Kaedah pekali persamaan kuadratik.

Tahap kemasukan Persamaan kuadratik. (2019)

Panduan yang komprehensif

Dalam istilah "persamaan kuadratik," kata kuncinya ialah "kuadrat." Ini bermakna bahawa persamaan mesti semestinya mengandungi pembolehubah (x yang sama) kuasa dua, dan tidak sepatutnya ada xes kepada kuasa ketiga (atau lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan datang kepada menyelesaikan persamaan kuadratik.

Mari belajar untuk menentukan bahawa ini adalah persamaan kuadratik dan bukan persamaan lain.

Contoh 1.

Mari kita hapuskan penyebut dan darab setiap sebutan persamaan dengan Mari kita pindahkan segala-galanya ke sebelah kiri

dan susun istilah dalam susunan menurun bagi kuasa x Sekarang kita boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan yang diberikan

adalah persegi!

Contoh 2.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya terdapat di dalamnya, bukan kuadratik!

Contoh 3.

Mari kita darabkan semuanya dengan:

menakutkan? Darjah keempat dan kedua... Walau bagaimanapun, jika kita membuat penggantian, kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik mudah:

Contoh 4.

Nampaknya ada, tetapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita alihkan semuanya ke sebelah kiri:

Lihat, ia dikurangkan - dan kini ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Contoh:

Jawapan:
Jawapan:
segi empat sama;
segi empat sama;
segi empat sama;
Jawapan:
segi empat sama;
bukan persegi;

segi empat sama.

Ahli matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan kuadratik kepada jenis berikut: Lengkapkan persamaan kuadratik - persamaan di mana pekali dan, serta sebutan bebas c, tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, antara persamaan kuadratik lengkap terdapat diberi

- ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh satu bukan sahaja lengkap, tetapi juga dikurangkan!) Persamaan kuadratik tidak lengkap
- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

Mereka tidak lengkap kerana mereka kehilangan beberapa elemen. Tetapi persamaan mesti sentiasa mengandungi x kuasa dua!!! Jika tidak, ia bukan lagi persamaan kuadratik, tetapi beberapa persamaan lain.

Mengapa mereka membuat pembahagian sedemikian? Nampaknya terdapat X kuasa dua, dan okay. Pembahagian ini ditentukan oleh kaedah penyelesaian. Mari kita lihat setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Mula-mula, mari fokus pada menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah!

, dalam persamaan ini pekali adalah sama.
, dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.
, dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

1. i. Oleh kerana kita tahu cara mengambil punca kuasa dua, mari kita gunakan persamaan ini untuk menyatakan

Ungkapan boleh sama ada negatif atau positif. Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa nombor positif, jadi: jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika, maka kita mendapat dua akar. Formula ini tidak perlu dihafal. Perkara utama ialah anda mesti tahu dan sentiasa ingat bahawa ia tidak boleh kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan persamaan

Sekarang yang tinggal hanyalah mengekstrak akar dari sisi kiri dan kanan. Lagipun, anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 7:

Selesaikan persamaan

Oh! Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar!

Untuk persamaan yang tidak mempunyai akar, ahli matematik menghasilkan ikon khas - ( set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis seperti ini:

Jawapan:

Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengekstrak akarnya.
Contoh 8:

Selesaikan persamaan

Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

Oleh itu,

Persamaan ini mempunyai dua punca.

Jawapan:

Jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang paling mudah (walaupun semuanya mudah, bukan?). Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Kami akan mengetepikan contoh di sini.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan persamaan bentuk di mana

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap adalah lebih sukar (sedikit sahaja) daripada ini.

Ingat Mana-mana persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Kaedah lain akan membantu anda melakukannya dengan lebih pantas, tetapi jika anda menghadapi masalah dengan persamaan kuadratik, mula-mula kuasai penyelesaian menggunakan diskriminasi.

1. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah ini adalah sangat mudah; perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, maka persamaan itu mempunyai punca. perhatian khusus ambil langkah. Diskriminasi () memberitahu kita bilangan punca persamaan.

Jika, maka formula dalam langkah akan dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan hanya akan mempunyai punca.
Jika, maka kami tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi pada langkah itu. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Mari kita kembali kepada persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan persamaan

Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca.

Langkah 3.

Jawapan:

Contoh 10:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca.

Jawapan:

Contoh 11:

Selesaikan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk piawai, jadi Langkah 1 kita ponteng.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ini bermakna kita tidak akan dapat mengekstrak punca diskriminasi. Tiada punca persamaan.

Sekarang kita tahu cara menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawapan: tiada akar

2. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, terdapat sejenis persamaan yang dipanggil berkurangan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar diberi persamaan kuadratik adalah sama, dan hasil darab akar adalah sama.

Contoh 12:

Selesaikan persamaan

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana .

Hasil tambah punca persamaan adalah sama, i.e. kita mendapat persamaan pertama:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

Dan. Jumlahnya sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Jawapan: ; .

Contoh 13:

Selesaikan persamaan

Jawapan:

Contoh 14:

Selesaikan persamaan

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jawapan:

PERSAMAAN KUADRAT. PERINGKAT TENGAH

Apakah persamaan kuadratik?

