Pembangunan proses mental asas - ingatan, perhatian, imaginasi, pemikiran imaginatif, pertuturan; pengekodan semula maklumat, i.e. transformasi daripada simbol abstrak kepada imej; membangunkan kemahiran pemodelan bebas; perkembangan kemahiran motor halus dengan pembiakan grafik separa atau lengkap. Perkembangan minat kognitif kanak-kanak terhadap matematik Kepentingan pemodelan dalam perkembangan kanak-kanak prasekolah.
Penggunaan pemodelan dalam pembangunan konsep matematik kanak-kanak prasekolah memberikan hasil positif yang ketara, iaitu: - membolehkan seseorang mengenal pasti hubungan tersembunyi antara fenomena dan menjadikannya mudah diakses oleh pemahaman kanak-kanak; - meningkatkan pemahaman kanak-kanak tentang struktur dan kesalinghubungan bahagian komponen objek atau fenomena; - meningkatkan keupayaan pemerhatian kanak-kanak, memberinya peluang untuk melihat ciri-ciri dunia di sekelilingnya;
Peringkat bekerja dengan model Urutan empat langkah menggunakan kaedah pemodelan. Peringkat pertama melibatkan pengenalan dengan maksud operasi aritmetik. Yang kedua ialah belajar untuk menerangkan tindakan ini dalam bahasa tanda dan simbol matematik. Ketiga ialah mempelajari teknik pengiraan aritmetik yang paling mudah Peringkat keempat ialah mempelajari cara menyelesaikan masalah Peringkat bekerja dengan model
Model planar visual "Rumah tempat tanda dan nombor hidup" Tujuan aplikasi: - untuk mengukuhkan kemahiran kanak-kanak dalam mengarang nombor daripada dua yang lebih kecil; tambah dan tolak nombor; -memberi kanak-kanak idea tentang kebolehubahan nombor dan kuantiti, tertakluk kepada perbezaan penjumlahan; - mengajar atau mengukuhkan keupayaan untuk membandingkan nombor (lebih, kurang, sama).
Model satah visual "Sistem Suria" Hanya untuk kanak-kanak kumpulan senior dan persediaan. Tujuan aplikasi: - untuk memberi (atau menyatukan) idea kanak-kanak tentang badan dan rajah geometri (membandingkan bulatan, bola dengan badan dan rajah geometri yang lain); - untuk mengajar kanak-kanak mengenal pasti dan merenung dalam ucapan asas pengelompokan, klasifikasi, sambungan dan pergantungan kumpulan yang terhasil (sistem suria); - mengajar (atau menyatukan) keupayaan kanak-kanak untuk menentukan urutan beberapa objek mengikut saiz; -membangunkan pemahaman tentang hubungan spatial, menentukan lokasi beberapa objek berbanding dengan yang lain; -meningkatkan pengiraan ordinal dan kuantitatif; - menyatukan keupayaan untuk menggunakan ukuran konvensional untuk mengukur jarak; - mengukuhkan keupayaan untuk menyelesaikan masalah aritmetik.
Model satah visual "Mengira Kek" Tujuan aplikasi: - untuk mengajar kanak-kanak menyelesaikan masalah aritmetik dan mengembangkan kebolehan kognitif kanak-kanak; - belajar mengenal pasti hubungan matematik antara kuantiti dan mengemudinya.
Matematikpemodelan– proses mewujudkan pematuhan dengan sebenar sistem S tikar model M dan kajian model ini, yang membolehkan seseorang memperoleh ciri-ciri sistem sebenar. Permohonan model tikar membolehkan anda mengkaji objek, eksperimen sebenar yang sukar atau mustahil.
Pemodelan analitikal- proses fungsi unsur ditulis dalam bentuk hubungan matematik (algebra, kamiran, pembezaan, logik, dll.). Mat. model mungkin tidak mengandungi kuantiti yang diperlukan secara eksplisit sama sekali. Ia mesti diubah menjadi sistem perhubungan mengenai kuantiti yang diingini, membolehkan hasil yang diingini diperoleh menggunakan kaedah dubur semata-mata. Ini bermakna mendapatkan formula eksplisit borang tersebut
<искомая величина> =<аналитическое выражение>, atau mendapatkan persamaan bentuk yang diketahui, penyelesaiannya juga diketahui. Dalam beberapa kes ia adalah mungkin kualiti kajian model di mana hanya beberapa sifat penyelesaian boleh didapati secara eksplisit.
Mod berangka menggunakan kaedah matematik pengiraan dan membenarkan seseorang memperoleh penyelesaian anggaran sahaja. Penyelesaian kepada masalah itu mungkin kurang lengkap daripada mod dubur. Kelemahan asas mod berangka terletak pada pelaksanaan automatik kaedah berangka yang dipilih. Algoritma pemodelan mencerminkan kaedah berangka pada tahap yang lebih besar daripada ciri model. Oleh itu, apabila menukar kaedah berangka, algoritma pemodelan perlu diolah semula.
Mod tiruan- pengeluaran semula pada komputer (tiruan) proses fungsi sistem yang dikaji dengan mematuhi urutan logik dan temporal peristiwa sebenar. Ia adalah tipikal untuk mod tiruan main balik acara, berlaku dalam sistem (diterangkan oleh model) dengan pemeliharaannya struktur logik Dan urutan masa. Ia membolehkan anda mengetahui data tentang keadaan sistem atau elemen individunya pada masa tertentu. Pemodelan simulasi adalah serupa dengan penyelidikan eksperimen proses pada objek sebenar, i.e. di lokasi.
12.Mendapatkan nombor rawak dengan hukum taburan arbitrari menggunakan kaedah fungsi songsang. Md arr f ialah cara paling umum dan universal untuk mendapatkan nombor yang mematuhi undang-undang tertentu. Kaedah pemodelan piawai adalah berdasarkan fakta bahawa fungsi pengedaran kumulatif 
sebarang pembolehubah rawak selanjar diedarkan secara seragam dalam selang (0;1), i.e. untuk sebarang pembolehubah rawak X
dengan kepadatan pengedaran f(x)
pembolehubah rawak diagihkan secara seragam sepanjang selang (0;1).
Kemudian pembolehubah rawak X dengan ketumpatan taburan arbitrari f(x)
boleh dikira menggunakan algoritma berikut: 1. Ia adalah perlu untuk menjana pembolehubah rawak r (nilai pembolehubah rawak R), diedarkan secara seragam dalam selang (0;1). 2. Samakan nombor rawak yang dijana dengan fungsi taburan yang diketahui F( X )
dan dapatkan persamaan 
. 3. Menyelesaikan persamaan X=F -1 (r), kita dapati nilai X yang dikehendaki
Penyelesaian grafik
.
Tambahan kepada soalan 11.
Mari kita pertimbangkan contoh yang mencirikan perbezaan antara jenis pemodelan yang dipertimbangkan.
Terdapat sistem yang terdiri daripada tiga blok.
Sistem berfungsi secara normal jika sekurang-kurangnya satu daripada blok 1 dan 2 beroperasi, dan blok 3 juga beroperasi Fungsi pengedaran untuk masa operasi tanpa kegagalan blok f1(t), f2(t), f3(t) adalah. diketahui. Ia diperlukan untuk mencari kebarangkalian operasi bebas kegagalan sistem pada masa t.
Litar logik setara 
bermakna kegagalan sistem berlaku apabila litar terputus. Ini berlaku dalam kes berikut:
Unit 1 dan 2 gagal, unit 3 beroperasi;
blok 3 telah gagal, sekurang-kurangnya satu daripada blok 1 dan 2 telah beroperasi.
Kebarangkalian operasi tanpa kegagalan sistem P(t)=P1.2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =
Formula ini adalah asas kepada model matematik sistem.
Pemodelan analitikal. Ia mungkin hanya di bawah syarat bahawa semua kamiran dinyatakan melalui fungsi asas. Mari kita anggap itu
Kemudian 
=
=
.
Dengan mengambil kira perkara ini, model (1) mengambil bentuknya
Ini adalah ungkapan analitikal yang jelas mengenai kebarangkalian yang diingini; ia hanya sah di bawah andaian yang dibuat.
Pemodelan berangka. Keperluan untuk itu mungkin timbul, sebagai contoh, apabila ditetapkan bahawa kamiran tidak ditakrifkan (iaitu, fungsi asas tidak dinyatakan). Keperluan untuk itu mungkin timbul, sebagai contoh, apabila ditentukan bahawa taburan f1(t), f2(t), f3(t) mematuhi hukum Gaussian (normal): 
.Untuk pengiraan menggunakan formula P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = untuk setiap nilai t ia mesti ditentukan secara berangka, contohnya, dengan kaedah trapezoid, Simpson, Gaussian atau kaedah lain. Bagi setiap nilai t, pengiraan dijalankan semula.
kaedah segi empat tepat, kaedah trapezoid, kaedah parabola. Dengan kaedah segi empat tepat, ralat berlaku - ketidaktepatan pengiraan. Tetapi ia boleh dibahagikan kepada 2 atau lebih selang. Banyak kamiran muncul, tetapi di sini ralat pembulatan sudah timbul.
Kaedah Gaussian
Kaedah Monte Carlo
Pemodelan simulasi. Peniruan ialah penghasilan semula peristiwa yang berlaku dalam sistem, i.e. operasi yang betul atau kegagalan setiap elemen. Jika masa operasi sistem ialah t, dan ti ialah masa operasi bebas kegagalan elemen dengan nombor i, maka: peristiwa ti>t bermaksud operasi elemen yang betul pada masa itu (0; t];
acara ti<=t означает отказ элемента к моменту t.
Ambil perhatian bahawa ti ialah pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum fi(t), yang diketahui mengikut keadaan.
Pemodelan peristiwa rawak "operasi yang betul bagi elemen kth semasa masa (0; t]" adalah seperti berikut:
1) dalam mendapatkan nombor rawak ti, diedarkan mengikut hukum fi(t);
2) dalam menyemak kebenaran ungkapan logik ti>t. Jika ia benar, maka elemen ke-i beroperasi; jika ia salah, ia telah gagal.
Algoritma pemodelan adalah seperti berikut:
1.Set n=0, k=0. Di sini n ialah kaunter untuk bilangan pelaksanaan (pengulangan) proses rawak; k – pembilang bilangan “kejayaan”.
2. Dapatkan tiga nombor rawak t1,t2,t3, diedarkan mengikut hukum f1(t),f2(t),f3(t), masing-masing.
3.Semak kebenaran ungkapan logik L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]
Jika L=benar, kemudian tetapkan k=k+1 dan pergi ke langkah 4, jika tidak pergi ke langkah 4.
4.Tetapkan n=n+1.
5.Jika n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.
Mari kita tekankan sekali lagi: Nilai N ditetapkan terlebih dahulu atas sebab untuk memastikan ketepatan yang ditentukan bagi kebolehpercayaan anggaran statistik bagi nilai yang dikehendaki P(t).
Kompleks pendidikan Yalta "Sekolah-Lyceum No. 9"
Timbalan Pengarah HRRomanova A.N.
“Pemodelan dalam pelajaran matematik di sekolah rendah”
Seminar praktikal
Matematik perlu diajar di sekolah
Juga, tetapkan matlamat anda supaya pengetahuan
yang ke sini akan menjadi
mencukupi untuk biasa
keperluan dalam kehidupan.
M. Lobachevsky
Laporan rancangan
Garis panduan baharu dalam pendidikan matematik.
