Секој ученик знае дека хипотенузата е секогаш квадрат еднаков на збиротнозе, од кои секоја е на квадрат. Оваа изјава се нарекува Питагорова теорема. Таа е една од најпознатите теореми на тригонометријата и математиката воопшто. Ајде да го разгледаме подетално.
Концептот на правоаголен триаголник
Пред да продолжиме со разгледување на Питагоровата теорема, во која квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на катетите кои се квадратни, треба да ги разгледаме концептот и својствата на правоаголен триаголник за кој важи теоремата.
Тријаголник - рамна фигураима три агли и три страни. Правоаголен триаголник, како што сугерира неговото име, има еден прав агол, односно овој агол е еднаков на 90 o.
Од општи својстваза сите триаголници, познато е дека збирот на сите три агли на оваа бројка е 180 o, што значи дека за правоаголен триаголник, збирот на два агли кои не се прави агли е 180 o - 90 o = 90 o. Последен фактзначи дека секој агол во правоаголен триаголник, што не е директно, секогаш ќе биде помало од 90 o.
Страната што лежи против прав агол, обично се нарекува хипотенуза. Другите две страни се краците на триаголникот, тие можат да бидат еднакви една со друга или можат да бидат различни. Од тригонометријата знаеме дека колку е поголем аголот против кој лежи страната на триаголникот, толку е поголема должината на таа страна. Ова значи дека во правоаголен триаголник хипотенузата (лежи спроти аголот 90 o) секогаш ќе биде поголема од која било катета (лежи спроти аглите< 90 o).
Математичка нотација на Питагоровата теорема
Оваа теорема вели дека квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на катетите, од кои секоја е претходно на квадрат. За да ја напишете оваа формулација математички, разгледајте правоаголен триаголник во кој страните a, b и c се двете катети и хипотенузата, соодветно. Во овој случај, теоремата, која е формулирана како квадрат на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите, може да се претстави со следнава формула: c 2 = a 2 + b 2. Од тука може да се добијат други формули важни за вежбање: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) и c = √(a 2 + b 2).
Забележете дека во случај на правоаголна рамностран триаголник, односно, a = b, формулација: квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на катетите, од кои секоја е квадрат, математички напишана на следниов начин: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, што имплицира на еднаквост: c = a√2.
Историска референца
Питагоровата теорема, која вели дека квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на катетите, од кои секоја е квадрат, била позната многу пред познатиот грчки филозоф да обрне внимание на неа. Многу папируси Антички Египет, како и глинените плочи на Вавилонците потврдуваат дека овие народи го користеле забележаното својство на страните на правоаголен триаголник. На пример, еден од првите Египетски пирамиди, пирамидата на Кафре, чија изградба датира од 26 век п.н.е. (2000 години пред животот на Питагора), била изградена врз основа на знаење за односот на страниците во правоаголен триаголник 3х4х5.
Зошто тогаш теоремата сега го носи името на Гркот? Одговорот е едноставен: Питагора е првиот што математички ја докажал оваа теорема. Во преживеаните вавилонски и египетски пишани извориЗборува само за неговата употреба, но не дава никаков математички доказ.
Се верува дека Питагора ја докажал предметната теорема користејќи ги својствата слични триаголници, која ја добил со цртање на висината во правоаголен триаголник од агол од 90 o до хипотенузата.
Пример за користење на Питагоровата теорема
Ајде да размислиме едноставна задача: потребно е да се одреди должината на наклонетото скалило L, доколку се знае дека има висина H = 3 метри, а растојанието од ѕидот до кој се потпира скалилата до неговото стапало е P = 2,5 метри.
ВО во овој случај H и P се нозете, а L е хипотенузата. Бидејќи должината на хипотенузата е еднаква на збирот на квадратите на катетите, добиваме: L 2 = H 2 + P 2, од каде L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3.905 метри или 3 m и 90, 5 cm.
Едно нешто во кое можете да бидете сто проценти сигурни е тоа кога ќе го прашате зошто еднакво на квадратхипотенуза, секој возрасен смело ќе одговори: „Збирот на квадратите на нозете“. Оваа теорема е цврсто вградена во главите на сите. образована личност, но сè што треба да направите е да побарате некој да го докаже тоа и може да се појават тешкотии. Затоа, да се потсетиме и да размислиме различни начинидоказ за Питагоровата теорема.
Кратка биографија
Питагоровата теорема е позната на скоро сите, но поради некоја причина биографијата на личноста што ја донесе во светот не е толку популарна. Ова може да се поправи. Затоа, пред да ги истражите различните начини за докажување на теоремата на Питагора, треба накратко да ја запознаете неговата личност.
Питагора - филозоф, математичар, мислител по потекло од Денес е многу тешко да се разликува неговата биографија од легендите што се развиле во спомен на овој голем човек. Но, како што следува од делата на неговите следбеници, Питагора од Самос е роден на островот Самос. Неговиот татко бил обичен секач на камења, но неговата мајка потекнувала од благородничко семејство.
