Standardowa postać wielomianu. Lekcja „standardowa forma wielomianu”

Wielomian to suma jednomianów. Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu zostaną zapisane w postaci standardowej (patrz akapit 51), a podobne wyrazy zostaną zredukowane, otrzymasz wielomian w postaci standardowej.

Dowolne wyrażenie całkowite można zamienić na wielomian o postaci standardowej - temu służy przekształcenie (uproszczenie) wyrażeń całkowitych.

Spójrzmy na przykłady, w których całe wyrażenie należy sprowadzić do standardowej postaci wielomianu.

Rozwiązanie. Najpierw sprowadźmy warunki wielomianu do postaci standardowej. Otrzymujemy Po wprowadzeniu podobnych wyrazów otrzymujemy wielomian postaci standardowej

Rozwiązanie. Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak plus, wówczas nawiasy można pominąć, zachowując znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Stosując tę regułę do otwierania nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Jeżeli nawiasy poprzedzone są znakiem minus, to nawiasy można pominąć, zmieniając znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Używając tej reguły do ukrywania nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Iloczyn jednomianu i wielomianu, zgodnie z prawem rozdzielności, jest równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego elementu wielomianu. Dostajemy

Rozwiązanie. Mamy

Pozostaje podać podobne terminy (są podkreślone). Otrzymujemy:

53. Skrócone wzory na mnożenie.

W niektórych przypadkach doprowadzenie całego wyrażenia do standardowej postaci wielomianu odbywa się przy użyciu tożsamości:

Tożsamości te nazywane są skróconymi wzorami na mnożenie,

Przyjrzyjmy się przykładom, w których trzeba przekonwertować dane wyrażenie na standardową formę myogochlea.

Przykład 1. .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (1) otrzymujemy:

Przykład 2. .

Rozwiązanie.

Przykład 3. .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy:

Przykład 4.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (4) otrzymujemy:

54. Rozkładanie wielomianów na czynniki.

Czasami można przekształcić wielomian w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub podmianów. Taka transformacja tożsamości nazywa się faktoryzacją wielomianu. W tym przypadku mówi się, że wielomian jest podzielny przez każdy z tych czynników.

Przyjrzyjmy się kilku sposobom rozkładu wielomianów na czynniki,

1) Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Transformacja ta jest bezpośrednią konsekwencją prawa rozdzielności (dla jasności wystarczy przepisać to prawo „od prawej do lewej”):

Przykład 1: Rozłóż wielomian na czynniki

Rozwiązanie. .

Zwykle, usuwając wspólny czynnik z nawiasów, każda zmienna zawarta we wszystkich wyrazach wielomianu jest usuwana z najniższym wykładnikiem, jaki ma w tym wielomianu. Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wówczas za współczynnik wspólnego czynnika przyjmuje się największy moduł wspólny dzielnik wszystkie współczynniki wielomianu.

2) Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Wzory (1) - (7) z paragrafu 53, czytane od prawej do lewej, w wielu przypadkach okazują się przydatne przy rozkładaniu na czynniki wielomianów.

Przykład 2: Współczynnik .

Rozwiązanie. Mamy. Stosując wzór (1) (różnica kwadratów) otrzymujemy . Poprzez zastosowanie

Teraz ze wzorów (4) i (5) (suma kostek, różnica kostek) otrzymujemy:

Przykład 3. .

Rozwiązanie. Najpierw wyjmijmy to z nawiasów wspólny mnożnik. Aby to zrobić, znajdziemy największy wspólny dzielnik współczynników 4, 16, 16 i najmniejsze wykładniki, z którymi zmienne a i b są zawarte w składnikach dany wielomian jednomiany. Otrzymujemy:

3) Sposób grupowania. Opiera się na tym, że jest przemienna i prawa asocjacyjne Dodatki umożliwiają grupowanie wyrazów wielomianu różne sposoby. Czasem udaje się tak pogrupować, że po usunięciu wspólnych czynników z nawiasów w każdej grupie ten sam wielomian pozostanie w nawiasach, co z kolei jako wspólny czynnik można wyjąć z nawiasów. Spójrzmy na przykłady rozkładu wielomianu na czynniki.