Asas metodologi pemodelan. Model matematik.
Menggunakan kaedah pemodelan dalam pelajaran matematik di sekolah rendah.
Memperkenalkan pelajar kepada teknik pemodelan matematik.
Aplikasi pemodelan dalam menyelesaikan persamaan.
Permodelan semasa menyelesaikan masalah perkataan.
Menggunakan simulasi untuk mengkaji penomboran, menambah dan menolak nombor, dan bekerja pada unit panjang.
Garis panduan baharu dalam pendidikan matematik. (5 min)
Telah diketahui umum bahawa model adalah bahasa matematik, dan pemodelan adalah ucapan mereka. Kejayaan menguasai matematik ditentukan, pertama sekali, oleh seberapa baik kanak-kanak itu telah belajar untuk "bercakap" bahasa mereka. Ini ditentukan bukan sahaja oleh kejayaan akademik pelajar dalam menyelesaikan tugas saintifik dan pendidikan, tetapi pada tahap yang lebih besar oleh kejayaan hidup individu - terima kasih kepadakeupayaan untuk memohon kaedah matematik untuk menyelesaikan masalah praktikal, kehidupan sebenar yang memerlukannya. Setuju, ini juga merupakan hasil yang baik dalam pembelajaran matematik di sekolah.
Adakah kita mengajar pelajar kita bahasa matematik? Atau mungkin kita menganggap ini tugas yang sukar untuk sekolah rendah? Atau adakah kita hanya berharap bahawa dalam proses penyelesaian harian contoh dan masalah, kanak-kanak sendiri secara beransur-ansur akan belajar menggunakannya?
Menurut data pemantauan di sekolah-sekolah di Kiev, serta data pemantauan semua-Ukraine, menunjukkan bahawa majoriti pelajar (60% dan 53%, masing-masing) tidak tahu bagaimana untuk bekerja dengan model grafik siap pakai, melaksanakan tugas kreatif, atau menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam situasi baharu untuk menyelesaikan masalah.
Keadaan pendidikan matematik ini telah menjadi sebab kepada keperluan untuk semakan ketara keperluan negeri dalam pengajaran matematik kepada murid sekolah. Edisi baharu “Sovereign Standard...”, yang berkuat kuasa tahun ini. Daripada kedudukan pendekatan berorientasikan personaliti dan berasaskan kompetensi, ia sebenarnya mengorientasikan semula aktiviti guru.Kecekapan - kehadiran pengetahuan dan pengalaman yang diperlukan untuk aktiviti yang berkesan dalam bidang subjek tertentu . Jom bandingkan . Dalam belumsemasa Standard negeri menyatakan: "Mempelajari matematik di sekolah rendah memastikan pelajar memperoleh pengetahuan, kemahiran dan kebolehan yang diperlukan untuk melanjutkan pelajaran matematik dan mata pelajaran lain... Mempelajari matematik menyumbang kepada perkembangan kebolehan kognitif kanak-kanak sekolah yang lebih muda - ingatan, logik dan pemikiran kreatif, imaginasi, ucapan matematik."Dalam edisi baharu standard negeri Matlamat dalam bidang pendidikan "Matematik" telah pun ditakrifkan sebagai "pembentukan matematik khusus subjek dan kecekapan utama yang diperlukan untuk kesedaran diri pelajar dalam dunia yang berubah dengan pantas." Kecekapan matematik khusus subjek dianggap sebagai "pendidikan peribadi yang mencirikan keupayaan pelajar untuk mencipta model matematik proses di dunia sekeliling, untuk menggunakan pengalaman aktiviti matematik semasa menyelesaikan masalah pendidikan, kognitif dan berorientasikan praktikal."
Oleh itu, menguasai pertuturan matematik—keupayaan untuk membina model matematik—menjadi matlamat utama pengajaran matematik, yang direalisasikan melalui pembentukan pelajar "keupayaan untuk menggunakan istilah matematik, maklumat simbolik dan grafik."
Pengalaman positif mengajar pemodelan pelajar (dan bukan sahaja dalam pelajaran matematik) yang terkumpul oleh sistem pendidikan perkembangan oleh D.B. Elkonina - V.V. Davydov, bertujuan untuk membangunkan aktiviti pendidikan penuh pelajar, salah satunya adalah pemodelan.
Membentuk keupayaan untuk membuat model dalam diri pelajar adalah salah satu matlamat pendidikan perkembangan, dan model yang dicipta dan digunakan oleh kanak-kanak adalah, pertama sekali, salah satu cara untuk membangunkan kemahiran belajar (dan bukan hanya kaedah kejelasan).
Matlamat seminar kami hari ini adalah untuk memahami isu pemodelan, untuk menunjukkan bagaimana model boleh digunakan untuk mengajar murid sekolah rendah menyelesaikan persamaan dan masalah, sifat matematik dan teknik menambah dan menolak nombor.
2. Asas metodologi pemodelan. (8 min)
Pemodelan adalah salah satu cara untuk memahami realiti. Model ini digunakan untuk mengkaji sebarang objek (fenomena, proses), untuk menyelesaikan pelbagai masalah dan mendapatkan maklumat baru. Akibatnya, model adalah objek (sistem) tertentu, penggunaannya berfungsi untuk mendapatkan pengetahuan tentang objek lain (asli).
Penggunaan pemodelan dipertimbangkan dalam dua aspek:
pertama, pemodelan berfungsi sebagai kandungan yang mesti dipelajari oleh kanak-kanak hasil daripada proses pedagogi;
kedua, pemodelan ialah tindakan dan alat pendidikan yang tanpanya pembelajaran sepenuhnya adalah mustahil.
Keterlihatan model adalah berdasarkan corak penting berikut: penciptaan model dijalankan berdasarkan penciptaan awal model mental - imej visual objek yang dimodelkan, iaitu, subjek mencipta imej mental objek ini, dan kemudian (bersama-sama dengan kanak-kanak) membina bahan atau model kiasan (visual). Model mental dicipta oleh orang dewasa dan boleh diubah menjadi visual dengan bantuan tindakan praktikal tertentu (di mana kanak-kanak juga boleh mengambil bahagian dengan model visual yang telah dibuat);
Apabila bekerja dengan kanak-kanak, anda boleh menggunakan penggantian objek: simbol dan tanda, model planar (pelan, peta, lukisan, carta, graf), model tiga dimensi, susun atur.
Menggunakan kaedah pemodelan membantu menyelesaikan kompleks masalah yang sangat penting:
pembangunan kreativiti produktif kanak-kanak;
pembangunan bentuk pemikiran imaginatif yang lebih tinggi;
aplikasi pengetahuan yang diperoleh sebelum ini dalam menyelesaikan masalah praktikal;
pemantapan pengetahuan matematik yang diperoleh oleh kanak-kanak sebelum ini;
mewujudkan keadaan untuk kerjasama perniagaan;
pengaktifan perbendaharaan kata matematik kanak-kanak;
pembangunan kemahiran motor halus tangan;
memperoleh idea dan kemahiran baharu dalam proses kerja;
pemahaman terdalam kanak-kanak tentang prinsip operasi dan struktur asal dengan bantuan model.
Model memberi kita bukan sahaja peluang untuk mencipta imej visual objek yang dimodelkan, ia membolehkan kita mencipta imej sifat paling pentingnya yang dicerminkan dalam model. Semua sifat tidak penting lain dibuang semasa membangunkan model. Oleh itu, kami mencipta imej visual umum bagi objek yang dimodelkan.
Asas saintifik pemodelan adalah teori analogi, di mana konsep utama adalah konsep analogi - persamaan objek mengikut ciri kualitatif dan kuantitatifnya. Semua jenis ini disatukan oleh konsep analogi umum - abstraksi. Analogi menyatakan sejenis korespondensi istimewa antara objek yang dibandingkan, antara model dan yang asal.
Pemodelan adalah pelbagai fungsi, iaitu, ia digunakan dalam pelbagai cara untuk tujuan yang berbeza pada tahap (peringkat) penyelidikan atau transformasi yang berbeza. Dalam hal ini, amalan berabad-abad lamanya menggunakan model telah menimbulkan banyak bentuk dan jenis model.
Mari kita pertimbangkan klasifikasi yang dicadangkan oleh L.M. Friedman. Dari sudut pandangan tahap kejelasan, dia membahagikan semua model kepada dua kelas:
langkah 1. 1-2
· bahan (sebenar, nyata);
· sempurna.
Kepada bahan Model termasuk yang dibina daripada sebarang objek material.
Langkah 2
Model bahan pula boleh dibahagikan kepadastatik (pegun) dandinamik (semasa).
Langkah 3
Jenis model dinamik seterusnya ialahanalog dan simulasi , yang menghasilkan semula fenomena ini atau itu dengan bantuan yang lain, dalam erti kata tertentu lebih mudah. Sebagai contoh, model sedemikian - buah pinggang buatan - berfungsi dengan cara yang sama seperti buah pinggang semula jadi (hidup), mengeluarkan toksin dan produk metabolik lain dari badan, tetapi, sudah tentu, ia direka secara berbeza daripada buah pinggang hidup.
Ideal Model biasanya dibahagikan kepada tiga jenis:
Langkah 4
· kiasan (ikon);
· ikonik (tanda-simbolik);
· mental (mental).
Model boleh dikelaskan mengikut pelbagai kriteria:
1) dengan sifat model (iaitu, dengan alat pemodelan);
2) dengan sifat objek yang dimodelkan;
3) mengikut bidang aplikasi pemodelan (pemodelan dalam teknologi, sains fizikal, kimia, pemodelan proses hidup, pemodelan jiwa, dll.)
4) mengikut tahap (“kedalaman”) pemodelan.
Yang paling terkenal ialahpengelasan mengikut sifat model .
Langkah 5.
Menurutnya, perkara berikut dibezakan:jenis pemodelan :
Langkah 6.
1. Pemodelan subjek , di mana model mengeluarkan semula ciri geometri, fizikal, dinamik atau fungsi sesuatu objek. Contohnya, model jambatan, empangan, model sayap kapal terbang, dsb.
Langkah 7
2. Pemodelan Analog , di mana model dan yang asal diterangkan oleh satu hubungan matematik. Contohnya ialah model elektrik yang digunakan untuk mengkaji fenomena mekanikal, hidrodinamik dan akustik.
Langkah 8
3. Pemodelan ikonik , di mana model adalah bentukan simbolik dari beberapa jenis: rajah, graf, lukisan, formula, graf, perkataan dan ayat.
Langkah 9
4. Berkait rapat dengan ikoniksimulasi mental , di mana model memperoleh watak visual mental.
Langkah 10
5. Percubaan simulasi – jenis pemodelan khas yang bukan objek itu sendiri digunakan, tetapi modelnya.
Tujuan utama pemodelan adalah untuk menyerlahkan dan merekodkan hubungan yang paling biasa dalam subjek untuk kajiannya.
Kaedah pemodelan adalah pendidikan integratif yang kompleks. Mengikut klasifikasi kaedah didaktik oleh N.G. Kazansky dan T.S. Nazarova, kaedah pemodelan mempunyai struktur tiga komponen
Langkah 11(lihat rajah). Oleh itu, dalam struktur kaedah pemodelansebelah luar adalah satu bentuk interaksi khusus antara guru dan pelajar.Bahagian dalam – ini adalah satu set teknik pendidikan umum (analisis, sintesis, generalisasi, dll.) dan kaedah kerja pendidikan.Bahagian teknologi – ini adalah satu set teknik khusus kaedah ini (analisis awal, membina model, bekerja dengannya, memindahkan maklumat dari model ke objek yang dikehendaki - asal).
