Persamaan kuadratik dikaji dalam gred 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Keupayaan untuk menyelesaikannya sangat diperlukan.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana pekali a, b dan c adalah nombor sewenang-wenangnya, dan ≠ 0.

Sebelum belajar kaedah tertentu penyelesaian, ambil perhatian bahawa semua persamaan kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Mempunyai tepat satu akar;
3. Ada dua pelbagai akar.

Ini adalah perbezaan penting antara persamaan kuadratik dan persamaan linear, di mana punca sentiasa wujud dan unik. Bagaimana untuk menentukan berapa banyak punca persamaan? Terdapat perkara yang menarik untuk ini - diskriminasi.

Diskriminasi

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 diberi maka pendiskriminasi hanyalah nombor D = b 2 − 4ac.

Anda perlu tahu formula ini dengan hati. Dari mana ia datang tidak penting sekarang. Perkara lain yang penting: dengan tanda diskriminasi anda boleh menentukan berapa banyak punca persamaan kuadratik. Iaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat tepat satu punca;
3. Jika D > 0, akan ada dua punca.

Sila ambil perhatian: diskriminasi menunjukkan bilangan akar, dan bukan sama sekali tandanya, kerana atas sebab tertentu ramai orang percaya. Lihatlah contoh dan anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugasan. Berapa banyak punca persamaan kuadratik mempunyai:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tulis pekali untuk persamaan pertama dan cari diskriminasi:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminasi adalah negatif, tidak ada akar. Persamaan terakhir yang tinggal ialah:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminasi sama dengan sifar- akan ada satu akar.

Sila ambil perhatian bahawa pekali telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, ia panjang, ya, ia membosankan, tetapi anda tidak akan mencampur-adukkan kemungkinan dan membuat kesilapan bodoh. Pilih sendiri: kelajuan atau kualiti.

Dengan cara ini, jika anda memahaminya, selepas beberapa ketika anda tidak perlu menulis semua pekali. Anda akan melakukan operasi sedemikian di kepala anda. Kebanyakan orang mula melakukan ini di suatu tempat selepas 50-70 persamaan diselesaikan - secara umum, tidak begitu banyak.

Punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian itu sendiri. Jika diskriminasi D > 0, akar boleh didapati menggunakan formula:

Formula akar asas persamaan kuadratik

Apabila D = 0, anda boleh menggunakan mana-mana formula ini - anda akan mendapat nombor yang sama, yang akan menjadi jawapannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua punca. Mari cari mereka:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan itu sekali lagi mempunyai dua punca. Jom cari mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu punca. Apa-apa formula boleh digunakan. Sebagai contoh, yang pertama:

Seperti yang anda lihat dari contoh, semuanya sangat mudah. Jika anda tahu formula dan boleh mengira, tidak akan ada masalah. Selalunya, ralat berlaku apabila menggantikan pekali negatif ke dalam formula. Di sini sekali lagi, teknik yang diterangkan di atas akan membantu: lihat formula secara literal, tulis setiap langkah - dan tidak lama lagi anda akan menyingkirkan kesilapan.

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Ia berlaku bahawa persamaan kuadratik adalah sedikit berbeza daripada apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan ini kehilangan salah satu istilah. Persamaan kuadratik sedemikian lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang standard: mereka tidak memerlukan pengiraan diskriminasi. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baharu:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, i.e. pekali pembolehubah x atau unsur bebas adalah sama dengan sifar.

Sudah tentu, kes yang sangat sukar adalah mungkin apabila kedua-dua pekali ini sama dengan sifar: b = c = 0. Dalam kes ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 = 0. Jelas sekali, persamaan sedemikian mempunyai punca tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kes yang selebihnya. Biarkan b = 0, maka kita mendapat persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 + c = 0. Mari kita ubah sedikit:

Sejak aritmetik Punca kuasa dua wujud hanya dari nombor bukan negatif, kesamaan terakhir masuk akal hanya untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 ketaksamaan (−c /a) ≥ 0 dipenuhi, akan ada dua punca. Formula diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang anda lihat, diskriminasi tidak diperlukan - dalam persamaan kuadratik tidak lengkap tidak ada pengiraan yang kompleks. Malah, adalah tidak perlu untuk mengingati ketaksamaan (−c /a) ≥ 0. Ia cukup untuk menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain tanda sama. Jika ada nombor positif- akan ada dua akar. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana unsur bebas adalah sama dengan sifar. Segala-galanya mudah di sini: akan sentiasa ada dua akar. Ia cukup untuk memfaktorkan polinomial:

Penyingkiran pengganda biasa di luar kurungan

Hasil darab adalah sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sifar. Di sinilah asal usulnya. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan ini:

Tugasan. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tiada akar, kerana segi empat sama tidak boleh sama dengan nombor negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Contohnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminasi akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), ia akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminasi dilambangkan dengan huruf \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, dengan nilai diskriminasi, anda boleh memahami rupa graf yang lebih kurang (lihat di bawah).

