Bagaimana untuk mencari punca persamaan formula. Persamaan kuadratik

Saya harap, setelah belajar artikel ini, anda akan belajar mencari punca bagi persamaan kuadratik lengkap.

Menggunakan diskriminasi, hanya persamaan kuadratik lengkap diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang anda akan dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap."

Apakah persamaan kuadratik yang dipanggil lengkap? ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, di mana pekali a, b dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita perlu mengira diskriminasi D.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi nombor negatif(D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi sama dengan sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi nombor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Contohnya. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial pandangan standard

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai, mula-mula persamaan kuadratik lengkap mesti ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, iaitu A x 2 , kemudian dengan kurang – bx dan kemudian ahli percuma Dengan.

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang dan persamaan kuadratik dengan pekali genap dalam sebutan kedua, anda boleh menggunakan formula lain. Mari kita berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik lengkap pekali pada sebutan kedua ialah genap (b = 2k), maka anda boleh menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang diberikan dalam rajah dalam Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 sama dengan satu dan persamaan akan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini nombor genap, iaitu b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari cuba selesaikan persamaan menggunakan rumus yang diberikan dalam rajah D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3. Menyedari bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini boleh dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita mendapat persamaan kuadratik terkurang x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik terkurang.
persamaan rajah 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang kita lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini dengan pelbagai formula kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Kami terus mengkaji topik itu " menyelesaikan persamaan" Kami telah membiasakan diri dengan persamaan linear dan beralih kepada membiasakan diri dengan persamaan kuadratik.

Mula-mula kita akan melihat apakah persamaan kuadratik dan bagaimana ia ditulis pandangan umum, dan kami akan memberi definisi berkaitan. Selepas ini, kami akan menggunakan contoh untuk mengkaji secara terperinci bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Mari kita beralih kepada penyelesaian persamaan lengkap, kita mendapat formula punca, berkenalan dengan diskriminasi persamaan kuadratik dan pertimbangkan penyelesaiannya contoh tipikal. Akhir sekali, mari kita mengesan hubungan antara akar dan pekali.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan kuadratik? Jenis mereka

Mula-mula anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadratik. Oleh itu, adalah logik untuk memulakan perbualan tentang persamaan kuadratik dengan definisi persamaan kuadratik, serta definisi yang berkaitan. Selepas ini, anda boleh mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadratik: dikurangkan dan tidak dikurangkan, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Definisi dan contoh persamaan kuadratik

Definisi.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ialah bukan sifar.

Katakan segera bahawa persamaan kuadratik sering dipanggil persamaan darjah kedua. Ini disebabkan oleh fakta bahawa persamaan kuadratik adalah persamaan algebra ijazah kedua.

Takrifan yang dinyatakan membolehkan kita memberikan contoh persamaan kuadratik. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, dsb. Ini adalah persamaan kuadratik.

Definisi.

Nombor a, b dan c dipanggil pekali persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dan pekali a dipanggil pertama, atau tertinggi, atau pekali x 2, b ialah pekali kedua, atau pekali x, dan c ialah sebutan bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x −3=0, di sini pekali pendahulu ialah 5, pekali kedua bersamaan dengan −2, dan sebutan bebas adalah sama dengan -3. Ambil perhatian bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, seperti dalam contoh yang diberikan, maka bentuk pendek menulis persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x−3=0, dan bukan 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Perlu diingat bahawa apabila pekali a dan/atau b adalah sama dengan 1 atau -1, ia biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam persamaan kuadratik, yang disebabkan oleh keanehan penulisan sedemikian . Contohnya, dalam persamaan kuadratik y 2 −y+3=0 pekali pendahulu ialah satu, dan pekali y adalah sama dengan -1.

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Bergantung pada nilai pekali utama, persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang dibezakan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan kuadratik di mana pekali pendahulunya ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. DALAM sebaliknya persamaan kuadratik ialah tidak disentuh.

mengikut takrifan ini, persamaan kuadratik x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dsb. – diberikan, dalam setiap daripada mereka pekali pertama adalah sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dsb. - persamaan kuadratik tidak dikurangkan, pekali utamanya berbeza daripada 1.

Daripada mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dikurangkan, dengan membahagikan kedua-dua belah dengan pekali pendahulu, anda boleh pergi ke yang dikurangkan. Tindakan ini ialah penjelmaan setara, iaitu, persamaan kuadratik terkurang yang diperoleh dengan cara ini mempunyai punca yang sama seperti persamaan kuadratik tak terkurang asal, atau, seperti itu, tidak mempunyai punca.

