KEMUNGKINAN MENGGUNAKAN NOMBOR KOMPLEKS
DALAM KURSUS MATEMATIK DI SEKOLAH PENDIDIKAN AM
Penasihat saintifik:
Institusi pendidikan perbandaran
sekolah menengah Pervomaiskaya
Dengan. Bandar Kichmengsky
St. Zarechnaya 38
Kerja yang dibentangkan ditumpukan kepada kajian nombor kompleks. Perkaitan: menyelesaikan banyak masalah dalam fizik dan teknologi membawa kepada persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dalam domain nombor nyata. Tetapi penyelesaian banyak masalah sedemikian mempunyai makna fizikal yang sangat pasti.
Kepentingan praktikal:nombor kompleks dan fungsi pembolehubah kompleks digunakan dalam banyak isu sains dan teknologi, dan boleh digunakan di sekolah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.
Kawasan objek: matematik. Objek kajian: konsep dan tindakan algebra. Subjek kajian- nombor kompleks. Masalah: nombor kompleks tidak diajar dalam kursus matematik sekolah Menengah, walaupun ia boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Kemungkinan memasukkan nombor kompleks ke dalam Tugasan Peperiksaan Negeri Bersepadu pada masa akan datang. Hipotesis: Anda boleh menggunakan nombor kompleks untuk menyelesaikan persamaan kuadratik di sekolah menengah. Sasaran: untuk mengkaji kemungkinan menggunakan nombor kompleks semasa belajar matematik di gred ke-10 sebuah sekolah menengah. Tugasan: 1. Kaji teori nombor kompleks 2. Pertimbangkan kemungkinan menggunakan nombor kompleks dalam kursus matematik gred 10. 3. Membangunkan dan menguji tugasan dengan nombor kompleks.
Untuk penyelesaian persamaan algebra Tidak cukup nombor nyata. Oleh itu, adalah wajar untuk berusaha untuk menjadikan persamaan ini boleh diselesaikan, yang seterusnya membawa kepada pengembangan konsep nombor..gif" width="10" height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" height="62">.gif" width="97" height="28 src=">
anda hanya perlu bersetuju untuk bertindak ke atas ungkapan tersebut mengikut peraturan algebra biasa dan menganggapnya 
Pada tahun 1572, sebuah buku oleh ahli algebra Itali R. Bombelli telah diterbitkan, di mana peraturan pertama untuk operasi aritmetik pada nombor tersebut telah ditubuhkan, sehingga pengekstrakan daripadanya akar padu. Nama "nombor khayalan" diperkenalkan pada tahun 1637. Ahli matematik dan ahli falsafah Perancis R. Descartes, dan pada tahun 1777 salah satu yang terbesar ahli matematik VIII abad X..gif" width="58" height="19"> sebagai contoh penggunaan nombor kompleks semasa belajar matematik dalam darjah 10. Oleh itu. Nombor x, kuasa duanya bersamaan dengan –1, dipanggil unit khayalan dan dilambangkan i. Oleh itu, , dari mana ..gif" width="120" height="27 src=">.gif" width="100" height="27 src=">gred ke-8 " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">gred 8 dalam algebra.- M.: Education, 1994.-P.134-139.
2. Kamus ensiklopedia ahli matematik muda / Comp. E-68. - M.: Pedagogi, 19с
Teks sebahagian daripada penerbitan
Kandungan
Pengenalan……………………………………………………………………..3 Bab I. Daripada sejarah nombor kompleks…………………………………… ……………………… ............4 Bab II. Asas kaedah nombor kompleks…………………………………………6 Bab III. Geometri segi tiga dalam nombor kompleks………………………………12 Bab IV. Penyelesaian Masalah Peperiksaan Negeri Bersatu dan pelbagai Olimpik menggunakan kaedah nombor kompleks………………………………………………………………………………20 Kesimpulan……………………………… ………………………………………………….24 Bibliografi………………………………………………………………..25
pengenalan
Kepentingan nombor kompleks dalam matematik dan aplikasinya diketahui secara meluas. Algebra nombor kompleks boleh digunakan dengan jayanya dalam geometri asas, trigonometri, teori gerakan dan persamaan, serta dalam kejuruteraan elektrik, pelbagai mekanikal dan masalah fizikal. Dalam planimetri, kaedah nombor kompleks membolehkan anda menyelesaikan masalah dengan pengiraan langsung menggunakan formula siap sedia. Ini adalah kesederhanaan kaedah ini, berbanding dengan vektor dan kaedah koordinat, dengan kaedah penjelmaan geometri, memerlukan pelajar mempunyai kecerdasan yang cukup tinggi dan carian yang panjang. Selama beberapa beribu tahun, segitiga telah menjadi simbol geometri. Anda juga boleh mengatakan bahawa segitiga ialah atom geometri. Mana-mana poligon boleh dibahagikan kepada segi tiga, dan kajian sifatnya turun kepada mengkaji sifat segi tiga komponennya. Mari kita lihat bagaimana kaedah nombor kompleks berfungsi apabila membuktikan sifat segitiga daripada kursus sekolah planimetri, serta untuk menyelesaikan masalah C-4 Peperiksaan Negeri Bersepadu. 2
Bab I. Dari sejarah nombor kompleks,,
Untuk pertama kalinya, nampaknya, kuantiti khayalan disebut dalam karya terkenal "Great Art, or About peraturan algebra» Cardano (1545), sebagai sebahagian daripada penyelesaian rasmi kepada masalah mengira dua nombor yang menambah hingga 10 dan apabila didarabkan memberikan 40. Untuk masalah ini, dia memperoleh persamaan kuadratik untuk salah satu sebutan, dan mendapati puncanya: 5 + √ − 15 dan 5 − √ − 15 . Dalam ulasan kepada keputusan itu, dia menulis: “ini kuantiti yang paling kompleks tidak berguna, walaupun sangat bijak" dan "Pertimbangan aritmetik menjadi semakin sukar difahami, mencapai had sehalus yang tidak berguna." Kemungkinan menggunakan kuantiti khayalan apabila menyelesaikan persamaan padu, dalam apa yang dipanggil kes tidak boleh dikurangkan (apabila punca sebenar polinomial dinyatakan melalui akar kubus kuantiti khayalan), pertama kali diterangkan oleh Bombelli (1572). Dia adalah orang pertama yang menerangkan peraturan penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian nombor kompleks, tetapi masih menganggapnya sebagai "ciptaan" yang tidak berguna dan licik. Ungkapan yang boleh diwakili dalam bentuk a + b √ − 1, muncul apabila menyelesaikan kuadratik dan persamaan padu, mula dipanggil "khayalan" dalam abad XVI-XVII atas hasutan Descartes, yang memanggil mereka begitu, menolak realiti mereka, dan untuk banyak jurusan lain saintis XVII berabad-abad, sifat dan hak untuk kewujudan kuantiti khayalan kelihatan sangat meragukan, sama seperti yang mereka anggap ragu pada masa itu nombor tidak rasional, dan juga nilai negatif. Walaupun begitu, ahli matematik dengan berani memohon kaedah formal algebra bagi kuantiti sebenar dan kepada yang kompleks, memperoleh keputusan sebenar yang betul walaupun daripada yang kompleks perantaraan, dan ini tidak boleh tetapi mula menimbulkan keyakinan. Untuk masa yang lama, tidak jelas sama ada semua operasi