Jarak jauh pembangunan kemahiran menyelesaikan persamaan bermula dengan menyelesaikan persamaan yang pertama dan agak mudah. Dengan persamaan tersebut kita maksudkan persamaan di mana bahagian kiri mengandungi jumlah, perbezaan, hasil darab atau hasil bagi dua nombor, satu daripadanya tidak diketahui, dan bahagian kanan mengandungi nombor. Iaitu, persamaan ini mengandungi jumlah tambah, minuend, subtrahend, pengganda, dividen atau pembahagi yang tidak diketahui. Mengenai penyelesaian persamaan tersebut dan kita akan bercakap dalam artikel ini.

Di sini kami akan memberikan peraturan yang membolehkan anda mencari istilah, faktor, dsb. Selain itu, kami akan segera mempertimbangkan penggunaan peraturan ini dalam amalan, menyelesaikan persamaan ciri.

Navigasi halaman.

Jadi, kita gantikan nombor 5 dan bukannya x ke dalam persamaan asal 3+x=8, kita dapat 3+5=8 - kesamaan ini betul, oleh itu, kita telah menemui istilah yang tidak diketahui dengan betul. Jika semasa pengesahan kami menerima yang salah kesamaan berangka, maka ini akan menunjukkan kepada kita bahawa kita telah menyelesaikan persamaan dengan salah. Sebab utama untuk ini mungkin sama ada penggunaan peraturan yang salah atau ralat pengiraan.

Bagaimana untuk mencari minuend atau subtrahend yang tidak diketahui?

Hubungan antara penambahan dan penolakan nombor, yang telah kami sebutkan di dalamnya perenggan sebelumnya, membolehkan kami mendapatkan peraturan untuk mencari minuend yang tidak diketahui melalui subtrahend yang diketahui dan perbezaan, serta peraturan untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui melalui minuend yang diketahui dan perbezaan. Kami akan merumuskannya satu demi satu dan segera membentangkan penyelesaian kepada persamaan yang sepadan.

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan x−2=5. Ia mengandungi minit yang tidak diketahui. Peraturan di atas memberitahu kita bahawa untuk mencarinya kita mesti menambah subtrahend yang diketahui 2 kepada perbezaan yang diketahui 5, kita mempunyai 5+2=7. Oleh itu, minit yang diperlukan adalah bersamaan dengan tujuh.

Jika kita meninggalkan penjelasan, penyelesaiannya ditulis seperti berikut:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Untuk kawalan diri, mari kita lakukan pemeriksaan. Kami menggantikan minuend yang ditemui ke dalam persamaan asal, dan kami memperoleh kesamaan berangka 7−2=5. Ia adalah betul, oleh itu, kita boleh yakin bahawa kita telah menentukan dengan betul nilai minit yang tidak diketahui.

Anda boleh meneruskan untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui. Ia didapati dengan menambah peraturan seterusnya: untuk mencari subtrahend tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Mari kita selesaikan persamaan bentuk 9−x=4 menggunakan peraturan bertulis. Dalam persamaan ini, yang tidak diketahui ialah subtrahend. Untuk mencarinya, kita perlu menolak perbezaan yang diketahui 4 daripada minit 9 yang diketahui, kita mempunyai 9−4=5. Oleh itu, subtrahend yang diperlukan adalah bersamaan dengan lima.

Jom beri versi pendek penyelesaian kepada persamaan ini:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Yang tinggal hanyalah menyemak ketepatan subtrahend yang ditemui. Mari kita lakukan semakan dengan menggantikan nilai yang ditemui 5 ke dalam persamaan asal dan bukannya x, dan kita mendapat kesamaan berangka 9−5=4. Ia betul, jadi nilai subtrahend yang kami temui adalah betul.

Dan sebelum beralih ke peraturan seterusnya, kami perhatikan bahawa dalam gred 6 peraturan untuk menyelesaikan persamaan dipertimbangkan, yang membolehkan anda memindahkan sebarang istilah dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain dengan tanda bertentangan. Jadi, semua peraturan yang dibincangkan di atas untuk mencari summand, minuend dan subtrahend yang tidak diketahui adalah konsisten sepenuhnya dengannya.

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu...

Mari kita lihat persamaan x·3=12 dan 2·y=6. Di dalamnya, nombor yang tidak diketahui adalah faktor di sebelah kiri, dan produk dan faktor kedua diketahui. Untuk mencari pengganda yang tidak diketahui, anda boleh menggunakan peraturan berikut: untuk mencari no pengganda yang diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.

Asas peraturan ini ialah kita memberikan pembahagian nombor makna yang bertentangan dengan makna pendaraban. Iaitu, terdapat hubungan antara pendaraban dan pembahagian: daripada kesamaan a·b=c, di mana a≠0 dan b≠0 ia mengikuti bahawa c:a=b dan c:b=c, dan sebaliknya.

Sebagai contoh, mari kita cari faktor yang tidak diketahui bagi persamaan x·3=12. Mengikut peraturan, kita perlu membahagikan karya terkenal 12 dengan faktor yang diketahui 3. Mari kita jalankan: 12:3=4. Oleh itu, faktor yang tidak diketahui ialah 4.

Secara ringkas, penyelesaian kepada persamaan ditulis sebagai urutan kesamaan:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Ia juga dinasihatkan untuk menyemak keputusan: kita menggantikan nilai yang ditemui dalam persamaan asal dan bukannya huruf, kita mendapat 4 3 = 12 - kesamaan berangka yang betul, oleh itu kita telah menemui nilai faktor yang tidak diketahui dengan betul.

Dan satu lagi perkara: bertindak mengikut peraturan yang dipelajari, kita sebenarnya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan faktor yang diketahui selain sifar. Dalam gred 6 akan dikatakan bahawa kedua-dua belah persamaan boleh didarab dan dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, ini tidak menjejaskan punca persamaan.

Bagaimana untuk mencari dividen atau pembahagi yang tidak diketahui?

Dalam rangka kerja topik kami, masih perlu memikirkan cara mencari dividen yang tidak diketahui dengan pembahagi dan hasil bahagi yang diketahui, serta cara mencari pembahagi yang tidak diketahui dengan dividen dan hasil bahagi yang diketahui. Kaitan antara pendaraban dan pembahagian yang telah disebutkan dalam perenggan sebelumnya membolehkan kita menjawab soalan-soalan ini.

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarab hasil bahagi dengan pembahagi.

Mari kita lihat aplikasinya menggunakan contoh. Mari selesaikan persamaan x:5=9. Untuk mencari dividen yang tidak diketahui bagi persamaan ini, mengikut peraturan, anda perlu mendarab hasil bahagi 9 yang diketahui dengan pembahagi 5 yang diketahui, iaitu, kita melakukan pendaraban. nombor asli: 9·5=45. Oleh itu, dividen yang diperlukan ialah 45.

Mari tunjukkan versi pendek penyelesaian:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Cek mengesahkan bahawa nilai dividen yang tidak diketahui telah ditemui dengan betul. Sesungguhnya, apabila menggantikan nombor 45 ke dalam persamaan asal dan bukannya pembolehubah x, ia bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul 45:5=9.

Ambil perhatian bahawa peraturan yang dianalisis boleh ditafsirkan sebagai mendarab kedua-dua belah persamaan dengan pembahagi yang diketahui. Penjelmaan ini tidak menjejaskan punca persamaan.

Mari kita beralih kepada peraturan mencari pembahagi yang tidak diketahui: untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.

Mari kita lihat contoh. Mari cari pembahagi yang tidak diketahui daripada persamaan 18:x=3. Untuk melakukan ini, kita perlu membahagikan dividen 18 yang diketahui dengan hasil bahagi 3 yang diketahui, kita mempunyai 18:3=6. Oleh itu, pembahagi yang diperlukan ialah enam.

Penyelesaiannya boleh ditulis seperti ini:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Mari semak keputusan ini untuk kebolehpercayaan: 18:6=3 ialah kesamaan berangka yang betul, oleh itu, punca persamaan ditemui dengan betul.

Adalah jelas bahawa peraturan ini hanya boleh digunakan apabila hasil bagi bukan sifar, supaya tidak menemui pembahagian dengan sifar. Apabila hasil bagi sama dengan sifar, maka dua kes adalah mungkin. Jika dividen adalah sama dengan sifar, iaitu, persamaan mempunyai bentuk 0:x=0, maka sebarang nilai bukan sifar pembahagi memenuhi persamaan ini. Dengan kata lain, punca-punca persamaan tersebut ialah sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar. Jika, apabila hasil bagi sama dengan sifar, dividen adalah berbeza daripada sifar, maka tanpa nilai pembahagi, persamaan asal bertukar menjadi kesamaan berangka yang betul, iaitu persamaan tidak mempunyai punca. Sebagai ilustrasi, kami membentangkan persamaan 5:x=0, ia tidak mempunyai penyelesaian.

Peraturan Perkongsian

Penggunaan peraturan yang konsisten untuk mencari jumlah yang tidak diketahui, minuend, subtrahend, pengganda, dividen dan pembahagi membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pembolehubah tunggal lebih banyak. jenis kompleks. Mari kita fahami ini dengan contoh.

Pertimbangkan persamaan 3 x+1=7. Pertama, kita boleh mencari sebutan yang tidak diketahui 3 x, untuk melakukan ini kita perlu menolak sebutan 1 yang diketahui daripada jumlah 7, kita mendapat 3 x = 7−1 dan kemudian 3 x = 6. Sekarang tinggal mencari faktor yang tidak diketahui dengan membahagikan hasil 6 dengan faktor 3 yang diketahui, kita mempunyai x=6:3, dari mana x=2. Ini adalah bagaimana punca persamaan asal ditemui.

Untuk menyatukan bahan, kami membentangkan penyelesaian singkat persamaan lain (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Rujukan.

• Matematik.. darjah 4. Buku teks untuk pendidikan am institusi. Pada pukul 2 petang Bahagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dll.] - ed ke-8. - M.: Pendidikan, 2011. - 112 p.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematik: buku teks untuk darjah 5. pendidikan am institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - ed. ke-21, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.

Untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan dengan cepat dan berjaya, anda perlu bermula dengan yang paling banyak peraturan mudah dan contoh. Pertama sekali, anda perlu belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan yang mempunyai perbezaan, jumlah, hasil bahagi atau hasil darab beberapa nombor dengan satu tidak diketahui di sebelah kiri, dan nombor lain di sebelah kanan. Dalam erti kata lain, dalam persamaan ini terdapat satu istilah yang tidak diketahui dan sama ada minuend dengan subtrahend, atau dividen dengan pembahagi, dsb. Kami akan bercakap dengan anda mengenai persamaan jenis ini.