Mari kita lihat contoh bagaimana peralihan daripada persamaan kuadratik tidak dikurangkan kepada persamaan dikurangkan dilakukan.

Contoh.

Daripada persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, pergi ke persamaan kuadratik terkurang yang sepadan.

Penyelesaian.

Kita hanya perlu membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan pekali pendahulu 3, ia bukan sifar, jadi kita boleh melakukan tindakan ini. Kami mempunyai (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dan kemudian (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang, yang bersamaan dengan yang asal.

Jawapan:

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Takrif persamaan kuadratik mengandungi keadaan a≠0. Keadaan ini perlu supaya persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah kuadratik, kerana apabila a = 0 ia sebenarnya menjadi persamaan linear bentuk b x + c = 0.

Bagi pekali b dan c, ia boleh sama dengan sifar, secara individu dan bersama. Dalam kes ini, persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0 dipanggil tidak lengkap, jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b, c adalah sama dengan sifar.

Seterusnya

Definisi.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan di mana semua pekali adalah berbeza daripada sifar.

Nama sedemikian tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas daripada perbincangan berikut.

Jika pekali b ialah sifar, maka persamaan kuadratik mengambil bentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ia bersamaan dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, iaitu persamaan kuadratik mempunyai bentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka ia boleh ditulis semula sebagai a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapat persamaan kuadratik a·x 2 =0. Persamaan yang terhasil berbeza daripada persamaan kuadratik lengkap kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya. Oleh itu nama mereka - persamaan kuadratik tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 ialah contoh persamaan kuadratik lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Daripada maklumat dalam perenggan sebelum ini ia berikutan bahawa terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

a·x 2 =0, pekali b=0 dan c=0 sepadan dengannya;
a x 2 +c=0 apabila b=0 ;
dan a·x 2 +b·x=0 apabila c=0.

Mari kita periksa mengikut urutan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap bagi setiap jenis ini diselesaikan.

a x 2 =0

Mari kita mulakan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap di mana pekali b dan c adalah sama dengan sifar, iaitu, dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh daripada yang asal dengan membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor bukan sifar a. Jelas sekali, punca persamaan x 2 =0 ialah sifar, kerana 0 2 =0. Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh fakta bahawa bagi mana-mana nombor bukan sifar p ketaksamaan p 2 >0 berlaku, yang bermaksud bahawa untuk p≠0 kesamaan p 2 =0 tidak pernah dicapai.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai punca tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik tidak lengkap −4 x 2 =0. Ia bersamaan dengan persamaan x 2 =0, punca tunggalnya ialah x=0, oleh itu, persamaan asal mempunyai sifar punca tunggal.

Penyelesaian ringkas dalam kes ini boleh ditulis seperti berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan di mana pekali b ialah sifar dan c≠0, iaitu persamaan bentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahawa memindahkan istilah dari satu sisi persamaan ke yang lain dengan tanda bertentangan, serta membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar memberikan persamaan yang setara. Oleh itu, kita boleh melaksanakan perkara berikut transformasi yang setara persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 :

gerakkan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 =−c,
dan bahagikan kedua-dua belah dengan a, kita dapat .

Persamaan yang terhasil membolehkan kita membuat kesimpulan tentang puncanya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ungkapan boleh menjadi negatif (contohnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (contohnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), ia tidak sama dengan sifar , kerana mengikut keadaan c≠0. Mari lihat kes secara berasingan.

Jika , maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Pernyataan ini berikutan fakta bahawa kuasa dua mana-mana nombor ialah nombor bukan negatif. Ia berikutan daripada ini bahawa apabila , maka untuk sebarang nombor p kesamaan tidak boleh benar.

Jika , maka keadaan dengan punca-punca persamaan adalah berbeza. Dalam kes ini, jika kita ingat tentang , maka punca persamaan serta-merta menjadi jelas; Sangat mudah untuk meneka bahawa nombor itu juga merupakan punca persamaan, sememangnya, . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang boleh ditunjukkan, sebagai contoh, dengan percanggahan. Jom buat ini.

