Логаритамски изрази, решавање на примери. Во оваа статија ќе ги разгледаме проблемите поврзани со решавање на логаритми. Задачите го поставуваат прашањето за пронаоѓање на значењето на изразот. Треба да се напомене дека концептот на логаритам се користи во многу задачи и разбирањето на неговото значење е исклучително важно. Што се однесува до Единствениот државен испит, логаритамот се користи при решавање на равенки, во применети проблеми, исто така и во задачи поврзани со проучување на функции.
Да дадеме примери за да го разбереме самото значење на логаритамот:
Основен логаритамски идентитет:
Својства на логаритмите кои секогаш мора да се паметат:
*Логаритам на производот еднаков на збиротлогаритми на фактори.
* * *
*Логаритмот на количник (дропка) е еднаков на разликата меѓу логаритмите на факторите.
* * *
*Логаритам на степен еднаков на производотекспонент според логаритамот на неговата основа.
* * *
*Транзиција кон нова основа
* * *
Повеќе својства:
* * *
Пресметката на логаритмите е тесно поврзана со употребата на својствата на експонентите.
Да наведеме некои од нив:
Суштината на овој имотлежи во фактот дека при пренесување на броителот на именителот и обратно, знакот на експонентот се менува во спротивното. На пример:
Последица од овој имот:
* * *
При подигање на моќност на јачина, основата останува иста, но експонентите се множат.
* * *
Како што видовте, самиот концепт на логаритам е едноставен. Главната работа е она што е потребно добра практика, што дава одредена вештина. Секако, потребно е познавање на формулите. Ако вештината за конвертирање на елементарни логаритми не е развиена, тогаш кога решавате едноставни задачи можете лесно да направите грешка.
Вежбајте, прво решавајте ги наједноставните примери од курсот по математика, а потоа преминете на посложените. Во иднина, дефинитивно ќе покажам како се решаваат „страшни“ логаритми; тие нема да се појават на обединетиот државен испит, но тие се од интерес, не ги пропуштајте!
Тоа е се! Со среќа!
Со почит, Александар Крутицких
P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
\(a^(b)=c\) \(\лева десна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
Да објасниме поедноставно. На пример, \(\log_(2)(8)\) еднаква на моќта, на кој \(2\) мора да се подигне за да се добие \(8\). Од ова е јасно дека \(\log_(2)(8)=3\).
|
Примери: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
бидејќи \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
бидејќи \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
бидејќи \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Аргумент и основа на логаритам
Секој логаритам ја има следната „анатомија“:
Аргументот на логаритам обично се пишува на негово ниво, а основата е напишана во знак поблиску до знакот логаритам. И овој запис гласи вака: „логаритам од дваесет и пет до основата пет“.
Како да се пресмета логаритам?
За да го пресметате логаритамот, треба да одговорите на прашањето: до која сила треба да се подигне основата за да се добие аргументот?
На пример, пресметај го логаритамот: а) \(\log_(4)(16)\) б) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) в) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) г) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
а) До која сила треба да се подигне \(4\) за да се добие \(16\)? Очигледно вториот. Затоа:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
в) До која моќ треба да се подигне \(\sqrt(5)\) за да се добие \(1\)? Која моќ го прави секој број еден? Нула, се разбира!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
г) До која сила треба да се подигне \(\sqrt(7)\) за да се добие \(\sqrt(7)\)? Прво, секој број до првата сила е еднаков на самиот себе.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
д) До која моќност мора да се подигне \(3\) за да се добие \(\sqrt(3)\)? Од знаеме што е тоа фракциона моќност, а тоа значи Квадратен корене моќта на \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Пример : Пресметај логаритам \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Решение :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Треба да ја најдеме вредноста на логаритамот, да ја означиме како x. Сега да ја користиме дефиницијата за логаритам: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Што ги поврзува \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Два, бидејќи и двата броја може да се претстават со два: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Лево ги користиме својствата на степенот: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)= a^(m\cточка n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Основите се еднакви, преминуваме на еднаквост на индикаторите |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Помножете ги двете страни на равенката со \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Резултирачкиот корен е вредноста на логаритмот |
Одговори : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Зошто е измислен логаритамот?
За да го разбереме ова, да ја решиме равенката: \(3^(x)=9\). Само поклопете го \(x\) за равенката да функционира. Се разбира, \(x=2\).
Сега решете ја равенката: \(3^(x)=8\).Зошто еднакво на x? Тоа е поентата.
Најпаметните ќе речат: „Х е нешто помалку од два“. Како точно да се напише овој број? За да се одговори на ова прашање, беше измислен логаритам. Благодарение на него, одговорот овде може да се напише како \(x=\log_(3)(8)\).