Kaedah simulasiBahagian luar
Bahagian dalam
Bahagian teknologi
bentuk:
pembentangan
perbualan
kerja bebas
Intipati psikologi:
cara dogmatik kerja pendidikan;
cara heuristik kerja pendidikan
kaedah penyelidikan kerja pendidikan
Entiti logik:
analitikal;
sintetik;
induktif;
deduktif;
analitikal-sintetik
Teknik untuk membina model;
teknik transformasi model;
kaedah untuk menentukan model
Model matematik. Permodelan matematik.
Model matematik ialah huraian anggaran beberapa kelas fenomena di dunia luar menggunakan simbol matematik. Sebagai contoh, hubungan antara unsur A, B, C dinyatakan dengan formula A+B=C - model matematik.
Proses pemodelan matematik, i.e. mengkaji fenomena menggunakan model matematik boleh dibahagikan kepada empat peringkat.
Langkah 12
Peringkat pertama – pengenalpastian ciri penting sesuatu objek.
13.
Peringkat kedua - membina model.
14 .
Peringkat ketiga – kajian model.
15 .
Peringkat keempat – pemindahan maklumat yang diperoleh daripada model kepada objek yang dikaji.
Keistimewaan pemodelan ialah keterlihatan bukanlah demonstrasi mudah objek semula jadi, tetapi merangsang aktiviti praktikal bebas kanak-kanak.. Keupayaan pelajar untuk bekerja dengan model, transformasinya untuk mengkaji sifat umum konsep yang dipelajari adalah salah satu tugas utama pengajaran dalam semua bidang mata pelajaran.
Pelbagai model digunakan untuk pemodelanobjek matematik: formula berangka, jadual berangka, formula literal, fungsi, persamaan algebra, siri, angka geometri, pelbagai rajah graf, rajah Euler-Venn, graf.
3. Menggunakan kaedah pemodelan dalam pelajaran matematik di sekolah rendah. (1.5 min)
Keperluan murid sekolah rendah untuk menguasai kaedah pemodelan sebagai kaedah kognisi dalam proses pembelajaran boleh dibenarkan dari kedudukan yang berbeza.
Langkah 16
Pertama sekali , ini menyumbang kepada pembentukan pandangan dunia dialektik-materialistik.
17.
Kedua , seperti yang ditunjukkan oleh eksperimen, pengenalan konsep model dan simulasi ke dalam kandungan pembelajaran dengan ketara mengubah sikap pelajar terhadap subjek pendidikan, menjadikan aktiviti pendidikan mereka lebih bermakna dan lebih produktif.
18.
Ketiga , pengajaran kaedah pemodelan yang bertujuan dan sistematik membawa pelajar sekolah yang lebih muda lebih dekat dengan kaedah pengetahuan saintifik dan memastikan perkembangan intelek mereka. Untuk "melengkapkan" pelajar dengan pemodelan sebagai cara kognisi, tidak cukup untuk seorang guru hanya menunjukkan kepada mereka model saintifik yang berbeza dan menunjukkan kepada mereka proses memodelkan fenomena individu. Kanak-kanak sekolah perlu membina model sendiri, mengkaji apa-apa objek atau fenomena sendiri menggunakan pemodelan. Apabila pelajar, menyelesaikan masalah matematik (plot) praktikal, memahami bahawa ia adalah model simbolik beberapa situasi sebenar, mencipta urutan pelbagai modelnya, kemudian mengkaji (menyelesaikan) model ini dan, akhirnya, menterjemah penyelesaian yang terhasil ke dalam bahasa daripada masalah asal, maka Kebanyakan pelajar sekolah menguasai kaedah pemodelan.
Memperkenalkan pelajar kepada teknik pemodelan matematik. (10 min)
Ahli psikologi terkenal P. Galperin dan rakan-rakannya mengembangkan teori pembentukan langkah demi langkah tindakan mental. Menurut teori ini, proses pembelajaran dianggap sebagai penguasaan kanak-kanak terhadap sistem tindakan mental, yang berlaku dalam proses internalisasi (peralihan ke dalam) sebagai tindak balas kepada aktiviti praktikal luaran.
Kanak-kanak melakukan tindakan praktikal dengan objek (pertama dengan yang sebenar, dan kemudian dengan yang khayalan) - tindakan objektif. Daripada mereka, bergantung pada lukisan salinan, dan kemudian pada model objek, dia beralih kepada model grafik. Selepas memperkenalkan simbol dan huruf matematik untuk menunjukkan kuantiti, pelajar menggunakan formula untuk menerangkan tindakan, i.e. model huruf simbol, dan kemudian model lisan (takrif, peraturan).
Sebagai contoh, kanak-kanak diberi tugas amali khusus yang memerlukan mereka mencari dua bekas yang sama isipadu (berbeza bentuk).Langkah foto 19
Selepas ini, kanak-kanak (dan bukan guru) melakukan tindakan praktikal: tuangkan air ke dalam satu balang, tuangkan ke dalam yang lain. Jika semua air dari yang pertama memasuki balang lain, maka isipadu balang ini adalah sama. Adalah dinasihatkan untuk menjemput kanak-kanak untuk mengambil kedua-dua jalur ini, dengan bantuannya mereka boleh menyampaikan hubungan antara volum dan bentuk - sama ada ia sama atau berbeza. Jika isipadu tin adalah sama, kanak-kanak mesti mengangkat dua jalur yang sama panjang, dan jika berbeza, maka berbeza panjangnya.Foto
langkah 20
Untuk memimpin kanak-kanak menggunakan model grafik, sekali lagi perlu menetapkan tugas praktikal tertentu: menggunakan lukisan, tunjukkan bahawa isipadu satu tin lebih besar daripada yang lain. Pengalaman menunjukkan bahawa kanak-kanak mula melukis bentuk tin, i.e. buat salinan lukisan, atau lukis jalur, dengan bantuannya mereka menunjukkan nisbah isipadu tin.
Selepas membincangkan lukisan, kami membuat kesimpulan: melukis tin adalah cara yang tidak berjaya (lukisan tidak tepat, nisbah isipadu tin tidak digambarkan, kerja mengambil banyak masa). Tetapi jalur kanak-kanak juga berbeza dari segi lebar dan panjang, dan ini juga memerlukan banyak masa.
Akibatnya, kami sampai pada kesimpulan bahawa lebih mudah untuk tidak melukis lebar jalur sama sekali, tetapi hanya melukis panjang jalur (iaitu, segmen). Jika kuantiti (panjang, luas, jisim, isipadu, dll.) adalah sama, maka ia mempunyai segmen yang sama panjang, dan jika ia tidak sama, maka panjangnya hendaklah berbeza.Foto dalam buku nota. langkah 21.
Dengan cara ini, imej kuantiti diperkenalkan menggunakan segmen. Kanak-kanak belajar menentukan kuantiti secara skematik dan kemudian membina model grafik (linear).
Ia juga dinasihatkan untuk memperkenalkan dalam gred 1 konsep "keseluruhan" dan "sebahagian" dan untuk membangunkan kemahiran pelajar untuk mewujudkan hubungan antara konsep ini. Bagaimanakah kita boleh menulis dalam bahasa matematik bahawa, sebagai contoh, epal terdiri daripada bahagian yang berasingan? Jika epal itu keseluruhan, kita menandakannya dengan bulatan, dan timbunan epal dilambangkan dengan segi tiga, dan kita mendapat model grafik berikut.
Langkah 22Slaid 7
+ + + =
Mari permudahkan dan mempunyai model asas:
langkah 23. + =
Keseluruhan dan bahagian adalah konsep relatif. Sifat utama perhubungan ini (pada set nombor asli): keseluruhan tidak boleh kurang daripada bahagian, dan bahagian tidak boleh lebih besar daripada keseluruhan; keseluruhan adalah sama dengan jumlah bahagian, dan bahagian adalah sama dengan perbezaan antara keseluruhan dan bahagian yang lain
Langkah 24 = -
Semua orang sedar tentang sinar yang digunakan secara tradisional untuk menggambarkan komposisi nombor.Langkah 25Slaid 8
Jadi hubungan antara bahagian dan keseluruhan boleh ditunjukkan menggunakan notasi grafik tanda:
DENGANlangkah 26
A |___________|___________|
B A B
Gambar rajah yang menerangkan tindakan penambahan juga menerangkan tindakan songsang - penolakan:
Langkah 27slaid 9
Konsep sebahagian dan keseluruhan membolehkan untuk memperkenalkan sifat komutatif dan bersekutu bagi menambah kuantiti.Slaid 10, 11 (2 langkah), 12
Langkah 28, 29, 30
Sama seperti pembelajaran penambahan dan penolakan, simulasi juga boleh digunakan untuk mempelajari pendaraban dan pembahagian.
Secara tradisinya, pendaraban dilihat sebagai menambah istilah yang sama. Biarkan nilai A ditambah B kali:slaid 13.
langkah 31.A+A+A+A+A = AxB
Formula A x B berbunyi seperti ini: "ambil B kali dari A" atau "ambil B kali dari A",
Langkah 32di mana A ialah bahagian (ukuran) yang ditetapkan oleh segi tiga.
B – bilangan bahagian yang sama (bilangan ukuran), kita boleh nyatakan dengan segi empat sama.
Untuk menetapkan keseluruhan kami menggunakan ikon yang sama - bulatan.
Keseluruhan dicirikan sebagai hasil operasi aritmetik mendarab nombor A dan B.
X = A x B = C Skim yang menerangkan tindakan ini:
|____|_A___|___________|
Adalah jelas bahawa apabila kita menganggap pembahagian sebagai tindakan objektif yang bertujuan untuk membahagi mengikut kandungan atau ke bahagian yang sama, adalah mungkin untuk mewujudkan hubungan antara pendaraban dan pembahagian. Kini, sebagai tambahan kepada formula pendarabanLangkah 33Ax B = C, kita mendapat dua songsangan pembahagianlangkah 34.C: A = B danlangkah 35. C: B = A (dengan bentuk geometri). Ini bermakna litar darab adalah litar pembahagian.
Aplikasi pemodelan dalam menyelesaikan persamaan. (10 min)
Untuk memilih kaedah untuk menyelesaikan persamaan dengan betul, anda mesti dapat mencari hubungan antara keseluruhan dan bahagian Apabila konsep ini dibentuk, kanak-kanak memperoleh keupayaan untuk menyatakan keseluruhan melalui bahagian dan bahagian melalui keseluruhan. Mewujudkan hubungan antara penambahan dan penolakan kuantiti berdasarkan konsep bahagian dan keseluruhan memungkinkan untuk membandingkan keseluruhan dengan jumlah dan minuend, bahagian dengan tambahan atau subtrahend dan perbezaan, dan melihat tindakan yang berbeza: A+ B=C, C-A=B, atau C-B=A – mencirikan hubungan yang sama antara kuantiti.
Mencari yang tidak diketahui semasa menyelesaikan persamaan membantu bukan sahaja peraturan, tetapi juga hubungan antara bahagian dan keseluruhan, yang dibentangkan dalam bentuk model grafik.Slaid 14 langkah 36.
Algoritma untuk mengajar cara menyelesaikan persamaan adalah seperti berikut:
Mari kita lukis gambar rajah persamaan. X +5 = 12langkah 37.
Kami mencari keseluruhan dan bahagian pertama dalam rajah, kemudian dalam persamaan (kita gariskan)
Kami menamakan komponen yang tidak diketahui. Mari kita ketahui apa itu: keseluruhan atau sebahagian.
Kami menganalisis bagaimana kami akan mencari kuantiti yang tidak diketahui.
Kami dapatiX. langkah 38, 39
Litar yang dibina boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan penolakan. 12 – x = 5, kerana litar yang menerangkan tindakan penambahan juga merupakan litar untuk penolakan. Contoh gambar dari buku nota
Slaid 15,16 (+1 langkah ), 17, 18.
Langkah, 40, 41, 41-a, 42,43
Tugasnya adalah untuk membahagikan persamaan ini kepada rajah dan mencipta ungkapan
slaid 19 langkah 44, 45. 44-a, 45-b
Pemodelan digunakan sama apabila menyelesaikan persamaan untuk mencari faktor, pembahagi dan dividen yang tidak diketahui.
Slaid 20( 8 langkah ) langkah 46.
Apabila mewujudkan hubungan antara pendaraban dan pembahagian, adalah dinasihatkan untuk memperkenalkan konsep luas, formula untuk mencari luas segi empat tepat, dan mencari sisi yang tidak diketahui.Slaid 21 (1 langkah)
Contoh persamaan. Slaid 22 ( 4 langkah)
Algoritma untuk menyelesaikan persamaanSlaid 23 .
Oleh kerana skema pendaraban ialah skema bahagi, dua persamaan bahagi boleh dibuat daripada satu persamaan. Kawasan adalah keseluruhan, dan sisi panjang dan lebar adalah bahagian.
Di samping itu, pemodelan memberi peluang untuk mempelbagaikan kerja kreatif pada persamaan. Oleh itu, guru boleh menawarkan jenis tugas berikut:
Slaid 24
Menggunakan rajah, karang dan selesaikan persamaan.Langkah 48
Slaid 25 ( membuat keputusan dengan tetamu )
(beberapa persamaan dan gambar rajah diberi) Persamaan yang manakah akan dimuatkan dengan rajah ini? Cari dan buat keputusan.Langkah 49
Slaid 26, 27. 28, 29.
Selesaikan persamaan sambil mengira secara mental. Langkah 50, 51, 52,53
Slaid 30 (10 langkah), 31
Melukis keadaan masalah mengikut rajah persamaan.
Persembahan baru. (Seminar 2)
Permodelan semasa menyelesaikan masalah perkataan (18 min)
Slaid 1
Seseorang tidak boleh tidak bersetuju dengan pendapat bahawa pendidikan moden adalah keupayaan pelajar untuk melihat keadaan sebenar, kehidupan dari perspektif ahli fizik, ahli kimia, ahli sejarah, ahli geografi, tidak sama sekali untuk menjadi penyelidik dalam bidang ini, tetapi untuk seterusnya mencari penyelesaian dalam situasi kehidupan tertentu.
Seorang pelajar junior boleh menjadi penyelidik sebenar dengan menyelesaikan masalah perkataan semasa mengajar matematik kepada pelajar sekolah rendah.
satu Salah satu pendekatan ini ialah pembentukan kebolehan pelajar untuk menyelesaikan masalah jenis tertentu (contohnya, menyelesaikan masalah pada perbandingan perbezaan, dsb., apabila jenis masalah tertentu sedang diamalkan).Satu lagi adalah berdasarkan penggunaan analisis semantik dan matematik masalah teks, apabila masalah dianalisis dari data ke matlamat (kaedah sintetik) dan dari matlamat ke data (analisis).Pendekatan ketiga berdasarkan kaedah penyelesaian masalah pendidikan. Pembentukan tindakan pemodelan mengandaikan pembentukan keupayaan yang berbeza secara kualitatif untuk menyelesaikan masalah perkataan.
Masalah aritmetik dan algebra dalam kesusasteraan juga dipanggil masalah plot, kerana mereka sentiasa mengandungi penerangan lisan tentang beberapa peristiwa, fenomena, tindakan, proses. Teks sebarang masalah plot boleh dicipta semula dengan cara yang berbeza (dari segi subjek, grafik, menggunakan jadual, formula, dll.), dan ini ialah peralihan daripada pemodelan lisan kepada bentuk pemodelan lain. Oleh itu, apabila menyelesaikan masalah, kami memberi perhatian yang besar kepada pembinaan model skematik dan simbolik, serta keupayaan untuk bekerja dengan segmen, memodelkan masalah teks secara grafik dengan bantuan mereka, mengemukakan soalan, menentukan algoritma untuk menyelesaikan dan mencari. jawapan. Kanak-kanak sekolah yang lebih muda, seperti yang kita ketahui, tidak mempunyai tahap pemikiran abstrak yang mencukupi. Dan tugas kami adalah untuk secara progresif mengajarnya untuk mewakili objek tertentu dalam bentuk model simbolik, untuk membantunya belajar menterjemahkan masalah teks ke dalam bahasa matematik. Kami percaya bahawa pemodelan grafik masalah teks yang, paling penting, memberikan peluang sebenar untuk melihat dengan jelas dan menentukan algoritma untuk menyelesaikannya, dan untuk menjalankan refleksi bebas pada tugas yang telah selesai.
Tetapi tidak setiap rekod akan menjadi model tugas. Untuk membina model, untuk transformasi selanjutnya, adalah perlu untuk memilih dalam masalahmatlamat, kuantiti yang diberikan, semua hubungan, supaya, berdasarkan model ini, adalah mungkin untuk meneruskan analisis, membolehkan kami bergerak ke hadapan dalam penyelesaian dan mencari penyelesaian yang optimum. Menyelesaikan sebarang masalah menggunakan kaedah aritmetik dikaitkan dengan pilihan operasi aritmetik, akibatnya seseorang boleh menjawab soalan yang dikemukakan. Untuk memudahkan pencarian model matematik, perlu menggunakan model bantu.Slaid 2 (amal dengan komponen dalam gred 1).
Untuk mencipta semula situasi dalam keadaan tugas, anda boleh menggunakan lukisan skematik, yang akan memberikan peralihan daripada teks masalah kepada korelasi operasi aritmetik tertentu pada nombor, yang menyumbang kepada pembentukan asimilasi yang sedar dan kuat. kaedah umum mengerjakan tugas. Model ini membolehkan pelajar mengembangkan keupayaan untuk menerangkan bagaimana dia menerima jawapan kepada soalan masalah. Tetapi model skematik hanya berkesan jika ia dapat difahami oleh setiap pelajar dan keupayaan untuk menterjemah model lisan ke dalam bahasa rajah telah dibangunkan. Apabila belajar menyelesaikan masalah penambahan dan penolakan mudah, konsep berikut diperkenalkan: keseluruhan, bahagian dan hubungannya.Slaid 3. (2 langkah)
Untuk mencari bahagian, anda perlu menolak bahagian lain daripada keseluruhan.
Untuk mencari keseluruhan anda perlu menambah bahagian.
Apabila belajar menyelesaikan masalah pendaraban dan pembahagian mudah, gambar rajah dan peraturan yang sepadan dicadangkan:
Untuk mencari keseluruhan, anda perlu mendarabkan ukuran dengan bilangan ukuran.
Untuk mencari ukuran, anda perlu membahagikan nombor bulat dengan bilangan ukuran.
Untuk mencari bilangan ukuran, anda perlu membahagikan keseluruhannya dengan ukuran.
Slaid 4. (3 langkah)
Pendekatan pengajaran ini membolehkan kita beralih daripada klasifikasi tugas mudah yang lama. Adalah penting untuk menggambarkan data dan perkara yang dicari sedemikian rupa sehingga hubungan antara kuantiti cukup jelas. Dipertimbangkan dalam masalah, dan hubungan mereka.
Sebagai contoh, saya akan memberikan beberapa masalah teks dan cara menyelesaikannya menggunakan model grafik.
Masalah 1Slaid 5. (5 langkah)
Terdapat 4 ikan besar dan 5 ikan kecil di dalam akuarium. Berapakah jumlah ikan yang terdapat dalam akuarium itu?
Latihan untuk mengarang masalah dan ungkapan daripada gambar (masalah songsang)Slaid 6. ( 8 langkah)Slaid 7.
Masalah 2Slaid 8
Lena mempunyai 5 pir. Dan Misha mempunyai 4 lebih daripada Lena. Berapakah bilangan pear yang dimiliki oleh Misha?
Contoh tugasan untuk mengarang masalah berdasarkan gambar dan menulis penyelesaiannya.Slaid 9.
Masalah 3Slaid 10. (5 langkah)
Lena mempunyai 10 pir. Ini adalah 3 lebih daripada pic. Berapa buah pic yang ada pada Lena?
Tugasan 4.Slaid 11 (4 langkah).
Sasha membeli 5 buku nota dengan harga 8 UAH dan sebuah buku lakaran untuk 33 UAH. Berapakah jumlah wang yang Sasha bayar untuk pembelian itu?
Harga satu buku nota ialah 8 UAH - ini adalah satu segmen (pengukuran). Bilangan segmen unit (5) menunjukkan bilangan buku nota. Bahagian kedua segmen mencerminkan harga (33 UAH) dan kuantiti (1) album.
Tugasan 5.Slaid 12 (7 langkah).Dua cara untuk membuat gambar rajah. Dua penyelesaian
Kilang itu memerlukan 90 pekerja: 50 pemutar, 10 mekanik, selebihnya adalah pemuat. Berapakah bilangan penggerak yang diperlukan?
Slaid 13 (3 langkah)menyusun masalah songsang. BERHENTI
Teknik untuk mengerjakan tugasan.
Pada peringkat suai kenal saya menggunakan teknik berikut:
Penjelasan setiap bahagian komponen model.
Arahan untuk membina model.
Pemodelan menggunakan soalan panduan dan pelaksanaan langkah demi langkah skema.
Pada peringkat memahami lukisan skematik, saya menggunakan teknik berikut:
Merumus teks masalah mengikut plot yang dicadangkan dan rajah segmental.
Korelasi antara rajah dan ungkapan berangka.
Mengisi templat dengan data tugas.
Mencari kesilapan dalam mengisi rajah.
Memilih skema untuk masalah.
Memilih tugasan untuk rajah.
Penambahan syarat tugas.
Menukar skema.
Mengubah keadaan masalah.
Menukar teks tugasan.
Hasil pembelajaran membina dan memahami lukisan skematik adalah pemodelan bebas pelajar terhadap masalah.
Apabila menyelesaikan masalah perkataan, kami berusaha untuk membangunkan tindakan model, dan sebaliknya, lebih baik kanak-kanak menguasai tindakan model, lebih mudah untuk dia menyelesaikan masalah.
Pelajar harus diperkenalkan dengan pelbagai kaedah untuk menyelesaikan masalah perkataan: aritmetik, algebra, geometri, logik dan praktikal; dengan pelbagai jenis model matematik yang mendasari setiap kaedah; serta dengan pelbagai penyelesaian dalam kaedah yang dipilih. Menyelesaikan masalah perkataan menyediakan bahan yang kaya untuk perkembangan dan pendidikan pelajar. Nota ringkas tentang syarat masalah perkataan - contoh model yang digunakan dalam kursus awal matematik. Kaedah pemodelan matematik membolehkan anda mengajar pelajar sekolah:
a) analisis (pada peringkat memahami masalah dan memilih jalan untuk melaksanakan penyelesaian);
b) mewujudkan hubungan antara objek masalah, membina skema penyelesaian yang paling sesuai;
c) tafsiran penyelesaian yang diperoleh untuk masalah asal;
d) merangka tugasan menggunakan model sedia, dsb.