Mari kita nyatakan punca-punca persamaan yang baru diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Katakan persamaan itu mempunyai satu lagi punca x 2, berbeza daripada punca yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Adalah diketahui bahawa menggantikan puncanya kepada persamaan dan bukannya x menjadikan persamaan itu menjadi kesamaan berangka yang betul. Untuk x 1 dan −x 1 kita ada , dan untuk x 2 kita ada . Sifat kesamaan berangka membolehkan kita melakukan penolakan sebutan demi sebutan bagi benar kesamaan berangka, jadi penolakan bahagian yang sepadan bagi kesamaan menghasilkan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat operasi dengan nombor membolehkan kita menulis semula kesamaan yang terhasil sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahawa hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya sama dengan sifar. Oleh itu, daripada kesamaan yang terhasil ia mengikuti bahawa x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, iaitu sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai kepada percanggahan, kerana pada mulanya kita mengatakan bahawa punca persamaan x 2 adalah berbeza daripada x 1 dan −x 1. Ini membuktikan bahawa persamaan tidak mempunyai punca selain dan .

Mari kita ringkaskan maklumat dalam perenggan ini. Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 adalah bersamaan dengan persamaan yang

tidak mempunyai akar jika ,
mempunyai dua punca dan , jika .

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulakan dengan persamaan kuadratik 9 x 2 +7=0. Selepas memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan, ia akan mengambil bentuk 9 x 2 =−7. Membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9, kita tiba di . Oleh kerana bahagian kanan mempunyai nombor negatif, persamaan ini tidak mempunyai punca, oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 +7 = 0 tidak mempunyai punca.

Mari kita selesaikan satu lagi persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0. Kami memindahkan sembilan ke sebelah kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita bahagikan kedua-dua belah dengan -1, kita dapat x 2 =9. Di sebelah kanan terdapat nombor positif, dari mana kita membuat kesimpulan bahawa atau . Kemudian kita tuliskan jawapan akhir: persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0 mempunyai dua punca x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Ia kekal untuk menangani penyelesaian jenis terakhir persamaan kuadratik tidak lengkap untuk c=0. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk a x 2 + b x = 0 membolehkan anda menyelesaikannya kaedah pemfaktoran. Jelas sekali, kita boleh, terletak di sebelah kiri persamaan, yang mana ia cukup untuk mengeluarkannya daripada kurungan pengganda biasa x. Ini membolehkan kita beralih daripada persamaan kuadratik tak lengkap asal kepada persamaan setara dalam bentuk x·(a·x+b)=0. Dan persamaan ini bersamaan dengan satu set dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, yang kedua adalah linear dan mempunyai punca x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 mempunyai dua punca x=0 dan x=−b/a.

Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis penyelesaian kepada contoh tertentu.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mengambil x daripada kurungan memberikan persamaan . Ia bersamaan dengan dua persamaan x=0 dan . Menyelesaikan apa yang kita dapat persamaan linear: , dan melaksanakan pembahagian nombor bercampur pada pecahan sepunya, kita dapati. Oleh itu, punca-punca persamaan asal ialah x=0 dan .

Selepas mendapat amalan yang diperlukan, penyelesaian kepada persamaan tersebut boleh ditulis secara ringkas:

Jawapan:

x=0 , .

Diskriminasi, formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terdapat formula punca. Mari kita menulisnya formula bagi punca-punca persamaan kuadratik: , Di mana D=b 2 −4 a c- kononnya diskriminasi bagi persamaan kuadratik. Entri itu pada dasarnya bermaksud bahawa .

Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana formula punca diperoleh dan bagaimana ia digunakan dalam mencari punca persamaan kuadratik. Mari kita fikirkan perkara ini.

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

Kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan nombor bukan sifar a, menghasilkan persamaan kuadratik berikut.
Sekarang mari kita highlight segi empat tepat di sebelah kirinya: . Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk .
Pada peringkat ini, adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, kita ada .
Dan mari juga mengubah ungkapan di sebelah kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan yang setara dengan persamaan kuadratik asal a·x 2 +b·x+c=0.

Kami telah menyelesaikan persamaan yang serupa dalam bentuk dalam perenggan sebelumnya apabila mereka memisahkannya. Ini membolehkan anda melakukannya kesimpulan berikut mengenai punca-punca persamaan:

jika , maka persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian yang sah;
jika , maka persamaan itu mempunyai bentuk , oleh itu, , yang daripadanya satu-satunya puncanya kelihatan;
jika , maka atau , yang sama dengan atau , iaitu persamaan mempunyai dua punca.

