Bagaimana untuk mencari sinus antara garis dan satah. Cari sudut antara garis lurus dan satah

Ini bermakna mencari sudut antara garis ini dan unjurannya pada satah tertentu.

Model spatial yang menggambarkan tugasan dibentangkan dalam rajah.

Pelan penyelesaian masalah:
1. Dari sudut sewenang-wenangnya A∈a turunkan serenjang dengan satah α ;
2. Tentukan titik pertemuan serenjang ini dengan satah α . titik A α - unjuran ortografik A ke kapal terbang α ;
3. Cari titik persilangan garis itu a dengan kapal terbang α . titik a α- laluan lurus a dalam kapal terbang α ;
4. Kami melaksanakan ( A α a α) - unjuran garis lurus a ke kapal terbang α ;
5. Tentukan nilai sebenar ∠ Aa α A α, iaitu ∠ φ .

Penyelesaian masalah cari sudut antara garis dan satah boleh dipermudahkan jika kita tidak mentakrifkan ∠ φ antara garis lurus dan satah, dan pelengkap kepada 90° ∠ γ . Dalam kes ini, tidak perlu menentukan unjuran titik A dan unjuran garis lurus a ke kapal terbang α . Mengetahui magnitud γ , dikira dengan formula:

$ φ = 90° - γ $

a dan kapal terbang α , ditakrifkan oleh garis selari m Dan n.

a α
Berpusing mengelilingi mendatar diberikan oleh mata 5 dan 6 kita tentukan saiz sebenar ∠ γ . Mengetahui magnitud γ , dikira dengan formula:

$ φ = 90° - γ $

Menentukan sudut antara garis lurus a dan kapal terbang α , diberikan oleh segi tiga BCD.

Dari titik sewenang-wenangnya pada garis a turunkan serenjang dengan satah α
Dengan berputar mengelilingi garis mendatar yang ditentukan oleh titik 3 dan 4, kami menentukan saiz semula jadi ∠ γ . Mengetahui magnitud γ , kita mengira menggunakan formula.

Biarkan beberapa sistem koordinat segi empat tepat dan garis lurus diberikan . biarlah Dan - dua satah berbeza bersilang dalam garis lurus dan diberikan dengan sewajarnya oleh persamaan. Kedua-dua persamaan ini bersama-sama mentakrifkan garis lurus jika dan hanya jika ia tidak selari dan tidak bertepatan antara satu sama lain, iaitu vektor biasa
Dan
pesawat ini bukan kolinear.

Definisi. Jika pekali persamaan

tidak berkadar, maka persamaan ini dipanggil persamaan am garis lurus, ditakrifkan sebagai garis persilangan satah.

Definisi. Mana-mana vektor bukan sifar selari dengan garis dipanggil vektor panduan garis lurus ini.

Mari kita terbitkan persamaan garis lurus melalui titik tertentu
ruang dan mempunyai vektor arah yang diberikan
.

Biarkan titik
- titik sewenang-wenangnya pada garis lurus . Titik ini terletak pada garis jika dan hanya jika vektor
, mempunyai koordinat
, kolinear kepada vektor arah
langsung. Menurut (2.28), syarat untuk keselarasan vektor
Dan nampak macam

. (3.18)

Persamaan (3.18) dipanggil persamaan kanonik garis lurus yang melalui suatu titik
dan mempunyai vektor arah
.

Jika lurus diberikan oleh persamaan am (3.17), kemudian vektor arah garis ini adalah ortogon kepada vektor biasa
Dan
satah yang ditentukan oleh persamaan. vektor
mengikut sifat produk vektor, ia adalah ortogon kepada setiap vektor Dan . Mengikut definisi, sebagai vektor arah langsung anda boleh mengambil vektor
, iaitu
.

Untuk mencari titik
pertimbangkan sistem persamaan
. Oleh kerana satah yang ditakrifkan oleh persamaan tidak selari dan tidak bertepatan, maka sekurang-kurangnya satu daripada kesamaan tidak berlaku.
. Ini membawa kepada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu daripada penentu ,
,
berbeza daripada sifar. Untuk kepastian, kami akan menganggapnya
. Kemudian, mengambil nilai sewenang-wenangnya, kita memperoleh sistem persamaan untuk yang tidak diketahui Dan :

Menurut teorem Cramer, sistem ini mempunyai penyelesaian unik yang ditakrifkan oleh formula

,
. (3.19)

Jika anda mengambil
, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan (3.17) melalui titik itu
.

Oleh itu, untuk kes apabila
, persamaan kanonik bagi garis (3.17) mempunyai bentuk

Persamaan kanonik garis lurus (3.17) ditulis sama untuk kes apabila penentunya bukan sifar
atau
.