Судејќи според легендата, раѓањето на Питагора го предвидела жена по име Питија, во чија чест момчето го добило името. Според нејзиното предвидување, роденото момче требало да донесе многу корист и добро за човештвото. Што е токму она што го направи.
Раѓање на теоремата
Во младоста, Питагора се преселил во Египет за да ги запознае познатите египетски мудреци таму. По средбата со нив, му било дозволено да студира, каде ги научил сите големи достигнувања на египетската филозофија, математика и медицина.
Веројатно во Египет Питагора бил инспириран од величественоста и убавината на пирамидите и создал своја голема теорија. Ова може да ги шокира читателите, но современите историчариТие веруваат дека Питагора не ја докажал својата теорија. Но, тој само им го пренел своето знаење на своите следбеници, кои подоцна ги завршиле сите потребни математички пресметки.
Како и да е, денес не е познат еден метод за докажување на оваа теорема, туку неколку одеднаш. Денес можеме само да претпоставуваме како точно античките Грци ги извршувале своите пресметки, па овде ќе разгледаме различни начини за докажување на Питагоровата теорема.
Питагорова теорема
Пред да започнете какви било пресметки, треба да откриете која теорија сакате да ја докажете. Питагоровата теорема оди вака: „Во триаголник во кој еден од аглите е 90°, збирот на квадратите на катетите е еднаков на квадратот на хипотенузата“.
Постојат вкупно 15 различни начини за докажување на Питагоровата теорема. Ова е прилично голем број, па затоа ќе обрнеме внимание на најпопуларните од нив.
Метод еден
Прво, да дефинираме што ни е дадено. Овие податоци ќе важат и за други методи за докажување на Питагоровата теорема, па затоа вреди веднаш да се запаметат сите достапни нотации.
Да претпоставиме дека ни е даден правоаголен триаголник со катети a, b и хипотенуза еднаква на c. Првиот метод на докажување се заснова на фактот дека треба да нацртате квадрат од правоаголен триаголник.
За да го направите ова, треба да додадете сегмент еднаков на кракот b на должината на ногата a, и обратно. Ова треба да направи две еднакви страниквадрат. Останува само да се нацртаат две паралелни линии, а квадратот е подготвен.
Внатре во добиената фигура треба да нацртате друг квадрат со страна еднаква на хипотенузатаоригиналниот триаголник. За да го направите ова, од темињата ас и св треба да нацртате две паралелно со сегментотеднаква на Така, добиваме три страни на квадратот, од кои едната е хипотенузата на оригиналниот правоаголен триаголник. Останува само да се извлече четвртиот сегмент.
Врз основа на добиената слика, можеме да заклучиме дека површината на надворешниот квадрат е (а + б) 2. Ако погледнете внатре во фигурата, можете да видите дека покрај внатрешниот квадрат, има и четири правоаголни триаголници. Површината на секоја е 0,5 ав.
Според тоа, површината е еднаква на: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Оттука (a+c) 2 =2ab+c 2
И, според тоа, c 2 =a 2 +b 2
Теоремата е докажана.
Втор метод: слични триаголници
Оваа формула за докажување на Питагоровата теорема е изведена врз основа на изјава од делот геометрија за слични триаголници. Во него се наведува дека кракот на правоаголен триаголник е просечната пропорционална на неговата хипотенуза и сегментот на хипотенузата што произлегува од темето на аголот од 90°.
Првичните податоци остануваат исти, па да почнеме веднаш со доказот. Да нацртаме отсечка CD нормална на страната AB. Врз основа на горната изјава, страните на триаголниците се еднакви:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
За да се одговори на прашањето како да се докаже Питагоровата теорема, доказот мора да се заврши со квадратирање на двете неравенки.
AC 2 = AB * AD и CB 2 = AB * DV
Сега треба да ги собереме добиените нееднаквости.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), каде што AD + DV = AB
Излегува дека:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
А со тоа и:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Доказот на Питагоровата теорема и различните методи за нејзино решавање бараат сестран пристап кон овој проблем. Сепак, оваа опција е една од наједноставните.
Друг метод на пресметка
Описите на различни методи за докажување на Питагоровата теорема можеби нема да значат ништо додека не почнете да вежбате сами. Многу техники вклучуваат не само математички пресметки, туку и изградба на нови фигури од оригиналниот триаголник.
Во овој случај, потребно е да се пополни уште еден правоаголен триаголник VSD од страната BC. Така, сега има два триаголници со заедничка катета п.н.е.
Знаејќи дека областа слични бројкиимаат однос како квадратите на нивните слични линеарни димензии, тогаш:
S avs * c 2 - S avd * во 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(од 2 - до 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
од 2 - до 2 =а 2
c 2 =a 2 +b 2
Бидејќи од различните методи за докажување на Питагоровата теорема за одделение 8, оваа опција е тешко соодветна, можете да го користите следниов метод.
Најлесен начин да се докаже Питагоровата теорема. Осврти
Според историчарите, овој метод првпат бил искористен за да се докаже теоремата назад Античка Грција. Тоа е наједноставно, бидејќи не бара апсолутно никакви пресметки. Ако правилно ја нацртате сликата, тогаш јасно ќе биде видлив доказот за изјавата дека a 2 + b 2 = c 2.