Przykład 4. .

Rozwiązanie. Zróbmy grupowanie w następujący sposób:

W pierwszej grupie wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów do drugiej - wspólny czynnik 5. Otrzymujemy Teraz wyjmujemy wielomian jako wspólny czynnik z nawiasów: W ten sposób otrzymujemy:

Przykład 5.

Rozwiązanie. .

Przykład 6.

Rozwiązanie. Tutaj żadne grupowanie nie doprowadzi do pojawienia się tego samego wielomianu we wszystkich grupach. W takich przypadkach czasami przydatne jest przedstawienie elementu wielomianu jako sumy, a następnie ponowne wypróbowanie metody grupowania. W naszym przykładzie wskazane jest przedstawienie tego jako sumy

Przykład 7.

Rozwiązanie. Dodajemy i odejmujemy jednomian. Otrzymujemy

55. Wielomiany w jednej zmiennej.

Wielomian, w którym a, b są liczbami zmiennymi, nazywany jest wielomianem pierwszego stopnia; wielomian, w którym a, b, c są liczbami zmiennymi, zwany wielomianem drugiego stopnia lub trójmian kwadratowy; wielomian, w którym a, b, c, d są liczbami, zmienną nazywamy wielomianem trzeciego stopnia.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli o jest zmienną, to jest to wielomian

zwany stopniem lsmogochnolenolu (w stosunku do x); , m-składniki wielomianu, współczynniki, składnik wiodący wielomianu, a jest współczynnikiem składnika wiodącego, wolny składnik wielomianu. Zazwyczaj wielomian zapisuje się w malejących potęgach zmiennej, tj. Potęgi zmiennej stopniowo maleją, w szczególności termin wiodący jest na pierwszym miejscu, a termin wolny na ostatnim. Stopień wielomianu to stopień najwyższego wyrazu.

Na przykład wielomian piątego stopnia, w którym człon wiodący, 1, jest wyrazem wolnym wielomianu.

Pierwiastkiem wielomianu jest wartość, przy której wielomian zanika. Na przykład liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, ponieważ

Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe definicje tego tematu i rozważymy kilka typowych problemów, a mianowicie doprowadzenie wielomianu do postaci standardowej i obliczenie wartości liczbowej dane wartości zmienne. Rozwiążemy kilka przykładów, w których do rozwiązania wykorzystana zostanie redukcja do postaci standardowej różnego rodzaju zadania.

Temat:Wielomiany. Działania arytmetyczne nad jednomianami

Lekcja:Sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej. Typowe zadania

Przypomnijmy podstawową definicję: wielomian to suma jednomianów. Każdy jednomian będący częścią wielomianu jako termin nazywany jest jego członkiem. Na przykład:

Dwumianowy;

Wielomian;

Dwumianowy;

Ponieważ wielomian składa się z jednomianów, stąd wynika pierwsza akcja z wielomianem - musisz doprowadzić wszystkie jednomiany do standardowej postaci. Przypomnijmy, że w tym celu należy pomnożyć wszystkie czynniki liczbowe - get współczynnik liczbowy i pomnóż odpowiednie stopnie- zdobądź część listową. Dodatkowo zwróćmy uwagę na twierdzenie o iloczynu potęg: przy mnożeniu potęg ich wykładniki sumują się.

Rozważmy ważna operacja- doprowadzenie wielomianu do postaci standardowej. Przykład:

Komentarz: aby wielomian doprowadzić do postaci standardowej, należy doprowadzić do postaci standardowej wszystkie jednomiany zawarte w jego składzie, po czym, jeśli istnieją jednomiany podobne - a są to jednomiany o tej samej części literowej - wykonaj z nimi działania .

Przyjrzeliśmy się więc pierwszemu typowemu problemowi - doprowadzeniu wielomianu do standardowej postaci.