Oleh itu, kehadiran atau ketiadaan punca persamaan, dan oleh itu persamaan kuadratik asal, bergantung pada tanda ungkapan di sebelah kanan. Sebaliknya, tanda ungkapan ini ditentukan oleh tanda pengangka, kerana penyebut 4·a 2 sentiasa positif, iaitu, dengan tanda ungkapan b 2 −4·a·c. Ungkapan ini b 2 −4 a c dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik dan ditetapkan oleh surat itu D. Dari sini intipati diskriminasi adalah jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik mempunyai punca sebenar, dan jika ya, apakah nombor mereka - satu atau dua.

Mari kita kembali kepada persamaan dan tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: . Dan kami membuat kesimpulan:

jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jika D=0, maka persamaan ini mempunyai punca tunggal;
akhirnya, jika D>0, maka persamaan itu mempunyai dua punca atau, yang boleh ditulis semula dalam bentuk atau, dan selepas mengembang dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa kita terima.

Jadi kami memperoleh formula untuk punca persamaan kuadratik, ia kelihatan seperti , di mana diskriminasi D dikira oleh formula D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminasi positif, anda boleh mengira kedua-duanya akar sebenar persamaan kuadratik. Apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kedua-dua formula memberikan nilai akar yang sama, sepadan satu-satunya penyelesaian persamaan kuadratik. Dan bila diskriminasi negatif apabila cuba menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita berhadapan dengan pengekstrakan punca kuasa dua daripada nombor negatif, yang membawa kita melampaui dan kurikulum sekolah. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang boleh didapati menggunakan formula akar yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Dalam amalan, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, anda boleh segera menggunakan formula akar untuk mengira nilainya. Tetapi ini lebih berkaitan dengan mencari akar yang kompleks.

Walau bagaimanapun, dalam kursus sekolah algebra biasanya kita bercakap tentang bukan tentang kompleks, tetapi tentang punca sebenar persamaan kuadratik. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan, sebelum menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, terlebih dahulu mencari diskriminasi, pastikan ia bukan negatif (jika tidak, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca sebenar), dan hanya kemudian mengira nilai akar.

Alasan di atas membolehkan kita menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0, anda perlu:

menggunakan formula diskriminasi D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
membuat kesimpulan bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar jika diskriminasi adalah negatif;
hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula jika D=0;
cari dua punca nyata bagi persamaan kuadratik menggunakan formula punca jika diskriminasinya positif.

Di sini kami hanya ambil perhatian bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, anda juga boleh menggunakan formula itu akan memberikan nilai yang sama seperti .

Anda boleh beralih kepada contoh menggunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada tiga persamaan kuadratik dengan positif, negatif dan sama dengan sifar diskriminasi. Setelah menangani penyelesaian mereka, dengan analogi adalah mungkin untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lain. Mari kita mulakan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan x 2 +2·x−6=0.

Penyelesaian.

Dalam kes ini, kita mempunyai pekali persamaan kuadratik berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritma, pertama anda perlu mengira diskriminasi; untuk melakukan ini, kami menggantikan a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Oleh kerana 28>0, iaitu, diskriminasi lebih besar daripada sifar, persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar, kita dapat , di sini anda boleh memudahkan ungkapan yang terhasil dengan melakukan menggerakkan pengganda melebihi tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Jawapan:

Mari kita beralih kepada contoh tipikal seterusnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Penyelesaian.

Kita mulakan dengan mencari diskriminasi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca tunggal, yang kita dapati sebagai , iaitu,

Jawapan:

x=3.5.

Ia kekal untuk mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Penyelesaian.

Berikut ialah pekali bagi persamaan kuadratik: a=5, b=6 dan c=2. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, persamaan kuadratik ini tidak mempunyai punca sebenar.

Jika anda perlu menunjukkan akar kompleks, kemudian kami memohon formula yang terkenal punca persamaan kuadratik, dan melakukan tindakan dengan nombor kompleks :

Jawapan:

tiada akar sebenar, akar kompleks ialah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahawa jika diskriminasi persamaan kuadratik adalah negatif, maka di sekolah mereka biasanya segera menulis jawapan di mana mereka menunjukkan bahawa tidak ada punca sebenar, dan punca kompleks tidak dijumpai.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, di mana D=b 2 −4·a·c membolehkan anda memperoleh formula bentuk yang lebih padat, membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk x (atau hanya dengan pekali yang mempunyai bentuk 2·n, sebagai contoh, atau 14· ln5=2·7·ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari cari puncanya menggunakan formula yang kita tahu. Untuk melakukan ini, kami mengira diskriminasi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dan kemudian kami menggunakan formula akar:

