Saya rasa awak layak lebih daripada ini. Inilah kunci saya kepada trigonometri:

• Lukiskan kubah, dinding dan siling
• Fungsi trigonometri hanyalah peratusan daripada ketiga-tiga bentuk ini.

Metafora untuk sinus dan kosinus: kubah

Daripada hanya melihat segi tiga itu sendiri, bayangkan mereka beraksi dengan mencari beberapa contoh istimewa daripada kehidupan.

Bayangkan anda berada di tengah-tengah kubah dan ingin menggantung skrin projektor filem. Anda menuding jari anda pada kubah pada sudut tertentu "x", dan skrin harus digantung dari titik ini.

Sudut yang anda tunjuk menentukan:

• sinus(x) = sin(x) = ketinggian skrin (dari lantai ke titik pelekap kubah)
• kosinus(x) = cos(x) = jarak dari anda ke skrin (mengikut tingkat)
• hipotenus, jarak dari anda ke bahagian atas skrin, sentiasa sama, sama dengan jejari kubah

Adakah anda mahu skrin menjadi sebesar mungkin? Gantungkannya tepat di atas anda.

Adakah anda mahu skrin digantung sejauh mungkin daripada anda? Gantungnya lurus berserenjang. Skrin akan mempunyai ketinggian sifar dalam kedudukan ini dan akan tergantung paling jauh, seperti yang anda minta.

Ketinggian dan jarak dari skrin adalah berkadar songsang: semakin dekat skrin digantung, semakin tinggi ketinggiannya.

Sinus dan kosinus adalah peratusan

Tidak ada sesiapa pun sepanjang tahun pengajian saya, malangnya, menjelaskan kepada saya bahawa fungsi trigonometri sinus dan kosinus tidak lebih daripada peratusan. Nilai mereka berjulat dari +100% hingga 0 hingga -100%, atau dari maksimum positif hingga sifar hingga maksimum negatif.

Katakan saya membayar cukai sebanyak 14 rubel. Anda tidak tahu berapa harganya. Tetapi jika anda mengatakan bahawa saya membayar 95% cukai, anda akan faham bahawa saya hanya ditipu.

Ketinggian mutlak tidak bermakna apa-apa. Tetapi jika nilai sinus ialah 0.95, maka saya faham bahawa TV itu tergantung hampir di bahagian atas kubah anda. Tidak lama lagi dia akan sampai ketinggian maksimum di tengah-tengah kubah, dan kemudian mula menurun semula.

Bagaimanakah kita boleh mengira peratusan ini? Ia sangat mudah: bahagikan ketinggian skrin semasa dengan maksimum yang mungkin (jejari kubah, juga dipanggil hipotenus).

sebab tu kita diberitahu bahawa "kosinus = sisi bertentangan / hipotenus." Ini semua tentang mendapatkan minat! Adalah lebih baik untuk menentukan sinus sebagai "peratusan ketinggian semasa daripada maksimum yang mungkin." (Sinus menjadi negatif jika sudut anda menghala ke "bawah tanah." Kosinus menjadi negatif jika sudut menghala ke arah titik kubah di belakang anda.)

Mari kita permudahkan pengiraan dengan menganggap kita berada di tengah bulatan unit(jejari = 1). Kita boleh melangkau bahagian dan hanya mengambil sinus yang sama dengan ketinggian.

Setiap bulatan pada asasnya adalah satu unit, dibesarkan atau dikecilkan dalam skala kepada saiz yang betul. Jadi tentukan sambungan bulatan unit dan gunakan hasilnya pada saiz bulatan khusus anda.

Eksperimen: ambil mana-mana sudut dan lihat apa peratusan ketinggian ke lebar yang dipaparkan:

Graf pertumbuhan nilai sinus bukan sekadar garis lurus. 45 darjah pertama meliputi 70% ketinggian, tetapi 10 darjah terakhir (dari 80° hingga 90°) meliputi hanya 2%.

Ini akan menjadikannya lebih jelas kepada anda: jika anda berjalan dalam bulatan, pada 0° anda naik hampir menegak, tetapi apabila anda menghampiri bahagian atas kubah, ketinggian berubah semakin berkurangan.

Tangen dan sekan. dinding

Suatu hari jiran membina tembok betul-betul bersebelahan ke kubah anda. Menangiskan pandangan anda dari tingkap dan harga yang baik untuk dijual semula!

Tetapi adakah mungkin untuk menang dalam situasi ini?

