Menyelesaikan ketaksamaan parametrik. Buku teks "persamaan dan ketaksamaan dengan parameter"

Pratonton:

KEMENTERIAN PENDIDIKAN WILAYAH MOSCOW

Institusi Pendidikan Negeri SMK NPO Bil 37

PROJEK:

PERSAMAAN KUADRAT DAN KETIDAKSAMAAN DENGAN PARAMETER"

Selesai –

Matsuk Galina Nikolaevna,

Guru Matematik, Institusi Pendidikan Negeri NPO

sekolah vokasional Bil 37 MO.

G.Noginsk, 2011

1. Pengenalan

4. Metodologi untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di bawah keadaan awal.

6. Metodologi untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan parameter dalam bentuk umum.

7. Metodologi untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik di bawah keadaan awal.

8. Kesimpulan.

9.Sastera.

  1. pengenalan.

Tugas utama mengajar matematik di sekolah vokasional adalah untuk memastikan penguasaan pelajar yang kuat dan sedar terhadap sistem pengetahuan dan kemahiran matematik yang diperlukan dalam kehidupan dan pekerjaan seharian, mencukupi untuk mempelajari disiplin berkaitan dan pendidikan berterusan, serta dalam aktiviti profesional yang memerlukan budaya matematik yang cukup tinggi.

Latihan matematik berprofil dijalankan melalui penyelesaian masalah gunaan yang berkaitan dengan profesion kerja logam, kerja pemasangan elektrik, dan kerja kayu. Untuk kehidupan dalam masyarakat moden, adalah penting untuk membangunkan gaya komunikasi matematik, yang menunjukkan dirinya dalam kemahiran mental tertentu. Masalah dengan parameter mempunyai nilai diagnostik dan prognostik. Dengan bantuan mereka, anda boleh menguji pengetahuan anda tentang bahagian utama matematik asas, tahap pemikiran logik, dan kemahiran penyelidikan awal.

Tugas mengajar dengan parameter memerlukan pelajar mempunyai usaha mental dan kemahuan yang hebat, mengembangkan perhatian, dan memupuk kualiti seperti aktiviti, inisiatif kreatif, dan kerja kognitif kolektif. Masalah dengan parameter berorientasikan untuk kajian semasa pengulangan umum pada tahun ke-2 sebagai persediaan untuk pensijilan akhir negeri dan pada tahun ke-3 dalam kelas tambahan sebagai persediaan untuk pelajar yang telah menyatakan keinginan untuk mengambil peperiksaan akhir dalam bentuk Peperiksaan Negeri Bersepadu .

Hala tuju utama pemodenan pendidikan matematik ialah pembangunan mekanisme pensijilan akhir melalui pengenalan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Dalam beberapa tahun kebelakangan ini, masalah dengan parameter telah diperkenalkan dalam tugasan matematik. Tugas sedemikian diperlukan untuk peperiksaan kemasukan universiti. Kemunculan masalah sedemikian adalah sangat penting, kerana dengan bantuan mereka, teknik kecekapan dalam formula matematik asas, kaedah menyelesaikan persamaan dan ketidaksamaan, keupayaan untuk membina rantaian logik penaakulan, dan tahap pemikiran logik pemohon. sedang diuji. Analisis keputusan Peperiksaan Negeri Bersepadu sebelum ini dalam beberapa tahun sebelumnya menunjukkan bahawa graduan menghadapi kesukaran yang besar untuk menyelesaikan tugasan tersebut, malah ramai yang tidak memulakannya. Kebanyakan sama ada tidak dapat menangani tugas sedemikian sama sekali, atau memberikan pengiraan yang menyusahkan. Sebabnya adalah kekurangan sistem tugasan mengenai topik ini dalam buku teks sekolah. Dalam hal ini, terdapat keperluan untuk menjalankan topik khas dalam kumpulan siswazah sebagai persediaan menghadapi peperiksaan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter dan masalah yang bersifat gunaan yang berkaitan dengan orientasi profesional.

Kajian topik ini bertujuan untuk pelajar tahun 3 yang ingin belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah tahap kerumitan yang meningkat dalam algebra dan permulaan analisis. Menyelesaikan masalah sedemikian menyebabkan mereka mengalami kesukaran yang ketara. Ini disebabkan oleh fakta bahawa setiap persamaan atau ketaksamaan dengan parameter mewakili keseluruhan kelas persamaan biasa dan ketaksamaan, untuk setiap satu penyelesaian mesti diperolehi.

Dalam proses menyelesaikan masalah dengan parameter, senjata teknik dan kaedah pemikiran manusia secara semula jadi termasuk induksi dan deduksi, generalisasi dan spesifikasi, analisis, klasifikasi dan sistematisasi, dan analogi. Oleh kerana kurikulum di sekolah vokasional menyediakan perundingan dalam matematik, yang termasuk dalam jadual kelas, maka bagi pelajar yang mempunyai latihan matematik yang mencukupi, menunjukkan minat terhadap subjek yang dipelajari, dan mempunyai matlamat lanjut untuk memasuki universiti, adalah dinasihatkan. untuk menggunakan waktu yang ditetapkan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter untuk persediaan untuk olimpik, pertandingan matematik, pelbagai jenis peperiksaan, khususnya Peperiksaan Negeri Bersepadu. Penyelesaian masalah sedemikian amat relevan untuk tujuan terpakai dan praktikal, yang akan membantu dalam menjalankan pelbagai kajian.

2. Matlamat, tugas utama, kaedah, teknologi, keperluan pengetahuan.

Matlamat projek:

  • Pembentukan kebolehan dan kemahiran dalam menyelesaikan masalah dengan parameter, yang bermuara kepada kajian persamaan kuadratik dan ketaksamaan.
  • Membentuk minat dalam subjek, mengembangkan kebolehan matematik, bersedia untuk Peperiksaan Negeri Bersatu.
  • Memperluas pemahaman matematik tentang teknik dan kaedah untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.
  • Pembangunan pemikiran logik dan kemahiran penyelidikan.
  • Penglibatan dalam aktiviti kreatif, penyelidikan dan pendidikan.
  • Menyediakan syarat untuk kerja kreatif bebas.
  • Memupuk usaha mental dan kehendak pelajar, mengembangkan perhatian, aktiviti, inisiatif kreatif, dan kemahiran kerja kognitif kolektif.

Objektif utama projek:

  • Untuk memberi peluang kepada pelajar untuk merealisasikan minat mereka dalam matematik dan peluang individu untuk pembangunannya.
  • Menggalakkan pemerolehan pengetahuan dan kemahiran fakta.
  • Tunjukkan kepentingan praktikal masalah dengan parameter dalam bidang penyelidikan gunaan.
  • Mengajar kaedah untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan piawai dan bukan piawai.
  • Untuk mendalami pengetahuan dalam matematik, menyediakan pembentukan minat yang mampan dalam subjek.
  • Mengenal pasti dan mengembangkan kebolehan matematik pelajar.
  • Menyediakan persediaan untuk memasuki universiti.
  • Menyediakan persediaan untuk aktiviti profesional yang memerlukan budaya matematik yang tinggi.
  • Mengadakan aktiviti penyelidikan dan projek yang menggalakkan pembangunan kemahiran intelek dan komunikasi.

Kaedah yang digunakan semasa kelas:

  • Kuliah - untuk menyampaikan bahan teori, disertai dengan perbualan dengan pelajar.
  • Seminar - untuk menyatukan bahan membincangkan teori.
  • Bengkel – untuk menyelesaikan masalah matematik.
  • Perbincangan – untuk memberikan hujah bagi penyelesaian anda.
  • Pelbagai bentuk aktiviti kumpulan dan individu.
  • Aktiviti penyelidikan, yang dianjurkan melalui: bekerja dengan bahan didaktik, penyediaan mesej, pertahanan abstrak dan karya kreatif.
  • Kuliah – pembentangan menggunakan komputer dan projektor.