Услови за овој методќе биде малку поинаков од претходниот. За да се докаже теоремата, да претпоставиме дека правоаголна триаголник ABC- рамнокрак.
Ја земаме хипотенузата AC како страна на квадратот и ги цртаме неговите три страни. Покрај тоа, неопходно е да се нацртаат две дијагонални линии во добиениот квадрат. Така што внатре во него ќе добиете четири рамнокрак триаголници.
Исто така, треба да нацртате квадрат до краците AB и CB и да нацртате по една дијагонална права линија во секоја од нив. Првата линија ја цртаме од темето А, втората од В.
Сега треба внимателно да го погледнете добиениот цртеж. Бидејќи на хипотенузата AC има четири триаголници еднакви на првобитниот, а на страните има два, ова укажува на вистинитоста на оваа теорема.
Патем, благодарение на овој метод на докажување на Питагоровата теорема, позната фраза: „Питагоровите панталони се еднакви во сите правци“.
Доказ од Џеј Гарфилд
Џејмс Гарфилд е дваесеттиот претседател на Соединетите Американски Држави. Покрај тоа што остави свој белег во историјата како владетел на Соединетите Држави, тој беше и надарен автодидакт.
На почетокот на својата кариера бил редовен учител во државно училиште, но набрзо стана директор на еден од највисоките образовните институции. Желбата за само-развој му дозволи да понуди нова теоријадоказ за Питагоровата теорема. Теоремата и примерот за нејзиното решение се како што следува.
Прво треба да нацртате два правоаголни триаголници на парче хартија, така што ногата на едниот од нив е продолжение на втората. Темињата на овие триаголници треба да се поврзат за на крајот да формираат трапез.
Како што знаете, површината на трапезоидот е еднаква на производот од половина од збирот на неговите основи и неговата висина.
S=a+b/2 * (a+b)
Ако го земеме добиениот трапез како фигура која се состои од три триаголници, тогаш неговата површина може да се најде на следниов начин:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Сега треба да ги изедначиме двата оригинални изрази
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
c 2 =a 2 +b 2
Може да се напише повеќе од еден том за Питагоровата теорема и методите за нејзино докажување. наставно помагало. Но, дали има смисла во тоа кога ова знаење не може да се примени во пракса?
Практична примена на Питагоровата теорема
За жал, во модерната училишни програмиОваа теорема е наменета да се користи само во геометриски проблеми. Матурантите наскоро ќе го напуштат училиштето без да знаат како можат да ги применат своите знаења и вештини во пракса.
Всушност, користете ја Питагоровата теорема во вашиот Секојдневниот животсекој може. И не само во професионална дејност, но и во обичните домашни работи. Да разгледаме неколку случаи кога Питагоровата теорема и методите за нејзино докажување може да бидат крајно неопходни.
Врска помеѓу теоремата и астрономијата
Се чини како ѕвездите и триаголниците на хартија можат да се поврзат. Всушност, астрономијата е научна област, што широко ја користи Питагоровата теорема.
На пример, размислете за движењето светлосен зракво вселената. Познато е дека светлината се движи во двете насоки од иста брзина. Да ја наречеме траекторијата AB по која се движи светлосниот зрак л. И да го наречеме половина од времето што е потребно за светлина да се стигне од точката А до точката Б т. И брзината на зракот - в. Излегува дека: c*t=l
Ако го погледнете истиот зрак од друга рамнина, на пример, од вселенска обвивка што се движи со брзина v, тогаш при набљудување на телата на овој начин, нивната брзина ќе се промени. Во овој случај, дури и неподвижните елементи ќе почнат да се движат со брзина v во спротивна насока.
Да речеме дека стрипот плови надесно. Тогаш точките А и Б, меѓу кои зракот брза, ќе почнат да се движат налево. Покрај тоа, кога зракот се движи од точката А до точката Б, точката А има време да се движи и, соодветно, светлината веќе ќе пристигне во нова точка C. За да најдете половина од растојанието за кое точката А се поместила, треба да ја помножите брзината на лагер со половина од времето на патување на зракот (t").
И за да откриете колку далеку може да помине зрак светлина во ова време, треба да означите половина од патеката со нова буква s и да го добиете следниов израз:
Ако замислиме дека светлосните точки C и B, како и вселенската обвивка, се темињата рамнокрак триаголник, тогаш отсечката од точката А до поставата ќе ја подели на два правоаголни триаголници. Затоа, благодарение на Питагоровата теорема, можете да го најдете растојанието што еден зрак светлина може да го помине.
Овој пример, се разбира, не е најуспешен, бидејќи само неколку можат да имаат среќа да го пробаат во пракса. Затоа, да разгледаме повеќе вообичаени примени на оваа теорема.
Опсег на пренос на мобилен сигнал
Модерниот живот повеќе не може да се замисли без постоењето на паметни телефони. Но, колку би биле користени ако не можат да ги поврзат претплатниците преку мобилни комуникации?!
