły liczb;
. umieść znak „+” przed otrzymanym iloczynem (wpisując odpowiedź, znak „plus” przed pierwszą cyfrą po lewej stronie można pominąć).

Przykłady mnożenia liczb ujemnych i dodatnich.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Mnożenie liczb o różnych znakach
Drugim możliwym przypadkiem jest mnożenie liczb o różnych znakach.
Aby pomnożyć dwie liczby o różnych znakach:
. pomnóż moduły liczb;
. Umieść znak „-” przed powstałą pracą.
Przykłady mnożenia liczb ujemnych i dodatnich.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Zasady znaków mnożenia
Zapamiętanie zasady znaku przy mnożeniu jest bardzo proste. Zasada ta pokrywa się z zasadą otwierania nawiasów.

• Dwa przeczenia dają odpowiedź twierdzącą,
• Plus razy minus równa się minus.

W „długich” przykładach, w których występuje tylko akcja mnożenia, znak iloczynu można określić na podstawie liczby czynników ujemnych.

Na nawet liczba czynników negatywnych, wynik będzie pozytywny, iz dziwne ilość - ujemna.
Przykład.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

W tym przykładzie jest pięć czynników negatywnych. Oznacza to, że znakiem wyniku będzie „minus”.
Obliczmy teraz iloczyn modułów, nie zwracając uwagi na znaki.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Końcowym wynikiem mnożenia pierwotnych liczb będzie:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Mnożenie przez zero i jeden
Jeżeli wśród czynników znajduje się liczba zerowa lub dodatnia, wówczas mnożenie odbywa się według znanych zasad.
. 0. a = 0
. A. 0 = 0
. A. 1 = za
Przykłady:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Jedynka ujemna (-1) odgrywa szczególną rolę przy mnożeniu liczb wymiernych.

• Po pomnożeniu przez (-1) liczba jest odwracana.

W dosłownym wyrażeniu tę właściwość można zapisać:
A. (- 1) = (- 1) . a = - a

Przy dodawaniu, odejmowaniu i mnożeniu liczb wymiernych zachowana jest kolejność działań ustalona dla liczb dodatnich i zera.

Przykład mnożenia liczb ujemnych i dodatnich.

Dzielenie liczb ujemnych
Łatwo zrozumieć, jak dzielić liczby ujemne, pamiętając, że dzielenie jest odwrotnością mnożenia.

Jeśli a i b są liczbami dodatnimi, to podzielenie liczby a przez liczbę b oznacza znalezienie liczby c, która pomnożona przez b daje liczbę a.

Ta definicja dzielenia ma zastosowanie do wszelkich liczb wymiernych, o ile dzielniki są niezerowe.

Dlatego np. podzielenie liczby (-15) przez liczbę 5 oznacza znalezienie liczby, która pomnożona przez liczbę 5 daje liczbę (-15). Liczba ta będzie wynosić (- 3), ponieważ
(- 3) . 5 = - 15

Oznacza

(- 15) : 5 = - 3

Przykłady dzielenia liczb wymiernych.
1. 10: 5 = 2, ponieważ 2 . 5 = 10
2. (- 4): (- 2) = 2, ponieważ 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18): 3 = - 6, ponieważ (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, ponieważ (- 3) . (- 4) = 12

Z przykładów jasno wynika, że ​​iloraz dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią (przykłady 1, 2), a iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną (przykłady 3,4).

Zasady dzielenia liczb ujemnych
Aby znaleźć moduł ilorazu, należy podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika.
Aby podzielić dwie liczby o tych samych znakach, należy:

. Umieść znak „+” przed wynikiem.
Przykłady dzielenia liczb o tych samych znakach:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Aby podzielić dwie liczby o różnych znakach, należy:
. podziel moduł dzielnej przez moduł dzielnika;
. Umieść znak „-” przed wynikiem.
Przykłady dzielenia liczb różnymi znakami:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Możesz także skorzystać z poniższej tabeli, aby określić znak ilorazu.
Reguła znaków podziału

Przy obliczaniu „długich” wyrażeń, w których występuje tylko mnożenie i dzielenie, bardzo wygodnie jest zastosować regułę znaku. Na przykład, aby obliczyć ułamek

Należy pamiętać, że licznik ma 2 znaki minus, które po pomnożeniu dają plus. W mianowniku znajdują się również trzy znaki minus, które po pomnożeniu dają znak minus. Dlatego ostatecznie wynik okaże się ze znakiem minus.