Dalam erti kata lain, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil tertinggi atau pekali pertama persamaan kuadratik, - pekali kedua, A - ahli percuma.

kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana akan hilang.

Dalam kes ini, dan boleh sama dengan sifar. Dalam persamaan kerusi ini dipanggil tidak lengkap. Jika semua istilah sudah ada, iaitu persamaannya sudah lengkap.

Penyelesaian kepada pelbagai jenis persamaan kuadratik

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap:

Pertama, mari kita lihat kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap - ia lebih mudah.

Kita boleh membezakan jenis persamaan berikut:

I., dalam persamaan ini pekali dan sebutan bebas adalah sama.

II. , dalam persamaan ini pekali adalah sama.

III. , dalam persamaan ini sebutan bebas adalah sama dengan.

Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada setiap subjenis ini.

Jelas sekali, persamaan ini sentiasa hanya mempunyai satu punca:

Nombor kuasa dua tidak boleh negatif, kerana apabila anda mendarab dua nombor negatif atau dua positif, hasilnya akan sentiasa menjadi nombor positif. Itulah sebabnya:

jika, maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita mempunyai dua akar

Formula ini tidak perlu dihafal. Perkara utama yang perlu diingat ialah ia tidak boleh kurang.

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Kuasa dua nombor tidak boleh negatif, yang bermaksud bahawa persamaan itu

tiada akar.

Untuk menulis secara ringkas bahawa masalah tidak mempunyai penyelesaian, kami menggunakan ikon set kosong.

Jawapan:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: dan.

Jawapan:

Kami akan mengeluarkannya faktor sepunya di luar kurungan:

Produk adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor sama dengan sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan kuadratik ini mempunyai dua punca: dan.

Contoh:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Mari kita faktorkan sisi kiri persamaan dan cari puncanya:

Jawapan:

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap:

1. Diskriminasi

Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara ini adalah mudah, perkara utama ialah mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, sebarang persamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan diskriminasi! Malah tidak lengkap.

Adakah anda perasan akar diskriminasi dalam formula untuk akar? Tetapi diskriminasi boleh menjadi negatif. Apa yang perlu dilakukan? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi memberitahu kita bilangan punca persamaan.

Jika, maka persamaan tersebut mempunyai akar-akar:
Jika kemudian persamaan mempunyai akar yang sama, tetapi pada asasnya satu akar:
Akar sedemikian dipanggil akar berganda.
Jika, maka akar diskriminasi tidak diekstrak. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai punca.

Kenapa boleh kuantiti yang berbeza akar? Mari beralih kepada deria geometri persamaan kuadratik. Graf fungsi ialah parabola:

Dalam kes khas, iaitu persamaan kuadratik, . Ini bermakna punca-punca persamaan kuadratik ialah titik-titik persilangan dengan paksi absis (paksi). Parabola mungkin tidak memotong paksi sama sekali, atau mungkin bersilang pada satu (apabila puncak parabola terletak pada paksi) atau dua titik.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika, maka ke bawah.

Sekarang cuba tentukan sendiri mana antara persamaan berikut adalah kuadratik dan yang mana bukan:

Penyelesaian:

Jawapan:

Jawapan: .

Jawapan:

Ini bermakna tiada penyelesaian.

Jawapan: .

2. Teorem Vieta

Menggunakan teorem Vieta adalah sangat mudah: anda hanya perlu memilih sepasang nombor yang hasil darabnya sama dengan sebutan bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua, diambil dengan tanda yang bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan dalam persamaan kuadratik terkurang ().

Mari lihat beberapa contoh:

Contoh #1:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta kerana . Pekali lain: ; .

Jumlah punca-punca persamaan ialah:

Dan produk adalah sama dengan:

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dan semak sama ada jumlahnya sama:

Dan. Jumlahnya sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama dengan;
Dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan penyelesaian kepada sistem:

Oleh itu, dan merupakan punca persamaan kita.

Jawapan: ; .

Contoh #2:

Penyelesaian:

Mari pilih pasangan nombor yang memberikan dalam produk, dan kemudian semak sama ada jumlahnya sama:

dan: mereka memberi secara keseluruhan.

dan: mereka memberi secara keseluruhan. Untuk mendapatkannya, cukup untuk menukar tanda-tanda akar yang sepatutnya: dan, selepas semua, produk.

Jawapan:

Contoh #3:

Penyelesaian:

Sebutan bebas bagi persamaan adalah negatif, dan oleh itu hasil darab punca ialah nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan satu lagi positif. Oleh itu jumlah akar-akar adalah sama dengan perbezaan modul mereka.

Marilah kita memilih pasangan nombor sedemikian yang memberikan dalam produk, dan perbezaannya adalah sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - tidak sesuai;

dan: - sesuai. Apa yang tinggal ialah ingat bahawa salah satu akarnya adalah negatif. Oleh kerana jumlahnya mestilah sama, punca dengan modulus yang lebih kecil mestilah negatif: . Kami menyemak:

Jawapan:

Contoh #4:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Istilah bebas adalah negatif, dan oleh itu hasil darab akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu punca persamaan adalah negatif dan satu lagi positif.