Mari kita nyatakan ungkapan n 2 −a c sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Kemudian formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk , dengan D 1 =n 2 −a·c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dalam erti kata lain, D 1 ialah bahagian keempat diskriminasi. Jelas bahawa tanda D 1 adalah sama dengan tanda D . Iaitu, tanda D 1 juga merupakan penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2·n, anda perlukan

Kira D 1 =n 2 −a·c ;
Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula;
Jika D 1 >0, maka cari dua punca nyata menggunakan rumus.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan contoh menggunakan formula akar yang diperolehi dalam perenggan ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Penyelesaian.

Pekali kedua persamaan ini boleh diwakili sebagai 2·(−3) . Iaitu, anda boleh menulis semula persamaan kuadratik asal dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan hitung bahagian keempat daripada diskriminasi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Oleh kerana nilainya positif, persamaan mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar yang sesuai:

Ambil perhatian bahawa adalah mungkin untuk menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini lebih banyak kerja pengiraan perlu dilakukan.

Jawapan:

Mempermudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang, sebelum mula mengira punca persamaan kuadratik menggunakan formula, tidak ada salahnya untuk bertanya soalan: "Adakah mungkin untuk memudahkan bentuk persamaan ini?" Setuju bahawa dari segi pengiraan adalah lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Lazimnya, memudahkan bentuk persamaan kuadratik dicapai dengan mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, dalam perenggan sebelumnya adalah mungkin untuk memudahkan persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dengan membahagikan kedua-dua belah dengan 100.

Penjelmaan yang serupa dilakukan dengan persamaan kuadratik, pekalinya bukan . Dalam kes ini, kita biasanya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nilai mutlak pekalinya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak pekalinya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6, kita sampai pada persamaan kuadratik setara 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik biasanya dilakukan untuk menyingkirkan kemungkinan pecahan. Dalam kes ini, pendaraban dijalankan oleh penyebut pekalinya. Sebagai contoh, jika kedua-dua belah persamaan kuadratik didarab dengan LCM(6, 3, 1)=6, maka ia akan mengambil bentuk yang lebih mudah x 2 +4·x−18=0.

Sebagai kesimpulan daripada perkara ini, kita perhatikan bahawa mereka hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali tertinggi persamaan kuadratik dengan menukar tanda-tanda semua sebutan, yang sepadan dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah dengan -1. Sebagai contoh, biasanya seseorang bergerak dari persamaan kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 kepada penyelesaian 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik menyatakan punca-punca persamaan melalui pekalinya. Berdasarkan formula akar, anda boleh mendapatkan hubungan lain antara akar dan pekali.

Formula yang paling terkenal dan terpakai daripada teorem Vieta adalah dalam bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan melihat bentuk persamaan kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita boleh dengan serta-merta mengatakan bahawa jumlah puncanya adalah sama dengan 7/3, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama dengan 22 /3.

Dengan menggunakan formula yang telah ditulis, anda boleh mendapatkan beberapa sambungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, anda boleh menyatakan jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik melalui pekalinya: .

Rujukan.

Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. darjah 8. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Lagi dengan cara yang mudah. Untuk melakukan ini, letakkan z daripada kurungan. Anda akan mendapat: z(аz + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan аz + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/a. Ini adalah akar asal.

Jika ada persamaan tidak lengkap bentuk az² + c = 0, in dalam kes ini didapati dengan hanya memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan. Tukar juga tandanya. Hasilnya ialah az² = -с. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil akar dan tulis dua penyelesaian - positif dan nilai negatif punca kuasa dua.

Sila ambil perhatian

Jika terdapat pekali pecahan dalam persamaan, darabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menyingkirkan pecahan itu.

Pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar kadangkala ia juga boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan seharian. Terdapat beberapa kaedah penyelesaian khusus.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Persamaan kuadratik bentuk a*x^2+b*x+c=0. Pekali x ialah pembolehubah yang dikehendaki, a, b, c ialah pekali berangka. Ingat bahawa tanda “+” boleh bertukar kepada tanda “-”.

Untuk membuat keputusan persamaan yang diberikan, anda perlu menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Kaedah yang paling biasa adalah untuk mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.

Untuk mencari diskriminasi (D), anda perlu menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada, atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca; jika D = 0, maka hanya satu punca yang tinggal dengan lebih tepat, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.