Następny typowe zadanie- obliczenia konkretne znaczenie wielomian dla danego wartości liczbowe zawarte w nim zmienne. Kontynuujmy spojrzenie na poprzedni przykład i ustawmy wartości zmiennych:

Komentarz: pamiętaj, że jednostka w any stopień naturalny równe jeden i zero do dowolnej potęgi naturalnej równy zeru dodatkowo pamiętajmy, że mnożąc dowolną liczbę przez zero, otrzymujemy zero.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom typowych operacji doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej i obliczenia jego wartości:

Przykład 1 – doprowadź do standardowej formy:

Komentarz: pierwszym krokiem jest doprowadzenie jednomianów do postaci standardowej, musisz wprowadzić pierwszy, drugi i szósty; druga akcja - wprowadzamy podobne terminy, czyli wykonujemy na nich podane zadania działania arytmetyczne: dodajemy pierwszy z piątym, drugi z trzecim, resztę przepisujemy bez zmian, ponieważ nie mają podobnych.

Przykład 2 – oblicz wartość wielomianu z przykładu 1 mając podane wartości zmiennych:

Uwaga: przy obliczeniach należy pamiętać, że jednostką dowolnej potęgi naturalnej jest jeden; jeżeli trudno jest obliczyć potęgę dwójki, można skorzystać z tabeli potęg.

Przykład 3 – zamiast gwiazdki wstaw jednomian tak, aby wynik nie zawierał zmiennej:

Komentarz: niezależnie od zadania, pierwsza czynność jest zawsze taka sama – doprowadź wielomian do postaci standardowej. W naszym przykładzie działanie to sprowadza się do wprowadzenia podobnych terminów. Następnie powinieneś jeszcze raz uważnie przeczytać warunek i zastanowić się, jak możemy pozbyć się jednomianu. Oczywiście w tym celu należy dodać do niego ten sam jednomian, ale z przeciwny znak- . Następnie zastępujemy gwiazdkę tym jednomianem i upewniamy się, że nasze rozwiązanie jest poprawne.

Studiując temat wielomianów warto osobno wspomnieć, że wielomiany występują zarówno w postaci standardowej, jak i niestandardowej. W takim przypadku wielomian o niestandardowej formie można sprowadzić do postaci standardowej. Właściwie to pytanie zostanie omówione w tym artykule. Wzmocnijmy wyjaśnienia przykładami ze szczegółowym opisem krok po kroku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znaczenie sprowadzania wielomianu do postaci standardowej

Zagłębmy się nieco w samą koncepcję, akcję - „doprowadzenie wielomianu do standardowej formy”.

Wielomiany, jak każde inne wyrażenie, można przekształcać w identyczny sposób. W rezultacie w tym przypadku otrzymujemy wyrażenia identyczne z wyrażeniem pierwotnym.

Definicja 1

Sprowadź wielomian do postaci standardowej– oznacza zastąpienie pierwotnego wielomianu równym wielomianem o postaci standardowej, otrzymanym z pierwotnego wielomianu za pomocą identycznych przekształceń.

Metoda redukcji wielomianu do postaci standardowej

Spekulujmy na temat, jakie dokładnie przekształcenia tożsamości doprowadzą wielomian do postaci standardowej.

Definicja 2

Zgodnie z definicją każdy wielomian postaci standardowej składa się z jednomianów postaci standardowej i nie zawiera terminów podobnych. Wielomian o niestandardowej formie może zawierać jednomiany o niestandardowej formie i podobne terminy. Z powyższego naturalnie wynika reguła dotycząca sprowadzania wielomianu do postaci standardowej:

po pierwsze, jednomiany tworzące dany wielomian sprowadza się do postaci standardowej;
następnie przeprowadzana jest redukcja podobnych członków.

Przykłady i rozwiązania

Przeanalizujmy szczegółowo przykłady, w których redukujemy wielomian do postaci standardowej. Będziemy kierować się zasadą wyprowadzoną powyżej.

Należy zauważyć, że czasami wyrazy wielomianu w stanie początkowym mają już standardową postać i pozostaje jedynie wprowadzić podobne terminy. Zdarza się, że po pierwszym etapie działań nie ma takich terminów, wówczas pomijamy krok drugi. W ogólnych przypadkach konieczne jest wykonanie obu czynności z powyższej reguły.