pada nombor kompleks membawa kepada keputusan yang kompleks atau nyata, atau sama ada, sebagai contoh, mengekstrak punca boleh membawa kepada penemuan beberapa jenis nombor baharu. Masalah menyatakan punca darjah n daripada nombor yang diberi telah diselesaikan dalam karya Moivre (1707) dan Cotes (1722). Simbol untuk menandakan unit khayalan telah dicadangkan oleh Euler (1777, diterbitkan 1794), yang mengambil huruf pertama perkataan Latin untuk ini. khayalan - khayalan. Dia juga meluaskan semua fungsi piawai, termasuk logaritma, kepada domain kompleks. Euler juga menyatakan idea pada tahun 1751 bahawa bidang nombor kompleks ditutup secara algebra. D'Alembert (1747) membuat kesimpulan yang sama, tetapi bukti kukuh pertama fakta ini adalah milik Gauss (1799). Gausslah yang mencipta istilah "nombor kompleks" untuk digunakan secara meluas pada tahun 1831, walaupun istilah itu sebelum ini telah digunakan dalam pengertian yang sama oleh ahli matematik Perancis Lazare Carnot pada tahun 1803. 3
Model aritmetik (standard) nombor kompleks sebagai pasangan nombor nyata telah dibina oleh Hamilton (1837); ini membuktikan ketekalan sifat mereka. Lebih awal lagi, pada tahun 1685, dalam karyanya “Algebra,” Wallis (England) menunjukkan bahawa akar kompleks persamaan kuadratik dengan pekali nyata boleh diwakili secara geometri, dengan titik pada satah. Tetapi ia tidak disedari. Kali seterusnya tafsiran geometri nombor kompleks dan operasi pada mereka muncul dalam karya Wessel (1799). Perwakilan geometri moden, kadangkala dipanggil "gambar rajah Argand," mula digunakan selepas penerbitan karya J. R. Argand pada tahun 1806 dan 1814, yang secara bebas mengulangi kesimpulan Wessel. Istilah "modulus", "hujah" dan "nombor konjugat" telah diperkenalkan oleh Cauchy. Oleh itu, didapati bahawa nombor kompleks juga sesuai untuk pelaksanaan tulen. operasi algebra penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian vektor pada satah, yang banyak mengubah algebra vektor. 4
Bab II. Asas Kaedah Nombor Kompleks
[
1
]
,
[2], [3] [4] Tafsiran geometri bagi nombor kompleks Panjang segmen Diberi segi empat tepat Sistem kartesian koordinat pada satah, nombor kompleks z = x+iy (i 2 = -1) boleh satu-dengan-satu dikaitkan dengan titik M satah dengan koordinat x, y (Rajah 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Nombor z kemudiannya dipanggil koordinat kompleks bagi titik M. Oleh kerana set titik satah Euclidean berada dalam korespondensi satu dengan satu dengan set nombor kompleks, satah ini juga dipanggil satah nombor kompleks. Asal O bagi sistem koordinat Cartesan dipanggil titik awal atau sifar bagi satah nombor kompleks. Apabila = 0 nombor z adalah nyata. Nombor nyata diwakili oleh titik pada paksi-x, itulah sebabnya ia dipanggil paksi nyata. Pada x=0, nombor z adalah khayalan semata-mata: z=iy. Nombor khayalan diwakili oleh titik pada paksi-y, itulah sebabnya ia dipanggil paksi khayalan. Sifar ialah nombor nyata dan khayalan semata-mata. Jarak dari permulaan satah O ke titik M(z) dipanggil modulus bagi nombor kompleks z dan dilambangkan dengan |z| atau r: | z | = r = | OM | = √ x 2 + y 2 Jika φ ialah sudut berorientasikan yang dibentuk oleh vektor ⃗ OM dengan paksi x, maka mengikut takrifan fungsi sinus dan kosinus sin φ = y r, cos φ = x r 5
dari mana x = r cos φ, y = r sin φ, dan oleh itu z = r (cos φ + sin φ). Perwakilan nombor kompleks z ini dipanggilnya
trigonometri
cheskoe
bentuk. Perwakilan asal z=x+iy dipanggil
algebra
bentuk nombor ini. Pada perwakilan trigonometri sudut dipanggil hujah nombor kompleks dan juga dilambangkan dengan arg z: φ = arg z Jika nombor kompleks z = x + iy diberi, maka nombor ´ z = x − iy dipanggil
konjugat kompleks
(atau hanya
konjugasi
) kepada nombor ini z. Kemudian, jelas sekali, nombor z juga konjugasi kepada nombor ´ z. Titik M(z) dan M 1 (´ z) adalah simetri tentang paksi x. Daripada kesamaan z = ´ z ia mengikuti bahawa y = 0 dan sebaliknya. Maksudnya begitu
nombor yang sama dengan
kepada konjugatnya adalah nyata dan sebaliknya.
Titik dengan koordinat kompleks z dan -z adalah simetri berkenaan dengan titik awal O. Titik dengan koordinat kompleks z dan − ´z adalah simetri berkenaan dengan paksi-y. Daripada kesamaan z = ´ z ia mengikuti bahawa x = 0 dan sebaliknya. Oleh itu, keadaan z =− ´ z ialah kriteria untuk nombor khayalan semata-mata. Untuk sebarang nombor z, jelas sekali | z | = | ´ z | =¿− z ∨¿∨−´ z ∨¿ .
Jumlah dan produk
dua nombor kompleks konjugat ialah nombor nyata: z + ´ z = 2 z, z ´ z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Nombor bergabung kepada jumlah, hasil darab atau hasil bagi kompleks 6
nombor ialah, masing-masing, hasil tambah, hasil darab atau hasil bagi nombor yang bergabung dengan nombor kompleks yang diberi: ´ z 1 + z 2 = ´ z 1 + ´ z 2 ; ´ z 1 z 2 = ´ z 1 ´ z 2 ; ´ z 1: z 2 = ´ z 1: ´ z 2 Kesamaan ini boleh disahkan dengan mudah menggunakan formula untuk operasi pada nombor kompleks. Jika a dan b ialah koordinat kompleks titik A dan B, masing-masing, maka nombor c = a + b ialah koordinat titik C, supaya ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Rajah 3). Nombor kompleks d = a − b sepadan dengan titik D sehingga ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Jarak antara titik A dan B ialah | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Oleh kerana ¿ z ∨ 2 = z ´ z , maka ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (´ a − ´ b) . (2)
Persamaan
z ´ z = r 2
mentakrifkan bulatan dengan pusat
Mengenai jejari
r.
Hubungan AC CB = λ, (λ ≠ − 1) di mana titik C membahagi segmen ini AB, dinyatakan melalui koordinat kompleks titik-titik ini seperti berikut: λ = c − a b − c, λ = ´ λ, dari mana c = a + λb 1 + λ (3) Untuk λ = 1, titik C ialah titik tengah daripada segmen AB, dan sebaliknya. Kemudian: c = 1 2 (a + b) (4) Pendaraban nombor kompleks Pendaraban nombor kompleks dilakukan mengikut formula, Iaitu | a b | = | a || b | , dan 7
Keselarian dan keserenjangan Kolineariti tiga titik Biarkan titik A(a) dan B(b) diberi pada satah nombor kompleks. Vektor ⃗ OA dan ⃗ OB diarahkan bersama jika dan hanya jika arg a = arg b, iaitu apabila arg a – arg b=arg a b =0 (apabila membahagi nombor kompleks, hujah pembahagi ditolak daripada hujah bagi dividen). Ia juga jelas bahawa vektor ini diarahkan ke arah yang bertentangan jika dan hanya jika arg a - arg b= arg a b = ± π. Nombor kompleks dengan hujah 0, π, - π adalah nyata.
