Transformasi persamaan kuadratik lengkap kepada persamaan tidak lengkap kelihatan seperti ini (untuk kes \(b=0\)):

Untuk kes apabila \(c=0\) atau apabila kedua-dua pekali adalah sama dengan sifar, semuanya adalah serupa.

Sila ambil perhatian bahawa tidak ada persoalan tentang \(a\) sama dengan sifar;

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Pertama sekali, anda perlu memahami bahawa persamaan kuadratik yang tidak lengkap masih , dan oleh itu boleh diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan kuadratik biasa (melalui ). Untuk melakukan ini, kami hanya menambah komponen persamaan yang hilang dengan pekali sifar.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(3x^2-27=0\)
Penyelesaian :

		Kami mempunyai persamaan kuadratik yang tidak lengkap dengan pekali \(b=0\). Iaitu, kita boleh menulis persamaan seperti berikut:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sebenarnya, ini adalah persamaan yang sama seperti pada mulanya, tetapi kini ia boleh diselesaikan sebagai satu kuadratik biasa. Mula-mula kita tulis pekali.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Mari kita mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Mari kita cari punca-punca persamaan menggunakan rumus \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Tulis jawapan

Jawab : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(-x^2+x=0\)
Penyelesaian :

		Sekali lagi persamaan kuadratik yang tidak lengkap, tetapi kini pekali \(c\) adalah sama dengan sifar. Kami menulis persamaan sebagai lengkap.

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Macam mana rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Dalam istilah matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Contohnya:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik di sebelah kiri ini terdapat set lengkap ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Bagaimana jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang kepada kuasa pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

dll. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikannya A sifar.) Kuasa X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan yang jelas dan mudah. Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk membawa persamaan yang diberikan kepada bentuk piawai, i.e. kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Ia sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk mengelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, buat itu!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Cubalah. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul?

Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesilapan!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini: Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

persamaan kuadratik tidak lengkap a, b dan c.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; c A ? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan b !

, A

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.
Jadi bagaimana dengan ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian buat dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
tidak berkesan? itu sahaja... Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin:, x 1 = 0.

x 2 = 4 Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya ambil perhatian, dengan cara itu, yang X akan menjadi yang pertama dan yang akan menjadi yang kedua - sama sekali tidak peduli. Ia adalah mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1 - apa yang lebih kecil dan x 2

- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kami mendapat:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi: . Juga dua akar, x 1 = -3.

x 2 = 3
Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.

Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi. diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang formula paling umum untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan lain. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi yang dipermudahkan, adalah kebiasaan untuk dibincangkan satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. oh baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, apabila hanya menyelesaikan persamaan kuadratik, konsep diskriminasi sebenarnya tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan tugas yang lebih kompleks, tanpa pengetahuan maksud dan formula diskriminasi tidak boleh lewat. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan sedemikian adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersatu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Anda faham bahawa kata kunci di sini ialah dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri.

Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1. Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan menerangkan semuanya! Menyemak terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1 , menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda

. Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan. b Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya Dengan bertentangan b biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali
, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul! Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1.

Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Ralat akan semakin berkurangan. Penerimaan ketiga

. Jika persamaan anda mempunyai pekali pecahan, hapuskan pecahan itu! Darabkan persamaan dengan penyebut sepunya seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi identiti." Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Dengan cara ini, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Petua praktikal: 1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya.

Betul

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kami menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan. 4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya adalah sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta.

buatlah!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin:
Jawapan (bercelaru):

x 2 = 52

x 1.2 =
x 1 = 2

x 2 = -0.5

Juga dua akar
x 1 = -3

x - sebarang nombor

tiada penyelesaian
x 1 = 0.25

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan sakit kepala anda. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya ialah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau tidak berjaya langsung? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda Semua contoh ini dipecahkan di sana. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, kita juga bercakap tentang penggunaan transformasi yang sama dalam menyelesaikan pelbagai persamaan. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 atau x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Setelah belajar menyelesaikan persamaan darjah pertama, sudah tentu, anda ingin bekerja dengan orang lain, khususnya, dengan persamaan darjah kedua, yang sebaliknya dipanggil kuadratik.

Persamaan kuadratik ialah persamaan seperti ax² + bx + c = 0, di mana pembolehubah ialah x, nombornya ialah a, b, c, di mana a tidak sama dengan sifar.

Jika dalam persamaan kuadratik satu atau pekali lain (c atau b) adalah sama dengan sifar, maka persamaan ini akan diklasifikasikan sebagai persamaan kuadratik tidak lengkap.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jika pelajar setakat ini hanya dapat menyelesaikan persamaan darjah pertama? Mari kita pertimbangkan persamaan kuadratik tidak lengkap pelbagai jenis dan cara mudah untuk menyelesaikannya.

a) Jika pekali c bersamaan dengan 0, dan pekali b tidak sama dengan sifar, maka ax ² + bx + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, anda perlu mengetahui formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang terdiri daripada memfaktorkan bahagian kirinya dan kemudian menggunakan syarat bahawa hasil darab adalah sama dengan sifar.

Sebagai contoh, 5x² - 20x = 0. Kami memfaktorkan bahagian kiri persamaan, semasa menjalankan operasi matematik biasa: mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan

5x (x - 4) = 0

Kami menggunakan syarat bahawa produk adalah sama dengan sifar.