Artikel ini ditumpukan kepada peraturan asas yang membolehkan anda mencari faktor, istilah yang tidak diketahui, dll. Kami akan segera menerangkan semua prinsip teori menggunakan contoh khusus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mencari istilah yang tidak diketahui

Katakan kita mempunyai sejumlah bola dalam dua pasu, sebagai contoh, 9. Kami tahu bahawa terdapat 4 bola dalam pasu kedua. Bagaimana untuk mencari kuantiti dalam kedua? Mari kita tulis masalah ini bentuk matematik, menetapkan nombor yang akan dijumpai sebagai x. Mengikut keadaan asal, nombor ini bersama-sama dengan 4 bentuk 9, yang bermaksud kita boleh menulis persamaan 4 + x = 9. Di sebelah kiri kita mempunyai jumlah dengan satu istilah yang tidak diketahui, di sebelah kanan kita mempunyai nilai jumlah ini. Bagaimana untuk mencari x? Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan peraturan:

Definisi 1

Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlahnya.

DALAM dalam kes ini kita memberikan penolakan makna yang berlawanan dengan penambahan. Dalam erti kata lain, terdapat hubungan tertentu antara tindakan penambahan dan penolakan, yang boleh dinyatakan secara literal seperti berikut: jika a + b = c, maka c − a = b dan c − b = a, dan sebaliknya, dari ungkapan c − a = b dan c − b = a, kita boleh simpulkan bahawa a + b = c.

Mengetahui peraturan ini, kita boleh mencari satu istilah yang tidak diketahui menggunakan istilah yang diketahui dan jumlahnya. Istilah tepat mana yang kita tahu, yang pertama atau yang kedua, dalam kes ini tidak penting. Mari lihat cara menggunakan peraturan ini dalam amalan.

Contoh 1

Mari kita ambil persamaan yang kita dapat di atas: 4 + x = 9. Mengikut peraturan, kita perlu menolak daripada jumlah yang diketahui bersamaan dengan 9 sebutan yang diketahui bersamaan dengan 4. Mari kita tolak satu nombor asli daripada yang lain: 9 - 4 = 5. Kami mendapat istilah yang kami perlukan, bersamaan dengan 5.

Biasanya penyelesaian kepada persamaan tersebut ditulis seperti berikut:

1. Persamaan asal ditulis dahulu.
2. Seterusnya, kami menulis persamaan yang terhasil selepas kami menggunakan peraturan untuk mengira istilah yang tidak diketahui.
3. Selepas ini, kami menulis persamaan yang diperolehi selepas semua manipulasi dengan nombor.

Bentuk tatatanda ini diperlukan untuk menggambarkan penggantian berurutan persamaan asal dengan yang setara dan untuk memaparkan proses mencari punca. Keputusan kami persamaan mudah diberikan di atas, adalah betul untuk menulis ini:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

Kita boleh menyemak ketepatan jawapan yang diterima. Mari kita gantikan apa yang kita dapat ke dalam persamaan asal dan lihat sama ada kesamaan berangka yang betul muncul daripadanya. Gantikan 5 kepada 4 + x = 9 dan dapatkan: 4 + 5 = 9. Kesamaan 9 = 9 adalah betul, yang bermaksud istilah yang tidak diketahui ditemui dengan betul. Jika persamaan ternyata tidak betul, maka kita harus kembali kepada penyelesaian dan menyemaknya semula, kerana ini adalah tanda ralat. Sebagai peraturan, selalunya ini adalah ralat pengiraan atau penggunaan peraturan yang salah.

Mencari subtrahend atau minuend yang tidak diketahui

Seperti yang telah kita sebutkan dalam perenggan pertama, terdapat hubungan tertentu antara proses penambahan dan penolakan. Dengan bantuannya, kami boleh merumuskan peraturan yang akan membantu kami mencari minuend yang tidak diketahui apabila kami mengetahui perbezaan dan subtrahend, atau subtrahend yang tidak diketahui melalui minuend atau perbezaan. Mari tulis kedua-dua peraturan ini secara bergilir-gilir dan tunjukkan cara menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

Definisi 2

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Contoh 2

Sebagai contoh, kita mempunyai persamaan x - 6 = 10. Minit tidak diketahui. Mengikut peraturan, kita perlu menambah 6 yang dikurangkan kepada perbezaan 10, kita mendapat 16. Iaitu, minuend asal adalah sama dengan enam belas. Mari tuliskan keseluruhan penyelesaian:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

Mari kita semak keputusan dengan menambah nombor yang terhasil pada persamaan asal: 16 - 6 = 10. Kesamaan 16 - 16 akan betul, yang bermaksud kami telah mengira semuanya dengan betul.

Definisi 3

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Contoh 3

Mari kita gunakan peraturan untuk menyelesaikan persamaan 10 - x = 8. Kami tidak tahu subtrahend, jadi kami perlu menolak perbezaan daripada 10, i.e. 10 - 8 = 2. Ini bermakna subtrahend yang diperlukan adalah sama dengan dua. Inilah keseluruhan penyelesaiannya:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

Mari kita semak ketepatan dengan menggantikan kedua-duanya ke dalam persamaan asal. Kami dapat persamaan sebenar 10 - 2 = 8 dan pastikan nilai yang kami temui adalah betul.

Sebelum beralih kepada peraturan lain, kami perhatikan bahawa terdapat peraturan untuk memindahkan sebarang istilah dari satu bahagian persamaan ke yang lain, menggantikan tanda dengan yang bertentangan. Semua peraturan di atas mematuhi sepenuhnya.

Mencari faktor yang tidak diketahui

Mari kita lihat dua persamaan: x · 2 = 20 dan 3 · x = 12. Dalam kedua-duanya, kita tahu nilai produk dan salah satu faktor kita perlu mencari yang kedua. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan peraturan lain.

Definisi 4

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.

Peraturan ini berdasarkan makna yang bertentangan dengan makna penggandaan. Antara darab dan bahagi ada sambungan seterusnya: a · b = c apabila a dan b tidak sama dengan 0, c: a = b, c: b = c dan sebaliknya.

Contoh 4

Mari kita hitung faktor yang tidak diketahui dalam persamaan pertama dengan membahagikan hasil bahagi 20 yang diketahui dengan faktor 2 yang diketahui. Kami membahagikan nombor asli dan mendapat 10. Mari kita tuliskan urutan kesamaan:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

Kami menggantikan sepuluh ke dalam kesamaan asal dan mendapatkan bahawa 2 · 10 = 20. Nilai pengganda yang tidak diketahui telah dilakukan dengan betul.

Mari kita jelaskan bahawa jika salah satu pengganda ialah sifar, peraturan ini tidak boleh digunakan. Oleh itu, kita tidak boleh menyelesaikan persamaan x · 0 = 11 dengan bantuannya. Notasi ini tidak masuk akal, kerana untuk menyelesaikannya anda perlu membahagikan 11 dengan 0, dan pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Kami bercakap tentang kes sedemikian dengan lebih terperinci dalam artikel yang dikhaskan untuk persamaan linear.

Apabila kita menggunakan peraturan ini, kita pada dasarnya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan faktor selain daripada 0. Terdapat peraturan yang berasingan mengikut mana pembahagian sedemikian boleh dijalankan, dan ia tidak akan menjejaskan akar persamaan, dan apa yang kami tulis dalam perenggan ini benar-benar konsisten dengannya.

Mencari dividen atau pembahagi yang tidak diketahui

Satu lagi kes yang perlu kita pertimbangkan ialah mencari dividen yang tidak diketahui jika kita mengetahui pembahagi dan hasil bagi, serta mencari pembahagi apabila hasil bagi dan dividen diketahui. Kita boleh merumuskan peraturan ini menggunakan hubungan antara pendaraban dan pembahagian yang telah disebutkan di sini.

Definisi 5

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarabkan pembahagi dengan hasil bagi.

Mari lihat bagaimana peraturan ini digunakan.

Contoh 5

Mari kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan x: 3 = 5. Kami mendarabkan hasil bahagi yang diketahui dan pembahagi yang diketahui bersama-sama dan mendapat 15, yang akan menjadi dividen yang kami perlukan.

Berikut ialah ringkasan keseluruhan penyelesaian:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

Semakan menunjukkan bahawa kami mengira semuanya dengan betul, kerana apabila membahagikan 15 dengan 3, ia sebenarnya menjadi 5. Kesamaan berangka yang betul adalah bukti penyelesaian yang betul.

Peraturan ini boleh ditafsirkan sebagai mendarabkan sisi kanan dan kiri persamaan dengan nombor yang sama selain daripada 0. Transformasi ini tidak menjejaskan punca persamaan dalam apa cara sekalipun.

Mari kita beralih kepada peraturan seterusnya.

Definisi 6

Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.

Contoh 6

Mari kita ambil contoh mudah - persamaan 21: x = 3. Untuk menyelesaikannya, bahagikan dividen 21 yang diketahui dengan hasil bagi 3 dan dapatkan 7. Ini akan menjadi pembahagi yang diperlukan. Sekarang mari kita formalkan penyelesaian dengan betul:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

Mari pastikan hasilnya betul dengan menggantikan tujuh ke dalam persamaan asal. 21: 7 = 3, jadi punca persamaan dikira dengan betul.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa peraturan ini hanya terpakai kepada kes di mana hasil bagi tidak sama dengan sifar, kerana dalam sebaliknya sekali lagi kita perlu membahagi dengan 0. Jika sifar adalah peribadi, dua pilihan adalah mungkin. Jika dividen juga sama dengan sifar dan persamaan kelihatan seperti 0: x = 0, maka nilai pembolehubah adalah sebarang, iaitu persamaan ini mempunyai nombor tak terhingga akar Tetapi persamaan dengan hasil bagi sama dengan 0 dan dividen yang berbeza daripada 0 tidak akan mempunyai penyelesaian, kerana nilai pembahagi tersebut tidak wujud. Contohnya ialah persamaan 5: x = 0, yang tidak mempunyai sebarang punca.

Pemakaian peraturan yang konsisten

Selalunya dalam amalan terdapat lebih banyak tugasan yang kompleks, di mana peraturan untuk mencari addend, minuends, subtrahends, faktor, dividen dan hasil bahagi mesti digunakan secara konsisten. Mari kita beri contoh.

Contoh 7

Kami mempunyai persamaan bentuk 3 x + 1 = 7. Kami mengira sebutan yang tidak diketahui 3 x dengan menolak satu daripada 7. Kita berakhir dengan 3 x = 7 − 1, kemudian 3 x = 6. Persamaan ini sangat mudah untuk diselesaikan: bahagikan 6 dengan 3 dan dapatkan punca persamaan asal.