Przykład 1

Dane są wielomiany:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0, 8 + 2 za 3 0, 6 - b za b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Konieczne jest doprowadzenie ich do standardowej formy.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw wielomian 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : jego członkowie mają postać standardową, nie ma podobnych terminów, co oznacza, że wielomian jest określony w postaci standardowej i nie są wymagane żadne dodatkowe działania.

Przyjrzyjmy się teraz wielomianowi 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Zawiera niestandardowe jednomiany: 2 · a 3 · 0, 6 oraz − b · a · b 4 · b 5, tj. musimy doprowadzić wielomian do postaci standardowej, w tym przypadku pierwszym krokiem jest przekształcenie jednomianów do postaci standardowej:

2 · za 3 · 0, 6 = 1, 2 · za 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , w ten sposób otrzymujemy następujący wielomian:

0, 8 + 2 · za 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · za 3 - a · b 10.

W powstałym wielomianie wszystkie terminy są standardowe, nie ma terminów podobnych, co oznacza, że nasze działania zmierzające do doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej są zakończone.

Rozważmy trzeci podany wielomian: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Doprowadźmy jego członków do standardowej postaci i uzyskajmy:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Widzimy, że wielomian zawiera człony podobne, przyprowadźmy człony podobne:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Zatem dany wielomian 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 przyjmuje postać standardową - x y + 1 .

Odpowiedź:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- wielomian jest ustawiony standardowo;

0, 8 + 2 za 3 0, 6 - b za b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 za 3 - za b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

W wielu problemach działanie polegające na sprowadzeniu wielomianu do postaci standardowej jest pośrednie przy poszukiwaniu odpowiedzi zadane pytanie. Rozważmy ten przykład.

Przykład 2

Dany jest wielomian 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Należy sprowadzić go do postaci standardowej, wskazać jego stopień i uporządkować wyrazy danego wielomianu w malejących stopniach zmiennej.

Rozwiązanie

Sprowadźmy wyrazy danego wielomianu do postaci standardowej:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Następny krok Oto kilka podobnych terminów:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Otrzymaliśmy wielomian w postaci standardowej, który pozwala wyznaczyć stopień wielomianu (równy najwyższemu stopniowi jego jednomianów składowych). Oczywiście wymagany stopień to 5.

Pozostaje tylko ułożyć wyrazy w malejące potęgi zmiennych. W tym celu po prostu przestawiamy wyrazy w otrzymanym wielomianu w postaci standardowej, biorąc pod uwagę wymaganie. W ten sposób otrzymujemy:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Odpowiedź:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, natomiast stopień wielomian - 5; w wyniku uporządkowania wyrazów wielomianu w malejących stopniach zmienny wielomian przybierze postać: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Na tej lekcji przypomnimy sobie podstawowe definicje tego tematu i rozważymy kilka typowych problemów, a mianowicie sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej i obliczenie wartości liczbowej dla danych wartości zmiennych. Rozwiążemy kilka przykładów, w których redukcja do postaci standardowej zostanie zastosowana do rozwiązania różnego rodzaju problemów.

Temat:Wielomiany. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Sprowadzenie wielomianu do postaci standardowej. Typowe zadania

Przypomnijmy podstawową definicję: wielomian to suma jednomianów. Każdy jednomian będący częścią wielomianu jako termin nazywany jest jego członkiem. Na przykład:

Dwumianowy;

Wielomian;

Dwumianowy;

Ponieważ wielomian składa się z jednomianów, stąd wynika pierwsza akcja z wielomianem - musisz doprowadzić wszystkie jednomiany do standardowej postaci. Przypomnijmy, że aby to zrobić, musisz pomnożyć wszystkie czynniki liczbowe - uzyskać współczynnik liczbowy i pomnożyć odpowiednie potęgi - uzyskać część literową. Dodatkowo zwróćmy uwagę na twierdzenie o iloczynu potęg: przy mnożeniu potęg ich wykładniki sumują się.

Rozważmy ważną operację - redukcję wielomianu do postaci standardowej. Przykład:

Przyjrzeliśmy się więc pierwszemu typowemu problemowi - doprowadzeniu wielomianu do standardowej postaci.