Jika garisan melalui dua titik yang berbeza
Dan
, maka persamaan kanoniknya mempunyai bentuk

. (3.20)

Ini berikutan daripada fakta bahawa garis lurus melalui titik itu
dan mempunyai vektor arah.

Mari kita pertimbangkan persamaan kanonik (3.18) bagi garis lurus. Mari kita ambil setiap hubungan sebagai parameter , iaitu
. Salah satu penyebut pecahan ini ialah bukan sifar, dan pengangka yang sepadan boleh mengambil sebarang nilai, jadi parameter boleh mengambil mana-mana nilai sebenar. Memandangkan setiap nisbah adalah sama , kita dapat persamaan parametrik langsung:

,
,
. (3.21)

Biarkan kapal terbang diberikan oleh persamaan am, dan garis lurus - persamaan parametrik
,
,
. titik
persilangan garis lurus dan kapal terbang mesti pada masa yang sama tergolong dalam satah dan garisan. Ini hanya mungkin jika parameter memenuhi persamaan, i.e.
. Oleh itu, titik persilangan garis lurus dan satah mempunyai koordinat

Contoh 32. Tulis persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik
Dan
.

Penyelesaian. Untuk vektor arah garis lurus kita ambil vektor

. Garis lurus melalui satu titik , oleh itu, mengikut formula (3.21), persamaan garis lurus yang diperlukan mempunyai bentuk
,
,
.

Contoh 33. Bucu segitiga
mempunyai koordinat
,
Dan
masing-masing. Susun persamaan parametrik untuk median yang dilukis daripada bucu .

Penyelesaian. biarlah
- bahagian tengah sebelah
, Kemudian
,
,
. Sebagai vektor panduan median, kami mengambil vektor
. Kemudian persamaan parametrik median mempunyai bentuk
,
,
.

Contoh 34. Susun persamaan kanonik bagi garis yang melalui suatu titik
selari dengan garisan
.

Penyelesaian. Garis lurus ditakrifkan sebagai garis persilangan satah dengan vektor normal
Dan
. Sebagai vektor panduan ambil vektor baris ini
, iaitu
. Menurut (3.18), persamaan yang diperlukan mempunyai bentuk
atau
.

3.8. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Sudut antara garis lurus dan satah

Biarkan dua garis lurus Dan dalam ruang diberikan oleh persamaan kanonik mereka
Dan
. Kemudian salah satu sudut antara garisan ini sama dengan sudut antara vektor arah mereka
Dan
. Menggunakan formula (2.22), untuk menentukan sudut kita dapat formula

. (3.22)

Sudut kedua antara garisan ini adalah sama
Dan
.

Keadaan untuk garis selari Dan adalah bersamaan dengan keadaan kolineariti vektor
Dan
dan terletak pada perkadaran koordinatnya, iaitu keadaan untuk garis selari mempunyai bentuk

. (3.23)

Jika lurus Dan adalah serenjang, maka vektor arahnya adalah ortogon, i.e. keadaan serenjang ditentukan oleh kesamaan

. (3.24)

Pertimbangkan sebuah kapal terbang , diberikan oleh persamaan am, dan garis lurus , diberikan oleh persamaan kanonik
.

Sudut antara garis lurus dan kapal terbang adalah pelengkap kepada sudut antara vektor arah garis lurus dan vektor normal satah, i.e.
Dan
, atau

. (3.24)

Keadaan untuk keselarian garisan dan kapal terbang adalah bersamaan dengan syarat bahawa vektor arah garis dan vektor normal satah adalah berserenjang, iaitu, hasil darab skalar bagi vektor ini mestilah sama dengan sifar:

Jika garis itu berserenjang dengan satah, maka vektor arah garis dan vektor normal satah mestilah kolinear. Dalam kes ini, koordinat vektor adalah berkadar, i.e.

. (3.26)

Contoh 35. Cari sudut tumpul antara garis lurus
,
,
Dan
,
,
.

Penyelesaian. Vektor arah garisan ini mempunyai koordinat
Dan
. Oleh itu satu sudut antara garis lurus ditentukan oleh nisbah, i.e.
. Oleh itu, keadaan masalah dipenuhi oleh sudut kedua antara garisan, sama dengan
.

3.9. Jarak dari titik ke garisan dalam ruang

biarlah
 titik dalam ruang dengan koordinat
, garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik
. Jom cari jarak dari titik
kepada garis lurus .

Mari gunakan vektor panduan
to the point
. Jarak dari titik
kepada garis lurus ialah ketinggian segi empat selari yang dibina pada vektor Dan
. Mari cari luas segi empat selari menggunakan hasil silang:

Di sisi lain, . Daripada kesamaan sisi kanan dua hubungan terakhir ia mengikutinya

. (3.27)

3.10. Ellipsoid

Definisi. Ellipsoid ialah permukaan tertib kedua, yang dalam beberapa sistem koordinat ditakrifkan oleh persamaan

. (3.28)

Persamaan (3.28) dipanggil persamaan kanonik bagi ellipsoid.