5 x = 0 atau x - 4 = 0

Jawapannya ialah: punca pertama ialah 0; punca kedua ialah 4.

b) Jika b = 0, dan sebutan bebas tidak sama dengan sifar, maka persamaan ax ² + 0x + c = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² + c = 0. Persamaan diselesaikan dalam dua cara : a) dengan memfaktorkan polinomial persamaan di sebelah kiri ; b) menggunakan sifat punca kuasa dua aritmetik. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan salah satu kaedah, contohnya:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Jawapannya ialah: punca pertama ialah 5/2; punca kedua adalah sama dengan - 5/2.

c) Jika b bersamaan dengan 0 dan c bersamaan dengan 0, maka ax ² + 0 + 0 = 0 dikurangkan kepada persamaan bentuk ax ² = 0. Dalam persamaan x akan sama dengan 0.

Seperti yang anda lihat, persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh mempunyai tidak lebih daripada dua punca.

Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:

Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang sebulan sedang mencari maklumat ini, dan ini adalah musim panas, dan apa yang akan berlaku semasa tahun persekolahan - akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari mulakan! Kandungan artikel:

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.

Dalam kursus sekolah, bahan diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Mempunyai satu punca sahaja.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar

Bagaimanakah akar dikira? Cuma!

Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:

Rumus akar adalah seperti berikut:

*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.

Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaan:

Dalam hal ini, apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa satu akar diperolehi, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...

Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, anda mendapat dua punca yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, maka jawapannya harus menulis dua punca:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menulisnya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.

Sekarang contoh seterusnya:

Seperti yang kita tahu, punca nombor negatif tidak boleh diambil, jadi tiada penyelesaian dalam kes ini.

Itulah keseluruhan proses keputusan.

Fungsi kuadratik.

Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).

Ini adalah fungsi borang:

di mana x dan y ialah pembolehubah

a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0

Graf ialah parabola:

Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik awak boleh tengok artikel oleh Inna Feldman.

Mari lihat contoh:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12

*Adalah mungkin untuk membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan serta-merta dengan 2, iaitu memudahkannya. Pengiraan akan lebih mudah.

Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.

Jawapan: x = 11

Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.

Jawapan: tiada penyelesaian

Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!

Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperolehi. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.

Konsep nombor kompleks.

Sedikit teori.

Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk

z = a + bi

di mana a dan b ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.

a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:

Sekarang pertimbangkan persamaan:

Kami mendapat dua akar konjugat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang diskriminasi.

Kes 1. Pekali b = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kes 2. Pekali c = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah dan pemfaktoran:

*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.

Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.

Sifat berguna dan corak pekali.

Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.

Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a + b+ c = 0, Itu

- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a+ c =b, Itu

Sifat ini membantu menyelesaikan jenis persamaan tertentu.

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Kesaksamaan dipegang a+ c =b, Bermakna

Keteraturan pekali.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya adalah sama.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorem Vieta.

Teorem Vieta dinamakan sempena ahli matematik Perancis terkenal Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akar. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.

Teorem Vieta, sebagai tambahan. adalah mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang terhasil boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.

KAEDAH PENGANGKUTAN

Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila anda boleh mencari punca persamaan dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.

Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:

Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.

*Jika kita melancarkan semula ketiga-tiga, kita akan membahagikan hasilnya dengan 3, dsb.

Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu datang untuk menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk geometri).

Sesuatu yang patut diberi perhatian!

1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standard (supaya tidak keliru semasa menyelesaikan).

2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Dalam artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.

Tetapi pertama, mari kita ulang apa persamaan yang dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana x ialah pembolehubah, dan pekali a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0, dipanggil segi empat sama. Seperti yang kita lihat, pekali untuk x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali untuk x atau sebutan bebas boleh sama dengan sifar, dalam hal ini kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;

2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;

3) Jika b = 0, c = 0, maka ax 2 = 0.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kita memindahkan sebutan bebas c ke sebelah kanan persamaan, kita dapat

ax 2 = ‒s. Oleh kerana a ≠ 0, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, maka x 2 = ‒c/a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari cuba fahami dengan contoh bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.

Jawapan: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawapan: persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita memfaktorkannya, iaitu, ambil x daripada kurungan, kita dapat x(ax + b) = 0. Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama. kepada sifar. Kemudian sama ada x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita dapat ax = - b, dari mana x = - b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx = 0 sentiasa mempunyai dua punca x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat rupa penyelesaian kepada persamaan jenis ini dalam rajah.

Mari kita satukan pengetahuan kita dengan contoh khusus.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 atau 3x – 12 = 0

Jawapan: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Persamaan jenis ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat mudah.

Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan mempunyai dua punca yang sama x 1 = 0, x 2 = 0.

Untuk kejelasan, mari lihat gambar rajah.

Marilah kita pastikan semasa menyelesaikan Contoh 4 bahawa persamaan jenis ini boleh diselesaikan dengan sangat mudah.

Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawapan: x 1, 2 = 0.

Ia tidak selalunya dengan segera jelas jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya, iaitu, dengan 30

Mari kita mengurangkannya

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Jom buka kurungan

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Mari kita berikan yang serupa

Mari kita gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya

Jawapan: tiada akar.

Kami melihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Saya berharap bahawa sekarang anda tidak akan menghadapi sebarang kesulitan dengan tugas-tugas tersebut. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadratik tidak lengkap, maka anda akan berjaya.

Jika anda mempunyai soalan mengenai topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah yang timbul bersama-sama.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.