Diskriminasi dan punca persamaan

Nilai diskriminasi menunjukkan bilangan persamaan kuadratik:
- jika \(D\) adalah positif, persamaan akan mempunyai dua punca;
- jika \(D\) sama dengan sifar – terdapat hanya satu punca;
- jika \(D\) negatif, tiada punca.

Ini tidak perlu diajar, tidak sukar untuk membuat kesimpulan sedemikian, hanya mengetahui bahawa dari diskriminasi (iaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam formula untuk mengira punca persamaan : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) Mari kita lihat setiap kes dengan lebih terperinci .

Sekiranya diskriminasi itu positif

Dalam kes ini, puncanya ialah beberapa nombor positif, yang bermaksud \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai makna yang berbeza, kerana dalam formula pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambah , dan pada yang kedua ia ditolak. Dan kita mempunyai dua akar yang berbeza.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Penyelesaian :

Jawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminasi adalah sifar

Berapa banyak punca yang akan ada jika diskriminasi adalah sifar? Mari beralasan.

Rumus akar kelihatan seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminasi adalah sifar, maka akarnya juga sifar. Kemudian ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Iaitu, nilai akar persamaan akan bertepatan, kerana menambah atau menolak sifar tidak mengubah apa-apa.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Penyelesaian :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menulis pekali:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Kami mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Mencari punca-punca persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Dapat dua akar yang sama, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara berasingan - kami menulisnya sebagai satu.

Jawab : \(x=2\)

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Bagaimana rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Dalam istilah matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Sebagai contoh:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik di sebelah kiri ini terdapat set penuh ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Dan jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang kepada kuasa pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Dan sebagainya. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikan sebaliknya A sifar.) Kuasa dua X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan yang jelas dan mudah. Pada peringkat pertama adalah perlu persamaan yang diberikan membawa kepada pandangan standard, iaitu kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Semuanya sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk keliru?), tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, berbuat demikian!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Mencubanya. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul? Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesilapan!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini:

Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. a, b dan c.

Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; A c? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan, A b !

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan yang pertama persamaan tidak lengkap. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian buat dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
Tidak berfungsi? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya perhatikan, dengan cara itu, X yang mana yang pertama dan yang mana yang kedua - ia sama sekali tidak peduli. Ia adalah mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang perkara yang paling banyak formula am untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? Apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan lain. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. dua pelbagai penyelesaian.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi ringkas, adalah kebiasaan untuk bercakap tentang satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. Baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, bila penyelesaian mudah persamaan kuadratik, konsep diskriminasi tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang sukar, tanpa ilmu maksud dan formula diskriminasi tidak cukup. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Adakah anda faham itu kata kunci di sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri. Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan terangkan semuanya! Menyemak perkara terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1, menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda . Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan.

Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya b Dengan bertentangan biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali b, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul!
Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1. Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Semua kurang kesilapan kehendak.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai kemungkinan pecahan, - buang pecahan! Darabkan persamaan dengan penyebut biasa, seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi yang sama." Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Dengan cara ini, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Nasihat praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kami menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Lakukannya!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan perkara anda sakit kepala. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya adalah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau tidak berjaya langsung? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda Semua contoh ini dipecahkan di sana. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, ia juga bercakap tentang penggunaan transformasi identiti dalam menyelesaikan pelbagai persamaan. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Saya harap, setelah belajar artikel ini, anda akan belajar mencari punca bagi persamaan kuadratik lengkap.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi nombor negatif(D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi ialah nombor positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Sebagai contoh. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap pekali pada sebutan kedua ialah genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang diberikan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini nombor genap, iaitu b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari cuba selesaikan persamaan menggunakan rumus yang diberikan dalam rajah D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang kita lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini dengan pelbagai formula kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik yang lengkap.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Persamaan kuadratik sering muncul semasa penyelesaian pelbagai tugas fizik dan matematik. Dalam artikel ini kita akan melihat bagaimana untuk menyelesaikan persamaan ini secara universal"melalui diskriminasi". Contoh penggunaan pengetahuan yang diperoleh juga diberikan dalam artikel.

Apakah persamaan yang akan kita bincangkan?

Rajah di bawah menunjukkan formula di mana x ialah pembolehubah yang tidak diketahui dan aksara latin a, b, c mewakili beberapa nombor yang diketahui.