Квалитетот на мобилните комуникации директно зависи од висината на која се наоѓа антената на мобилниот оператор. За да пресметате колку далеку од мобилната кула телефонот може да прими сигнал, можете да ја примените Питагоровата теорема.
Да речеме дека треба да ја пронајдете приближната висина на неподвижна кула за да може да дистрибуира сигнал во радиус од 200 километри.
AB (висина на кулата) = x;
BC (радиус на пренос на сигнал) = 200 km;
ОС (радиус глобус) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Применувајќи ја Питагоровата теорема, го дознаваме тоа минимална висинакулата треба да биде долга 2,3 километри.
Питагоровата теорема во секојдневниот живот
Доволно чудно, Питагоровата теорема може да биде корисна дури и во секојдневните работи, како што е одредувањето на висината на гардеробата, на пример. На прв поглед, нема потреба да се користи такво сложени пресметки, бидејќи едноставно можете да направите мерења со помош на мерна лента. Но, многу луѓе се прашуваат зошто се појавуваат одредени проблеми за време на процесот на склопување ако сите мерења се направени повеќе од прецизно.
Факт е дека гардеробата е составена во хоризонтална положба и дури потоа се крева и се поставува на ѕидот. Затоа, за време на процесот на подигнување на структурата, страната на кабинетот мора слободно да се движи и по висината и дијагонално на просторијата.
Да претпоставиме дека има гардероба со длабочина од 800 mm. Растојание од подот до таванот - 2600 mm. Искусен производител на мебел ќе каже дека висината на кабинетот треба да биде 126 mm помала од висината на просторијата. Но, зошто точно 126 mm? Ајде да погледнеме на пример.
Со идеални димензии на кабинетот, да ја провериме работата на Питагоровата теорема:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - сè одговара.
Да речеме дека висината на кабинетот не е 2474 mm, туку 2505 mm. Потоа:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Затоа, овој кабинет не е погоден за инсталација во оваа просторија. Бидејќи подигнувањето во вертикална положба може да предизвика оштетување на неговото тело.
Можеби, разгледувајќи различни начини на докажување на Питагоровата теорема од различни научници, можеме да заклучиме дека таа е повеќе од вистина. Сега можете да ги користите добиените информации во вашиот секојдневен живот и да бидете целосно уверени дека сите пресметки ќе бидат не само корисни, туку и точни.
Питагорова теорема: Збир на површини на квадрати што се потпираат на нозете ( аИ б), еднаква на плоштината на квадратот изграден на хипотенузата ( в).
Геометриска формулација:
Теоремата првично беше формулирана на следниов начин:
Алгебарска формулација:
Односно, означување на должината на хипотенузата на триаголникот со в, и должината на нозете низ аИ б :
а 2 + б 2 = в 2Двете формулации на теоремата се еквивалентни, но втората формулација е поелементарна, не бара концепт на област. Односно, втората изјава може да се потврди без да се знае ништо за плоштината и со мерење само на должините на страните на правоаголен триаголник.
Конверзирајте ја Питагоровата теорема:
Доказ
На овој моментВ научна литератураЗабележани се 367 докази за оваа теорема. Веројатно, Питагоровата теорема е единствената теорема со толку импресивен број на докази. Таквата разновидност може да се објасни само со основното значење на теоремата за геометријата.
Се разбира, концептуално сите од нив може да се поделат на мал број класи. Најпознати од нив: докази со методот на областа, аксиоматски и егзотични докази (на пример, користејќи диференцијални равенки).
Преку слични триаголници
Следниот доказ за алгебарската формулација е наједноставниот од доказите, конструиран директно од аксиомите. Конкретно, не го користи концептот на површина на фигурата.
Нека ABCима правоаголен триаголник со прав агол В. Ајде да ја нацртаме висината од Ви означете ја неговата основа со Х. Тријаголник ACHслично на триаголник ABCна два агли. Исто така, триаголник CBHслично ABC. Со воведување на ознаката
добиваме
Што е еквивалентно
Ако го собереме, добиваме
Докази со користење на методот на површина
Следниве докази, и покрај неговите очигледна едноставност, воопшто не се толку едноставни. Сите тие користат својства на површина, чии докази потежок доказсамата Питагорова теорема.
Доказ преку еквикомплементација
- Да подредиме четири еднакви правоаголни триаголници како што е прикажано на слика 1.
- Четириаголник со страни ве квадрат, бидејќи збирот на два остри агли е 90°, а правиот агол е 180°.
- Површината на целата фигура е еднаква, од една страна, на плоштината на квадрат со страна (a + b), а од друга страна на збирот четири квадратитриаголници и два внатрешни квадрати.
Q.E.D.
Докази преку еквивалентност
Елегантен доказ со помош на пермутација
Пример за еден таков доказ е прикажан на цртежот од десната страна, каде што квадрат изграден на хипотенузата е преуреден на два квадрати изградени на катетите.