Zmniejszanie ułamka (dalsze czynności z modułami liczb) wykonujemy w taki sam sposób jak poprzednio:

• Iloraz zera podzielony przez liczbę różną od zera wynosi zero.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• NIE MOŻNA dzielić przez zero!

Wszystkie znane wcześniej zasady dzielenia przez jeden dotyczą także zbioru liczb wymiernych.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. Odp.: a = 1
, gdzie a jest dowolną liczbą wymierną.

Znane dla liczb dodatnich zależności między wynikami mnożenia i dzielenia pozostają takie same dla wszystkich liczb wymiernych (z wyjątkiem zera):
. Jeśli . b = do; za = do: b; b = do: za;
. jeśli a: b = c; a = do. B; b = za: do
Zależności te służą do znajdowania nieznanego czynnika, dzielnej i dzielnika (przy rozwiązywaniu równań), a także do sprawdzania wyników mnożenia i dzielenia.

Przykład znalezienia nieznanego.
X. (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Znak minus w ułamkach zwykłych
Podziel liczbę (- 5) przez 6, a liczbę 5 przez (- 6).

Przypominamy, że linia w zapisie ułamka zwykłego jest tym samym znakiem podziału, a iloraz każdego z tych działań zapisujemy w postaci ułamka ujemnego.

Zatem znak minus w ułamku może być:
. przed ułamkiem;
. w liczniku;
. w mianowniku.

• Podczas zapisywania ułamków ujemnych znak minus można umieścić przed ułamkiem, przenieść z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika.

Jest to często używane podczas pracy z ułamkami, co ułatwia obliczenia.

Przykład. Należy pamiętać, że po umieszczeniu znaku minus przed nawiasem odejmujemy mniejszy moduł od większego modułu zgodnie z zasadami dodawania liczb z różnymi znakami.


Korzystając z opisanej właściwości przenoszenia znaku na ułamkach, można działać bez sprawdzania, który z podanych ułamków ma większy moduł.

Lekcja

matematycy

w 6 klasie.

Starożytny grecki uczony Pitagoras powiedział: „Światem rządzą liczby”.

Ty i ja żyjemy w świecie liczb, a podczas lat szkolnych uczymy się pracować z różnymi liczbami.

Aktualizowanie wiedzy

№ 1

Andriej przeziębił się, a wieczorem jego temperatura wzrosła z 36,6° do 2,3°. Ale rano poczuł się lepiej, a jego temperatura spadła o 1,8 stopnia. Jaka była temperatura Andreya?

I wieczorem? B) rano?

Aktualizowanie wiedzy

№ 2

• Co pokazano na obrazku?
• Jak nazywa się punkt O?
• Jak nazywa się segment OA?
• Co pokazuje strzałka?

Kontynuuj oferty

• Promień współrzędnych to...
• Punktem wyjścia jest wyznaczony -…
• Pozytywny kierunek-...
• Segment jednostkowy nazywa się...
• Współrzędne punktów A, K, P są odpowiednio równe -...
• Za pomocą promienia współrzędnych możesz...

Aktualizowanie wiedzy

Uporządkuj informacje w trzech kolumnach

Mniej niż zero

Równe zero

Powyżej zera

1. Straty firmy wyniosły 1 000 000 rubli, a kilka lat później firma osiągnęła zysk w wysokości 500 000 rubli.

2. Latem średnia temperatura powietrza wynosi 25°C ciepła, a zimą – 20°С zimna.

3. Poziom morza.

4. Dolina Śmierci położona jest 86 m poniżej poziomu morza i odnotowano tu temperaturę 57°С.

5. Skala termometru składa się z dwóch części - czerwonej i niebieskiej.

6. Podczas wspinaczki na górę Elbrus, której wysokość wynosi 5642 m n.p.m., temperatura może spaść do 30 ºС poniżej zera.

