analisis matematik persamaan Bernoulli. Persamaan pembezaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli adalah salah satu yang paling terkenal persamaan pembezaan tak linear bagi urutan pertama. Ia ditulis dalam bentuk

di mana a(x) Dan b(x) ialah fungsi berterusan. Jika m= 0, maka persamaan Bernoulli menjadi persamaan pembezaan linear. Dalam kes apabila m= 1, persamaan menjadi persamaan boleh dipisahkan. Secara umumnya, apabila m≠ 0.1, persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan pembezaan linear menggunakan penggantian

Persamaan pembezaan baru untuk fungsi z(x) mempunyai bentuk

dan boleh diselesaikan menggunakan kaedah yang diterangkan pada halaman Persamaan pembezaan linear tertib pertama.

KAEDAH BERNOULI.

Persamaan yang sedang dipertimbangkan boleh diselesaikan dengan kaedah Bernoulli. Untuk melakukan ini, kami mencari penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk hasil darab dua fungsi: di mana u, v- fungsi daripada x. Bezakan: Gantikan ke dalam persamaan asal (1): (2) Sebagai v Mari kita ambil sebarang penyelesaian bukan sifar kepada persamaan: (3) Persamaan (3) ialah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Selepas kami menemui penyelesaian khusus v = v(x), gantikan kepada (2). Oleh kerana ia memenuhi persamaan (3), ungkapan dalam kurungan menjadi sifar. Kami mendapat: Ini juga merupakan persamaan yang boleh dipisahkan. Kami mencari penyelesaian amnya, dan dengannya penyelesaian kepada persamaan asal y = uv.

64. Persamaan dalam jumlah pembezaan. Faktor penyepaduan. Kaedah penyelesaian

Persamaan pembezaan tertib pertama bagi bentuk

dipanggil persamaan dalam jumlah pembezaan, jika bahagian kirinya mewakili jumlah pembezaan beberapa fungsi, i.e.

Teorem. Agar persamaan (1) menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan, adalah perlu dan mencukupi bahawa dalam beberapa domain perubahan pembolehubah yang disambungkan, syarat itu dipenuhi.

Kamiran am bagi persamaan (1) mempunyai bentuk atau

Contoh 1. Selesaikan persamaan pembezaan.

Penyelesaian. Mari kita semak bahawa persamaan ini ialah persamaan pembezaan total:

jadi begitulah syarat (2) dipenuhi. Oleh itu, persamaan ini ialah persamaan dalam jumlah pembezaan dan

oleh itu, di manakah fungsi tidak ditentukan.

Mengintegrasikan, kita dapat . Terbitan separa bagi fungsi yang ditemui mestilah sama dengan, yang memberikan dari mana supaya Oleh itu,.

Kamiran am bagi persamaan pembezaan asal.

Apabila menyepadukan beberapa persamaan pembezaan, istilah boleh dikumpulkan sedemikian rupa sehingga gabungan mudah disepadukan diperolehi.

65. Persamaan linear pembezaan biasa tertib lebih tinggi: homogen dan tidak homogen. Pengendali pembezaan linear, sifatnya (dengan bukti).

Pengendali pembezaan linear dan sifatnya. Set fungsi yang mempunyai pada selang ( a , b ) tidak kurang n derivatif, membentuk ruang linear. Pertimbangkan pengendali L n (y ), yang memaparkan fungsi y (x ), mempunyai derivatif, menjadi fungsi yang mempunyai k - n derivatif.

Persamaan pembezaan linear tertib pertama
dan persamaan Bernoulli

Persamaan pembezaan linear orde pertama ialah persamaan yang linear berkenaan dengan fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya. nampak macam

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

di mana p(x) dan q(x) diberi fungsi bagi x, selanjar dalam rantau di mana persamaan (1) perlu disepadukan.

Jika q(x)\equiv0 , maka persamaan (1) dipanggil linear homogen. Ia adalah persamaan yang boleh dipisahkan dan mempunyai penyelesaian umum

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen boleh didapati kaedah variasi pemalar arbitrari, yang terdiri daripada fakta bahawa penyelesaian kepada persamaan (1) dicari dalam bentuk

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\kanan), dengan C(x) ialah fungsi baru yang tidak diketahui bagi x.

Contoh 1. Selesaikan persamaan y"+2xy=2xe^(-x^2).

