Asas ruang mereka memanggil sistem vektor sedemikian di mana semua vektor lain dalam ruang boleh diwakili sebagai gabungan linear vektor yang termasuk dalam asas.
Dalam amalan, ini semua dilaksanakan dengan agak mudah. Asas, sebagai peraturan, diperiksa pada satah atau di angkasa, dan untuk ini anda perlu mencari penentu matriks tertib kedua, ketiga yang terdiri daripada koordinat vektor. Di bawah ditulis secara skematik keadaan di mana vektor menjadi asas

Kepada kembangkan vektor b kepada vektor asas
e,e...,e[n] adalah perlu untuk mencari pekali x, ..., x[n] yang mana gabungan linear vektor e,e...,e[n] adalah sama dengan vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Untuk ini persamaan vektor hendaklah ditukar kepada sistem persamaan linear dan mencari penyelesaian. Ini juga agak mudah untuk dilaksanakan.
Pekali yang ditemui x, ..., x[n] dipanggil koordinat vektor b dalam asas e,e...,e[n].
Mari kita beralih ke bahagian praktikal topik.

Penguraian vektor kepada vektor asas

Tugasan 1. Periksa sama ada vektor a1, a2 membentuk asas pada satah

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Penyelesaian: Kami menyusun penentu daripada koordinat vektor dan mengiranya

Penentunya bukan sama dengan sifar , oleh itu vektor adalah bebas secara linear, yang bermaksud ia membentuk asas.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Penyelesaian: Kami mengira penentu yang terdiri daripada vektor

Penentunya adalah sama dengan 13 (tidak sama dengan sifar) - dari sini ia mengikuti bahawa vektor a1, a2 adalah asas pada satah.

---=================---

Mari kita lihat contoh tipikal dari program MAUP dalam disiplin "Higher Mathematics".

Tugasan 2. Tunjukkan bahawa vektor a1, a2, a3 membentuk asas ruang vektor tiga dimensi, dan kembangkan vektor b mengikut asas ini (apabila menyelesaikan sistem linear persamaan algebra gunakan kaedah Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Penyelesaian: Pertama, pertimbangkan sistem vektor a1, a2, a3 dan semak penentu matriks A

dibina pada vektor bukan sifar. Matriks mengandungi satu elemen sifar, jadi adalah lebih sesuai untuk mengira penentu sebagai jadual dalam lajur pertama atau baris ketiga.

Hasil daripada pengiraan, kami mendapati bahawa penentu adalah berbeza daripada sifar, oleh itu vektor a1, a2, a3 adalah bebas linear.
Mengikut definisi, vektor membentuk asas dalam R3. Mari kita tulis jadual vektor b berdasarkan

Vektor adalah sama apabila koordinat yang sepadan adalah sama.
Oleh itu, daripada persamaan vektor kita memperoleh sistem persamaan linear

Jom selesaikan SLAE kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, kami menulis sistem persamaan dalam bentuk

Penentu utama SLAE sentiasa sama dengan penentu yang terdiri daripada vektor asas

Oleh itu, dalam amalan ia tidak dikira dua kali. Untuk mencari penentu tambahan, kami meletakkan lajur istilah bebas sebagai ganti setiap lajur penentu utama. Penentu dikira menggunakan peraturan segitiga



Mari kita gantikan penentu yang ditemui ke dalam formula Cramer



Jadi, pengembangan vektor b dari segi asas mempunyai bentuk b=-4a1+3a2-a3. Koordinat vektor b dalam asas a1, a2, a3 ialah (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Penyelesaian: Kami menyemak vektor untuk asas - kami menyusun penentu daripada koordinat vektor dan mengiranya

Oleh itu, penentu tidak sama dengan sifar vektor membentuk asas dalam ruang. Ia kekal untuk mencari jadual vektor b melalui asas ini. Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan vektor

dan bertukar kepada sistem persamaan linear

Mari kita tuliskannya persamaan matriks

Seterusnya, untuk formula Cramer kita dapati penentu tambahan



Kami menggunakan formula Cramer



Jadi vektor b yang diberi mempunyai jadual melalui dua vektor asas b=-2a1+5a3, dan koordinatnya dalam asas adalah sama dengan b(-2,0, 5).

Kebergantungan linear dan kemerdekaan linear vektor.
Asas vektor. Sistem koordinat Affine

Terdapat troli dengan coklat di auditorium, dan setiap pelawat hari ini akan mendapat pasangan manis - geometri analitik dengan algebra linear. Artikel ini akan merangkumi dua bahagian sekaligus. matematik yang lebih tinggi, dan kita akan melihat cara mereka bergaul dalam satu pembalut. Rehat, makan Twix! ... sial, sungguh mengarut. Walaupun, okay, saya tidak akan skor, akhirnya, anda harus mempunyai sikap positif terhadap belajar.

