Najprostsze równania trygonometryczne rozwiązuje się z reguły za pomocą wzorów. Przypomnę, że najprostsze równania trygonometryczne to:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x to kąt, który należy znaleźć,
a jest dowolną liczbą.
A oto wzory, za pomocą których możesz od razu zapisać rozwiązania tych najprostszych równań.
Dla sinusa:
Dla cosinusa:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Dla stycznej:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Dla cotangensu:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Właściwie jest to teoretyczna część rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. Co więcej, wszystko!) Zupełnie nic. Jednak liczba błędów na ten temat jest po prostu nieprawdopodobna. Zwłaszcza jeśli przykład nieznacznie odbiega od szablonu. Dlaczego?
Tak, ponieważ wiele osób pisze te listy, w ogóle nie rozumiejąc ich znaczenia! Zapisuje ostrożnie, żeby coś się nie stało...) Trzeba to uporządkować. W końcu trygonometria dla ludzi, czy ludzie dla trygonometrii!?)
Rozwiążmy to?
Jeden kąt będzie równy arccos, drugi: -arccos a.
I zawsze tak będzie. Dla każdego A.
Jeśli mi nie wierzysz, najedź myszką na zdjęcie lub dotknij obrazka na tablecie.) Zmieniłem numer A do czegoś negatywnego. Tak czy inaczej, mamy jeden róg arccos, drugi: -arccos a.
Dlatego odpowiedź zawsze można zapisać w postaci dwóch serii pierwiastków:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Połączmy te dwie serie w jedną:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I to wszystko. Otrzymaliśmy ogólny wzór na rozwiązanie najprostszego równania trygonometrycznego z cosinusem.
Jeśli zrozumiesz, że nie jest to jakaś nadnaukowa mądrość, ale tylko skrócona wersja dwóch serii odpowiedzi, Będziesz także w stanie poradzić sobie z zadaniami „C”. Z nierównościami, z wybieraniem pierwiastków z danego przedziału... Tam odpowiedź z plusem/minusem nie działa. Ale jeśli potraktujesz odpowiedź w sposób rzeczowy i podzielisz ją na dwie osobne odpowiedzi, wszystko zostanie rozwiązane.) Właściwie dlatego się nad tym zastanawiamy. Co, jak i gdzie.
W najprostszym równaniu trygonometrycznym
sinx = a
otrzymujemy również dwie serie pierwiastków. Zawsze. I te dwie serie również można nagrać w jednej linii. Tylko ta linia będzie trudniejsza:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ale istota pozostaje ta sama. Matematycy po prostu opracowali formułę, która pozwala na utworzenie jednego zamiast dwóch wpisów dla serii pierwiastków. To wszystko!
Sprawdźmy matematyków? I nigdy nie wiadomo...)
Na poprzedniej lekcji szczegółowo omówiliśmy rozwiązanie (bez żadnych wzorów) równania trygonometrycznego z sinusem:
Odpowiedź zaowocowała dwiema seriami pierwiastków:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jeśli rozwiążemy to samo równanie za pomocą wzoru, otrzymamy odpowiedź:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Właściwie jest to niedokończona odpowiedź.) Uczeń musi to wiedzieć arcsin 0,5 = π /6. Pełna odpowiedź brzmiałaby:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
To rodzi ciekawe pytanie. Odpowiedz przez x1; x 2 (to jest poprawna odpowiedź!) i przez samotność X (i to jest poprawna odpowiedź!) - czy to to samo, czy nie? Dowiemy się teraz.)
Zastępujemy w odpowiedzi przez x 1 wartości N =0; 1; 2; itd., liczymy, otrzymujemy szereg pierwiastków:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tak dalej.
Z tym samym podstawieniem w odpowiedzi z x 2 , otrzymujemy:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tak dalej.
Teraz podstawimy wartości N (0; 1; 2; 3; 4...) do ogólnego wzoru na liczbę pojedynczą X . Oznacza to, że podnosimy minus jeden do potęgi zerowej, a następnie do pierwszej, drugiej itd. Cóż, oczywiście, podstawiamy 0 do drugiego członu; 1; 2 3; 4 itd. I liczymy. Otrzymujemy szereg:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tak dalej.
To wszystko, co możesz zobaczyć.) Daje nam to ogólny wzór dokładnie takie same wyniki podobnie jak dwie odpowiedzi osobno. Po prostu wszystko na raz, po kolei. Matematycy nie dali się oszukać.)