Kolejnym typowym problemem jest obliczenie konkretnej wartości wielomianu dla zadanych wartości liczbowych zawartych w nim zmiennych. Kontynuujmy spojrzenie na poprzedni przykład i ustawmy wartości zmiennych:

Komentarz: przypomnijmy, że jeden do dowolnej potęgi naturalnej jest równy jeden, a zero do dowolnej potęgi naturalnej jest równe zeru, ponadto przypominamy, że mnożąc dowolną liczbę przez zero, otrzymamy zero.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom typowych operacji doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej i obliczenia jego wartości:

Przykład 1 – doprowadź do standardowej formy:

Komentarz: pierwszym krokiem jest doprowadzenie jednomianów do postaci standardowej, musisz wprowadzić pierwszy, drugi i szósty; druga akcja - wprowadzamy podobne terminy, to znaczy wykonujemy na nich dane operacje arytmetyczne: dodajemy pierwsze z piątym, drugie z trzecim, resztę przepisujemy bez zmian, ponieważ nie mają podobnych.

Przykład 2 – oblicz wartość wielomianu z przykładu 1 mając podane wartości zmiennych:

Uwaga: przy obliczeniach należy pamiętać, że jednostką dowolnej potęgi naturalnej jest jeden; jeżeli trudno jest obliczyć potęgę dwójki, można skorzystać z tabeli potęg.

Przykład 3 – zamiast gwiazdki wstaw jednomian tak, aby wynik nie zawierał zmiennej:

Komentarz: niezależnie od zadania, pierwsza czynność jest zawsze taka sama – doprowadź wielomian do postaci standardowej. W naszym przykładzie działanie to sprowadza się do wprowadzenia podobnych terminów. Następnie powinieneś jeszcze raz uważnie przeczytać warunek i zastanowić się, jak możemy pozbyć się jednomianu. Oczywiście, aby to zrobić, musisz dodać do niego ten sam jednomian, ale z przeciwnym znakiem - . Następnie zastępujemy gwiazdkę tym jednomianem i upewniamy się, że nasze rozwiązanie jest poprawne.

Powiedzieliśmy, że istnieją wielomiany standardowe i niestandardowe. Tam zauważyliśmy, że każdy może doprowadzić wielomian do postaci standardowej. W tym artykule najpierw dowiemy się, jakie znaczenie ma to wyrażenie. Następnie podajemy kroki konwersji dowolnego wielomianu do postaci standardowej. Na koniec przyjrzyjmy się rozwiązaniom typowe przykłady. Opiszemy rozwiązania bardzo szczegółowo, aby zrozumieć wszystkie niuanse pojawiające się podczas redukcji wielomianów do postaci standardowej.

Nawigacja strony.

Co to znaczy sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Najpierw musisz jasno zrozumieć, co oznacza redukcja wielomianu do postaci standardowej. Rozwiążmy to.

Wielomiany, jak każde inne wyrażenie, można poddać identycznym przekształceniom. W wyniku przeprowadzenia takich przekształceń otrzymuje się wyrażenia identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Zatem wykonanie pewnych przekształceń wielomianami o postaci niestandardowej pozwala przejść do wielomianów, które są im identycznie równe, ale zapisane w postaci standardowej. To przejście nazywa się redukcją wielomianu do postaci standardowej.

Więc, sprowadź wielomian do postaci standardowej- oznacza to zastąpienie pierwotnego wielomianu identycznym równym wielomianem postaci standardowej, otrzymanym z pierwotnego wielomianu poprzez przeprowadzenie identycznych przekształceń.

Jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Zastanówmy się, jakie przekształcenia pomogą nam sprowadzić wielomian do postaci standardowej. Zaczniemy od definicji wielomianu postaci standardowej.

Z definicji każdy wyraz wielomianu postaci standardowej jest jednomianem postaci standardowej, a wielomian postaci standardowej nie zawiera podobnych terminów. Z kolei wielomiany zapisane w postaci innej niż standardowa mogą składać się z jednomianów w postaci niestandardowej i mogą zawierać wyrazy podobne. To logicznie wynika następna zasada, wyjaśniając jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej:

najpierw musisz doprowadzić jednomiany tworzące pierwotny wielomian do postaci standardowej,
następnie wykonaj redukcję podobnych wyrazów.