Selepas anda menemui diskriminasi, gunakan formula untuk mencari x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dengan sqrt ialah fungsi yang bermaksud mengambil punca kuasa dua bagi nombor yang diberi. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap diselesaikan.

Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Di sekolah bahagian ini praktikal tidak dipelajari. Pelajar universiti harus sedar bahawa nombor negatif muncul di bawah akar. Mereka menyingkirkannya dengan menyerlahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan punca dengan nombor positif yang sama. Sebagai contoh, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan kita mendapat D=sqrt(20)*i. Selepas transformasi ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan punca yang sama seperti yang diterangkan di atas.

Teorem Vieta terdiri daripada memilih nilai x(1) dan x(2). Dua digunakan persamaan yang sama: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Dan sangat perkara penting ialah tanda di hadapan pekali b, ingat bahawa tanda ini bertentangan dengan tanda dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikan, anda akan berhadapan dengan hakikat bahawa anda perlu memilih nombor.

Elemen menyelesaikan persamaan kuadratik

Mengikut peraturan matematik, sesetengahnya boleh difaktorkan: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jika anda berjaya menukar menggunakan formula matematik dengan cara yang serupa diberi persamaan kuadratik, kemudian jangan ragu untuk menulis jawapannya. x(1) dan x(2) akan sama dengan pekali bersebelahan dalam kurungan, tetapi dengan tanda yang bertentangan.

Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika tiada apa-apa di hadapan x^2 atau x, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.

Saya berharap selepas mempelajari artikel ini anda akan belajar bagaimana untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik lengkap.

D = b 2 – 4ac.

Bergantung pada nilai diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi ialah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminasi adalah sifar, maka x = (-b)/2a. Apabila diskriminasi ialah nombor positif (D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Contohnya. Selesaikan persamaan x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawapan: tiada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawapan: – 3.5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik lengkap menggunakan rajah dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan itu ditulis sebagai polinomial bagi bentuk piawai

A x 2 + bx + c, jika tidak anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, anda boleh tersilap memutuskan bahawa

a = 1, b = 3 dan c = 2. Kemudian

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua punca. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian untuk contoh 2 di atas).

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil berkurang jika pekali pada x 2 adalah sama dengan satu dan persamaan itu mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan sedemikian boleh diberikan untuk penyelesaian, atau ia boleh diperoleh dengan membahagikan semua pekali persamaan dengan pekali A, berdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan rajah untuk menyelesaikan kuasa dua terkecil
persamaan. Mari kita lihat contoh aplikasi formula yang dibincangkan dalam artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaan

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3

Anda boleh perhatikan bahawa pekali x dalam persamaan ini ialah nombor genap, iaitu, b = 6 atau b = 2k, dari mana k = 3. Kemudian mari kita cuba menyelesaikan persamaan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah rajah D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawapan: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami menerima jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang ditunjukkan dalam rajah dalam Rajah 1 dengan teliti, anda akan sentiasa dapat menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lengkap.

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Transformasi persamaan kuadratik lengkap kepada persamaan tidak lengkap kelihatan seperti ini (untuk kes \(b=0\)):

Untuk kes apabila \(c=0\) atau apabila kedua-dua pekali adalah sama dengan sifar, semuanya adalah serupa.

Sila ambil perhatian bahawa tidak ada persoalan tentang \(a\) sama dengan sifar;

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Pertama sekali, anda perlu memahami bahawa persamaan kuadratik yang tidak lengkap masih , dan oleh itu boleh diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan kuadratik biasa (melalui ). Untuk melakukan ini, kami hanya menambah komponen persamaan yang hilang dengan pekali sifar.

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(3x^2-27=0\)
Penyelesaian :

		Kami mempunyai persamaan kuadratik yang tidak lengkap dengan pekali \(b=0\). Iaitu, kita boleh menulis persamaan dalam borang berikut:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sebenarnya, ini adalah persamaan yang sama seperti pada mulanya, tetapi kini ia boleh diselesaikan sebagai satu kuadratik biasa. Mula-mula kita tulis pekali.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Mari kita mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Mari kita cari punca-punca persamaan menggunakan rumus \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Tulis jawapan

Jawab : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Contoh : Cari punca-punca persamaan \(-x^2+x=0\)
Penyelesaian :

		Sekali lagi persamaan kuadratik yang tidak lengkap, tetapi kini sifar pekali adalah sama\(c\). Kami menulis persamaan sebagai lengkap.