Teknologi yang digunakan:

  • Sistem latihan kuliah-seminar.
  • Teknologi maklumat dan komunikasi.
  • Kaedah penyelidikan dalam pengajaran bertujuan untuk membangunkan kebolehan berfikir.
  • Pembelajaran berasaskan masalah, yang memberikan motivasi untuk penyelidikan dengan mengemukakan masalah, membincangkan pelbagai pilihan untuk masalah tersebut.
  • Teknologi kaedah aktiviti yang membantu mengembangkan minat kognitif pelajar.

Keperluan untuk pengetahuan pelajar.

Hasil daripada mengkaji pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan ketaksamaan dengan parameter, pelajar harus memperoleh kemahiran berikut:

  • Memahami konsep parameter dalam persamaan kuadratik dan ketaksamaan kuadratik;
  • Dapat menyelesaikan persamaan kuadratik dengan parameter.
  • Dapat menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan parameter.
  • Cari punca bagi fungsi kuadratik.
  • Bina graf bagi fungsi kuadratik.
  • Teroka trinomial kuadratik.
  • Gunakan kaedah rasional transformasi identiti.
  • Gunakan teknik heuristik yang paling biasa digunakan.
  • Dapat menggunakan pengetahuan yang diperoleh semasa bekerja pada komputer peribadi.

Bentuk kawalan.

  • Pengajaran - penilaian kendiri dan penilaian rakan seperjuangan.
  • Pembentangan projek pendidikan.
  • Menguji.
  • Penilaian – jadual.
  • Masalah kerja rumah dari koleksi Peperiksaan Negeri Bersepadu tahun lepas.
  • Ujian.

3. Metodologi untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan parameter dalam bentuk umum.

Jangan takut masalah dengan parameter. Pertama sekali, apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan parameter, anda perlu melakukan apa yang dilakukan semasa menyelesaikan sebarang persamaan dan ketaksamaan - mengurangkan persamaan atau ketaksamaan yang diberikan kepada bentuk yang lebih mudah, jika boleh: memfaktorkan ungkapan rasional, mengurangkannya, meletakkan faktor di luar kurungan, dsb. .d. Terdapat masalah yang boleh dibahagikan kepada dua kelas besar.

Kelas pertama termasuk contoh di mana ia perlu untuk menyelesaikan persamaan atau ketidaksamaan untuk semua nilai yang mungkin bagi parameter.

Kelas kedua termasuk contoh di mana ia adalah perlu untuk mencari bukan semua penyelesaian yang mungkin, tetapi hanya mereka yang memenuhi beberapa syarat tambahan. Kelas masalah seperti itu tidak habis-habis.

Cara yang paling mudah difahami untuk pelajar menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan mencari semua penyelesaian dahulu dan kemudian memilih penyelesaian yang memenuhi syarat tambahan.

Apabila menyelesaikan masalah dengan parameter, kadangkala mudah untuk membina graf dalam satah biasa (x, y), dan kadangkala lebih baik untuk mempertimbangkan graf dalam satah (x, a), dengan x ialah pembolehubah bebas dan "a" ialah parameter. Ini mungkin berlaku terutamanya dalam masalah di mana anda perlu membina graf asas yang biasa: garis lurus, parabola, bulatan, dsb. Di samping itu, lakaran graf kadangkala membantu untuk melihat dengan jelas "kemajuan" penyelesaian.

Apabila menyelesaikan persamaan f (x,a) = 0 dan ketaksamaan f (x,a) › 0, kita mesti ingat bahawa pertama sekali penyelesaian dipertimbangkan untuk nilai-nilai parameter di mana pekali pada tertinggi. kuasa x trinomial segi empat sama f (x ,a), dengan itu mengurangkan darjah. Persamaan kuadratik A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 pada A(a) = 0 bertukar menjadi linear jika B(a) ≠ 0, dan kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan linear adalah berbeza.

Mari kita ingat semula formula asas untuk bekerja dengan persamaan kuadratik.

Persamaan bentuk ah 2 + in + c = 0, dengan x  R tidak diketahui, a, b, c ialah ungkapan yang hanya bergantung pada parameter, dan a ≠ 0 dipanggil persamaan kuadratik, dan D = b 2 – 4ac dipanggil diskriminasi bagi trinomial kuadratik.

Jika D

Jika D > 0, maka persamaan mempunyai dua punca yang berbeza

x 1 = , x 2 = , dan kemudian ax 2 + in + c = a (x – x 1) (x – x 2).

Akar-akar ini dikaitkan melalui pekali persamaan oleh formula Vieta

Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca bertepatan x 1 = x 2 = , dan kemudian ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . Dalam kes ini, persamaan dikatakan mempunyai satu penyelesaian.

Apabila, i.e. = 2k, punca-punca persamaan kuadratik ditentukan oleh formula x 1,2 = ,

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik terkurang x 2 + px + q = 0

Formula yang digunakan ialah x 1,2 = - , serta formula Vieta

Contoh. Selesaikan persamaan:

Contoh 1. + =

Penyelesaian:

Untuk ≠ - 1, x ≠ 2 kita dapat x 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 dan punca

x 1 = - a - , x 2 = -a + , sedia ada di

A 2 + 2a – 4  0, i.e. di

Sekarang mari kita semak sama ada terdapat apa-apa yang sedemikian sama ada x 1 atau x 2 adalah sama dengan 2. Gantikan x = 2 ke dalam persamaan kuadratik, dan kita dapat a = - 8.

Akar kedua dalam kes ini adalah sama dengan(mengikut teorem Vieta) dan untuk a = - 8 adalah bersamaan dengan 14.

Jawapan: untuk a = - 8, satu-satunya penyelesaian ialah x = 14;

Jika a  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – dua punca x 1 dan x 2;

Jika a = - satu-satunya penyelesaian x =masing-masing;

Jika a  (- 4; 1), maka x   .

Kadangkala persamaan dengan sebutan pecahan dikurangkan kepada persamaan kuadratik. Pertimbangkan persamaan berikut.

Contoh 2. - =

Penyelesaian: Apabila a = 0 tidak masuk akal, nilai x mesti memenuhi syarat: x -1, x  -2. Mendarab semua sebutan persamaan dengan a (x + 1) (x +2) 0,

Kami mendapat x 2 – 2(a – 1)x + a 2 – 2a – 3 = 0, bersamaan dengan ini. Akarnya:

x 1 = a + 1, x 2 = - 3. Marilah kita memilih akar luar daripada akar ini, i.e. yang sama dengan – 1 dan – 2:

X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, tetapi dengan a = - 2 x 2 = - 5;

X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, tetapi dengan a = - 3 x 2 = - 6;

X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, tetapi dengan a = 2 x 1 = 3;

X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, tetapi dengan a = 1 x 1 = 2.

Jawapan: untuk ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;

Apabila a = - 2 x = - 5; apabila a = - 3 x = - 6.

4. Metodologi untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di bawah keadaan awal.

Syarat untuk persamaan kuadratik parametrik adalah berbeza-beza. Sebagai contoh, anda perlu mencari nilai parameter yang mana akarnya adalah: positif, negatif, mempunyai tanda yang berbeza, lebih besar atau kurang daripada nombor tertentu, dsb. Untuk menyelesaikannya, anda harus menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadratik 2 + dalam + c = 0.

Jika D > 0, a > 0, maka persamaan mempunyai dua punca nyata yang berbeza, tanda-tandanya untuk c > 0 adalah sama dan bertentangan dengan tanda pekali b, dan untuk c

Jika D = 0, a > 0, maka persamaan mempunyai punca nyata dan sama, tandanya bertentangan dengan tanda pekali b.

Jika D 0, maka persamaan itu tidak mempunyai punca sebenar.

