Persamaan linear. Penyelesaian, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Persamaan linear.
Persamaan linear bukanlah topik yang paling sukar dalam matematik sekolah. Tetapi terdapat beberapa helah di sana yang boleh membingungkan walaupun pelajar terlatih. Mari kita fikirkan?)
Biasanya persamaan linear ditakrifkan sebagai persamaan bentuk:
kapak + b = 0 di mana a dan b– sebarang nombor.
2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Di sini a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Di sini a=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, bukan? Terutama jika anda tidak perasan perkataan: "di mana a dan b ialah sebarang nombor"... Dan jika anda perasan dan sambil lewa memikirkannya?) Lagipun, jika a=0, b=0(ada sebarang nombor yang mungkin?), maka kita mendapat ungkapan lucu:
Tetapi bukan itu sahaja! Jika, katakan, a=0, A b=5, Ini ternyata sesuatu yang tidak masuk akal:
Yang menjengkelkan dan melemahkan keyakinan terhadap matematik, ya...) Lebih-lebih lagi semasa peperiksaan. Tetapi daripada ungkapan aneh ini anda juga perlu mencari X! Yang tidak wujud sama sekali. Dan, yang menghairankan, X ini sangat mudah dicari. Kami akan belajar untuk melakukan ini. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana untuk mengenali persamaan linear dengan penampilannya? Ia bergantung kepada rupa.) Caranya ialah persamaan linear bukan sahaja persamaan bentuk kapak + b = 0 , tetapi juga sebarang persamaan yang boleh dikurangkan kepada bentuk ini melalui transformasi dan pemudahan. Dan siapa tahu sama ada ia turun atau tidak?)
Persamaan linear boleh dikenal pasti dalam beberapa kes. Katakan, jika kita mempunyai persamaan di mana terdapat hanya yang tidak diketahui pada darjah dan nombor pertama. Dan dalam persamaan tidak ada pecahan dibahagikan dengan tidak diketahui , ia penting! Dan pembahagian oleh nombor, atau pecahan berangka - itu dialu-alukan! Sebagai contoh:
Ini adalah persamaan linear. Terdapat pecahan di sini, tetapi tiada x dalam segi empat sama, kubus, dsb., dan tiada x dalam penyebutnya, i.e. Tidak pembahagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak boleh dipanggil linear. Di sini X adalah semua dalam ijazah pertama, tetapi ada pembahagian dengan ungkapan dengan x. Selepas pemudahan dan transformasi, anda boleh mendapatkan persamaan linear, persamaan kuadratik, atau apa sahaja yang anda suka.
Ternyata mustahil untuk mengenali persamaan linear dalam beberapa contoh rumit sehingga anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tetapi dalam tugasan, sebagai peraturan, mereka tidak bertanya tentang bentuk persamaan, bukan? Tugasan meminta persamaan memutuskan. Ini membuatkan saya gembira.)
Menyelesaikan persamaan linear. Contoh.
Keseluruhan penyelesaian persamaan linear terdiri daripada transformasi persamaan yang sama. Dengan cara ini, transformasi ini (dua daripadanya!) adalah asas penyelesaian semua persamaan matematik. Dengan kata lain, penyelesaiannya mana-mana persamaan bermula dengan transformasi ini. Dalam kes persamaan linear, ia (penyelesaian) adalah berdasarkan transformasi ini dan berakhir dengan jawapan penuh. Ia masuk akal untuk mengikuti pautan, bukan?) Selain itu, terdapat juga contoh penyelesaian persamaan linear di sana.
Pertama, mari kita lihat contoh paling mudah. Tanpa sebarang perangkap. Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan ini.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linear. X semua berada dalam kuasa pertama, tiada pembahagian oleh X. Tetapi, sebenarnya, tidak penting bagi kami jenis persamaan itu. Kita perlu menyelesaikannya. Skim di sini adalah mudah. Kumpulkan semua dengan X di sebelah kiri persamaan, semuanya tanpa X (nombor) di sebelah kanan.
Untuk melakukan ini, anda perlu memindahkan - 4x ke sebelah kiri, dengan perubahan tanda, sudah tentu, dan - 3 - ke kanan. By the way, ini adalah transformasi persamaan pertama yang serupa. Terkejut? Ini bermakna anda tidak mengikuti pautan, tetapi sia-sia...) Kami mendapat:
x + 4x = 2 + 3
Berikut adalah yang serupa, kami pertimbangkan:
Apa yang kita perlukan untuk kebahagiaan yang lengkap? Ya, supaya terdapat X tulen di sebelah kiri! Lima menghalang. Menghilangkan lima dengan bantuan penjelmaan persamaan kedua yang serupa. Iaitu, kami membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 5. Kami mendapat jawapan sedia:
Contoh asas, sudah tentu. Ini untuk memanaskan badan.) Tidak begitu jelas mengapa saya teringat perubahan yang serupa di sini? OKEY. Mari kita ambil lembu jantan dengan tanduk.) Mari kita tentukan sesuatu yang lebih kukuh.
Sebagai contoh, inilah persamaannya:
Di mana kita bermula? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Boleh jadi begitu. Langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Atau anda boleh melakukannya dengan segera, dengan cara yang universal dan berkuasa. Jika, sudah tentu, anda mempunyai transformasi persamaan yang sama dalam senjata anda.
Saya bertanya kepada anda satu soalan penting: Apakah yang paling anda tidak suka tentang persamaan ini?