Kebergantungan linear bagi vektor, kebebasan vektor linear, asas vektor dan istilah lain bukan sahaja mempunyai tafsiran geometri, tetapi, di atas semua, makna algebra. Konsep "vektor" dari sudut pandangan algebra linear- ini bukan selalunya vektor "biasa" yang boleh kita gambarkan pada satah atau di angkasa. Anda tidak perlu melihat jauh untuk mendapatkan bukti, cuba lukis vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang saya baru sahaja pergi ke Gismeteo untuk: – suhu dan Tekanan atmosfera masing-masing. Contoh, tentu saja, tidak betul dari sudut pandangan sifat ruang vektor, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang melarang memformalkan parameter ini sebagai vektor. Nafas musim luruh...

Tidak, saya tidak akan membosankan anda dengan teori, ruang vektor linear, tugasnya ialah faham definisi dan teorem. Istilah baharu (bergantung linear, bebas, gabungan linear, asas, dll.) digunakan untuk semua vektor dari sudut pandangan algebra, tetapi contoh geometri akan diberikan. Oleh itu, semuanya mudah, boleh diakses dan jelas. Di luar tugas geometri analisis kita akan melihat beberapa tugas biasa algebra Untuk menguasai bahan, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana untuk mengira penentu?

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor satah.
Dasar satah dan sistem koordinat affine

Pertimbangkan pesawat anda meja komputer(hanya meja, meja sisi katil, lantai, siling, apa sahaja yang anda suka). Tugasan akan terdiri daripada tindakan berikut:

1) Pilih asas satah. Secara kasarnya, permukaan meja mempunyai panjang dan lebar, jadi adalah intuitif bahawa dua vektor diperlukan untuk membina asas. Satu vektor jelas tidak mencukupi, tiga vektor terlalu banyak.

2) Berdasarkan asas yang dipilih tetapkan sistem koordinat(grid koordinat) untuk menetapkan koordinat kepada semua objek di atas meja.

Jangan terkejut, pada mulanya penjelasan akan di jari. Lebih-lebih lagi, pada anda. Sila letak jari telunjuk kiri di tepi meja supaya dia melihat monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang letak jari kecil tangan kanan di pinggir meja dengan cara yang sama - supaya ia diarahkan pada skrin monitor. Ini akan menjadi vektor. Senyum, awak nampak hebat! Apa yang boleh kita katakan tentang vektor? Vektor data kolinear, yang bermaksud linear diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , di manakah beberapa nombor berbeza daripada sifar.

Anda boleh melihat gambar tindakan ini di dalam kelas. Vektor untuk boneka, di mana saya menerangkan peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor.

Adakah jari anda akan menetapkan asas pada satah meja komputer? Jelas sekali tidak. Vektor kolinear bergerak ke sana ke mari merentasi bersendirian arah, dan satah mempunyai panjang dan lebar.

Vektor sedemikian dipanggil bergantung secara linear.

Rujukan: Perkataan "linear", "linear" menunjukkan fakta bahawa dalam persamaan matematik, ungkapan tidak mengandungi segi empat sama, kubus, kuasa lain, logaritma, sinus, dsb. Terdapat hanya ungkapan linear (darjah 1) dan kebergantungan.

Dua vektor satah bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah kolinear.

Silangkan jari anda di atas meja supaya terdapat sebarang sudut di antara mereka kecuali 0 atau 180 darjah. Dua vektor satahlinear tidak bergantung jika dan hanya jika ia bukan kolinear. Jadi, asas diperolehi. Tidak perlu malu bahawa asasnya ternyata "miring" dengan vektor tidak serenjang dengan panjang yang berbeza. Tidak lama lagi kita akan melihat bahawa bukan sahaja sudut 90 darjah sesuai untuk pembinaannya, dan bukan sahaja vektor unit yang sama panjang

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dikembangkan mengikut asas:
, di manakah nombor nyata. Nombor dipanggil koordinat vektor dalam asas ini.

Dikatakan juga begitu vektordibentangkan sebagai gabungan linear vektor asas. Iaitu, ungkapan itu dipanggil penguraian vektorsecara asas atau gabungan linear vektor asas.

Sebagai contoh, kita boleh mengatakan bahawa vektor diuraikan sepanjang asas ortonormal satah, atau kita boleh mengatakan bahawa ia diwakili sebagai gabungan linear vektor.

Jom rumuskan definisi asas secara rasmi: Asas kapal terbang dipanggil sepasang vektor bebas linear (bukan kolinear), , di mana mana-mana vektor satah ialah gabungan linear bagi vektor asas.

Perkara penting dalam definisi ialah fakta bahawa vektor diambil V dalam susunan tertentu . Pangkalan – ini adalah dua pangkalan yang sama sekali berbeza! Seperti yang mereka katakan, anda tidak boleh menggantikan jari kelingking tangan kiri anda sebagai ganti jari kelingking tangan kanan anda.