Begitu juga, kita boleh mewujudkan sifat punca-punca persamaan kuadratik untuk a

  1. Jika dalam persamaan kuadratik kita menukar pekali a dan c, kita mendapat persamaan yang puncanya adalah songsang daripada punca yang diberikan.
  2. Jika dalam persamaan kuadratik kita menukar tanda pekali b, kita memperoleh persamaan yang punca-puncanya bertentangan dengan punca-punca yang diberikan.
  3. Jika dalam persamaan kuadratik pekali a dan c mempunyai tanda yang berbeza, maka ia mempunyai punca sebenar.
  4. Jika a > 0 dan D = 0, maka bahagian kiri persamaan kuadratik ialah segi empat sama lengkap, dan sebaliknya, jika sisi kiri persamaan ialah segi empat sama lengkap, maka a > 0 dan D = 0.
  5. Jika semua pekali persamaan adalah rasional dan diskriminasi menyatakan kuasa dua sempurna, maka punca-punca persamaan adalah rasional.
  6. Jika kita menganggap lokasi akar relatif kepada sifar, maka kita menggunakan teorem Vieta.

Pemilihan punca bagi trinomial kuadratik mengikut keadaan dan lokasi sifar bagi fungsi kuadratik pada garis nombor.

Biarkan f (x) = ax 2 + in + c, a  0, punca x 1 ˂ x 2,  ˂ .

Lokasi punca pada garis nombor.

Keadaan yang perlu dan mencukupi.

x 1, x 2

dan f ( ) > 0, D  0, x 0

x 1, x 2 > 

dan f ( ) > 0, D  0, x 0 > 

x 1 2

dan f ( )

1 ,x 2  .

dan f ( ) > 0, D  0, dan f ( ) > 0

0  .

1 2

dan f ( ) > 0, dan f ( )

x 1 2

dan f ( )  ) > 0

x 1 2

dan f ( )  )

Contoh 3. Tentukan pada apakah nilai persamaan

x 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0

  • tidak mempunyai akar:

syarat yang perlu dan mencukupi D

D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a

  • mempunyai akar:

D  0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1  0, a 

  • mempunyai satu akar:
  • mempunyai dua akar:

D > 0, i.e. a 

  • mempunyai akar positif:

2(a – 1) > 0   a  4

Jika soalannya ialah "mempunyai dua punca positif," maka sistem harus menggantikan D > 0;

  • mempunyai akar negatif:

2(a – 1)  

  • mempunyai akar tanda yang berbeza, i.e. satu positif dan satu lagi negatif:

  a ;


keadaan Tak payah pakai, x cukup 1 x 2

  • mempunyai salah satu akar sama dengan 0:

syarat mencukupi yang diperlukan ialah sebutan bebas persamaan adalah sama dengan sifar, i.e. 2a + 1 = 0, a = -1/2.

Tanda punca kedua ditentukan sama ada dengan menggantikan a = -1/2 ke dalam persamaan asal, atau, lebih mudah, dengan teorem Vieta x 1 + x 2 = 2 (a – 1), dan selepas menggantikan a = -1/2 kita dapat x 2 = - 3, iaitu untuk a = -1/2 dua punca: x 1 = 0, x 2 = - 3.

Contoh 4 . Pada apakah nilai parameter a melakukan persamaan

(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0 mempunyai penyelesaian unik yang memenuhi ketaksamaan x

Penyelesaian.

Diskriminasi 2 – (a – 2)(3 – 2a)

4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6

Sejak 49 – 144 = - 95 dan pekali pertama ialah 6 maka 6a 2 – 7a + 6 untuk semua x  R.

Kemudian x 1.2 = .

Mengikut keadaan masalah x2, maka kita mendapat ketaksamaan

Kami ada:

benar untuk semua a  R.

6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2

A 1.2 = 1/12 (7  17), dan 1 = 2, dan 2 = - 5/6.

Oleh itu -5/6

Jawapan: -

5. Parameter sebagai pembolehubah yang sama.

Dalam semua tugasan yang dianalisisparameter telah dianggap sebagai nombor tetap tetapi tidak diketahui. Sementara itu, dari sudut pandangan formal, parameter ialah pembolehubah, dan "sama" dengan yang lain yang terdapat dalam contoh. Sebagai contoh, dengan pandangan parameter bentuk f (x; a), fungsi ditakrifkan bukan dengan satu (seperti sebelumnya), tetapi dengan dua pembolehubah. Tafsiran sedemikian secara semula jadi membentuk jenis lain (atau lebih tepat, kaedah penyelesaian yang mentakrifkan jenis ini) masalah dengan parameter. Mari kita tunjukkan penyelesaian analitik jenis ini.

Contoh 5. Pada satah xy, nyatakan semua titik yang tidak dilalui oleh satu pun lengkung keluarga y = x 2 – 4рх + 2р 2 – 3, dengan p ialah parameter.

Penyelesaian: Jika (x 0;y 0 ) ialah titik di mana tiada satu pun lengkung keluarga tertentu dilalui, maka koordinat titik ini tidak memenuhi persamaan asal. Akibatnya, tugas itu dikurangkan kepada mencari hubungan antara x dan y, di mana persamaan yang diberikan dalam keadaan tidak akan mempunyai penyelesaian. Adalah mudah untuk mendapatkan pergantungan yang dikehendaki dengan tidak memfokuskan pada pembolehubah x dan y, tetapi pada parameter p. Dalam kes ini, idea yang produktif timbul: pertimbangkan persamaan ini sebagai kuadratik berkenaan dengan p. Kami ada

2р 2 – 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. Diskriminasi= 8x 2 + 8y + 24 mestilah negatif. Dari sini kita dapat y ˂ - x 2 – 3, oleh itu, set yang diperlukan ialah semua titik satah koordinat yang terletak “di bawah” parabola y = - x 2 – 3.

Jawapan: y 2 – 3

6. Metodologi untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan parameter

Secara umum.

Ketaksamaan bentuk kuadratik (ketat dan tidak ketat).

Nilai yang boleh diterima ialah nilai parameter yang a, b, c adalah sah. Adalah mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik sama ada secara analitik atau grafik. Oleh kerana graf fungsi kuadratik ialah parabola, maka untuk a > 0 cabang parabola diarahkan ke atas, untuk a

Kedudukan parabola yang berbeza f (x) = ax 2 + dalam + s, a  0 untuk a > 0 ditunjukkan dalam Rajah 1

A) b) c)

a) Jika f (x) > 0 dan D  R;

b) Jika f (x) > 0 dan D = 0, maka x ;

c) Jika f (x) > 0 dan D > 0, maka x (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Kedudukan parabola dianggap sama untuk a

Sebagai contoh, salah satu daripada tiga kes apabila

untuk a 0 dan f (x) > 0 x  (x 1; x 2);

untuk a 0 dan f (x)  (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk menyelesaikan ketaksamaan.

Contoh 6. Selesaikan ketaksamaan x 2 + 2x + a > 0.

Biarkan D ialah diskriminasi bagi trinomial x 2 + 2x + a > 0. Untuk D = 0, untuk a = 1, ketaksamaan dalam bentuk:

(x + 1) 2 > 0

Ia adalah benar untuk sebarang nilai sebenar x kecuali x = - 1.

Untuk D > 0, i.e. pada x, trinomial x 2 + 2x + a mempunyai dua punca: - 1 – Dan

1 + dan penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

Ketaksamaan ini mudah diselesaikan secara grafik. Untuk melakukan ini, biarkan kami mewakilinya dalam bentuk

X 2 + 2x > - a

dan bina graf bagi fungsi y = x 2 + 2x

Absis bagi titik-titik persilangan graf ini dengan garis lurus y = - a ialah punca-punca persamaan x 2 + 2x = - a.

Jawapan:

untuk –a > - 1, i.e. pada a, x  (-  ; x 1 )  (x 2 ;+  );

pada – a = - 1, i.e. untuk a = 1, x ialah sebarang nombor nyata kecuali - 1;

pada – a , iaitu, untuk a > 1, x ialah sebarang nombor nyata.

Contoh 7 . Selesaikan ketaksamaan cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)

Apabila c = 0 ia mengambil bentuk: 2x + 2penyelesaiannya ialah x

Mari kita perkenalkan tatatanda f (x) = cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2) di mana c ≠ 0.

Dalam kes ini ketaksamaan f(x)

Biarkan D ialah pendiskriminasi bagi f(x). 0.25 D = 1 – 4s.