Kriteria kolineariti untuk titik O, A, B:
Agar titik A(a) dan B(b) selaras dengan titik awal O, adalah perlu dan mencukupi bahawa hasil bagi a b ialah nombor sebenar, iaitu a b = ´ a ´ b atau a ´ b = ´ a b (6) Sekarang ambil titik A(a), B(b), C(c), D(d). Vektor ⃗ BA dan ⃗ DC collie adalah bukan-ary jika dan hanya jika titik ditakrifkan oleh kompleks nombor a-b dan с-d, adalah segaris dengan permulaan O. Nota: 1. Berdasarkan (6) kita ada: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (´ c − ´ d) =(´ a − ´ b ) (c − d); (8) 2. Jika titik A, B, C, D tergolong dalam bulatan unit z ´ z = 1, maka ´ a = 1 a; ´ b = 1 b ; ´ c = 1 c ; ´ d = 1 d dan oleh itu keadaan (8) berbentuk: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Kolineariti titik A, B, C dicirikan oleh kolineariti vektor ⃗AB dan ⃗AC. Menggunakan (8), kita memperoleh: (a − b) (´ a −´ c) =(´ a − ´ b) (a − c) (10) Ini ialah kriteria untuk kepunyaan titik A, B, C kepada garis lurus yang sama. Ia boleh diwakili dalam bentuk simetri a (´ b −´ c) + b (´ c −´ a) + c (´ a − ´ b) = 0 (11) 8
Jika titik A dan B tergolong dalam bulatan unit z ´ z = 1, maka ´ a = 1 a; ´ b = 1 b dan oleh itu setiap hubungan (10) dan (11) diubah (selepas pengurangan dengan (a-b) kepada yang berikut: c + ab ´ c = a + b (12) Titik A dan B adalah tetap, dan titik Kami akan menganggap C pembolehubah, menamakan semula koordinatnya dengan z. Kemudian setiap hubungan yang terhasil (10), (11), (12) akan menjadi persamaan garis lurus AB: (´ a − ´ b) z + (b − a) ´ z + a ´ b − b ´ a = 0, (10a) z + ab ´ z = a + b. (12a) Khususnya, OA langsung mempunyai persamaan a ´ z = ´ a z. Nombor kompleks dengan hujah π 2 dan − π 2 adalah khayalan semata-mata. Oleh itu, OA ⊥ OB↔ a b = − ´ a ´ b atau OA ⊥ OB↔a ´ b + ´ a b = 0 (13) Keserenjangan segmen AB dan CD ditentukan oleh kesamaan (a − b) (´ c − ´ d) + (´ a − ´ b) (c − d) = 0 (14) Khususnya, apabila titik A, B, C, D tergolong dalam bulatan unit z ´ z = 1, maka kebergantungan (14) dipermudahkan: ab + cd = 0 (15) Hasil darab skalar bagi vektor. produk skalar vektor ⃗ OA dan ⃗ OB melalui koordinat kompleks a dan b bagi titik A dan B. Biarkan a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Kemudian a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Jadi, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Biarkan sekarang diberi empat titik arbitrari A(a), B(b), C(c), D(d) dengan koordinat kompleksnya. Kemudian 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Sudut Mari kita bersetuju untuk menyatakan dengan simbol ∠ (AB ,CD) sudut berorientasikan positif melalui yang mana vektor ⃗ mesti diputar AB supaya ia menjadi terarah bersama dengan vektor ⃗ CD. Kemudian, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (´ b − ´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 | d − c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (´ b −´ a) +(´ d −´ c)(b − a) 2 i | d − c || b − a | (19) Titik persilangan titik persilangan ke bulatan Jika titik A, B, C dan D terletak pada bulatan z ´ z = 1, maka koordinat kompleks titik persilangan ditemui dengan formula ´ z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Jika AB berserenjang dengan CD, maka z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Titik persilangan tangen kepada bulatan 10
Koordinat kompleks titik persilangan tangen kepada bulatan z ´ z =1 pada titiknya A(a) dan B(b) ditemui dengan formula z= 2ab a + b (22) Unjuran ortogon bagi suatu titik pada garis lurus Unjuran ortogon bagi satu titik M(m) pada garis lurus AB, dengan A(a) dan B(b) ditemui oleh formula Dalam kes apabila A dan B tergolong dalam bulatan unit z= 1 2 (a + b + m − cb m) .
Bab III.
Geometri segitiga dalam nombor kompleks
Pada satah nombor kompleks, segitiga ditakrifkan oleh tiga nombor kompleks yang sepadan dengan bucunya. Centroid dan ortocenter bagi segi tiga. [ 2 ] Adalah diketahui bahawa bagi centroid G (titik persilangan median) bagi segi tiga ABC dan mana-mana titik O persamaan berikut adalah benar: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Oleh itu, koordinat kompleks g bagi centroid G dikira dengan formula g = 1 3 (a + b + c) (23) Mari kita ungkapkan h koordinat kompleks bagi ortocenter H bagi segi tiga ABC melalui koordinat a, b, c daripada bucunya. Biarkan garis AH, BH, CH bersilang dengan bulatan segitiga pada titik A1, B1, C1, masing-masing. Biarkan bulatan ini mempunyai persamaan z ´ z =1, maka menurut (15) kita ada: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Dengan formula (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
Dari mana h=a+b+c berasal. (24) Ungkapan yang terhasil termasuk koordinat bucu segitiga secara simetri, oleh itu ketinggian ketiga segi tiga itu melalui titik persilangan dua yang pertama. Segi tiga serupa [2,1] Segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah serupa dan berorientasikan identik (kesamaan jenis pertama), jika B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC dan sudut B 1 A 1 C 1 dan BAC adalah sama (sudut berorientasikan). Dengan menggunakan nombor kompleks, kesamaan ini boleh ditulis seperti berikut: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . Kedua-dua kesamaan adalah bersamaan dengan satu dengan 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) dengan σ ialah nombor kompleks, |σ|=k-pekali keserupaan. Jika σ adalah nyata, maka c 1 − a 1 c − a = ´ c 1 − ´ a 1 ´ c − ´ a , dengan AC║A 1 C 1. Akibatnya, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah homotetik. Perhubungan (25) adalah perlu dan keadaan yang mencukupi supaya segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah serupa dan berorientasikan sama. Ia boleh diberi bentuk simetri ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Segitiga sama Jika | σ | = 1, maka segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah sama. Kemudian hubungan (25) adalah tanda kesamaan segi tiga berorientasikan identik, dan hubungan (26) adalah tanda kesamaan segi tiga berorientasikan bertentangan. Segitiga biasa Jika anda memerlukan yang berorientasikan segi tiga ABC adalah serupa dengan segi tiga berorientasikan BCA, maka segitiga ABC akan menjadi sekata. 12
Oleh itu, daripada (25) kita memperoleh syarat yang perlu dan mencukupi untuk segitiga ABC menjadi sekata (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Luas segi tiga (dibuktikan oleh pengarang) Kami memperoleh formula untuk luas S bagi segi tiga berorientasikan positif ABC: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (´ b − ´ a) − (b − a) (´ c − ´ a)) = − 1 4i (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b)) atau S = i 4 (a (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ a) + c (´ a − ´ b )) (28) Jika segi tiga ABC tertulis dalam bulatan z ´ z = 1, kemudian formula (28) ditukarkan kepada bentuk: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) Teorem tentang garis tengah a segitiga (dibuktikan oleh pengarang)
Teorem
. garis tengah daripada segi tiga itu adalah selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripadanya. Bukti. Biarkan titik M dan N ialah titik tengah bagi sisi AB dan BC, maka m = b 2 ; n = b + c 2 . Oleh kerana z 2 =z ´ z, maka MN 2 =(m-n)(´ m - ´ n)=(b 2 - b + c 2)(´ b 2 – ´ b + ´ c 2)= b ´ b 4 − b ´ b + b ´ c 4 − b ´ b + ´ b c 4 + b ´ b + b ´ c + ´ b c + c ´ c 4 = c ´ c 4 13
4MN 2 =c ´ c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ´ c, oleh itu 4MN 2 = AC 2 atau 2MN=AC. Keadaan (8) kolineariti vektor MN dan AC juga berpuas hati , dan oleh itu MN ║AC. Teorem Thales (dibuktikan oleh pengarang)
Teorem
. Jika pada satu sisi garis selari sudut memotong segmen yang sama, maka di sisi lain sudut mereka memotong segmen yang sama. Bukti Mari kita andaikan bahawa c=kb. Kemudian jika BD||CE, maka kita mempunyai (b-d)(´ c − 2 ´ d ¿= (´ b − ´ d) (c − 2d) Membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, kita mendapat persamaan b ´ c − 2 b ´ d −´ c d = ´ b c − 2 ´ b d − c ´ d Mengganti c dengan kb dan ´ c dengan k ´ b , kita mendapat bk ´ b -2b ´ d -dk ´ b = ´ b kb-2 ´ b d-kb ´ d . Membawa istilah serupa sekali lagi dan mengalihkan semuanya ke satu sisi, kita mendapat 2b ´ d + dk ´ b − 2 ´ b d − kb ´ d =0. Kami akan mengeluarkannya pengganda biasa dan kita mendapat 2(b ´ d − ´ b d ¿+ k (´ b d − b ´ d) = 0. Oleh itu k=2, iaitu c=2b. Begitu juga, terbukti bahawa f=3b, dsb. Teorem Pythagoras ( dibuktikan oleh pengarang) B segi tiga tepat segi empat sama hipotenus sama dengan jumlah kaki persegi 14
Bukti. Jarak antara titik B dan C adalah sama dengan BC=|b-c|=b, BC 2 =b ´ b. Sejak |z| 2 = z ´ z , kemudian AC 2 =(a-c)(c ´ a − ´ ¿ ¿=(a − 0) (´ a - 0)=a ´ a . AB 2 =(a-b)(´ a − ´ b ¿= a ´ a − a ´ b - ´ a b+b ´ b. Oleh kerana b ialah nombor nyata, iaitu b= ´ b, maka -a ´ b =− ab. Oleh kerana titik A terletak pada paksi Oy, maka a = - ´ a, iaitu - ´ ab = ab Maka, AB 2 = a ´ a -a ´ b - ´ ab +b ´ b = a ´ a +b ´ b = AC 2 +BC 2. Teorem dibuktikan Garis lurus Euler (dibuktikan oleh pengarang) Mari kita buktikan bahawa pusat orthocenter, centroid dan circumcenter bagi segi tiga terletak pada garis lurus yang sama (garis lurus ini dipanggil garis lurus Euler), dan OG = 1/2GH. 15
Bukti: Titik G(g) ialah pusat bagi segi tiga ABC, H(h) ialah pusat orthocenter, dan O(o) ialah pusat bulatan berhad bagi segi tiga itu. Untuk titik-titik ini menjadi segaris, kesamaan (10) mesti dipenuhi: (g-о)(´ g - ´ h ¿ -(´ g − ´ o ¿ (g − h) =0 Mari kita ambil titik O sebagai asal, kemudian g(´ g - ´ h ¿ - ´ g (g − h) =g 2 -g ´ h −¿ (g 2 - h ´ g ¿ =-g ´ h + h ´ g (30) The koordinat kompleks orthocenter dikira mengikut formula (24) h=a+b+c, (30a) dan centroid mengikut formula (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Gantikan kepada ( 30), kita dapat 1 3 (a+b +c)(´ a + b + c)-(a+b+c)(´ a + b + c 1 3 ¿)) = 0. Kesamaan (10) ialah berpuas hati, oleh itu, pusat, pusat orto dan pusat bagi segi tiga berhad bulatan terletak pada garis lurus yang sama OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a+ b+c)= 2 3 (a+b+c) Kami mendapat, bahawa OG= 1 2 GH. Teoremnya terbukti. 16
Bulatan Euler (bulatan sembilan titik). Dibuktikan oleh pengarang Pertimbangkan segitiga ABC. Mari kita bersetuju bahawa | OA | = | OB | = | OC | =1, i.e. semua bucu segi tiga tergolong dalam bulatan unit z ´ z = 1 (pusat bulatan O ialah asalan, dan jejari ialah unit panjang). Mari kita buktikan bahawa tapak mempunyai tiga ketinggian segi tiga sewenang-wenangnya, titik tengah bagi tiga sisinya dan titik tengah bagi tiga segmen yang menghubungkan bucunya dengan pusat ortopusat terletak pada bulatan yang sama, dan pusatnya ialah titik tengah segmen OH, dengan H, ingat, ialah pusat ortopusat bagi segi tiga ABC. Bulatan sedemikian dipanggil
Bulatan Euler
. Biarkan titik K, L dan M ialah titik tengah bagi sisi segi tiga ABC, titik Q, N, P tapak ketinggiannya, titik F, E, D titik tengah tiga segmen yang menghubungkan bucunya dengan pusat ortopusat. Mari kita buktikan bahawa titik D, E, F, K, L, M, N, P, Q tergolong dalam bulatan yang sama. Berikan koordinat kompleks yang sepadan kepada titik: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; e = 2 c + a + b 2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a − cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | a 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | a 2 | ,O 1 E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | a || b | | c | , O 1 Q= 1 2 | a || c | | b | , O 1 F= 1 2 | b || c | | a | . 17
Kerana segi tiga ABC ditulis dalam bulatan z ´ z = 1, kemudian | a | = | b | = | c | = 1,→ | a 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | a || b | | c | = 1 2 | a || c | | b | = 1 2 | b || c | | a | = 1 2 Jadi, titik D, E, F, K, L, M, N, Q, F tergolong dalam bulatan yang sama Teorem Gauss Jika garis memotong garis yang mengandungi sisi BC, CA, AB bagi segi tiga ABC, masing-masing, di titik A 1, B 1, C 1, maka titik tengah segmen AA 1, BB 1, СС 1 adalah kolinear. Bukti. Menggunakan (11), kita tulis syarat untuk kolineariti triplet titik AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - b a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31,) b c a b (31,) b c a b (31,) segmen AA 1, BB 1, CC 1 , maka kita perlu menunjukkan bahawa 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Sejak), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b b n a a m maka kesamaan yang dibuktikan (31) adalah bersamaan dengan ini: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a a c c c a c c b b c c b b a a atau selepas pendaraban: 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 . b a c b a dengan b a c b a c a c b a dengan b a c b a c b c b a c b a c b a c b a (33) Kini ia mudah dilihat bahawa (33) diperoleh dengan penambahan kesamaan penggal demi penggal (31). Buktinya lengkap. . 18
Bab IV.
Menyelesaikan masalah USE dan pelbagai Olimpik menggunakan kaedah nombor kompleks.
Masalah 1. Peperiksaan Negeri Bersepadu -2012, P-4 Pada garis yang mengandungi median AD bagi segi tiga tepat ABC dengan sudut tegak C, satu titik E diambil, jauh dari bucu A pada jarak yang sama dengan 4. Cari luas bagi segi tiga BCE jika BC=6, AC= 4. Penyelesaian pertama. Mengikut teorem Pythagoras AD=5. Kemudian ED=1 Biarkan titik E terletak pada sinar AD. Median AD lebih panjang daripada AE, dan titik E terletak di dalam segi tiga ABC (Gamb. 1) Mari kita lepaskan EF serenjang dari titik E ke garis BC dan pertimbangkan segi tiga tepat DEF dan DAC yang serupa. Daripada persamaan segi tiga ini kita dapati: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Oleh itu, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2.4. Biarkan titik A terletak di antara E dan D (Rajah 2). Dalam kes ini ED=9 dan EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Maka S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21.6. Jawapan: 2.4; 21.6. Menyelesaikan masalah menggunakan nombor kompleks. Kes I: titik E terletak pada sinar AD. Oleh kerana D ialah pertengahan CB, maka CD=3. Dan kerana CA=4, jelas bahawa AD=5, iaitu DE=1. Mari kita ambil titik C sebagai titik awal, dan gariskan CA dan CB sebagai paksi sebenar dan khayalan. Kemudian A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Titik A, E dan D ialah kolinear, maka e − 4 3i − e = 4 iaitu e= 12i + 4 5 . Mengikut formula (25) S CBE =│ ´ i 4 (e6 ´ i +6i(− ´ e)│= e e − ´ ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Kes II: titik A terletak di antara titik D dan E , maka 4 − e 3i − 4 = 4 5 , iaitu e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) | =21.6 dan Jawapan : masalah menggunakan kaedah pertama, adalah perlu untuk mempunyai beberapa tekaan, yang mungkin tidak muncul serta-merta, tetapi selepas tempoh penaakulan yang agak lama. Walaupun, jika pelajar bersedia dengan baik, maka penyelesaian itu sendiri terbentuk serta-merta. Apabila menyelesaikan masalah menggunakan kaedah kedua, kami Kami menggunakan formula siap, menjimatkan masa untuk mencari. Namun, kami faham bahawa tanpa mengetahui formula, masalah tidak boleh diselesaikan menggunakan kaedah nombor kompleks. Seperti yang anda lihat, setiap kaedah mempunyai kebaikan dan keburukan.
Tugasan 2 (MIOO, 2011):
“Titik M terletak pada segmen AB. Pada bulatan berdiameter AB, titik C diambil, jauh dari titik A, M dan B pada jarak 20, 14 dan 15, masing-masing. Cari luas segi tiga BMC." 20
Penyelesaian: Oleh kerana AB ialah diameter bulatan, maka ∆ ABC ialah segi empat tepat, ∠ C = 90 ° Mari kita ambil C sebagai titik sifar satah, kemudian A(20i), B(15), M(z). Oleh kerana CM=14, kesamaan z ´ z = 196 adalah benar, iaitu titik M ∈ bulatan dengan pusat di titik C dan r=14. Mari cari titik persilangan bulatan ini dengan garis AB: Persamaan garis AB (10a): 20 i (15 −´ z) + 15 (´ z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Menggantikan ´ z dengan 196 z dan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan (4 i − 3) , kita memperoleh persamaan kuadratik untuk z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Dengan menggunakan formula (28), kita dapati luas ∆ MBC: S = i 4 (z (´ b − ´ c) + b (´ c − ´ z) + c (´ z − ´ b)) Di mana c = 0, ´ c = 0, b = 15, ´ b = 15, ´ z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Setelah selesai transformasi yang setara, kita dapat S = 54 ± 12 √ 13 persegi. unit Jawab. 54 ± 12 √ 13 persegi. unit Jika anda menyelesaikan masalah kaedah geometri, maka adalah perlu untuk mempertimbangkan dua kes yang berbeza: 1 - titik M terletak di antara A dan D; ke-2 - antara D dan B. 21
Apabila menyelesaikan masalah menggunakan kaedah nombor kompleks, dualiti penyelesaian diperoleh kerana kehadiran dua titik persilangan bulatan dan garis. Keadaan ini membolehkan kita mengelakkan kesilapan biasa.
Masalah 3
Median AA 1, BB 1 dan CC 1 bagi segi tiga ABC bersilang pada titik M. Diketahui bahawa AB=6MC 1. Buktikan bahawa segitiga ABC ialah segi tiga tegak. Penyelesaian: Biarkan C ialah titik sifar satah, dan tetapkan unit sebenar kepada titik A. Masalahnya kemudiannya berkurangan kepada membuktikan bahawa b ialah nombor khayalan semata-mata. AB 2 = (b − 1) (´ b − 1) . M ialah centroid, koordinatnya ialah 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ´ b + 1 3 − 1 2 ´ b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (´ b + 1) Oleh kerana AB=6MC 1, maka (b − 1) (´ b − 1) = (b + 1) (´ b + 1) . Setelah menjalankan penjelmaan, kita memperoleh b =− ´ b, iaitu b ialah nombor khayalan semata-mata, iaitu sudut C ialah garis lurus.
Tugasan 4.
22
Hasil daripada putaran 90° di sekeliling titik O, segmen AB bertukar menjadi segmen A "B". Buktikan bahawa median OM bagi segi tiga OAB " berserenjang dengan garis A " B . Penyelesaian: Biarkan koordinat O, A, B sama dengan 0.1, b, masing-masing. Kemudian titik A " dan B " akan mempunyai koordinat a" = i dan b" = bi, dan M tengah segmen AB " akan mempunyai koordinat m = 1 2 (1 + bi). Kita dapati: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i nombor adalah khayalan semata-mata. Berdasarkan kriteria keserenjangan (segmen AB dan CD adalah berserenjang jika dan hanya jika nombor a − b c − d adalah khayalan semata-mata), garis OM dan A ’ B adalah berserenjang.
Masalah 5
.
23
Dari pangkal ketinggian segi tiga, serenjang dijatuhkan ke dua sisi yang tidak sepadan dengan ketinggian ini. Buktikan bahawa jarak antara tapak serenjang ini tidak bergantung pada pilihan ketinggian segi tiga. Penyelesaian: Biarkan segitiga ABC diberikan, dan bulatan yang dikelilinginya mempunyai persamaan z ´ z = 1. Jika CD ialah ketinggian segi tiga, maka d = 1 2 (a + b + c − ab c) Koordinat kompleks tapak M dan N bagi serenjang yang dijatuhkan dari titik D ke AC dan BC, masing-masing, adalah sama dengan m = 1 2 (a + c + d − ac ´ d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ´ d 2) Kita dapati: m − n = 1 2 (a − b + c ´ d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ´ d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Sejak | a | = | b | = 1, maka | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4 . Ungkapan ini adalah simetri berkenaan dengan a, b, c, i.e. jarak MN tidak bergantung pada pilihan ketinggian segi tiga.
Kesimpulan
24
"Sudah tentu! Semua masalah boleh diselesaikan tanpa nombor kompleks. Tetapi hakikatnya ialah algebra nombor kompleks adalah satu lagi kaedah yang berkesan menyelesaikan masalah planimetrik. Kita hanya boleh bercakap tentang memilih kaedah yang lebih berkesan untuk tugas yang diberikan. Pertikaian tentang kelebihan kaedah tertentu adalah sia-sia jika kita mempertimbangkan kaedah ini secara umum, tanpa aplikasi untuk masalah tertentu” [2]. Tempat yang besar dalam kajian kaedah diduduki oleh satu set formula. Ini adalah
kelemahan utama
kaedah dan pada masa yang sama
martabat
, kerana ia membolehkan anda menyelesaikan cukup tugasan yang kompleks mengikut formula sedia dengan pengiraan asas. Di samping itu, saya percaya bahawa apabila menyelesaikan masalah planimetri kaedah ini bersifat universal.
Bibliografi
1. Markushevich A.I. Nombor kompleks dan pemetaan konformal - M.: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1954. - 52 p. 25
2. Ponarin Ya. P. Algebra nombor kompleks dalam masalah geometri: Buku untuk pelajar kelas matematik sekolah, guru dan pelajar universiti pedagogi - M.: MTsNMO, 2004. - 160 p. 3. Shvetsov D. Dari garis Simson kepada teorem Droz-Farny, Kvant. - No. 6, 2009. – hlm. 44-48 4. Yaglom I. M. Transformasi geometri. Transformasi linear dan bulatan. - Rumah Penerbitan Negeri Kesusasteraan Teknikal dan Teori, 1956. – 612 hlm. 5. Yaglom I.M. Nombor kompleks dan aplikasinya dalam geometri - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 p. 6. Morkovich A.G. dan lain-lain, Algebra dan permulaan analisis matematik. gred 10. Dalam 2 jam. Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat profil) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 p. 7. Andronov I.K. Matematik nombor nyata dan kompleks - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 p. 26
Permohonan
Teorem klasik geometri asas
Teorem Newton.
Dalam segi empat yang dihadkan tentang bulatan, titik tengah pepenjuru adalah segaris dengan pusat bulatan. 27
Bukti. Mari kita ambil pusat bulatan sebagai asal, menetapkan jejarinya sama dengan satu. Mari kita nyatakan titik sentuhan bagi sisi segi tiga segi empat ini A o B o C o D o oleh A, B, C, D (dalam susunan bulat) (Gamb. 4). Biarkan M dan N ialah titik tengah bagi pepenjuru A o C o dan B o D o, masing-masing. Kemudian, mengikut formula untuk titik persilangan tangen kepada bulatan z = 2ab a + b, titik A o , B o , C o , D o akan mempunyai koordinat kompleks, masing-masing: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a dengan a, b, c, d ialah koordinat kompleks bagi titik A, B, C, D. Oleh itu.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b a ab d b n c b bc d a ad c a m Hitungkan.))(()) n , 1 , 1 b b a a , 1 , 1 d d c c maka secara langsung adalah jelas bahawa n m n m Berdasarkan (6), titik O, M, N adalah kolinear.
Teorem Pascal
.
Titik persilangan garis yang mengandungi sisi bertentangan bagi heksagon bertulis terletak pada garis yang sama. 28
Bukti. Biarkan heksagon ABCDEF dan P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (Rajah 6) ditulis dalam bulatan (Rajah 6). Mari kita ambil pusat bulatan sebagai titik sifar satah, dan jejarinya ialah per unit panjang. Kemudian, menurut (17), kita mempunyai: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n de ab e d b a m Kira) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd dan seumpamanya .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n Seterusnya kita dapati: .))(())((de ab c f n fa cd eb p Oleh kerana nombor f e d c b a adalah sama, masing-masing, f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1 , 1, 1, maka semakan lisan mendedahkan bahawa ungkapan yang ditemui bertepatan dengan konjugatnya, iaitu, ia adalah nombor nyata. Ini bermakna keselarasan titik M, N, P.
Teorem Monge.
Dalam segi empat yang ditulis dalam bulatan, garisan yang melalui titik tengah sisi dan. Setiap pepenjuru adalah berserenjang dengan sisi bertentangan dan, dengan itu, pepenjuru yang lain bersilang pada satu titik. Ia dipanggil titik Monge bagi segi empat kitaran. Bukti. Pembahagi dua serenjang dengan sisi segiempat ABCD bersilang di tengah bulatan yang dihadkan, yang kita ambil sebagai titik permulaan. Bagi setiap titik M(z) pembahagi dua serenjang kepada [AB] nombor b a b a z ) (2 1 khayalan semata-mata. 29
Khususnya, untuk z=0 ia adalah sama dengan) (2) (b a b a . Bagi setiap titik N(z) garis yang melalui tengah CD sisi berserenjang dengan (AB), nombor b a d c z ) (2 1 perlu menjadi khayalan semata-mata dan sebaliknya. Tetapi untuk z=) (2 1 d c b a ia adalah sama) (2 b a b a iaitu khayalan semata-mata. Oleh itu, titik E dengan koordinat kompleks) ( 2 1 d c b a terletak pada garis yang ditunjukkan Dan ungkapan ini adalah simetri berkenaan dengan huruf a, b, c, d. Oleh itu, lima baris lain yang dibina serupa mengandungi titik E. 30
- Kami akan berdasarkan sambungan, bukan pada formula mekanikal.
- Mari kita pertimbangkan nombor kompleks sebagai pelengkap kepada sistem nombor kita, sama seperti nombor sifar, pecahan atau negatif.
- Kami memvisualisasikan idea dalam grafik untuk lebih memahami intipati, dan bukan hanya membentangkannya dalam teks kering.
Dan kami senjata rahsia: pembelajaran dengan analogi. Kita akan sampai ke nombor kompleks dengan bermula dengan nenek moyang mereka, nombor negatif. Berikut adalah sedikit panduan untuk anda:
Buat masa ini, jadual ini tidak masuk akal, tetapi biarkan ia berada di sana. Menjelang akhir artikel semuanya akan jatuh ke tempatnya.
Mari kita benar-benar memahami apa itu nombor negatif
Nombor negatif tidak begitu mudah. Bayangkan anda seorang ahli matematik Eropah pada abad ke-18. Anda mempunyai 3 dan 4, dan anda boleh menulis 4 – 3 = 1. Ia mudah.
Tetapi apakah 3 – 4? Apakah sebenarnya maksud ini? Bagaimana anda boleh mengambil 4 ekor lembu daripada 3? Bagaimana anda boleh mempunyai kurang daripada tiada?
Nombor negatif dipandang sebagai karut lengkap, sesuatu yang "membayangkan keseluruhan teori persamaan" (Francis Maceres, 1759). Hari ini adalah tidak masuk akal untuk menganggap nombor negatif sebagai sesuatu yang tidak logik dan tidak membantu. Tanya guru anda jika nombor negatif melanggar matematik asas.
Apa yang berlaku? Kami mencipta nombor teori yang mempunyai sifat berguna. Nombor negatif tidak boleh disentuh atau dirasa, tetapi ia pandai menerangkan perhubungan tertentu (seperti hutang, contohnya). Ini adalah idea yang sangat berguna.
Daripada berkata, "Saya berhutang 30 kepada awak," dan membaca perkataan untuk melihat sama ada saya dalam hitam atau hitam, saya hanya boleh menulis "-30" dan mengetahui maksudnya. Jika saya membuat wang dan membayar hutang saya (-30 + 100 = 70), saya boleh menulis transaksi ini dengan mudah dalam beberapa aksara. Saya akan tinggal dengan +70.
Tanda tambah dan tolak secara automatik menangkap arah - anda tidak memerlukan ayat penuh untuk menerangkan perubahan selepas setiap transaksi. Matematik telah menjadi lebih mudah, lebih elegan. Tidak penting lagi sama ada nombor negatif adalah "ketara" - ia mempunyai sifat berguna, dan kami menggunakannya sehingga ia menjadi kukuh dalam kehidupan seharian kita. Jika seseorang yang anda kenali masih belum memahami intipati nombor negatif, kini anda akan membantu mereka.
Tetapi janganlah kita memperkecilkan penderitaan manusia: Nombor negatif adalah perubahan sebenar dalam kesedaran. Malah Euler, jenius yang menemui nombor e dan banyak lagi, tidak memahami nombor negatif seperti yang kita lakukan hari ini. Mereka dilihat sebagai hasil pengiraan yang "tidak bermakna".
Adalah aneh untuk mengharapkan kanak-kanak dengan tenang memahami idea-idea yang pernah mengelirukan walaupun ahli matematik terbaik.