95 daripada 100 orang akan menjawab: pecahan ! Jawapannya betul. Jadi mari kita singkirkan mereka. Oleh itu, kita mulakan segera dengan transformasi identiti kedua. Apakah yang anda perlukan untuk mendarab pecahan di sebelah kiri supaya penyebutnya dikurangkan sepenuhnya? Betul, pada pukul 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tetapi matematik membolehkan kita mendarab kedua-dua belah dengan nombor yang sama. Bagaimana kita boleh keluar? Mari kita darab kedua-dua belah dengan 12! Itu. kepada penyebut biasa. Kemudian kedua-dua tiga dan empat akan dikurangkan. Jangan lupa bahawa anda perlu mendarab setiap bahagian sepenuhnya. Inilah rupa langkah pertama:
Memperluas kurungan:
Catatan! Penbilang (x+2) Saya meletakkannya dalam kurungan! Ini kerana apabila mendarab pecahan, keseluruhan pengangka didarab! Kini anda boleh mengurangkan pecahan:
Kembangkan kurungan yang tinggal:
Bukan contoh, tetapi keseronokan murni!) Sekarang mari kita ingat mantera dari sekolah rendah: dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan! Dan gunakan transformasi ini:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan 25, i.e. gunakan transformasi kedua sekali lagi:
Itu sahaja. Jawapan: X=0,16
Sila ambil perhatian: untuk membawa persamaan mengelirukan asal ke dalam bentuk yang bagus, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identiti– terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan darab-bahagi persamaan dengan nombor yang sama. Ini adalah kaedah universal! Kami akan bekerja dengan cara ini mana-mana persamaan! Sesiapa sahaja. Itulah sebabnya saya terus mengulangi tentang transformasi yang serupa ini dengan membosankan.)
Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear adalah mudah. Kami mengambil persamaan dan memudahkannya menggunakan transformasi yang sama sehingga kami mendapat jawapannya. Masalah utama di sini adalah dalam pengiraan, bukan dalam prinsip penyelesaian.
Tetapi... Terdapat kejutan sedemikian dalam proses menyelesaikan persamaan linear paling asas yang boleh mendorong anda ke dalam pingsan yang kuat...) Nasib baik, hanya terdapat dua kejutan seperti itu. Mari kita panggil mereka kes khas.
Kes khas dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan pertama.
Katakan anda menjumpai persamaan yang sangat asas, seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kami mengalihkannya dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan... Dengan perubahan tanda, semuanya sempurna... Kami mendapat:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami mengira, dan... oops!!! Kita mendapatkan:
Persamaan ini dengan sendirinya tidak boleh dipertikaikan. Sifar benar-benar sifar. Tetapi X hilang! Dan kita mesti menulis dalam jawapan, x sama dengan apa? Jika tidak, penyelesaiannya tidak dikira, kan...) Kebuntuan?
Tenang! Dalam kes yang meragukan seperti itu, peraturan yang paling umum akan menyelamatkan anda. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan? Ini bermaksud, cari semua nilai x yang, apabila digantikan dengan persamaan asal, akan memberi kita kesamaan yang betul.
Tetapi kita mempunyai kesaksamaan yang sebenar sudah berlaku! 0=0, berapa lebih tepat?! Ia masih perlu memikirkan apa x ini berlaku. Apakah nilai X yang boleh digantikan asal persamaan jika x ini adakah mereka masih akan dikurangkan kepada sifar? Jom?)
ya!!! X boleh diganti mana-mana! yang mana satu yang anda mahu? Sekurang-kurangnya 5, sekurang-kurangnya 0.05, sekurang-kurangnya -220. Mereka tetap akan mengecut. Jika anda tidak percaya saya, anda boleh menyemaknya.) Gantikan sebarang nilai X ke dalam asal persamaan dan mengira. Sepanjang masa anda akan mendapat kebenaran tulen: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Ini jawapan anda: x - sebarang nombor.
Jawapan boleh ditulis dalam simbol matematik yang berbeza, intipati tidak berubah. Ini adalah jawapan yang betul dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linear asas yang sama dan tukar hanya satu nombor di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Selepas transformasi yang sama, kami mendapat sesuatu yang menarik:
Macam ni. Kami menyelesaikan persamaan linear dan mendapat kesamaan pelik. Dari segi matematik, kami dapat kesamarataan palsu. Tetapi dalam istilah mudah, ini tidak benar. Rave. Namun begitu, karut ini adalah sebab yang sangat baik untuk penyelesaian persamaan yang betul.)
Sekali lagi kita berfikir berdasarkan peraturan am. Apa x, apabila digantikan ke dalam persamaan asal, akan berikan kepada kita benar kesaksamaan? Ya, tiada! Tiada X seperti itu. Tidak kira apa yang anda masukkan, semuanya akan dikurangkan, hanya karut yang akan kekal.)
Ini jawapan anda: tiada penyelesaian.
Ini juga merupakan jawapan yang lengkap. Dalam matematik, jawapan sedemikian sering dijumpai.
Macam ni. Sekarang, saya harap, kehilangan X dalam proses menyelesaikan mana-mana (bukan hanya linear) persamaan tidak akan mengelirukan anda sama sekali. Ini sudah menjadi perkara biasa.)
Sekarang kita telah menangani semua perangkap dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Persamaan ialah ungkapan matematik yang merupakan kesamaan dan mengandungi yang tidak diketahui. Jika kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai yang boleh diterima daripada yang tidak diketahui termasuk di dalamnya, maka ia dipanggil identiti; sebagai contoh: hubungan bentuk (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) dipegang untuk semua nilai x.
Jika persamaan yang mengandungi x tidak diketahui hanya digunakan untuk nilai x tertentu dan bukan untuk semua nilai x, seperti dalam kes identiti, maka ia mungkin berguna untuk menentukan nilai x yang mana persamaan adalah sah. Nilai x sedemikian dipanggil punca atau penyelesaian persamaan. Sebagai contoh, nombor 5 ialah punca bagi persamaan 2x + 7= 17.
Dalam cabang matematik yang dipanggil teori persamaan, subjek utama kajian ialah kaedah untuk menyelesaikan persamaan. Dalam kursus algebra sekolah, banyak perhatian diberikan kepada persamaan.
Sejarah kajian persamaan bermula berabad-abad lamanya. Ahli matematik terkenal yang menyumbang kepada perkembangan teori persamaan ialah:
Archimedes (c. 287–212 SM) ialah seorang saintis, ahli matematik dan mekanik Yunani kuno. Semasa mengkaji masalah yang dikurangkan kepada persamaan kubik, Archimedes menemui peranan ciri, yang kemudiannya dipanggil diskriminasi.
Francois Viet hidup pada abad ke-16. Beliau memberi sumbangan yang besar dalam kajian pelbagai masalah dalam matematik. Khususnya, beliau memperkenalkan sebutan huruf untuk pekali persamaan dan mewujudkan hubungan antara punca-punca persamaan kuadratik.
Leonhard Euler (1707 – 1783) - ahli matematik, mekanik, fizik dan ahli astronomi. Pengarang St. 800 bekerja pada analisis matematik, persamaan pembezaan, geometri, teori nombor, pengiraan anggaran, mekanik cakerawala, matematik, optik, balistik, pembinaan kapal, teori muzik, dll. Beliau mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap perkembangan sains. Dia memperoleh formula (Rumus Euler) yang menyatakan fungsi trigonometri pembolehubah x melalui fungsi eksponen.
Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), ahli matematik dan mekanik Perancis. Beliau telah menjalankan penyelidikan yang cemerlang, termasuk penyelidikan tentang algebra (fungsi simetri punca persamaan, persamaan pembezaan (teori penyelesaian tunggal, kaedah variasi pemalar).
J. Lagrange dan A. Vandermonde ialah ahli matematik Perancis. Pada tahun 1771, kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan (kaedah penggantian) pertama kali digunakan.
Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - ahli matematik Jerman. Dia menulis sebuah buku yang menggariskan teori persamaan untuk membahagikan bulatan (iaitu persamaan xn - 1 = 0), yang dalam banyak cara adalah prototaip teori Galois. Sebagai tambahan kepada kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan ini, beliau mewujudkan hubungan antara mereka dan pembinaan poligon sekata. Buat pertama kalinya sejak saintis Yunani purba, dia membuat langkah penting ke hadapan dalam perkara ini, iaitu: dia mendapati semua nilai n yang mana n-gon biasa boleh dibina dengan kompas dan pembaris. Saya mengkaji kaedah penambahan. Saya membuat kesimpulan bahawa sistem persamaan boleh ditambah, dibahagikan, dan didarab.
O.I. Somov - memperkayakan pelbagai bahagian matematik dengan karya yang penting dan banyak, antaranya teori persamaan algebra tertentu yang lebih tinggi.
Galois Evariste (1811-1832) - ahli matematik Perancis. Merit utamanya ialah perumusan set idea yang dia perolehi berkaitan dengan penerusan penyelidikan tentang kebolehlarutan persamaan algebra, yang dimulakan oleh J. Lagrange, N. Abel, dan lain-lain, dan mencipta teori persamaan algebra bagi darjah yang lebih tinggi dengan satu yang tidak diketahui.
A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Kerja beliau menggabungkan kaedah geometri dengan kaedah analisis teori persamaan pembezaan separa. Karya-karya beliau juga mempunyai kesan yang besar terhadap teori persamaan pembezaan tak linear.
P. Ruffini - ahli matematik Itali. Dia menumpukan beberapa kerja untuk membuktikan ketidakbolehpecahan persamaan darjah 5, secara sistematik menggunakan ketertutupan set penggantian.
Walaupun fakta bahawa saintis telah mengkaji persamaan untuk masa yang lama, sains tidak tahu bagaimana dan bila orang perlu menggunakan persamaan. Hanya diketahui bahawa orang telah menyelesaikan masalah yang membawa kepada penyelesaian persamaan paling mudah sejak mereka menjadi manusia. Satu lagi 3 - 4 ribu tahun SM. e. Orang Mesir dan Babylon tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan. Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana ia sampai di sana.
Di Mesir Purba dan Babylon, kaedah kedudukan palsu digunakan. Persamaan darjah pertama dengan satu yang tidak diketahui sentiasa boleh dikurangkan kepada bentuk ax + b = c, di mana a, b, c ialah integer. Mengikut peraturan operasi aritmetik, ax = c - b,
Jika b > c, maka c b ialah nombor negatif. Nombor negatif tidak diketahui oleh orang Mesir dan banyak orang lain kemudian (ia mula digunakan dalam matematik pada kedudukan yang sama dengan nombor positif hanya pada abad ketujuh belas). Untuk menyelesaikan masalah yang kini kita selesaikan dengan persamaan darjah pertama, kaedah kedudukan palsu telah dicipta. Dalam papirus Ahmes, 15 masalah diselesaikan dengan kaedah ini. Orang Mesir mempunyai tanda khas untuk menunjukkan nombor yang tidak diketahui, yang sehingga baru-baru ini dibaca "bagaimana" dan diterjemahkan sebagai "timbunan" ("timbunan" atau "nombor tidak diketahui" unit). Sekarang mereka membaca sedikit kurang tepat: "ya." Kaedah penyelesaian yang digunakan oleh Ahmes dipanggil kaedah satu kedudukan palsu. Dengan menggunakan kaedah ini, persamaan bentuk ax = b diselesaikan. Kaedah ini melibatkan membahagikan setiap sisi persamaan dengan a. Ia digunakan oleh kedua-dua orang Mesir dan Babylon. Orang yang berbeza menggunakan kaedah dua kedudukan palsu. Orang Arab mekanisasi kaedah ini dan memperoleh bentuk di mana ia dipindahkan ke buku teks orang Eropah, termasuk Aritmetik Magnitsky. Magnitsky memanggil penyelesaian itu sebagai "peraturan palsu" dan menulis di bahagian bukunya yang menggariskan kaedah ini:
Bahagian ini sangat licik, kerana anda boleh meletakkan segala-galanya dengannya. Bukan sahaja apa yang ada dalam kewarganegaraan, tetapi juga ilmu-ilmu yang lebih tinggi di angkasa, yang disenaraikan dalam sfera syurga, sebagai orang bijak mempunyai keperluan.