Sudah tentu YA. Bagaimana jika kita menggantung skrin filem tepat di dinding jiran kita? Anda menyasarkan sudut (x) dan dapatkan:

• tan(x) = tan(x) = ketinggian skrin pada dinding
• jarak dari anda ke dinding: 1 (ini adalah jejari kubah anda, dinding tidak bergerak ke mana-mana dari anda, bukan?)
• secant(x) = sec(x) = "panjang tangga" daripada anda berdiri di tengah-tengah kubah ke bahagian atas skrin yang digantung

Mari kita jelaskan beberapa perkara mengenai tangen, atau ketinggian skrin.

• ia bermula pada 0, dan boleh mencapai ketinggian yang tidak terhingga. Anda boleh meregangkan skrin lebih tinggi dan lebih tinggi pada dinding untuk mencipta kanvas yang tidak berkesudahan untuk menonton filem kegemaran anda! (Untuk yang begitu besar, sudah tentu, anda perlu membelanjakan banyak wang).
• tangen hanyalah versi sinus yang lebih besar! Dan sementara peningkatan dalam sinus menjadi perlahan apabila anda bergerak ke arah bahagian atas kubah, tangen terus berkembang!

Sekansu juga mempunyai sesuatu untuk dibanggakan:

• Titikan bermula pada 1 (tangga berada di atas lantai, dari anda ke dinding) dan mula naik dari sana
• Sekan sentiasa lebih panjang daripada tangen. Tangga senget yang anda gunakan untuk menggantung skrin anda mestilah lebih panjang daripada skrin itu sendiri, bukan? (Dengan saiz yang tidak realistik, apabila skrin sangat panjang dan tangga perlu diletakkan hampir menegak, saiznya hampir sama. Tetapi walaupun begitu secant akan menjadi sedikit lebih lama).

Ingat, nilainya adalah peratus. Jika anda memutuskan untuk menggantung skrin pada sudut 50 darjah, tan(50)=1.19. Skrin anda adalah 19% lebih besar daripada jarak ke dinding (jejari kubah).

(Masukkan x=0 dan semak intuisi anda - tan(0) = 0 dan saat(0) = 1.)

Kotangen dan kosekan. Siling

Hebatnya, jiran anda kini telah memutuskan untuk membina bumbung di atas kubah anda. (Apa masalah dia? Rupa-rupanya dia tidak mahu anda mengintipnya semasa dia berjalan di halaman dalam keadaan telanjang...)

Nah, sudah tiba masanya untuk membina jalan keluar ke bumbung dan bercakap dengan jiran anda. Anda memilih sudut kecenderungan dan memulakan pembinaan:

• jarak menegak antara alur keluar bumbung dan lantai sentiasa 1 (jejari kubah)
• kotangen(x) = cot(x) = jarak antara bahagian atas kubah dan titik keluar
• cosecant(x) = csc(x) = panjang laluan anda ke bumbung

Tangen dan secant menerangkan dinding, dan COtangent dan COsecant menerangkan siling.

Kesimpulan intuitif kami kali ini adalah serupa dengan yang sebelumnya:

• Jika anda mengambil sudut sama dengan 0°, jalan keluar anda ke bumbung akan kekal selama-lamanya, kerana ia tidak akan sampai ke siling. Masalah.
• "Tangga" terpendek ke bumbung akan diperoleh jika anda membinanya pada sudut 90 darjah ke lantai. Kotangen akan sama dengan 0 (kami tidak bergerak di sepanjang bumbung sama sekali, kami keluar dengan ketat secara berserenjang), dan kosekan akan sama dengan 1 ("panjang tangga" akan menjadi minimum).

Visualisasikan sambungan

Jika ketiga-tiga kes dilukis dalam kombinasi kubah-dinding-siling, hasilnya adalah seperti berikut:

Nah, ia masih segi tiga yang sama, meningkat dalam saiz untuk mencapai dinding dan siling. Kami mempunyai sisi menegak (sinus, tangen), sisi mendatar (kosinus, kotangen) dan "hypotenus" (secant, cosecant). (Dengan anak panah anda boleh melihat di mana setiap elemen sampai. Kosekan ialah jumlah jarak dari anda ke bumbung).

Sedikit sihir. Semua segi tiga berkongsi kesamaan yang sama:

Daripada teorem Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) kita lihat bagaimana sisi setiap segi tiga disambungkan. Di samping itu, nisbah "tinggi kepada lebar" juga harus sama untuk semua segi tiga. (Hanya berundur dari yang sangat segi tiga besar kepada kurang. Ya, saiznya telah berubah, tetapi nisbah aspek akan kekal sama).

Mengetahui sisi mana dalam setiap segi tiga sama dengan 1 (jejari kubah), kita boleh mengira dengan mudah bahawa "sin/cos = tan/1".

Saya sentiasa cuba mengingati fakta ini melalui visualisasi mudah. Dalam gambar anda melihat dengan jelas kebergantungan ini dan memahami dari mana asalnya. Teknik ini banyak lebih baik daripada menghafal formula kering.

Jangan lupa tentang sudut lain

Psst... Jangan tersangkut pada satu graf, memikirkan bahawa tangen sentiasa kurang daripada 1. Jika anda meningkatkan sudut, anda boleh mencapai siling tanpa mencapai dinding:

Sambungan Pythagoras sentiasa berfungsi, tetapi saiz relatif mungkin berbeza.

(Anda mungkin perasan bahawa nisbah sinus dan kosinus sentiasa terkecil kerana ia terkandung dalam kubah).

Untuk meringkaskan: apa yang perlu kita ingat?

Bagi kebanyakan kita, saya akan mengatakan ini sudah cukup:

• trigonometri menerangkan anatomi objek matematik seperti bulatan dan selang berulang
• Analogi kubah/dinding/bumbung menunjukkan hubungan antara fungsi trigonometri yang berbeza
• hasil fungsi trigonometri adalah peratusan yang kami gunakan pada skrip kami.

Anda tidak perlu menghafal formula seperti 1 2 + cot 2 = csc 2 . Mereka hanya sesuai untuk ujian bodoh, di mana pengetahuan tentang sesuatu fakta diteruskan sebagai memahaminya. Luangkan sedikit masa untuk melukis separuh bulatan dalam bentuk kubah, dinding dan bumbung, labelkan elemen, dan semua formula akan datang kepada anda di atas kertas.

Aplikasi: Fungsi Songsang

Mana-mana fungsi trigonometri mengambil sudut sebagai parameter input dan mengembalikan hasilnya sebagai peratusan. sin(30) = 0.5. Ini bermakna sudut 30 darjah mengambil 50% daripada ketinggian maksimum.

Fungsi trigonometri songsang ditulis sebagai sin -1 atau arcsin. Ia juga sering ditulis asin dalam pelbagai bahasa pengaturcaraan.

Jika ketinggian kita ialah 25% daripada ketinggian kubah, apakah sudut kita?

Dalam jadual perkadaran kami, anda boleh menemui nisbah di mana bahagian dibahagikan dengan 1. Sebagai contoh, bahagian dengan 1 (hipotenus kepada mendatar) akan sama dengan 1 dibahagikan dengan kosinus:

Katakan sekan kita ialah 3.5, i.e. 350% daripada jejari bulatan unit. Apakah sudut kecondongan ke dinding yang sepadan dengan nilai ini?

Lampiran: Beberapa contoh

Contoh: Cari sinus sudut x.

Tugas yang membosankan. Mari kita rumitkan "cari sinus" yang cetek kepada "Berapa ketinggian sebagai peratusan maksimum (hipotenus)?"

Pertama, perhatikan bahawa segi tiga diputar. Tidak ada yang salah dengan itu. Segitiga juga mempunyai ketinggian, ia ditunjukkan dalam warna hijau dalam rajah.

Apakah hipotenus sama dengan? Menurut teorem Pythagoras, kita tahu bahawa:

3 2 + 4 2 = hipotenus 2 25 = hipotenus 2 5 = hipotenus

baiklah! Sinus ialah peratusan ketinggian sisi terpanjang segitiga, atau hipotenus. Dalam contoh kami, sinus ialah 3/5 atau 0.60.

Sudah tentu, kita boleh pergi beberapa cara. Sekarang kita tahu bahawa sinus ialah 0.60, kita hanya boleh mencari arcsine:

Asin(0.6)=36.9

Berikut adalah pendekatan lain. Perhatikan bahawa segi tiga itu "menghadap ke dinding," jadi kita boleh menggunakan tangen dan bukannya sinus. Ketinggian ialah 3, jarak ke dinding ialah 4, jadi tangen ialah ¾ atau 75%. Kita boleh menggunakan arctangent untuk pergi dari nilai peratusan kembali ke sudut:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Contoh: Adakah anda akan berenang ke pantai?

Anda berada di dalam bot dan anda mempunyai bahan api yang mencukupi untuk melakukan perjalanan sejauh 2 km. Anda kini berada 0.25 km dari pantai. Pada sudut maksimum ke pantai manakah anda boleh berenang ke sana supaya anda mempunyai bahan api yang mencukupi? Tambahan kepada pernyataan masalah: kami hanya mempunyai jadual nilai kosinus arka.

Apa yang kita ada? garis pantai boleh diwakili sebagai "dinding" dalam segi tiga terkenal kami, dan "panjang tangga" yang dilekatkan pada dinding adalah jarak maksimum yang mungkin untuk diliputi oleh bot ke pantai (2 km). Satu bahagian muncul.

Pertama, anda perlu pergi ke peratusan. Kami mempunyai 2 / 0.25 = 8, iaitu, kita boleh berenang jarak yang 8 kali jarak lurus ke pantai (atau ke dinding).

Timbul persoalan: "Apakah bahagian 8?" Tetapi kita tidak boleh menjawabnya, kerana kita hanya mempunyai kosinus arka.

Kami menggunakan kebergantungan terbitan kami sebelum ini untuk mengaitkan sekan dengan kosinus: "sec/1 = 1/cos"

Sekans 8 sama dengan kosinus⅛. Sudut yang kosinusnya ialah ⅛ adalah sama dengan acos(1/8) = 82.8. Dan ini adalah sudut terbesar yang kita mampu di atas bot dengan jumlah bahan api yang ditentukan.

Tidak buruk, bukan? Tanpa analogi kubah-dinding-siling, saya akan tersesat dalam sekumpulan formula dan pengiraan. Memvisualisasikan masalah sangat memudahkan pencarian untuk penyelesaian, dan juga menarik untuk melihat fungsi trigonometri yang akhirnya akan membantu.

Fikirkan apabila menyelesaikan setiap masalah dengan cara berikut: Adakah saya berminat dengan kubah (sin/cos), dinding (tan/sec) atau siling (katil bayi/csc)?

Dan trigonometri akan menjadi lebih menyeronokkan. Pengiraan mudah untuk anda!

Pelajaran mengenai topik “Sinus, kosinus dan tangen sudut akut segi tiga tepat"

Objektif pelajaran:

pendidikan - memperkenalkan konsep sinus, kosinus, tangen sudut akut dalam segi tiga tepat, meneroka kebergantungan dan hubungan antara kuantiti ini;

membangun - pembentukan konsep sinus, kosinus, tangen sebagai fungsi sudut, domain definisi fungsi trigonometri, pembangunan pemikiran logik, pembangunan pertuturan matematik yang betul;

pendidikan - pembangunan kemahiran kerja bebas, budaya tingkah laku, ketepatan dalam penyimpanan rekod.

Kemajuan pelajaran:

1. mengatur masa

“Pendidikan bukan jumlah pelajaran yang diambil, tetapi jumlah yang difahami. Jadi, jika anda ingin pergi ke hadapan, maka cepatlah perlahan-lahan dan berhati-hati."

2. Motivasi pelajaran.

Seorang bijak pandai berkata: “ Manifestasi tertinggi roh ialah fikiran. Manifestasi tertinggi sebab ialah geometri. Sel geometri ialah segi tiga. Ia tidak habis-habis seperti Alam Semesta. Bulatan adalah jiwa geometri. Kenali bulatan, dan anda bukan sahaja akan mengetahui jiwa geometri, tetapi anda akan meningkatkan jiwa anda.

Kami akan cuba membuat sedikit kajian bersama-sama dengan anda. Mari kongsi idea anda yang terlintas di fikiran anda, dan jangan takut untuk membuat kesilapan, sebarang pemikiran boleh memberi kita hala tuju baharu untuk mencari. Pencapaian kita mungkin tidak kelihatan hebat bagi seseorang, tetapi ia akan menjadi pencapaian kita sendiri!

3. Pengemaskinian pengetahuan asas.

Apakah sudut yang boleh ada?

Apakah segi tiga?

Apakah elemen utama yang mentakrifkan segitiga?

Apakah jenis segi tiga yang terdapat bergantung pada sisi?

Apakah jenis segi tiga yang terdapat bergantung pada sudut?

Apa itu kaki?

Apakah hipotenus?

Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil?

Apakah hubungan antara sisi dan sudut segi tiga ini yang anda tahu?

Mengapa anda perlu mengetahui hubungan antara sisi dan sudut?

Apakah tugas dalam hidup yang boleh membawa kepada keperluan untuk mengira pihak yang tidak dikenali dalam segi tiga?

Istilah "hipotenus" berasal dari perkataan Yunani"hypoinouse", bermaksud "meregangkan sesuatu", "mengkontrak". Perkataan itu berasal dari imej kecapi Yunani kuno, di mana tali diregangkan di hujung dua pendirian yang saling berserenjang. Istilah "cathetus" berasal dari perkataan Yunani "kathetos", yang bermaksud permulaan "garis plumb", "berserenjang".

Euclid berkata: "Kaki adalah sisi yang melampirkan sudut tegak."

DALAM Yunani purba kaedah untuk membina segi tiga tepat di atas tanah telah pun diketahui. Untuk melakukan ini, mereka menggunakan tali di mana 13 knot diikat, pada jarak yang sama antara satu sama lain. Semasa pembinaan piramid di Mesir, segi tiga tepat dibuat dengan cara ini. Itu mungkin sebabnya segi tiga tepat dengan sisi 3,4,5 dan dipanggil segi tiga Mesir.

4. Mempelajari bahan baharu.

Pada zaman dahulu, orang melihat bintang dan, berdasarkan pemerhatian ini, menyimpan kalendar, mengira tarikh menyemai, dan masa banjir sungai; kapal di laut dan karavan di darat mengemudi perjalanan mereka dengan bintang. Semua ini membawa kepada keperluan untuk mempelajari cara mengira sisi dalam segitiga, dua daripada bucunya berada di atas tanah, dan yang ketiga diwakili oleh satu titik di langit berbintang. Berdasarkan keperluan ini, timbullah sains trigonometri - sains yang mengkaji hubungan antara sisi segitiga.

Adakah anda fikir hubungan yang kita sedia maklum sudah cukup untuk menyelesaikan masalah sedemikian?

Tujuan pelajaran hari ini adalah untuk meneroka sambungan dan kebergantungan baharu, untuk memperoleh perhubungan, menggunakan mana dalam pelajaran geometri seterusnya anda akan dapat menyelesaikan masalah tersebut.

Mari kita berasa seperti kita dalam peranan pekerja saintifik dan mengikuti jenius zaman dahulu Thales, Euclid, Pythagoras mari jalani jalan mencari kebenaran.

Untuk ini kita perlukan asas teori.

Serlahkan sudut A dan kaki BC dengan warna merah.

Serlahkan hijau kaki AC.

Mari kita hitung bahagian yang bertentangan untuk sudut akut A kepada hipotenusnya, untuk ini kita mencipta nisbah sebelah bertentangan kepada hipotenus:

Hubungan ini mempunyai nama yang istimewa - supaya setiap orang di setiap titik di planet ini memahaminya kita bercakap tentang kira-kira nombor yang mewakili nisbah sisi bertentangan sudut akut kepada hipotenus. Perkataan ini adalah sinus. Tuliskannya. Oleh kerana perkataan sinus tanpa nama sudut kehilangan semua makna, tatatanda matematik adalah seperti berikut:

Sekarang susun nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus untuk sudut akut A:

Nisbah ini dipanggil kosinus. Notasi matematiknya:

Mari kita pertimbangkan hubungan lain untuk sudut akut A: nisbah sisi bertentangan dengan kaki bersebelahan:

Nisbah ini dipanggil tangen. Notasi matematiknya:

5. Penyatuan bahan baharu.

Mari kita satukan penemuan perantaraan kita.

Sinus ialah...

Kosinus ialah...

Tangen ialah...

dosa A =	dosa TENTANG =	dosa A 1 =
cos A =	cos TENTANG =	cos A 1 =
tan A =	tg TENTANG =	tan A 1 =

Selesaikan secara lisan No 88, 889, 892 (bekerja secara berpasangan).

Menggunakan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikannya masalah praktikal:

“Dari menara rumah api, setinggi 70 m, sebuah kapal kelihatan pada sudut 3° ke ufuk. Macam mana

jarak dari rumah api ke kapal?

Masalah diselesaikan secara frontal. Semasa perbincangan, kami membuat lukisan dan nota yang diperlukan di papan tulis dan dalam buku nota.

Apabila menyelesaikan masalah, jadual Bradis digunakan.

Pertimbangkan penyelesaian kepada masalah ms 175.

Selesaikan No. 902(1).

6. Senaman untuk mata.

Tanpa menolehkan kepala anda, lihat sekeliling dinding bilik darjah mengelilingi perimeter mengikut arah jam, papan tulis mengelilingi perimeter lawan jam, segi tiga yang digambarkan pada dirian mengikut arah jam dan segi tiga sama lawan jam. Pusingkan kepala anda ke kiri dan lihat garis ufuk, dan sekarang di hujung hidung anda. Tutup mata anda, kira hingga 5, buka mata anda dan...

Kami akan meletakkan tapak tangan kami ke mata kami,
Mari kita bentangkan kaki yang kuat.
Menoleh ke kanan
Mari lihat sekeliling dengan megah.
Dan anda perlu ke kiri juga
Lihat dari bawah tapak tangan anda.
Dan - ke kanan! Dan seterusnya
Atas bahu kiri anda!
Sekarang mari kita sambung kerja.

7. Kerja bebas pelajar.

Selesaikan no.

8. Ringkasan pelajaran. Refleksi. D/z.

Apakah perkara baharu yang telah anda pelajari? Pada pelajaran:

sudahkah anda pertimbangkan...

awak menganalisis...

Anda menerima…

anda telah membuat kesimpulan...

anda telah mengisi semula leksikon syarat berikut...

Sains dunia bermula dengan geometri. Seseorang tidak boleh benar-benar berkembang dari segi budaya dan rohani jika dia tidak belajar geometri di sekolah. Geometri timbul bukan sahaja dari praktikal, tetapi juga dari keperluan rohani manusia.

Beginilah dia menerangkan secara puitis cintanya terhadap geometri

saya suka geometri...

Saya mengajar geometri kerana saya menyukainya

Kita memerlukan geometri, tanpanya kita tidak boleh ke mana-mana.

Sinus, kosinus, lilitan - semuanya penting di sini,

Semuanya diperlukan di sini

Anda hanya perlu belajar dan memahami semuanya dengan jelas,

Selesaikan tugasan dan ujian tepat pada masanya.

Biarkan beberapa sistem koordinat segi empat tepat dan garis lurus diberikan . biarlah Dan - dua satah berbeza bersilang dalam garis lurus dan diberikan dengan sewajarnya oleh persamaan. Kedua-dua persamaan ini bersama-sama mentakrifkan garis lurus jika dan hanya jika ia tidak selari dan tidak bertepatan antara satu sama lain, iaitu vektor biasa
Dan
pesawat ini bukan kolinear.

Definisi. Jika pekali persamaan

tidak berkadar, maka persamaan ini dipanggil persamaan am garis lurus, ditakrifkan sebagai garis persilangan satah.

Definisi. Mana-mana vektor bukan sifar selari dengan garis dipanggil vektor panduan garis lurus ini.

Mari kita terbitkan persamaan garis lurus melalui titik tertentu
ruang dan mempunyai vektor arah yang diberikan
.

Biarkan titik
- titik sewenang-wenangnya pada garis lurus . Titik ini terletak pada garis jika dan hanya jika vektor
, mempunyai koordinat
, kolinear kepada vektor arah
lurus. Menurut (2.28), syarat untuk keselarasan vektor
Dan kelihatan seperti

. (3.18)

Persamaan (3.18) dipanggil persamaan kanonik garis lurus yang melalui suatu titik
dan mempunyai vektor arah
.

Jika lurus diberikan oleh persamaan am (3.17), kemudian vektor arah garis ini adalah ortogon kepada vektor biasa
Dan
satah yang ditentukan oleh persamaan. vektor
mengikut sifat produk vektor, ia adalah ortogon bagi setiap vektor Dan . Mengikut definisi, sebagai vektor arah lurus anda boleh mengambil vektor
, iaitu
.

Untuk mencari titik
pertimbangkan sistem persamaan
. Oleh kerana satah yang ditakrifkan oleh persamaan tidak selari dan tidak bertepatan, maka sekurang-kurangnya satu daripada kesamaan tidak berlaku.
. Ini membawa kepada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu daripada penentu ,
,
berbeza dengan sifar. Untuk kepastian, kami akan menganggapnya
. Kemudian, mengambil nilai sewenang-wenangnya , kita memperoleh sistem persamaan untuk yang tidak diketahui Dan :

.

Menurut teorem Cramer, sistem ini mempunyai penyelesaian unik yang ditakrifkan oleh formula

,
. (3.19)

Jika anda mengambil
, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan (3.17) melalui titik itu
.

Oleh itu, untuk kes apabila
, persamaan kanonik garis lurus (3.17) mempunyai bentuk

.

Persamaan kanonik garis lurus (3.17) ditulis sama untuk kes apabila penentunya bukan sifar
atau
.

Jika garisan melalui dua titik yang berbeza
Dan
, maka persamaan kanoniknya mempunyai bentuk

. (3.20)

Ini berikutan daripada fakta bahawa garis lurus melalui titik itu
dan mempunyai vektor arah.

Mari kita pertimbangkan persamaan kanonik (3.18) bagi garis lurus. Mari kita ambil setiap hubungan sebagai parameter , iaitu
. Salah satu penyebut pecahan ini ialah bukan sifar, dan pengangka yang sepadan boleh mengambil sebarang nilai, jadi parameter boleh mengambil mana-mana nilai sebenar. Memandangkan setiap nisbah adalah sama , kita mendapatkan persamaan parametrik lurus:

,
,
. (3.21)

Biarkan kapal terbang diberikan oleh persamaan am, dan garis lurus - persamaan parametrik
,
,
. titik
persilangan garis lurus dan kapal terbang mesti pada masa yang sama tergolong dalam satah dan garisan. Ini hanya mungkin jika parameter memenuhi persamaan, i.e.
. Oleh itu, titik persilangan garis lurus dan satah mempunyai koordinat

,

,

.

Contoh 32. Tulis persamaan parametrik untuk garis yang melalui titik
Dan
.

Penyelesaian. Untuk vektor arah garis lurus kita ambil vektor

. Garis lurus melalui satu titik , oleh itu, mengikut formula (3.21), persamaan garis lurus yang diperlukan mempunyai bentuk
,
,
.

Contoh 33. Bucu segitiga
mempunyai koordinat
,
Dan
masing-masing. Susun persamaan parametrik untuk median yang dilukis daripada bucu .

Penyelesaian. biarlah
- bahagian tengah sebelah
, Kemudian
,
,
. Sebagai vektor panduan median, kami mengambil vektor
. Kemudian persamaan parametrik median mempunyai bentuk
,
,
.

Contoh 34. Susun persamaan kanonik bagi garis yang melalui suatu titik
selari dengan garisan
.

Penyelesaian. Garis lurus ditakrifkan sebagai garis persilangan satah dengan vektor normal
Dan
. Sebagai vektor panduan ambil vektor baris ini
, iaitu
. Menurut (3.18), persamaan yang diperlukan mempunyai bentuk
atau
.

3.8. Sudut antara garis lurus dalam ruang. Sudut antara garis lurus dan satah

Biarkan dua garis lurus Dan dalam ruang diberikan oleh persamaan kanonik mereka
Dan
. Kemudian salah satu sudut antara garisan ini sama dengan sudut antara vektor arah mereka
Dan
. Menggunakan formula (2.22), untuk menentukan sudut kita dapat formula

. (3.22)

Sudut kedua antara garisan ini adalah sama
Dan
.

Keadaan untuk garis selari Dan adalah bersamaan dengan keadaan kolineariti vektor
Dan
dan terletak pada perkadaran koordinatnya, iaitu keadaan untuk garis selari mempunyai bentuk

. (3.23)

Jika lurus Dan adalah serenjang, maka vektor arahnya adalah ortogon, i.e. keadaan serenjang ditentukan oleh kesamaan

. (3.24)

Pertimbangkan sebuah kapal terbang , diberikan oleh persamaan am, dan garis lurus , diberikan oleh persamaan kanonik
.

Sudut antara garis lurus dan kapal terbang adalah pelengkap kepada sudut antara vektor arah garis lurus dan vektor normal satah, i.e.
Dan
, atau

. (3.24)

Keadaan untuk keselarian garisan dan kapal terbang adalah bersamaan dengan syarat bahawa vektor arah garis dan vektor normal satah adalah berserenjang, iaitu, hasil darab skalar bagi vektor ini mestilah sama dengan sifar:

Jika garis itu berserenjang dengan satah, maka vektor arah garis dan vektor normal satah mestilah kolinear. Dalam kes ini, koordinat vektor adalah berkadar, i.e.

. (3.26)

Contoh 35. Cari sudut cakah antara garis lurus
,
,
Dan
,
,
.