Pembentangan mengerjakan tugasanSlaid15-22 .
Kombinatorik pada model dari gred 1
darjah 2
Susun nombor 4, 6, 8 dengan cara yang berbeza:
Dalam darjah 3-4
"Pokok" (36 makan tengah hari)
Foto dari buku nota
Menggunakan simulasi untuk mengajar penomboran, menambah dan menolak nombor, dan bekerja pada unit panjang (5 min)
Keupayaan untuk menukar nombor kepada unit akaun dan unit ukuran paling kerap menyebabkan beberapa kesukaran. Dan di sini adalah dinasihatkan untuk menggunakan kaedah pemodelan untuk membantu. Dengan mempelajari kepekatan "Sepuluh", kanak-kanak belajar secara skematik mewakili unit menggunakan titik.Slaid 25. Belajar tambah dan tolak menggunakan model.Slaid 26. (7 langkah)Slaid 27.
Semasa mempelajari "The Hundred", kanak-kanak menggambarkan puluhan menggunakan segi tiga kecil. Mereka belajar untuk menukar nombor kepada unit pengiraan (dis. dan unit) dan pada masa yang sama, kanak-kanak menjadi biasa dengan sentimeter dan desimeter. Ini membolehkan kita melukis analogi dalam penukaran unit panjang. Mereka juga mengajar teknik menambah nombor dua digit menggunakan carta nombor.Slaid 28
Semasa mempelajari "Seribu", kanak-kanak akan belajar bahawa kita secara konvensional akan mewakili 10 segitiga (puluhan) dengan satu segitiga besar (seratus). Pada masa yang sama, kanak-kanak sedang mempelajari unit panjang baharu - meter. Apabila menukar nombor kepada unit pengiraan, kami melakukan kerja yang serupa dengan unit panjang.Slaid 29 contoh untuk nombor 342Slaid 30 (5 langkah)
Contoh untuk nombor 320Slaid 31 (6 langkah)
Contoh untuk nombor 302Slaid 32 (8 langkah)
Algoritma.Slaid 33 dan 34(7 langkah)
Cadangan untuk menggunakan kaedah pemodelan dalam pelajaran matematik (3 min)
Adalah perlu untuk memahami bahawa pemodelan dalam pengajaran tidak diingini, tetapi perlu, kerana ia mewujudkan keadaan bagi pelajar untuk menguasai sepenuhnya kaedah kognisi dan kaedah aktiviti pendidikan.
Matlamat utama pemodelan dalam pelajaran ialah:
membina model sebagai satu cara untuk membina cara lakonan baharu.
latihan membina model berdasarkan analisis prinsip dan kaedah pembinaannya.
Ingat bahawa pelajaran pertama berkaitan dengan pemodelan, sebenarnya, ia adalah pelajaran dalam menyediakan tugas pendidikan dan praktikal. Masalah yang dihadapi oleh kanak-kanak ialah mereka tidak mempunyai cara yang mencukupi untuk memaparkan sikap umum. Setiap kali situasi praktikal baharu muncul, kanak-kanak mentakrifkan hubungan baharu - dan persoalan sekali lagi timbul tentang cara menyampaikannya secara grafik.
"Tugas abstrak" seperti melukis rajah menggunakan formula, mewujudkan hubungan antara kuantiti yang merupakan sebahagian daripada beberapa formula, dsb. tawaran apabila perhubungan diterokai, dimaklumkan dan dipaparkan dalam tanda dan gambar rajah berulang kali. Di sebalik model, setiap kanak-kanak harus mempunyai tindakan dengan objek sebenar, yang kini dapat dia lakukan dalam imaginasinya (tindakan mental).
Tempat model untuk kanak-kanak ditentukan bergantung pada tugas
Tindakan itu mungkin disertakan dengan model. Sebagai contoh, jika lebih mudah untuk membina kaedah pada model, sebagai peringkat menyelesaikan masalah teks (hubungan antara kuantiti semasa membaca dipaparkan secara skematik).
Model dibina selepas tindakan selesai. Untuk memahami tindakan yang dilakukan, adalah perlu untuk membina gambar rajah perhubungan yang berasingan. Pembinaan gambar rajah didorong oleh soalan seperti: "Bagaimana anda melakukannya?", "Bagaimanakah anda akan mengajar orang lain untuk melaksanakan tugas sedemikian?
Dan beberapa petua lagi.
Anda perlu bermula dengan mempelajari kesusasteraan khusus. Sebagai contoh, ini adalah metodologi untuk mengajar matematik di sekolah rendah dan buku teks oleh E. Alexandrova, L. Peterson.
Pada persidangan ibu bapa-guru, pastikan anda memperkenalkan ibu bapa kepada kaedah mengajar anak-anak mereka. Nasihat dan arahan anda mungkin berguna untuk mereka.
Ambil setiap peluang untuk mengambil bahagian dalam kelas induk mengenai pemodelan matematik.
Di mana saya menjemput anda.
PENGENALAN
Objek dunia material adalah kompleks dan pelbagai. Mencerminkan semua sifat mereka dalam imej yang dicipta, dikaji dan digunakan adalah sangat sukar, dan tidak perlu. Adalah penting bahawa imej objek mengandungi ciri-ciri yang paling penting untuk kegunaannya Kaedah pemodelan adalah penggantian objek asal dengan objek pengganti yang mempunyai persamaan tertentu dengan asal, untuk mendapatkan maklumat baru tentang. yang asal. Model ialah objek pengganti untuk objek asal, direka untuk mendapatkan maklumat tentang objek asal.
Model matematik merujuk kepada model simbolik dan mewakili penerangan objek dalam bentuk simbol matematik, formula dan ungkapan. Jika anda mempunyai model matematik yang cukup tepat, anda boleh menggunakan pengiraan matematik untuk meramalkan hasil fungsi objek di bawah pelbagai keadaan dan memilih daripada pelbagai kemungkinan pilihan yang memberikan hasil terbaik.
Kertas ini menyediakan jenis klasifikasi kaedah pemodelan matematik dan menerangkan beberapa kaedah:
Pengaturcaraan linear ialah kaedah pemodelan matematik yang digunakan untuk mencari pengagihan optimum sumber terhad antara pekerjaan yang bersaing.
Pemodelan simulasi. Tujuan pemodelan simulasi adalah untuk menghasilkan semula tingkah laku sistem yang dikaji berdasarkan hasil analisis hubungan yang paling signifikan antara elemennya atau, dengan kata lain, untuk membangunkan simulator kawasan subjek yang dikaji untuk menjalankan pelbagai eksperimen. .
Klasifikasi kaedah pemodelan matematik
Oleh kerana kepelbagaian model matematik yang digunakan, klasifikasi amnya adalah sukar. Dalam kesusasteraan, klasifikasi biasanya diberikan, yang berdasarkan pelbagai pendekatan dan prinsip.
Mengikut tahap hierarki model matematik dibahagikan kepada model peringkat mikro, peringkat makro dan peringkat meta. Model matematik di peringkat mikro proses mencerminkan proses fizikal yang berlaku, contohnya, semasa memotong logam. Mereka menerangkan proses pada tahap peralihan (laluan).
Model matematik pada peringkat makro proses menerangkan proses teknologi.
Model matematik pada peringkat meta proses menerangkan sistem teknologi (bahagian, bengkel, perusahaan secara keseluruhan).
Dengan sifat sifat objek yang dipaparkan model boleh dikelaskan kepada struktur dan berfungsi
Model struktur adalah jika ia boleh diwakili oleh struktur data atau struktur data dan hubungan antara mereka.
Model adalah hierarki (seperti pokok), - jika ia boleh diwakili oleh beberapa struktur hierarki (pokok); sebagai contoh, untuk menyelesaikan masalah mencari laluan dalam pepohon carian, anda boleh membina model pepohon yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
Rajah 1 - Model struktur hierarki.
Model adalah rangkaian - jika ia diwakili oleh beberapa struktur rangkaian. Sebagai contoh, pembinaan rumah baru merangkumi pelbagai operasi yang boleh diwakili dalam bentuk model rangkaian yang ditunjukkan dalam Rajah 2.
Rajah 2 - Model struktur rangkaian.
Sesuatu model berfungsi jika ia boleh diwakili dalam bentuk sistem perhubungan berfungsi. Sebagai contoh, hukum Newton dan model pengeluaran barang adalah berfungsi.
Dengan cara mewakili sifat objek model dibahagikan kepada analitikal, berangka, algoritma dan simulasi.
Model matematik analitik ialah ungkapan matematik eksplisit parameter output sebagai fungsi input dan parameter dalaman dan mempunyai penyelesaian unik untuk sebarang keadaan awal. Sebagai contoh, proses pemotongan (pusing) dari sudut pandangan kuasa bertindak adalah model analisis. Juga, persamaan kuadratik yang mempunyai satu atau lebih penyelesaian akan menjadi model analisis. Model akan berbentuk berangka jika ia mempunyai penyelesaian di bawah keadaan awal tertentu (persamaan kamiran pembezaan).
Model adalah algoritma jika ia diterangkan oleh beberapa algoritma atau set algoritma yang menentukan fungsi dan perkembangannya. Pengenalan model jenis ini (sememangnya, nampaknya mana-mana model boleh diwakili oleh algoritma untuk kajiannya) agak wajar, kerana tidak semua model boleh dikaji atau dilaksanakan secara algoritma. Sebagai contoh, model untuk mengira jumlah siri nombor yang berkurangan tidak terhingga boleh menjadi algoritma untuk mengira jumlah terhingga siri kepada tahap ketepatan tertentu. Model algoritma bagi punca kuasa dua nombor X boleh menjadi algoritma untuk mengira anggarannya, nilai tepat sewenang-wenangnya menggunakan formula berulang yang diketahui.
Model simulasi adalah jika ia bertujuan untuk menguji atau mengkaji kemungkinan laluan pembangunan dan tingkah laku objek dengan mengubah beberapa atau semua parameter model, contohnya, model sistem ekonomi untuk pengeluaran dua jenis barang. Model sebegini boleh digunakan sebagai model simulasi untuk menentukan dan mengubah jumlah kos bergantung pada nilai tertentu volum barang yang dihasilkan.
Dengan kaedah penerimaan model terbahagi kepada teori dan empirikal model matematik teori dicipta hasil daripada mengkaji objek (proses) pada peringkat teori. Sebagai contoh, terdapat ungkapan untuk daya pemotongan yang diperoleh berdasarkan generalisasi undang-undang fizikal. Tetapi mereka tidak boleh diterima untuk kegunaan praktikal, kerana ia sangat rumit dan tidak sepenuhnya disesuaikan dengan proses sebenar. Model matematik empirikal dicipta hasil daripada menjalankan eksperimen (mengkaji manifestasi luaran sifat sesuatu objek dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan memproses keputusannya menggunakan kaedah statistik matematik.