Penyelesaian. Mari kita gunakan kaedah variasi malar. Pertimbangkan persamaan homogen y"+2xy=0, sepadan dengan persamaan tak homogen ini. Ini ialah persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaian amnya mempunyai bentuk y=Ce^(-x^2) .

Kami mencari penyelesaian umum kepada persamaan tak homogen dalam bentuk y=C(x)e^(-x^2), dengan C(x) ialah fungsi x yang tidak diketahui. Menggantikan, kita mendapat C"(x)=2x, dari mana C(x)=x^2+C. Jadi, penyelesaian am bagi persamaan tak homogen ialah y=(x^2+C)e^(-x^2), dengan C ialah pemalar pengamiran.

Komen. Ia mungkin berubah bahawa persamaan pembezaan adalah linear dalam x sebagai fungsi y. Bentuk normal persamaan tersebut ialah

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Contoh 2. Selesaikan persamaan \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Penyelesaian. Persamaan ini adalah linear jika kita menganggap x sebagai fungsi y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Mula-mula kita selesaikan persamaan homogen yang sepadan

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

yang merupakan persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaian amnya mempunyai bentuk x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Kami mencari penyelesaian umum kepada persamaan dalam bentuk , di mana C(y) ialah fungsi y yang tidak diketahui. Menggantikan, kita dapat

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y atau C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Dari sini, menyepadukan mengikut bahagian, kami ada

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Menggantikan persamaan ini ke dalam x=C(y)e^(\sin(y)), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan asal, dan oleh itu kepada persamaan ini:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Persamaan asal juga boleh disepadukan seperti berikut. Kami percaya

y=u(x)v(x),

dengan u(x) dan v(x) ialah fungsi x yang tidak diketahui, salah satunya, contohnya v(x), boleh dipilih sewenang-wenangnya.

Menggantikan y=u(x)v(x) kepada , selepas penjelmaan kita dapat

vu"+(pv+v")u=q(x).

Menentukan v(x) daripada keadaan v"+pv=0, kita kemudian mencari daripada vu"+(pv+v")u=q(x) fungsi u(x) dan, akibatnya, penyelesaian y=uv kepada persamaan itu \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Sebagai v(x) kita boleh mengambil sebarang penyelesaian persamaan yang kerap v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Contoh 3. Selesaikan masalah Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Penyelesaian. Kami sedang mencari penyelesaian umum kepada persamaan dalam bentuk y=u(x)v(x) ; kita mempunyai y"=u"v+uv". Menggantikan ungkapan untuk y dan y" ke dalam persamaan asal, kita akan mempunyai

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) atau x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Kami mencari fungsi v=v(x) daripada keadaan x(x-1)v"+v=0. Mengambil sebarang penyelesaian tertentu bagi persamaan terakhir, contohnya v=\frac(x)(x-1) dan menggantikannya, kita mendapat persamaan u"=2x-1, dari mana kita dapati fungsi u(x)=x^2-x+C. Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) kehendak

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), atau y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Menggunakan keadaan awal y|_(x=2)=4, kita memperoleh persamaan untuk mencari C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, dari mana C=0 ; jadi penyelesaian kepada masalah Cauchy yang dinyatakan ialah fungsi y=x^2.

Contoh 4. Adalah diketahui bahawa terdapat hubungan antara arus i dan daya gerak elektrik E dalam litar yang mempunyai rintangan R dan kearuhan diri L. E=Ri+L\frac(di)(dt), dengan R dan L ialah pemalar. Jika kita menganggap E sebagai fungsi masa t, kita memperoleh persamaan tak homogen linear untuk kekuatan semasa i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Cari kekuatan semasa i(t) bagi kes apabila E=E_0=\text(const) dan i(0)=I_0 .

Penyelesaian. Kami ada \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Penyelesaian umum persamaan ini mempunyai bentuk i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Dengan menggunakan keadaan awal (13), kita peroleh daripada C=I_0-\frac(E_0)(R), jadi penyelesaian yang diingini ialah

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Ini menunjukkan bahawa pada t\to+\infty kekuatan semasa i(t) cenderung kepada nilai malar \frac(E_0)(R) .

Contoh 5. Satu keluarga C_\alfa lengkung kamiran bagi persamaan tak homogen linear y"+p(x)y=q(x) diberi.

Tunjukkan bahawa tangen pada titik yang sepadan dengan lengkung C_\alpha yang ditakrifkan oleh persamaan linear bersilang pada satu titik (Rajah 13).

Penyelesaian. Pertimbangkan tangen kepada mana-mana lengkung C_\alpha pada titik M(x,y) Persamaan tangen pada titik M(x,y) mempunyai bentuk

\eta-q(x)(\xi-x)=y, dengan \xi,\eta ialah koordinat semasa bagi titik tangen.

Mengikut definisi, pada titik yang sepadan x adalah malar dan y adalah berubah-ubah. Mengambil mana-mana dua tangen kepada garis C_\alpha pada titik yang sepadan, untuk koordinat titik S persilangannya, kita memperoleh

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Ini menunjukkan bahawa semua tangen kepada lengkung C_\alpha pada titik yang sepadan (x adalah tetap) bersilang pada titik yang sama

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\kanan).

Menghapuskan hujah x dalam sistem, kita memperoleh persamaan lokus titik S\titik f(\xi,\eta)=0.

Contoh 6. Cari penyelesaian bagi persamaan tersebut y"-y=\cos(x)-\sin(x), memenuhi syarat: y terhad pada y\to+\infty .

Penyelesaian. Penyelesaian umum untuk persamaan ini ialah y=Ce^x+\sin(x) . Sebarang penyelesaian kepada persamaan yang diperolehi daripada penyelesaian am untuk C\ne0 akan tidak terikat, kerana untuk x\to+\infty fungsi \sin(x) adalah bersempadan dan e^x\to+\infty . Ia berikutan bahawa persamaan ini mempunyai penyelesaian unik y=\sin(x) , bersempadan pada x\to+\infty , yang diperoleh daripada penyelesaian am pada C=0 .

Persamaan Bernoulli

Persamaan pembezaan Bernoulli nampak macam

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, di mana n\ne0;1 (untuk n=0 dan n=1 persamaan ini adalah linear).

Menggunakan penggantian berubah-ubah z=\frac(1)(y^(n-1)) Persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan linear dan disepadukan sebagai persamaan linear.

Contoh 7. Selesaikan persamaan Bernoulli y"-xy=-xy^3.

Penyelesaian. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Membuat perubahan berubah-ubah \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", di mana \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Selepas penggantian, persamaan terakhir bertukar menjadi persamaan linear

-\frac(z")(2)-xz=-x atau z"+2xz=2x, penyelesaian amnya ialah z=1+Ce^(-x^2).

Dari sini kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) atau y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komen. Persamaan Bernoulli juga boleh disepadukan dengan kaedah variasi pemalar, seperti persamaan linear, dan menggunakan penggantian y(x)=u(x)v(x) .

Contoh 8. Selesaikan persamaan Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x). .

Penyelesaian. Mari kita gunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan xy"+y=0 mempunyai bentuk y=\frac(C)(x). Kami mencari penyelesaian umum persamaan dalam bentuk y=\frac(C(x)) (x) , di mana C(x) - fungsi baru yang tidak diketahui Menggantikan ke dalam persamaan asal, kita ada

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Untuk mencari fungsi C(x), kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, daripada mana, dengan mengasingkan pembolehubah dan menyepadukan, kita dapati

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Jadi, penyelesaian umum kepada persamaan asal y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Beberapa persamaan tak linear urutan pertama boleh dikurangkan kepada persamaan linear atau persamaan Bernoulli menggunakan perubahan pembolehubah yang berjaya ditemui.

Contoh 9. Selesaikan persamaan y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Penyelesaian. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 2\cos^2\frac(y)(2), kita dapat \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nama operator(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Penggantian \nama pengendali(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) mengurangkan persamaan ini kepada linear \frac(dz)(dx)+z=-x, penyelesaian amnya ialah z=1-x+Ce^(-x) .

Menggantikan z dengan ungkapannya dalam sebutan y, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini \nama pengendali(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Dalam sesetengah persamaan, fungsi y(x) yang dikehendaki mungkin berada di bawah tanda kamiran. Dalam kes ini, kadangkala mungkin untuk mengurangkan persamaan ini kepada persamaan pembezaan melalui pembezaan.

Contoh 10. Selesaikan persamaan x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Penyelesaian. Membezakan kedua-dua belah persamaan ini berkenaan dengan x, kita dapat

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) atau \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Membezakan sekali lagi berkenaan dengan x, kita akan mempunyai persamaan homogen linear berkenaan dengan y(x)\colon

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) atau x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Mengasingkan pembolehubah dan menyepadukan, kami dapati y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Penyelesaian ini, seperti yang boleh disahkan dengan mudah, memenuhi persamaan asal.

Persamaan pembezaan linear orde pertama ialah persamaan yang linear berkenaan dengan fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya. nampak macam

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

di mana p(x) dan q(x) diberi fungsi bagi x, selanjar dalam rantau di mana persamaan (1) perlu disepadukan.

Jika q(x)\equiv0 , maka persamaan (1) dipanggil linear homogen. Ia adalah persamaan yang boleh dipisahkan dan mempunyai penyelesaian umum

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen boleh didapati kaedah variasi pemalar arbitrari, yang terdiri daripada fakta bahawa penyelesaian kepada persamaan (1) dicari dalam bentuk

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\kanan), dengan C(x) ialah fungsi baru yang tidak diketahui bagi x.

Contoh 1. Selesaikan persamaan y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Komen. Ia mungkin berubah bahawa persamaan pembezaan adalah linear dalam x sebagai fungsi y. Bentuk normal persamaan tersebut ialah

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Contoh 2. Selesaikan persamaan \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Penyelesaian. Persamaan ini adalah linear jika kita menganggap x sebagai fungsi y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Mula-mula kita selesaikan persamaan homogen yang sepadan

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

yang merupakan persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. Penyelesaian amnya mempunyai bentuk x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Kami mencari penyelesaian umum kepada persamaan dalam bentuk x=C(y)e^(\sin(y)), dengan C(y) ialah fungsi y yang tidak diketahui. Menggantikan, kita dapat

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y atau C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Dari sini, menyepadukan mengikut bahagian, kami ada

Jadi,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Menggantikan persamaan ini kepada x=C(y)e^(\sin(y)) , kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan asal, dan oleh itu kepada persamaan ini:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Persamaan asal juga boleh disepadukan seperti berikut. Kami percaya

Y=u(x)v(x),

dengan u(x) dan v(x) ialah fungsi x yang tidak diketahui, salah satunya, contohnya v(x), boleh dipilih sewenang-wenangnya.

Menggantikan y=u(x)v(x) kepada , selepas penjelmaan kita dapat

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Menentukan v(x) daripada keadaan v"+pv=0, kita kemudian mencari daripada vu"+(pv+v")u=q(x) fungsi u(x) dan, akibatnya, penyelesaian y=uv bagi persamaan \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Sebagai v(x) kita boleh mengambil sebarang penyelesaian persamaan yang kerap v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Contoh 3. Selesaikan masalah Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) atau x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), atau y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Menggunakan keadaan awal y|_(x=2)=4, kita memperoleh persamaan untuk mencari C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, dari mana C=0 ; jadi penyelesaian kepada masalah Cauchy yang dinyatakan ialah fungsi y=x^2.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Cari kekuatan semasa i(t) bagi kes apabila E=E_0=\text(const) dan i(0)=I_0 .

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

Ini menunjukkan bahawa pada t\to+\infty kekuatan semasa i(t) cenderung kepada nilai malar \frac(E_0)(R) .

Contoh 5. Satu keluarga C_\alfa lengkung kamiran bagi persamaan tak homogen linear y"+p(x)y=q(x) diberi.

Tunjukkan bahawa tangen pada titik yang sepadan dengan lengkung C_\alpha yang ditakrifkan oleh persamaan linear bersilang pada satu titik (Rajah 13).

Penyelesaian. Pertimbangkan tangen kepada mana-mana lengkung C_\alpha pada titik M(x,y) Persamaan tangen pada titik M(x,y) mempunyai bentuk

\eta-q(x)(\xi-x)=y, dengan \xi,\eta ialah koordinat semasa bagi titik tangen.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Ini menunjukkan bahawa semua tangen kepada lengkung C_\alpha pada titik yang sepadan ( x tetap) bersilang pada titik yang sama

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\kanan).

Menghapuskan hujah x dalam sistem, kita memperoleh persamaan lokus titik S\titik f(\xi,\eta)=0.

Contoh 6. Cari penyelesaian bagi persamaan tersebut y"-y=\cos(x)-\sin(x), memenuhi syarat: y terhad pada y\to+\infty .

Persamaan Bernoulli

Persamaan pembezaan Bernoulli nampak macam

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, di mana n\ne0;1 (untuk n=0 dan n=1 persamaan ini adalah linear).

Menggunakan penggantian berubah-ubah z=\frac(1)(y^(n-1)) Persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan linear dan disepadukan sebagai persamaan linear.

Contoh 7. Selesaikan persamaan Bernoulli y"-xy=-xy^3.

Penyelesaian. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Membuat perubahan berubah-ubah \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", di mana \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Selepas penggantian, persamaan terakhir bertukar menjadi persamaan linear

-\frac(z")(2)-xz=-x atau z"+2xz=2x, penyelesaian amnya ialah z=1+Ce^(-x^2).

Dari sini kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) atau y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komen. Persamaan Bernoulli juga boleh disepadukan dengan kaedah variasi pemalar, seperti persamaan linear, dan menggunakan penggantian y(x)=u(x)v(x) .

Contoh 8. Selesaikan persamaan Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x). .

Penyelesaian. Mari kita gunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan xy"+y=0 mempunyai bentuk y=\frac(C)(x). Kami mencari penyelesaian am bagi persamaan dalam bentuk y=\frac(C(x)) (x) , di mana C(x) - fungsi baru yang tidak diketahui Menggantikan ke dalam persamaan asal, kita ada

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Untuk mencari fungsi C(x), kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, daripada mana, dengan mengasingkan pembolehubah dan menyepadukan, kita dapati

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Jadi, penyelesaian umum kepada persamaan asal y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Beberapa persamaan tak linear urutan pertama boleh dikurangkan kepada persamaan linear atau persamaan Bernoulli menggunakan perubahan pembolehubah yang berjaya ditemui.

Contoh 9. Selesaikan persamaan y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Penyelesaian. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 2\cos^2\frac(y)(2), kita dapat \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nama operator(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Menggantikan z dengan ungkapannya dalam sebutan y, kita memperoleh kamiran am bagi persamaan ini \nama pengendali(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Contoh 10. Selesaikan persamaan x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Penyelesaian. Membezakan kedua-dua belah persamaan ini berkenaan dengan x, kita dapat

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x) atau Sumber maklumat

Ciri-ciri persamaan Bernoulli

Definisi 1

Persamaan pembezaan tertib pertama mempunyai bentuk piawai $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$, dengan $P\left(x\right) )$ dan $Q\left(x\right)$ ialah fungsi berterusan, dan $n$ ialah nombor tertentu, dipanggil persamaan pembezaan Jacob Bernoulli.

Dalam kes ini, sekatan dikenakan ke atas nombor $n$:

$n\ne 0$, kerana pada $n = 0$ persamaan pembezaan adalah linear tidak homogen, dan beberapa kaedah penyelesaian khas lain tidak diperlukan dalam kes ini;
$n\ne 1$, kerana jika kita mempunyai satu sebagai $n$, persamaan pembezaan ialah persamaan linear homogen, yang kaedah penyelesaiannya juga diketahui.

Di samping itu, penyelesaian remeh bagi persamaan pembezaan Bernoulli $y=0$ tidak dipertimbangkan secara khusus.

Persamaan pembezaan ahli matematik Jacob Bernoulli tidak boleh dikelirukan dengan undang-undang Bernoulli, dinamakan sempena bapa saudara anak saudaranya, yang dikenali sebagai Daniel Bernoulli.

Nota 1

Daniel Bernoulli adalah seorang ahli fizik, corak yang paling terkenal yang ditemuinya adalah untuk menerangkan hubungan antara kelajuan aliran bendalir dan tekanan. Hukum Bernoulli juga digunakan untuk aliran gas lamina. Ia biasanya digunakan dalam hidraulik dan dinamik bendalir.

Penyelesaian persamaan Bernoulli dengan pengurangan kepada tidak homogen linear

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan pembezaan Bernoulli ialah melalui penjelmaan ia dikurangkan kepada persamaan linear tidak homogen. Transformasi ini adalah seperti berikut:

Kami mendarabkan persamaan dengan nombor $y^(-n) $ dan mendapat $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left (x\ kanan)$.
Kami menggunakan penggantian $z=y^(1-n) $ dan membezakan kesamaan ini sebagai fungsi kuasa yang kompleks; kita dapat $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$, dari mana $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
Kami menggantikan nilai $y^(1-n) $ dan $y^(-n) \cdot y"$ ke dalam persamaan pembezaan ini dan dapatkan $\frac(z")(1-n) +P\left (x\kanan )\cdot z=Q\kiri(x\kanan)$ atau $z"+\kiri(1-n\kanan)\cdot P\kiri(x\kanan)\cdot z=\kiri(1 -n\kanan )\cdot Q\kiri(x\kanan)$.

Persamaan pembezaan yang terhasil adalah linear tidak homogen berkenaan dengan fungsi $z$, yang kita selesaikan seperti berikut:

Kami mengira kamiran $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $, tulis penyelesaian tertentu dalam bentuk $v\left(x\ kanan)=e ^(-I_(1) ) $, kami melakukan penjelmaan yang memudahkan dan memilih pilihan bukan sifar termudah untuk $v\left(x\right)$.
Kami mengira kamiran $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, selepas itu kita menulis ungkapan dalam bentuk $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$.
Kami menulis penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear dalam bentuk $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
Kami kembali ke fungsi $y$, menggantikan $z$ dengan $y^(1-n)$, dan, jika perlu, lakukan transformasi yang memudahkan.

Contoh:

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$. Tulis penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal $y=1$ untuk $x=1$.

Dalam kes ini, kita mempunyai persamaan pembezaan Bernoulli yang dibentangkan dalam bentuk piawai.

Dalam kes ini, $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $.

Kami membentangkannya dalam bentuk mengenai penggantian $z$:

$z"+\kiri(1-2\kanan)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\kiri(1-2\kanan)\cdot \kiri(4-x^(2) \kanan )$ atau $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$.

Persamaan pembezaan yang terhasil adalah linear tidak homogen berkenaan dengan fungsi $z$, yang kita selesaikan menggunakan kaedah yang diterangkan di atas.

Kami mengira kamiran $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $.

Kami mempunyai $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$.

Untuk $v\left(x\right)$ kami memilih pilihan bukan sifar yang paling mudah: $v\left(x\right)=x$.

Kami mengira kamiran $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $.

Kami menulis ungkapan dalam bentuk $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$, iaitu, $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \kiri|x\kanan|+C$.

Kami akhirnya menuliskan penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear untuk fungsi $z$ dalam bentuk $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, iaitu, $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \kiri|x\kanan|+C\cdot x$.

Sekarang kita kembali ke fungsi $y$, menggantikan $z$ dengan $y^(1-n)$:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \kiri|x\kanan|+C\cdot x$ atau $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.

Ini ialah penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan Bernoulli ini, ditulis dalam bentuk tersirat.

Untuk mencari penyelesaian tertentu, kami menggunakan syarat awal ini $y=1$ untuk $x=1$:

Oleh itu, penyelesaian separa mempunyai bentuk: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x )(2) $.

Menyelesaikan persamaan pembezaan Bernoulli dengan kaedah penggantian

Penyelesaian kedua yang mungkin untuk persamaan Bernoulli ialah kaedah penggantian.

Contoh:

Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ dengan kaedah penggantian.

Kami menggunakan penggantian $y=u\cdot v$.

Selepas pembezaan kita dapat:

Kami mencari fungsi $v\left(x\right)$ daripada persamaan $v"+\frac(v)(x) =0$; untuk melakukan ini, kami mengalihkan sebutan kedua ke sebelah kanan.

Kami mendapat:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

asingkan pembolehubah $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

sepadukan $\ln \kiri|v\kanan|=-\ln \kiri|x\kanan|$, dari mana $v=\frac(1)(x) $.

Fungsi $u\left(x\right)$ didapati daripada persamaan $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$, yang mengambil kira $v=\frac(1)(x) $ dan $v"+\frac(v)(x) =0$.

Selepas transformasi mudah kita dapat: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$.

Kami memisahkan pembolehubah: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$.

Mari kita sepadukan: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ atau $\frac(1)( u ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \kiri|x\kanan|+C$.

Mari kembali kepada pembolehubah lama. Kami mengambil kira bahawa $y=u\cdot v$ atau $y=u\cdot \frac(1)(x) $, dari mana $u=x\cdot y$.

Kami memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan ini: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cdot x $.

analisis matematik persamaan Bernoulli. Persamaan pembezaan Bernoulli

64. Persamaan dalam jumlah pembezaan. Faktor penyepaduan. Kaedah penyelesaian

65. Persamaan linear pembezaan biasa tertib lebih tinggi: homogen dan tidak homogen. Pengendali pembezaan linear, sifatnya (dengan bukti).

Persamaan pembezaan linear tertib pertama dan persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli

Penyelesaian persamaan Bernoulli dengan pengurangan kepada tidak homogen linear

Menyelesaikan persamaan pembezaan Bernoulli dengan kaedah penggantian

Persamaan pembezaan linear tertib pertama
dan persamaan Bernoulli