Kami telah mengetahui asasnya, tetapi tidak cukup untuk menetapkan grid koordinat dan menetapkan koordinat kepada setiap item di meja komputer anda. Kenapa tak cukup? Vektor adalah percuma dan berkeliaran di seluruh pesawat. Jadi bagaimana anda menetapkan koordinat kepada tempat-tempat kotor kecil di atas meja yang tinggal selepas hujung minggu yang liar? Titik permulaan diperlukan. Dan mercu tanda seperti itu adalah titik yang biasa kepada semua orang - asal usul koordinat. Mari kita fahami sistem koordinat:

Saya akan mulakan dengan sistem "sekolah". Sudah dalam pelajaran pengenalan Vektor untuk boneka Saya menyerlahkan beberapa perbezaan antara sistem koordinat segi empat tepat dan asas ortonormal. Inilah gambar standard:

Apabila mereka bercakap tentang sistem koordinat segi empat tepat, maka selalunya ia bermaksud asal usul, paksi koordinat dan skala di sepanjang paksi. Cuba taip "sistem koordinat segi empat tepat" ke dalam enjin carian, dan anda akan melihat bahawa banyak sumber akan memberitahu anda tentang paksi koordinat yang biasa dari gred 5-6 dan cara memplot titik pada satah.

Sebaliknya, nampaknya begitu sistem segi empat tepat koordinat boleh ditentukan sepenuhnya melalui asas ortonormal. Dan itu hampir benar. Perkataan berbunyi dengan cara berikut:

asal usul, Dan ortonormal asas ditetapkan Sistem koordinat satah segi empat tepat Cartesian . Iaitu, sistem koordinat segi empat tepat pasti ditakrifkan oleh satu titik dan dua unit vektor ortogon. Itulah sebabnya anda melihat lukisan yang saya berikan di atas - dalam masalah geometri Selalunya (tetapi tidak selalu) kedua-dua vektor dan paksi koordinat dilukis.

Saya rasa semua orang faham bahawa menggunakan titik (asal) dan asas ortonormal SEBARANG TITIK pada pesawat dan SEBARANG VEKTOR pada pesawat koordinat boleh diberikan. Secara kiasan, "segala sesuatu di dalam pesawat boleh dinomborkan."

Adakah mereka wajib vektor koordinat diasingkan? Tidak, mereka boleh mempunyai panjang bukan sifar sewenang-wenangnya. Pertimbangkan perkara dan dua vektor ortogon panjang bukan sifar sewenang-wenangnya:

Asas sedemikian dipanggil ortogon. Asal koordinat dengan vektor ditakrifkan oleh grid koordinat, dan mana-mana titik pada satah, mana-mana vektor mempunyai koordinatnya dalam asas tertentu. Sebagai contoh, atau. Kesulitan yang jelas ialah vektor koordinat V kes am mempunyai panjang yang berbeza selain daripada kesatuan. Jika panjangnya sama dengan kesatuan, maka asas ortonormal biasa diperolehi.

! Catatan : dalam asas ortogon, serta di bawah dalam pangkalan afin pada satah dan ruang, unit di sepanjang paksi dianggap BERSYARAT. Sebagai contoh, satu unit di sepanjang paksi-x mengandungi 4 cm, satu unit di sepanjang paksi ordinat mengandungi 2 cm Maklumat ini cukup untuk, jika perlu, menukar koordinat "bukan piawai" kepada "sentimeter biasa kami".

Dan soalan kedua, yang sebenarnya telah dijawab, adakah sudut antara vektor asas mestilah sama dengan 90 darjah? Tidak! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor asas mestilah hanya bukan kolinear. Oleh itu, sudut boleh menjadi apa-apa kecuali 0 dan 180 darjah.

Satu titik di kapal terbang dipanggil asal usul, Dan bukan kolinear vektor, , set sistem koordinat satah affine :

Kadangkala sistem koordinat sedemikian dipanggil serong sistem. Sebagai contoh, lukisan menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang anda fahami, sistem koordinat affine juga kurang mudah; formula untuk panjang vektor dan segmen, yang kita bincangkan dalam bahagian kedua pelajaran, tidak berfungsi di dalamnya; Vektor untuk boneka, banyak formula lazat berkaitan dengan hasil darab skalar bagi vektor. Tetapi peraturan untuk menambah vektor dan mendarabkan vektor dengan nombor, formula untuk membahagikan segmen dalam hubungan ini, serta beberapa jenis masalah lain yang akan kami pertimbangkan tidak lama lagi adalah sah.

Dan kesimpulannya ialah kes khas yang paling mudah bagi sistem koordinat affine ialah sistem segi empat tepat Cartesian. Itulah sebabnya anda paling kerap perlu berjumpa dengannya, sayangku. ...Walau bagaimanapun, segala-galanya dalam kehidupan ini adalah relatif - terdapat banyak situasi di mana sudut serong (atau yang lain, sebagai contoh, polar) sistem koordinat. Dan humanoid mungkin menyukai sistem sedemikian =)

Mari kita beralih ke bahagian praktikal. Semua masalah dalam pelajaran ini adalah sah untuk kedua-dua sistem koordinat segi empat tepat dan untuk kes afin am. Tidak ada yang rumit di sini; semua bahan boleh diakses walaupun kepada pelajar sekolah.