Евклидовиот доказ
Цртеж за доказот на Евклид
Илустрација за доказот на Евклид
Идејата за доказот на Евклид е следнава: да се обидеме да докажеме дека половина од плоштината на квадратот изграден на хипотенузата е еднаква на збирот на половината од квадратите изградени на краците, а потоа и плоштините на големиот и двата мали квадрати се еднакви.
Ајде да го погледнеме цртежот лево. На него конструиравме квадрати на страните на правоаголен триаголник и нацртавме зрак s од темето на правиот агол C нормално на хипотенузата AB, го пресекува квадратот АБИК, изграден на хипотенузата, на два правоаголници - BHJI и HAKJ, соодветно. Излегува дека плоштините на овие правоаголници се точно еднакви на површините на квадратите изградени на соодветните краци.
Ајде да се обидеме да докажеме дека плоштината на квадратот DECA е еднаква на плоштината на правоаголникот AHJK. За да го направите ова, ќе користиме помошно набљудување: Плоштината на триаголник со иста висина и основа како даден правоаголник, еднаква на половина од површината на дадениот правоаголник. Ова е последица на дефинирањето на плоштината на триаголникот како половина од производот на основата и висината. Од ова набљудување произлегува дека плоштината на триаголникот ACK е еднаква на плоштината на триаголникот AHK (не е прикажана на сликата), што пак е еднаква на половина од плоштината на правоаголникот AHJK.
Сега да докажеме дека плоштината на триаголникот ACK е исто така еднаква на половина од плоштината на квадратот DECA. Единственото нешто што треба да се направи за ова е да се докаже еднаквоста на триаголниците ACK и BDA (бидејќи плоштината на триаголникот BDA е еднаква на половина од површината на квадратот според горенаведеното својство). Оваа еднаквост е очигледна, триаголниците се еднакви од двете страни и аголот меѓу нив. Имено - AB=AK,AD=AC - еднаквоста на аглите CAK и BAD лесно се докажува со методот на движење: го ротираме триаголникот CAK 90° спротивно од стрелките на часовникот, тогаш е очигледно дека соодветните страни на двата триаголници во прашањето ќе се совпадне (поради фактот што аголот на темето на квадратот е 90°).
Образложението за еднаквоста на плоштините на квадратот BCFG и правоаголникот BHJI е сосема слично.
Така, докажавме дека површината на квадрат изграден на хипотенузата е составена од областите на квадрати изградени на краците. Идејата зад овој доказ е дополнително илустрирана со горната анимација.
Доказ за Леонардо да Винчи
Доказ за Леонардо да Винчи
Главните елементи на доказот се симетријата и движењето.
Ајде да го разгледаме цртежот, како што може да се види од симетријата, сегмент ВЈасго сече плоштадот АБХЈ на два идентични дела (бидејќи триаголници АБВИ ЈХЈаседнакви во градбата). Користејќи ротација од 90 степени спротивно од стрелките на часовникот, ја гледаме еднаквоста на засенчените фигури ВАЈЈас И ГДАБ . Сега е јасно дека површината на фигурата што ја засенчивме е еднаква на збирот на половина од површините на квадратите изградени на нозете и површината на оригиналниот триаголник. Од друга страна, тоа е еднакво на половина од површината на квадратот изграден на хипотенузата, плус површината на оригиналниот триаголник. Последниот чекор во докажувањето е оставен на читателот.
Доказ со бесконечно мал метод
Следниот доказ кој користи диференцијални равенки често му се припишува на познатиот англиски математичар Харди, кој живеел во првата половина на 20 век.
Гледајќи го цртежот прикажан на сликата и набљудувајќи ја промената на страната а, можеме да ја напишеме следната релација за бесконечно мали зголемувања на страните СоИ а(користејќи сличност на триаголник):
Доказ со бесконечно мал метод
Користејќи го методот на раздвојување на променливи, наоѓаме
Повеќе општ изразза промена на хипотенузата во случај на зголемување на двете нозе
Интегрирање дадена равенкаи користење почетни услови, добиваме
в 2 = а 2 + б 2 + константна.Така доаѓаме до посакуваниот одговор
в 2 = а 2 + б 2 .Колку е лесно да се види квадратна зависностсе појавува во конечната формула благодарение на линеарна пропорционалностпомеѓу страните на триаголникот и зголемувањата, додека збирот е поврзан со независни придонеси од зголемувањето на различните кати.
Може да се добие поедноставен доказ ако претпоставиме дека едната нога не доживува зголемување (во овој случај, ногата б). Потоа за константата на интеграција ја добиваме
Варијации и генерализации
- Ако наместо квадрати конструираме други слични фигури на страните, тогаш следнава генерализација на Питагоровата теорема е точно: Во правоаголен триаголник, збирот на плоштините на слични фигури изградени на страните е еднаков на плоштината на фигурата изградена на хипотенузата.Особено:
- Збирот на плоштините на правилните триаголници изградени на страните е еднаков на плоштината правилен триаголник, изграден на хипотенузата.