Memasukkan Nombor Khayal
Ia adalah cerita yang sama dengan nombor khayalan. Kita boleh menyelesaikan persamaan seperti ini sepanjang hari:
Jawapannya ialah 3 dan -3. Tetapi mari kita bayangkan bahawa beberapa lelaki pintar menambah tolak di sini:
Baiklah. Soalan begini yang membuatkan orang serik apabila melihatnya buat kali pertama. Adakah anda ingin mengira punca kuasa dua nombor yang kurang daripada sifar? Ini tidak dapat difikirkan! (Secara sejarah memang ada soalan yang serupa, tetapi lebih mudah bagi saya untuk membayangkan seorang lelaki bijak yang tidak berwajah, supaya tidak memalukan saintis masa lalu).
Ia kelihatan gila, sama seperti nombor negatif, sifar dan nombor tidak rasional (nombor tidak berulang) melihat kembali pada hari itu. Tiada maksud "sebenar" untuk soalan ini, bukan?
Tidak, ia tidak benar. Apa yang dipanggil "nombor khayalan" adalah seperti biasa seperti yang lain (atau sama seperti tidak normal): ia adalah alat untuk menggambarkan dunia. Dalam semangat yang sama yang kita bayangkan bahawa -1, 0.3 dan 0 "wujud", mari kita andaikan bahawa terdapat beberapa nombor i, di mana:
Dalam erti kata lain, anda mendarab i dengan sendiri untuk mendapatkan -1. Apa yang berlaku sekarang?
Nah, pada mulanya kita pasti sakit kepala. Tetapi dengan bermain permainan "Mari kita berpura-pura bahawa saya wujud" kita sebenarnya menjadikan matematik lebih mudah dan lebih elegan. Sambungan baharu muncul yang boleh kami jelaskan dengan mudah.
Anda tidak akan percaya pada i, sama seperti ahli matematik tua yang pemarah itu tidak mempercayai kewujudan -1. Semua konsep baru yang memutar otak ke dalam tiub sukar untuk difahami, dan maknanya tidak muncul serta-merta, walaupun untuk Euler yang cemerlang. Tetapi seperti yang ditunjukkan oleh nombor negatif kepada kita, idea baharu yang pelik boleh menjadi sangat berguna.
Saya tidak suka istilah "nombor khayalan" itu sendiri - rasanya ia dipilih khusus untuk menyinggung perasaan i. Nombor i adalah biasa seperti yang lain, tetapi nama panggilan "khayalan" telah melekat padanya, jadi kami juga akan menggunakannya.
Pemahaman visual nombor negatif dan kompleks
Persamaan x^2 = 9 sebenarnya bermaksud ini:
Penjelmaan yang manakah bagi x, digunakan dua kali, bertukar 1 kepada 9?
Terdapat dua jawapan: "x = 3" dan "x = -3". Iaitu, anda boleh "skala dengan" 3 kali atau "skala dengan 3 dan flip" (menterbalikkan atau mengambil salingan hasil adalah semua tafsiran darab dengan negatif).
Sekarang mari kita fikirkan tentang persamaan x^2 = -1, yang boleh ditulis seperti ini:
Penjelmaan yang manakah bagi x, digunakan dua kali, bertukar 1 kepada -1? Hm.
- Kita tidak boleh mendarab dua kali nombor positif kerana hasilnya akan positif.
- Kita tidak boleh mendarab nombor negatif dua kali kerana hasilnya akan menjadi positif.
Bagaimana pula... putaran! Kedengarannya luar biasa, sudah tentu, tetapi bagaimana jika kita menganggap x sebagai "putaran 90 darjah", maka dengan menggunakan x dua kali kita akan membuat putaran 180 darjah dengan paksi koordinat, dan 1 akan bertukar menjadi -1!
Wah! Dan jika kita memikirkannya lagi, kita boleh membuat dua revolusi arah bertentangan, dan juga pergi dari 1 kepada -1. Ini ialah putaran atau pendaraban "negatif" dengan -i:
Jika kita mendarab dengan -i dua kali, maka pada pendaraban pertama kita mendapat -i daripada 1, dan pada yang kedua -1 daripada -i. Jadi sebenarnya ada dua punca kuasa dua-1: i dan -i.
Ini sangat keren! Kami mempunyai sesuatu seperti penyelesaian, tetapi apakah maksudnya?
- i ialah "dimensi khayalan baharu" untuk mengukur nombor
- i (atau -i) ialah apa yang "menjadi" nombor apabila diputar
- Mendarab dengan i ialah berputar 90 darjah lawan jam
- Mendarab dengan -i ialah putaran 90 darjah mengikut arah jam.
- Berpusing dua kali dalam mana-mana arah memberikan -1: ia membawa kita kembali ke dimensi "normal" nombor positif dan negatif (paksi-x).
Semua nombor adalah 2 dimensi. Ya, ia sukar diterima, tetapi ia sama sukarnya untuk diterima oleh orang Rom purba. perpuluhan atau pembahagian panjang. (Bagaimanakah terdapat lebih banyak nombor antara 1 dan 2?). Nampak pelik seperti sesiapa cara baru berfikir dalam matematik.
Kami bertanya "Bagaimana menukar 1 kepada -1 dalam dua tindakan?" dan mendapati jawapannya: putar 1 90 darjah dua kali. Agak aneh, cara pemikiran baru dalam matematik. Tetapi sangat berguna. (Dengan cara ini, tafsiran geometri nombor kompleks ini muncul hanya beberapa dekad selepas penemuan nombor i itu sendiri).
Juga, jangan lupa bahawa mengambil revolusi lawan jam adalah hasil positif- ini adalah konvensyen manusia semata-mata, dan semuanya mungkin berbeza sama sekali.
Cari set
Mari kita pergi sedikit lebih dalam butirannya. Apabila anda mendarab nombor negatif (seperti -1), anda mendapat satu set:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Memandangkan -1 tidak mengubah saiz nombor, hanya tanda, anda mendapat nombor yang sama sama ada dengan tanda “+” atau dengan tanda “-”. Untuk nombor x yang anda dapat:
- x, -x, x, -x, x, -x…
Ini adalah idea yang sangat berguna. Nombor "x" boleh mewakili minggu baik dan buruk. Cuba kita bayangkan minggu yang baik menggantikan yang buruk; Ia adalah minggu yang baik; Macam mana minggu ke-47 nanti?
X bermakna ia akan menjadi minggu yang teruk. Lihat bagaimana nombor negatif "ikut tanda" - kita hanya boleh memasukkan (-1)^47 ke dalam kalkulator dan bukannya mengira ("Minggu 1 baik, minggu 2 buruk... minggu 3 baik..."). Perkara yang sentiasa silih berganti boleh dimodelkan dengan sempurna menggunakan nombor negatif.
Okay, apa yang berlaku jika kita terus mendarab dengan i?
Sangat lucu, mari kita ringkaskan ini sedikit:
Berikut adalah perkara yang sama yang dibentangkan secara grafik:
Kami mengulangi kitaran setiap pusingan ke-4. Itu pasti masuk akal, bukan? Mana-mana kanak-kanak akan memberitahu anda bahawa 4 pusingan ke kiri adalah sama dengan tidak berpusing langsung. Sekarang berehat dari nombor khayalan (i, i^2) dan lihat jumlah set:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Tepat bagaimana nombor negatif dimodelkan pantulan cermin nombor, nombor khayalan boleh memodelkan apa sahaja yang berputar antara dua dimensi "X" dan "Y". Atau apa-apa sahaja dengan pergantungan kitaran, bulat - adakah anda mempunyai apa-apa dalam fikiran?
Memahami Nombor Kompleks
Terdapat satu lagi perincian yang perlu dipertimbangkan: bolehkah nombor itu "nyata" dan "khayalan"?