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor satah?

Perkara biasa. Untuk dua vektor satah adalah kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat sepadannya adalah berkadar Pada asasnya, ini ialah perincian koordinat demi koordinat perhubungan yang jelas.

Contoh 1

a) Periksa sama ada vektor adalah kolinear .
b) Adakah vektor membentuk asas? ?

Penyelesaian:
a) Mari kita ketahui sama ada terdapat untuk vektor pekali perkadaran, supaya kesamaan dipenuhi:

Saya pasti akan memberitahu anda tentang versi "foppish" untuk menggunakan peraturan ini, yang berfungsi dengan baik dalam amalan. Ideanya adalah untuk segera membuat perkadaran dan melihat sama ada ia betul:

Mari kita buat perkadaran daripada nisbah koordinat vektor yang sepadan:

Mari kita pendekkan:
, oleh itu koordinat yang sepadan adalah berkadar, oleh itu,

Hubungan boleh dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan fakta bahawa vektor kolinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. DALAM dalam kes ini terdapat persamaan . Kesahihannya boleh disahkan dengan mudah melalui operasi asas dengan vektor:

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Kami memeriksa vektor untuk keselarasan . Mari buat sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , daripada persamaan kedua ia mengikuti bahawa , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, koordinat vektor yang sepadan adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Versi ringkas penyelesaian kelihatan seperti ini:

Mari kita buat perkadaran daripada koordinat vektor yang sepadan :
, yang bermaksud bahawa vektor ini bebas secara linear dan membentuk asas.

Biasanya, pilihan ini tidak ditolak oleh penyemak, tetapi masalah timbul dalam kes di mana beberapa koordinat bersamaan dengan sifar. seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana untuk bekerja melalui perkadaran di sini? (sememangnya, anda tidak boleh membahagi dengan sifar). Atas sebab inilah saya memanggil penyelesaian yang dipermudahkan "foppish".

Jawapan: a) , b) bentuk.

Kecil contoh kreatif Untuk keputusan bebas:

Contoh 2

Pada nilai parameter apakah vektor adakah mereka akan berkolinear?

Dalam larutan sampel, parameter ditemui melalui perkadaran.

Terdapat cara algebra yang elegan untuk menyemak vektor untuk keselarasan Mari kita sistematikkan pengetahuan kita dan tambahkannya sebagai titik kelima:

Bagi dua vektor satah pernyataan berikut adalah setara:

2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan kolinear;

+ 5) penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini ialah bukan sifar.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut adalah setara:
1) vektor bergantung secara linear;
2) vektor tidak membentuk asas;
3) vektor adalah kolinear;
4) vektor boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
+ 5) penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah sama dengan sifar.

Saya benar-benar berharap itu masa ini anda sudah faham semua terma dan kenyataan yang anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat pada perkara baharu, kelima: dua vektor satah adalah kolinear jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar:. Untuk menggunakan ciri ini, sudah tentu, anda perlu boleh cari penentu.

Mari buat keputusan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita mengira penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, yang bermaksud bahawa vektor ini adalah kolinear.

b) Dua vektor satah membentuk asas jika ia bukan kolinear (tidak bersandar linear). Mari kita mengira penentu yang terdiri daripada koordinat vektor :
, yang bermaksud vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas.

Jawapan: a) , b) bentuk.

Ia kelihatan lebih padat dan lebih cantik daripada penyelesaian dengan perkadaran.

Dengan bantuan bahan yang dipertimbangkan, adalah mungkin untuk menubuhkan bukan sahaja kolinearitas vektor, tetapi juga untuk membuktikan keselarian segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa masalah dengan bentuk geometri tertentu.

Contoh 3

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa segiempat ialah segiempat selari.

Bukti: Tidak perlu membina lukisan dalam masalah itu, kerana penyelesaiannya adalah analitikal semata-mata. Mari kita ingat takrif segiempat selari:
segi empat selari Segiempat yang sisi bertentangannya selari berpasangan dipanggil.

Oleh itu, adalah perlu untuk membuktikan:
1) keselarian sisi bertentangan Dan ;
2) keselarian sisi bertentangan dan.

Kami buktikan:

1) Cari vektor:

2) Cari vektor:

Hasilnya ialah vektor yang sama (“gaya sekolah” - vektor yang sama). Collinearity agak jelas, tetapi lebih baik untuk memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:
, yang bermaksud bahawa vektor ini adalah kolinear, dan .

Kesimpulan: Sisi bertentangan bagi segiempat adalah selari secara berpasangan, yang bermaksud ia adalah segiempat selari mengikut takrifan. Q.E.D.

Lebih banyak angka baik dan berbeza:

Contoh 4

Bucu segiempat diberikan. Buktikan bahawa sisi empat ialah trapezium.

Untuk rumusan bukti yang lebih ketat, sudah tentu lebih baik untuk mendapatkan definisi trapezoid, tetapi cukup untuk mengingati rupanya.

Ini adalah tugas untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian lengkap pada akhir pelajaran.

Dan kini tiba masanya untuk perlahan-lahan bergerak dari pesawat ke angkasa:

Bagaimana untuk menentukan kolineariti vektor ruang?

Peraturannya sangat serupa. Agar dua vektor ruang menjadi kolinear, adalah perlu dan mencukupi bahawa koordinat sepadannya adalah berkadar..

Contoh 5

Ketahui sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:

A);
b)
V)

Penyelesaian:
a) Mari kita semak sama ada terdapat pekali perkadaran untuk koordinat vektor yang sepadan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

"Diringkaskan" diformalkan dengan menyemak perkadaran. Dalam kes ini:
– koordinat yang sepadan tidak berkadar, yang bermaksud vektor bukan kolinear.

Jawapan: vektor bukan kolinear.

b-c) Ini adalah mata untuk keputusan bebas. Cubalah dalam dua cara.

Terdapat kaedah untuk menyemak vektor spatial untuk keselarasan melalui penentu tertib ketiga, kaedah ini diliputi dalam artikel Produk vektor bagi vektor.

Sama seperti kes satah, alat yang dipertimbangkan boleh digunakan untuk mengkaji keselarian segmen ruang dan garis lurus.

Selamat datang ke bahagian kedua:

Kebergantungan linear dan kebebasan vektor dalam ruang tiga dimensi.
Sistem koordinat asas ruang dan affine

Banyak corak yang kami periksa pada pesawat akan sah untuk ruang angkasa. Saya cuba meminimumkan nota teori kerana bahagian singa maklumat telah pun dikunyah. Walau bagaimanapun, saya mengesyorkan anda membaca bahagian pengenalan dengan teliti, kerana istilah dan konsep baharu akan muncul.

Kini, bukannya satah meja komputer, kami meneroka ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat asasnya. Seseorang kini berada di dalam rumah, seseorang berada di luar rumah, tetapi dalam apa jua keadaan, kita tidak boleh lari daripada tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh itu, untuk membina asas, tiga vektor spatial akan diperlukan. Satu atau dua vektor tidak mencukupi, yang keempat adalah berlebihan.

Dan sekali lagi kami memanaskan pada jari kami. Sila angkat tangan anda dan bentangkannya sisi yang berbeza ibu jari, indeks dan jari tengah . Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeza, mereka ada panjang yang berbeza dan mempunyai sudut yang berbeza antara mereka sendiri. Tahniah, asas ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu menunjukkan perkara ini kepada guru, tidak kira betapa keras anda memutar jari anda, tetapi tidak ada definisi yang terlepas =)

Seterusnya, mari kita bertanya isu penting, adakah mana-mana tiga vektor membentuk asas ruang tiga dimensi? Sila tekan tiga jari dengan kuat pada bahagian atas meja komputer. Apa yang berlaku? Tiga vektor terletak dalam satah yang sama, dan, secara kasarnya, kami telah kehilangan salah satu dimensi - ketinggian. Vektor tersebut adalah coplanar dan, agak jelas bahawa asas ruang tiga dimensi tidak dicipta.

Perlu diingatkan bahawa vektor coplanar tidak perlu terletak pada satah yang sama; satah selari(jangan lakukan ini dengan jari anda, hanya Salvador Dali yang melakukannya dengan cara ini =)).

Definisi: vektor dipanggil coplanar, jika terdapat satah yang selari dengannya. Adalah logik untuk menambah di sini bahawa jika satah sedemikian tidak wujud, maka vektor tidak akan menjadi koplanar.

Tiga vektor coplanar sentiasa bergantung secara linear, iaitu, mereka dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. Untuk kesederhanaan, mari kita bayangkan sekali lagi bahawa mereka terletak dalam satah yang sama. Pertama, vektor bukan sahaja koplanar, ia juga boleh menjadi kolinear, maka sebarang vektor boleh dinyatakan melalui mana-mana vektor. Dalam kes kedua, jika, sebagai contoh, vektor bukan kolinear, maka vektor ketiga dinyatakan melaluinya dengan cara yang unik: (dan mengapa mudah untuk meneka daripada bahan dalam bahagian sebelumnya).

Begitu juga sebaliknya: tiga vektor bukan koplanar sentiasa bebas linear, iaitu, mereka sama sekali tidak dinyatakan melalui satu sama lain. Dan, jelas sekali, hanya vektor sedemikian boleh membentuk asas ruang tiga dimensi.

Definisi: Asas ruang tiga dimensi dipanggil tiga kali ganda vektor bebas linear (bukan koplanar), diambil mengikut susunan tertentu, dan sebarang vektor ruang satu-satunya cara diuraikan atas dasar tertentu, di manakah koordinat vektor dalam asas ini

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kita juga boleh mengatakan bahawa vektor diwakili dalam bentuk gabungan linear vektor asas.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama seperti untuk kes satah dan mana-mana tiga linear vektor bebas:

asal usul, Dan bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan tertentu, set sistem koordinat affine bagi ruang tiga dimensi :

Sudah tentu, grid koordinat"serong" dan menyusahkan, tetapi, bagaimanapun, sistem koordinat yang dibina membolehkan kami pasti tentukan koordinat mana-mana vektor dan koordinat mana-mana titik dalam ruang. Sama seperti pesawat, beberapa formula yang telah saya nyatakan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat affine ruang.

Kes khas yang paling biasa dan mudah untuk sistem koordinat affine, seperti yang semua orang meneka, adalah sistem koordinat ruang segi empat tepat:

Satu titik dalam ruang dipanggil asal usul, Dan ortonormal asas ditetapkan Sistem koordinat ruang segi empat tepat Cartesian . Gambar biasa:

Sebelum beralih kepada tugas praktikal, mari kita sekali lagi sistematik maklumat:

Untuk tiga vektor ruang penyataan berikut adalah setara:
1) vektor adalah bebas linear;
2) vektor membentuk asas;
3) vektor bukan coplanar;
4) vektor tidak boleh dinyatakan secara linear melalui satu sama lain;
5) penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini, adalah berbeza daripada sifar.

Saya rasa kenyataan yang bertentangan boleh difahami.

Kebergantungan linear/kebebasan vektor ruang secara tradisional disemak menggunakan penentu (titik 5). yang tinggal tugas amali akan mempunyai aksara algebra yang jelas. Sudah tiba masanya untuk menggantung kayu geometri dan menggunakan kayu besbol algebra linear:

Tiga vektor ruang adalah coplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor yang diberikan adalah sama dengan sifar: .

Saya ingin menarik perhatian anda kepada nuansa teknikal yang kecil: koordinat vektor boleh ditulis bukan sahaja dalam lajur, tetapi juga dalam baris (nilai penentu tidak akan berubah dari ini - lihat sifat penentu). Tetapi ia lebih baik dalam lajur, kerana ia lebih bermanfaat untuk menyelesaikan beberapa masalah praktikal.

Bagi pembaca yang sedikit terlupa kaedah mengira penentu, atau mungkin mempunyai sedikit pengetahuan tentangnya, saya mengesyorkan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana untuk mengira penentu?

Contoh 6

Semak sama ada vektor berikut membentuk asas ruang tiga dimensi:

Penyelesaian: Sebenarnya, keseluruhan penyelesaian datang untuk mengira penentu.

a) Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor (penentu didedahkan dalam baris pertama):

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear (bukan coplanar) dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

Jawab: vektor ini membentuk asas

b) Ini adalah titik untuk keputusan bebas. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bertemu dan tugasan kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter apakah vektor akan menjadi koplanar?

Penyelesaian: Vektor adalah coplanar jika dan hanya jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah sama dengan sifar:

Pada asasnya, anda perlu menyelesaikan persamaan dengan penentu. Kami turun pada sifar seperti layang-layang di jerboa - sebaiknya buka penentu di baris kedua dan segera singkirkan tolak:

Kami menjalankan penyederhanaan selanjutnya dan mengurangkan perkara itu kepada persamaan linear termudah:

Jawab: pada

Mudah untuk menyemak di sini; untuk melakukan ini, anda perlu menggantikan nilai yang terhasil ke dalam penentu asal dan pastikan itu , membukanya semula.

Kesimpulannya, kami akan mempertimbangkan satu lagi masalah tipikal, yang lebih bersifat algebra dan secara tradisinya termasuk dalam kursus algebra linear. Ia adalah perkara biasa sehingga ia layak untuk topiknya sendiri:

Buktikan bahawa 3 vektor membentuk asas ruang tiga dimensi
dan cari koordinat bagi vektor ke-4 dalam asas ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dalam ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini.

Penyelesaian: Pertama, mari kita berurusan dengan syarat. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang anda lihat, mereka sudah mempunyai koordinat dalam beberapa asas. Apa asas ini tidak menarik minat kami. Adakah anda berminat? perkara seterusnya: tiga vektor mungkin membentuk asas baharu. Dan peringkat pertama sepenuhnya bertepatan dengan penyelesaian untuk Contoh 6 adalah perlu untuk memeriksa sama ada vektor benar-benar bebas linear:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

! penting : koordinat vektor Semestinya menulis ke dalam lajur penentu, bukan dalam rentetan. Jika tidak, akan berlaku kekeliruan dalam algoritma penyelesaian selanjutnya.

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dalam ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini.

Penyelesaian: Pertama, mari kita berurusan dengan syarat. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang anda lihat, mereka sudah mempunyai koordinat dalam beberapa asas. Apa asas ini tidak menarik minat kami. Dan perkara berikut adalah menarik: tiga vektor mungkin terbentuk asas baharu. Dan peringkat pertama sepenuhnya bertepatan dengan penyelesaian untuk Contoh 6 adalah perlu untuk memeriksa sama ada vektor benar-benar bebas linear:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas ruang tiga dimensi.

