Во врска со
може да се постави задача да се најде некој од трите броеви од другите два дадени. Ако се дадени a и потоа N, тие се наоѓаат со степенување. Ако N и потоа a се дадени со земање на коренот на степенот x (или подигање на моќта). Сега разгледајте го случајот кога, со оглед на a и N, треба да го најдеме x.
Нека бројот N е позитивен: бројот a е позитивен и не е еднаков на еден: .
Дефиниција. Логаритмот на бројот N до основата a е експонентот до кој мора да се подигне a за да се добие бројот N; логаритам се означува со
Така, во еднаквоста (26.1) експонентот се наоѓа како логаритам од N на основата a. Објави
имаат исто значење. Еднаквоста (26.1) понекогаш се нарекува главен идентитет на теоријата на логаритми; во реалноста ја изразува дефиницијата на поимот логаритам. Од страна на оваа дефиницијаОсновата на логаритмот a е секогаш позитивна и различна од единството; логаритамскиот број N е позитивен. Негативните броеви и нулата немаат логаритми. Може да се докаже дека секој број со дадена основа има добро дефиниран логаритам. Затоа еднаквоста повлекува . Забележете дека суштинскиот услов овде е во спротивнозаклучокот не би бил оправдан, бидејќи еднаквоста е точна за сите вредности на x и y.
Пример 1. Најдете
Решение. За да добиете број, мора да ја подигнете основата 2 на моќта Затоа.
Можете да правите белешки кога решавате такви примери во следнава форма:
Пример 2. Најдете .
Решение. Ние имаме
Во примерите 1 и 2, лесно го најдовме саканиот логаритам со претставување на логаритамскиот број како моќност на основата со рационален индикатор. ВО општ случај, на пример, за итн., ова не може да се направи, бидејќи логаритамот има ирационално значење. Да обрнеме внимание на едно прашање поврзано со оваа изјава. Во став 12 го дадовме концептот на можноста за определување на која било реален степендадена позитивен број. Ова беше неопходно за воведување на логаритми, кои, општо земено, можат да бидат ирационални броеви.
Ајде да погледнеме некои својства на логаритмите.
Својство 1. Ако бројот и основата се еднакви, тогаш логаритам еднаков на еден, и, обратно, ако логаритамот е еднаков на еден, тогаш бројот и основата се еднакви.
Доказ. Нека Со дефиниција за логаритам имаме и од каде
Спротивно на тоа, нека Потоа по дефиниција
Својство 2. Логаритмот од еден на која било основа е еднаков на нула.
Доказ. По дефиниција на логаритам ( нула степенсекоја позитивна основа е еднаква на една, види (10.1)). Од тука
Q.E.D.
Исто така е точно и обратното тврдење: ако , тогаш N = 1. Навистина, имаме .
Пред да го формулираме следното својство на логаритмите, да се согласиме да кажеме дека два броја a и b лежат на иста страна од третиот број c ако и двата се поголеми од c или помали од c. Ако еден од овие броеви е поголем од c, а другиот е помал од c, тогаш ќе кажеме дека лежат покрај различни страниод с
Својство 3. Ако бројот и основата лежат на иста страна на еден, тогаш логаритамот е позитивен; Ако бројот и основата лежат на спротивните страни на едната, тогаш логаритамот е негативен.
Доказот за својството 3 се заснова на фактот дека моќта на a е поголема од еден ако основата е поголема од еден, а експонентот е позитивен или основата е помала од еден, а експонентот е негативен. Моќта е помала од една ако основата е поголема од една, а експонентот е негативен или основата е помала од еден, а експонентот е позитивен.
Постојат четири случаи кои треба да се разгледаат:
Ќе се ограничиме на анализа на првото од нив, а останатото читателот ќе го разгледа сам.
Нека тогаш во еднаквост експонентот не може да биде ниту негативен ниту еднаква на нула, затоа, тоа е позитивно, т.е., како што се бара да се докаже.