Berikut ialah ringkasan ringkas penyelesaian kepada persamaan lain (2 x − 7) : 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Tahap kemasukan

Persamaan linear. Panduan Lengkap (2019)

Apakah "persamaan linear"

atau dalam secara lisan- tiga rakan diberi epal setiap satu berdasarkan Vasya mempunyai semua epal yang dia miliki.

Dan sekarang anda sudah membuat keputusan persamaan linear
Sekarang mari kita berikan istilah ini definisi matematik.

Persamaan linear - ini persamaan algebra, siapa ada ijazah penuh polinomial konstituennya adalah sama dengan. Ia kelihatan seperti ini:

Di mana dan adalah sebarang nombor dan

Untuk kes kami dengan Vasya dan epal, kami akan menulis:

- "Jika Vasya memberikan bilangan epal yang sama kepada ketiga-tiga rakannya, dia tidak akan mempunyai epal lagi"

Persamaan linear "tersembunyi", atau kepentingan transformasi identiti

Walaupun pada pandangan pertama semuanya sangat mudah, apabila menyelesaikan persamaan anda perlu berhati-hati, kerana persamaan linear dipanggil bukan sahaja persamaan jenis ini, tetapi juga sebarang persamaan yang boleh dikurangkan kepada jenis ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Contohnya:

Kami melihat apa yang ada di sebelah kanan, yang, secara teori, sudah menunjukkan bahawa persamaan itu tidak linear. Lebih-lebih lagi, jika kita membuka kurungan, kita akan mendapat dua lagi istilah di mana ia akan menjadi, tetapi jangan tergesa-gesa membuat kesimpulan! Sebelum menilai sama ada persamaan adalah linear, adalah perlu untuk membuat semua transformasi dan dengan itu memudahkan contoh asal. Dalam kes ini, transformasi boleh berubah penampilan, tetapi bukan intipati persamaan itu.

Dalam erti kata lain, data transformasi mestilah serupa atau setara. Terdapat hanya dua transformasi sedemikian, tetapi mereka bermain sangat, SANGAT peranan penting apabila menyelesaikan masalah. Mari kita lihat kedua-dua transformasi menggunakan contoh khusus.

Pindah ke kiri - kanan.

Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

masuk semula sekolah rendah kami diberitahu: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan." Apakah ungkapan dengan X di sebelah kanan? Betul, tetapi bukan bagaimana tidak. Dan ini penting, kerana jika ini salah faham, nampaknya soalan mudah, jawapan yang salah keluar. Apakah ungkapan dengan X di sebelah kiri? Betul, .

Sekarang setelah kami mengetahui perkara ini, kami memindahkan semua syarat yang tidak diketahui kepada sebelah kiri, dan semua yang diketahui - di sebelah kanan, mengingati bahawa jika tidak ada tanda di hadapan nombor, sebagai contoh, maka nombor itu positif, iaitu, terdapat tanda “ ” di hadapannya.

Dipindahkan? Apa yang awak dapat?

Apa yang perlu dilakukan hanyalah membawa istilah yang serupa. Kami mempersembahkan:

Jadi, kami telah berjaya menganalisis transformasi serupa yang pertama, walaupun saya pasti anda sudah mengetahuinya dan menggunakannya secara aktif tanpa saya. Perkara utama adalah tidak melupakan tanda-tanda nombor dan menukarnya kepada yang bertentangan apabila memindahkan melalui tanda yang sama!

Darab-bahagi.

Mari kita mulakan segera dengan contoh

Mari kita lihat dan fikirkan: apakah yang kita tidak suka tentang contoh ini? Yang tidak diketahui semuanya dalam satu bahagian, yang diketahui di bahagian lain, tetapi ada sesuatu yang menghalang kita... Dan sesuatu ini adalah empat, kerana jika bukan kerananya, semuanya akan sempurna - x sama dengan nombor- tepat seperti yang kita perlukan!

Bagaimana anda boleh menghilangkannya? Kita tidak boleh mengalihkannya ke kanan, kerana kemudian kita perlu mengalihkan keseluruhan pengganda (kita tidak boleh mengambilnya dan mengoyakkannya), dan mengalihkan keseluruhan pengganda juga tidak masuk akal...

Sudah tiba masanya untuk mengingati tentang pembahagian, jadi mari bahagikan semuanya dengan! Segala-galanya - ini bermakna kedua-dua bahagian kiri dan kanan. Dengan cara ini dan hanya dengan cara ini! Apa yang kita sedang buat?

Inilah jawapannya.

Sekarang mari kita lihat contoh lain:

Bolehkah anda meneka apa yang perlu dilakukan dalam kes ini? Betul, darabkan sisi kiri dan kanan! Apakah jawapan yang anda terima? Betul. .

Pasti anda sudah mengetahui segala-galanya tentang transformasi identiti. Pertimbangkan bahawa kami baru sahaja menyegarkan pengetahuan ini dalam ingatan anda dan sudah tiba masanya untuk sesuatu yang lebih - Contohnya, untuk menyelesaikan contoh besar kami:

Seperti yang kita katakan sebelum ini, melihatnya, anda tidak boleh mengatakan bahawa persamaan ini adalah linear, tetapi kita perlu membuka kurungan dan melakukan transformasi yang sama. Jadi mari kita mulakan!

Sebagai permulaan, kita ingat semula formula untuk pendaraban yang disingkatkan, khususnya, kuasa dua jumlah dan kuasa dua perbezaan. Jika anda tidak ingat apa itu dan bagaimana kurungan dibuka, saya sangat mengesyorkan membaca topik, kerana kemahiran ini akan berguna kepada anda apabila menyelesaikan hampir semua contoh yang dihadapi dalam peperiksaan.
Terbongkar? Mari bandingkan:

Kini tiba masanya untuk membawa istilah yang sama. Adakah anda masih ingat bagaimana kita berada dalam keadaan yang sama sekolah rendah adakah mereka berkata "kami tidak meletakkan lalat dengan potongan daging"? Di sini saya mengingatkan anda tentang perkara ini. Kami menambah semuanya secara berasingan - faktor yang mempunyainya, faktor yang mempunyainya, dan selebihnya faktor yang tidak diketahui. Apabila anda membawa istilah yang serupa, alihkan semua yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan. Apa yang awak dapat?

Seperti yang anda lihat, X di petak telah hilang dan kami melihat sesuatu yang normal. persamaan linear. Yang tinggal hanyalah mencarinya!

Dan akhirnya saya akan mengatakan satu lagi perkara penting tentang transformasi identiti - transformasi identiti boleh digunakan bukan sahaja untuk persamaan linear, tetapi juga untuk kuadratik, rasional pecahan dan lain-lain. Anda hanya perlu ingat bahawa apabila kita memindahkan faktor melalui tanda sama, kita menukar tanda kepada yang bertentangan, dan apabila membahagi atau mendarab dengan beberapa nombor, kita mendarab/membahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang SAMA.

Apa lagi yang anda ambil daripada contoh ini? Bahawa dengan melihat persamaan tidak selalu mungkin untuk menentukan secara langsung dan tepat sama ada ia adalah linear atau tidak. Ia perlu terlebih dahulu menyederhanakan ungkapan itu, dan hanya kemudian menilai apa itu.

Persamaan linear. Contoh.

Berikut ialah beberapa lagi contoh untuk anda praktikkan sendiri - tentukan sama ada persamaan adalah linear dan jika ya, cari puncanya:

Jawapan:

1. Adakah.

2. Ia tidak.

Mari buka kurungan dan kemukakan istilah yang serupa:

Mari lakukan transformasi yang sama - bahagikan sisi kiri dan kanan kepada:

Kami melihat bahawa persamaan itu tidak linear, jadi tidak perlu mencari puncanya.

3. Adakah.

Mari lakukan transformasi yang sama - darabkan bahagian kiri dan kanan dengan untuk menyingkirkan penyebut.

Fikirkan mengapa ia sangat penting? Jika anda tahu jawapan kepada soalan ini, teruskan untuk menyelesaikan persamaan jika tidak, pastikan anda melihat ke dalam topik supaya tidak membuat kesilapan lebih lanjut contoh yang kompleks. Dengan cara ini, seperti yang anda lihat, keadaannya adalah mustahil. kenapa?
Jadi, mari kita teruskan dan susun semula persamaan:

Jika anda menguruskan segala-galanya tanpa kesukaran, mari kita bercakap tentang persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Persamaan linear dalam dua pembolehubah

Sekarang mari kita beralih kepada sedikit lebih kompleks - persamaan linear dengan dua pembolehubah.

Persamaan linear dengan dua pembolehubah mempunyai bentuk:

Di mana, dan - sebarang nombor dan.

Seperti yang anda lihat, satu-satunya perbezaan ialah pembolehubah lain ditambahkan pada persamaan. Jadi semuanya adalah sama - tiada x kuasa dua, tiada pembahagian dengan pembolehubah, dsb. dll.

Mana satu patut saya bawa awak? contoh kehidupan... Mari kita ambil Vasya yang sama. Katakan dia memutuskan bahawa dia akan memberi setiap 3 rakan bilangan epal yang sama, dan menyimpan epal itu untuk dirinya sendiri. Berapa banyak epal yang perlu dibeli oleh Vasya jika dia memberi setiap rakan sebiji epal? Bagaimana pula? Bagaimana jika oleh?

Hubungan antara bilangan epal yang akan diterima oleh setiap orang dan jumlah bilangan epal yang perlu dibeli akan dinyatakan dengan persamaan:

• - bilangan epal yang akan diterima oleh seseorang (, atau, atau);
• - bilangan epal yang akan diambil oleh Vasya untuk dirinya sendiri;
• - berapa banyak epal yang perlu dibeli oleh Vasya, dengan mengambil kira bilangan epal setiap orang?

Menyelesaikan masalah ini, kita mendapat bahawa jika Vasya memberi seorang rakan sebiji epal, maka dia perlu membeli kepingan, jika dia memberi epal, dll.

Dan secara umum. Kami mempunyai dua pembolehubah. Mengapa tidak plot hubungan ini pada graf? Kami membina dan menandakan nilai kami, iaitu, mata, dengan koordinat, dan!

Seperti yang anda lihat, mereka bergantung antara satu sama lain linear, maka nama persamaan - “ linear».

Mari kita abstrak daripada epal dan lihat secara grafik pelbagai persamaan. Lihat dengan teliti pada dua graf yang dibina - garis lurus dan parabola, yang ditentukan oleh fungsi arbitrari:

Cari dan tanda titik yang sepadan dalam kedua-dua gambar.
Apa yang awak dapat?

Anda melihatnya pada graf fungsi pertama bersendirian sepadan satu, iaitu, mereka juga bergantung secara linear antara satu sama lain, yang tidak boleh dikatakan tentang fungsi kedua. Sudah tentu, anda boleh berhujah bahawa dalam graf kedua x - juga sepadan, tetapi ini hanya satu titik, iaitu kes khas, kerana anda masih boleh mencari yang sepadan dengan lebih daripada satu. Dan graf yang dibina tidak menyerupai garis dalam apa jua cara, tetapi adalah parabola.