Setiap simbol ini dipanggil pekali. Seperti yang anda lihat, nombor "a" muncul sebelum pembolehubah x kuasa dua. ini darjah maksimum daripada ungkapan yang dibentangkan, itulah sebabnya ia dipanggil persamaan kuadratik. Nama lain sering digunakan: persamaan tertib kedua. Nilai a itu sendiri ialah pekali kuasa dua(berdiri pada pembolehubah kuasa dua), b ialah pekali linear(ia terletak di sebelah pembolehubah yang dinaikkan kepada kuasa pertama), akhirnya, nombor c ialah sebutan bebas.

Perhatikan bahawa bentuk persamaan yang ditunjukkan dalam rajah di atas ialah bentuk klasik umum ungkapan kuadratik. Selain itu, terdapat persamaan tertib kedua yang lain di mana pekali b dan c boleh menjadi sifar.

Apabila tugas ditetapkan untuk menyelesaikan kesamaan yang dipersoalkan, ini bermakna bahawa nilai pembolehubah x perlu dicari yang akan memuaskannya. Perkara pertama yang perlu anda ingat di sini ialah perkara seterusnya: oleh kerana kuasa maksimum X ialah 2, maka jenis ini ungkapan tidak boleh mempunyai lebih daripada 2 penyelesaian. Ini bermakna jika, apabila menyelesaikan persamaan, 2 nilai x didapati memenuhinya, maka anda boleh yakin bahawa tiada nombor ke-3, menggantikannya dengan x, kesamaan itu juga akan menjadi benar. Penyelesaian kepada persamaan dalam matematik dipanggil puncanya.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan tertib kedua

Menyelesaikan persamaan jenis ini memerlukan pengetahuan tentang beberapa teori mengenainya. DALAM kursus sekolah algebra pertimbangkan 4 pelbagai kaedah penyelesaian. Mari senaraikan mereka:

• menggunakan pemfaktoran;
• menggunakan formula untuk segi empat tepat;
• dengan menggunakan graf fungsi kuadratik yang sepadan;
• menggunakan persamaan diskriminasi.

Kelebihan kaedah pertama ialah kesederhanaannya, walau bagaimanapun, ia tidak boleh digunakan untuk semua persamaan. Kaedah kedua adalah universal, tetapi agak rumit. Kaedah ketiga dibezakan dengan kejelasannya, tetapi ia tidak selalunya mudah dan terpakai. Dan akhirnya, menggunakan persamaan diskriminasi ialah cara yang universal dan agak mudah untuk mencari punca mutlak mana-mana persamaan tertib kedua. Oleh itu, dalam artikel ini kita hanya akan mempertimbangkannya.

Formula untuk mendapatkan punca-punca persamaan

Mari beralih kepada penampilan umum persamaan kuadratik. Mari kita tuliskannya: a*x²+ b*x + c =0. Sebelum menggunakan kaedah menyelesaikannya "melalui diskriminasi," anda harus sentiasa membawa kesamarataan kepada bentuk bertulisnya. Iaitu, ia mesti terdiri daripada tiga sebutan (atau kurang jika b atau c ialah 0).

Sebagai contoh, jika terdapat ungkapan: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², maka anda harus mengalihkan semua istilahnya ke satu sisi kesamaan dan menambah istilah yang mengandungi pembolehubah x dalam kuasa yang sama.

DALAM dalam kes ini operasi ini akan membawa kepada ungkapan berikut: -6*x²-4*x+8=0, yang bersamaan dengan persamaan 6*x²+4*x-8=0 (di sini kita darabkan sisi kiri dan kanan kesamarataan dengan -1).

Dalam contoh di atas, a = 6, b=4, c=-8. Ambil perhatian bahawa semua terma kesamaan yang sedang dipertimbangkan sentiasa dijumlahkan bersama, jadi jika tanda "-" muncul, ini bermakna pekali yang sepadan adalah negatif, seperti nombor c dalam kes ini.

Setelah meneliti perkara ini, mari kita beralih kepada formula itu sendiri, yang memungkinkan untuk mendapatkan punca-punca persamaan kuadratik. Ia kelihatan seperti yang ditunjukkan dalam foto di bawah.

Seperti yang dapat dilihat dari ungkapan ini, ia membolehkan anda mendapatkan dua akar (perhatikan tanda "±"). Untuk melakukan ini, cukup untuk menggantikan pekali b, c, dan a ke dalamnya.

Konsep diskriminasi

DALAM perenggan sebelumnya formula telah diberikan yang membolehkan anda menyelesaikan sebarang persamaan tertib kedua dengan cepat. Di dalamnya, ungkapan radikal dipanggil diskriminasi, iaitu, D = b²-4*a*c.