Daripada persamaan (3.28) ia berikutan bahawa satah koordinat ialah satah simetri bagi ellipsoid, dan asal koordinat ialah pusat simetri. Nombor
dipanggil separuh paksi elipsoid dan mewakili panjang segmen dari asal ke persilangan ellipsoid dengan paksi koordinat. Ellipsoid ialah permukaan berbatasan yang tertutup dalam selari
,
,
.

Mari kita wujudkan bentuk geometri ellipsoid. Untuk melakukan ini, mari kita ketahui bentuk garis persilangan satahnya yang selari dengan paksi koordinat.

Untuk lebih spesifik, pertimbangkan garis persilangan ellipsoid dengan satah
, selari dengan kapal terbang
. Persamaan untuk unjuran garis persilangan ke atas satah
diperoleh daripada (3.28) jika kita masukkan ke dalamnya
. Persamaan unjuran ini ialah

. (3.29)

Jika
, maka (3.29) ialah persamaan elips khayalan dan titik persilangan elipsoid dengan satah
Tidak. Ia berikutan itu
. Jika
, kemudian garis (3.29) merosot menjadi titik, iaitu satah
sentuh ellipsoid pada titik
Dan
. Jika
, Itu
dan anda boleh memperkenalkan notasi

,
. (3.30)

Kemudian persamaan (3.29) mengambil bentuk

, (3.31)

iaitu unjuran ke atas kapal terbang
garis persilangan elipsoid dan satah
ialah elips dengan separuh paksi, yang ditentukan oleh kesamaan (3.30). Oleh kerana garis persilangan permukaan dengan satah selari dengan satah koordinat adalah unjuran "dinaikkan" ke ketinggian , maka garis persilangan itu sendiri ialah elips.

Apabila menurunkan nilai aci gandar Dan meningkat dan mencapai nilai terbesar mereka di
, iaitu dalam bahagian ellipsoid oleh satah koordinat
elips terbesar dengan separuh paksi diperolehi
Dan
.

Idea ellipsoid boleh diperolehi dengan cara lain. Pertimbangkan dalam kapal terbang
keluarga elips (3.31) dengan separuh paksi Dan , ditakrifkan oleh hubungan (3.30) dan bergantung kepada . Setiap elips tersebut ialah garis aras, iaitu garisan pada setiap titik yang nilainya yang sama. "Meningkatkan" setiap elips sedemikian ke ketinggian , kita memperoleh pandangan spatial bagi ellipsoid.

Gambar yang serupa diperoleh apabila permukaan tertentu disilang oleh satah selari dengan satah koordinat
Dan
.

Oleh itu, ellipsoid ialah permukaan elips tertutup. Dalam kes
Ellipsoid ialah sfera.

Garis persilangan elipsoid dengan mana-mana satah ialah elips, kerana garis sedemikian ialah garis terhad bagi susunan kedua, dan satu-satunya garis terhad bagi susunan kedua ialah elips.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman seperti pengauditan, analisis data dan pelbagai kajian untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, V perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

SUDUT ANTARA PESAWAT

Pertimbangkan dua satah α 1 dan α 2, masing-masing ditakrifkan oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua satah kita akan faham salah satunya sudut dihedral dibentuk oleh pesawat ini. Jelas sekali bahawa sudut antara vektor normal dan satah α 1 dan α 2 adalah sama dengan salah satu sudut dihedral bersebelahan yang ditunjukkan atau . sebab tu . Kerana Dan , Itu

Contoh. Tentukan sudut antara satah x+2y-3z+4=0 dan 2 x+3y+z+8=0.

Keadaan untuk keselarian dua satah.

Dua satah α 1 dan α 2 adalah selari jika dan hanya jika vektor normalnya selari, dan oleh itu .

Jadi, dua satah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika pekali koordinat yang sepadan adalah berkadar:

atau

Keadaan serenjang satah.

Adalah jelas bahawa dua satah berserenjang jika dan hanya jika vektor normalnya berserenjang, dan oleh itu, atau .

Justeru, .

Contoh.

LURUS DI ANGKASA.

PERSAMAAN VEKTOR UNTUK GARIS.

PERSAMAAN LANGSUNG PARAMETRIK

Kedudukan garis dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menyatakan mana-mana titik tetapnya M 1 dan vektor selari dengan garis ini.

Vektor yang selari dengan garis dipanggil panduan vektor baris ini.

Jadi biarkan garis lurus l melalui satu titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1), terletak pada garis selari dengan vektor .