Mari pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama, dan kemudian tentukan punca mana yang sepatutnya mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar dan sesuai untuk keadaan pertama:

Jawapan:

Contoh #5:

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian:

Persamaan diberikan, yang bermaksud:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya satu daripada akar adalah negatif. Tetapi kerana produk mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar mempunyai tanda tolak.

Mari kita pilih pasangan nombor yang hasil darabnya sama dengan:

Jelas sekali, akarnya ialah nombor dan.

Jawapan:

Setuju, adalah sangat mudah untuk menghasilkan akar secara lisan, bukannya mengira diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sekerap mungkin.

Tetapi teorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan mencari punca. Untuk anda mendapat manfaat daripada menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada keautomasian. Dan untuk ini, selesaikan lima lagi contoh. Tetapi jangan menipu: anda tidak boleh menggunakan diskriminasi! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian kepada tugasan untuk kerja bebas:

Tugasan 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorem Vieta:

Seperti biasa, kami memulakan pemilihan dengan sekeping:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: jumlahnya adalah apa yang anda perlukan.

Jawapan: ; .

Tugasan 2.

Dan sekali lagi teorem Vieta kegemaran kami: jumlah mesti sama, dan hasil darab mestilah sama.

Tetapi kerana ia mesti tidak, tetapi, kita menukar tanda-tanda akar: dan (secara keseluruhan).

Jawapan: ; .

Tugasan 3.

Hmm... Mana tu?

Anda perlu memindahkan semua istilah ke dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama dengan hasil darab.

Okay, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi teorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama anda perlu memberikan persamaan. Jika anda tidak boleh memimpin, tinggalkan idea ini dan selesaikan dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi). Izinkan saya mengingatkan anda bahawa untuk memberikan persamaan kuadratik bermakna menjadikan pekali pendahulu sama:

Hebat. Maka jumlah akar adalah sama dengan dan hasil darab.

Di sini, semudah memerah pear untuk dipilih: lagipun, ia adalah nombor perdana (maaf atas tautologi).

Jawapan: ; .

Tugasan 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa tentang ini? Dan hakikatnya ialah akar akan mempunyai tanda yang berbeza. Dan sekarang, semasa pemilihan, kami tidak menyemak jumlah akar, tetapi perbezaan dalam modul mereka: perbezaan ini sama, tetapi produk.

Jadi, akarnya adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Ini bermakna bahawa akar yang lebih kecil akan mempunyai tolak: dan, sejak.

Jawapan: ; .

Tugasan 5.

Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Betul, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor nombor, dan perbezaannya hendaklah sama dengan:

Akar adalah sama dengan dan, tetapi salah satu daripadanya adalah tolak. yang mana? Jumlah mereka harus sama, yang bermaksud bahawa tolak akan mempunyai akar yang lebih besar.

Jawapan: ; .

Biar saya ringkaskan:

Teorem Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadratik yang diberikan.
Menggunakan teorem Vieta, anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
Jika persamaan tidak diberikan atau tiada pasangan faktor yang sesuai bagi istilah bebas ditemui, maka tiada punca keseluruhan, dan anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah untuk memilih petak lengkap

Jika semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui diwakili dalam bentuk sebutan daripada rumus pendaraban yang disingkatkan - kuasa dua jumlah atau perbezaan - maka selepas menggantikan pembolehubah, persamaan boleh dibentangkan dalam bentuk persamaan kuadratik tidak lengkap jenis.

Contohnya:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Penyelesaian:

Jawapan:

DALAM pandangan umum transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ia berikut: .

Tidak mengingatkan anda tentang apa-apa? Ini adalah perkara yang diskriminasi! Itulah cara kami mendapat formula diskriminasi.

PERSAMAAN KUADRAT. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Persamaan kuadratik- ini ialah persamaan bentuk, di mana - yang tidak diketahui, - pekali persamaan kuadratik, - sebutan bebas.

Persamaan kuadratik lengkap- persamaan di mana pekalinya tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik terkurang- persamaan di mana pekalinya, iaitu: .

Persamaan kuadratik tidak lengkap- persamaan di mana pekali dan atau sebutan bebas c adalah sama dengan sifar:

jika pekali, persamaannya kelihatan seperti: ,
jika terdapat istilah bebas, persamaan mempunyai bentuk: ,
jika dan, persamaannya kelihatan seperti: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadratik bentuk yang tidak lengkap, di mana, :

1) Mari kita nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Semak tanda ungkapan:

jika, maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian,
jika, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

1.2. Persamaan kuadratik bentuk yang tidak lengkap, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan: ,

2) Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua punca:

1.3. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap bagi bentuk, di mana:

Persamaan ini sentiasa mempunyai satu punca sahaja: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminasi

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk piawai: ,

2) Mari kita hitung diskriminasi menggunakan formula: , yang menunjukkan bilangan punca persamaan:

3) Cari punca-punca persamaan:

jika, maka persamaan mempunyai punca-punca, yang didapati dengan formula:
jika, maka persamaan mempunyai punca, yang ditemui oleh formula:
jika, maka persamaan itu tidak mempunyai punca.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem Vieta

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang (persamaan bentuk di mana) adalah sama, dan hasil darab punca adalah sama, i.e. , A.