Penyelesaian. Vektor arah garisan ini mempunyai koordinat
Dan
. Oleh itu satu sudut antara garis lurus ditentukan oleh nisbah, i.e.
. Oleh itu, keadaan masalah dipenuhi oleh sudut kedua antara garisan, sama dengan
.

3.9. Jarak dari titik ke garisan dalam ruang

biarlah
 titik dalam ruang dengan koordinat
, garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik
. Jom cari jarak dari titik
kepada garis lurus .

Mari kita gunakan vektor panduan
to the point
. Jarak dari titik
kepada garis lurus ialah ketinggian segi empat selari yang dibina pada vektor Dan
. Mari cari luas segi empat selari menggunakan hasil silang:

Di sebelah sana, . Daripada kesamaan sisi kanan dua hubungan terakhir ia mengikutinya

. (3.27)

3.10. Ellipsoid

Definisi. Ellipsoid ialah permukaan tertib kedua, yang dalam beberapa sistem koordinat ditakrifkan oleh persamaan

. (3.28)

Persamaan (3.28) dipanggil persamaan kanonik bagi ellipsoid.

Daripada persamaan (3.28) ia berikutan bahawa satah koordinat ialah satah simetri ellipsoid, dan asal koordinat ialah pusat simetri. Nombor
dipanggil separuh paksi elipsoid dan mewakili panjang segmen dari asal ke persilangan ellipsoid dengan paksi koordinat. Ellipsoid ialah permukaan berbatasan yang dikelilingi oleh selari
,
,
.

Mari kita wujudkan bentuk geometri ellipsoid. Untuk melakukan ini, mari kita ketahui bentuk garis persilangan satahnya yang selari dengan paksi koordinat.

Untuk lebih spesifik, pertimbangkan garis persilangan ellipsoid dengan satah
, selari dengan kapal terbang
. Persamaan untuk unjuran garis persilangan ke atas satah
diperoleh daripada (3.28) jika kita masukkan ke dalamnya
. Persamaan unjuran ini ialah

. (3.29)

Jika
, maka (3.29) ialah persamaan elips khayalan dan titik persilangan elipsoid dengan satah
Tidak. Ia berikutan itu
. Jika
, kemudian garis (3.29) merosot menjadi titik, iaitu satah
sentuh elipsoid pada titik
Dan
. Jika
, Itu
dan anda boleh memperkenalkan notasi

,
. (3.30)

Kemudian persamaan (3.29) mengambil bentuk

, (3.31)

iaitu unjuran ke atas kapal terbang
garis persilangan elipsoid dan satah
ialah elips dengan separuh paksi, yang ditentukan oleh kesamaan (3.30). Oleh kerana garis persilangan permukaan dengan satah selari dengan satah koordinat adalah unjuran "dinaikkan" ke ketinggian , maka garis persilangan itu sendiri ialah elips.

Apabila menurunkan nilai aci gandar Dan meningkat dan mencapai nilai terbesar mereka di
, iaitu dalam bahagian ellipsoid oleh satah koordinat
elips terbesar dengan separuh paksi diperolehi
Dan
.

Idea ellipsoid boleh diperolehi dengan cara lain. Pertimbangkan dalam kapal terbang
keluarga elips (3.31) dengan separuh paksi Dan , ditakrifkan oleh hubungan (3.30) dan bergantung kepada . Setiap elips tersebut ialah garis aras, iaitu garisan pada setiap titik yang nilainya sama. "Meningkatkan" setiap elips sedemikian ke ketinggian , kita memperoleh pandangan spatial bagi ellipsoid.

Gambar yang serupa diperoleh apabila permukaan tertentu bersilang dengan satah selari dengan satah koordinat
Dan
.

Oleh itu, elipsoid ialah permukaan elips tertutup. Bila
Ellipsoid ialah sfera.

Garis persilangan elipsoid dengan mana-mana satah ialah elips, kerana garis sedemikian ialah garis terhad bagi susunan kedua, dan satu-satunya garis terhad bagi susunan kedua ialah elips.

Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang anda perlukan berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk 60-65 mata. Sepenuhnya semua masalah 1-13 Profil Peperiksaan Negeri Bersepadu matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!

Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.

Semua teori yang diperlukan. Cara cepat penyelesaian, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Petugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.

Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.

Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang ringkas dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk penyelesaian tugasan yang kompleks 2 bahagian Peperiksaan Negeri Bersepadu.