- Збирот на површините на полукругови изградени на нозете (како на дијаметарот) е еднаков на плоштината на полукругот изграден на хипотенузата. Овој пример се користи за докажување на својствата на фигурите ограничени со лакови на два круга и наречени Хипократски лунули.
Приказна
Чу-пеи 500–200 п.н.е. Лево е натписот: збирот на квадратите на должините на висината и основата е квадратот на должината на хипотенузата.
За која зборува древната кинеска книга Чу-пеи Питагоровиот триаголниксо страни 3, 4 и 5: Во истата книга е предложен цртеж што се совпаѓа со еден од цртежите на хинду геометријата на Башара.
Кантор (најголемиот германски историчар на математиката) верува дека еднаквоста 3² + 4² = 5² им била веќе позната на Египќаните околу 2300 година п.н.е. е., во времето на кралот Аменемхет I (според папирусот 6619 од Берлинскиот музеј). Според Кантор, харпедонаптите, или „влечечите на јаже“, изградиле прави агли користејќи правоаголни триаголници со страни од 3, 4 и 5.
Многу е лесно да се репродуцира нивниот метод на градба. Ајде да земеме јаже долго 12 m и да врземе лента во боја на растојание од 3 m. од едниот крај и 4 метри од другиот. Правиот агол ќе биде затворен помеѓу страните долги 3 и 4 метри. На харпедонаптијците може да им се приговори дека нивниот начин на градба станува излишен ако се користи, на пример, дрвен квадрат, кој го користат сите столари. Навистина, познати се египетски цртежи во кои се наоѓа таква алатка, на пример, цртежи што прикажуваат столарска работилница.
Нешто повеќе се знае за Питагоровата теорема кај Вавилонците. Во еден текст датира од времето на Хамураби, односно од 2000 година п.н.е. д., дадена е приближна пресметка на хипотенузата на правоаголен триаголник. Од ова можеме да заклучиме дека во Месопотамија можеле да вршат пресметки со правоаголни триаголници, барем во некои случаи. Врз основа, од една страна, на сегашното ниво на знаење за египетската и вавилонската математика, а од друга, на критичко проучување на грчките извори, Ван дер Ваерден (холандски математичар) дошол до следниот заклучок:
Литература
На руски
- Скопец З.А.Геометриски минијатури. М., 1990 година
- Еленски Шч.По стапките на Питагора. М., 1961 година
- Ван дер Ваерден Б.Л.Наука за будење. Математика на антички Египет, Вавилон и Грција. М., 1959 година
- Глејзер Г.И.Историја на математиката на училиште. М., 1982 година
- В. Лицман, „Питагоровата теорема“ М., 1960 година.
- Веб-страница за Питагоровата теорема со голем број докази, материјал преземен од книгата на В. Лицман, голем бројцртежите се претставени во форма на посебни графички датотеки.
- Питагоровата теорема и Питагоровата тројка поглавје од книгата на Д.В.Аносов „Поглед на математиката и нешто од неа“
- За Питагоровата теорема и методите на нејзино докажување Г. Глејзер, академик на Руската академија за образование, Москва
На англиски
- Питагоровата теорема во WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, дел за Питагоровата теорема, околу 70 докази и опширни дополнителни информации (англиски)
Фондацијата Викимедија. 2010 година.
Питагорова теорема
Слично на тоа, триаголникот CBH е сличен на ABC. Со воведување на ознаката 
1. Поставете четири еднакви правоаголни триаголници како што е прикажано на сликата. 
Идејата за доказот на Евклид е следнава: да се обидеме да докажеме дека половина од плоштината на квадратот изграден на хипотенузата е еднаква на збирот на половината од квадратите изградени на краците, а потоа и плоштините на големиот и двата мали квадрати се еднакви. Ајде да го погледнеме цртежот лево. На него конструиравме квадрати на страните на правоаголен триаголник и нацртавме зрак s од темето на правиот агол C нормално на хипотенузата AB, го пресекува квадратот АБИК, изграден на хипотенузата, на два правоаголници - BHJI и HAKJ, соодветно. Излегува дека плоштините на овие правоаголници се точно еднакви на површините на квадратите изградени на соодветните краци. Ајде да се обидеме да докажеме дека плоштината на квадратот DECA е еднаква на плоштината на правоаголникот AHJK. За да го направите ова, ќе користиме помошно набљудување: Плоштината на триаголник со иста висина и основа како дадениот правоаголник е еднаков на половина од површината на дадениот правоаголник. Ова е последица на дефинирањето на плоштината на триаголникот како половина од производот на основата и висината. Од ова набљудување произлегува дека плоштината на триаголникот ACK е еднаква на плоштината на триаголникот AHK (не е прикажана на сликата), што пак е еднаква на половина од плоштината на правоаголникот AHJK. Сега да докажеме дека плоштината на триаголникот ACK е исто така еднаква на половина од плоштината на квадратот DECA. Единственото нешто што треба да се направи за ова е да се докаже еднаквоста на триаголниците ACK и BDA (бидејќи плоштината на триаголникот BDA е еднаква на половина од површината на квадратот според горенаведеното својство). Оваа еднаквост е очигледна, триаголниците се еднакви од двете страни и аголот меѓу нив. Имено - AB=AK,AD=AC - еднаквоста на аглите CAK и BAD лесно се докажува со методот на движење: го ротираме триаголникот CAK 90° спротивно од стрелките на часовникот, тогаш е очигледно дека соодветните страни на двата триаголници во прашањето ќе се совпадне (поради фактот што аголот на темето на квадратот е 90°). Образложението за еднаквоста на плоштините на квадратот BCFG и правоаголникот BHJI е сосема слично. Така, докажавме дека површината на квадрат изграден на хипотенузата е составена од областите на квадрати изградени на краците. 