2.3. Penyelesaian dengan kaedah memilih segi empat sama lengkap

Persamaan kuadratik. Diskriminasi. Penyelesaian, contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Jenis-jenis persamaan kuadratik

Apakah persamaan kuadratik? Apakah rupanya? Dalam istilah persamaan kuadratik kata kuncinya ialah "persegi". Ini bermakna bahawa dalam persamaan Semestinya mesti ada x kuasa dua. Selain itu, persamaan mungkin (atau mungkin tidak!) mengandungi hanya X (kepada kuasa pertama) dan hanya nombor (ahli percuma). Dan tidak sepatutnya ada X kepada kuasa yang lebih besar daripada dua.

Dalam istilah matematik, persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

Di sini a, b dan c- beberapa nombor. b dan c- sama sekali, tetapi A– apa-apa selain sifar. Contohnya:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Dalam persamaan kuadratik ini terdapat di sebelah kiri set lengkap ahli. X kuasa dua dengan pekali A, x kepada kuasa pertama dengan pekali b Dan ahli percuma s.

Persamaan kuadratik sedemikian dipanggil penuh.

Bagaimana jika b= 0, apa yang kita dapat? Kami ada X akan hilang ke tahap pertama. Ini berlaku apabila didarab dengan sifar.) Ternyata, sebagai contoh:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

dll. Dan jika kedua-dua pekali b Dan c adalah sama dengan sifar, maka ia lebih mudah:

2x 2 =0,

-0.3x 2 =0

Persamaan sedemikian di mana ada sesuatu yang hilang dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Yang agak logik.) Sila ambil perhatian bahawa x kuasa dua hadir dalam semua persamaan.

By the way, kenapa A tidak boleh sama dengan sifar? Dan anda menggantikan sebaliknya A sifar.) Kuasa dua X kami akan hilang! Persamaan akan menjadi linear. Dan penyelesaiannya berbeza sama sekali...

Itu semua jenis utama persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap.

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan. Mengikut formula dan peraturan yang jelas dan mudah. Pada peringkat pertama adalah perlu persamaan yang diberikan membawa kepada bentuk standard, i.e. kepada borang:

Jika persamaan sudah diberikan kepada anda dalam bentuk ini, anda tidak perlu melakukan peringkat pertama.) Perkara utama ialah menentukan dengan betul semua pekali, A, b Dan c.

Formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Tetapi lebih lanjut mengenai dia di bawah. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Kami mengira ke dalam formula ini. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, dalam persamaan:

A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Ini jawapannya.

Ia sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...

Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk mengelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, buat itu!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Cubalah. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul?

Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesilapan!

Tetapi, selalunya, persamaan kuadratik kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini: Adakah anda mengenalinya?) Ya! ini.

persamaan kuadratik tidak lengkap

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap. a, b dan c.

Mereka juga boleh diselesaikan menggunakan formula umum. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; c A c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan, A b !

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang formula. Mari kita pertimbangkan yang pertama persamaan lengkap. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Jadi bagaimana dengan ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian temukan dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
tidak berkesan? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x 1 = 0, x 2 = 4.

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan formula am. Biar saya perhatikan, dengan cara itu, X yang mana akan menjadi yang pertama dan yang mana akan menjadi yang kedua - sama sekali tidak peduli. Ia mudah untuk menulis mengikut urutan, x 1- apa yang lebih kecil dan x 2- yang lebih besar.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kami mendapat:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau dengan hanya menggerakkan nombor ke kanan dan kemudian mengekstrak akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Diskriminasi. Formula diskriminasi.

Kata ajaib diskriminasi ! Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan.) Saya mengingatkan anda tentang formula paling umum untuk penyelesaian mana-mana persamaan kuadratik:

Ungkapan di bawah tanda akar dipanggil diskriminasi. Biasanya diskriminasi dilambangkan dengan huruf D. Formula diskriminasi:

D = b 2 - 4ac

Dan apakah yang luar biasa tentang ungkapan ini? Mengapa ia layak mendapat nama istimewa? apa maksud diskriminasi? Lagipun -b, atau 2a dalam formula ini mereka tidak menyebutnya secara khusus apa-apa... Surat dan huruf.

Inilah perkaranya. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula ini, adalah mungkin hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan lain. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda akan mempunyai satu penyelesaian. Oleh kerana menambah atau menolak sifar dalam pengangka tidak mengubah apa-apa. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi, dalam versi ringkas, adalah kebiasaan untuk bercakap tentang satu penyelesaian.

3. Diskriminasi adalah negatif. Punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. oh baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Sejujurnya, apabila hanya menyelesaikan persamaan kuadratik, konsep diskriminasi sebenarnya tidak diperlukan. Kami menggantikan nilai pekali ke dalam formula dan mengira. Segala-galanya berlaku di sana dengan sendirinya, dua akar, satu, dan tidak ada. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan lebih banyak tugas yang sukar, tanpa ilmu makna dan formula diskriminasi tak boleh sampai. Terutama dalam persamaan dengan parameter. Persamaan tersebut adalah aerobatik untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu!)

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang anda ingat. Atau anda belajar, yang juga tidak buruk.) Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Adakah anda faham itu kata kunci di sini - dengan penuh perhatian?

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama . Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur-campur a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri.

Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1. Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan terangkan semuanya! Menyemak terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1 , menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda

Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya b Dengan bertentangan biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali b, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul!
Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1. Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Semua lebih sedikit ralat kehendak.

Penerimaan ketiga . Jika persamaan anda mempunyai kemungkinan pecahan, - buang pecahan! Darabkan persamaan dengan penyebut biasa, seperti yang diterangkan dalam pelajaran "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Transformasi yang sama". Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Dengan cara ini, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kami mendapat:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Nasihat praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kami menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. buatlah!

Sekarang kita boleh membuat keputusan.)

Selesaikan persamaan:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Jawapan (bercelaru):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - sebarang nombor

x 1 = -3
x 2 = 3

tiada penyelesaian

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Adakah semuanya sesuai? Hebat! Persamaan kuadratik bukan perkara anda sakit kepala. Tiga yang pertama berjaya, tetapi yang lain tidak? Maka masalahnya bukan dengan persamaan kuadratik. Masalahnya adalah dalam transformasi persamaan yang sama. Cuba lihat pautan, ia berguna.

Tidak cukup berkesan? Atau tidak berjaya langsung? Kemudian Seksyen 555 akan membantu anda Semua contoh ini dipecahkan di sana. Ditunjukkan utama kesilapan dalam penyelesaian. Sudah tentu, ia juga bercakap tentang penggunaan transformasi identiti dalam keputusan tersebut persamaan yang berbeza. Sangat membantu!

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Dengan ini program matematik awak boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan sebagai tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan $81x^2-16x-1=0$ jawapan dipaparkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan bukan seperti ini: $x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05$

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah

dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci. Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki

atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik
Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.

Contohnya: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, dsb.
Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan. Lebih-lebih lagi, nombor pecahan

boleh dimasukkan bukan sahaja sebagai perpuluhan, tetapi juga sebagai pecahan biasa.
Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan. Dalam perpuluhan bahagian pecahan
boleh dipisahkan daripada keseluruhan dengan sama ada titik atau koma. Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan

seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.

Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif. Apabila masuk pecahan berangka /
Pengangka dipisahkan dari penyebut dengan tanda bahagi: &
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh tanda ampersand:
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Keputusan: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2$ Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan
. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.

Contoh: x^2+2x-1

buat keputusan
Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.

Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.
JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

jika anda perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
$-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
nampak macam
$ax^2+bx+c=0, $
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik dipanggil persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan $a \neq 0 $.

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua, dan nombor c ialah sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana $a \neq 0 $, yang paling darjat tinggi pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu nama: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali x 2 adalah sama dengan 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Oleh itu, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) ax 2 +c=0, dengan $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, dengan $b \neq 0 $;
3) ax 2 =0.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk $c \neq 0 $, gerakkan sebutan bebasnya ke bahagian kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Oleh kerana $c \neq 0 $, maka $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Jika $-\frac(c)(a)>0$, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika $-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 $ faktorkan sisi kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (susun)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan.

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk $b \neq 0 $ sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita memperoleh formula untuk punca-punca. Formula ini kemudiannya boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
$x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 $

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan $ $x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Ungkapan radikal dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
$D = b^2-4ac$

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, di mana $D= b^2-4ac $

Adalah jelas bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi adalah positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar; jika diskriminasi adalah negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darabnya ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil daripada tanda bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik di atas adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil darab punca adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

Masalah persamaan kuadratik juga dikaji dalam kurikulum sekolah dan di universiti. Mereka bermaksud persamaan bentuk a*x^2 + b*x + c = 0, di mana x- pembolehubah, a, b, c – pemalar; a<>0 . Tugasnya ialah mencari punca-punca persamaan.

Makna geometri persamaan kuadratik

Graf fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadratik ialah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadratik ialah titik persilangan parabola dengan paksi absis (x). Ia berikutan bahawa terdapat tiga kes yang mungkin:
1) parabola tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi absis. Ini bermakna ia berada di satah atas dengan cawangan ke atas atau bahagian bawah dengan cawangan ke bawah. Dalam kes sedemikian, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar (ia mempunyai dua punca kompleks).

2) parabola mempunyai satu titik persilangan dengan paksi Lembu. Titik sedemikian dipanggil puncak parabola, dan persamaan kuadratik padanya memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Dalam kes ini, persamaan kuadratik mempunyai satu punca nyata (atau dua punca yang sama).

3) Kes terakhir dalam praktiknya ia lebih menarik - terdapat dua titik persilangan parabola dengan paksi abscissa. Ini bermakna terdapat dua akar sebenar persamaan

Berdasarkan analisis pekali kuasa pembolehubah, kesimpulan yang menarik boleh dibuat tentang peletakan parabola.

1) Jika pekali a lebih besar daripada sifar, maka cabang parabola diarahkan ke atas, jika negatif, maka cabang parabola diarahkan ke bawah.