Jangan ragu-ragu. Siapa kata kita perlu pusing tepat 90 darjah? Jika kita berdiri dengan satu kaki pada dimensi "sebenar" dan satu lagi pada dimensi "khayal", ia akan kelihatan seperti ini:
Kami berada pada tanda 45 darjah, di mana bahagian sebenar dan khayalan adalah sama, dan nombor itu sendiri ialah "1 + i". Ia seperti anjing panas, di mana terdapat kedua-dua sos tomato dan mustard - siapa kata anda perlu memilih satu atau yang lain?
Pada asasnya, kita boleh memilih mana-mana gabungan bahagian sebenar dan khayalan dan membuat segitiga daripada semuanya. Sudut menjadi "sudut putaran". Nombor kompleks ialah nama mewah untuk nombor yang mempunyai bahagian nyata dan khayalan. Mereka ditulis sebagai "a + bi", di mana:
- a - bahagian sebenar
- b - bahagian khayalan
Boleh tahan. Tetapi hanya tinggal satu soalan terakhir: Seberapa "besar" nombor kompleks? Kita tidak boleh mengukur bahagian sebenar atau bahagian khayalan secara berasingan kerana kita akan terlepas gambaran besar.
Mari kita berundur selangkah. Saiz nombor negatif ialah jarak dari sifar:
Ini adalah cara lain untuk mencari nilai mutlak. Tetapi bagaimana untuk mengukur kedua-dua komponen pada 90 darjah untuk nombor kompleks?
Adakah ia burung di langit... atau kapal terbang... Pythagoras akan datang untuk menyelamatkan!
Teorem ini muncul di mana mungkin, walaupun dalam nombor yang dicipta 2000 tahun selepas teorem itu sendiri. Ya, kami membuat segitiga, dan hipotenusnya akan sama dengan jarak dari sifar:
Walaupun mengukur nombor kompleks tidak semudah "meninggalkan tanda -", nombor kompleks mempunyai sangat aplikasi yang berguna. Mari lihat sebahagian daripada mereka.
Contoh Nyata: Putaran
Kami tidak akan menunggu sehingga fizik kolej untuk mengamalkan nombor kompleks. Kami akan melakukan ini hari ini. Banyak yang boleh dikatakan mengenai topik pendaraban nombor kompleks, tetapi buat masa ini anda perlu memahami perkara utama:
- Mendarab dengan nombor kompleks berputar mengikut sudutnya
Mari lihat bagaimana ia berfungsi. Bayangkan saya berada di atas bot, bergerak dalam laluan 3 unit ke Timur setiap 4 unit ke Utara. Saya mahu menukar kursus saya 45 darjah lawan jam. Apakah kursus baharu saya?
Seseorang mungkin berkata “Mudah! Kira sinus, kosinus, google nilai tangen... dan kemudian..." Saya rasa saya telah memecahkan kalkulator saya...
Mari kita pergi dengan cara yang mudah: kami berada di laluan 3 + 4i (tidak kira sudut mana pun, kami tidak kisah buat masa ini) dan kami mahu pusing 45 darjah. Nah, 45 darjah ialah 1 + i (pepenjuru ideal). Jadi kita boleh darabkan kadar kita dengan nombor ini!
Inilah intipatinya:
- Tajuk awal: 3 unit Timur, 4 unit Utara = 3 + 4i
- Putar lawan jam 45 darjah = darab dengan 1 + i
Apabila didarabkan kita mendapat:
kami mercu tanda baharu- 1 unit ke Barat (-1 ke Timur) dan 7 unit ke Utara, anda boleh melukis koordinat pada graf dan mengikutinya.
Tetapi! Kami menemui jawapan dalam masa 10 saat, tanpa sebarang sinus dan kosinus. Tiada vektor, tiada matriks, tiada pengesanan dalam kuadran mana kita berada. Ia adalah aritmetik mudah dan sedikit algebra untuk menyelesaikan persamaan. Nombor khayalan bagus untuk putaran!
Lebih-lebih lagi, hasil pengiraan sedemikian sangat berguna. Kami mempunyai laluan (-1, 7) dan bukannya sudut (atan(7/-1) = 98.13, dan dengan serta-merta jelas bahawa kami berada di kuadran kedua. Bagaimana sebenarnya, anda merancang untuk melukis dan mengikut sudut yang ditunjukkan Menggunakan protraktor di tangan?
Tidak, anda akan menukar sudut kepada kosinus dan sinus (-0.14 dan 0.99), cari nisbah anggaran di antara mereka (kira-kira 1 hingga 7) dan lakarkan segi tiga. Dan di sini nombor kompleks sudah pasti menang - dengan tepat, sepantas kilat, dan tanpa kalkulator!
Jika anda seperti saya, anda akan mendapati penemuan ini menarik perhatian. Jika tidak, saya takut bahawa matematik tidak mengujakan anda langsung. Maaf!
Trigonometri adalah baik, tetapi nombor kompleks menjadikan pengiraan lebih mudah (seperti mencari cos(a + b)). Ini hanyalah pengumuman kecil; dalam artikel berikut saya akan menyediakan anda dengan menu lengkap.
Penyimpangan lirik: sesetengah orang berfikir seperti ini: "Hei, tidak mudah untuk mengikuti laluan Utara/Timur berbanding sudut mudah untuk laluan kapal!
Adakah benar? Okay, tengok awak tangan kanan. Berapakah sudut antara pangkal jari kelingking dan hujungnya jari telunjuk? Semoga berjaya dengan kaedah pengiraan anda.
Atau anda boleh menjawab, "Nah, hujungnya ialah X inci ke kanan dan Y inci ke atas," dan anda boleh melakukan sesuatu mengenainya.
Adakah nombor kompleks semakin hampir?
Kami melalui penemuan asas saya dalam bidang nombor kompleks seperti puting beliung. Lihat ilustrasi pertama, ia kini sepatutnya menjadi lebih jelas.
Terdapat banyak lagi yang boleh ditemui dalam nombor yang indah dan indah ini, tetapi otak saya sudah letih. Matlamat saya adalah mudah:
- Yakinkan anda bahawa nombor kompleks hanya dilihat sebagai "gila", tetapi sebenarnya ia boleh menjadi sangat berguna (sama seperti nombor negatif)
- Tunjukkan bagaimana nombor kompleks boleh memudahkan beberapa masalah seperti putaran.
Jika saya kelihatan terlalu mengambil berat tentang topik ini, ada sebab untuk itu. Nombor khayalan telah menjadi obsesi saya selama bertahun-tahun - kekurangan pemahaman membuat saya jengkel.
Tetapi menyalakan lilin adalah lebih baik daripada mengharungi kegelapan pekat: ini adalah fikiran saya, dan saya yakin bahawa cahaya akan menyala dalam minda pembaca saya.
Epilog: Tetapi mereka masih agak pelik!
Saya tahu mereka masih kelihatan pelik kepada saya juga. Saya cuba berfikir seperti orang pertama yang menemui pemikiran sifar.
Sifar adalah idea yang pelik, "sesuatu" mewakili "tiada apa-apa", dan ini tidak dapat difahami dalam apa-apa cara dalam Rom kuno. Ia sama dengan nombor kompleks - ia adalah cara pemikiran baharu. Tetapi kedua-dua nombor sifar dan kompleks sangat memudahkan matematik. Jika kita tidak pernah memperkenalkan perkara pelik seperti sistem nombor baharu, kita masih akan mengira segala-galanya dengan jari kita.
Saya mengulangi analogi ini kerana sangat mudah untuk mula berfikir bahawa nombor kompleks adalah "tidak normal." Mari kita terbuka kepada inovasi: pada masa hadapan, orang hanya akan bergurau tentang bagaimana seseorang sehingga abad ke-21 tidak mempercayai nombor yang kompleks.
23 Oktober 2015