Да го разгледаме цртежот, како што може да се види од симетријата, отсечката CI го сече квадратот ABHJ на два идентични дела (бидејќи Просечно ниво
Правоаголен триаголник. Целосниот илустриран водич (2019)
ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК. ПРВО НИВО.
Во проблемите, вистинскиот агол воопшто не е неопходен - долниот лев, така што треба да научите да препознавате правоаголен триаголник во оваа форма,
и во ова
и во ова 
Што е добро за правоаголен триаголник? Па... пред се има посебни убави имињаза неговите страни.
Внимание на цртежот!
Запомнете и не мешајте: има две нозе, а има само една хипотенуза(еден и единствен, единствен и најдолг)!
Па, разговаравме за имињата, сега најважното нешто: Питагоровата теорема.
Питагорова теорема.
Оваа теорема е клучот за решавање на многу проблеми кои вклучуваат правоаголен триаголник. Питагора тоа целосно го докажа памтивек, и оттогаш им донесе многу придобивки на оние кои ја познаваат. А најдоброто нешто во врска со тоа е што е едноставно.
Значи, Питагорова теорема:
Се сеќавате ли на шегата: „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни!“?
Ајде да ги нацртаме истите овие Питагорови панталони и да ги погледнеме. 
Да не личи на некакви шорцеви? Па, на кои страни и каде се еднакви? Зошто и од каде дојде шегата? И оваа шега е поврзана токму со Питагоровата теорема, или поточно со начинот на кој самиот Питагора ја формулирал својата теорема. И тој го формулираше вака:
„Збир области на квадрати, изградена на нозете, е еднаква на квадратна површина, изградена на хипотенузата“.
Дали навистина звучи малку поинаку? И така, кога Питагора ја нацрта изјавата на својата теорема, токму оваа слика излезе на виделина.
На оваа слика, збирот на површините на малите квадрати е еднаков на плоштината на големиот квадрат. И за да можат децата подобро да запомнат дека збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата, некој духовит ја смисли оваа шега за панталоните на Питагора.
Зошто сега ја формулираме Питагоровата теорема?
Дали Питагора страдал и зборувал за квадрати?
Видете, во античко време немало... алгебра! Немаше знаци и така натаму. Немаше натписи. Можете ли да замислите колку беше страшно за кутрите антички студенти да паметат сè со зборови??! И можеме да се радуваме што имаме едноставна формулација на Питагоровата теорема. Да го повториме уште еднаш за подобро да го запомниме:
Сега треба да биде лесно:
| Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите. |
Па, дискутирана е најважната теорема за правоаголните триаголници. Ако ве интересира како се докажува, прочитајте ги следните нивоа на теорија, а сега да продолжиме... на темна шума... тригонометрија! На страшните зборови синус, косинус, тангента и котангента.
Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник.
Всушност, сè воопшто не е толку страшно. Се разбира, „вистинската“ дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента треба да се погледне во статијата. Но, јас навистина не сакам, нели? Можеме да се радуваме: за да ги решите проблемите за правоаголен триаголник, можете едноставно да ги пополните следниве едноставни работи:
Зошто сè е само за аголот? Каде е аголот? За да го разберете ова, треба да знаете како изјавите 1 - 4 се напишани со зборови. Погледнете, разберете и запомнете!
1.
Всушност звучи вака:
Што е со аголот? Дали има крак што е спроти аголот, односно спротивен (за агол) крак? Секако дека има! Ова е нога!
Што е со аголот? Погледнете внимателно. Која нога е во непосредна близина на аголот? Се разбира, ногата. Ова значи дека за аголот ногата е соседна, и
Сега, обрнете внимание! Погледнете што добивме:
Погледнете колку е кул:
Сега да преминеме на тангента и котангента.
Како можам да го запишам ова со зборови сега? Што е ногата во однос на аголот? Спротивно, се разбира - „лежи“ спроти аголот. Што е со ногата? Во непосредна близина на аголот. Па што имаме?
Погледнете како броителот и именителот ги заменија местата?
И сега повторно аглите и направивме размена:
Резиме
Ајде накратко да запишеме се што научивме.
 |
Питагорова теорема: |
Главната теорема за правоаголните триаголници е Питагоровата теорема.