W rezultacie uzyskany zostanie wielomian o standardowej formie, ponieważ wszystkie jego terminy zostaną zapisane w standardowej formie i nie będą zawierały podobnych terminów.

Przykłady, rozwiązania

Przyjrzyjmy się przykładom redukcji wielomianów do postaci standardowej. Rozwiązując będziemy postępować według kroków podyktowanych zasadą z poprzedniego akapitu.

Zauważamy tutaj, że czasami wszystkie warunki wielomianu są natychmiast zapisywane w standardowej formie, w tym przypadku wystarczy po prostu podać podobne warunki. Czasami po sprowadzeniu wyrazów wielomianu do postaci standardowej nie ma już wyrazów podobnych, dlatego w tym przypadku pomija się etap doprowadzenia wyrazów podobnych. W przypadek ogólny musisz zrobić jedno i drugie.

Przykład.

Przedstaw wielomiany w postaci standardowej: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5 I .

Rozwiązanie.

Wszystkie wyrazy wielomianu 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 są zapisane w postaci standardowej, nie ma on wyrazów podobnych, dlatego wielomian ten jest już przedstawiony w postaci standardowej.

Przejdźmy do następnego wielomianu 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5. Jego forma nie jest standardowa, o czym świadczą określenia 2·a 3 ·0,6 i −b·a·b 4 ·b 5 formy niestandardowej. Przedstawmy to w standardowej formie.

Na pierwszym etapie doprowadzenia pierwotnego wielomianu do postaci standardowej należy przedstawić wszystkie jego wyrazy w postaci standardowej. Dlatego redukujemy jednomian 2·a 3 ·0.6 do postaci standardowej, mamy 2.a 3 ·0.6=1.2·a 3 , po czym bierzemy jednomian −b·a·b 4 ·b 5 , mamy −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Zatem, . W powstałym wielomianie wszystkie terminy są zapisane w standardowej formie, ponadto oczywiste jest, że nie ma w nim podobnych terminów. W konsekwencji kończy to redukcję pierwotnego wielomianu do postaci standardowej.

Pozostaje przedstawić ostatni z podanych wielomianów w postaci standardowej. Po doprowadzeniu wszystkich jego członków do standardowej postaci, zostanie on zapisany jako . Ma podobnych członków, więc musisz obsadzić podobnych członków:

Zatem pierwotny wielomian przyjął postać standardową –x·y+1.

Odpowiedź:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – już w formie standardowej, 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5 =0,8+1,2 za 3 −a b 10, .

Często doprowadzenie wielomianu do postaci standardowej jest jedynie pośrednim krokiem w odpowiedzi na pytanie postawione w problemie. Na przykład znalezienie stopnia wielomianu wymaga jego wstępnego przedstawienia w postaci standardowej.

Przykład.

Podaj wielomian do postaci standardowej, wskaż jej stopień i uporządkuj terminy w malejących stopniach zmiennej.

Rozwiązanie.

Najpierw sprowadzamy wszystkie warunki wielomianu do postaci standardowej: .

Teraz przedstawiamy podobne terminy:

Doprowadziliśmy więc pierwotny wielomian do postaci standardowej, co pozwala nam określić stopień wielomianu, który jest równy najwyższemu stopniowi zawartych w nim jednomianów. Oczywiście jest równa 5.

Pozostaje jeszcze uporządkować wyrazy wielomianu w malejących potęgach zmiennych. Aby to zrobić, wystarczy zmienić układ terminów w wynikowym wielomianu w postaci standardowej, biorąc pod uwagę wymagania. Najwyższy stopień ma wyraz z 5, stopnie wyrazów , -0,5·z 2 i 11 są równe odpowiednio 3, 2 i 0. Zatem wielomian z wyrazami ułożonymi w malejących potęgach zmiennej będzie miał postać .

Odpowiedź:

Stopień wielomianu wynosi 5 i po uporządkowaniu jego wyrazów w malejących stopniach zmiennej przyjmuje postać .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
Algebra i zaczął Analiza matematyczna. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010. - 368 s. : chory. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.