2) Jika pekali b lebih besar daripada sifar, maka bucu parabola terletak pada separuh satah kiri jika ia mengambil nilai negatif- kemudian di sebelah kanan.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Mari kita pindahkan pemalar daripada persamaan kuadratik

untuk tanda sama, kita mendapat ungkapan

Darab kedua-dua belah dengan 4a

Untuk pergi ke kiri segi empat tepat tambah b^2 pada kedua-dua belah dan jalankan penjelmaan

Dari sini kita dapati

Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik

Diskriminasi ialah nilai ungkapan radikal Jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca sebenar, dikira dengan formula Apabila diskriminasi adalah sifar, persamaan kuadratik mempunyai satu penyelesaian (dua punca bertepatan), yang boleh didapati dengan mudah daripada formula di atas untuk D = 0. diskriminasi negatif tiada persamaan punca sebenar. Walau bagaimanapun, penyelesaian kepada persamaan kuadratik ditemui dalam satah kompleks, dan nilainya dikira menggunakan formula

Teorem Vieta

Mari kita pertimbangkan dua punca persamaan kuadratik dan bina persamaan kuadratik berdasarkan teorem Vieta itu sendiri dengan mudah mengikut tatatanda: jika kita mempunyai persamaan kuadratik bentuk. maka hasil tambah punca-puncanya adalah sama dengan pekali p yang diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab punca-punca persamaan itu adalah sama dengan sebutan bebas q. Perwakilan formula di atas akan kelihatan seperti Jika dalam persamaan klasik pemalar a adalah bukan sifar, maka anda perlu membahagikan keseluruhan persamaan dengannya, dan kemudian menggunakan teorem Vieta.

Jadual persamaan kuadratik pemfaktoran

Biarkan tugasan ditetapkan: faktorkan persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan (cari punca). Seterusnya, kami menggantikan punca yang ditemui ke dalam formula pengembangan untuk persamaan kuadratik Ini akan menyelesaikan masalah.

Masalah persamaan kuadratik

Tugasan 1. Cari punca-punca persamaan kuadratik

x^2-26x+120=0 .

Penyelesaian: Tuliskan pekali dan gantikannya ke dalam formula diskriminasi

Akar daripada nilai yang diberikan adalah sama dengan 14, ia adalah mudah untuk mencari dengan kalkulator, atau ingat dengan penggunaan yang kerap, bagaimanapun, untuk kemudahan, pada akhir artikel saya akan memberikan anda senarai petak nombor yang sering boleh dihadapi dalam masalah tersebut.
Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar

dan kita dapat

Tugasan 2. Selesaikan persamaan

2x 2 +x-3=0.

Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap, tulis pekali dan cari diskriminasi

Oleh formula yang diketahui mencari punca-punca persamaan kuadratik

Tugasan 3. Selesaikan persamaan

9x 2 -12x+4=0.

Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap. Menentukan diskriminasi

Kami mendapat kes di mana akarnya bertepatan. Cari nilai akar menggunakan formula

Tugasan 4. Selesaikan persamaan

x^2+x-6=0 .

Penyelesaian: Dalam kes di mana terdapat pekali kecil untuk x, adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem Vieta. Dengan keadaannya kita memperoleh dua persamaan

Daripada syarat kedua kita dapati bahawa produk mestilah sama dengan -6. Ini bermakna bahawa salah satu akar adalah negatif. Kami mempunyai pasangan penyelesaian yang mungkin berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mengambil kira syarat pertama, kami menolak pasangan kedua penyelesaian.
Punca-punca persamaan adalah sama

Masalah 5. Cari panjang sisi sebuah segi empat tepat jika perimeternya ialah 18 cm dan luasnya ialah 77 cm 2.

Penyelesaian: Separuh perimeter segi empat tepat adalah sama dengan hasil tambah sisi bersebelahan. Mari kita nyatakan x – sebelah besar, kemudian 18-x sisi yang lebih kecil. Luas segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab panjang ini:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminasi persamaan

Mengira punca-punca persamaan

Jika x=11, Itu 18's=7 , sebaliknya juga benar (jika x=7, maka 21's=9).

Masalah 6. Faktorkan persamaan kuadratik 10x 2 -11x+3=0.

Penyelesaian: Mari kita hitung punca persamaan, untuk melakukan ini kita dapati diskriminasi

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar dan mengira

Kami menggunakan formula untuk menguraikan persamaan kuadratik dengan punca

Membuka kurungan kita memperoleh identiti.

Persamaan kuadratik dengan parameter

Contoh 1. Apakah nilai parameter A , adakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu punca?

Penyelesaian: Dengan penggantian langsung nilai a=3 kita melihat bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Seterusnya, kita akan menggunakan fakta bahawa dengan diskriminasi sifar persamaan mempunyai satu punca kepelbagaian 2. Mari kita tuliskan diskriminasi

Mari kita permudahkan dan samakan dengan sifar

Kami telah memperoleh persamaan kuadratik berkenaan dengan parameter a, penyelesaiannya boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darabnya ialah 12. Dengan carian mudah kita menetapkan bahawa nombor 3,4 akan menjadi punca persamaan. Oleh kerana kita sudah menolak penyelesaian a=3 pada permulaan pengiraan, satu-satunya yang betul ialah - a=4. Oleh itu, untuk a=4 persamaan mempunyai satu punca.

Contoh 2. Apakah nilai parameter A , persamaan a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 mempunyai lebih daripada satu punca?