Mari kita pertimbangkan titik sewenang-wenangnya M(x,y,z) pada garis lurus. Daripada rajah itu jelas bahawa .

Vektor dan adalah kolinear, jadi terdapat nombor sedemikian t, apa , di manakah pengganda t boleh terima mana-mana nilai angka bergantung pada kedudukan titik M pada garis lurus. Faktor t dipanggil parameter. Setelah menetapkan vektor jejari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , kita memperoleh . Persamaan ini dipanggil vektor persamaan garis lurus. Ia menunjukkan bahawa bagi setiap nilai parameter t sepadan dengan vektor jejari sesuatu titik M, berbaring di atas garis lurus.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan bahawa, dan dari sini

Persamaan yang terhasil dipanggil parametrik persamaan garis lurus.

Apabila menukar parameter t perubahan koordinat x, y Dan z dan tempoh M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANON LANGSUNG

biarlah M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – titik terletak pada garis lurus l, Dan ialah vektor arahnya. Mari kita sekali lagi mengambil titik sewenang-wenangnya pada baris M(x,y,z) dan pertimbangkan vektor.

Adalah jelas bahawa vektor juga adalah kolinear, jadi koordinat sepadannya mestilah berkadar, oleh itu,

– berkanun persamaan garis lurus.

Nota 1. Ambil perhatian bahawa persamaan kanonik garis boleh didapati daripada parametrik dengan menghapuskan parameter t. Sesungguhnya, daripada persamaan parametrik yang kita perolehi atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis tersebut dalam bentuk parametrik.

Mari kita nyatakan , dari sini x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Biarkan garis itu berserenjang dengan salah satu daripada paksi koordinat, contohnya kapak lembu. Kemudian vektor arah garisan adalah serenjang lembu, oleh itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik garisan akan menjadi bentuk

Tidak termasuk parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan garis dalam bentuk

Walau bagaimanapun, dalam kes ini juga, kami bersetuju untuk menulis secara rasmi persamaan kanonik garis dalam bentuk . Oleh itu, jika penyebut salah satu pecahan ialah sifar, ini bermakna garis lurus adalah berserenjang dengan paksi koordinat yang sepadan.

Begitu juga, persamaan kanonik sepadan dengan garis lurus berserenjang dengan paksi lembu Dan Oy atau selari dengan paksi Oz.

Contoh.

PERSAMAAN AM GARISAN LURUS SEBAGAI GARISAN PERSIMPANGAN DUA SATAH

Melalui setiap garis lurus di angkasa terdapat satah yang tidak terkira banyaknya. Mana-mana dua daripadanya, bersilang, mentakrifkannya dalam ruang. Akibatnya, persamaan mana-mana dua satah sedemikian, yang dipertimbangkan bersama, mewakili persamaan garis ini.

Secara umum, mana-mana dua tidak satah selari, diberikan oleh persamaan am

tentukan garis lurus persilangan mereka. Persamaan ini dipanggil persamaan am langsung.

Contoh.

Bina garis yang diberikan oleh persamaan

Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari mana-mana dua titiknya. Cara paling mudah ialah memilih titik persilangan garis dengan satah koordinat. Contohnya, titik persilangan dengan satah xOy kita perolehi daripada persamaan garis lurus, dengan andaian z= 0:

Setelah menyelesaikan sistem ini, kami dapati maksudnya M 1 (1;2;0).

Begitu juga dengan andaian y= 0, kita mendapat titik persilangan garis dengan satah xOz:

Daripada persamaan am garisan seseorang boleh pergi ke kanoniknya atau persamaan parametrik. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari titik tertentu M 1 pada garis lurus dan vektor arah garis lurus.

Koordinat titik M 1 kita peroleh daripada sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrari. Untuk mencari vektor arah, ambil perhatian bahawa vektor ini mestilah berserenjang dengan kedua-dua vektor normal Dan . Oleh itu, di luar vektor arah garis lurus l anda boleh mengambilnya produk vektor vektor biasa:

Contoh. memimpin persamaan am langsung kepada bentuk kanonik.

Mari kita cari titik yang terletak pada garisan. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenangnya, sebagai contoh, y= 0 dan selesaikan sistem persamaan:

Vektor biasa satah yang menentukan garis mempunyai koordinat Oleh itu, vektor arah akan lurus

. Oleh itu, l: .

SUDUT ANTARA LURUS

sudut antara garisan dalam ruang kita akan panggil mana-mana sudut bersebelahan, dibentuk oleh dua garis lurus yang dilukis melalui titik arbitrari selari dengan data.

Biarkan dua baris diberikan dalam ruang:

Jelas sekali, sudut φ antara garis lurus boleh diambil sebagai sudut antara vektor arah dan . Sejak , kemudian menggunakan formula untuk kosinus sudut antara vektor yang kita dapat