Kandungan puisi Magnitsky boleh diringkaskan secara ringkas seperti berikut: bahagian aritmetik ini sangat rumit. Dengan bantuannya, anda boleh mengira bukan sahaja apa yang diperlukan dalam amalan harian, tetapi ia juga menyelesaikan soalan "lebih tinggi" yang dihadapi oleh "bijak". Magnitsky menggunakan "peraturan palsu" dalam bentuk yang diberikan oleh orang Arab, memanggilnya "aritmetik dua kesilapan" atau "kaedah skala." Ahli matematik India sering memberikan masalah dalam ayat. Masalah teratai:
Di atas tasik yang tenang, separuh ukuran di atas air, warna teratai kelihatan. Dia membesar sendirian, dan angin, seperti ombak, Bengkokkan dia ke tepi, dan tidak lagi
Bunga di atas air. Mata nelayan itu menemuinya dua meter dari tempat dia dibesarkan. Berapa dalam air tasik di sini? Saya akan tanya awak satu soalan.
Jenis-jenis persamaan
Persamaan linear
Persamaan linear ialah persamaan dalam bentuk: ax + b = 0, dengan a dan b ialah beberapa pemalar. Jika a tidak sama dengan sifar, maka persamaan mempunyai satu punca tunggal: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).
Contohnya: selesaikan persamaan linear: 4x + 12 = 0.
Penyelesaian: Oleh kerana a = 4, dan b = 12, maka x = - 12: 4; x = - 3.
Semak: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Oleh kerana 0 = 0, maka -3 ialah punca bagi persamaan asal.
Jawab. x = -3
Jika a sama dengan sifar dan b sama dengan sifar, maka punca persamaan ax + b = 0 ialah sebarang nombor.
Sebagai contoh:
0 = 0. Oleh kerana 0 adalah sama dengan 0, maka punca persamaan 0x + 0 = 0 ialah sebarang nombor.
Jika a sama dengan sifar dan b tidak sama dengan sifar, maka persamaan ax + b = 0 tidak mempunyai punca.
Sebagai contoh:
0 = 6. Oleh kerana 0 tidak sama dengan 6, maka 0x – 6 = 0 tidak mempunyai punca.
Sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linear ialah sistem di mana semua persamaan adalah linear.
Untuk menyelesaikan sistem bermakna mencari semua penyelesaiannya.
Sebelum menyelesaikan sistem persamaan linear, anda boleh menentukan bilangan penyelesaiannya.
Biarkan sistem persamaan diberikan: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 tidak sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, maka sistem mempunyai satu penyelesaian unik.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, tetapi sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Jika a1 dibahagikan dengan a2 adalah sama dengan b1 dibahagikan dengan b2, dan sama dengan c1 dibahagikan dengan c2, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian tak terhingga.
Sistem persamaan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dipanggil serentak.
Sistem yang konsisten dipanggil pasti jika ia mempunyai bilangan penyelesaian yang terhingga, dan tidak tentu jika set penyelesaiannya adalah tidak terhingga.
Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian tunggal dipanggil tidak konsisten atau bercanggah.
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear
Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan linear:
1) Kaedah pemilihan. Ini adalah cara paling mudah. Ia terdiri daripada memilih semua nilai sah yang tidak diketahui dengan penghitungan.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
Biarkan x = 1. Kemudian
4 = 6. Oleh kerana 4 tidak sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 1 adalah salah.
Biarkan x = 2.
6 = 6. Oleh kerana 6 adalah sama dengan 6, maka andaian kami bahawa x = 2 adalah betul.
Jawapan: x = 2.
2) Kaedah memudahkan
Kaedah ini terdiri daripada memindahkan semua istilah yang mengandungi yang tidak diketahui ke sebelah kiri, dan yang diketahui ke kanan dengan tanda bertentangan, membawa yang serupa, dan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pekali yang tidak diketahui.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
5x – 4 = 11 + 2x;
5x – 2x = 11 + 4;
3x = 15; : (3) x = 5.
Jawab. x = 5.
3) Kaedah grafik.
Ia terdiri daripada membina graf bagi fungsi persamaan yang diberikan. Oleh kerana dalam persamaan linear y = 0, graf akan selari dengan ordinat. Titik persilangan graf dengan paksi-x akan menjadi penyelesaian kepada persamaan ini.
Sebagai contoh:
Selesaikan persamaan.
Biarkan y = 7. Maka y = 2x + 3.
Mari kita plot fungsi kedua-dua persamaan:
Kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Dalam gred ketujuh, mereka mengkaji tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:
1) Kaedah penggantian.
Kaedah ini terdiri daripada menyatakan satu yang tidak diketahui dari segi yang lain dalam salah satu persamaan. Ungkapan yang terhasil digantikan ke dalam persamaan lain, yang kemudiannya bertukar menjadi persamaan dengan satu yang tidak diketahui, dan kemudian ia diselesaikan. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.