7. Przez długi czas niektóre liczby nazywano „długiem”, „niedoborem”, a inne „majątkiem”.

8. Znak zerowy na skali termometru.

Pozytywny

negatywny

liczby

Wygenerowane wyniki

Temat: utwórz pomysł liczb ujemnych, wprowadź pojęcie liczby ujemnej, liczby dodatniej, liczb o różnych znakach.

Osobisty: wzbudzenie zainteresowania studiowaniem tematu i chęci zastosowania zdobytej wiedzy i umiejętności.

Metatemat: ukształtować wstępne wyobrażenia na temat idei i metod matematyki jako uniwersalnego języka nauki, środka modelowania zjawisk i procesów.

Prezentując nowy materiał,

musisz wypełnić tabelę

Materiał teoretyczny

Rozumiem/nie rozumiem (+ / -)

1. Wywoływane są liczby większe od zera pozytywny.

Pytanie do nauczyciela

2. Wywoływane są liczby mniejsze od zera negatywny.

3. Wywoływane są liczby ze znakiem „+”. pozytywny.

4. Wywoływane są liczby ze znakiem „-”. negatywny.

5. Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Świat wokół nas jest niezwykle złożony i różnorodny. Liczby naturalne i ułamkowe czasami nie wystarczą do zmierzenia niektórych wielkości i opisania wielu zdarzeń.

Chłopaki, jaka jest teraz pora roku?

Czym różni się pogoda latem i zimą?

Skąd wiedziałeś, że na zewnątrz jest zimno?

Używasz jakiego urządzenia?

Spójrzmy na termometr.

Co pokazuje termometr?

Jak ułożone są liczby?

Odniesienie historyczne

Pojęcie liczb ujemnych pojawiło się w praktyce bardzo dawno temu i przy rozwiązywaniu problemów, w których trzeba było odjąć większą liczbę od mniejszej. Egipcjanie, Babilończycy, a także starożytni Grecy nie znali liczb ujemnych, a ówcześni matematycy do wykonywania obliczeń używali tablicy liczącej. A ponieważ nie było znaków plus i minus, na tej tablicy zaznaczono liczby dodatnie czerwonymi pałeczkami do liczenia, a liczby ujemne niebieskimi. I przez długi czas liczby ujemne nazywano słowami, które oznaczały dług, niedobór, a liczby dodatnie interpretowano jako własność.

Starożytny grecki naukowiec Diofant w ogóle nie rozpoznawał liczb ujemnych, a jeśli podczas rozwiązywania otrzymał pierwiastek ujemny, odrzucał go jako niedostępny.

Odniesienie historyczne

Zupełnie inny stosunek do liczb ujemnych mieli starożytni matematycy indyjscy: uznawali istnienie liczb ujemnych, lecz traktowali je z pewną nieufnością, uważając je za osobliwe, nie do końca realne.

Europejczycy długo ich nie akceptowali, gdyż interpretacja majątku i długu budziła dezorientację i wątpliwości. Rzeczywiście można dodawać i odejmować majątek - dług, ale jak mnożyć i dzielić? To było niezrozumiałe i nierealne.

Liczby ujemne zyskały powszechne uznanie w pierwszej połowie XIX wieku. Powstała teoria, według której obecnie badamy liczby ujemne.

Linia współrzędnych

Chodźmy prosto. Zaznaczmy na nim punkt 0 (zero) i przyjmijmy ten punkt jako punkt wyjścia.

Wskazujemy strzałką kierunek ruchu w linii prostej w prawo od początku współrzędnych. W tym kierunku od punktu 0 będziemy rysować liczby dodatnie.

Umieszczając segment jednostkowy na lewo od początku układu współrzędnych otrzymujemy liczby ujemne: -1; -2; itp.

Linia współrzędnych

Liczba 0 nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Linia prosta oznaczona:

Początek (punkt 0);

Segment jednostkowy;

Strzałka wskazuje kierunek dodatni;

zwany linia współrzędnych lub oś liczbowa.

PAMIĘTAĆ!