Mengikut bentuk perwakilan sifat objek model dibahagikan kepada logik, set-teoretik dan graf. Model adalah logik jika ia boleh diwakili oleh predikat dan fungsi logik sebagai contoh, satu set dua fungsi logik boleh berfungsi sebagai model matematik penambah satu bit. Sesuatu model adalah set-teoretik jika ia boleh diwakili menggunakan set tertentu dan hubungan keahlian kepada mereka dan antara mereka. Model graf adalah jika ia boleh diwakili oleh graf atau graf dan hubungan antaranya.
Mengikut tahap kestabilan. model boleh dibahagikan kepada stabil dan tidak stabil. Sistem yang stabil ialah sistem yang, setelah dikeluarkan daripada keadaan asalnya, cenderung kepadanya. Ia boleh berayun untuk beberapa waktu di sekitar titik permulaan, seperti bandul biasa yang bergerak, tetapi gangguan di dalamnya memudar dari semasa ke semasa dan hilang Dalam sistem yang tidak stabil, yang pada mulanya dalam keadaan rehat, gangguan yang terhasil meningkat, menyebabkan peningkatan dalam nilai pembolehubah yang sepadan atau ayunannya dengan amplitud yang semakin meningkat
Berhubung dengan faktor luaran model boleh dibahagikan kepada terbuka dan tertutup. Model tertutup ialah model yang beroperasi tanpa sambungan dengan pembolehubah luaran (eksogen). Dalam model tertutup, perubahan dalam nilai pembolehubah dari semasa ke semasa ditentukan oleh interaksi dalaman pembolehubah itu sendiri. Model gelung tertutup boleh mendedahkan tingkah laku sistem tanpa memperkenalkan pembolehubah luaran. Contoh: sistem maklumat maklum balas adalah sistem tertutup. Ia adalah sistem penyesuaian diri, dan ciri-cirinya timbul daripada struktur dalaman dan interaksi yang mencerminkan input maklumat luaran. Model yang dikaitkan dengan pembolehubah luaran (eksogen) dipanggil terbuka.
Berhubung dengan faktor masa model dibahagikan kepada dinamik dan statik Sesuatu model dipanggil statik jika tiada parameter masa antara parameter yang terlibat dalam penerangannya. Sesuatu model dipanggil model dinamik jika antara parameternya terdapat parameter masa, iaitu ia memaparkan sistem (proses dalam sistem) dalam masa. serentak.
Pengaturcaraan linear
Di antara masalah pengaturcaraan matematik, yang paling mudah (dan terbaik dipelajari) ialah apa yang dipanggil masalah pengaturcaraan linear. Apa ciri mereka ialah:
a) penunjuk kecekapan (fungsi objektif) W secara linear bergantung kepada unsur penyelesaian x 1, x 2, ....., x n dan
b) sekatan yang dikenakan ke atas unsur penyelesaian berbentuk kesamaan linear atau ketaksamaan berkenaan dengan x 1, x 2, ..., x n
Masalah sedemikian sering dihadapi dalam amalan, contohnya, apabila menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengagihan sumber, perancangan pengeluaran, organisasi pengangkutan, dll. Ini adalah wajar, kerana dalam banyak masalah praktikal "perbelanjaan" dan "pendapatan" secara linear bergantung kepada bilangan barang yang dibeli atau dilupuskan (contohnya, jumlah kos konsainan barang bergantung secara linear pada bilangan unit yang dibeli; bayaran untuk pengangkutan dibuat mengikut perkadaran berat barang yang diangkut, dsb.).
Sebarang masalah pengaturcaraan linear boleh dikurangkan kepada bentuk standard, yang dipanggil "masalah pengaturcaraan linear asas" (OBLP), yang dirumuskan seperti berikut: cari nilai bukan negatif pembolehubah x 1, x 2, .. ., x n yang akan memenuhi syarat kesamaan ( 1).
Kes apabila f mesti diubah bukan kepada maksimum, tetapi kepada c. minimum boleh dengan mudah dikurangkan kepada yang sebelumnya jika kita hanya menukar tanda f kepada sebaliknya (maksimumkan bukan f, tetapi f" = - f). Di samping itu, daripada sebarang keadaan ketidaksamaan seseorang boleh beralih kepada keadaan kesamaan pada kos memperkenalkan pembolehubah tambahan baharu.
Bergantung pada jenis fungsi objektif dan sekatan, beberapa jenis masalah pengaturcaraan linear atau model linear boleh dibezakan: masalah linear am, masalah pengangkutan, masalah tugasan.
Masalah pengangkutan (masalah Monge-Kantorovich) ialah masalah pengaturcaraan linear matematik jenis khas tentang mencari taburan optimum objek homogen daripada penumpuk ke penerima sambil meminimumkan kos pergerakan. Untuk memudahkan pemahaman, ia dianggap sebagai masalah tentang rancangan optimum untuk mengangkut barang dari tempat berlepas ke tempat penggunaan, dengan kos pengangkutan yang minimum.
Masalah tugasan dirumuskan seperti berikut:
Terdapat bilangan karya tertentu dan bilangan penghibur tertentu. Mana-mana penghibur boleh ditugaskan untuk melaksanakan mana-mana (tetapi hanya satu) kerja, tetapi pada kos yang tidak sama rata. Ia adalah perlu untuk mengagihkan kerja supaya dapat menyiapkan kerja dengan kos yang minimum. Jika bilangan pekerjaan dan pelaksana bertepatan, maka masalah itu dipanggil masalah tugasan linear.
Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear, khususnya kaedah grafik dan kaedah simpleks. Kaedah grafik adalah berdasarkan tafsiran geometri masalah pengaturcaraan linear dan digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam ruang dua dimensi. Masalah ruang tiga dimensi diselesaikan sangat jarang, kerana membina penyelesaian mereka adalah menyusahkan dan tidak mempunyai kejelasan. Mari kita pertimbangkan kaedah menggunakan contoh masalah dua dimensi.
Cari penyelesaian X = (x 1,x 2) yang memenuhi sistem ketaksamaan (3)
|
di mana nilai fungsi objektif F = 2x 1 x 2 mencapai maksimumnya.
Mari kita bina pada satah dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartes x 1 Ox 2 kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan untuk masalah itu.
Setiap garis lurus yang dibina membahagikan satah kepada dua satah separuh. Koordinat titik satu setengah satah memenuhi ketaksamaan asal, tetapi yang lain tidak. Untuk menentukan separuh satah yang dikehendaki, anda perlu mengambil beberapa titik kepunyaan salah satu satah separuh dan semak sama ada koordinatnya memenuhi ketaksamaan ini. Jika koordinat titik yang diambil memenuhi ketaksamaan ini, maka separuh satah yang dikehendaki ialah separuh satah yang mana titik ini tergolong. Jika tidak, separuh pesawat lagi.
Mari kita cari separuh satah yang ditakrifkan oleh ketaksamaan x 1 -x 2 ≥-3. Untuk melakukan ini, setelah membina garis lurus (I) x 1 -x 2 =-3, kita mengambil beberapa titik kepunyaan salah satu daripada dua setengah satah yang terhasil, sebagai contoh, titik O(0,0). Koordinat titik ini memenuhi ketaksamaan x 1 -x 2 ≥-3. Ini bermakna separuh satah di mana titik O(0,0) tergolong ditentukan oleh ketaksamaan x 1 -x 2 ≥-3.
Sekarang mari kita cari separuh satah yang ditakrifkan oleh ketaksamaan 6x1+7x 2 ≤42.
Kami membina baris II 6x 1 +7x 2 =42. Koordinat titik O(0,0) memenuhi ketaksamaan 6x 1 + 7x 2 ≤42, yang bermaksud bahawa separuh satah yang diperlukan adalah yang kedua.
Sekarang kita sedang mencari satah separuh untuk ketaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Koordinat titik O(0,0) memenuhi ketaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Akibatnya, separuh satah di mana titik O(0,0) tergolong ditentukan oleh ketaksamaan 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (Garis III).
Dan satah separuh untuk ketaksamaan x 1 + x 2 ≥4. Koordinat titik O(0,0) memenuhi ketaksamaan x 1 + x 2 ≥4 (Lurus IV). Oleh itu garis lurus x 1 + x 2 =4 ditentukan oleh separuh satah pertama.
Ketaksamaan x 1 ≥0 dan x 2 ≥0 bermakna kawasan penyelesaian akan terletak di sebelah kanan paksi ordinat dan di atas paksi absis. Oleh itu, kawasan berlorek ABCD dalam Rajah 3 akan menjadi kawasan penyelesaian boleh dilaksanakan yang ditentukan oleh kekangan masalah. Fungsi objektif mengambil nilai maksimumnya pada salah satu bucu rajah ABCD. Untuk menentukan bucu ini, kita membina vektor C (2; -1) dan garis lurus 2x 1 -x 2 =p, di mana p ialah beberapa pemalar supaya garis lurus 2x 1 -x 2 =p mempunyai titik sepunya dengan poligon penyelesaian. Mari kita letakkan, sebagai contoh, p=1/2 dan bina garis lurus 2 x 1 -x 2 =1/2. Seterusnya, kami akan menggerakkan garisan yang dibina ke arah vektor sehingga ia melalui titik sepunya terakhir dengan poligon penyelesaian. Koordinat titik yang ditentukan menentukan rancangan optimum untuk tugas ini.
Rajah 3 menunjukkan titik sepunya terakhir bagi garis lurus 2x 1 -x 2 =p dengan poligon penyelesaian ialah titik A. Titik ini ialah persilangan garis lurus II dan III, jadi koordinatnya didapati sebagai penyelesaian kepada sistem. persamaan yang menentukan garis lurus ini:
|
Dalam kes ini, nilai fungsi objektif F = 2 x 1 -x 2 = 2* 5.25 – 1 *1.5 = 9.
Titik B akan menjadi penyelesaian optimum kepada masalah X opt = (x 1 opt, x 2 opt) dan koordinatnya akan sama dengan x 1 opt = 5.25, x 2 opt = 1.5.
Rajah 3 - Wilayah penyelesaian yang boleh dilaksanakan kepada masalah
Simplex - kaedah
Kaedah ini ialah kaedah penghitungan bertujuan penyelesaian rujukan kepada masalah pengaturcaraan linear. Ia membenarkan, dalam bilangan langkah yang terhad, sama ada untuk mencari penyelesaian yang optimum atau untuk menentukan bahawa tiada penyelesaian yang optimum.
1) Nyatakan kaedah untuk mencari penyelesaian rujukan yang optimum.
2) Nyatakan kaedah peralihan dari satu penyelesaian rujukan kepada yang lain, di mana nilai fungsi objektif akan lebih dekat dengan yang optimum, i.e. menunjukkan cara untuk menambah baik penyelesaian rujukan.
3) Tetapkan kriteria yang membolehkan anda berhenti dengan segera mencari penyelesaian sokongan pada penyelesaian optimum atau membuat kesimpulan tentang ketiadaan penyelesaian optimum.
Untuk menyelesaikan masalah menggunakan kaedah simpleks, anda mesti melakukan perkara berikut:
1) Bawa masalah kepada bentuk kanonik.
2) Cari penyelesaian sokongan awal dengan "asas unit" (jika tiada penyelesaian sokongan, maka masalah tidak mempunyai penyelesaian kerana ketidakserasian sistem kekangan).
3) Kira anggaran penguraian vektor berdasarkan penyelesaian rujukan dan isikan jadual kaedah simpleks.
4) Jika kriteria keunikan penyelesaian optimum dipenuhi, maka penyelesaian masalah itu berakhir. Sekiranya syarat kewujudan set penyelesaian optimum dipenuhi, maka semua penyelesaian optimum ditemui dengan penghitungan mudah.
Kecekapan pengiraan kaedah matematik biasanya dinilai menggunakan dua parameter:
1) Bilangan lelaran yang diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian;
2) Penggunaan masa komputer.
Hasil daripada eksperimen berangka, keputusan berikut diperoleh untuk kaedah simpleks:
1) Bilangan lelaran apabila menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear dalam bentuk piawai dengan kekangan dan pembolehubah adalah antara dan . Purata bilangan lelaran. Sempadan atas pada bilangan lelaran ialah .
2) Masa mesin yang diperlukan adalah berkadar dengan .
Bilangan kekangan mempunyai kesan yang lebih besar terhadap kecekapan pengiraan daripada bilangan pembolehubah, oleh itu, apabila merumuskan masalah pengaturcaraan linear, seseorang harus berusaha untuk mengurangkan bilangan kekangan, walaupun dengan meningkatkan bilangan pembolehubah.
Konsep asas kaedah simulasi.
Istilah "pemodelan simulasi" (model simulasi) biasanya bermaksud mengira nilai beberapa ciri proses yang berkembang dari semasa ke semasa dengan menghasilkan semula aliran proses ini pada komputer menggunakan model matematiknya, dan ia adalah sama ada mustahil atau sangat. sukar untuk mendapatkan keputusan yang diperlukan dengan kaedah lain. Menghasilkan semula aliran proses pada komputer menggunakan model matematik biasanya dipanggil eksperimen simulasi.
Model simulasi tergolong dalam kelas model yang merupakan sistem perhubungan antara ciri-ciri proses yang diterangkan. Ciri-ciri ini dibahagikan kepada dalaman ("endogen", "pembolehubah fasa") dan luaran ("eksogen", "parameter"). Kira-kira ciri dalaman adalah mereka yang nilainya bertujuan untuk diketahui menggunakan alat pemodelan matematik; luaran - ciri-ciri dalaman yang sangat bergantung, tetapi pergantungan songsang (dengan ketepatan yang boleh diterima secara praktikal) tidak berlaku.
Model yang mampu meramalkan nilai ciri dalaman mesti ditutup ("model tertutup"), dalam erti kata bahawa hubungannya membolehkan seseorang mengira ciri dalaman diberikan ciri luaran yang diketahui. Prosedur untuk menentukan ciri luaran model dipanggil pengenalannya, atau penentukuran. Model matematik kelas yang diterangkan (ini termasuk model simulasi) mentakrifkan pemetaan yang membolehkan seseorang memperoleh nilai dalaman daripada nilai ciri luaran yang diketahui. Dalam perkara berikut, pemetaan ini akan dipanggil pemetaan yang dikaitkan dengan model.
Model kelas yang sedang dipertimbangkan adalah berdasarkan postulat tentang kebebasan ciri luaran daripada ciri dalaman, dan hubungan model adalah satu bentuk merekodkan pemetaan yang berkaitan dengannya. Seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4, semasa proses simulasi, penyelidik membincangkan empat elemen utama:
Sistem sebenar;
Model logik-matematik objek simulasi;
Model simulasi (mesin);
Komputer di mana simulasi dijalankan adalah eksperimen pengiraan terarah.
Penyelidik mengkaji sistem sebenar, membangunkan model logik-matematik sistem sebenar. Sifat simulasi penyelidikan mengandaikan kehadiran model logik atau logik-matematik yang menggambarkan proses yang sedang dikaji. Di atas, sistem sebenar ditakrifkan sebagai satu set elemen berinteraksi yang beroperasi dari semasa ke semasa. Sifat komposit sistem kompleks menerangkan perwakilan modelnya dalam bentuk tiga set: A, S, T, di mana
A – satu set elemen (bilangan mereka termasuk persekitaran luaran);
S - set sambungan yang boleh diterima antara elemen (struktur model);
T ialah set titik masa yang sedang dipertimbangkan.
Rajah 4 Proses simulasi
Ciri pemodelan simulasi ialah model simulasi membolehkan anda menghasilkan semula objek simulasi:
Sambil mengekalkan struktur logik mereka;
Dengan pemeliharaan sifat tingkah laku (urutan bergantian dalam masa peristiwa yang berlaku dalam sistem), i.e. dinamik interaksi.
Dalam pemodelan simulasi, struktur sistem simulasi dipaparkan secukupnya dalam model, dan proses fungsinya dimainkan (disimulasikan) pada model yang dibina. Oleh itu, pembinaan model simulasi terdiri daripada menerangkan struktur dan proses berfungsi objek atau sistem yang dimodelkan.
Terdapat model simulasi:
Berterusan;
diskret;
Berterusan-diskrit.
Dalam model simulasi berterusan, pembolehubah berubah secara berterusan, keadaan sistem simulasi berubah sebagai fungsi berterusan masa, dan, sebagai peraturan, perubahan ini diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan. Sehubungan itu, kemajuan masa model bergantung pada kaedah berangka untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Dalam model simulasi diskret, pembolehubah berubah secara diskret pada saat tertentu masa simulasi (berlakunya peristiwa).
Dinamik model diskret ialah proses peralihan daripada saat permulaan peristiwa seterusnya kepada saat permulaan peristiwa seterusnya. Oleh kerana dalam sistem sebenar proses berterusan dan diskret selalunya tidak boleh dipisahkan, model diskret berterusan telah dibangunkan yang menggabungkan ciri mekanisme kemajuan masa bagi kedua-dua proses ini.
Kaedah simulasi membolehkan anda menyelesaikan masalah kerumitan yang tinggi, menyediakan simulasi proses yang kompleks dan pelbagai dengan sejumlah besar elemen. Kebergantungan fungsi individu dalam model sedemikian boleh diterangkan oleh hubungan matematik yang rumit. Oleh itu, pemodelan simulasi digunakan secara berkesan dalam masalah mengkaji sistem dengan struktur yang kompleks untuk menyelesaikan masalah tertentu. Model simulasi mengandungi elemen tindakan berterusan dan diskret, oleh itu ia digunakan untuk mengkaji sistem dinamik, apabila analisis kesesakan diperlukan, kajian dinamik berfungsi, apabila wajar untuk memerhati kemajuan proses pada simulasi model dalam jangka masa tertentu.
Pemodelan simulasi ialah alat yang berkesan untuk mengkaji sistem stokastik, apabila sistem yang dikaji boleh dipengaruhi oleh banyak faktor rawak yang bersifat kompleks. Adalah mungkin untuk menjalankan penyelidikan dalam keadaan ketidakpastian, dengan data yang tidak lengkap dan tidak tepat. Pemodelan simulasi merupakan faktor penting dalam sistem sokongan keputusan kerana... membolehkan anda meneroka sejumlah besar alternatif (pilihan penyelesaian), memainkan pelbagai senario untuk sebarang data input.
Kelebihan utama pemodelan simulasi ialah penyelidik sentiasa boleh mendapatkan jawapan kepada soalan "Apa yang akan berlaku jika?" untuk menguji strategi baharu dan membuat keputusan apabila mengkaji situasi yang mungkin. Model simulasi memungkinkan untuk membuat ramalan apabila ia berkaitan dengan sistem yang direka bentuk atau apabila proses pembangunan sedang dikaji (iaitu, dalam kes di mana sistem sebenar belum wujud). Model simulasi boleh menyediakan pelbagai, termasuk tahap perincian tinggi untuk proses simulasi. Dalam kes ini, model dibuat langkah demi langkah, secara evolusi.
RUJUKAN
1. Blinov, Yu.F. Kaedah pemodelan matematik [Teks]: Buku teks elektronik / Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. bahasa Serbia – Taganrog: TTI SFU, 2012. – 42 p.
2. Ventzel, E.S. Penyelidikan Operasi. Objektif, prinsip, metodologi. [Teks]: Buku Teks / E.S. Ventzel - M.: KNORUS, 2010. - 192 p.
3. Getmanchuk, A. V. Kaedah dan model ekonomi dan matematik [Teks]: Buku teks untuk sarjana muda. / A.V. Getmanchuk - M.: Penerbitan dan perbadanan perdagangan "Dashkov and Co", 2013. -188 p.
4. Zamyatina, O.M. Pemodelan sistem. [Teks]: Manual latihan. / O.M. Zamyatin - Tomsk: TPU Publishing House, 2009. - 204 p.
5. Pavlovsky, Yu.N. Pemodelan simulasi. [Teks]: buku teks untuk pelajar universiti / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I Brodsky - M.: Pusat Penerbitan "Akademi", 2008. - 236 p.
Model matematik- penerangan anggaran objek pemodelan, dinyatakan menggunakan simbol matematik.
Model matematik muncul bersama-sama dengan matematik berabad-abad yang lalu. Kemunculan komputer memberi dorongan besar kepada pembangunan pemodelan matematik. Penggunaan komputer telah membolehkan untuk menganalisis dan mengaplikasi dalam amalan banyak model matematik yang sebelum ini tidak sesuai dengan penyelidikan analitikal. Model matematik yang dilaksanakan oleh komputer dipanggil model matematik komputer, A menjalankan pengiraan yang disasarkan menggunakan model komputer dipanggil eksperimen pengiraan.
Peringkat-peringkat pemodelan matematik komputer ditunjukkan dalam rajah. Peringkat pertama- penentuan matlamat pemodelan. Matlamat ini boleh berbeza:
1) model diperlukan untuk memahami bagaimana objek tertentu distrukturkan, apakah strukturnya, sifat asasnya, undang-undang pembangunan dan interaksi dengan dunia luar (pemahaman);
2) model diperlukan untuk mempelajari cara mengurus objek (atau proses) dan menentukan kaedah pengurusan terbaik untuk matlamat dan kriteria (pengurusan) yang diberikan;
3) model diperlukan untuk meramal akibat langsung dan tidak langsung pelaksanaan kaedah dan bentuk pengaruh yang diberikan ke atas objek (peramalan).
Mari kita jelaskan dengan contoh. Biarkan objek kajian adalah interaksi aliran cecair atau gas dengan jasad yang menjadi penghalang kepada aliran ini. Pengalaman menunjukkan bahawa daya rintangan untuk mengalir pada bahagian badan meningkat dengan peningkatan kelajuan aliran, tetapi pada beberapa kelajuan yang cukup tinggi daya ini berkurangan secara tiba-tiba supaya dengan peningkatan selanjutnya dalam kelajuan ia meningkat semula. Apakah yang menyebabkan penurunan daya rintangan? Pemodelan matematik membolehkan kita mendapatkan jawapan yang jelas: pada saat penurunan mendadak dalam rintangan, vorteks yang terbentuk dalam aliran cecair atau gas di belakang badan yang diperkemas mula melepaskan diri daripadanya dan dibawa oleh aliran.
Contoh dari kawasan yang sama sekali berbeza: populasi dua spesies individu yang hidup bersama secara aman dengan nombor yang stabil, mempunyai bekalan makanan yang sama, "tiba-tiba" mula mengubah bilangan mereka secara mendadak. Dan di sini pemodelan matematik membolehkan (dengan tahap kebolehpercayaan tertentu) untuk mewujudkan punca (atau sekurang-kurangnya menyangkal hipotesis tertentu).