Сакам да нагласам дека \(\log_(3)(8)\), како секој логаритам е само број. Да, изгледа необично, но кратко е. Затоа што ако сакаме да го напишеме во форма децимална, тогаш би изгледало вака: \(1.892789260714.....\)
Пример : Решете ја равенката \(4^(5x-4)=10\)
Решение :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) и \(10\) не може да се донесат во истата база. Ова значи дека не можете без логаритам. Ајде да ја користиме дефиницијата за логаритам: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Ајде да ја превртиме равенката така што X е лево |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Пред нас. Ајде да се движиме \(4\) надесно. И не плашете се од логаритамот, третирајте го како обичен број. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Поделете ја равенката со 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ова е нашиот корен. Да, изгледа необично, но тие не го избираат одговорот. |
Одговори : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Децимални и природни логаритми
Како што е наведено во дефиницијата за логаритам, неговата основа може да биде која било позитивен број, освен единицата \((a>0, a\neq1)\). И меѓу сите можни основи, има две што се појавуваат толку често што е измислена посебна кратка нотација за логаритми со нив:
Природен логаритам: логаритам чија основа е Ојлеровиот број \(e\) (еднаков на приближно \(2.7182818…\)), а логаритамот е напишан како \(\ln(a)\).
Тоа е, \(\ln(a)\) е исто како \(\log_(e)(a)\)
Децимален логаритам: Логаритам чија основа е 10 се пишува \(\lg(a)\).
Тоа е, \(\lg(a)\) е исто како \(\log_(10)(a)\), каде \(a\) е некој број.
Основен логаритамски идентитет
Логаритмите имаат многу својства. Еден од нив се нарекува „Основен логаритамски идентитет“ и изгледа вака:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ова својство произлегува директно од дефиницијата. Ајде да видиме како точно настанала оваа формула.
Да се потсетиме на кратка нотација на дефиницијата за логаритам:
ако \(a^(b)=c\), тогаш \(\log_(a)(c)=b\)
Тоа е, \(b\) е исто како \(\log_(a)(c)\). Потоа можеме да напишеме \(\log_(a)(c)\) наместо \(b\) во формулата \(a^(b)=c\). Се покажа \(a^(\log_(a)(c))=c\) - главниот логаритамски идентитет.
Можете да најдете други својства на логаритмите. Со нивна помош, можете да ги поедноставите и пресметате вредностите на изразите со логаритми, кои е тешко директно да се пресметаат.
Пример : Најдете ја вредноста на изразот \(36^(\log_(6)(5))\)
Решение :
Одговори : \(25\)
Како да напишете број како логаритам?
Како што споменавме погоре, секој логаритам е само бројка. Обратно е исто така точно: секој број може да се напише како логаритам. На пример, знаеме дека \(\log_(2)(4)\) е еднакво на два. Потоа наместо два можете да напишете \(\log_(2)(4)\).
Но, \(\log_(3)(9)\) е исто така еднакво на \(2\), што значи дека можеме да напишеме и \(2=\log_(3)(9)\) . Слично со \(\log_(5)(25)\), и со \(\log_(9)(81)\), итн. Тоа е, излегува
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Така, ако ни треба, можеме да напишеме два како логаритам со која било основа каде било (било да е тоа во равенка, во израз или во неравенство) - едноставно ја пишуваме основата во квадрат како аргумент.
Истото е и со тројката - може да се напише како \(\log_(2)(8)\), или како \(\log_(3)(27)\), или како \(\log_(4)( 64) \)... Овде ја пишуваме основата во коцката како аргумент:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
И со четири:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
И со минус еден:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
И со една третина:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Секој број \(a\) може да се претстави како логаритам со основата \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Пример : Најдете го значењето на изразот \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Решение :
Одговори : \(1\)
Логаритам на број Н базирано на А наречен експонент X , на кој треба да изградите А за да го добиете бројот Н
Под услов тоа 
,
,
Од дефиницијата за логаритам произлегува дека 
, т.е.
- оваа еднаквост е фундаментална логаритамски идентитет.
Логаритмите до основата 10 се нарекуваат децимални логаритми. Наместо 
пишуваат 
.
Логаритми до основата д
се нарекуваат природни и се назначени 
.
Основни својства на логаритмите.
Логаритмот на еден е еднаков на нула за која било основа.
Логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите на факторите.
3) Логаритмот на количникот е еднаков на разликата на логаритмите
Фактор 
наречен модул на премин од логаритми во основа а
до логаритми во основата б
.
Користејќи ги својствата 2-5, често е можно да се намали логаритмот на сложен израз на резултат од едноставни аритметички операции на логаритми.
На пример, 
Ваквите трансформации на логаритам се нарекуваат логаритми. Трансформациите инверзни на логаритмите се нарекуваат потенцирање.