Saya ulangi, sekali lagi: graf persamaan linear mestilah garis LURUS.

Dengan fakta bahawa persamaan tidak akan linear jika kita pergi ke mana-mana tahap - ini boleh difahami menggunakan contoh parabola, walaupun anda boleh membina beberapa lagi untuk diri sendiri graf mudah, contohnya atau. Tetapi saya memberi jaminan kepada anda - tiada satu pun daripada mereka akan menjadi GARIS LURUS.

Tidak percaya saya? Bina dan kemudian bandingkan dengan apa yang saya dapat:

Apakah yang berlaku jika kita membahagikan sesuatu dengan, sebagai contoh, beberapa nombor? Adakah akan ada pergantungan linear Dan? Jangan berdebat, tetapi mari kita bina! Sebagai contoh, mari kita bina graf fungsi.

Entah bagaimana ia tidak kelihatan seperti ia dibina sebagai garis lurus... sewajarnya, persamaan itu bukan linear.
Mari kita ringkaskan:

1. Persamaan linear - ialah persamaan algebra di mana jumlah darjah polinomial juzuknya adalah sama.
2. Persamaan linear dengan satu pembolehubah mempunyai bentuk:
   , di mana dan adalah sebarang nombor;
   Persamaan linear dengan dua pembolehubah:
   , di mana, dan adalah sebarang nombor.
3. Ia tidak selalu mungkin untuk menentukan sama ada persamaan adalah linear atau tidak. Kadang-kadang, untuk memahami perkara ini, adalah perlu untuk menjalankan transformasi yang sama, memindahkan istilah yang serupa ke kiri/kanan, tidak lupa untuk menukar tanda, atau darab/bahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama.

PERSAMAAN LINEAR. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

1. Persamaan linear

Ini ialah persamaan algebra di mana jumlah darjah polinomial juzuknya adalah sama.

2. Persamaan linear dengan satu pembolehubah mempunyai bentuk:

Di mana dan adalah sebarang nombor;

3. Persamaan linear dengan dua pembolehubah mempunyai bentuk:

Di mana, dan - sebarang nombor.

4. Transformasi identiti

Untuk menentukan sama ada persamaan adalah linear atau tidak, adalah perlu untuk melakukan transformasi yang sama:

• gerakkan istilah yang sama ke kiri/kanan, jangan lupa untuk menukar tanda;
• darab/bahagi kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama.

Persamaan adalah salah satu daripada topik yang sukar untuk asimilasi, tetapi pada masa yang sama ia mencukupi alat yang berkuasa untuk menyelesaikan kebanyakan masalah.

Persamaan digunakan untuk menerangkan pelbagai proses, berlaku di alam semula jadi. Persamaan digunakan secara meluas dalam sains lain: ekonomi, fizik, biologi dan kimia.

Dalam pelajaran ini kita akan cuba memahami intipati persamaan yang paling mudah, belajar untuk menyatakan yang tidak diketahui dan menyelesaikan beberapa persamaan. Apabila anda mempelajari bahan baharu, persamaan akan menjadi lebih kompleks, jadi memahami asas adalah sangat penting.

Kemahiran Awal Isi pelajaran

Apakah persamaan?

Persamaan ialah kesamaan yang mengandungi pembolehubah yang nilainya ingin anda cari. Nilai ini mestilah sedemikian sehingga apabila digantikan ke dalam persamaan asal, kesamaan berangka yang betul diperolehi.

Sebagai contoh, ungkapan 2 + 2 = 4 ialah kesamaan. Apabila mengira bahagian kiri, kesamaan berangka yang betul diperolehi 4 = 4.

Tetapi kesamaan ialah 2 + x= 4 ialah persamaan kerana ia mengandungi pembolehubah x, yang nilainya boleh didapati. Nilai mestilah sedemikian sehingga apabila menggantikan nilai ini ke dalam persamaan asal, kesamaan berangka yang betul diperolehi.

Dalam erti kata lain, kita mesti mencari nilai di mana tanda sama akan membenarkan lokasinya - bahagian kiri mesti sama dengan bahagian kanan.

Persamaan 2 + x= 4 ialah asas. Nilai boleh ubah x adalah sama dengan nombor 2. Untuk sebarang nilai lain, kesamaan tidak akan diperhatikan

Mereka mengatakan bahawa nombor 2 adalah akar atau menyelesaikan persamaan 2 + x = 4

akar atau penyelesaian kepada persamaan- ini ialah nilai pembolehubah di mana persamaan bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.

Mungkin terdapat beberapa akar atau tiada langsung. Selesaikan persamaan bermaksud mencari akarnya atau membuktikan bahawa tiada akar.

Pembolehubah yang termasuk dalam persamaan disebut sebaliknya tidak diketahui. Anda mempunyai hak untuk memanggilnya apa yang anda suka. Ini adalah sinonim.

Nota. Frasa "selesaikan persamaan" bercakap untuk dirinya sendiri. Menyelesaikan persamaan bermaksud "menyamakan" persamaan—menjadikannya seimbang supaya bahagian kiri sama dengan bahagian kanan.

Luahkan satu perkara melalui yang lain

Kajian persamaan secara tradisinya bermula dengan pembelajaran untuk menyatakan satu nombor yang termasuk dalam kesamaan melalui beberapa nombor lain. Jangan kita patahkan tradisi ini dan lakukan perkara yang sama.

Pertimbangkan ungkapan berikut:

8 + 2

Ungkapan ini ialah hasil tambah bagi nombor 8 dan 2. Maksud ungkapan yang diberikan sama dengan 10

8 + 2 = 10

Kami mendapat kesaksamaan. Kini anda boleh menyatakan sebarang nombor daripada kesamaan ini melalui nombor lain yang termasuk dalam kesamaan yang sama. Sebagai contoh, mari kita nyatakan nombor 2.

Untuk menyatakan nombor 2, anda perlu bertanya soalan: "apa yang mesti dilakukan dengan nombor 10 dan 8 untuk mendapatkan nombor 2." Adalah jelas bahawa untuk mendapatkan nombor 2, anda perlu menolak nombor 8 daripada nombor 10.

Itu yang kita buat. Kami menulis nombor 2 dan melalui tanda yang sama kami mengatakan bahawa untuk mendapatkan nombor 2 ini kami menolak nombor 8 dari nombor 10:

2 = 10 − 8

Kami menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 8 + 2 = 10. Seperti yang dapat dilihat dari contoh, tidak ada yang rumit tentang ini.

Apabila menyelesaikan persamaan, khususnya apabila menyatakan satu nombor dari segi yang lain, adalah mudah untuk menggantikan tanda sama dengan perkataan " ada" . Ini mesti dilakukan secara mental, dan bukan dalam ungkapan itu sendiri.

Jadi, dengan menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 8 + 2 = 10, kita mendapat kesamaan 2 = 10 − 8. Persamaan ini boleh dibaca seperti berikut:

2 ada 10 − 8

Iaitu, tanda = digantikan dengan perkataan "adalah". Selain itu, kesamaan 2 = 10 − 8 boleh diterjemahkan daripada bahasa matematik ke dalam bahasa yang lengkap. bahasa manusia. Kemudian boleh dibaca seperti berikut:

Nombor 2 ada perbezaan antara nombor 10 dan nombor 8

Nombor 2 ada perbezaan antara nombor 10 dan nombor 8.

Tetapi kami akan mengehadkan diri kami untuk hanya menggantikan tanda sama dengan perkataan "adalah," dan kami tidak akan selalu melakukan ini. Ungkapan asas boleh difahami tanpa menterjemah bahasa matematik ke dalam bahasa manusia.

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 2 = 10 − 8 kepada keadaan asalnya:

8 + 2 = 10

Mari kita nyatakan nombor 8 kali ini Apa yang perlu dilakukan dengan nombor yang tinggal untuk mendapatkan nombor 8? Betul, anda perlu menolak 2 daripada nombor 10

8 = 10 − 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 8 = 10 − 2 kepada keadaan asalnya:

8 + 2 = 10

Kali ini kita akan menyatakan nombor 10. Tetapi ternyata tidak perlu menyatakan sepuluh, kerana ia telah pun dinyatakan. Ia cukup untuk menukar bahagian kiri dan kanan, maka kita mendapat apa yang kita perlukan:

10 = 8 + 2

Contoh 2. Pertimbangkan kesamaan 8 − 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 8 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 8, dua nombor yang tinggal mesti ditambah:

8 = 6 + 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 8 = 6 + 2 kepada keadaan asalnya:

8 − 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 2 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 2, anda perlu menolak 6 daripada 8

2 = 8 − 6

Contoh 3. Pertimbangkan kesamaan 3 × 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 3. Untuk menyatakan nombor 3, anda memerlukan 6 dibahagikan dengan 2

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil kepada keadaan asalnya:

3 × 2 = 6

Mari kita nyatakan nombor 2 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 2, anda memerlukan 6 dibahagikan dengan 3

Contoh 4. Pertimbangkan persamaan

Mari kita nyatakan nombor 15 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 15, anda perlu mendarabkan nombor 3 dan 5

15 = 3 × 5

Mari kita kembalikan kesamaan yang terhasil 15 = 3 × 5 kepada keadaan asalnya:

Mari kita nyatakan nombor 5 daripada kesamaan ini Untuk menyatakan nombor 5, anda memerlukan 15 dibahagikan dengan 3

Peraturan untuk mencari yang tidak diketahui

Mari kita pertimbangkan beberapa peraturan untuk mencari yang tidak diketahui. Mereka mungkin biasa kepada anda, tetapi tidak salah untuk mengulanginya lagi. Pada masa hadapan, mereka boleh dilupakan, kerana kita belajar menyelesaikan persamaan tanpa menggunakan peraturan ini.

Mari kembali ke contoh pertama, yang kita lihat dalam topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 8 + 2 = 10 kita perlu menyatakan nombor 2.

Dalam kesamaan 8 + 2 = 10, nombor 8 dan 2 ialah sebutan, dan nombor 10 ialah jumlahnya.

Untuk menyatakan nombor 2, kami melakukan perkara berikut:

2 = 10 − 8

Iaitu, daripada jumlah 10 kita tolak sebutan 8.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 + 2 = 10, bukannya nombor 2, terdapat pembolehubah x

8 + x = 10

Dalam kes ini, kesamaan 8 + 2 = 10 menjadi persamaan 8 + x= 10 dan pembolehubah x istilah yang tidak diketahui

Tugas kami adalah untuk mencari istilah yang tidak diketahui ini, iaitu, untuk menyelesaikan persamaan 8 + x= 10 . Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlahnya.

Yang pada asasnya adalah apa yang kita lakukan apabila kita menyatakan dua dalam kesamaan 8 + 2 = 10. Untuk menyatakan sebutan 2, kami menolak sebutan 8 lagi daripada jumlah 10

2 = 10 − 8

Sekarang, untuk mencari istilah yang tidak diketahui x, kita mesti menolak sebutan 8 yang diketahui daripada jumlah 10:

x = 10 − 8

Jika anda mengira sebelah kanan kesamaan yang terhasil, anda boleh mengetahui pembolehubah itu bersamaan x

x = 2

Kami telah menyelesaikan persamaan. Nilai boleh ubah x sama dengan 2. Untuk menyemak nilai pembolehubah x dihantar ke persamaan asal 8 + x= 10 dan gantikan x. Adalah dinasihatkan untuk melakukan ini dengan mana-mana persamaan yang telah diselesaikan, kerana anda tidak boleh benar-benar pasti bahawa persamaan telah diselesaikan dengan betul:

Akibatnya

Peraturan yang sama akan digunakan jika istilah yang tidak diketahui ialah nombor pertama 8.

x + 2 = 10

Dalam persamaan ini x ialah sebutan yang tidak diketahui, 2 ialah sebutan yang diketahui, 10 ialah jumlahnya. Untuk mencari istilah yang tidak diketahui x, anda perlu menolak sebutan 2 yang diketahui daripada jumlah 10

x = 10 − 2

x = 8

Mari kita kembali ke contoh kedua dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 8 − 2 = 6 adalah perlu untuk menyatakan nombor 8.

Dalam kesamaan 8 − 2 = 6, nombor 8 ialah minuend, nombor 2 ialah subtrahend, dan nombor 6 ialah perbezaan

Untuk menyatakan nombor 8, kami melakukan perkara berikut:

8 = 6 + 2

Iaitu, kami menambah perbezaan 6 dan ditolak 2.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 − 2 = 6, bukannya nombor 8, terdapat pembolehubah x

x − 2 = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan yang dipanggil minit yang tidak diketahui

Untuk mencari minit yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 8 dalam kesamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan minuend 8, kami menambah subtrahend 2 kepada perbezaan 6.

Sekarang, untuk mencari minit yang tidak diketahui x, kita mesti menambah subtrahend 2 kepada perbezaan 6

x = 6 + 2

Jika anda mengira bahagian kanan, anda boleh mengetahui apakah pembolehubah itu bersamaan x

x = 8

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 8 − 2 = 6, bukannya nombor 2, terdapat pembolehubah x

8 − x = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan subtrahend tidak diketahui

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 2 dalam kesamaan 8 − 2 = 6. Untuk menyatakan nombor 2, kami menolak perbezaan 6 daripada minit 8.

Sekarang, untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui x, anda sekali lagi perlu menolak beza 6 daripada minit 8

x = 8 − 6

Kami mengira bahagian kanan dan mencari nilainya x

x = 2

Mari kembali ke contoh ketiga dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan 3 × 2 = 6 kami cuba menyatakan nombor 3.

Dalam kesamaan 3 × 2 = 6, nombor 3 ialah pendaraban, nombor 2 ialah pengganda, nombor 6 ialah hasil darab.

Untuk menyatakan nombor 3 kami melakukan perkara berikut:

Iaitu, kita membahagikan hasil darab 6 dengan faktor 2.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan 3 × 2 = 6, bukannya nombor 3 terdapat pembolehubah x

x× 2 = 6

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pendaraban yang tidak diketahui.

Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 3 daripada kesamaan 3 × 2 = 6. Kami membahagikan produk 6 dengan faktor 2.

Sekarang untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan hasil 6 dengan faktor 2.

Mengira sebelah kanan membolehkan kita mencari nilai pembolehubah x

x = 3

Peraturan yang sama digunakan jika pembolehubah x terletak bukannya pengganda, bukan pengganda. Mari kita bayangkan bahawa dalam kesamaan 3 × 2 = 6, bukannya nombor 2 terdapat pembolehubah x.

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pengganda yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, prosedur yang sama disediakan untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, iaitu, membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui:

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 2 daripada kesamaan 3 × 2 = 6. Kemudian untuk mendapatkan nombor 2 kami membahagikan hasil darab 6 dengan pendarabannya 3.

Sekarang untuk mencari faktor yang tidak diketahui x Kami membahagikan hasil darab 6 dengan pendaraban 3.

Mengira bahagian kanan kesamaan membolehkan anda mengetahui x sama dengan

x = 2

Darab dan pengganda bersama dipanggil faktor. Oleh kerana peraturan untuk mencari pendaraban dan pengganda adalah sama, kita boleh merumuskan peraturan am mencari faktor yang tidak diketahui:

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan faktor yang diketahui.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan 9 × x= 18. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk 18 dengan faktor yang diketahui 9

Mari kita selesaikan persamaan x× 3 = 27. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk 27 dengan faktor 3 yang diketahui

Mari kita kembali ke contoh keempat dari topik sebelumnya, di mana dalam kesamaan kita perlu menyatakan nombor 15. Dalam kesamaan ini, nombor 15 ialah dividen, nombor 5 ialah pembahagi, dan nombor 3 ialah hasil bagi.

Untuk menyatakan nombor 15 kami melakukan perkara berikut:

15 = 3 × 5

Iaitu, kita darab hasil bagi 3 dengan pembahagi 5.

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan, bukannya nombor 15, terdapat pembolehubah x

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan dividen yang tidak diketahui.

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarab hasil bahagi dengan pembahagi.

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 15 daripada kesamaan. Untuk menyatakan nombor 15, kita darabkan hasil bagi 3 dengan pembahagi 5.

Sekarang, untuk mencari dividen yang tidak diketahui x, anda perlu mendarab hasil bahagi 3 dengan pembahagi 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sekarang bayangkan bahawa dalam kesamaan, bukannya nombor 5, terdapat pembolehubah x .

Dalam kes ini pembolehubah x mengambil peranan pembahagi yang tidak diketahui.

Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, peraturan berikut disediakan:

Inilah yang kami lakukan apabila kami menyatakan nombor 5 daripada kesamaan. Untuk menyatakan nombor 5, kami membahagikan dividen 15 dengan hasil bagi 3.

Sekarang untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan dividen 15 dengan hasil bagi 3

Mari kita hitung sebelah kanan kesamaan yang terhasil. Dengan cara ini kita mengetahui pembolehubah itu sama dengannya x .

x = 5

Jadi, untuk mencari yang tidak diketahui, kami mengkaji peraturan berikut:

• Untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah;
• Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan;
• Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend;
• Untuk mencari pendaraban yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor;
• Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban;
• Untuk mencari dividen yang tidak diketahui, anda perlu mendarab hasil bahagi dengan pembahagi;
• Untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan dividen dengan hasil bagi.

Komponen

Kami akan memanggil komponen nombor dan pembolehubah yang termasuk dalam kesamaan

Jadi, komponen penambahan ialah syarat Dan jumlah

Komponen penolakan ialah minit, subtrahend Dan perbezaan

Komponen pendaraban ialah darab, faktor Dan kerja

Komponen pembahagian ialah dividen, pembahagi dan hasil bagi.

Bergantung pada komponen yang kita hadapi, peraturan yang sepadan untuk mencari yang tidak diketahui akan digunakan. Kami mempelajari peraturan ini dalam topik sebelumnya. Apabila menyelesaikan persamaan, adalah dinasihatkan untuk mengetahui peraturan ini dengan teliti.

Contoh 1. Cari punca bagi persamaan 45 + x = 60

45 - penggal, x- istilah tidak diketahui, 60 - jumlah. Kami berurusan dengan komponen penambahan. Kami ingat bahawa untuk mencari istilah yang tidak diketahui, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah:

x = 60 − 45

Mari kita kira bahagian kanan dan dapatkan nilainya x sama dengan 15

x = 15

Jadi punca persamaan ialah 45 + x= 60 sama dengan 15.

Selalunya, istilah yang tidak diketahui mesti dikurangkan kepada bentuk yang boleh dinyatakan.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, istilah yang tidak diketahui tidak boleh dinyatakan dengan serta-merta, kerana ia mengandungi pekali 2. Tugas kami adalah untuk membawa persamaan ini kepada bentuk yang boleh dinyatakan x

DALAM dalam contoh ini Kami berurusan dengan komponen penambahan—terma dan jumlah. 2 x ialah sebutan pertama, 4 ialah sebutan kedua, 8 ialah jumlah.

Dalam kes ini, penggal 2 x mengandungi pembolehubah x. Selepas mencari nilai pembolehubah x penggal 2 x akan melihat pandangan yang berbeza. Oleh itu, penggal 2 x boleh diambil sepenuhnya sebagai istilah yang tidak diketahui:

Sekarang kita menggunakan peraturan untuk mencari istilah yang tidak diketahui. Kurangkan istilah yang diketahui daripada jumlah:

Mari kita hitung bahagian kanan persamaan yang terhasil:

Kami mempunyai persamaan baru. Sekarang kita berurusan dengan komponen pendaraban: darab, darab, dan hasil darab. 2 - darab, x- pengganda, 4 - produk

Dalam kes ini, pembolehubah x bukan sahaja pengganda, tetapi pengganda yang tidak diketahui

Untuk mencari faktor yang tidak diketahui ini, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban:

Mari kita hitung bahagian kanan dan dapatkan nilai pembolehubah x

Untuk menyemak, hantar punca yang ditemui ke persamaan asal dan gantikan x

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56

Segera nyatakan yang tidak diketahui x ia adalah dilarang. Mula-mula anda perlu membawa persamaan ini ke bentuk yang boleh dinyatakan.

Kami hadir di sebelah kiri persamaan yang diberikan:

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. 28 - darab, x- pengganda, 56 - produk. Pada masa yang sama x adalah faktor yang tidak diketahui. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui, anda perlu membahagikan produk dengan pendaraban:

Dari sini x sama dengan 2

Persamaan setara

Dalam contoh sebelumnya, apabila menyelesaikan persamaan 3x + 9x + 16x = 56 , kami telah memberikan sebutan yang serupa di sebelah kiri persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan baharu 28 x= 56 . Persamaan lama 3x + 9x + 16x = 56 dan terhasil persamaan baru 28 x= 56 dipanggil persamaan setara, kerana akarnya bertepatan.

Persamaan dipanggil setara jika puncanya bertepatan.