Sebagai contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan.
5x - 2y - 2 = 1.
3x + y = 4; y = 4 - 3x.
Mari kita gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam persamaan lain:
5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;
5x – 8 + 6x = 1 + 2;
11x = 11; : (11) x = 1.
Mari kita gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan 3x + y = 4.
3 1 + y = 4;
3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.
Peperiksaan.
/3 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Jawapan: x = 1; y = 1.
2) Kaedah penambahan.
Kaedah ini ialah jika sistem tertentu terdiri daripada persamaan yang, apabila ditambah sebutan dengan sebutan, membentuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, maka dengan menyelesaikan persamaan ini, kita akan memperoleh nilai satu daripada yang tidak diketahui. Nilai yang terhasil daripada yang tidak diketahui ini digantikan ke dalam mana-mana persamaan sistem asal dan nilai yang tidak diketahui kedua ditemui.
Sebagai contoh:
Menyelesaikan sistem persamaan.
/3у – 2х = 5,
\5x – 3y = 4.
Mari kita selesaikan persamaan yang terhasil.
3x = 9; : (3) x = 3.
Mari kita gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan 3y – 2x = 5.
3у – 2 3 = 5;
3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.
Jadi x = 3; y = 3 2/3.
Peperiksaan.
/3 11/3 – 2 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/3 = 4;
Jawab. x = 3; y = 3 2/3
3) Kaedah grafik.
Kaedah ini adalah berdasarkan fakta bahawa persamaan diplot dalam satu sistem koordinat. Jika graf persamaan bersilang, maka koordinat titik persilangan adalah penyelesaian kepada sistem ini. Jika graf persamaan adalah garis selari, maka sistem ini tidak mempunyai penyelesaian. Jika graf persamaan bergabung menjadi satu garis lurus, maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.
Sebagai contoh.
Menyelesaikan sistem persamaan.
18x + 3y - 1 = 8.
2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;
Y = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.
Mari bina graf bagi fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x pada sistem koordinat yang sama.
Graf bagi fungsi y = 2x - 5 dan y = 3 - 6x bersilang pada titik A (1; -3).
Oleh itu, penyelesaian kepada sistem persamaan ini ialah x = 1 dan y = -3.
Peperiksaan.
2 1 - (- 3) = 5,
18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Jawab. x = 1; y = -3.
Kesimpulan
Berdasarkan semua perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan diperlukan dalam dunia moden bukan sahaja untuk menyelesaikan masalah praktikal, tetapi juga sebagai alat saintifik. Itulah sebabnya ramai saintis telah mengkaji isu ini dan terus mengkajinya.
Biasanya, persamaan muncul dalam masalah di mana anda perlu mencari kuantiti tertentu. Persamaan membolehkan anda merumuskan masalah dalam bahasa algebra. Setelah menyelesaikan persamaan, kita memperoleh nilai kuantiti yang dikehendaki, yang dipanggil tidak diketahui. “Andrey mempunyai beberapa rubel dalam dompetnya. Jika anda mendarab nombor ini dengan 2 dan kemudian menolak 5, anda akan mendapat 10. Berapa banyak wang yang Andrey ada?” Mari kita tetapkan jumlah wang yang tidak diketahui sebagai x dan tulis persamaan: 2x-5=10.
Untuk bercakap tentang cara untuk menyelesaikan persamaan, mula-mula anda perlu mentakrifkan konsep asas dan membiasakan diri dengan tatatanda yang diterima umum. Untuk jenis persamaan yang berbeza, terdapat algoritma yang berbeza untuk menyelesaikannya. Cara paling mudah untuk menyelesaikan persamaan ialah tahap pertama dengan satu yang tidak diketahui. Ramai orang biasa dengan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah. Teknik matematik yang lebih tinggi akan membantu anda menyelesaikan persamaan tertib lebih tinggi. Set nombor di mana persamaan ditakrifkan berkait rapat dengan penyelesaiannya. Hubungan antara persamaan dan graf fungsi juga menarik, kerana mewakili persamaan secara grafik adalah sangat membantu dalam menyelesaikannya.
Penerangan. Persamaan ialah kesamaan matematik dengan satu atau lebih kuantiti yang tidak diketahui, contohnya 2x+3y=0.
Ungkapan pada kedua-dua belah tanda yang sama dipanggil sisi kiri dan kanan persamaan. Huruf abjad Latin menunjukkan yang tidak diketahui. Walaupun terdapat sebarang bilangan yang tidak diketahui, di bawah ini kita hanya akan bercakap tentang persamaan dengan satu yang tidak diketahui, yang akan kita nyatakan dengan x.
Darjah persamaan ialah kuasa maksimum yang tidak diketahui boleh dinaikkan. Sebagai contoh,
$3x^4+6x-1=0$ ialah persamaan darjah keempat, $x-4x^2+6x=8$ ialah persamaan darjah kedua.
Nombor yang mana yang tidak diketahui didarab dipanggil pekali. Dalam contoh sebelumnya, kuasa yang tidak diketahui kepada kuasa keempat mempunyai pekali 3. Jika, apabila menggantikan x dengan nombor ini, kesamaan yang diberikan dipenuhi, maka nombor ini dikatakan memenuhi persamaan. Ia dipanggil menyelesaikan persamaan, atau akarnya. Sebagai contoh, 3 ialah punca, atau penyelesaian, bagi persamaan 2x+8=14, kerana 2*3+8=6+8=14.
Menyelesaikan persamaan. Katakan kita mahu menyelesaikan persamaan 2x+5=11.