! penting: koordinat vektor Semestinya menulis ke dalam lajur penentu, bukan dalam rentetan. Jika tidak, akan berlaku kekeliruan dalam algoritma penyelesaian selanjutnya.

Sekarang mari kita ingat bahagian teori: jika vektor membentuk asas, maka mana-mana vektor boleh satu-satunya cara kembangkan pada asas tertentu: , di manakah koordinat vektor dalam asas.

Memandangkan vektor kami membentuk asas ruang tiga dimensi (ini telah terbukti), vektor boleh dikembangkan dengan cara yang unik berdasarkan asas ini:
, di manakah koordinat vektor dalam asas.

Mengikut keadaan dan ia diperlukan untuk mencari koordinat.

Untuk memudahkan penjelasan, saya akan menukar bahagian: . Untuk mencarinya, anda harus menuliskan kesamaan koordinat demi koordinat ini:

Atas dasar apakah pekali ditetapkan? Semua pekali di sebelah kiri betul-betul dipindahkan dari penentu , koordinat vektor ditulis di sebelah kanan.

Ternyata sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui. Biasanya ia diselesaikan oleh Formula Cramer, selalunya dalam penyataan masalah terdapat keperluan sedemikian.

Penentu utama sistem telah dijumpai:
, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Yang berikut ialah soal teknik:

Oleh itu:
– penguraian vektor mengikut asas.

Jawapan:

Seperti yang telah saya nyatakan, masalahnya adalah bersifat algebra. Vektor yang dipertimbangkan tidak semestinya vektor yang boleh dilukis dalam ruang, tetapi, pertama sekali, vektor abstrak kursus algebra linear. Bagi kes vektor dua dimensi, masalah yang sama boleh dirumuskan dan penyelesaiannya akan menjadi lebih mudah. Walau bagaimanapun, dalam amalan saya tidak pernah menemui tugas sedemikian, sebab itu saya melangkaunya di bahagian sebelumnya.

Masalah yang sama dengan vektor tiga dimensi untuk penyelesaian bebas:

Contoh 9

Vektor diberikan. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dan cari koordinat vektor dalam asas ini. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer.

Penyelesaian lengkap dan sampel anggaran tamat pada akhir pelajaran.

Begitu juga, kita boleh mempertimbangkan empat dimensi, lima dimensi, dsb. ruang vektor, di mana vektor masing-masing mempunyai 4, 5 atau lebih koordinat. Untuk data ruang vektor Terdapat juga konsep kebergantungan linear, kebebasan linear vektor, terdapat asas, termasuk asas ortonormal, pengembangan vektor berkenaan dengan asas. Ya, ruang sedemikian tidak boleh dilukis secara geometri, tetapi semua peraturan, sifat dan teorem kes dua dan tiga dimensi berfungsi di dalamnya - algebra tulen. Sebenarnya, oh isu falsafah Saya sudah tergoda untuk bercakap dalam artikel itu Derivatif separa fungsi tiga pembolehubah, yang muncul lebih awal daripada pelajaran ini.

Suka vektor, dan vektor akan menyukai anda!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: mari kita buat perkadaran daripada koordinat vektor yang sepadan:

Jawapan: di

Contoh 4: Bukti: Trapeze Segi empat dipanggil segi empat di mana dua sisi adalah selari dan dua sisi yang lain tidak selari.
1) Mari kita semak keselarian sisi bertentangan dan .
Mari cari vektor:


, yang bermaksud bahawa vektor ini bukan kolinear dan sisinya tidak selari.
2) Mari kita semak keselarian sisi bertentangan dan .
Mari cari vektor:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:
, yang bermaksud bahawa vektor ini adalah kolinear, dan .
Kesimpulan: Dua sisi segiempat adalah selari, tetapi dua sisi yang lain tidak selari, yang bermaksud ia adalah trapezoid mengikut definisi. Q.E.D.

Contoh 5: Penyelesaian:
b) Mari kita semak sama ada terdapat pekali perkadaran untuk koordinat vektor yang sepadan:

Sistem ini tidak mempunyai penyelesaian, yang bermaksud vektor bukan kolinear.
Reka bentuk yang lebih ringkas:
– koordinat kedua dan ketiga tidak berkadar, yang bermaksud vektor bukan kolinear.
Jawapan: vektor bukan kolinear.
c) Kami memeriksa vektor untuk keselarasan . Mari buat sistem:

Koordinat vektor yang sepadan adalah berkadar, yang bermaksud
Di sinilah kaedah reka bentuk "foppish" gagal.
Jawapan:

Contoh 6: Penyelesaian: b) Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor (penentu didedahkan dalam baris pertama):

, yang bermaksud bahawa vektor adalah bergantung secara linear dan tidak membentuk asas ruang tiga dimensi.
Jawab : vektor ini tidak membentuk asas