Jom semak. Untuk persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami mendapati akarnya sama dengan 2. Mari kita gantikan punca ini dahulu ke dalam persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 , dan kemudian ke persamaan 28 x= 56, yang diperoleh dengan membawa sebutan serupa di sebelah kiri persamaan sebelumnya. Kita mesti mendapatkan kesamaan berangka yang betul

Mengikut susunan operasi, pendaraban dilakukan terlebih dahulu:

Mari kita gantikan punca 2 ke dalam persamaan kedua 28 x= 56

Kami melihat bahawa kedua-dua persamaan mempunyai punca yang sama. Jadi persamaan 3x+ 9x+ 16x= 6 dan 28 x= 56 memang setara.

Untuk menyelesaikan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 Kami menggunakan salah satu daripadanya - pengurangan istilah yang serupa. Transformasi identiti yang betul bagi persamaan membolehkan kami memperolehnya persamaan setara 28x= 56, yang mana lebih mudah untuk diselesaikan.

daripada transformasi identiti pada pada masa ini kita hanya tahu mengurangkan pecahan, menambah istilah yang serupa, mengeluarkan pengganda biasa di luar kurungan, dan juga buka kurungan. Terdapat penukaran lain yang perlu anda ketahui. Tetapi untuk idea umum mengenai transformasi persamaan yang sama, topik yang telah kami pelajari adalah cukup memadai.

Mari kita pertimbangkan beberapa transformasi yang membolehkan kita memperoleh persamaan yang setara

Jika anda menambah nombor yang sama pada kedua-dua belah persamaan, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

dan serupa:

Jika anda menolak nombor yang sama daripada kedua-dua belah persamaan, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Dalam erti kata lain, punca persamaan tidak akan berubah jika nombor yang sama ditambah kepada (atau ditolak daripada kedua-dua belah) nombor yang sama.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Kurangkan 10 daripada kedua-dua belah persamaan

Kami mendapat persamaan 5 x= 10 . Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan produk 10 dengan faktor yang diketahui 5.

dan pengganti x didapati nilai 2

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan kami menolak nombor 10 daripada kedua-dua belah persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan yang setara. Punca persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 2

Contoh 2. Selesaikan persamaan 4( x+ 3) = 16

Kurangkan nombor 12 daripada kedua-dua belah persamaan

Akan ada 4 lagi di sebelah kiri x, dan di sebelah kanan nombor 4

Kami mendapat persamaan 4 x= 4 . Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari faktor yang tidak diketahui x, anda perlu membahagikan produk 4 dengan faktor 4 yang diketahui

Mari kita kembali kepada persamaan asal 4( x+ 3) = 16 dan gantikan x didapati nilai 1

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan 4( x+ 3) = 16 kita tolak nombor 12 daripada kedua-dua belah persamaan. Hasilnya, kami memperoleh persamaan 4 yang setara x= 4 . Punca bagi persamaan ini, seperti persamaan 4( x+ 3) = 16 juga sama dengan 1

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Mari kita kembangkan kurungan di sebelah kiri kesamaan:

Tambahkan nombor 8 pada kedua-dua belah persamaan

Mari kita kemukakan istilah yang serupa pada kedua-dua belah persamaan:

Akan ada 2 kiri di sebelah kiri x, dan di sebelah kanan nombor 9

Dalam persamaan 2 yang terhasil x= 9 kita menyatakan istilah yang tidak diketahui x

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 4.5

Kami mendapat kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Menyelesaikan persamaan kami menambah nombor 8 kepada kedua-dua belah persamaan Akibatnya, kami mendapat persamaan yang setara. Punca persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 4.5

Peraturan seterusnya yang membolehkan kita mendapatkan persamaan setara adalah seperti berikut

Jika anda memindahkan istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, anda akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Iaitu, punca persamaan tidak akan berubah jika kita memindahkan sebutan dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain, menukar tandanya. Sifat ini adalah salah satu yang penting dan salah satu yang sering digunakan semasa menyelesaikan persamaan.

Pertimbangkan persamaan berikut:

Punca bagi persamaan ini adalah sama dengan 2. Mari kita gantikan x akar ini dan semak sama ada kesamaan berangka adalah betul

Hasilnya ialah persamaan yang betul. Ini bermakna nombor 2 sememangnya punca persamaan.

Sekarang mari kita cuba bereksperimen dengan istilah persamaan ini, memindahkannya dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tanda-tanda.

Sebagai contoh, penggal 3 x terletak di sebelah kiri persamaan. Mari kita alihkannya ke sebelah kanan, tukar tanda ke sebaliknya:

Hasilnya ialah persamaan 12 = 9x − 3x . di sebelah kanan persamaan ini:

x adalah faktor yang tidak diketahui. Mari cari faktor terkenal ini:

Dari sini x= 2 . Seperti yang anda lihat, punca persamaan tidak berubah. Jadi persamaannya ialah 12 + 3 x = 9x Dan 12 = 9x − 3x adalah setara.

Sebenarnya, penjelmaan ini ialah kaedah yang dipermudahkan bagi penjelmaan sebelumnya, di mana nombor yang sama telah ditambah (atau ditolak) pada kedua-dua belah persamaan.

Kami mengatakan bahawa dalam persamaan 12 + 3 x = 9x penggal 3 x telah dialihkan ke sebelah kanan, menukar tanda. Pada hakikatnya, perkara berikut berlaku: penggal 3 telah ditolak daripada kedua-dua belah persamaan x

Kemudian istilah serupa diberikan di sebelah kiri dan persamaan diperolehi 12 = 9x − 3x. Kemudian istilah yang serupa diberikan sekali lagi, tetapi di sebelah kanan, dan persamaan 12 = 6 diperolehi x.

Tetapi apa yang dipanggil "terjemahan" lebih mudah untuk persamaan sedemikian, itulah sebabnya dia mendapat ini meluas. Apabila menyelesaikan persamaan, kita akan sering menggunakan transformasi tertentu ini.

Persamaan 12 + 3 juga setara x= 9x Dan 3x− 9x= −12 . Kali ini persamaannya ialah 12 + 3 x= 9x penggal 12 dialihkan ke sebelah kanan, dan penggal 9 x ke kiri. Kita tidak sepatutnya lupa bahawa tanda-tanda syarat ini telah diubah semasa pemindahan

Peraturan seterusnya yang membolehkan kita mendapatkan persamaan setara adalah seperti berikut:

Jika kedua-dua belah persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama, tidak sama dengan sifar, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Dalam erti kata lain, punca-punca persamaan tidak akan berubah jika kedua-dua belah pihak didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama. Tindakan ini sering digunakan apabila anda perlu menyelesaikan persamaan yang mengandungi ungkapan pecahan.

Pertama, mari kita lihat contoh di mana kedua-dua belah persamaan akan didarabkan dengan nombor yang sama.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Apabila menyelesaikan persamaan yang mengandungi ungkapan pecahan, adalah kebiasaan untuk terlebih dahulu memudahkan persamaan.

Dalam kes ini, kita hanya berurusan dengan persamaan sedemikian. Untuk memudahkan persamaan ini, kedua-dua belah pihak boleh didarab dengan 8:

Kita ingat bahawa untuk , kita perlu mendarabkan pengangka bagi pecahan tertentu dengan nombor ini. Kami mempunyai dua pecahan dan setiap daripadanya didarab dengan nombor 8. Tugas kami adalah untuk mendarabkan pengangka pecahan dengan nombor 8 ini

Sekarang bahagian yang menarik berlaku. Pengangka dan penyebut kedua-dua pecahan mengandungi faktor 8, yang boleh dikurangkan dengan 8. Ini akan membolehkan kita menyingkirkan ungkapan pecahan:

Akibatnya, persamaan termudah kekal

Nah, tidak sukar untuk meneka bahawa punca persamaan ini ialah 4

x didapati nilai 4

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Apabila menyelesaikan persamaan ini, kami mendarab kedua-dua belah dengan 8. Hasilnya, kami mendapat persamaan. Punca bagi persamaan ini, seperti persamaan, ialah 4. Ini bermakna persamaan ini adalah setara.

Faktor di mana kedua-dua belah persamaan didarab biasanya ditulis sebelum bahagian persamaan, dan bukan selepasnya. Jadi, menyelesaikan persamaan, kami mendarabkan kedua-dua belah dengan faktor 8 dan mendapat masukan berikut:

Ini tidak mengubah punca persamaan, tetapi jika kita melakukan ini semasa di sekolah, kita akan ditegur, kerana dalam algebra adalah kebiasaan untuk menulis faktor sebelum ungkapan yang didarabkannya. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk menulis semula pendaraban kedua-dua belah persamaan dengan faktor 8 seperti berikut:

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Di sebelah kiri, faktor 15 boleh dikurangkan sebanyak 15, dan di sebelah kanan, faktor 15 dan 5 boleh dikurangkan sebanyak 5

Mari kita buka kurungan di sebelah kanan persamaan:

Mari kita alihkan istilah x dari sebelah kiri persamaan ke sebelah kanan, menukar tanda. Dan kami memindahkan istilah 15 dari sebelah kanan persamaan ke sebelah kiri, sekali lagi menukar tanda:

Kami membentangkan istilah yang sama dalam kedua-dua belah pihak, kami dapat

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Pembolehubah x

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 5

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul. Apabila menyelesaikan persamaan ini, kami mendarab kedua-dua belah dengan 15. Selanjutnya melakukan transformasi yang sama, kami memperoleh persamaan 10 = 2 x. Punca persamaan ini, seperti persamaan sama dengan 5. Ini bermakna persamaan ini adalah setara.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Di sebelah kiri anda boleh mengurangkan dua tiga, dan sebelah kanan akan sama dengan 18

Persamaan paling mudah kekal. Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Pembolehubah x adalah faktor yang tidak diketahui. Mari cari faktor terkenal ini:

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan gantikan x didapati nilai 9

Hasilnya ialah kesamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Contoh 4. Selesaikan persamaan

Darab kedua-dua belah persamaan dengan 6

Mari kita buka kurungan di sebelah kiri persamaan. Di sebelah kanan, faktor 6 boleh dinaikkan kepada pengangka:

Mari kita kurangkan apa yang boleh dikurangkan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari gunakan pemindahan syarat. Istilah yang mengandungi perkara yang tidak diketahui x, kami mengumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada yang tidak diketahui - di sebelah kanan:

Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam kedua-dua bahagian:

Sekarang mari kita cari nilai pembolehubah x. Untuk melakukan ini, bahagikan hasil 28 dengan faktor 7 yang diketahui

Dari sini x= 4.

