Persamaan kuadratik berbeza daripada persamaan linear dengan kehadiran satu yang tidak diketahui, dinaikkan kepada kuasa kedua. Dalam bentuk klasik (kanonik), faktor a, b dan sebutan bebas c tidak sama dengan sifar.

Persamaan kuadratik ialah persamaan di mana bahagian kiri adalah sifar dan bahagian kanan ialah trinomial darjah kedua bagi bentuk:

Menyelesaikan trinomial atau mencari puncanya bermakna mencari nilai x di mana kesamaan menjadi benar. Ia berikutan bahawa punca-punca persamaan sedemikian ialah nilai-nilai pembolehubah x.

Mencari punca menggunakan formula diskriminasi

Contoh mungkin mempunyai satu atau dua punca, atau mungkin tiada. Terdapat algoritma yang sangat mudah dan mudah difahami untuk menentukan bilangan penyelesaian. Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk mencari diskriminasi - nilai terkira khas yang digunakan semasa mencari akar. Formula untuk pengiraan adalah seperti berikut:

Bergantung kepada keputusan yang diperoleh, kesimpulan berikut boleh dibuat:

• terdapat dua punca jika D > 0;
• terdapat satu penyelesaian jika D = 0;
• tiada akar jika D< 0.

Jika D ≥ 0, maka anda perlu meneruskan pengiraan menggunakan formula:

Nilai x1 akan sama dengan , dan x2 - . Jika D = 0, maka tanda “±” kehilangan sebarang makna, kerana √0 = 0. Dalam kes ini, satu-satunya punca adalah sama dengan .

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Algoritma untuk menyelesaikan polinomial adalah sangat mudah:

1. Bawa ungkapan kepada bentuk klasik.
2. Tentukan sama ada terdapat punca-punca persamaan kuadratik (rumus diskriminasi).
3. Jika D ≥ 0, maka cari nilai pembolehubah x menggunakan mana-mana kaedah yang diketahui.

Mari kita berikan contoh yang jelas tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik.

Masalah 1. Cari punca dan nyatakan secara grafik luas penyelesaian persamaan 6x + 8 – 2×2 = 0.

Pertama, adalah perlu untuk membawa kesamaan kepada bentuk kanonik ax2+bx+c=0. Untuk melakukan ini, kami menyusun semula istilah polinomial.

Kemudian, kami memudahkan ungkapan dengan menghapuskan pekali di hadapan x2. Darabkan sisi kiri dan kanan dengan (-1)⁄2, hasilnya ialah:

Kelebihan formula untuk mencari punca persamaan kuadratik melalui diskriminasi ialah dengan bantuan mereka anda boleh menyelesaikan sebarang trinomial darjah kedua.

Jadi, dalam polinomial yang diberi a=1, b=-3, dan c=-4. Mari kita hitung nilai diskriminasi untuk contoh tertentu.

Ini bermakna persamaan mempunyai dua punca. Untuk mencari secara grafik kawasan penyelesaian contoh, anda perlu membina parabola yang fungsinya sama dengan .

Graf ungkapan akan kelihatan seperti ini:

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, D>0, oleh itu, terdapat dua punca.

Petua 1: Jika faktor a ialah nombor negatif, anda mesti mendarab kedua-dua belah contoh dengan (-1).

Petua 2: Jika terdapat pecahan dalam contoh, cuba hapuskannya dengan mendarab sisi kiri dan kanan ungkapan dengan salingannya.

Petua 3: Anda harus sentiasa membawa persamaan kepada bentuk kanonik, ini akan membantu menghapuskan kemungkinan kekeliruan dalam pekali.

Teorem Vieta

Terdapat kaedah yang boleh mengurangkan pengiraan dengan ketara. Ini termasuk teorem Vieta. Kaedah ini tidak boleh digunakan untuk semua jenis persamaan, tetapi hanya jika pengganda pembolehubah x2 adalah sama dengan satu, iaitu, a = 1.

Mari kita lihat kenyataan ini menggunakan contoh khusus:

1. 5×2 – 2x + 9 = 0 – penggunaan teorem dalam kes ini adalah tidak sesuai, kerana a = 5;
2. –x2 + 11x – 8 = 0 − a = -1, yang bermaksud menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah Vieta hanya selepas membawanya ke bentuk klasik, iaitu, mendarab kedua-dua belah dengan -1;
3. x2 + 4x – 5 = 0 – tugas ini sesuai untuk menganalisis kaedah penyelesaian.