Liczby różniące się tylko znakiem nazywane są liczbami przeciwnymi. Odpowiednie punkty osi numerycznej (współrzędnych) są symetryczne względem początku.

Każda liczba ma unikalną liczbę przeciwną. Tylko liczba 0 nie ma przeciwieństwa, ale można powiedzieć, że jest przeciwieństwem samej siebie.

Nagrywać "-A" oznacza liczbę przeciwną "A". Pamiętaj, że litera może ukrywać liczbę dodatnią lub ujemną.

5 jest liczbą przeciwną do 5.

Zapisujemy to jako wyrażenie:

PAMIĘTAĆ!

Jeśli jedna liczba jest dodatnia, a druga ujemna, wówczas mówimy, że takie liczby są

czym oni są Posiadać różne znaki.

Jeśli obie liczby są dodatnie lub obie liczby są ujemne, to tak Posiadać identyczne znaki.

Konsolidacja pierwotna

nowy materiał

Która z liczb

7; 23; -89; ⅜; - 4⅔; -5,4; 9⅞; 0; 10; -14;

A) są pozytywne;

B) są negatywne;

C) nie są ani pozytywne, ani negatywne;

D) liczby naturalne;

Zapisz informację z Centrum Hydrometeorologicznego, używając znaków „+” i „-”:

a) 18° ciepła; c) 12° poniżej zera;

b) 7° mrozu; d) 16° powyżej zera.

a) + 18; b) – 7; o 12; d) + 16 lub 16

Zapisz sześć ułamków ujemnych o mianowniku 5.

№ 1

Powtórzenie

W parku rośnie 150 klonów, dęby stanowią 2/15 liczby klonów, brzozy stanowią 23/34 liczby dębów, a lipy stanowią 20/87 ogólnej liczby klonów, dębów i brzozy.

Ile tych drzew jest w parku?

№ 2

Powtórzenie

Podsumowanie lekcji

• Jakie liczby dzisiaj spotkałeś?
• Jakiego symbolu używa się do przedstawienia liczb ujemnych? Liczby dodatnie?
• Jaka liczba to zero?
• O których dwóch liczbach mówi się, że mają różne znaki? Te same znaki?

Praca domowa

pytania 1 – 3,

Teraz się o tym przekonamy liczby dodatnie i ujemne. Najpierw podamy definicje, wprowadzimy notację, a następnie podamy przykłady liczb dodatnich i ujemnych. Zatrzymamy się także nad obciążeniem semantycznym, jakie niosą liczby dodatnie i ujemne.

Nawigacja strony.

Liczby dodatnie i ujemne – definicje i przykłady

Dawać rozpoznawanie liczb dodatnich i ujemnych nam pomoże. Dla wygody założymy, że jest on umieszczony poziomo i skierowany od lewej do prawej.

Definicja.

Nazywa się liczby odpowiadające punktom linii współrzędnych leżącym na prawo od początku układu współrzędnych pozytywny.

Definicja.

Nazywa się liczby odpowiadające punktom linii współrzędnych leżącym na lewo od początku układu współrzędnych negatywny.

Liczba zero, która odpowiada pochodzeniu, nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną.

Z definicji liczb ujemnych i dodatnich wynika, że ​​zbiór wszystkich liczb ujemnych to zbiór liczb przeciwnych wszystkim liczbom dodatnim (w razie potrzeby zobacz artykuł liczby przeciwne). Dlatego liczby ujemne są zawsze zapisywane ze znakiem minus.

Teraz znając definicje liczb dodatnich i ujemnych, możemy łatwo podać przykłady liczb dodatnich i ujemnych. Przykładami liczb dodatnich są liczby całkowite 5792 i 101330, i rzeczywiście każda liczba naturalna jest dodatnia. Przykłady pozytywów liczby wymierne to liczby , 4,67 i 0,(12)=0,121212... , a liczby ujemne to liczby , -11, -51,51 i -3,(3) . Jako przykłady pozytywne liczby niewymierne możemy podać liczbę pi, liczbę e i nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny 809,030030003..., a przykładami ujemnych liczb niewymiernych są liczby minus pi, minus e i liczba równa. Należy zauważyć, że w ostatnim przykładzie wcale nie jest oczywiste, że wartość wyrażenia jest liczbą ujemną. Aby się upewnić, musisz uzyskać wartość tego wyrażenia w postaci ułamka dziesiętnego, a my powiemy Ci, jak to zrobić w artykule porównanie liczb rzeczywistych.