Anda boleh menggantikan beberapa nilai x ke dalamnya, contohnya x=2. Gantikan x dengan 2 dan dapatkan: 2*2+5=4+5=9.
Terdapat sesuatu yang tidak kena di sini kerana di sebelah kanan persamaan kita sepatutnya mendapat 11. Mari cuba x=3: 2*3+5=6+5=11.
Jawapannya betul. Ternyata jika yang tidak diketahui mengambil nilai 3, maka kesaksamaan berpuas hati. Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa nombor 3 adalah penyelesaian kepada persamaan.
Kaedah yang kami gunakan untuk menyelesaikan persamaan ini dipanggil kaedah pemilihan. Jelas sekali ia menyusahkan untuk digunakan. Lebih-lebih lagi, ia tidak boleh dipanggil kaedah. Untuk mengesahkan ini, cuma cuba gunakannya pada persamaan dalam bentuk $x^4-5x^2+16=2365$.
Kaedah penyelesaian. Terdapat apa yang dipanggil "peraturan permainan" yang berguna untuk membiasakan diri anda. Matlamat kami adalah untuk menentukan nilai yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan. Oleh itu, adalah perlu untuk mengenal pasti yang tidak diketahui dalam beberapa cara. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk memindahkan istilah persamaan dari satu bahagian ke bahagian yang lain. Aturan pertama untuk menyelesaikan persamaan adalah...
1. Apabila memindahkan ahli persamaan dari satu bahagian ke bahagian lain, tandanya berubah kepada sebaliknya: tambah berubah kepada tolak dan sebaliknya. Pertimbangkan sebagai contoh persamaan 2x+5=11. Mari kita gerakkan 5 dari sebelah kiri ke kanan: 2x=11-5. Persamaan akan menjadi 2x=6.
Mari kita beralih kepada peraturan kedua.
2. Kedua-dua belah persamaan boleh didarab dan dibahagikan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar. Mari kita gunakan peraturan ini pada persamaan kita: $x=\frac62=3$. Di sebelah kiri kesamaan, hanya x yang tidak diketahui kekal, oleh itu, kami mendapati nilainya dan menyelesaikan persamaan.
Kami baru sahaja melihat masalah paling mudah - persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui. Persamaan jenis ini sentiasa mempunyai penyelesaian, lebih-lebih lagi, mereka sentiasa boleh diselesaikan menggunakan operasi paling mudah: penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian. Malangnya, tidak semua persamaan begitu mudah. Selain itu, tahap kerumitan mereka meningkat dengan cepat. Sebagai contoh, persamaan ijazah kedua boleh diselesaikan dengan mudah oleh mana-mana pelajar sekolah menengah, tetapi kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear atau persamaan darjah lebih tinggi hanya dipelajari di sekolah menengah.
Dalam video ini kita akan menganalisis satu set keseluruhan persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.
Pertama, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang manakah dipanggil paling mudah?
Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya pada darjah pertama.
Persamaan termudah bermaksud pembinaan:
Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:
- Kembangkan kurungan, jika ada;
- Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
- Berikan istilah serupa di kiri dan kanan tanda sama;
- Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$.
Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadangkala selepas semua komplot ini, pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:
- Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sebagai contoh, apabila sesuatu seperti $0\cdot x=8$ ternyata, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor selain daripada sifar. Dalam video di bawah kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
- Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Agak logik bahawa tidak kira apa pun $x$ yang kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar sama dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.
Sekarang mari kita lihat bagaimana semua ini berfungsi menggunakan contoh kehidupan sebenar.
Contoh penyelesaian persamaan
Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.
Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang hampir sama:
- Pertama sekali, anda perlu mengembangkan kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir kami);
- Kemudian gabungkan serupa
- Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. alihkan semua yang berkaitan dengan pembolehubah—istilah yang terkandung di dalamnya—ke satu sisi, dan alihkan semua yang tertinggal tanpanya ke sisi yang lain.
Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu memberikan yang serupa pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu semua yang tinggal ialah membahagikan dengan pekali "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.
Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, ralat dibuat sama ada semasa membuka kurungan atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".
Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kita akan melihat kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang anda sudah faham, dengan tugas yang paling mudah.
Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah
Pertama sekali, izinkan saya menulis keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear termudah:
- Kembangkan kurungan, jika ada.
- Kami mengasingkan pembolehubah, i.e. Kami mengalihkan semua yang mengandungi "X" ke satu sisi, dan semuanya tanpa "X" ke sisi yang lain.
- Kami membentangkan istilah yang serupa.
- Kami membahagikan semuanya dengan pekali "x".
Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi; terdapat kehalusan dan helah tertentu di dalamnya, dan sekarang kita akan mengenalinya.
Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah
Tugasan No 1
Langkah pertama memerlukan kita membuka kurungan. Tetapi mereka tiada dalam contoh ini, jadi kami melangkau langkah ini. Dalam langkah kedua kita perlu mengasingkan pembolehubah. Sila ambil perhatian: kami hanya bercakap tentang istilah individu. Mari kita tuliskannya:
Kami membentangkan istilah yang sama di kiri dan kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kita beralih ke langkah keempat: bahagikan dengan pekali:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Jadi kami mendapat jawapannya.
Tugasan No. 2
Kita boleh melihat tanda kurung dalam masalah ini, jadi mari kita kembangkan:
Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan kita melihat lebih kurang reka bentuk yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. memisahkan pembolehubah:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.