Untuk mencari punca sesuatu ungkapan dengan cepat, adalah perlu untuk memilih sepasang nilai x yang mana sistem persamaan linear berikut adalah sah.

Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk a*x^2 +b*x+c=0, dengan a,b,c ialah beberapa nombor nyata arbitrari, dan x ialah pembolehubah. Selain itu, nombor a=0.

Nombor a,b,c dipanggil pekali. Nombor a dipanggil pekali pendahulu, nombor b ialah pekali x, dan nombor c dipanggil sebutan bebas.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Menyelesaikan persamaan kuadratik bermakna mencari semua puncanya atau menetapkan fakta bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca. Punca bagi persamaan kuadratik a*x^2 +b*x+c=0 ialah sebarang nilai pembolehubah x supaya trinomial kuadratik a*x^2 +b*x+c hilang. Kadangkala nilai x ini dipanggil punca trinomial kuasa dua.

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Pertimbangkan salah satu daripada mereka - yang paling universal. Ia boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik ialah a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), dengan D =b^2-4*a*c.

Formula ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan a*x^2 +b*x+c=0 dalam bentuk umum, menggunakan kuasa dua binomial.

Dalam formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, ungkapan D (b^2-4*a*c) dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik a*x^2 +b*x+c=0. Nama ini berasal dari bahasa Latin, diterjemahkan sebagai "diskriminator". Bergantung pada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik akan mempunyai dua atau satu punca, atau tiada punca sama sekali.

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jika diskriminasi adalah sifar, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca. (x=(-b/(2*a))

Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik tidak mempunyai punca.

Algoritma am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Berdasarkan perkara di atas, kami merumuskan algoritma umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a*x^2 +b*x+c=0 menggunakan formula:

1. Cari nilai diskriminasi menggunakan formula D =b^2-4*a*c.

2. Bergantung pada nilai diskriminasi, hitung punca menggunakan formula:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Algoritma ini adalah universal dan sesuai untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik. Lengkap dan tidak lengkap, diberi dan tidak diberi.

Dalam masyarakat moden, keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, pesawat dan peluru berpandu. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai jenis badan, termasuk objek angkasa, ditentukan. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan semasa perjalanan mendaki, di acara sukan, di kedai semasa membuat pembelian dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya

Darjah persamaan ditentukan oleh nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan itu. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.

Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila bahagian kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan seperti mempunyai dua sebutan di sebelah kanan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah keluar dari kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan badan di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang perkara ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dalam kes yang lebih kompleks. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

Trinomial kuadratik ini sudah lengkap. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi yang kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Akar Kuasa Dua

Satu lagi kes persamaan tertib kedua yang tidak lengkap ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian sebelah kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu punca kuasa dua diekstrak dari kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah sama sekali, di mana pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.

Jadi, katakan terdapat sebidang tanah berbentuk segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa luasnya ialah 612 m 2.

Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, kami akan membuat transformasi yang diperlukan, maka penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna bahawa kami telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang ditentukan sebelumnya, di mana a=1, b=16, c= -612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dibuat mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan bilangan pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.

2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan hitungkan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Adalah mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang hidup pada abad ke-16 di Perancis dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kami akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan perwakilan visual bagi fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan itu kepada 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.

Mungkin lebih awal daripada para saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Dengan program matematik ini anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian dalam dua cara:
- menggunakan diskriminasi
- menggunakan teorem Vieta (jika boleh).

Selain itu, jawapan dipaparkan sebagai tepat, bukan anggaran.
Sebagai contoh, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\) jawapan dipaparkan dalam bentuk berikut:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dan bukan seperti ini: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

Program ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah di sekolah pendidikan am semasa membuat persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra.

Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik
Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.

Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.
Selain itu, nombor pecahan boleh dimasukkan bukan sahaja dalam bentuk perpuluhan, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan bahagian sama ada dengan noktah atau koma.
Sebagai contoh, anda boleh memasukkan pecahan perpuluhan seperti ini: 2.5x - 3.5x^2

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif.

Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Seluruh bahagian dipisahkan daripada pecahan oleh tanda ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.
Contohnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

buat keputusan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

jika anda perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan kuadratik dan punca-puncanya. Persamaan kuadratik tidak lengkap

Setiap persamaan
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
nampak macam
\(ax^2+bx+c=0, \)
di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah nombor.
Dalam persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1.4, dalam kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, dalam ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan sedemikian dipanggil persamaan kuadratik.

Definisi.
Persamaan kuadratik dipanggil persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan \(a \neq 0 \).

Nombor a, b dan c ialah pekali bagi persamaan kuadratik. Nombor a dipanggil pekali pertama, nombor b ialah pekali kedua, dan nombor c ialah sebutan bebas.

Dalam setiap persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, dengan \(a\neq 0\), kuasa terbesar pembolehubah x ialah segi empat sama. Oleh itu nama: persamaan kuadratik.

Perhatikan bahawa persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan darjah kedua, kerana bahagian kirinya ialah polinomial darjah kedua.

Persamaan kuadratik di mana pekali x 2 adalah sama dengan 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Sebagai contoh, persamaan kuadratik yang diberikan ialah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jika dalam persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c adalah sama dengan sifar, maka persamaan tersebut dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Oleh itu, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap. Dalam yang pertama b=0, dalam kedua c=0, dalam ketiga b=0 dan c=0.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) ax 2 +c=0, dengan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, dengan \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan bagi setiap jenis ini.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), gerakkan sebutan bebasnya ke bahagian kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Oleh kerana \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jika \(-\frac(c)(a)>0\), maka persamaan itu mempunyai dua punca.

Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap bentuk ax 2 +bx=0 dengan \(b \neq 0 \) faktorkan sisi kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (susun)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan.

Ini bermakna persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) sentiasa mempunyai dua punca.

Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk ax 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0 dan oleh itu mempunyai punca tunggal 0.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di mana kedua-dua pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah bukan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kita memperoleh formula untuk punca-punca. Formula ini kemudiannya boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik.

Selesaikan persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0

Membahagikan kedua-dua belah dengan a, kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Mari kita ubah persamaan ini dengan memilih kuasa dua binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\kanan)^2- \left(\frac(b)(2a)\kanan)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Anak panah kanan \kiri(x+\frac(b)(2a)\kanan)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Anak panah kanan \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Anak panah kanan \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Ungkapan radikal dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - diskriminator). Ia ditetapkan oleh huruf D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Sekarang, menggunakan tatatanda diskriminasi, kami menulis semula formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)

Adalah jelas bahawa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Oleh itu, bergantung kepada nilai diskriminasi, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca (untuk D > 0), satu punca (untuk D = 0) atau tidak mempunyai punca (untuk D Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan ini formula, adalah dinasihatkan untuk melakukan cara berikut:
1) kira diskriminasi dan bandingkan dengan sifar;
2) jika diskriminasi adalah positif atau sama dengan sifar, maka gunakan formula akar; jika diskriminasi adalah negatif, maka tulis bahawa tiada punca.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik yang diberi ax 2 -7x+10=0 mempunyai punca 2 dan 5. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darab ialah 10. Kita lihat bahawa jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan sebaliknya tanda, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Mana-mana persamaan kuadratik terkecil yang mempunyai punca mempunyai sifat ini.

Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang adalah sama dengan pekali kedua yang diambil dengan tanda bertentangan, dan hasil darab akar-akar adalah sama dengan sebutan bebas.

Itu. Teorem Vieta menyatakan bahawa punca x 1 dan x 2 bagi persamaan kuadratik terkurang x 2 +px+q=0 mempunyai sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Sekolah menengah luar bandar Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematik

kampung Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba

1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik

1.3 Persamaan kuadratik di India

1.4 Persamaan kuadratik oleh al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII - XVII

1.6 Mengenai teorem Vieta

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kesimpulan

kesusasteraan

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon Purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua, walaupun pada zaman dahulu, disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan plot tanah dan dengan kerja penggalian yang bersifat ketenteraan, juga seperti perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan sekitar 2000 SM. e. orang Babylon.

Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon sampai pada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dibentangkan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk tentang bagaimana ia ditemui.

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1.2 Bagaimana Diophantus mengarang dan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi pembentangan algebra yang sistematik, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan membina persamaan pelbagai darjah.

Semasa mengarang persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11."Cari dua nombor, mengetahui bahawa jumlahnya ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96"

Diophantus beralasan seperti berikut: dari syarat-syarat masalah ia mengikuti bahawa nombor yang diperlukan tidak sama, kerana jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi kepada 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan lebih daripada separuh daripada jumlah mereka, iaitu. 10 + x, yang lain kurang, i.e. 10-an. Perbezaan antara mereka 2x .

Oleh itu persamaan:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu nombor yang diperlukan adalah sama dengan 12 , lain-lain 8 . Penyelesaian x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu daripada nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, maka kita akan mendapatkan penyelesaian kepada persamaan

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Adalah jelas bahawa dengan memilih separuh perbezaan nombor yang diperlukan sebagai tidak diketahui, Diophantus memudahkan penyelesaian; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (1) yang tidak lengkap.

1.3 Persamaan Kuadratik di India

Masalah pada persamaan kuadratik sudah ditemui dalam risalah astronomi "Aryabhattiam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), pekali, kecuali A, juga boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan pemerintahan kita.

Di India purba, pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Salah satu buku India lama mengatakan yang berikut tentang pertandingan sedemikian: "Sebagaimana matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga seorang yang terpelajar akan mengatasi kemuliaan orang lain dalam perhimpunan awam, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Masalah sering dikemukakan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet lincah Dan dua belas di sepanjang pokok anggur...

Pihak berkuasa, setelah makan, berseronok. Mereka mula melompat, tergantung...

Terdapat mereka di dataran, bahagian lapan berapa banyak monyet yang ada?

Saya berseronok di kawasan lapang. Beritahu saya, dalam pek ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu bahawa punca-punca persamaan kuadratik adalah dua nilai (Rajah 3).

Persamaan yang sepadan dengan masalah 13 ialah:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, tambah kepada kedua-dua belah 32 2 , kemudian mendapat:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadratik dalam al - Khorezmi

Dalam risalah algebra al-Khorezmi, klasifikasi persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis mengira 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan akar," i.e. ax 2 + c = b X.

2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = c.

3) "Akar adalah sama dengan nombor," i.e. ah = s.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca," i.e. ax 2 + c = b X.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua," i.e. bx + c = ax 2 .

Bagi al-Khorezmi, yang mengelakkan penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah dan bukan boleh ditolak. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menetapkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana dalam masalah praktikal khusus ia tidak penting. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, al-Khorezmi menetapkan peraturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh berangka tertentu, dan kemudian bukti geometri.

Masalah 14.“Kuasa dua dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya" (menyiratkan punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian penulis adalah seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, yang tinggal ialah 4. Ambil punca daripada 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5 , anda mendapat 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang memberikan 7, ini juga akar.

Risalah al-Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, yang secara sistematik menetapkan klasifikasi persamaan kuadratik dan memberikan formula untuk penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - XVII bb

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di sepanjang garis al-Khorezmi di Eropah mula-mula ditetapkan dalam Kitab Abacus, yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, baik dari negara-negara Islam dan dari Yunani kuno, dibezakan oleh kesempurnaan dan kejelasan persembahannya. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru untuk menyelesaikan masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak masalah dari Kitab Abakus digunakan dalam hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b , Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk umum boleh didapati daripada Vieth, tetapi Vieth hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Selain yang positif, akar negatif juga diambil kira. Hanya pada abad ke-17. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

1.6 Mengenai teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan puncanya, dinamakan sempena Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D, didarab dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DALAM dan sama rata D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus ingat itu A, seperti mana-mana huruf vokal, bermaksud yang tidak diketahui (kami X), vokal DALAM, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika ada

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan dengan formula am yang ditulis menggunakan simbol, Viète mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Viet masih jauh dari bentuk modennya. Dia tidak mengenali nombor negatif dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua punca adalah positif.

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (gred 8) sehingga tamat pengajian.