Contoh 9: Penyelesaian: Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor:


Oleh itu, vektor adalah bebas secara linear dan membentuk asas.
Mari kita wakili vektor sebagai gabungan linear vektor asas:

Selaras:

Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer:
, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawapan:Vektor membentuk asas,

Matematik yang lebih tinggi untuk pelajar surat-menyurat dan banyak lagi >>>

(Pergi ke halaman utama)

Hasil silang vektor.
Hasil campuran vektor

Dalam pelajaran ini kita akan melihat dua lagi operasi dengan vektor: produk vektor vektor Dan kerja bercampur vektor. Tidak mengapa, kadang-kadang ia berlaku untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab skalar bagi vektor, semakin banyak diperlukan. Ini adalah ketagihan vektor. Nampaknya kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini adalah salah. DALAM bahagian ini Matematik yang lebih tinggi biasanya mempunyai sedikit kayu api, mungkin cukup untuk Pinocchio. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih rumit daripada yang sama produk skalar , malah tugas biasa akan ada kurang. Perkara utama dalam geometri analitik, kerana ramai yang akan yakin atau sudah yakin, adalah TIDAK MEMBUAT KESILAPAN DALAM PENGIRAAN. Ulangi seperti jampi dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara terpilih Saya cuba mengumpul koleksi contoh yang paling lengkap yang sering dijumpai di kerja amali

Apa yang akan membuatkan anda gembira dengan segera? Semasa saya kecil, saya boleh mengimbangi dua atau tiga bola. Ia berjaya dengan baik. Sekarang anda tidak perlu menyulap sama sekali, kerana kami akan mempertimbangkan sahaja vektor spatial , dan vektor rata dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi dalam ruang tiga dimensi. Ia sudah lebih mudah!

Tugasan ujian

Tugasan 1 - 10. Vektor diberi. Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas ruang tiga dimensi dan cari koordinat vektor dalam asas ini:

Diberi vektor ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Tunjukkan bahawa vektor membentuk asas dalam ruang tiga dimensi dan cari koordinat bagi vektor X dalam asas ini.

Tugasan ini terdiri daripada dua bahagian. Mula-mula anda perlu menyemak sama ada vektor membentuk asas. Vektor membentuk asas jika penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini adalah bukan sifar, dalam sebaliknya vektor bukan asas dan vektor X tidak boleh dikembangkan mengikut asas tertentu.

Mari kita hitung penentu matriks:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Penentu matriks ialah ∆ =37

Oleh kerana penentu adalah bukan sifar, vektor membentuk asas, oleh itu, vektor X boleh dikembangkan atas asas ini. Itu. terdapat nombor α 1, α 2, α 3 supaya persamaan itu dipegang:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Mari kita tulis kesamaan ini dalam bentuk koordinat:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Dengan menggunakan sifat vektor, kita memperoleh kesamaan berikut:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Dengan sifat kesamaan vektor kita mempunyai:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Kami menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil Kaedah Gaussian atau kaedah Cramer.

X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Penyelesaian telah diterima dan diproses menggunakan perkhidmatan:

Koordinat vektor dalam asas

Bersama-sama dengan masalah ini mereka juga menyelesaikan:

Menyelesaikan persamaan matriks

Kaedah Cramer

Kaedah Gauss

Matriks songsang menggunakan kaedah Jordano-Gauss

Matriks songsang melalui pelengkap algebra

Pendaraban matriks dalam talian

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Penyelesaian. Mari kita tunjukkan bahawa vektor 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) membentuk suatu asas. Mari kita cari penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini.

Kami melakukan transformasi asas:

Tolak daripada baris 3 baris 1 didarab dengan (-1)

Tolak baris 2 dari baris 3, Tolak baris 2 dari baris 4

Mari kita tukar baris 3 dan 4.

Dalam kes ini, penentu akan menukar tandanya kepada sebaliknya:

Kerana penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu, vektor adalah bebas linear dan membentuk asas.

Mari kita uraikan vektor kepada vektor asas yang diberikan: , Di sini, ? koordinat yang dikehendaki bagi vektor dalam asas, . Dalam bentuk koordinat, persamaan ini ialah (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1, 0, 1, 5) mengambil bentuk:

Kami menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks lanjutan

Untuk memudahkan pengiraan, mari tukar baris:

Darab baris ke-3 dengan (-1). Mari tambah baris ke-3 kepada baris ke-2. Darabkan baris ke-3 dengan 2. Tambahkan baris ke-4 kepada baris ke-3:

Darab baris pertama dengan 3. Darab baris ke-2 dengan (-2). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:

Darab baris ke-2 dengan 5. Darab baris ke-3 dengan 3. Tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Darab baris ke-2 dengan (-2). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:

Dari baris 1 kita nyatakan?4

Dari baris ke-2 kita nyatakan? 3

Dari baris ke-3 kita nyatakan? 2