Czasami liczby dodatnie są poprzedzone znakiem plus, tak jak liczby ujemne są poprzedzone znakiem minus. W takich przypadkach powinieneś wiedzieć, że +5=5, i tak dalej. To znaczy +5 i 5 itd. - jest to ten sam numer, ale oznaczony inaczej. Ponadto można spotkać definicje liczb dodatnich i ujemnych oparte na znaku plusa lub minusa.

Definicja.

Wywoływane są liczby ze znakiem plus pozytywny i ze znakiem minus – negatywny.

Istnieje inna definicja liczb dodatnich i ujemnych oparta na porównaniu liczb. Aby podać tę definicję, wystarczy pamiętać, że punkt na osi współrzędnych odpowiadający większej liczbie leży na prawo od punktu odpowiadającego mniejszej liczbie.

Definicja.

Liczby dodatnie są liczbami większymi od zera oraz liczby ujemne są liczbami mniejszymi od zera.

Zatem rodzaj zera oddziela liczby dodatnie od ujemnych.

Oczywiście powinniśmy również zastanowić się nad zasadami czytania liczb dodatnich i ujemnych. Jeśli liczba jest zapisana ze znakiem + lub -, wymawiaj nazwę znaku, po czym wymawiana jest liczba. Na przykład +8 odczytuje się jako plus osiem, a - jako minus jeden przecinek dwie piąte. Nazwy znaków + i - nie są odmieniane w zależności od wielkości liter. Przykładem poprawnej wymowy jest wyrażenie „a równa się minus trzy” (nie minus trzy).

Interpretacja liczb dodatnich i ujemnych

Od dłuższego czasu opisujemy liczby dodatnie i ujemne. Jednak dobrze byłoby wiedzieć, jakie znaczenie niosą ze sobą? Przyjrzyjmy się temu problemowi.

Liczby dodatnie można interpretować jako nadejście, wzrost, wzrost jakiejś wartości i tym podobne. Liczby ujemne oznaczają z kolei coś zupełnie odwrotnego – wydatek, niedobór, zadłużenie, zmniejszenie jakiejś wartości itp. Rozumiemy to na przykładach.

Można powiedzieć, że mamy 3 pozycje. Tutaj liczba dodatnia 3 wskazuje liczbę przedmiotów, które mamy. Jak zinterpretować liczbę ujemną -3? Przykładowo liczba −3 może oznaczać, że musimy podarować komuś 3 produkty, których nawet nie mamy na stanie. Podobnie można powiedzieć, że w kasie wydano nam 3,45 tys. rubli. Oznacza to, że liczba 3,45 jest związana z naszym przybyciem. Z kolei liczba ujemna -3,45 będzie oznaczać zmniejszenie stanu środków w kasie, która wydała nam te pieniądze. Oznacza to, że -3,45 to wydatek. Inny przykład: wzrost temperatury o 17,3 stopnia można opisać liczbą dodatnią wynoszącą +17,3, a spadek temperatury o 2,4 można opisać liczbą ujemną, jako zmianę temperatury o -2,4 stopnia.

Liczby dodatnie i ujemne są często używane do opisu wartości pewnych wielkości w różnych przyrządach pomiarowych. Najbardziej przystępnym przykładem jest urządzenie do pomiaru temperatury - termometr - ze skalą, na której zapisywane są zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne. Często liczby ujemne są przedstawiane na niebiesko (symbolizuje śnieg, lód, a przy temperaturach poniżej zera stopni Celsjusza woda zaczyna zamarzać), a liczby dodatnie na czerwono (kolor ognia, słońca, przy temperaturach powyżej zera stopni Celsjusza) , lód zaczyna się topić). Zapisywanie liczb dodatnich i ujemnych na czerwono i niebiesko jest również stosowane w innych przypadkach, gdy trzeba podkreślić znak liczb.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.