Питагорова теорема
Патем, дали добро се сеќавате што се тоа нозе и хипотенуза? Ако не е многу добро, тогаш погледнете ја сликата - освежете го вашето знаење
Сосема е можно веќе многу пати да сте ја користеле Питагоровата теорема, но дали некогаш сте се запрашале зошто таквата теорема е вистинита? Како можам да го докажам тоа? Ајде да правиме како старите Грци. Ајде да нацртаме квадрат со страна.
Погледнете како паметно ги поделивме неговите страни на должини и!
Сега да ги поврземе означените точки
Овде, сепак, забележавме нешто друго, но вие самите погледнете го цртежот и размислете зошто е тоа така.
На што е еднаква плоштината? поголем квадрат? Во право,. Што е со помала површина? Секако,. Останува вкупната површина на четирите агли. Замислете дека ги земавме по две и ги потпревме еден на друг со нивните хипотенуси. Што се случи? Два правоаголници. Ова значи дека површината на „пресеците“ е еднаква.
Ајде да го собереме сето тоа сега.
Ајде да се трансформираме:
Така, го посетивме Питагора - ја докажавме неговата теорема на антички начин.
Правоаголен триаголник и тригонометрија
За правоаголен триаголник важат следните односи:
Синус остар агол еднаков на односот спротивна странадо хипотенузата
Косинусот на остар агол е еднаков на односот соседната ногадо хипотенузата.
Тангентата на остар агол е еднаква на односот на спротивната страна со соседната страна.
Котангенсот на остар агол е еднаков на односот на соседната страна со спротивната страна.
И уште еднаш сето ова во форма на таблета:
Многу е удобно!
Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници
I. Од две страни
II. Со нога и хипотенуза
III. Со хипотенуза и акутен агол
IV. По должината на ногата и акутен агол
а) 
б) 
Внимание! Овде е многу важно нозете да бидат „соодветни“. На пример, ако оди вака:
ТОГАШ ТРИАГОЛНИЦИТЕ НЕ СЕ ЕДНАКВИ, и покрај фактот што имаат еден идентичен остар агол.
Мора да во двата триаголници кракот беше соседен, или во двата беше спротивен.
Дали забележавте како знаците за еднаквост на правоаголните триаголници се разликуваат од вообичаените знаци за еднаквост на триаголниците? Погледнете ја темата „и обрнете внимание на фактот дека за еднаквост на „обичните“ триаголници, три од нивните елементи мора да бидат еднакви: две страни и аголот меѓу нив, два агли и страната меѓу нив или три страни. Но, за еднаквост на правоаголните триаголници, доволни се само два соодветни елементи. Одлично, нели?
Приближно иста е ситуацијата со знаците на сличност на правоаголните триаголници.
Знаци на сличност на правоаголните триаголници
I. По остар агол
II. На две страни
III. Со нога и хипотенуза
Медијана во правоаголен триаголник
Зошто е ова така?
Наместо правоаголен триаголник, разгледајте цел правоаголник.
Ајде да нацртаме дијагонала и да разгледаме точка - точката на пресек на дијагоналите. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот?
И што следи од ова?
Така испадна дека
- - средна:
Запомнете го овој факт! Помага многу!
Она што е уште поизненадувачко е што е и спротивното.
Каква корист може да се добие од фактот дека медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата? Ајде да ја погледнеме сликата
Погледнете внимателно. Имаме: , односно, растојанијата од точката до сите три темиња на триаголникот се покажаа еднакви. Но, има само една точка во триаголникот, од кои растојанијата од сите три темиња на триаголникот се еднакви, а тоа е ЦЕНТАРОТ НА КРУГОТ. Што се случи?
Значи, да почнеме со ова „покрај...“.
Ајде да погледнеме и.
Но, сличните триаголници ги имаат сите еднакви агли!
Истото може да се каже и за и
Сега ајде да го нацртаме заедно:
Каква корист може да се извлече од оваа „тројна“ сличност?
Па, на пример - две формули за висина на правоаголен триаголник.
Да ги запишеме односите на соодветните страни:
За да ја пронајдеме висината, ја решаваме пропорцијата и добиваме првата формула „Висина во правоаголен триаголник“:
Значи, да ја примениме сличноста: .
Што ќе се случи сега?
Повторно ја решаваме пропорцијата и ја добиваме втората формула:
Треба многу добро да ги запомните двете формули и да ја користите онаа што е поудобна. Ајде повторно да ги запишеме
Питагорова теорема:
Во правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: .
Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници:
- од две страни:
- со нога и хипотенуза: или
- по должината на ногата и соседниот акутен агол: или
- по должината на ногата и спротивниот остар агол: или
- по хипотенуза и остар агол: или.
Знаци на сличност на правоаголните триаголници:
- еден акутен агол: или
- од пропорционалноста на две нозе:
- од пропорционалноста на ногата и хипотенузата: или.
Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник
- Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
- Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата:
- Тангентата на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна:
- Котангенсот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната страна со спротивната страна: .
Висина на правоаголен триаголник: или.
Во правоаголен триаголник, медијаната извлечена од темето на правиот агол е еднаква на половина од хипотенузата: .
Плоштина на правоаголен триаголник:
- преку нозете: