Dan mengapa ia diperlukan? Kita sudah tahu apa itu sistem rujukan, kerelatifan gerakan dan titik material. Nah, sudah tiba masanya untuk meneruskan! Di sini kita akan melihat konsep asas kinematik, menyusun formula yang paling berguna untuk asas kinematik, dan memberikan contoh praktikal untuk menyelesaikan masalah.
Jom selesaikan masalah ini: satu titik bergerak dalam bulatan dengan jejari 4 meter. Hukum pergerakannya dinyatakan dengan persamaan S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. Pada titik masa apakah pecutan normal suatu titik bersamaan dengan 9 m/s^2? Cari kelajuan, tangen dan jumlah pecutan titik untuk masa ini.
Penyelesaian: kita tahu bahawa untuk mencari kelajuan kita perlu mengambil terbitan kali pertama bagi hukum gerakan, dan pecutan normal adalah sama dengan hasil bagi kuasa dua kelajuan dan jejari bulatan di sepanjang titik itu. sedang bergerak. Berbekalkan pengetahuan ini, kita akan dapati kuantiti yang diperlukan.
Perlukan bantuan menyelesaikan masalah? Perkhidmatan pelajar profesional sedia menyediakannya.
Setiap orang memberi perhatian kepada pelbagai jenis pergerakan yang dia temui dalam hidupnya. Walau bagaimanapun, sebarang pergerakan mekanikal badan datang kepada salah satu daripada dua jenis: linear atau putaran. Mari kita pertimbangkan dalam artikel undang-undang asas pergerakan badan.
Apakah jenis pergerakan yang akan kita bincangkan?
Seperti yang dinyatakan dalam pengenalan, semua jenis gerakan badan yang dipertimbangkan dalam fizik klasik dikaitkan dengan sama ada trajektori rectilinear atau bulatan. Sebarang trajektori lain boleh diperoleh melalui gabungan kedua-dua ini. Selanjutnya dalam artikel undang-undang pergerakan badan berikut akan dipertimbangkan:
- Pakaian seragam dalam garis lurus.
- Seragam dipercepatkan (seragam nyahpecutan) dalam garis lurus.
- Seragam di sekeliling lilitan.
- Seragam dipercepatkan mengelilingi bulatan.
- Pergerakan sepanjang laluan elips.
Pergerakan seragam, atau keadaan rehat
Galileo mula berminat dengan gerakan ini dari sudut pandangan saintifik pada akhir abad ke-16 - awal abad ke-17. Mengkaji sifat inersia badan, serta memperkenalkan konsep sistem rujukan, dia meneka bahawa keadaan rehat dan gerakan seragam adalah satu dan sama (semuanya bergantung pada pilihan objek berbanding dengan kelajuannya. dikira).
Selepas itu, Isaac Newton merumuskan undang-undang pertama pergerakan jasad, mengikut mana kelajuan jasad adalah nilai tetap apabila tiada daya luar yang mengubah ciri-ciri gerakan.
Pergerakan rectilinear seragam badan di angkasa diterangkan dengan formula berikut:
Di mana s ialah jarak yang akan ditempuhi oleh badan dalam masa t, bergerak dengan laju v. Ungkapan mudah ini juga ditulis dalam bentuk berikut (semuanya bergantung pada kuantiti yang diketahui):
Bergerak dalam garis lurus dengan pecutan
Menurut undang-undang kedua Newton, kehadiran daya luaran yang bertindak pada jasad tidak dapat dielakkan membawa kepada kemunculan pecutan pada jasad tersebut. Daripada (kadar perubahan kelajuan) ungkapan berikut:
a = v / t atau v = a * t
Jika daya luaran yang bertindak ke atas jasad itu kekal malar (tidak mengubah magnitud atau arahnya), maka pecutan juga tidak akan berubah. Jenis gerakan ini dipanggil seragam dipercepatkan, di mana pecutan bertindak sebagai pekali perkadaran antara kelajuan dan masa (kelajuan berkembang secara linear).