Tugasan No. 3
Persamaan linear ketiga adalah lebih menarik:
\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]
Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi ia tidak didarab dengan apa-apa, ia hanya didahului oleh tanda yang berbeza. Mari pecahkan mereka:
Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Mari kita buat matematik:
Kami menjalankan langkah terakhir - bahagikan semuanya dengan pekali "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear
Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, saya ingin menyatakan perkara berikut:
- Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
- Walaupun terdapat akar, mungkin ada sifar di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.
Sifar adalah nombor yang sama dengan yang lain; anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya dalam apa jua cara atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.
Ciri lain adalah berkaitan dengan pembukaan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya menggunakan algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.
Memahami fakta mudah ini akan membantu anda mengelak daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, apabila melakukan perkara sebegitu dianggap remeh.
Menyelesaikan persamaan linear kompleks
Mari kita beralih kepada persamaan yang lebih kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih kompleks dan apabila melakukan pelbagai transformasi fungsi kuadratik akan muncul. Walau bagaimanapun, kita tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut rancangan pengarang, kita menyelesaikan persamaan linear, maka semasa proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik semestinya akan dibatalkan.
Contoh No 1
Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:
Sekarang mari kita lihat privasi:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulis ini dalam jawapan:
\[\varnothing\]
atau tiada akar.
Contoh No. 2
Kami melakukan tindakan yang sama. Langkah pertama:
Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulisnya dengan cara ini:
\[\varnothing\],
atau tiada akar.
Nuansa penyelesaian
Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Menggunakan kedua-dua ungkapan ini sebagai contoh, kami sekali lagi yakin bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya mungkin tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak punca yang tidak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, yang kedua-duanya tidak mempunyai punca.
Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara membukanya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:
Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "X". Sila ambil perhatian: berganda setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.
Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, anda boleh membuka kurungan dari sudut pandangan fakta bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi selesai, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa segala-galanya di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.
Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:
Bukan secara kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa merupakan urutan transformasi asas, di mana ketidakupayaan untuk melakukan tindakan mudah dengan jelas dan cekap membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan sekali lagi belajar untuk menyelesaikan persamaan mudah tersebut.
Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini ke tahap automatik. Anda tidak lagi perlu melakukan begitu banyak transformasi setiap kali anda akan menulis semuanya pada satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.
Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks
Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.
Tugasan No 1
\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]
Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:
Mari lakukan sedikit privasi:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Mari selesaikan langkah terakhir:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kami mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, mereka membatalkan satu sama lain, yang menjadikan persamaan linear dan bukan kuadratik.
Tugasan No. 2
\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]
Mari lakukan langkah pertama dengan teliti: darab setiap elemen daripada kurungan pertama dengan setiap elemen daripada kedua. Perlu ada sejumlah empat istilah baharu selepas transformasi:
Sekarang mari kita lakukan pendaraban dengan teliti dalam setiap sebutan:
Mari alihkan istilah dengan "X" ke kiri, dan yang tanpa - ke kanan:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Berikut adalah istilah yang serupa:
Sekali lagi kami telah menerima jawapan muktamad.
Nuansa penyelesaian
Nota yang paling penting tentang kedua-dua persamaan ini ialah yang berikut: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang mengandungi lebih daripada satu sebutan, ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap unsur daripada yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Akibatnya, kita akan mempunyai empat penggal.
Mengenai jumlah algebra
Dengan contoh terakhir ini, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kami maksudkan pembinaan mudah: tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami bermaksud yang berikut dengan ini: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh". Ini adalah bagaimana jumlah algebra berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.
Sebaik sahaja, apabila melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.
Akhir sekali, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kita.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan
Untuk menyelesaikan tugasan sedemikian, kami perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, izinkan saya mengingatkan anda tentang algoritma kami:
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua keberkesanannya, ternyata tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di kedua-dua kiri dan kanan dalam kedua-dua persamaan.
Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum dan selepas tindakan pertama, iaitu, menyingkirkan pecahan. Jadi algoritmanya adalah seperti berikut:
- Buang pecahan.
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa ini boleh dilakukan selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dalam penyebutnya, i.e. Di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor ini, kita akan menyingkirkan pecahan.
Contoh No 1
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]
Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satu dengan "empat." Mari kita tulis:
\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sekarang mari kita kembangkan:
Kami mengasingkan pembolehubah:
Kami melakukan pengurangan istilah yang serupa:
\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Kami telah menerima penyelesaian muktamad, mari kita beralih kepada persamaan kedua.
Contoh No. 2
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]
Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Masalah selesai.
Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu anda hari ini.
Perkara utama
Penemuan utama ialah:
- Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
- Keupayaan untuk membuka kurungan.
- Jangan risau jika anda mempunyai fungsi kuadratik di suatu tempat, kemungkinan besar, ia akan dikurangkan dalam proses transformasi selanjutnya.
- Terdapat tiga jenis punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, dan tiada punca sama sekali.
Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak dan selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!
52. Contoh persamaan yang lebih kompleks.
Contoh 1.
5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)
Penyebut sepunya ialah x 2 – 1, kerana x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Mari kita darab kedua-dua belah persamaan ini dengan x 2 – 1. Kita dapat:
atau, selepas pengurangan,
5(x + 1) – 3(x – 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x = 7 dan x = 3½
Mari kita pertimbangkan persamaan lain:
5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)
Menyelesaikan seperti di atas, kita dapat:
5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 atau 2x = 2 dan x = 1.
Mari kita lihat sama ada kesamaan kita adalah wajar jika kita menggantikan x dalam setiap persamaan yang dipertimbangkan dengan nombor yang ditemui.
Untuk contoh pertama kita dapat:
Kami melihat bahawa tiada ruang untuk sebarang keraguan: kami telah menemui nombor untuk x supaya kesamaan yang diperlukan adalah wajar.
Untuk contoh kedua kita dapat:
5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) atau 5/0 – 3/2 = 15/0
Di sini keraguan timbul: kita berhadapan dengan pembahagian dengan sifar, yang mustahil. Jika pada masa hadapan kita berjaya memberikan makna tertentu, walaupun tidak langsung, kepada pembahagian ini, maka kita boleh bersetuju bahawa penyelesaian yang ditemui x – 1 memenuhi persamaan kita. Sehingga itu, kita mesti mengakui bahawa persamaan kita tidak mempunyai penyelesaian yang mempunyai makna langsung.
Kes yang serupa boleh berlaku apabila yang tidak diketahui entah bagaimana dimasukkan ke dalam penyebut pecahan yang terdapat dalam persamaan, dan beberapa penyebut ini, apabila penyelesaian ditemui, bertukar kepada sifar.
Contoh 2.
Anda boleh segera melihat bahawa persamaan ini mempunyai bentuk perkadaran: nisbah nombor x + 3 kepada nombor x – 1 adalah sama dengan nisbah nombor 2x + 3 kepada nombor 2x – 2. Biarkan seseorang, dalam melihat keadaan ini, memutuskan untuk memohon di sini untuk membebaskan persamaan daripada pecahan, sifat utama perkadaran (hasil darab sebutan ekstrem adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah). Kemudian dia akan mendapat:
(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)
2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.
Di sini, kebimbangan bahawa kita tidak akan menghadapi persamaan ini mungkin ditimbulkan oleh fakta bahawa persamaan termasuk istilah dengan x 2. Walau bagaimanapun, kita boleh menolak 2x 2 daripada kedua-dua belah persamaan - ini tidak akan memecahkan persamaan; maka istilah dengan x 2 dimusnahkan dan kita dapat:
6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3
Mari alihkan istilah yang tidak diketahui ke kiri dan yang diketahui ke kanan - kita dapat:
3x = 3 atau x = 1
Mengingati persamaan ini
(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)
Kami akan segera melihat bahawa nilai yang ditemui untuk x (x = 1) menjadikan penyebut bagi setiap pecahan hilang; Kita mesti meninggalkan penyelesaian sedemikian sehingga kita telah mempertimbangkan persoalan pembahagian dengan sifar.
Jika kita juga perhatikan bahawa penggunaan sifat perkadaran telah merumitkan perkara itu dan persamaan yang lebih mudah boleh diperolehi dengan mendarab kedua-dua belah yang diberikan oleh penyebut sepunya, iaitu 2(x – 1) - lagipun, 2x – 2 = 2 (x – 1) , maka kita dapat:
2(x + 3) = 2x – 3 atau 2x + 6 = 2x – 3 atau 6 = –3,
yang mustahil.
Keadaan ini menunjukkan bahawa persamaan ini tidak mempunyai sebarang penyelesaian yang mempunyai makna langsung yang tidak akan menjadikan penyebut persamaan ini kepada sifar.
Mari kita selesaikan persamaan:
(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)
Mari kita darabkan kedua-dua belah persamaan 2(x – 1), iaitu dengan penyebut sepunya, kita dapat:
6x + 10 = 2x + 18
Penyelesaian yang ditemui tidak membuat penyebut hilang dan mempunyai makna langsung:
atau 11 = 11
Jika seseorang, bukannya mendarab kedua-dua bahagian dengan 2(x – 1), menggunakan sifat perkadaran, mereka akan mendapat:
(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) atau
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.
Di sini istilah dengan x 2 tidak akan dimusnahkan. Memindahkan semua istilah yang tidak diketahui ke sebelah kiri, dan yang diketahui ke kanan, kita akan dapat
4x 2 – 12x = –8
x 2 – 3x = –2
Sekarang kita tidak akan dapat menyelesaikan persamaan ini. Pada masa hadapan, kita akan belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut dan mencari dua penyelesaian untuknya: 1) anda boleh mengambil x = 2 dan 2) anda boleh mengambil x = 1. Mudah untuk menyemak kedua-dua penyelesaian:
1) 2 2 – 3 2 = –2 dan 2) 1 2 – 3 1 = –2
Jika kita ingat persamaan awal
(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),
maka kita akan melihat bahawa sekarang kita mendapat kedua-dua penyelesaiannya: 1) x = 2 ialah penyelesaian yang mempunyai makna langsung dan tidak menukarkan penyebut kepada sifar, 2) x = 1 ialah penyelesaian yang menukarkan penyebut kepada sifar dan tidak mempunyai makna langsung.
Contoh 3.
Mari cari penyebut sepunya bagi pecahan yang termasuk dalam persamaan ini dengan memfaktorkan setiap penyebutnya:
1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),
2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),
3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).
Penyebut sepunya ialah (x – 3)(x – 2)(x + 1).
Mari kita darabkan kedua-dua belah persamaan ini (dan kini kita boleh menulis semula sebagai:
oleh penyebut sepunya (x – 3) (x – 2) (x + 1). Kemudian, selepas mengurangkan setiap pecahan kita mendapat:
3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) atau
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.
Dari sini kita dapat:
–x = –13 dan x = 13.
Penyelesaian ini mempunyai makna langsung: ia tidak membuat sebarang penyebut hilang.
Jika kita mengambil persamaan:
kemudian, melakukan perkara yang sama seperti di atas, kita akan dapat
3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2
3x + 3 – 2x + 6 = x – 2
3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,
dari mana anda akan mendapatkannya?
yang mustahil. Keadaan ini menunjukkan bahawa adalah mustahil untuk mencari penyelesaian bagi persamaan terakhir yang mempunyai makna langsung.