Penyelesaian: Mari kita lihat dahulu titik tunggal, ia akan menjadi nilai a=0 dan a=-3. Apabila a=0, persamaan akan dipermudahkan kepada bentuk 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu punca. Untuk a= -3 kita memperoleh identiti 0=0.
Mari kita mengira diskriminasi

dan cari nilai a di mana ia adalah positif

Daripada syarat pertama kita mendapat a>3. Untuk yang kedua, kita dapati diskriminasi dan punca persamaan

Mari kita tentukan selang di mana fungsi mengambil nilai positif. Dengan menggantikan titik a=0 kita dapat 3>0 . Jadi, di luar selang (-3;1/3) fungsi adalah negatif. Jangan lupa maksudnya a=0, yang harus dikecualikan kerana persamaan asal mempunyai satu punca di dalamnya.
Akibatnya, kami memperoleh dua selang yang memenuhi syarat masalah

Tugasan yang serupa dalam praktiknya akan ada banyak, cuba fikirkan tugas itu sendiri dan jangan lupa untuk mengambil kira syarat-syarat yang saling eksklusif. Kaji formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan baik ia sering diperlukan semasa mengira dalam tugas yang berbeza dan sains.

Topik ini mungkin kelihatan sukar pada mulanya kerana ramai yang tidak begitu formula mudah. Bukan sahaja persamaan kuadratik itu sendiri mempunyai tatatanda yang panjang, tetapi punca juga ditemui melalui diskriminasi. Secara keseluruhan, tiga formula baru diperolehi. Tidak begitu mudah untuk diingati. Ini hanya mungkin selepas menyelesaikan persamaan sedemikian dengan kerap. Kemudian semua formula akan diingati sendiri.

Pandangan umum persamaan kuadratik

Di sini kami mencadangkan rakaman eksplisit mereka, apabila darjah terbesar ditulis dahulu, dan kemudian dalam susunan menurun. Selalunya terdapat situasi apabila terma tidak konsisten. Maka adalah lebih baik untuk menulis semula persamaan dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah.

Mari kita perkenalkan beberapa notasi. Mereka dibentangkan dalam jadual di bawah.

Jika kita menerima tatatanda ini, semua persamaan kuadratik dikurangkan kepada tatatanda berikut.

Selain itu, pekali a ≠ 0. Biarkan formula ini ditetapkan sebagai nombor satu.

Apabila persamaan diberikan, tidak jelas berapa banyak punca yang akan ada dalam jawapan. Kerana satu daripada tiga pilihan sentiasa mungkin:

penyelesaiannya akan mempunyai dua akar;
jawapannya ialah satu nombor;
persamaan itu tidak akan mempunyai punca sama sekali.

Dan sehingga keputusan dimuktamadkan, sukar untuk memahami pilihan mana yang akan muncul dalam kes tertentu.

Jenis-jenis rakaman persamaan kuadratik

Masalah mungkin mengandunginya entri yang berbeza. Mereka tidak akan sentiasa kelihatan seperti formula am persamaan kuadratik. Kadangkala ia akan kehilangan beberapa istilah. Apa yang ditulis di atas adalah persamaan lengkap. Jika anda mengalih keluar penggal kedua atau ketiga di dalamnya, anda mendapat sesuatu yang lain. Rekod ini juga dipanggil persamaan kuadratik, hanya tidak lengkap.

Selain itu, hanya istilah dengan pekali "b" dan "c" boleh hilang. Nombor "a" tidak boleh sama dengan sifar dalam apa jua keadaan. Kerana dalam kes ini formula bertukar menjadi persamaan linear. Rumus untuk bentuk persamaan yang tidak lengkap adalah seperti berikut:

Jadi, hanya terdapat dua jenis; sebagai tambahan kepada yang lengkap, terdapat juga persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Biarkan formula pertama menjadi nombor dua, dan yang kedua - tiga.

Diskriminasi dan pergantungan bilangan akar pada nilainya

Anda perlu mengetahui nombor ini untuk mengira punca-punca persamaan. Ia sentiasa boleh dikira, tidak kira apa formula persamaan kuadratik itu. Untuk mengira diskriminasi, anda perlu menggunakan kesamaan yang ditulis di bawah, yang akan mempunyai nombor empat.

Selepas menggantikan nilai pekali ke dalam formula ini, anda boleh mendapatkan nombor dengan tanda yang berbeza. Jika jawapannya ya, maka jawapan kepada persamaan ialah dua pelbagai akar. Pada nombor negatif punca-punca persamaan kuadratik akan hilang. Jika ia sama dengan sifar, hanya akan ada satu jawapan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap?

Malah, pertimbangan isu ini telah pun bermula. Kerana pertama anda perlu mencari diskriminasi. Selepas ditentukan bahawa terdapat punca persamaan kuadratik, dan bilangannya diketahui, anda perlu menggunakan formula untuk pembolehubah. Sekiranya terdapat dua akar, maka anda perlu menggunakan formula berikut.

Oleh kerana ia mengandungi tanda "±", akan ada dua makna. Ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua ialah diskriminasi. Oleh itu, formula boleh ditulis semula secara berbeza.

Formula nombor lima. Daripada rekod yang sama adalah jelas bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, maka kedua-dua punca akan mengambil nilai yang sama.

Jika menyelesaikan persamaan kuadratik belum lagi diusahakan, maka adalah lebih baik untuk menuliskan nilai semua pekali sebelum menggunakan formula diskriminasi dan pembolehubah. Nanti detik ini tidak akan menyebabkan kesukaran. Tetapi pada awalnya terdapat kekeliruan.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap?