Untuk gerakan ini, jarak yang dilalui dikira dengan menyepadukan kelajuan mengikut masa. Hukum pergerakan badan untuk laluan dengan pergerakan seragam dipercepatkan mengambil bentuk:
Contoh yang paling biasa bagi pergerakan ini ialah kejatuhan mana-mana objek dari ketinggian, di mana daya graviti memberikan pecutan g = 9.81 m/s 2 .
Gerakan dipercepatkan (perlahan) rectilinear dengan kelajuan awal
Sebenarnya, kita bercakap tentang gabungan dua jenis pergerakan yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya. Mari kita bayangkan situasi mudah: sebuah kereta memandu pada kelajuan tertentu v 0, kemudian pemandu menekan brek, dan kenderaan itu berhenti selepas beberapa ketika. Bagaimana untuk menerangkan pergerakan dalam kes ini? Untuk fungsi kelajuan lawan masa, ungkapan itu sah:
Di sini v 0 ialah kelajuan awal (sebelum brek kereta). Tanda tolak menunjukkan bahawa daya luaran (geseran gelongsor) diarahkan terhadap kelajuan v 0 .
Seperti dalam perenggan sebelumnya, jika kita mengambil kamiran masa bagi v(t), kita memperoleh formula untuk laluan:
s = v 0 * t - a * t 2/2
Ambil perhatian bahawa formula ini hanya mengira jarak brek. Untuk mengetahui jarak yang dilalui oleh kereta sepanjang masa pergerakannya, anda harus mencari jumlah dua laluan: untuk seragam dan untuk gerakan perlahan seragam.
Dalam contoh yang diterangkan di atas, jika pemandu menekan pedal gas dan bukannya pedal brek, maka tanda "-" dalam formula yang dibentangkan akan bertukar kepada "+".
Pergerakan bulat
Sebarang pergerakan dalam bulatan tidak boleh berlaku tanpa pecutan, kerana walaupun magnitud halaju dikekalkan, arahnya berubah. Pecutan yang dikaitkan dengan perubahan ini dipanggil sentripetal (inilah yang membengkokkan trajektori badan, mengubahnya menjadi bulatan). Modul pecutan ini dikira seperti berikut:
a c = v 2 / r, r - jejari
Dalam ungkapan ini, kelajuan boleh bergantung pada masa, seperti yang berlaku dalam kes gerakan dipercepatkan secara seragam dalam bulatan. Dalam kes kedua, a c akan meningkat dengan cepat (pergantungan kuadratik).
Pecutan sentripetal menentukan daya yang mesti digunakan untuk mengekalkan jasad dalam orbit bulat. Contohnya ialah pertandingan baling tukul besi, di mana atlet menggunakan daya yang ketara untuk memutar peluru sebelum melontarnya.
Putaran di sekeliling paksi pada kelajuan tetap
Pergerakan jenis ini adalah sama dengan yang sebelumnya, cuma ia adalah kebiasaan untuk menerangkannya tidak menggunakan kuantiti fizik linear, tetapi menggunakan ciri sudut. Hukum gerakan putaran jasad, apabila halaju sudut tidak berubah, ditulis dalam bentuk skalar seperti berikut:
Di sini L dan I ialah momen momentum dan inersia, masing-masing, ω ialah halaju sudut, yang berkaitan dengan halaju linear oleh kesamaan:
Nilai ω menunjukkan berapa banyak radian badan akan berputar sesaat. Kuantiti L dan I mempunyai maksud yang sama dengan momentum dan jisim untuk gerakan linear. Sehubungan itu, sudut θ di mana badan akan berputar dalam masa t dikira seperti berikut:
Contoh jenis gerakan ini ialah putaran roda tenaga yang terletak pada aci engkol dalam enjin kereta. Roda tenaga adalah cakera besar, yang sangat sukar untuk memberikan sebarang pecutan. Terima kasih kepada ini, ia memastikan perubahan tork yang lancar, yang dihantar dari enjin ke roda.
Putaran di sekeliling paksi dengan pecutan
Jika daya luaran dikenakan pada sistem yang mampu berputar, ia akan mula meningkatkan halaju sudutnya. Keadaan ini diterangkan oleh undang-undang pergerakan badan berikut:
Di sini F ialah daya luar yang dikenakan pada sistem pada jarak d dari paksi putaran. Hasil darab di sebelah kiri kesamaan dipanggil momen daya.
Untuk gerakan dipercepatkan secara seragam dalam bulatan, kita dapati bahawa ω bergantung pada masa seperti berikut:
ω = α * t, di mana α = F * d / I - pecutan sudut
Dalam kes ini, sudut putaran sepanjang masa t boleh ditentukan dengan menyepadukan ω sepanjang masa, iaitu:
Jika badan itu sudah berputar pada kelajuan tertentu ω 0, dan kemudian momen luaran daya F*d mula bertindak, maka dengan analogi dengan kes linear, ungkapan berikut boleh ditulis:
ω = ω 0 + α * t;
θ = ω 0 * t + α * t 2 / 2
Oleh itu, kemunculan momen luaran daya adalah sebab bagi kehadiran pecutan dalam sistem dengan paksi putaran.
Untuk kesempurnaan maklumat, kami perhatikan bahawa kelajuan putaran ω boleh diubah bukan sahaja dengan bantuan momen daya luaran, tetapi juga dengan mengubah ciri dalaman sistem, khususnya momen inersianya. Keadaan ini dilihat oleh setiap orang yang melihat pemain skate berputar di atas ais. Apabila berkumpul, atlet meningkatkan ω dengan mengurangkan I, mengikut undang-undang mudah pergerakan badan:
Pergerakan sepanjang trajektori elips menggunakan contoh planet-planet sistem suria
Seperti yang anda ketahui, Bumi kita dan planet-planet lain dalam sistem suria berputar mengelilingi bintang mereka bukan dalam bulatan, tetapi sepanjang trajektori elips. Buat pertama kalinya, undang-undang matematik untuk menggambarkan putaran ini telah dirumuskan oleh saintis Jerman terkenal Johannes Kepler pada awal abad ke-17. Dengan menggunakan hasil pemerhatian gurunya Tycho Brahe tentang pergerakan planet, Kepler membuat perumusan tiga undang-undangnya. Mereka dirumuskan seperti berikut:
- Planet-planet Sistem Suria bergerak dalam orbit elips, dengan Matahari terletak pada salah satu fokus elips.
- Vektor jejari yang menghubungkan Matahari dan planet menggambarkan kawasan yang sama dalam tempoh masa yang sama. Fakta ini berikutan daripada pemuliharaan momentum sudut.
- Jika kita membahagikan kuasa dua tempoh orbit dengan kubus paksi separuh besar orbit elips planet, kita memperoleh pemalar tertentu yang sama untuk semua planet dalam sistem kita. Secara matematik ia ditulis seperti ini:
T 2 / a 3 = C = const
Selepas itu, Isaac Newton, menggunakan undang-undang pergerakan badan (planet) ini, merumuskan undang-undang graviti universal, atau gravitinya yang terkenal. Menggunakannya, kita boleh menunjukkan bahawa pemalar C dalam 3 adalah sama dengan:
C = 4 * pi 2 / (G * M)
Di mana G ialah pemalar universal graviti, dan M ialah jisim Matahari.
Perhatikan bahawa pergerakan sepanjang orbit elips dalam kes tindakan daya pusat (graviti) membawa kepada fakta bahawa kelajuan linear v sentiasa berubah. Ia adalah maksimum apabila planet itu paling hampir dengan bintang, dan minimum darinya.
TERBITAN DAN APLIKASINYA TERHADAP KAJIAN FUNGSI X
§ 218. Undang-undang pergerakan. Kelajuan pergerakan serta-merta
Penerangan yang lebih lengkap tentang pergerakan boleh dicapai seperti berikut. Mari kita bahagikan masa pergerakan badan kepada beberapa selang yang berasingan ( t 1 , t 2), (t 2 , t 3) dsb. (tidak semestinya sama, lihat Rajah 309) dan pada setiap satu daripadanya kita tetapkan kelajuan purata pergerakan.