Jika D > 0, i.e. jika dengan> 0.25, maka tanda f (x) bertepatan dengan tanda c untuk sebarang nilai sebenar x, i.e. f(x)> 0 untuk sebarang x  R, yang bermaksud untuk c > 0.25 ketaksamaan f(x)

Jika D = 0, i.e. c = 0.25, maka f (x) = (0.25 x + 1.5) 2, iaitu f (x)  0 untuk sebarang

X  R. Oleh itu, untuk c = 0.25 ketaksamaan f (x)

Pertimbangkan kes D  0). f (x) = 0 untuk dua nilai sebenar x:

x 1 = (c – 1 – ) dan x 2 = (c – 1 + ).

Dua kes mungkin timbul di sini:

Selesaikan ketaksamaan f(x)

f(x) bertepatan dengan tanda c. Untuk menjawab soalan ini, ambil perhatian bahawa - , iaitu s – 1 – ˂ s – 1 + , tetapi sejak s (s – 1 – ) (s – 1 + ) dan oleh itu penyelesaian kepada ketidaksamaan ialah:

(-  ; (s – 1 – ))  ( (s – 1 + ); +  ).

Sekarang, untuk menyelesaikan ketidaksamaan, sudah cukup untuk menunjukkan nilai-nilai c yang mana tanda f (x) bertentangan dengan tanda c. Sejak pada 0 1 2, kemudian x  (x 1; x 2).

Jawapan: apabila c = 0 x  R;

Dengan  (-  ; x 2 )  (x 1 ; +  );

Pada 0  (x 1; x 2);

Untuk c  0.25 tiada penyelesaian.

Pandangan parameter sebagai pembolehubah yang sama ditunjukkan dalam kaedah grafik untuk menyelesaikan dan ketaksamaan kuadratik. Malah, oleh kerana parameter adalah "hak yang sama" kepada pembolehubah, adalah wajar bahawa ia boleh "diperuntukkan" kepada paksi koordinatnya sendiri. Oleh itu, satah koordinat (x; a) timbul. Butiran kecil seperti meninggalkan pilihan tradisional huruf x dan y untuk menandakan paksi menentukan salah satu kaedah paling berkesan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter.

Ia adalah mudah apabila masalah melibatkan satu parameter a dan satu pembolehubah x. Proses penyelesaian itu sendiri kelihatan secara skematik seperti ini. Mula-mula, imej grafik dibina, kemudian, memotong graf yang terhasil dengan garis lurus berserenjang dengan paksi parametrik, kami "mengeluarkan" maklumat yang diperlukan.

Penolakan pilihan tradisional huruf x dan y untuk menetapkan paksi menentukan salah satu kaedah paling berkesan untuk menyelesaikan masalah dengan parameter - "kaedah domain"

  1. Metodologi untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik di bawah keadaan awal.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian analisis kepada ketaksamaan kuadratik dengan parameter, yang keputusannya dipertimbangkan pada garis nombor.

Contoh 8.

Cari semua nilai x, bagi setiap nilai ketaksamaan

(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0

berpuas hati untuk sebarang nilai kepunyaan selang [-3;0].

Penyelesaian. Mari kita ubah bahagian kiri ketidaksamaan ini seperti berikut:

(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =

Ax (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(ax- 2a - 3).

Ketaksamaan ini akan berbentuk: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.

Jika a = 0, kita dapat - Zx ≥ 0 x ≤ 0.

Jika a ≠ 0, maka -3 a

Kerana A 0, maka penyelesaian kepada ketaksamaan ini ialah selang paksi berangka yang terletak di antara punca-punca persamaan yang sepadan dengan ketaksamaan.

Mari kita ketahui kedudukan relatif nombor tersebut a dan , dengan mengambil kira keadaan - 3 ≤ a

3 ≤a

A = -1.

Marilah kita membentangkan dalam semua kes yang dipertimbangkan penyelesaian kepada ketidaksamaan ini bergantung pada nilai parameter:

Kami mendapati bahawa hanya x = -1 adalah penyelesaian kepada ketaksamaan ini untuk sebarang nilai parameter a.

Jawapan: -1

  1. Kesimpulan.

Mengapa saya memilih projek mengenai topik "Pembangunan cadangan metodologi untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan ketaksamaan dengan parameter"? Oleh kerana apabila menyelesaikan sebarang persamaan trigonometri, eksponen, logaritma, ketaksamaan, sistem, kita selalunya mempertimbangkan kadang-kadang persamaan dan ketaksamaan linear dan kuadratik. Apabila menyelesaikan masalah kompleks dengan parameter, kebanyakan tugas dikurangkan, menggunakan transformasi yang setara, kepada pilihan penyelesaian jenis: a (x – a) (x – c) > 0 (

Kami menyemak asas teori untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan ketaksamaan dengan parameter. Kami mengingati formula dan transformasi yang diperlukan, memeriksa susunan graf yang berbeza bagi fungsi kuadratik bergantung pada nilai diskriminasi, tanda pekali pendahulu, lokasi punca dan bucu parabola. Kami mengenal pasti skema untuk menyelesaikan dan memilih keputusan dan menyusun jadual.

Projek ini menunjukkan kaedah analisis dan grafik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan ketaksamaan. Pelajar di sekolah vokasional memerlukan persepsi visual terhadap bahan untuk asimilasi bahan yang lebih baik. Ia ditunjukkan bagaimana pembolehubah x boleh diubah dan parameter diterima sebagai nilai yang sama.

Untuk pemahaman yang jelas tentang topik ini, penyelesaian kepada 8 masalah dengan parameter dipertimbangkan, 1 – 2 untuk setiap bahagian. Dalam contoh No. 1, bilangan penyelesaian untuk nilai parameter yang berbeza dipertimbangkan; dalam contoh No. 3, penyelesaian persamaan kuadratik dianalisis di bawah pelbagai keadaan awal. Ilustrasi grafik telah dibuat untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Dalam contoh No. 5, kaedah menggantikan parameter sebagai nilai yang sama digunakan. Projek ini termasuk pertimbangan contoh No. 8 daripada tugasan yang disertakan dalam bahagian C untuk persediaan intensif untuk lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Untuk latihan berkualiti tinggi pelajar dalam menyelesaikan masalah dengan parameter, adalah disyorkan untuk menggunakan sepenuhnya teknologi multimedia, iaitu: menggunakan pembentangan untuk kuliah, buku teks dan buku elektronik, dan perkembangan anda sendiri dari perpustakaan media. Pelajaran binari dalam matematik + sains komputer sangat berkesan. Internet adalah pembantu yang sangat diperlukan untuk guru dan pelajar. Pembentangan memerlukan objek yang diimport daripada sumber pendidikan sedia ada. Yang paling mudah dan boleh diterima untuk bekerja ialah pusat "Menggunakan Microsoft Office di Sekolah".

Pengembangan cadangan metodologi mengenai topik ini akan memudahkan kerja guru muda yang datang untuk bekerja di sekolah, akan menambah portfolio guru, akan berfungsi sebagai model untuk mata pelajaran khas, dan penyelesaian sampel akan membantu pelajar menghadapi tugas yang kompleks.

  1. kesusasteraan.

1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Masalah dengan parameter. "Ilexa", "Gymnasium", Moscow - Kharkov, 2002.

2. Balayan E.N. Koleksi masalah dalam matematik untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersatu dan Olimpik. 9-11 darjah. "Phoenix", Rostov-on-Don, 2010.

3. Yastrebinetsky G.A. Masalah dengan parameter. M., "Pencerahan", 1986.

4. Kolesnikova S.I. Matematik. Menyelesaikan masalah kompleks Peperiksaan Negeri Bersatu. M. "IRIS - akhbar", 2005.

5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. Matematik. Panduan untuk pemohon ke universiti. Pusat latihan "Orientir" MSTU dinamakan selepas. N.E. Bauman, M., 2004.

6. Skanavi M.I. Koleksi masalah dalam matematik bagi mereka yang memasuki universiti: Dalam 2 buku. Buku 1, M., 2009.



Jenis pekerjaan: 18

keadaan

Untuk apakah nilai parameter a melakukan ketaksamaan

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 adakah berpuas hati untuk semua nilai x?