Пример 3. Откријте кои од долунаведените логаритми се позитивни, а кои негативни:
Решение, а) бидејќи бројот 15 и основата 12 се наоѓаат на иста страна на еден;
б) бидејќи 1000 и 2 се наоѓаат на едната страна од единицата; во овој случај, не е важно основата да е поголема од логаритамскиот број;
в) бидејќи 3.1 и 0.8 лежат на спротивните страни на единството;
G) ; Зошто?
г) ; Зошто?
Следниве својства 4-6 често се нарекуваат правила на логаритмација: тие дозволуваат, знаејќи ги логаритмите на некои броеви, да ги најдат логаритмите на нивниот производ, количник и степен на секој од нив.
Својство 4 (правило за логаритам на производот). Логаритам на производот од неколку позитивни броеви од оваа основа еднаков на збиротлогаритми на овие броеви до иста основа.
Доказ. Дадените бројки нека бидат позитивни.
За логаритмот на нивниот производ, ја пишуваме еднаквоста (26.1) што го дефинира логаритамот:
Од тука ќе најдеме
Споредувајќи ги експонентите на првиот и последните изрази, ја добиваме потребната еднаквост:
Забележете дека состојбата е суштинска; логаритам на производот од два негативни броевиима смисла, но во овој случај добиваме
Во принцип, ако производот на неколку фактори е позитивен, тогаш неговиот логаритам е еднаков на збирот на логаритмите на апсолутните вредности на овие фактори.
Својство 5 (правило за земање логаритми на количници). Логаритмот на количник на позитивни броеви е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот, земени во иста основа. Доказ. Ние постојано наоѓаме
Q.E.D.
Својство 6 (правило на логаритам на моќност). Логаритам на моќноста на некој позитивен број еднаков на логаритамовој број помножен со експонентот.
Доказ. Ајде повторно да го напишеме главниот идентитет (26.1) за бројот:
Q.E.D.
Последица. Логаритмот на коренот на позитивен број е еднаков на логаритамот на радикалот поделен со експонентот на коренот:
Валидноста на оваа последица може да се докаже со замислување како и користење на својството 6.
Пример 4. Земете го логаритам за да засновате a:
а) (се претпоставува дека сите вредности b, c, d, e се позитивни);
б) (се претпоставува дека ).
Решение, а) Удобно е да се оди на фракциони сили во овој израз:
Врз основа на еднаквостите (26,5)-(26,7), сега можеме да напишеме:
Забележуваме дека на логаритмите на броевите се вршат поедноставни операции отколку на самите броеви: при множење на броевите се собираат нивните логаритми, при делење се одземаат итн.
Затоа логаритмите се користат во компјутерската практика (види став 29).
Инверзното дејство на логаритамот се нарекува потенцирање, имено: потенцирање е дејство со кое се наоѓа самиот број од даден логаритам на некој број. Во суштина, потенцирањето не е некоја посебна акција: таа се сведува на подигнување на основата до моќ ( еднаков на логаритамброеви). Терминот „потенцијација“ може да се смета за синоним со терминот „експоненцијација“.
Кога го потенцирате, мора да ги користите правилата обратно на правилата за логаритмација: заменете го збирот на логаритми со логаритмот на производот, разликата на логаритмите со логаритмот на количникот итн. Особено, ако има фактор напред на знакот на логаритам, тогаш при потенцирање мора да се пренесе на степените на експонент под знакот на логаритамот.
Пример 5. Најдете N ако се знае дека
Решение. Во врска со штотуку наведеното правило за потенцирање, факторите 2/3 и 1/3 кои стојат пред знаците на логаритмите од десната страна на оваа еднаквост ќе ги пренесеме во експоненти под знаците на овие логаритми; добиваме
Сега ја заменуваме разликата на логаритми со логаритам на количникот:
за да ја добиеме последната дропка во овој синџир на еднаквости, ја ослободивме претходната дропка од ирационалноста во именителот (клаузула 25).
Својство 7. Ако основата е поголема од една, тогаш поголем бројима поголем логаритам (а помал број има помал), ако основата е помала од една, тогаш поголем број има помал логаритам (а помал број има поголем).
Ова својство е исто така формулирано како правило за земање логаритми на неравенки, чии двете страни се позитивни:
Кога се земаат логаритми на неравенки до основата, поголема од една, знакот на нееднаквост е зачуван, а кога се зема логаритам на база помала од една, знакот за неравенство се менува во спротивното (види и став 80).
Доказот се заснова на својствата 5 и 3. Размислете за случајот кога Ако , тогаш и земајќи логаритми, ќе добиеме
(a и N/M лежат на иста страна на единството). Од тука
Следува случај a, читателот ќе го сфати сам.
Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата логаритми е тесно поврзана со темата моќи на број.
Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции за додавање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.
Собирање и одземање логаритми.
Да земеме два логаритами со по истите основи: log a xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи
дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= -лог а б.
Ова значи дека постои еднаквост:
log a 1 / b = - log a b.
Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:
Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.
Што е логаритам?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Што е логаритам? Како да се решат логаритми? Овие прашања збунуваат многу дипломци. Традиционално, темата логаритми се смета за сложена, неразбирлива и страшна. Особено равенки со логаритми.
Ова апсолутно не е точно. Апсолутно! Не ми верувате? Добро. Сега, за само 10-20 минути:
1. Ќе разбереш што е логаритам.
2. Научете да решавате цел клас експоненцијални равенки. Дури и ако не сте слушнале ништо за нив.
3. Научете да пресметувате едноставни логаритми.
Згора на тоа, за ова ќе треба само да ја знаете табелата за множење и како да подигнете број на јачина...
Се чувствувам како да се сомневате... Па, во ред, означете го времето! Оди!
Прво, решете ја оваа равенка во вашата глава:
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Инструкции
Запишете го даденото логаритамски израз. Ако изразот користи логаритам од 10, тогаш неговата нотација е скратена и изгледа вака: lg b е децимален логаритам. Ако логаритамот го има бројот e како основа, тогаш напиши го изразот: ln b – природен логаритам. Разбирливо е дека резултатот од било која е моќноста до која мора да се подигне основниот број за да се добие бројот b.
Кога го наоѓате збирот на две функции, едноставно треба да ги разликувате една по една и да ги додадете резултатите: (u+v)" = u"+v";
При наоѓање на изводот на производот на две функции, потребно е да се помножи изводот на првата функција со втората и да се додаде изводот на втората функција помножен со првата функција: (u*v)" = u"*v +v"*u;
За да се најде изводот на количникот на две функции, потребно е да се одземе од производот на изводот на дивидендата помножен со функцијата на делител, производот од изводот на делителот помножен со функцијата на дивидендата и да се подели сето тоа со функцијата делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Доколку се дадени комплексна функција, тогаш потребно е да се помножи изводот на внатрешна функцијаа дериватот на надворешниот. Нека y=u(v(x)), потоа y"(x)=y"(u)*v"(x).
Користејќи ги резултатите добиени погоре, можете да разликувате речиси секоја функција. Значи, да погледнеме неколку примери:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Исто така, има проблеми со пресметување на изводот во одредена точка. Нека е дадена функцијата y=e^(x^2+6x+5), треба да ја пронајдете вредноста на функцијата во точката x=1.
1) Најдете го изводот на функцијата: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Пресметајте ја вредноста на функцијата во дадена точка y"(1)=8*e^0=8
Видео на темата
Научете ја табелата со елементарни деривати. Ова значително ќе заштеди време.
Извори:
- дериват на константа
Па, која е разликата? ir рационална равенкаод рационалното? Ако непознатата променлива е под знакот квадратен корен, тогаш равенката се смета за ирационална.
Инструкции
Главниот метод за решавање на вакви равенки е методот на конструирање на двете страни равенкиво квадрат. Сепак. ова е природно, првото нешто што треба да направите е да се ослободите од знакот. Овој метод не е технички тежок, но понекогаш може да доведе до проблеми. На пример, равенката е v(2x-5)=v(4x-7). Со квадратирање на двете страни се добива 2x-5=4x-7. Решавањето на таква равенка не е тешко; x=1. Но, бројот 1 нема да биде даден равенки. Зошто? Заменете еден во равенката наместо вредноста на x. А десната и левата страна ќе содржат изрази кои немаат смисла, т.е. Оваа вредност не важи за квадратен корен. Затоа 1 е надворешен корен, и затоа дадена равенканема корени.
Значи, ирационална равенка се решава со методот на квадратирање на двете негови страни. И откако ќе ја решите равенката, неопходно е да се отсечат надворешни корени. За да го направите ова, заменете ги пронајдените корени во оригиналната равенка.
Размислете за уште еден.
2х+vх-3=0
Се разбира, оваа равенка може да се реши со користење на истата равенка како претходната. Премести соединенија равенки, кои немаат квадратен корен, на десната страна и потоа се користи методот на квадрат. решете ја добиената рационална равенка и корени. Но и уште една, поелегантна. Внесете нова променлива; vх=y. Според тоа, ќе добиете равенка од формата 2y2+y-3=0. Тоа е, вообичаеното квадратна равенка. Најдете ги неговите корени; y1=1 и y2=-3/2. Следно, реши две равенки vх=1; vх=-3/2. Втората равенка нема корени, од првата откриваме дека x=1. Не заборавајте да ги проверите корените.
Решавањето на идентитетите е прилично едноставно. За да го направите ова треба да направите идентитетски трансформациидодека не се постигне целта. Така, со помош на наједноставните аритметички операциизадачата што е на дофат ќе биде решена.
Ќе ви треба
- - хартија;
- - пенкало.
Инструкции
Наједноставните од таквите трансформации се алгебарските скратени множење (како што е квадратот на збирот (разлика), разликата на квадратите, збирот (разликата), коцката на збирот (разликата)). Покрај тоа, постојат многу и тригонометриски формули, кои во суштина се исти идентитети.
Навистина, квадратот на збирот од два члена еднакво на квадратпрвиот плус двојно го зголемува производот на првиот за вториот и плус квадратот на вториот, односно (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Поедноставете ги и двете
Општи принципи на решението
Повторете според учебникот математичка анализаили виша математика, што е определен интеграл. Како што е познато, решението определен интегралпостои функција чиј извод дава интегранд. Оваа функцијасе нарекува антидериват. Од страна на овој принципи ги конструира главните интеграли.Одреди по формата на интеградот кој од интегралите на табелата се вклопува во овој случај. Не е секогаш можно ова веднаш да се одреди. Честопати, табеларната форма станува забележлива само по неколку трансформации за да се поедностави интеграндот.
Метод за замена на променлива
Ако интегранд функцијата е тригонометриска функција, чиј аргумент содржи полином, а потоа обидете се да го користите методот за замена на променливата. За да го направите ова, заменете го полиномот во аргументот на интеградот со некоја нова променлива. Врз основа на односот помеѓу новите и старите променливи, утврдете ги новите граници на интеграција. Диференцијација даден изразнајдете нов диференцијал во. Така ќе добиете новиот видод претходниот интеграл, блиску или дури одговара на кој било табеларен.Решавање интеграли од втор вид
Ако интегралот е интеграл од вториот вид, векторска форма на интеграндот, тогаш ќе треба да ги користите правилата за премин од овие интеграли во скаларните. Едно такво правило е релацијата Остроградски-Гаус. Овој законви овозможува да преминете од роторскиот флукс на некоја векторска функција до тројниот интеграл над дивергенцијата на даденото векторско поле.Замена на границите за интеграција
По наоѓањето на антидериватот, потребно е да се заменат границите на интеграција. Прво, заменете ја вредноста на горната граница во изразот за антидериватот. Ќе добиете некој број. Следно, од добиениот број одземете друг број добиен од долната граница во антидериватот. Ако една од границите на интеграцијата е бесконечност, тогаш кога се заменува во антидеривативна функцијапотребно е да се оди до границата и да се најде кон што се стреми изразот.Ако интегралот е дводимензионален или тридимензионален, тогаш ќе треба геометриски да ги претставите границите на интеграцијата за да разберете како да го оцените интегралот. Навистина, во случај на, да речеме, тродимензионален интеграл, границите на интеграцијата можат да бидат цели рамнини што го ограничуваат волуменот што се интегрира.