Kelajuan purata ini, sudah tentu, akan lebih mencirikan pergerakan pada keseluruhan bahagian daripada kelajuan purata untuk keseluruhan masa pergerakan. Walau bagaimanapun, mereka tidak akan memberikan jawapan kepada, sebagai contoh, soalan: pada titik masa dalam selang dari t 1 hingga t 2 (Gamb. 309) kereta api berjalan lebih laju: pada masa ini t" 1 atau pada masa ini t" 2 ?
Kelajuan purata mencirikan pergerakan dengan lebih lengkap, lebih pendek bahagian laluan di mana ia ditentukan. Oleh itu, salah satu cara yang mungkin untuk menerangkan pergerakan tidak sekata adalah dengan menentukan kelajuan purata pergerakan ini ke atas bahagian laluan yang semakin kecil.
Mari kita anggap bahawa fungsi diberikan s (t ), menunjukkan laluan mana yang dilalui oleh badan, bergerak secara rectilinear ke arah yang sama, dalam masa t dari permulaan pergerakan. Fungsi ini menentukan hukum pergerakan badan. Sebagai contoh, gerakan seragam berlaku mengikut undang-undang
s (t ) = vt ,
di mana v - kelajuan pergerakan; jatuh bebas mayat berlaku mengikut undang-undang
di mana g - pecutan badan yang jatuh bebas, dsb.
Mari kita pertimbangkan laluan yang dilalui oleh badan yang bergerak mengikut undang-undang tertentu s (t ), untuk masa dari t sebelum ini t + τ .
Pada masa t badan akan pergi jauh s (t ), dan pada masa itu t + τ - laluan s (t + τ ). Oleh itu, pada masa dari t sebelum ini t + τ ia akan menempuh jarak yang sama dengan s (t + τ ) - s (t ).
Membahagikan laluan ini dengan masa perjalanan τ , kita mendapat purata kelajuan pergerakan sepanjang masa dari t sebelum ini t + τ :
Had kelajuan ini pada τ -> 0 (jika ia wujud) dipanggil kelajuan serta-merta pergerakan pada satu-satu masa t:
(1)
Kelajuan pergerakan serta-merta pada satu masa t dipanggil had kelajuan purata pergerakan semasa masa dari t sebelum ini t+ τ , Bila τ cenderung kepada sifar.
Mari kita lihat dua contoh.
Contoh 1. Pergerakan seragam dalam garis lurus.
Dalam kes ini s (t ) = vt , Di mana v - kelajuan pergerakan. Mari cari kelajuan serta-merta pergerakan ini. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari purata kelajuan dalam selang masa dari t sebelum ini t + τ . Tetapi untuk gerakan seragam, kelajuan purata di mana-mana bahagian kekeruhan bertepatan dengan kelajuan pergerakan v . Oleh itu kelajuan serta-merta v (t ) akan sama dengan:
v (t ) =v = v
Jadi, untuk gerakan seragam, kelajuan serta-merta (serta kelajuan purata pada mana-mana bahagian laluan) bertepatan dengan kelajuan pergerakan.
Keputusan yang sama, sudah tentu, boleh dicapai secara rasmi, berdasarkan kesamarataan (1).
sungguh,
Contoh 2. Pergerakan dipercepatkan secara seragam dengan kelajuan dan pecutan awal sifar A . Dalam kes ini, seperti yang diketahui dari fizik, badan bergerak mengikut undang-undang
Menggunakan formula (1) kita dapati bahawa kelajuan serta-merta pergerakan tersebut v (t ) adalah sama dengan:
Jadi, kelajuan serta-merta bagi gerakan dipercepatkan secara seragam pada masa itu t sama dengan masa pecutan masa t . Berbeza dengan gerakan seragam, kelajuan serta-merta gerakan dipercepatkan secara seragam berubah dari semasa ke semasa.