Tunjukkan penyelesaian

Penyelesaian

Ketaksamaan ini bersamaan dengan ketaksamaan berganda 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Biarkan \sin x=t , maka kita mendapat ketaksamaan:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , yang mesti dilaksanakan untuk semua nilai -1 \leq t \leq 1 . Jika a=0, maka ketaksamaan (*) berlaku untuk sebarang t\in [-1;1] .

Biarkan a \neq 0 . Fungsi f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t bertambah pada selang [-1;1] , kerana terbitan f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 untuk semua nilai t \in \mathbb(R) dan \neq 0 (diskriminan D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Ketaksamaan (*) akan dipenuhi untuk t \in [-1;1] di bawah syarat

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \mulakan(kes) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \mulakan(kes) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

Jadi, syarat itu dipenuhi apabila -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Jawab

\left [ -\frac(2)(5); 0\kanan ]

Sumber: “Matematik. Persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu 2016. Tahap profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Jenis pekerjaan: 18
Topik: Ketaksamaan dengan parameter

keadaan

Cari semua nilai parameter a, bagi setiap daripadanya ketaksamaan

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

mempunyai penyelesaian yang unik.

Tunjukkan penyelesaian

Penyelesaian

Ketaksamaan adalah bersamaan dengan satu set sistem ketaksamaan

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\kanan.

Dalam sistem koordinat Oxa, kita akan membina graf fungsi a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Set yang terhasil berpuas hati dengan titik-titik yang disertakan di antara graf fungsi a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x pada selang x\in (kawasan berlorek).

Daripada graf kita tentukan: ketaksamaan asal mempunyai penyelesaian unik untuk a=-4 dan a=5, kerana dalam kawasan berlorek akan terdapat satu titik dengan ordinat sama dengan -4 dan sama dengan 5.

penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian penyelesaian hampir semua ketidaksamaan yang diberikan dalam talian. Matematik ketidaksamaan dalam talian untuk menyelesaikan matematik. Cari cepat penyelesaian ketidaksamaan dalam mod dalam talian. Laman web www.site membolehkan anda mencari penyelesaian hampir semua yang diberikan algebra, trigonometri atau ketidaksamaan transendental dalam talian. Apabila mempelajari hampir mana-mana cabang matematik pada peringkat yang berbeza, anda perlu membuat keputusan ketidaksamaan dalam talian. Untuk mendapatkan jawapan dengan segera, dan yang paling penting jawapan yang tepat, anda memerlukan sumber yang membolehkan anda melakukan ini. Terima kasih kepada laman web www.site menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian akan mengambil masa beberapa minit. Kelebihan utama www.site apabila menyelesaikan matematik ketidaksamaan dalam talian- ini adalah kelajuan dan ketepatan respons yang diberikan. Laman web ini mampu menyelesaikan sebarang ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, ketidaksamaan transendental dalam talian, dan juga ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui dalam mod dalam talian. Ketaksamaan berfungsi sebagai alat matematik yang berkuasa penyelesaian masalah praktikal. Dengan bantuan ketaksamaan matematik adalah mungkin untuk menyatakan fakta dan hubungan yang mungkin kelihatan mengelirukan dan kompleks pada pandangan pertama. Kuantiti tidak diketahui ketidaksamaan boleh didapati dengan merumuskan masalah dalam matematik bahasa dalam bentuk ketidaksamaan Dan memutuskan menerima tugas dalam mod dalam talian di laman web www.site. mana-mana ketaksamaan algebra, ketaksamaan trigonometri atau ketidaksamaan mengandungi transendental ciri yang anda boleh dengan mudah memutuskan dalam talian dan dapatkan jawapan yang tepat. Apabila belajar sains semula jadi, anda pasti menghadapi keperluan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Dalam kes ini, jawapan mestilah tepat dan mesti diperolehi dengan segera dalam mod dalam talian. Oleh itu untuk menyelesaikan ketaksamaan matematik dalam talian kami mengesyorkan tapak www.site, yang akan menjadi kalkulator yang sangat diperlukan untuk anda menyelesaikan ketaksamaan algebra dalam talian, ketaksamaan trigonometri dalam talian, dan juga ketidaksamaan transendental dalam talian atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui. Untuk masalah praktikal mencari penyelesaian dalam talian kepada pelbagai ketaksamaan matematik sumber www.. Penyelesaian ketidaksamaan dalam talian sendiri, adalah berguna untuk menyemak jawapan yang diterima menggunakan penyelesaian ketidaksamaan dalam talian di laman web www.site. Anda perlu menulis ketidaksamaan dengan betul dan segera dapatkan penyelesaian dalam talian, selepas itu semua yang tinggal ialah membandingkan jawapan dengan penyelesaian anda kepada ketaksamaan. Menyemak jawapan akan mengambil masa tidak lebih daripada satu minit, sudah memadai menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dan bandingkan jawapan. Ini akan membantu anda mengelakkan kesilapan dalam keputusan dan betulkan jawapan dalam masa menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian jadilah ia algebra, trigonometri, transendental atau ketidaksamaan dengan parameter yang tidak diketahui.