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan pengganti x didapati nilai 4

Hasilnya ialah persamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Mari buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan jika boleh:

Darab kedua-dua belah persamaan dengan 15

Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita kurangkan apa yang boleh dikurangkan pada kedua-dua belah persamaan:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari kembangkan kurungan jika boleh:

Mari gunakan pemindahan syarat. Kami mengumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui di sebelah kanan. Jangan lupa bahawa semasa pemindahan, syarat menukar tandanya kepada sebaliknya:

Mari kita kemukakan istilah yang serupa pada kedua-dua belah persamaan:

Mari cari nilainya x

Jawapan yang terhasil boleh dibahagikan kepada keseluruhan bahagian:

Mari kita kembali kepada persamaan asal dan gantikan x nilai yang ditemui

Ia ternyata menjadi ungkapan yang agak rumit. Mari kita gunakan pembolehubah. Mari letakkan bahagian kiri kesamaan ke dalam pembolehubah A, dan bahagian kanan kesamaan menjadi pembolehubah B

Tugas kami adalah untuk memastikan sama ada bahagian kiri sama dengan kanan. Dengan kata lain, buktikan kesamaan A = B

Mari cari nilai ungkapan dalam pembolehubah A.

Nilai boleh ubah A sama . Sekarang mari kita cari nilai pembolehubah B. Iaitu, nilai sebelah kanan kesaksamaan kita. Jika ia juga sama, maka persamaan akan diselesaikan dengan betul

Kami melihat bahawa nilai pembolehubah B, serta nilai pembolehubah A ialah . Ini bermakna bahawa bahagian kiri adalah sama dengan bahagian kanan. Daripada ini kita menyimpulkan bahawa persamaan diselesaikan dengan betul.

Sekarang mari kita cuba untuk tidak mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama, tetapi untuk membahagi.

Pertimbangkan persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Mari kita selesaikannya menggunakan kaedah biasa: kita kumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui - di sebelah kanan. Seterusnya, melakukan transformasi identiti yang diketahui, kita dapati nilainya x

Mari gantikan nilai yang ditemui 2 sebaliknya x ke dalam persamaan asal:

Sekarang mari kita cuba memisahkan semua istilah persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 dengan beberapa nombor Kami perhatikan bahawa semua sebutan persamaan ini mempunyai faktor sepunya 2. Kami membahagikan setiap sebutan dengannya:

Mari kita lakukan pengurangan dalam setiap penggal:

Mari kita tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan transformasi identiti yang terkenal:

Kami mendapat akar 2. Jadi persamaan 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Dan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 adalah setara.

Membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama membolehkan anda mengeluarkan yang tidak diketahui daripada pekali. Dalam contoh sebelumnya apabila kita mendapat persamaan 7 x= 14, kita perlu membahagikan hasil 14 dengan faktor yang diketahui 7. Tetapi jika kita telah membebaskan yang tidak diketahui daripada faktor 7 di sebelah kiri, puncanya akan dijumpai serta-merta. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membahagikan kedua-dua belah pihak dengan 7

Kami juga akan sering menggunakan kaedah ini.

Darab dengan tolak satu

Jika kedua-dua belah persamaan didarab dengan tolak satu, anda mendapat persamaan yang setara dengan yang ini.

Peraturan ini berikutan daripada fakta bahawa mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah persamaan dengan nombor yang sama tidak mengubah punca persamaan yang diberikan. Ini bermakna punca tidak akan berubah jika kedua-dua bahagiannya didarab dengan -1.

Peraturan ini membolehkan anda menukar tanda-tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. ini untuk apa? Sekali lagi, untuk mendapatkan persamaan setara yang lebih mudah untuk diselesaikan.

Pertimbangkan persamaan. kenapa sama dengan akar persamaan ini?

Tambahkan nombor 5 pada kedua-dua belah persamaan

Mari kita lihat istilah yang serupa:

Sekarang mari kita ingat tentang. Apakah bahagian kiri persamaan? Ini ialah hasil darab tolak satu dan pembolehubah x

Iaitu, tanda tolak di hadapan pembolehubah x tidak merujuk kepada pembolehubah itu sendiri x, tetapi kepada satu, yang kita tidak nampak, kerana pekali 1 biasanya tidak ditulis. Ini bermakna bahawa persamaan sebenarnya kelihatan seperti ini:

Kami berurusan dengan komponen pendaraban. Untuk mencari X, anda perlu membahagikan hasil −5 dengan faktor yang diketahui −1.

atau bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan −1, yang lebih mudah

Jadi punca persamaan ialah 5. Untuk menyemak, mari kita gantikannya ke dalam persamaan asal. Jangan lupa bahawa dalam persamaan asal tolak berada di hadapan pembolehubah x merujuk kepada unit yang tidak kelihatan

Hasilnya ialah persamaan berangka yang betul. Ini bermakna persamaan diselesaikan dengan betul.

Sekarang mari kita cuba untuk mendarab kedua-dua belah persamaan dengan tolak satu:

Selepas membuka kurungan, ungkapan terbentuk di sebelah kiri, dan sebelah kanan akan sama dengan 10

Punca persamaan ini, seperti persamaan, ialah 5

Ini bermakna persamaan adalah setara.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Dalam persamaan ini, semua komponen adalah negatif. Adalah lebih mudah untuk bekerja dengan komponen positif daripada dengan komponen negatif, jadi mari kita ubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan ini dengan -1.

Jelas bahawa apabila didarab dengan −1, sebarang nombor akan menukar tandanya kepada sebaliknya. Oleh itu, prosedur mendarab dengan −1 dan membuka kurungan tidak diterangkan secara terperinci, tetapi komponen persamaan dengan tanda bertentangan segera ditulis.

Oleh itu, pendaraban persamaan dengan −1 boleh ditulis secara terperinci seperti berikut:

atau anda boleh menukar tanda semua komponen:

Hasilnya akan sama, tetapi perbezaannya ialah kita akan menjimatkan masa.

Jadi, mendarabkan kedua-dua belah persamaan dengan -1, kita mendapat persamaan. Mari kita selesaikan persamaan ini. Tolak 4 daripada kedua-dua belah dan bahagikan kedua-dua belah dengan 3

Apabila akar ditemui, pembolehubah biasanya ditulis di sebelah kiri, dan nilainya di sebelah kanan, itulah yang kami lakukan.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Mari kita darabkan kedua-dua belah persamaan dengan −1. Kemudian semua komponen akan menukar tanda mereka kepada yang bertentangan:

Kurangkan 2 daripada kedua-dua belah persamaan yang terhasil x dan berikan istilah yang serupa:

Mari tambah satu pada kedua-dua belah persamaan dan berikan istilah yang serupa:

Menyamakan dengan sifar

Kami baru-baru ini mengetahui bahawa jika kita memindahkan istilah dalam persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, kita akan mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Apa yang berlaku jika anda berpindah dari satu bahagian ke bahagian lain bukan hanya satu penggal, tetapi semua istilah? Betul, di bahagian di mana semua syarat telah diambil akan ada sifar lagi. Dengan kata lain, tidak akan ada yang tersisa.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan. Mari kita selesaikan persamaan ini seperti biasa - kita akan mengumpulkan istilah yang mengandungi tidak diketahui dalam satu bahagian, dan biarkan istilah berangka bebas daripada yang tidak diketahui di bahagian yang lain. Seterusnya, melakukan transformasi identiti yang diketahui, kita dapati nilai pembolehubah x

Sekarang mari kita cuba menyelesaikan persamaan yang sama dengan menyamakan semua komponennya kepada sifar. Untuk melakukan ini, kami memindahkan semua istilah dari sebelah kanan ke kiri, menukar tanda:

Mari kita kemukakan istilah serupa di sebelah kiri:

Tambahkan 77 pada kedua-dua belah dan bahagikan kedua-dua belah dengan 7

Alternatif kepada peraturan untuk mencari yang tidak diketahui

Jelas sekali, mengetahui tentang transformasi persamaan yang sama, anda tidak perlu menghafal peraturan untuk mencari yang tidak diketahui.

Sebagai contoh, untuk mencari yang tidak diketahui dalam persamaan, kami membahagikan hasil 10 dengan faktor 2 yang diketahui

Tetapi jika anda membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2, punca akan dijumpai serta-merta. Di sebelah kiri persamaan dalam pengangka faktor 2 dan dalam penyebut faktor 2 akan dikurangkan dengan 2. Dan bahagian kanan akan sama dengan 5

Kami menyelesaikan persamaan bentuk dengan menyatakan istilah yang tidak diketahui:

Tetapi anda boleh menggunakan transformasi yang sama yang kami pelajari hari ini. Dalam persamaan, sebutan 4 boleh dialihkan ke sebelah kanan dengan menukar tanda:

Di sebelah kiri persamaan, dua dua akan dibatalkan. Bahagian kanan akan sama dengan 2. Oleh itu .

Atau anda boleh menolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan Kemudian anda akan mendapat yang berikut:

Dalam kes persamaan bentuk, adalah lebih mudah untuk membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Mari bandingkan kedua-dua penyelesaian:

Penyelesaian pertama adalah lebih pendek dan lebih kemas. Penyelesaian kedua boleh dipendekkan dengan ketara jika anda melakukan pembahagian di kepala anda.

Walau bagaimanapun, adalah perlu untuk mengetahui kedua-dua kaedah dan hanya kemudian gunakan kaedah yang anda suka.

Apabila terdapat beberapa akar

Persamaan boleh mempunyai berbilang punca. Contohnya persamaan x(x+ 9) = 0 mempunyai dua punca: 0 dan −9.

Dalam Persamaan. x(x+ 9) = 0 adalah perlu untuk mencari nilai sedemikian x di mana bahagian kiri akan sama dengan sifar. Bahagian kiri persamaan ini mengandungi ungkapan x Dan (x+9), yang merupakan faktor. Daripada undang-undang produk kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya salah satu faktor sama dengan sifar(sama ada faktor pertama atau kedua).

Iaitu, dalam Pers. x(x+ 9) = 0 kesamaan akan dicapai jika x akan sama dengan sifar atau (x+9) akan sama dengan sifar.

x= 0 atau x + 9 = 0

Dengan menetapkan kedua-dua ungkapan ini kepada sifar, kita boleh mencari punca-punca persamaan x(x+ 9) = 0 . Akar pertama, seperti yang dapat dilihat dari contoh, ditemui serta-merta. Untuk mencari punca kedua yang anda perlu selesaikan persamaan asas x+ 9 = 0 . Adalah mudah untuk meneka bahawa punca persamaan ini ialah −9. Semakan menunjukkan bahawa akarnya betul:

−9 + 9 = 0

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Persamaan ini mempunyai dua punca: 1 dan 2. Sebelah kiri persamaan ialah hasil daripada ungkapan ( x− 1) dan ( x− 2) . Dan hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar (atau faktor ( x− 1) atau faktor ( x − 2) ).