Senaman
1741. Intinya bergerak mengikut undang-undang 
(s
- jarak dalam meter, t
- masa dalam minit). Cari kelajuan serta-merta titik ini:
b) pada masa ini t 0 .
1742. Cari kelajuan serta-merta bagi suatu titik yang bergerak mengikut hukum s (t ) = t 3 (s - laluan dalam meter, t - masa dalam minit):
a) pada saat permulaan pergerakan;
b) 10 saat selepas permulaan pergerakan;
c) pada masa ini t= 5 min;
1743. Cari kelajuan serta-merta jasad yang bergerak mengikut undang-undang s (t ) = √t , pada masa yang sewenang-wenangnya t .
Mari kita pertimbangkan satu lagi masalah tertentu.
Adalah diketahui bahawa modul halaju badan kekal malar sepanjang pergerakannya dan sama dengan 5 m/s. Cari hukum pergerakan badan ini. Asal panjang laluan bertepatan dengan titik permulaan pergerakan badan.
Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan formula
Dari sini anda boleh mencari kenaikan panjang laluan untuk sebarang tempoh masa yang singkat
Mengikut keadaan, modul halaju adalah malar. Ini bermakna bahawa kenaikan panjang laluan untuk mana-mana tempoh masa yang sama adalah sama. Mengikut definisi, ini adalah gerakan seragam. Persamaan yang kita perolehi tidak lebih daripada undang-undang gerakan seragam tersebut. Jika kita menggantikan ungkapan ke dalam persamaan ini, kita boleh mendapatkannya dengan mudah
Mari kita anggap bahawa permulaan kiraan masa bertepatan dengan permulaan pergerakan badan. Marilah kita mengambil kira bahawa, mengikut keadaan, permulaan panjang laluan bertepatan dengan titik permulaan pergerakan badan. Mari kita ambil sebagai selang masa dari permulaan pergerakan hingga saat yang kita perlukan Kemudian kita mesti meletakkan Selepas menggantikan nilai-nilai ini, hukum pergerakan yang berkenaan akan mempunyai bentuk
Contoh yang dipertimbangkan membolehkan kita memberikan definisi baru bagi gerakan seragam (§ 13): gerakan seragam ialah gerakan dengan kelajuan mutlak yang tetap.
Contoh yang sama membolehkan kita mendapatkan formula am untuk hukum gerakan seragam.
Jika permulaan kiraan masa bertepatan dengan permulaan pergerakan, dan permulaan panjang laluan bertepatan dengan titik permulaan pergerakan, maka hukum gerakan seragam akan mempunyai bentuk
Jika masa mula pergerakan ialah panjang laluan ke titik permulaan pergerakan, maka hukum gerakan seragam mengambil bentuk yang lebih kompleks:
Marilah kita memberi perhatian kepada satu lagi keputusan penting yang boleh diperolehi daripada hukum gerakan seragam yang kita dapati. Mari kita andaikan bahawa untuk beberapa gerakan seragam graf kelajuan lawan masa diberikan (Rajah 1.60). Undang-undang pergerakan ini Daripada rajah itu jelas bahawa hasil darab secara berangka sama dengan luas rajah yang dihadkan oleh paksi koordinat, graf pergantungan kelajuan pada masa dan koordinat yang sepadan.
Pada titik masa tertentu, menggunakan graf kelajuan, adalah mungkin untuk mengira kenaikan panjang laluan semasa pergerakan.
Dengan menggunakan radas matematik yang lebih kompleks, kami boleh menunjukkan bahawa keputusan ini, yang kami perolehi untuk kes tertentu, ternyata sah untuk sebarang pergerakan tidak seragam. Kenaikan panjang laluan semasa pergerakan sentiasa sama secara berangka dengan luas rajah yang dihadkan oleh graf kelajuan oleh paksi koordinat dan ordinat yang sepadan dengan momen akhir yang dipilih.
Kemungkinan mencari undang-undang pergerakan kompleks secara grafik ini akan digunakan pada masa hadapan.