Membangunkan konsep untuk mengurus objek adalah satu lagi matlamat pemodelan yang mungkin. Mod penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan itu selamat dan paling menguntungkan dari segi ekonomi? Bagaimana untuk menjadualkan ratusan jenis kerja pembinaan kemudahan yang besar supaya ia siap dalam masa yang sesingkat mungkin? Banyak masalah sedemikian secara sistematik timbul sebelum ahli ekonomi, pereka bentuk, dan saintis.
Akhir sekali, meramalkan akibat kesan tertentu pada objek boleh menjadi perkara yang agak mudah dalam sistem fizikal yang mudah, dan sangat kompleks - di ambang kemungkinan - dalam sistem biologi, ekonomi dan sosial. Walaupun agak mudah untuk menjawab soalan tentang perubahan dalam cara pengagihan haba dalam rod nipis disebabkan oleh perubahan dalam aloi konstituennya, ia adalah jauh lebih sukar untuk mengesan (meramal) akibat alam sekitar dan iklim pembinaan besar. stesen janakuasa hidroelektrik atau akibat sosial daripada perubahan dalam perundangan cukai. Mungkin di sini juga, kaedah pemodelan matematik akan memberikan bantuan yang lebih penting pada masa hadapan.
Peringkat kedua: penentuan parameter input dan output model; pembahagian parameter input mengikut tahap kepentingan pengaruh perubahannya ke atas output. Proses ini dipanggil ranking, atau pemisahan mengikut pangkat (lihat . “Formalisasi dan pemodelan”).
Peringkat ketiga: pembinaan model matematik. Pada peringkat ini, berlaku peralihan daripada rumusan abstrak model kepada rumusan yang mempunyai perwakilan matematik tertentu.
Model matematik- ini ialah persamaan, sistem persamaan, sistem ketaksamaan, persamaan pembezaan atau sistem persamaan tersebut, dsb.
Peringkat keempat: memilih kaedah untuk mengkaji model matematik. Selalunya, kaedah berangka digunakan di sini, yang sesuai dengan pengaturcaraan. Sebagai peraturan, beberapa kaedah sesuai untuk menyelesaikan masalah yang sama, berbeza dalam ketepatan, kestabilan, dll. Kejayaan keseluruhan proses pemodelan selalunya bergantung pada pilihan kaedah yang betul.
Peringkat kelima: pembangunan algoritma, penyusunan dan penyahpepijatan program komputer adalah proses yang sukar untuk diformalkan. Di antara bahasa pengaturcaraan, ramai profesional lebih suka FORTRAN untuk pemodelan matematik: kedua-duanya disebabkan oleh tradisi dan kerana kecekapan pengkompil yang tiada tandingan (untuk kerja pengiraan) dan ketersediaan perpustakaan program standard yang besar, dinyahpenyah dengan teliti dan dioptimumkan untuk kaedah matematik yang ditulis di dalamnya. Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, bergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pengaturcara.
Peringkat keenam: ujian program. Pengendalian program diuji pada masalah ujian dengan jawapan yang diketahui sebelum ini. Ini hanyalah permulaan prosedur ujian yang sukar untuk diterangkan dengan cara yang lengkap secara rasmi. Biasanya, ujian tamat apabila pengguna, berdasarkan ciri profesionalnya, menganggap program itu betul.
Peringkat ketujuh: eksperimen pengiraan sebenar, di mana ia ditentukan sama ada model sepadan dengan objek sebenar (proses). Model ini cukup memadai untuk proses sebenar jika beberapa ciri proses yang diperolehi pada komputer bertepatan dengan ciri yang diperoleh secara eksperimen dengan tahap ketepatan tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenar, kami kembali ke salah satu peringkat sebelumnya.
Klasifikasi model matematik
Pengelasan model matematik boleh berdasarkan pelbagai prinsip. Model boleh dikelaskan mengikut cabang sains (model matematik dalam fizik, biologi, sosiologi, dll.). Boleh dikelaskan mengikut radas matematik yang digunakan (model berdasarkan penggunaan persamaan pembezaan biasa, persamaan pembezaan separa, kaedah stokastik, transformasi algebra diskret, dll.). Akhir sekali, jika kita meneruskan dari masalah umum pemodelan dalam sains yang berbeza, tanpa mengira alat matematik, klasifikasi berikut adalah paling semula jadi:
· model deskriptif (deskriptif);
· model pengoptimuman;
· model pelbagai kriteria;
· model permainan.
Mari kita jelaskan ini dengan contoh.
Model deskriptif (deskriptif).. Sebagai contoh, pemodelan gerakan komet yang telah menyerang sistem suria dijalankan untuk meramalkan laluan penerbangannya, jarak di mana ia akan berlalu dari Bumi, dsb. Dalam kes ini, matlamat pemodelan adalah bersifat deskriptif, kerana tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apa-apa di dalamnya.
Model pengoptimuman digunakan untuk menerangkan proses yang boleh dipengaruhi dalam usaha mencapai matlamat tertentu. Dalam kes ini, model termasuk satu atau lebih parameter yang boleh dipengaruhi. Sebagai contoh, apabila menukar rejim terma dalam jelapang, anda boleh menetapkan matlamat memilih rejim yang akan mencapai keselamatan bijirin maksimum, i.e. mengoptimumkan proses penyimpanan.
Model berbilang kriteria. Selalunya diperlukan untuk mengoptimumkan proses sepanjang beberapa parameter secara serentak, dan matlamat boleh menjadi agak bercanggah. Sebagai contoh, mengetahui harga makanan dan keperluan seseorang untuk makanan, adalah perlu untuk mengatur pemakanan untuk kumpulan besar orang (dalam tentera, kem musim panas kanak-kanak, dll.) Secara fisiologi dengan betul dan, pada masa yang sama, semurah mungkin. Adalah jelas bahawa matlamat ini tidak bertepatan sama sekali, i.e. Semasa pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, yang mana keseimbangan mesti dicari.
Model permainan mungkin berkaitan bukan sahaja dengan permainan komputer, tetapi juga dengan perkara yang sangat serius. Sebagai contoh, sebelum pertempuran, seorang komander, jika terdapat maklumat yang tidak lengkap tentang tentera lawan, mesti membuat rancangan: bagaimana untuk memperkenalkan unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mengambil kira kemungkinan reaksi musuh. Terdapat cabang khas matematik moden - teori permainan - yang mengkaji kaedah membuat keputusan dalam keadaan maklumat yang tidak lengkap.
Dalam kursus sains komputer sekolah, pelajar menerima pemahaman awal tentang pemodelan matematik komputer sebagai sebahagian daripada kursus asas. Di sekolah menengah, pemodelan matematik boleh dipelajari secara mendalam dalam kursus pendidikan am untuk kelas fizik dan matematik, serta sebagai sebahagian daripada kursus elektif khusus.
Bentuk utama pengajaran pemodelan matematik komputer di sekolah menengah ialah kuliah, makmal dan kelas ujian. Biasanya, kerja mencipta dan menyediakan untuk mengkaji setiap model baharu mengambil masa 3-4 pelajaran. Semasa pembentangan bahan, masalah ditetapkan yang mesti diselesaikan oleh pelajar secara bebas pada masa hadapan, dan cara untuk menyelesaikannya digariskan secara umum. Soalan dirumuskan, jawapan yang mesti diperolehi apabila menyelesaikan tugasan. Kesusasteraan tambahan ditunjukkan yang membolehkan anda mendapatkan maklumat tambahan untuk menyelesaikan tugas yang lebih berjaya.
Bentuk organisasi kelas semasa mempelajari bahan baru biasanya merupakan kuliah. Selepas menyelesaikan perbincangan model seterusnya, pelajar mempunyai maklumat teori yang diperlukan dan satu set tugasan untuk kerja selanjutnya. Sebagai persediaan untuk menyelesaikan tugasan, pelajar memilih kaedah penyelesaian yang sesuai dan menguji program yang dibangunkan menggunakan beberapa penyelesaian persendirian yang terkenal. Sekiranya terdapat kesukaran yang mungkin berlaku semasa menyelesaikan tugasan, perundingan diberikan, dan cadangan dibuat untuk mengkaji bahagian ini dengan lebih terperinci dalam sumber sastera.
Yang paling sesuai untuk bahagian praktikal pengajaran pemodelan komputer ialah kaedah projek. Tugas ini dirumuskan untuk pelajar dalam bentuk projek pendidikan dan dijalankan dalam beberapa pelajaran, dengan bentuk organisasi utama ialah kerja makmal komputer. Permodelan pengajaran menggunakan kaedah projek pendidikan boleh dilaksanakan pada tahap yang berbeza.
Pertama- pembentangan bermasalah proses menyiapkan projek, diketuai oleh guru.
Kedua- pelaksanaan projek oleh pelajar di bawah bimbingan guru.
Ketiga- pelaksanaan bebas oleh pelajar projek penyelidikan pendidikan.
Hasil kerja mesti dipersembahkan dalam bentuk berangka, dalam bentuk graf dan gambar rajah. Jika boleh, proses itu dibentangkan pada skrin komputer dalam dinamik. Setelah selesai pengiraan dan penerimaan keputusan, mereka dianalisis, berbanding dengan fakta yang diketahui dari teori, kebolehpercayaan disahkan dan tafsiran bermakna dijalankan, yang kemudiannya dicerminkan dalam laporan bertulis.
Sekiranya hasilnya memuaskan hati pelajar dan guru, maka kerja itu dianggap selesai, dan peringkat terakhirnya ialah penyediaan laporan. Laporan itu merangkumi maklumat teori ringkas tentang topik yang dikaji, rumusan matematik masalah, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, keputusan program, analisis keputusan dan kesimpulan, dan senarai rujukan.
Apabila semua laporan telah disusun, semasa pelajaran ujian, pelajar memberikan laporan ringkas tentang kerja yang dilakukan dan mempertahankan projek mereka. Ini adalah bentuk laporan yang berkesan daripada kumpulan yang menjalankan projek kepada kelas, termasuk menetapkan masalah, membina model formal, memilih kaedah untuk bekerja dengan model, melaksanakan model pada komputer, bekerja dengan model siap, mentafsir keputusan, dan membuat ramalan. Akibatnya, pelajar boleh menerima dua gred: yang pertama - untuk penghuraian projek dan kejayaan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimum algoritmanya, antara muka, dll. Pelajar juga menerima gred semasa kuiz teori.
Soalan penting ialah alat apa yang perlu digunakan dalam kursus sains komputer sekolah untuk pemodelan matematik? Pelaksanaan model komputer boleh dijalankan:
· menggunakan pemproses hamparan (biasanya MS Excel);
· dengan mencipta program dalam bahasa pengaturcaraan tradisional (Pascal, BASIC, dll.), serta dalam versi modennya (Delphi, Visual Basic for Application, dll.);
· menggunakan pakej aplikasi khas untuk menyelesaikan masalah matematik (MathCAD, dsb.).
Di peringkat sekolah asas, kaedah pertama nampaknya lebih diutamakan. Walau bagaimanapun, di sekolah menengah, apabila pengaturcaraan, bersama-sama dengan pemodelan, topik utama dalam sains komputer, adalah dinasihatkan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Semasa proses pengaturcaraan, butiran prosedur matematik tersedia kepada pelajar; Lebih-lebih lagi, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini juga menyumbang kepada pendidikan matematik. Bagi penggunaan pakej perisian khas, ini sesuai dalam kursus sains komputer khusus sebagai tambahan kepada alat lain.