Permohonan

Menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian di Math24.biz untuk pelajar dan pelajar sekolah untuk menyatukan bahan yang telah mereka bincangkan. Dan melatih kemahiran praktikal anda. Ketidaksamaan dalam matematik adalah pernyataan tentang saiz atau susunan relatif dua objek (satu objek lebih kecil atau tidak lebih besar daripada yang lain), atau dua objek tidak sama (penafian kesamaan). Dalam matematik asas, ketaksamaan berangka dikaji dalam algebra umum, analisis, dan geometri, ketaksamaan antara objek yang bersifat bukan berangka juga dipertimbangkan. Untuk menyelesaikan ketidaksamaan, kedua-dua bahagiannya mesti ditentukan dengan salah satu tanda ketidaksamaan di antara mereka. Ketaksamaan yang ketat membayangkan ketidaksamaan antara dua objek. Tidak seperti ketidaksamaan yang ketat, ketidaksamaan tidak ketat membenarkan kesamaan objek yang termasuk di dalamnya. Ketaksamaan linear ialah ungkapan yang paling mudah untuk dimulakan, dan teknik paling mudah digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut. Kesilapan utama pelajar semasa menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian ialah mereka tidak membezakan antara ciri ketidaksamaan yang ketat dan tidak ketat, yang menentukan sama ada nilai sempadan akan dimasukkan dalam jawapan akhir atau tidak. Beberapa ketaksamaan yang saling berkaitan oleh beberapa yang tidak diketahui dipanggil sistem ketaksamaan. Penyelesaian kepada ketaksamaan daripada sistem ialah kawasan tertentu pada satah, atau angka tiga dimensi dalam ruang tiga dimensi. Bersama-sama dengan ini, mereka diabstraksikan oleh ruang n-dimensi, tetapi apabila menyelesaikan ketidaksamaan sedemikian sering mustahil untuk dilakukan tanpa komputer khas. Untuk setiap ketaksamaan secara berasingan, anda perlu mencari nilai yang tidak diketahui di sempadan kawasan penyelesaian. Set semua penyelesaian kepada ketidaksamaan adalah jawapannya. Penggantian satu ketaksamaan dengan ketaksamaan lain yang setara dengannya dipanggil peralihan setara dari satu ketaksamaan kepada yang lain. Pendekatan yang sama ditemui dalam disiplin lain kerana ia membantu membawa ungkapan kepada bentuk standard. Anda akan menghargai semua faedah menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian di laman web kami. Ketaksamaan ialah ungkapan yang mengandungi salah satu tanda =>. Pada asasnya ini adalah ungkapan logik. Ia boleh sama ada benar atau salah - bergantung pada perkara di sebelah kanan dan kiri dalam ketidaksamaan ini. Penjelasan tentang maksud ketidaksamaan dan teknik asas untuk menyelesaikan ketidaksamaan dipelajari dalam pelbagai kursus, serta di sekolah. Menyelesaikan sebarang ketaksamaan dalam talian - ketaksamaan dengan ketaksamaan modulus, algebra, trigonometri, transendental dalam talian. Ketaksamaan yang sama, seperti ketidaksamaan yang ketat dan tidak ketat, memudahkan proses untuk mencapai keputusan akhir dan merupakan alat bantu untuk menyelesaikan masalah. Penyelesaian kepada sebarang ketaksamaan dan sistem ketaksamaan, sama ada ketaksamaan logaritma, eksponen, trigonometri atau kuadratik, dipastikan menggunakan pendekatan yang betul pada mulanya untuk proses penting ini. Menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian di tapak web sentiasa tersedia untuk semua pengguna dan percuma. Penyelesaian kepada ketidaksamaan dalam satu pembolehubah ialah nilai pembolehubah yang menukarnya menjadi ungkapan berangka yang betul. Persamaan dan ketaksamaan dengan modulus: modulus nombor nyata ialah nilai mutlak nombor itu. Kaedah standard untuk menyelesaikan ketaksamaan ini adalah untuk menaikkan kedua-dua belah ketidaksamaan kepada kuasa yang dikehendaki. Ketaksamaan ialah ungkapan yang menunjukkan perbandingan nombor, jadi menyelesaikan ketaksamaan dengan betul memastikan ketepatan perbandingan tersebut. Mereka boleh menjadi ketat (lebih besar daripada, kurang daripada) dan tidak ketat (lebih besar daripada atau sama dengan, kurang daripada atau sama dengan). Untuk menyelesaikan ketidaksamaan bermakna mencari semua nilai pembolehubah yang, apabila digantikan dengan ungkapan asal, mengubahnya menjadi perwakilan berangka yang betul Konsep ketaksamaan, intipati dan cirinya, klasifikasi dan varieti - inilah yang menentukan spesifik bahagian matematik ini. Sifat asas ketaksamaan berangka, yang boleh digunakan untuk semua objek kelas ini, mesti dipelajari oleh pelajar pada peringkat awal membiasakan diri dengan topik ini. Ketaksamaan dan rentang garis nombor sangat berkait rapat apabila ia datang untuk menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian. Penamaan grafik penyelesaian kepada ketidaksamaan jelas menunjukkan intipati ungkapan sedemikian; ia menjadi jelas apa yang harus diusahakan apabila menyelesaikan sebarang masalah. Konsep ketaksamaan melibatkan membandingkan dua atau lebih objek. Ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah diselesaikan sebagai persamaan yang serupa, selepas itu pemilihan selang dibuat yang akan diambil sebagai jawapan. Anda boleh dengan mudah dan segera menyelesaikan sebarang ketaksamaan algebra, ketaksamaan trigonometri atau ketaksamaan yang mengandungi fungsi transendental menggunakan perkhidmatan percuma kami. Nombor ialah penyelesaian kepada ketaksamaan jika, apabila menggantikan nombor ini dan bukannya pembolehubah, kita memperoleh ungkapan yang betul, iaitu, tanda ketaksamaan menunjukkan konsep sebenar.. Menyelesaikan ketaksamaan dalam talian di tapak setiap hari untuk pelajar belajar sepenuhnya bahan yang diliputi dan mengukuhkan kemahiran praktikal mereka. Selalunya, topik ketidaksamaan dalam talian dalam matematik dipelajari oleh pelajar sekolah selepas melengkapkan bahagian persamaan. Seperti yang dijangkakan, semua prinsip penyelesaian digunakan untuk menentukan selang penyelesaian. Mencari jawapan dalam bentuk analisis boleh menjadi lebih sukar daripada melakukan perkara yang sama dalam bentuk berangka. Walau bagaimanapun, pendekatan ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan lengkap tentang integriti penyelesaian kepada ketidaksamaan. Kesukaran mungkin timbul pada peringkat membina garis absis dan memplot titik penyelesaian untuk persamaan yang serupa. Selepas ini, menyelesaikan ketaksamaan dikurangkan untuk menentukan tanda fungsi pada setiap selang yang dikenal pasti untuk menentukan peningkatan atau penurunan fungsi. Untuk melakukan ini, anda perlu menggantikan nilai yang terkandung dalam setiap selang secara bergilir-gilir ke dalam fungsi asal dan semak nilainya untuk positif atau negatif. Ini adalah intipati mencari semua penyelesaian, termasuk selang penyelesaian. Apabila anda menyelesaikan sendiri ketidaksamaan dan melihat semua selang dengan penyelesaian, anda akan memahami bagaimana pendekatan ini boleh digunakan untuk tindakan selanjutnya. Laman web ini menjemput anda untuk menyemak semula keputusan pengiraan anda menggunakan kalkulator moden yang berkuasa pada halaman ini. Anda boleh mengenal pasti ketidaktepatan dan kekurangan dalam pengiraan anda dengan mudah menggunakan penyelesai ketidaksamaan yang unik. Pelajar sering tertanya-tanya di mana untuk mencari sumber yang berguna? Terima kasih kepada pendekatan inovatif kepada keupayaan untuk menentukan keperluan jurutera, kalkulator dicipta berdasarkan pelayan pengkomputeran yang berkuasa hanya menggunakan teknologi baharu. Pada asasnya, menyelesaikan ketaksamaan dalam talian melibatkan penyelesaian persamaan dan mengira semua punca yang mungkin. Penyelesaian yang terhasil ditandakan pada baris, dan kemudian operasi standard dilakukan untuk menentukan nilai fungsi pada setiap selang. Tetapi apa yang perlu dilakukan jika akar persamaan menjadi rumit, bagaimana dalam kes ini anda boleh menyelesaikan ketidaksamaan dalam bentuk penuh, yang akan memenuhi semua peraturan untuk menulis hasilnya? Jawapan untuk ini dan banyak soalan lain boleh dijawab dengan mudah oleh laman web perkhidmatan kami, yang mana tiada yang mustahil dalam menyelesaikan masalah matematik dalam talian. Memihak kepada perkara di atas, kami menambah perkara berikut: sesiapa yang serius terlibat dalam mempelajari disiplin seperti matematik wajib mempelajari topik ketidaksamaan. Terdapat pelbagai jenis ketidaksamaan, dan menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian kadangkala tidak mudah dilakukan, kerana anda perlu mengetahui prinsip pendekatan untuk setiap satu daripadanya. Ini adalah asas kejayaan dan kestabilan. Sebagai contoh, kita boleh mempertimbangkan jenis seperti ketaksamaan logaritma atau ketaksamaan transendental. Ini secara amnya merupakan jenis tugasan khas yang kompleks pada pandangan pertama, untuk pelajar, terutamanya untuk pelajar sekolah. Guru institut menumpukan banyak masa untuk melatih pelatih untuk mencapai kemahiran profesional dalam kerja mereka. Kami memasukkan ketaksamaan trigonometri antara jenis yang sama dan menunjukkan pendekatan umum untuk menyelesaikan banyak contoh praktikal daripada masalah yang dikemukakan. Dalam sesetengah kes, anda perlu terlebih dahulu mengurangkan segala-galanya kepada persamaan, memudahkannya, menguraikannya kepada faktor yang berbeza, ringkasnya, membawanya ke bentuk yang jelas sepenuhnya. Pada setiap masa, manusia telah berusaha untuk mencari pendekatan yang optimum dalam apa jua usaha. Terima kasih kepada teknologi moden, manusia telah membuat satu kejayaan besar dalam pembangunan masa depannya. Inovasi mencurah-curah ke dalam kehidupan kita semakin kerap, hari demi hari. Asas teknologi komputer, sudah tentu, matematik dengan prinsipnya sendiri dan pendekatan yang ketat terhadap perniagaan. laman web ini ialah sumber matematik umum yang merangkumi kalkulator ketidaksamaan yang dibangunkan dan banyak perkhidmatan berguna lain. Gunakan laman web kami dan anda akan mempunyai keyakinan terhadap ketepatan masalah yang diselesaikan. Dari teori diketahui bahawa objek yang bersifat bukan berangka juga dikaji menggunakan ketaksamaan dalam talian, cuma pendekatan ini merupakan cara khas untuk mengkaji bahagian ini dalam algebra, geometri dan bidang matematik yang lain. Ketaksamaan boleh diselesaikan dengan cara yang berbeza; pengesahan akhir penyelesaian kekal tidak berubah, dan ini sebaiknya dilakukan dengan penggantian terus nilai ke dalam ketidaksamaan itu sendiri. Dalam banyak kes, jawapannya jelas dan mudah untuk diperiksa secara mental. Katakan kita diminta untuk menyelesaikan ketaksamaan pecahan di mana pembolehubah yang dikehendaki hadir dalam penyebut bagi ungkapan pecahan. Kemudian menyelesaikan ketaksamaan akan dikurangkan kepada membawa semua sebutan kepada penyebut biasa, setelah terlebih dahulu mengalihkan segala-galanya ke bahagian kiri dan kanan ketaksamaan. Seterusnya, anda perlu menyelesaikan persamaan homogen yang diperolehi dalam penyebut pecahan. Akar berangka ini akan menjadi titik yang tidak termasuk dalam selang penyelesaian umum ketaksamaan, atau ia juga dipanggil titik tertusuk di mana fungsi pergi ke infiniti, iaitu, fungsi tidak ditakrifkan, tetapi anda hanya boleh mendapatkan hadnya nilai pada titik tertentu. Setelah menyelesaikan persamaan yang diperoleh dalam pengangka, kami memplot semua titik pada paksi nombor. Mari kita lorekkan titik di mana pengangka pecahan bertukar kepada sifar. Sehubungan itu, kami membiarkan semua titik lain kosong atau tertusuk. Mari cari tanda pecahan pada setiap selang dan kemudian tulis jawapan akhir. Sekiranya terdapat titik berlorek pada sempadan selang, maka kami memasukkan nilai-nilai ini dalam penyelesaian. Sekiranya terdapat titik tertusuk pada sempadan selang, kami tidak memasukkan nilai ini dalam penyelesaian. Selepas anda menyelesaikan ketidaksamaan, anda perlu menyemak keputusan anda. Anda boleh melakukan ini secara manual, gantikan setiap nilai daripada selang respons satu demi satu ke dalam ungkapan awal dan kenal pasti ralat. Tapak ini dengan mudah akan memberikan anda semua penyelesaian kepada ketidaksamaan, dan anda akan segera membandingkan jawapan yang anda terima dengan kalkulator. Jika, bagaimanapun, ralat berlaku, maka menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian pada sumber kami akan sangat berguna kepada anda. Kami mengesyorkan agar semua pelajar mula-mula mula tidak menyelesaikan ketidaksamaan secara langsung, tetapi mula-mula dapatkan hasilnya di laman web, kerana pada masa hadapan akan lebih mudah untuk membuat pengiraan yang betul sendiri. Dalam masalah perkataan, penyelesaiannya hampir selalu datang kepada menyusun sistem ketidaksamaan dengan beberapa perkara yang tidak diketahui. Sumber kami akan membantu anda menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian dalam masa beberapa saat. Dalam kes ini, penyelesaian akan dihasilkan oleh program pengkomputeran yang berkuasa dengan ketepatan yang tinggi dan tanpa sebarang ralat dalam jawapan akhir. Oleh itu, anda boleh menjimatkan sejumlah besar contoh penyelesaian masa dengan kalkulator ini. Dalam beberapa kes, pelajar sekolah mengalami kesukaran apabila mereka menghadapi ketaksamaan logaritma dalam amalan atau dalam kerja makmal, dan lebih teruk lagi apabila mereka melihat ketaksamaan trigonometri dengan ungkapan pecahan kompleks dengan sinus, kosinus, atau malah fungsi trigonometri songsang. Apa sahaja yang boleh dikatakan, ia akan menjadi sangat sukar untuk diatasi tanpa bantuan kalkulator ketidaksamaan dan ralat mungkin berlaku pada mana-mana peringkat menyelesaikan masalah. Gunakan sumber tapak secara percuma sepenuhnya, ia tersedia untuk setiap pengguna setiap hari. Adalah idea yang sangat baik untuk mula menggunakan perkhidmatan pembantu kami, kerana terdapat banyak analog, tetapi terdapat hanya beberapa perkhidmatan yang benar-benar berkualiti tinggi. Kami menjamin ketepatan pengiraan apabila mencari jawapan mengambil masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan ialah menuliskan ketidaksamaan dalam talian, dan kami, seterusnya, akan segera memberikan anda hasil yang tepat untuk menyelesaikan ketidaksamaan itu. Mencari sumber sedemikian mungkin tidak berguna, kerana tidak mungkin anda akan menemui perkhidmatan berkualiti tinggi yang sama seperti perkhidmatan kami. Anda boleh lakukan tanpa teori tentang menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian, tetapi anda tidak boleh melakukannya tanpa kalkulator berkualiti tinggi dan pantas. Kami doakan anda berjaya dalam pelajaran! Benar-benar memilih penyelesaian optimum untuk ketidaksamaan dalam talian selalunya melibatkan pendekatan logik kepada pembolehubah rawak. Jika kita mengabaikan sisihan kecil medan tertutup, maka vektor nilai peningkatan adalah berkadar dengan nilai terkecil dalam selang garis ordinat menurun. Invarian adalah berkadar dengan dua kali fungsi yang dipetakan bersama-sama dengan vektor bukan sifar yang keluar. Jawapan terbaik sentiasa mengandungi ketepatan pengiraan. Penyelesaian kami kepada ketaksamaan akan mengambil bentuk fungsi homogen bagi berturut-turut konjugasi subset berangka arah utama. Untuk selang pertama, kami akan mengambil tepat nilai terburuk dalam-ketepatan perwakilan kami bagi pembolehubah. Mari kita hitung ungkapan sebelumnya untuk sisihan maksimum. Kami akan menggunakan perkhidmatan mengikut budi bicara pilihan yang dicadangkan seperti yang diperlukan. Sama ada penyelesaian kepada ketidaksamaan akan ditemui dalam talian menggunakan kalkulator yang baik dalam kelasnya adalah soalan retorik, sudah tentu, pelajar hanya akan mendapat manfaat daripada alat sedemikian dan membawa kejayaan besar dalam matematik. Marilah kita mengenakan sekatan pada kawasan dengan set, yang akan kita kurangkan kepada unsur-unsur dengan persepsi impuls voltan. Nilai fizikal ekstrema sedemikian secara matematik menggambarkan peningkatan dan penurunan fungsi berterusan sekeping. Sepanjang perjalanan, saintis telah menemui bukti kewujudan unsur-unsur pada tahap kajian yang berbeza. Mari kita susun semua subset berturut-turut bagi satu ruang kompleks dalam satu baris dengan objek seperti bola, kubus atau silinder. Daripada keputusan kami, kami boleh membuat kesimpulan yang tidak jelas, dan apabila anda menyelesaikan ketidaksamaan, output pasti akan menjelaskan andaian matematik yang dinyatakan mengenai penyepaduan kaedah dalam amalan. Dalam keadaan semasa, syarat yang diperlukan juga akan menjadi syarat yang mencukupi. Kriteria ketidakpastian sering menimbulkan perselisihan faham dalam kalangan pelajar kerana data yang tidak boleh dipercayai. Guru universiti, serta guru sekolah, harus bertanggungjawab atas peninggalan ini, kerana pada peringkat awal pendidikan ia juga perlu mengambil kira perkara ini. Daripada kesimpulan di atas, pada pendapat orang yang berpengalaman, kita boleh menyimpulkan bahawa menyelesaikan ketidaksamaan dalam talian adalah tugas yang sangat sukar apabila memasuki ketidaksamaan jenis data yang berbeza yang tidak diketahui. Ini dinyatakan pada persidangan saintifik di daerah barat, di mana pelbagai justifikasi telah dikemukakan mengenai penemuan saintifik dalam bidang matematik dan fizik, serta analisis molekul sistem yang dibina secara biologi. Dalam mencari penyelesaian yang optimum, secara mutlak semua ketaksamaan logaritma adalah bernilai saintifik untuk semua manusia. Mari kita periksa pendekatan ini untuk kesimpulan logik mengenai beberapa percanggahan pada tahap tertinggi konsep tentang objek sedia ada. Logik menentukan sesuatu yang berbeza daripada apa yang kelihatan pada pandangan pertama kepada pelajar yang tidak berpengalaman. Disebabkan kemunculan analogi berskala besar, adalah wajar untuk menyamakan hubungan dengan perbezaan antara objek kawasan yang dikaji dahulu, dan kemudian menunjukkan secara praktikal kehadiran hasil analisis biasa. Menyelesaikan ketidaksamaan adalah bergantung sepenuhnya pada aplikasi teori dan adalah penting bagi setiap orang untuk mempelajari cabang matematik ini, yang diperlukan untuk penyelidikan lanjut. Walau bagaimanapun, apabila menyelesaikan ketaksamaan, anda perlu mencari semua punca persamaan yang disusun, dan hanya kemudian plot semua titik pada paksi ordinat. Beberapa mata akan tertusuk, dan selebihnya akan dimasukkan dalam selang waktu dengan penyelesaian umum. Mari kita mula mempelajari bahagian matematik dengan asas-asas disiplin yang paling penting dalam kurikulum sekolah. Jika ketaksamaan trigonometri adalah sebahagian daripada masalah perkataan, maka menggunakan sumber untuk mengira jawapan adalah perlu. Masukkan bahagian kiri dan kanan ketidaksamaan dengan betul, tekan butang dan dapatkan hasilnya dalam beberapa saat. Untuk pengiraan matematik yang pantas dan tepat dengan pekali berangka atau simbolik di hadapan yang tidak diketahui, anda akan, seperti biasa, memerlukan kalkulator ketaksamaan dan persamaan universal yang boleh memberikan jawapan kepada masalah anda dalam beberapa saat. Sekiranya anda tidak mempunyai masa untuk menulis keseluruhan siri latihan bertulis, maka kesahihan perkhidmatan itu tidak dapat dinafikan walaupun dengan mata kasar. Bagi pelajar, pendekatan ini lebih optimum dan wajar dari segi penjimatan sumber bahan dan masa. Bertentangan dengan kaki terletak satu sudut, dan untuk mengukurnya anda memerlukan kompas, tetapi anda boleh menggunakan petunjuk pada bila-bila masa dan menyelesaikan ketidaksamaan tanpa menggunakan sebarang formula pengurangan. Adakah ini bermakna kejayaan menyiapkan tindakan itu bermula? Jawapannya pasti positif.

Menyelesaikan ketaksamaan dengan parameter.

Ketaksamaan yang mempunyai bentuk ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются ketaksamaan linear.

Prinsip untuk menyelesaikan ketaksamaan linear dengan parameter adalah sangat serupa dengan prinsip untuk menyelesaikan persamaan linear dengan parameter.

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan 5x – a > ax + 3.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita ubah ketidaksamaan asal:

5x – ax > a + 3, mari letakkan x di sebelah kiri ketaksamaan daripada kurungan:

(5 – a)x > a + 3. Sekarang pertimbangkan kemungkinan kes untuk parameter a:

Jika a > 5, maka x< (а + 3) / (5 – а).

Jika a = 5, maka tiada penyelesaian.

Jika a< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Penyelesaian ini akan menjadi jawapan kepada ketidaksamaan.

Contoh 2.

Selesaikan ketaksamaan x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2a/3 ≤ 2x – a untuk a ≠ 1.

Penyelesaian.

Mari kita ubah ketidaksamaan asal:

x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan (-1), kita dapat:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Mari kita terokai kemungkinan kes untuk parameter a:

1 kes.

Biarkan a/(a – 1) > 0 atau a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Kemudian x ≥ (a – 1)/3.

Kes 2.< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Biarkan a/(a – 1) = 0, i.e. a = 0. Maka x ialah sebarang nombor nyata.
Kes 3.
Biarkan a/(a – 1)

Contoh 3.

Jawapan: x € [(a – 1)/3; +∞) untuk € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

Penyelesaian.

x € [-∞; (a – 1)/3] untuk € (0; 1);

x € R untuk a = 0.

Selesaikan ketaksamaan |1 + x| ≤ kapak berbanding x.
Ia berikutan daripada syarat bahawa bahagian kanan kapak ketaksamaan mestilah bukan negatif, i.e. ax ≥ 0. Dengan peraturan mendedahkan modul daripada ketaksamaan |1 + x| ≤ kapak kita mempunyai ketaksamaan berganda

Kapak ≤ 1 + x ≤ kapak. Mari kita tulis semula hasilnya dalam bentuk sistem:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Mari kita ubah menjadi: ((a – 1)x ≥ 1;:

((a + 1)x ≥ -1.

Kami mengkaji sistem yang terhasil pada selang waktu dan pada titik< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

(Gamb. 1)

Untuk ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].< а ≤ 1 решений нет.

Pada -1

Memplot graf sangat memudahkan penyelesaian persamaan yang mengandungi parameter. Menggunakan kaedah grafik apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan parameter adalah lebih jelas dan lebih suai manfaat.

Menyelesaikan ketaksamaan grafik dalam bentuk f(x) ≥ g(x) bermakna mencari nilai pembolehubah x yang mana graf fungsi f(x) terletak di atas graf fungsi g(x). Untuk melakukan ini, sentiasa perlu mencari titik persilangan graf (jika wujud).

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan |x + 5|< bx.

Penyelesaian.

Kami membina graf bagi fungsi y = |x + 5| dan y = bx (Gamb. 2). Penyelesaian kepada ketaksamaan ialah nilai-nilai pembolehubah x yang mana graf bagi fungsi y = |x + 5| akan berada di bawah graf fungsi y = bx.

Gambar menunjukkan:

1) Untuk b > 1 garis bersilang. Absis titik persilangan graf bagi fungsi ini ialah penyelesaian kepada persamaan x + 5 = bx, dari mana x = 5/(b – 1). Graf y = bx terletak di atas pada x dari selang (5/(b – 1); +∞), yang bermaksud set ini ialah penyelesaian kepada ketaksamaan.

2) Begitu juga kita dapati bahawa pada -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Untuk b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Untuk 0 ≤ b ≤ 1, graf tidak bersilang, yang bermaksud bahawa ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: x € (-∞; 5/(b – 1)) untuk b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) pada -1< b < 0;
tiada penyelesaian untuk 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) untuk b > 1.

Contoh 2.

Selesaikan ketaksamaan a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Penyelesaian.

1) Mari cari nilai "kawalan" untuk parameter a: a 1 = 0, dan 2 = -1.

2) Mari kita selesaikan ketaksamaan ini pada setiap subset nombor nyata: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, maka ketaksamaan ini akan berbentuk 0 x > 0 – tiada penyelesaian;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, maka ketaksamaan ini mempunyai bentuk 0 x > 4 – tiada penyelesaian;

e) a > 0, daripada ketaksamaan ini ia mengikuti bahawa x > (a + 4)/a.

Contoh 3.

Selesaikan ketaksamaan |2 – |x||< a – x.

Penyelesaian.

Kami membina graf bagi fungsi y = |2 – |x|| (Gamb. 3) dan pertimbangkan semua kemungkinan kes lokasi garis lurus y = -x + a.

Jawapan: ketaksamaan tidak mempunyai penyelesaian untuk ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) untuk € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) untuk a > 2.

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah, persamaan dan ketaksamaan dengan parameter, sejumlah besar teknik heuristik ditemui, yang kemudiannya boleh berjaya digunakan dalam mana-mana cabang matematik yang lain.

Masalah dengan parameter memainkan peranan penting dalam pembentukan pemikiran logik dan budaya matematik. Itulah sebabnya, setelah menguasai kaedah menyelesaikan masalah dengan parameter, anda akan berjaya mengatasi masalah lain.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan ketidaksamaan?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor -.
Pelajaran pertama adalah percuma!

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.



© 2024 netdenegnakino.ru - Tidak untuk berdua. Kimia. Fizik. Ejaan. Geografi