Można również sprawdzić wzory do rozwiązywania równań trygonometrycznych ze styczną i cotangensem. Ale tego nie zrobimy.) Są już proste.
Opisałem całe to podstawianie i sprawdzanie konkretnie. Tutaj ważne jest, aby zrozumieć jedną prostą rzecz: istnieją wzory na rozwiązywanie elementarnych równań trygonometrycznych, tylko krótkie podsumowanie odpowiedzi. Aby zachować zwięzłość, musieliśmy wstawić plus/minus do rozwiązania cosinus i (-1) n do rozwiązania sinus.
Wkładki te w żaden sposób nie przeszkadzają w zadaniach, w których wystarczy zapisać odpowiedź na równanie elementarne. Ale jeśli chcesz rozwiązać nierówność lub musisz coś zrobić z odpowiedzią: wybrać pierwiastki w przedziale, sprawdzić ODZ itp., te wstawki mogą łatwo zaniepokoić osobę.
Więc co powinienem zrobić? Tak, albo napisz odpowiedź w dwóch seriach, albo rozwiąż równanie/nierówność za pomocą koła trygonometrycznego. Wtedy te wstawki znikają i życie staje się łatwiejsze.)
Możemy podsumować.
Aby rozwiązać najprostsze równania trygonometryczne, istnieją gotowe formuły odpowiedzi. Cztery kawałki. Są dobre do szybkiego zapisywania rozwiązania równania. Na przykład musisz rozwiązać równania:
sinx = 0,3
Łatwo: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Bez problemu: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Łatwo: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Jeden został: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Jeśli lśnisz wiedzą, od razu napisz odpowiedź:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
to już świecisz, to... tamto... z kałuży.) Prawidłowa odpowiedź: nie ma rozwiązań. Nie rozumiesz dlaczego? Przeczytaj, co to jest arc cosinus. Ponadto, jeśli po prawej stronie pierwotnego równania znajdują się wartości tabelaryczne sinus, cosinus, tangens, cotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tak dalej. - odpowiedź przez łuki będzie niedokończona. Łuki należy przeliczyć na radiany.
A jeśli natkniesz się na nierówność, np
wtedy odpowiedź brzmi:
x πn, n ∈ Z
zdarzają się rzadkie bzdury, tak...) Tutaj musisz rozwiązać za pomocą koła trygonometrycznego. Co zrobimy w odpowiednim temacie.
Dla tych, którzy bohatersko przeczytali te wersety. Po prostu nie mogę nie docenić twoich tytanicznych wysiłków. Bonus dla Ciebie.)
Premia:
Zapisując formuły w alarmującej sytuacji bojowej, nawet doświadczeni kujonowie często nie wiedzą, gdzie je zapisać πn, I gdzie 2π rz. Oto prosty trik dla Ciebie. W wszyscy wartości formuł πn. Z wyjątkiem jedynej formuły z arc cosinusem. Stoi tam 2πn. Dwa nosek. Słowo kluczowe - dwa. W tej samej formule są dwa podpisz na początku. Plus i minus. Tu i tam - dwa.
Więc jeśli napisałeś dwa znak przed cosinusem łuku, łatwiej zapamiętać, co się stanie na końcu dwa nosek. Dzieje się tak również w drugą stronę. Osoba ta przegapi znak ± , dochodzi do końca, pisze poprawnie dwa Pien, a on odzyska rozum. Jest coś przed nami dwa podpisać! Osoba wróci do początku i poprawi błąd! Lubię to.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne zwłaszcza te, które mają miejsce przed klasą 10, jasno określona jest kolejność wykonywanych działań, które doprowadzą do celu. Do takich problemów zaliczają się np. równania liniowe i kwadratowe, nierówności liniowe i kwadratowe, równania ułamkowe oraz równania sprowadzające się do równań kwadratowych. Zasada skutecznego rozwiązania każdego z wymienionych problemów jest następująca: musisz ustalić, jakiego rodzaju problem rozwiązujesz, pamiętaj o niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj poniższe kroki.
Oczywiste jest, że sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie zostanie określony rodzaj rozwiązywanego równania, jak poprawnie zostanie odtworzona kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście w tym przypadku niezbędna jest umiejętność wykonywania identycznych przekształceń i obliczeń.
Inaczej jest z równania trygonometryczne. Ustalenie faktu, że równanie jest trygonometryczne, wcale nie jest trudne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu sekwencji działań, które doprowadziłyby do prawidłowej odpowiedzi.
Czasami trudno określić jego typ na podstawie wyglądu równania. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.
Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować:
1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu pod „te same kąty”;
2. doprowadzić równanie do „funkcji identycznych”;
3. uwzględnij lewą stronę równania itp.
Rozważmy podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
I. Sprowadzenie do najprostszych równań trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.
Krok 2. Znajdź argument funkcji, korzystając ze wzorów:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
grzech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Krok 3. Znajdź nieznaną zmienną.
Przykład.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Rozwiązanie.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zmienna wymiana
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.
Krok 2. Oznacz wynikową funkcję przez zmienną t (jeśli to konieczne, wprowadź ograniczenia na t).
Krok 3. Zapisz i rozwiąż powstałe równanie algebraiczne.
Krok 4. Dokonaj odwrotnej wymiany.
Krok 5. Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.
Przykład.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Rozwiązanie.
1) 2(1 – grzech 2 (x/2)) – 5 grzech (x/2) – 5 = 0;
2 grzech 2 (x/2) + 5 grzech (x/2) + 3 = 0.
2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 lub e = -3/2, nie spełnia warunku |t| ≤ 1.
4) grzech(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda redukcji rzędu równań
Schemat rozwiązania
Krok 1. Zamień to równanie na liniowe, korzystając ze wzoru na stopień redukcji:
grzech 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
sałata 2 x = 1/2 · (1 + sałata 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, stosując metody I i II.
Przykład.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Rozwiązanie.
1) sałata 2x + 1/2 · (1 + sałata 2x) = 5/4.
2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 · sałata 2x = 5/4;
3/2 sałata 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Równania jednorodne
Schemat rozwiązania
Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci
a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)
lub do widoku
b) a grzech 2 x + b grzech x · cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).
Krok 2. Podziel obie strony równania przez
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i uzyskaj równanie na tan x:
a) opalenizna x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Krok 3. Rozwiąż równanie znanymi metodami.
Przykład.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Rozwiązanie.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
grzech 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Niech więc tg x = t
t 2 + 3 t – 4 = 0;
t = 1 lub t = -4, co oznacza
tg x = 1 lub tg x = -4.
Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda przekształcenia równania za pomocą wzorów trygonometrycznych
Schemat rozwiązania
Krok 1. Korzystając ze wszystkich możliwych wzorów trygonometrycznych, sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.
Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, korzystając ze znanych metod.
Przykład.
grzech x + grzech 2x + grzech 3x = 0.
Rozwiązanie.
1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;
2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.
2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;
grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;
Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.
Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
W rezultacie x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Odpowiedź: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Zdolność i umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych jest bardzo duża 
Co ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.
Z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych wiąże się wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Proces rozwiązywania takich problemów obejmuje wiele wiedzy i umiejętności, które można zdobyć studiując elementy trygonometrii.
Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie uczenia się matematyki i rozwoju osobistego w ogóle.
Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu!!!
Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej („sin x, cos x, tan x” lub „ctg x”) nazywa się równaniem trygonometrycznym i to właśnie ich wzory rozważymy dalej.
Najprostsze równania to „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, gdzie „x” to kąt, który należy znaleźć, „a” to dowolna liczba. Zapiszmy podstawowe formuły dla każdego z nich.
1. Równanie „grzech x=a”.
Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.
Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Wzór pierwiastkowy: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Równanie „cos x=a”.
Dla `|a|>1` - podobnie jak w przypadku sinusa, nie ma ono rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.
Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Wzór na pierwiastek: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Specjalne przypadki sinusa i cosinusa na wykresach. 
3. Równanie `tg x=a`
Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.
Wzór na pierwiastek: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Równanie `ctg x=a`
Ma również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.
Wzór na pierwiastek: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli
Dla sinusa: 
Dla cosinusa: 
Dla stycznych i cotangensów: 
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych
Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:
- za pomocą przekształcenia go w najprostszy;
- rozwiązać najprostsze równanie uzyskane przy użyciu wzorów pierwiastkowych i tabel zapisanych powyżej.
Przyjrzyjmy się głównym metodom rozwiązań na przykładach.
Metoda algebraiczna.
Metoda ta polega na zastąpieniu zmiennej i podstawieniu jej do równości.
Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,
znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z czego wynikają dwa przypadki:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktoryzacja.
Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.
Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy równości w lewo: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcja do równania jednorodnego
Najpierw musisz zredukować to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:
`a sin x+b cos x=0` (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (jednorodne równanie drugiego stopnia).
Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` - w pierwszym przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` - w drugim przypadku. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.
Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 grzech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` grzech^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzielimy jego lewą i prawą stronę przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Wprowadźmy zamianę `tg x=t`, w wyniku której otrzymamy `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastkami tego równania są „t_1=-2” i „t_2=1”. Następnie:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Odpowiedź. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Przejście do połowy kąta
Przykład. Rozwiąż równanie: `11 grzech x - 2 cos x = 10`.
Rozwiązanie. Zastosujmy wzory na podwójny kąt i otrzymamy: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną otrzymujemy:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Odpowiedź. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Wprowadzenie kąta pomocniczego
W równaniu trygonometrycznym „a sin x + b cos x = c”, gdzie a, b, c to współczynniki, a x to zmienna, podziel obie strony przez „sqrt (a^2+b^2)”:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, czyli suma ich kwadratów jest równa 1, a moduły nie większe niż 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, następnie:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:
Przykład. Rozwiąż równanie: `3 grzech x+4 cos x=2`.
Rozwiązanie. Podziel obie strony równości przez „sqrt (3^2+4^2)”, otrzymamy:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 grzech x+4/5 cos x=2/5`.
Oznaczmy `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, przyjmujemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, naszą równość zapisujemy w postaci:
`grzech (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odpowiedź. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ułamkowe racjonalne równania trygonometryczne
Są to równości z ułamkami, których liczniki i mianowniki zawierają funkcje trygonometryczne.
Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równości przez „(1+cos x)”. W rezultacie otrzymujemy:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być równy zero, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Przyrównajmy licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie `sin x=0` lub `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.
Odpowiedź. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trygonometria, a w szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich obszarach geometrii, fizyki i inżynierii. Naukę rozpoczyna się w 10. klasie, zawsze są zadania na egzaminie Unified State Exam, więc postaraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno ci się przydadzą!
Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność jej wyciągnięcia. To nie jest tak trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.
Wymaga znajomości podstawowych wzorów trygonometrycznych – sumy kwadratów sinusa i cosinusa, wyrażenia stycznej przez sinus i cosinus i innych. Tym, którzy o nich zapomnieli lub nie znają, zalecamy przeczytanie artykułu „”.
Znamy więc podstawowe wzory trygonometryczne, czas zastosować je w praktyce. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych przy odpowiednim podejściu jest to całkiem ekscytujące zajęcie, jak na przykład ułożenie kostki Rubika.
Już na podstawie samej nazwy widać, że równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma znajduje się pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Istnieją tak zwane najprostsze równania trygonometryczne. Oto jak wyglądają: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Rozważmy jak rozwiązywać takie równania trygonometryczne, dla jasności użyjemy już znanego koła trygonometrycznego.
sinx = a
ponieważ x = a
tan x = a
łóżeczko x = a
Każde równanie trygonometryczne rozwiązuje się w dwóch etapach: sprowadzamy równanie do najprostszej postaci, a następnie rozwiązujemy je jako proste równanie trygonometryczne.
Istnieje 7 głównych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Podstawianie zmiennej i metoda podstawienia
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą faktoryzacji
Redukcja do równania jednorodnego
Rozwiązywanie równań poprzez przejście do połowy kąta
Wprowadzenie kąta pomocniczego
Rozwiąż równanie 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Korzystając ze wzorów redukcyjnych otrzymujemy:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Zamień cos(x + /6) na y, aby uprościć i uzyskać zwykłe równanie kwadratowe:
2 lata 2 – 3 lata + 1 + 0
których pierwiastki to y 1 = 1, y 2 = 1/2
Przejdźmy teraz w odwrotnej kolejności
Podstawiamy znalezione wartości y i otrzymujemy dwie opcje odpowiedzi:
Jak rozwiązać równanie sin x + cos x = 1?
Przesuńmy wszystko w lewo, aby 0 pozostało po prawej stronie:
grzech x + cos x – 1 = 0
Użyjmy tożsamości omówionych powyżej, aby uprościć równanie:
grzech x - 2 grzech 2 (x/2) = 0
Rozłóżmy na czynniki:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 grzech 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Otrzymujemy dwa równania
Równanie jest jednorodne pod względem sinusa i cosinusa, jeśli wszystkie jego wyrazy odnoszą się do sinusa i cosinusa tego samego stopnia tego samego kąta. Aby rozwiązać równanie jednorodne, wykonaj następujące czynności:
a) przenieść wszystkich swoich członków na lewą stronę;
b) wyjąć wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;
c) przyrównać wszystkie współczynniki i nawiasy do 0;
d) w nawiasie otrzymuje się jednorodne równanie niższego stopnia, które z kolei dzieli się na sinus lub cosinus wyższego stopnia;
e) rozwiązać powstałe równanie dla tg.
Rozwiąż równanie 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Użyjmy wzoru sin 2 x + cos 2 x = 1 i pozbądźmy się dwóch otwartych po prawej stronie:
3 grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 5 cos x = 2 grzech 2 x + 2 cos 2 x
grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 3 cos 2 x = 0
Podziel przez cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Zamień tan x na y i uzyskaj równanie kwadratowe:
y 2 + 4y +3 = 0, którego pierwiastki to y 1 =1, y 2 = 3
Stąd znajdziemy dwa rozwiązania pierwotnego równania:
x 2 = arctan 3 + k
Rozwiąż równanie 3sin x – 5cos x = 7
Przejdźmy do x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Przesuńmy wszystko w lewo:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Podziel przez cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Weźmy pod uwagę równanie postaci: a sin x + b cos x = c,
gdzie a, b, c to dowolne współczynniki, a x jest niewiadomą.
Podzielmy obie strony równania przez:
Teraz współczynniki równania, zgodnie ze wzorami trygonometrycznymi, mają właściwości sin i cos, a mianowicie: ich moduł jest nie większy niż 1, a suma kwadratów = 1. Oznaczmy je odpowiednio jako cos i sin, gdzie - to jest tak zwany kąt pomocniczy. Wówczas równanie przyjmie postać:
cos * grzech x + grzech * cos x = C
lub grzech(x + ) = C
Rozwiązaniem tego najprostszego równania trygonometrycznego jest:
x = (-1) k * arcsin C - + k, gdzie
Należy zauważyć, że oznaczenia cos i sin są wymienne.
Rozwiąż równanie sin 3x – cos 3x = 1
Współczynniki w tym równaniu to:
a = , b = -1, więc podziel obie strony przez = 2
Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”
Co będziemy studiować:
1. Co to są równania trygonometryczne?
3. Dwie główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Równania trygonometryczne jednorodne.
5. Przykłady.
Co to są równania trygonometryczne?
Chłopaki, badaliśmy już arcusinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Przyjrzyjmy się teraz ogólnie równaniom trygonometrycznym.
Równania trygonometryczne to równania, w których zmienna jest zawarta pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Powtórzmy formę rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych:
1)Jeśli |a|≤ 1, to równanie cos(x) = a ma rozwiązanie:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Jeżeli |a|≤ 1, to równanie sin(x) = a ma rozwiązanie:
3) Jeśli |a| > 1, to równanie sin(x) = a i cos(x) = a nie ma rozwiązań 4) Równanie tg(x)=a ma rozwiązanie: x=arctg(a)+ πk
5) Równanie ctg(x)=a ma rozwiązanie: x=arcctg(a)+ πk
Dla wszystkich formuł k jest liczbą całkowitą
Najprostsze równania trygonometryczne mają postać: T(kx+m)=a, T jest jakąś funkcją trygonometryczną.
Przykład.Rozwiąż równania: a) sin(3x)= √3/2
Rozwiązanie:
A) Oznaczmy 3x=t, a następnie przepiszemy nasze równanie do postaci:
Rozwiązaniem tego równania będzie: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Z tabeli wartości otrzymujemy: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Wróćmy do naszej zmiennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Wtedy x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Odpowiedź: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdzie n jest liczbą całkowitą. (-1)^n – minus jeden do potęgi n.
Więcej przykładów równań trygonometrycznych.
Rozwiąż równania: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3Rozwiązanie:
A) Tym razem przejdźmy od razu do obliczenia pierwiastków równania:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Wtedy x/5= πk => x=5πk
Odpowiedź: x=5πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.