Segala-galanya lebih mudah di sini. Tidak perlu pun formula tambahan. Dan mereka yang telah ditulis untuk diskriminasi dan yang tidak diketahui tidak akan diperlukan.

Mari kita pertimbangkan dahulu persamaan tidak lengkap di nombor dua. Dalam kesamaan ini, adalah perlu untuk mengeluarkan kuantiti yang tidak diketahui daripada kurungan dan menyelesaikan persamaan linear, yang akan kekal dalam kurungan. Jawapannya akan mempunyai dua punca. Yang pertama semestinya sama dengan sifar, kerana terdapat pengganda yang terdiri daripada pembolehubah itu sendiri. Yang kedua akan diperolehi dengan menyelesaikan persamaan linear.

Persamaan nombor tiga yang tidak lengkap diselesaikan dengan memindahkan nombor dari sebelah kiri kesamaan ke kanan. Kemudian anda perlu membahagikan dengan pekali menghadap yang tidak diketahui. Yang tinggal hanyalah mengekstrak punca kuasa dua dan ingat untuk menulisnya dua kali dengan tanda yang bertentangan.

Di bawah ialah beberapa langkah yang akan membantu anda mempelajari cara menyelesaikan semua jenis kesamaan yang bertukar menjadi persamaan kuadratik. Mereka akan membantu pelajar untuk mengelakkan kesilapan kerana tidak mengambil perhatian. Kekurangan ini adalah puncanya gred teruk semasa mempelajari topik yang luas "Persamaan kuadratik (gred 8)". Selepas itu, tindakan ini tidak perlu dilakukan secara berterusan. Kerana kemahiran yang stabil akan muncul.

Mula-mula anda perlu menulis persamaan dalam bentuk piawai. Iaitu, pertama istilah dengan paling banyak sebahagian besarnya pembolehubah, dan kemudian - tanpa ijazah dan terakhir - hanya nombor.

Jika tolak muncul sebelum pekali "a", ia boleh merumitkan kerja untuk pemula yang mempelajari persamaan kuadratik. Lebih baik membuangnya. Untuk tujuan ini, semua kesamaan mesti didarab dengan "-1". Ini bermakna bahawa semua istilah akan menukar tanda kepada sebaliknya.

Adalah disyorkan untuk menyingkirkan pecahan dengan cara yang sama. Cukup darab persamaan dengan faktor yang sesuai supaya penyebutnya dibatalkan.

Contoh

Ia diperlukan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik berikut:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Persamaan pertama: x 2 − 7x = 0. Ia tidak lengkap, oleh itu ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula nombor dua.

Selepas mengeluarkannya daripada kurungan, ternyata: x (x - 7) = 0.

Punca pertama mengambil nilai: x 1 = 0. Punca kedua akan ditemui daripada persamaan linear: x - 7 = 0. Mudah untuk melihat bahawa x 2 = 7.

Persamaan kedua: 5x 2 + 30 = 0. Sekali lagi tidak lengkap. Hanya ia diselesaikan seperti yang diterangkan untuk formula ketiga.

Selepas memindahkan 30 ke sebelah kanan persamaan: 5x 2 = 30. Sekarang anda perlu bahagikan dengan 5. Ternyata: x 2 = 6. Jawapannya ialah nombor: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Persamaan ketiga: 15 − 2х − x 2 = 0. Di sini dan seterusnya, menyelesaikan persamaan kuadratik akan bermula dengan penulisan semula dalam pandangan standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Kini tiba masanya untuk menggunakan yang kedua nasihat yang berguna dan darabkan semuanya dengan tolak satu. Ternyata x 2 + 2x - 15 = 0. Menggunakan formula keempat, anda perlu mengira diskriminasi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ia adalah nombor positif. Daripada apa yang dikatakan di atas, ternyata persamaan itu mempunyai dua punca. Mereka perlu dikira menggunakan formula kelima. Ternyata x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kemudian x 1 = 3, x 2 = - 5.

Persamaan keempat x 2 + 8 + 3x = 0 diubah menjadi ini: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminasinya adalah sama dengan nilai ini: -23. Oleh kerana nombor ini negatif, jawapan kepada tugas ini ialah entri berikut: "Tiada akar."

Persamaan kelima 12x + x 2 + 36 = 0 hendaklah ditulis semula seperti berikut: x 2 + 12x + 36 = 0. Selepas menggunakan formula untuk diskriminasi, nombor sifar diperoleh. Ini bermakna ia akan mempunyai satu punca, iaitu: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Persamaan keenam (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) memerlukan penjelmaan, yang terdiri daripada membawa istilah yang serupa, sebelum membuka kurungan. Di tempat yang pertama akan terdapat ungkapan berikut: x 2 + 2x + 1. Selepas kesamaan, entri ini akan muncul: x 2 + 3x + 2. Selepas sebutan yang serupa dikira, persamaan akan mengambil bentuk: x 2 - x = 0. Ia telah menjadi tidak lengkap . Sesuatu yang serupa dengan ini telah dibincangkan lebih tinggi sedikit. Akar ini akan menjadi nombor 0 dan 1.