Поглавје 2. Елементи од вишата математика.
1. Граници
Ограничување на функцијата 
е конечен број А ако, како xx
0
за секој однапред одреден 
, постои таков број 
дека штом 
, Тоа 
.
Функцијата што има граница се разликува од неа за бесконечно мала количина: 
, каде- б.м.в., т.е. 
.
Пример. Размислете за функцијата 
.
Кога се стремиме 
, функција y
има тенденција на нула: 
1.1. Основни теореми за границите.
Граница константна вредностеднаква на оваа константна вредност
.
Ограничување на износот (разликата). конечен бројфункции е еднаква на збирот (разликата) на границите на овие функции.
Границата на производот на конечен број функции е еднаква на производот на границите на овие функции.
Границата на количникот на две функции е еднаква на количникот на границите на овие функции ако границата на именителот не е нула.
Прекрасни граници
,
, Каде 
1.2. Примери за пресметување на ограничувања
Сепак, не се пресметуваат сите граници така лесно. Почесто, пресметувањето на границата се сведува на откривање на несигурност од типот: 
или .
.
2. Извод на функција
Да имаме функција 
, континуирано на сегментот 
.
Аргумент 
доби одредено зголемување 
. Тогаш функцијата ќе добие зголемување 
.
Вредност на аргументот 
одговара на вредноста на функцијата 
.
Вредност на аргументот 
одговара на вредноста на функцијата.
Оттука,.
Дозволете ни да ја најдеме границата на овој сооднос на 
. Ако оваа граница постои, тогаш таа се нарекува извод на дадената функција.
Дефиниција 3 Извод на дадена функција 
со аргумент 
се нарекува граница на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот, кога зголемувањето на аргументот произволно се стреми кон нула.
Извод на функција 
може да се назначи на следниов начин:
;
;
;
.
Дефиниција 4Операцијата за наоѓање извод на функција се нарекува диференцијација.
2.1. Механичко значење на дериватот.
Да го разгледаме праволиниското движење на некое круто тело или материјална точка.
Нека во одреден момент во времето 
подвижна точка 
беше на далечина 
од почетната позиција 
.
По одреден временски период 
таа се пресели на растојание 
. Став 
=
- просечна брзинаматеријална точка 
. Да ја најдеме границата на овој сооднос, земајќи го предвид тоа 
.
Затоа, дефиницијата моментална брзинадвижењето на материјалната точка се сведува на пронаоѓање на изводот на патеката во однос на времето.
2.2. Геометриско значењедериват
Дозволете ни да имаме графички дефинирана функција 
.
Ориз. 1. Геометриско значење на дериватот
Ако 
, потоа посочете 
, ќе се движи по кривата, приближувајќи се кон точката 
.
Оттука 
, т.е. вредноста на изводот за дадена вредност на аргументот 
нумерички еднаква на тангентата на аголот формиран од тангентата во дадена точка со позитивна насока на оската 
.
2.3. Табела со основни формули за диференцијација.
Функција за напојување
|
|
|
|
|
|
|
Експоненцијална функција
|
|
|
|
|
Логаритамска функција
|
|
|
|
|
Тригонометриска функција
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Инверзна тригонометриска функција
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Правила на диференцијација.
Дериват на 
Извод на збирот (разликата) на функциите
Извод на производот од две функции
Извод на количник на две функции
2.5. Дериват на комплексна функција.
Нека е дадена функцијата 
така што може да се претстави во форма
И 
, каде што променливата 
тогаш е среден аргумент 
Изводот на сложена функција е еднаков на производот на изводот на дадената функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на x.
Пример 1. 
Пример 2. 
3. Диференцијална функција.
Нека има 
, диференцијабилна на одреден интервал 
пушти го на
оваа функција има извод
,
тогаш можеме да пишуваме
(1),
Каде 
- бесконечно мало количество,
од кога 
Множење на сите услови за еднаквост (1) со 
ние имаме:
Каде 
- б.м.в. повисок ред.
Магнитуда 
наречен диференцијал на функцијата 
и е назначен 
.
3.1. Геометриска вредност на диференцијалот.
Нека е дадена функцијата 
.
Сл.2. Геометриско значење на диференцијалот.
.
Очигледно, диференцијалот на функцијата 
е еднаков на зголемувањето на ординатата на тангентата во дадена точка.
3.2. Деривати и диференцијали од различни редови.
Ако таму 
, Потоа 
се нарекува прв извод.
Изводот на првиот извод се нарекува извод од втор ред и се пишува 
.
Извод од n-ти ред на функцијата 
се нарекува извод од (n-1)-ти ред и се пишува:
.
Диференцијалот на диференцијалот на функцијата се нарекува втор диференцијал или диференцијал од втор ред.
.
.
3.3 Решавање биолошки проблеми со користење на диференцијација.
Задача 1. Истражувањата покажаа дека растот на колонија на микроорганизми го почитува законот 
, Каде Н
- број на микроорганизми (во илјадници), т
– време (денови).
б) Дали популацијата на колонијата ќе се зголеми или намали во овој период?
Одговори. Големината на колонијата ќе се зголеми.
Задача 2. Водата во езерото периодично се тестира за да се следи содржината на патогени бактерии. Преку т дена по тестирањето, концентрацијата на бактериите се одредува според односот
.
Кога езерото ќе има минимална концентрација на бактерии и дали ќе може да се плива во него?
Решение: Функцијата достигнува max или min кога нејзиниот извод е нула.
,
Ајде да одредиме максимум или мин ќе биде за 6 дена. За да го направите ова, да го земеме вториот дериват.
Одговор: По 6 дена ќе има минимална концентрација на бактерии.
(од грчки λόγος - „збор“, „врска“ и ἀριθμός - „број“) броеви ббазирано на а(лога α б) се нарекува таков број в, И б= а в, односно го запишува дневникот α б=вИ b=aвсе еквивалентни. Логаритмот има смисла ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Со други зборови логаритамброеви ббазирано на Аформулиран како експонент на кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x= log α б, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.
На пример:
дневник 2 8 = 3 бидејќи 8 = 2 3 .
Да нагласиме дека посочената формулација на логаритамот овозможува веднаш да се определи логаритамска вредност, кога бројот под знакот логаритам делува како одредена моќност на основата. Навистина, формулацијата на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата логаритми е тесно поврзана со темата моќи на број.
Пресметувањето на логаритам се нарекува логаритам. Логаритмот е математичка операцијаземајќи го логаритамот. Кога се земаат логаритми, производите на факторите се трансформираат во збирови на членови.
Потенцијацијае инверзна математичка операција на логаритам. За време на потенцирањето, дадена основа се подига до степенот на изразување над кој се врши потенцирањето. Во овој случај, збировите на поими се трансформираат во производ на фактори.
Доста често се користат вистински логаритми со основи 2 (бинарни), e Ојлеров број e ≈ 2,718 ( природен логаритам) и 10 (децимална).
На на оваа бинапрепорачливо е да се разгледа логаритамски примероцидневник 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
И записите lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немаат смисла, бидејќи во првиот од нив негативен број се става под знакот логаритам, во вториот - негативен бројво основата, а во третата - и негативен број под знакот на логаритам и единица во основата.
Услови за определување на логаритам.
Вреди да се разгледаат одделно условите a > 0, a ≠ 1, b > 0.под кои добиваме дефиниција на логаритам.Ајде да размислиме зошто беа преземени овие ограничувања. Во тоа ќе ни помогне еднаквоста од формата x = log α б, наречен основен логаритамски идентитет, што директно произлегува од дефиницијата за логаритам дадена погоре.
Да ја земеме состојбата a≠1. Бидејќи еден на која било моќност е еднаков на еден, тогаш еднаквоста x=log α бможе да постои само кога b=1, но дневникот 1 1 ќе биде кој било реален број. За да ја елиминираме оваа нејасност, земаме a≠1.
Да ја докажеме неопходноста на состојбата a>0. На a=0според формулацијата на логаритамот може да постои само кога b=0. И соодветно тогаш дневник 0 0може да биде кој било реален број што не е нула, бидејќи нула до која било ненулта моќност е нула. Оваа двосмисленост може да се отстрани со состојбата a≠0. И кога а<0 би требало да ја отфрлиме анализата на рационалните и ирационалните вредности на логаритмот, бидејќи степенот со рационален и ирационален експонент е дефиниран само за ненегативни основи. Токму поради оваа причина условот е пропишан a>0.
И последен услов б>0произлегува од нееднаквоста a>0, бидејќи x=log α б, и вредноста на степенот со позитивна основа асекогаш позитивно.
Карактеристики на логаритмите.
Логаритмисе карактеризира со карактеристични карактеристики, што доведе до нивна широка употреба за значително олеснување на макотрпните пресметки. Кога се движите „во светот на логаритмите“, множењето се трансформира за многу повеќе лесно преклопување, делењето е одземање, а степенувањето и извлекувањето на коренот се трансформираат, соодветно, во множење и делење со експонентот.
Формулирање на логаритми и табела на нивните вредности (за тригонометриски функции) за прв пат беше објавен во 1614 година од шкотскиот математичар Џон Напиер. Логаритамските табели, зголемени и детални од други научници, беа широко користени во научните и инженерските пресметки и останаа релевантни до употребата на електронски калкулатори и компјутери.