Mari kita cari sesuatu seperti ini x di bawahnya ungkapan ( x− 1) atau ( x− 2) menjadi sifar:

Kami menggantikan nilai yang ditemui satu demi satu ke dalam persamaan asal dan pastikan bahawa untuk nilai ini bahagian kiri adalah sama dengan sifar:

Apabila terdapat banyak akar yang tidak terhingga

Persamaan boleh mempunyai banyak punca yang tidak terhingga. Iaitu, dengan menggantikan sebarang nombor ke dalam persamaan sedemikian, kita mendapat kesamaan berangka yang betul.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Punca bagi persamaan ini ialah sebarang nombor. Jika anda membuka kurungan di sebelah kiri persamaan dan menambah istilah yang serupa, anda mendapat kesamaan 14 = 14. Kesaksamaan ini akan diperolehi untuk mana-mana x

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Punca bagi persamaan ini ialah sebarang nombor. Jika anda membuka kurungan di sebelah kiri persamaan, anda mendapat kesamaan 10x + 12 = 10x + 12. Kesaksamaan ini akan diperolehi untuk mana-mana x

Apabila tiada akar

Ia juga berlaku bahawa persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, iaitu, ia tidak mempunyai punca. Sebagai contoh, persamaan tidak mempunyai punca, kerana untuk sebarang nilai x, bahagian kiri persamaan tidak akan sama dengan bahagian kanan. Sebagai contoh, biarkan . Kemudian persamaan akan mengambil bentuk berikut

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Mari kita kembangkan kurungan di sebelah kiri kesamaan:

Mari kita lihat istilah yang serupa:

Kami melihat bahawa bahagian kiri tidak sama dengan bahagian kanan. Dan ini akan berlaku untuk sebarang nilai y. Sebagai contoh, biarkan y = 3 .

Persamaan huruf

Persamaan boleh mengandungi bukan sahaja nombor dengan pembolehubah, tetapi juga huruf.

Sebagai contoh, formula untuk mencari kelajuan ialah persamaan literal:

Persamaan ini menerangkan kelajuan jasad semasa gerakan dipercepatkan secara seragam.

Kemahiran yang berguna ialah keupayaan untuk menyatakan mana-mana komponen yang termasuk dalam persamaan huruf. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak dari persamaan, anda perlu menyatakan pembolehubah s .

Darab kedua-dua belah persamaan dengan t

Pembolehubah di sebelah kanan t mari kita potong dengan t

Dalam persamaan yang terhasil, kita menukar sisi kiri dan kanan:

Kami mempunyai formula untuk mencari jarak, yang kami pelajari sebelum ini.

Mari cuba tentukan masa daripada persamaan. Untuk melakukan ini, anda perlu menyatakan pembolehubah t .

Darab kedua-dua belah persamaan dengan t

Pembolehubah di sebelah kanan t mari kita potong dengan t dan tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Dalam persamaan yang terhasil v×t = s bahagikan kedua-dua bahagian dengan v

Pembolehubah di sebelah kiri v mari kita potong dengan v dan tulis semula apa yang kita tinggalkan:

Kami mempunyai formula untuk menentukan masa, yang kami pelajari sebelum ini.

Katakan kelajuan kereta api ialah 50 km/j

v= 50 km/j

Dan jaraknya ialah 100 km

s= 100 km

Kemudian surat itu akan mengambil bentuk berikut

Masa boleh didapati daripada persamaan ini. Untuk melakukan ini, anda perlu dapat menyatakan pembolehubah t. Anda boleh menggunakan peraturan untuk mencari pembahagi yang tidak diketahui dengan membahagikan dividen dengan hasil bagi dan dengan itu menentukan nilai pembolehubah t

atau anda boleh menggunakan transformasi yang sama. Pertama kalikan kedua-dua belah persamaan dengan t

Kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan 50

Contoh 2 x

Kurangkan daripada kedua-dua belah persamaan a

Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan b

a + bx = c, maka kita akan mempunyai penyelesaian siap sedia. Ia akan cukup untuk menggantikannya nilai yang diperlukan. Nilai-nilai itu yang akan digantikan dengan huruf a, b, c biasa dipanggil parameter. Dan persamaan bentuk a + bx = c dipanggil persamaan dengan parameter. Bergantung pada parameter, akar akan berubah.

Mari kita selesaikan persamaan 2 + 4 x= 10 . Ia kelihatan seperti persamaan huruf a + bx = c. Daripada melakukan transformasi yang sama, kita boleh menggunakan penyelesaian siap sedia. Mari bandingkan kedua-dua penyelesaian:

Kami melihat bahawa penyelesaian kedua adalah lebih mudah dan lebih pendek.

Untuk penyelesaian siap sedia, perlu membuat kenyataan kecil. Parameter b mestilah sifar (b ≠ 0), kerana pembahagian dengan sifar dengan dibenarkan.

Contoh 3. Persamaan literal diberikan. Ungkapkan daripada persamaan ini x

Mari kita buka kurungan pada kedua-dua belah persamaan

Mari gunakan pemindahan syarat. Parameter yang mengandungi pembolehubah x, kami mengumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan parameter bebas daripada pembolehubah ini - di sebelah kanan.

Di sebelah kiri kita mengambil faktor daripada kurungan x

Mari bahagikan kedua-dua belah ke dalam ungkapan a − b

Di sebelah kiri, pengangka dan penyebut boleh dikurangkan dengan a − b. Ini adalah bagaimana pembolehubah akhirnya dinyatakan x

Sekarang, jika kita menjumpai persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d), maka kami akan mempunyai penyelesaian siap sedia. Ia akan mencukupi untuk menggantikan nilai yang diperlukan ke dalamnya.

Katakan kita diberi persamaan 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Ia seperti persamaan a(x − c) = b(x + d). Mari kita selesaikan dalam dua cara: menggunakan transformasi yang sama dan menggunakan penyelesaian siap sedia:

Untuk kemudahan, mari kita keluarkan daripada persamaan 4(x− 3) = 2(x+ 4) nilai parameter a, b, c, d . Ini akan membolehkan kami tidak membuat kesilapan semasa menggantikan:

Seperti dalam contoh sebelumnya, penyebut di sini tidak sepatutnya sama dengan sifar ( a − b ≠ 0) . Jika kita menemui persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d) di mana parameter a Dan b akan menjadi sama, kita boleh mengatakan tanpa menyelesaikannya bahawa persamaan ini tidak mempunyai punca, kerana perbezaannya nombor yang sama sama dengan sifar.

Sebagai contoh, persamaan 2(x − 3) = 2(x + 4) ialah persamaan bentuk a(x − c) = b(x + d). Dalam Persamaan. 2(x − 3) = 2(x + 4) parameter a Dan b serupa. Jika kita mula menyelesaikannya, kita akan sampai pada kesimpulan bahawa bahagian kiri tidak akan sama dengan bahagian kanan:

Contoh 4. Persamaan literal diberikan. Ungkapkan daripada persamaan ini x

Mari kita bawa bahagian kiri persamaan kepada penyebut sepunya:

Darab kedua-dua belah dengan a

Di sebelah kiri x mari kita letakkannya daripada kurungan

Bahagikan kedua-dua belah dengan ungkapan (1 − a)

Persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui

Persamaan yang dibincangkan dalam pelajaran ini dipanggil persamaan linear darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui.

Jika persamaan diberikan dalam darjah pertama, tidak mengandungi pembahagian dengan yang tidak diketahui, dan juga tidak mengandungi akar dari yang tidak diketahui, maka ia boleh dipanggil linear. Kami belum lagi mempelajari kuasa dan akar, jadi untuk tidak merumitkan kehidupan kita, kita akan memahami perkataan "linear" sebagai "mudah".

Kebanyakan persamaan yang diselesaikan dalam pelajaran ini akhirnya datang kepada persamaan mudah di mana anda perlu membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Sebagai contoh, ini ialah persamaan 2( x+ 3) = 16 . Jom selesaikan.

Mari kita buka kurungan di sebelah kiri persamaan, kita dapat 2 x+ 6 = 16. Mari kita alihkan sebutan 6 ke sebelah kanan, tukar tanda. Kemudian kita dapat 2 x= 16 − 6. Kira sisi kanan, kita dapat 2 x= 10. Untuk mencari x, bahagikan hasil darab 10 dengan faktor yang diketahui 2. Oleh itu x = 5.

Persamaan 2( x+ 3) = 16 adalah linear. Ia turun kepada persamaan 2 x= 10, untuk mencari punca yang diperlukan untuk membahagikan hasil darab dengan faktor yang diketahui. Persamaan termudah ini dipanggil persamaan linear darjah pertama dengan satu in bentuk kanonik . Perkataan "canonical" adalah sinonim dengan "simple" atau "normal".

Persamaan linear darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik dipanggil persamaan bentuk ax = b.

Persamaan terhasil kami 2 x= 10 ialah persamaan linear darjah pertama dengan satu tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Persamaan ini mempunyai darjah pertama, satu yang tidak diketahui, ia tidak mengandungi pembahagian dengan yang tidak diketahui dan tidak mengandungi akar daripada yang tidak diketahui, dan ia dibentangkan dalam bentuk kanonik, iaitu, dalam bentuk paling mudah di mana nilainya boleh ditentukan dengan mudah. x. Daripada parameter a Dan b persamaan kami mengandungi nombor 2 dan 10. Tetapi persamaan sedemikian juga boleh mengandungi nombor lain: positif, negatif atau sama dengan sifar.

Jika dalam persamaan linear a= 0 dan b= 0, maka persamaan mempunyai banyak punca tak terhingga. Sesungguhnya, jika a sama dengan sifar dan b sama dengan sifar, maka persamaan linear kapak= b akan mengambil borang 0 x= 0 . Untuk sebarang nilai x sebelah kiri akan sama dengan sebelah kanan.

Jika dalam persamaan linear a= 0 dan b≠ 0, maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Sesungguhnya, jika a sama dengan sifar dan b sama dengan sebarang nombor, bukan sama dengan sifar, sebut nombor 5, kemudian persamaan ax = b akan mengambil borang 0 x= 5 . Bahagian kiri akan menjadi sifar, dan sebelah kanan akan menjadi lima. Dan sifar tidak sama dengan lima.

Jika dalam persamaan linear a≠ 0, dan b sama dengan sebarang nombor, maka persamaan itu mempunyai satu punca. Ia ditentukan dengan membahagikan parameter b setiap parameter a

Sesungguhnya, jika a sama dengan beberapa nombor yang bukan sifar, katakan nombor 3, dan b sama dengan beberapa nombor, katakan nombor 6, maka persamaan akan mengambil bentuk .
Dari sini.

Terdapat satu lagi bentuk penulisan persamaan linear darjah pertama dengan satu tidak diketahui. Ia kelihatan seperti ini: ax−b= 0 . Ini adalah persamaan yang sama seperti ax = b

Adakah anda menyukai pelajaran itu?
Sertai kami kumpulan baru VKontakte dan mula menerima pemberitahuan tentang pelajaran baharu