Mengapa bahagian formula ini diserlahkan, dan ia juga mempunyai nama yang betul? Hakikatnya ialah diskriminasi menghubungkan ketiga-tiga pekali persamaan ke dalam satu ungkapan. Fakta terakhir bermakna ia sepenuhnya membawa maklumat tentang akar, yang boleh dinyatakan dalam senarai berikut:

1. D>0: Kesamaan mempunyai 2 penyelesaian berbeza, kedua-duanya adalah nombor nyata.
2. D=0: Persamaan hanya mempunyai satu punca, dan ia adalah nombor nyata.

Tugas penentuan diskriminasi

Mari kita berikan contoh mudah tentang cara mencari diskriminasi. Biarkan kesamaan berikut diberikan: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Mari kita bawa ke bentuk standard, kita dapat: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, dari mana kita datang ke kesamaan : -2*x² +2*x-11 = 0. Di sini a=-2, b=2, c=-11.

Kini anda boleh menggunakan formula di atas untuk diskriminasi: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Nombor yang terhasil adalah jawapan kepada tugas. Oleh kerana dalam contoh diskriminasi adalah kurang daripada sifar, kita boleh mengatakan bahawa persamaan kuadratik ini tidak mempunyai akar sebenar. Penyelesaiannya hanyalah bilangan jenis kompleks.

Contoh ketidaksamaan melalui diskriminasi

Mari kita selesaikan masalah jenis yang sedikit berbeza: memandangkan kesamaan -3*x²-6*x+c = 0. Ia adalah perlu untuk mencari nilai c yang mana D>0.

Dalam kes ini, hanya 2 daripada 3 pekali diketahui, jadi tidak mungkin untuk mengira nilai tepat diskriminasi, tetapi diketahui bahawa ia adalah positif. Kami menggunakan fakta terakhir apabila mengarang ketaksamaan: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Menyelesaikan ketidaksamaan yang terhasil membawa kepada keputusan: c>-3.

Mari kita semak nombor yang terhasil. Untuk melakukan ini, kami mengira D untuk 2 kes: c=-2 dan c=-4. Nombor -2 memenuhi keputusan yang diperolehi (-2>-3), diskriminasi yang sepadan akan mempunyai nilai: D = 12>0. Sebaliknya, nombor -4 tidak memenuhi ketaksamaan (-4. Oleh itu, sebarang nombor c yang lebih besar daripada -3 akan memenuhi syarat.

Contoh penyelesaian persamaan

Mari kita kemukakan masalah yang melibatkan bukan sahaja mencari diskriminasi, tetapi juga menyelesaikan persamaan. Ia adalah perlu untuk mencari punca-punca kesamaan -2*x²+7-9*x = 0.

Dalam contoh ini, diskriminasi adalah sama dengan nilai berikut: D = 81-4*(-2)*7= 137. Kemudian punca-punca persamaan ditentukan seperti berikut: x = (9±√137)/(- 4). ini nilai yang tepat akar, jika anda mengira punca kira-kira, maka anda mendapat nombor: x = -5.176 dan x = 0.676.

Masalah geometri

Kami akan menyelesaikan masalah yang memerlukan bukan sahaja keupayaan untuk mengira diskriminasi, tetapi juga penggunaan kemahiran pemikiran abstrak dan pengetahuan tentang cara menulis persamaan kuadratik.

Bob mempunyai selimut 5 x 4 meter. Budak itu mahu menjahitnya di sekeliling seluruh perimeter jalur berterusan dari kain yang cantik. Seberapa tebal jalur ini jika kita tahu bahawa Bob mempunyai 10 m² kain.

Biarkan jalur mempunyai ketebalan x m, maka luas kain di sepanjang sisi panjang selimut ialah (5+2*x)*x, dan kerana terdapat 2 sisi panjang, kita ada: 2*x *(5+2*x). Pada bahagian pendek, luas kain yang dijahit ialah 4*x, kerana terdapat 2 sisi ini, kita mendapat nilai 8*x. Ambil perhatian bahawa 2*x telah ditambah pada sisi panjang kerana panjang selimut bertambah dengan nombor itu. Jumlah luas kain yang dijahit ke selimut ialah 10 m². Oleh itu, kita mendapat kesamaan: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Untuk contoh ini, diskriminasi adalah sama dengan: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Puncanya ialah 22. Dengan menggunakan formula, kita dapati punca yang diperlukan: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Jelas sekali, daripada dua punca, hanya nombor 0.5 yang sesuai mengikut keadaan masalah.

Oleh itu, jalur kain yang dijahit Bob ke selimutnya ialah 50 cm lebar.