B) Zapisujemy to w postaci: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wiemy, że: arctan(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Odpowiedź: x=2π/9 + πk/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Rozwiąż równania: cos(4x)= √2/2. I znajdź wszystkie korzenie segmentu.
Rozwiązanie:
Rozwiążmy nasze równanie w postaci ogólnej: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Zobaczmy teraz, jakie korzenie spadają na nasz segment. Przy k Przy k=0, x= π/16 znajdujemy się w danym segmencie.
Przy k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, uderzamy ponownie.
Dla k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tutaj nie trafiliśmy, czyli dla dużego k też oczywiście nie trafimy.
Odpowiedź: x= π/16, x= 9π/16
Dwie główne metody rozwiązania.
Przyjrzeliśmy się najprostszym równaniom trygonometrycznym, ale są też bardziej złożone. Do ich rozwiązania wykorzystuje się metodę wprowadzania nowej zmiennej oraz metodę faktoryzacji. Spójrzmy na przykłady.Rozwiążmy równanie:
Rozwiązanie:
Do rozwiązania naszego równania skorzystamy z metody wprowadzenia nowej zmiennej, oznaczającej: t=tg(x).
W wyniku podstawienia otrzymujemy: t 2 + 2t -1 = 0
Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: t=-1 i t=1/3
Wtedy tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, otrzymamy najprostsze równanie trygonometryczne, znajdźmy jego pierwiastki.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Odpowiedź: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Przykład rozwiązania równania
Rozwiąż równania: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Rozwiązanie:
Użyjmy tożsamości: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Nasze równanie będzie miało postać: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Wprowadźmy zamianę t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są pierwiastki: t=2 i t=-1/2
Wtedy cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.
Ponieważ cosinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden, wówczas cos(x)=2 nie ma pierwiastków.
Dla cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Odpowiedź: x= ±2π/3 + 2πk
Równania trygonometryczne jednorodne.
Definicja: Równania w postaci a sin(x)+b cos(x) nazywane są jednorodnymi równaniami trygonometrycznymi pierwszego stopnia.Równania postaci
jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia.
Aby rozwiązać jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia, podziel je przez cos(x): 
Nie można dzielić przez cosinus, jeśli jest równy zero, upewnijmy się, że tak nie jest:
Niech cos(x)=0, wtedy asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus i cosinus nie są jednocześnie równe zeru, otrzymamy sprzeczność, więc możemy bezpiecznie dzielić o zero.
Rozwiązać równanie:
Przykład: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Rozwiązanie:
Wyjmijmy wspólny czynnik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Następnie musimy rozwiązać dwa równania:
Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 przy x= π/2 + πk;
Rozważmy równanie cos(x)+sin(x)=0. Podzielmy nasze równanie przez cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Odpowiedź: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk
Jak rozwiązywać jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia?
Chłopaki, zawsze przestrzegajcie tych zasad!
1. Zobacz, ile wynosi współczynnik a, jeśli a=0 to nasze równanie będzie miało postać cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), którego przykład rozwiązania znajduje się na poprzednim slajdzie
2. Jeśli a≠0, to musisz podzielić obie strony równania przez cosinus kwadrat, otrzymamy:
Zmieniamy zmienną t=tg(x) i otrzymujemy równanie:
Rozwiąż przykład nr:3
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Podzielmy obie strony równania przez cosinus kwadrat: 
Zmieniamy zmienną t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego: t=-3 i t=1
Wtedy: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Odpowiedź: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk
Rozwiąż przykład nr:4
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:
Potrafimy rozwiązać takie równania: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk
Odpowiedź: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk
Rozwiąż przykład nr:5
Rozwiązać równanie:Rozwiązanie:
Przekształćmy nasze wyrażenie:
Wprowadźmy podstawienie tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego będą pierwiastki: t=-2 i t=1/2
Wtedy otrzymujemy: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Odpowiedź: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Problemy do samodzielnego rozwiązania.
1) Rozwiąż równanieA) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7
2) Rozwiąż równania: sin(3x)= √3/2. I znajdź wszystkie pierwiastki odcinka [π/2; π].
3) Rozwiąż równanie: łóżko 2 (x) + 2 łóżko (x) + 1 =0
4) Rozwiąż równanie: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Rozwiąż równanie: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) Rozwiąż równanie: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)