Воведни зборови на наставникот:
Мала историска позадина: многу научници се заинтересирани за сечење проблеми уште од античко време. Решенија за многу едноставни проблеми со сечењето нашле античките Грци и Кинезите, но првиот систематски трактат на оваа тема го напишал Абул-Веф. Геометрите почнаа сериозно да ги решаваат проблемите на сечење фигури на најмал број делови и потоа конструирање друга фигура на почетокот на 20 век. Еден од основачите на овој дел беше познатиот основач на сложувалки Хенри Е. Дадени.
Во денешно време, љубителите на загатки се заинтересирани за решавање на проблемите со сечење, бидејќи не постои универзален метод за решавање на таквите проблеми, а секој што ќе се обврзе да ги реши може целосно да ја покаже својата генијалност, интуиција и способност за креативно размислување. (Во текот на часот ќе посочиме само еден од можните примери на сечење. Може да се претпостави дека учениците може да завршат со некоја друга правилна комбинација - нема потреба да се плашат од ова).
Оваа лекција треба да се спроведе во форма на практична лекција. Поделете ги учесниците во кругот во групи од 2-3 лица. На секоја група ѝ дадете фигури подготвени однапред од наставникот. Учениците имаат линијар (со поделби), молив и ножици. Дозволено е да се прават само прави сечи со помош на ножици. Откако ќе исечете фигура на парчиња, треба да направите друга фигура од истите делови.
Задачи за сечење:
1). Обидете се да ја исечете фигурата прикажана на сликата на 3 делови во еднаква форма:
Совет: Малите форми многу личат на буквата Т.
2). Сега пресечете ја оваа бројка на 4 делови со еднаква форма:
Совет: Лесно е да се погоди дека малите фигури ќе се состојат од 3 ќелии, но нема многу фигури со три ќелии. Постојат само два вида: агол и правоаголник.
3). Поделете ја фигурата на два еднакви дела и искористете ги добиените делови за да формирате шаховска табла.
Совет: Предложете да ја започнете задачата од вториот дел, како да добивате шаховска табла. Запомнете каква форма има шаховска табла (квадрат). Пребројте го достапниот број на ќелии во должина и ширина. (Запомнете дека треба да има 8 ќелии).
4). Обидете се да го исечете сирењето на осум еднакви парчиња со три движења на ножот.
Совет: обидете се да го исечете сирењето по должина.
Задачи за независно решение:
1). Исечете квадрат хартија и направете го следново:
· се сече на 4 парчиња со кои може да се направат два еднакви помали квадрати.
· пресечете на пет дела - четири рамнокраки триаголници и еден квадрат - и преклопете ги така што ќе добиете три квадрати.
За вниманието на туторите по математика и наставниците на различни изборни предмети и клубови, се нуди избор на забавни и едукативни геометриски задачи за сечење. Целта на учителот кој користи вакви проблеми на часовите не е само да го заинтересира ученикот за интересни и ефективни комбинации на ќелии и фигури, туку и да го развие неговото чувство за линии, агли и форми. Збирот на проблеми е насочен главно кон децата од 4-6 одделение, иако е можно да се користи дури и со средношколци. Вежбите бараат од учениците да имаат висока и стабилна концентрација на внимание и се совршени за развивање и тренирање на визуелна меморија. Се препорачува за тутори по математика што ги подготвуваат учениците за приемни испити во математичките училишта и часови кои поставуваат посебни барања за нивото на независно размислување и креативни способности на детето. Нивото на задачи одговара на нивото на влезни олимпијади во Лицеумот „второ училиште“ (второ математичко училиште), Малиот механичко-математички факултет на Московскиот државен универзитет, школата Курчатов итн.
Забелешка за учител по математика:
Во некои решенија за проблеми, кои можете да ги видите со кликнување на соодветниот покажувач, е наведен само еден од можните примери на сечење. Целосно признавам дека може да завршите со некоја друга правилна комбинација - нема потреба да се плашите од тоа. Внимателно проверете го решението на вашето малечко и доколку ги задоволува условите, тогаш слободно преземете ја следната задача.
1) Обидете се да ја исечете фигурата прикажана на сликата на 3 делови со еднаква форма:
: Малите форми се многу слични на буквата Т
2) Сега пресечете ја оваа бројка на 4 делови со еднаква форма:
Совет за учител по математика: Лесно е да се погоди дека малите фигури ќе се состојат од 3 ќелии, но нема многу фигури со три ќелии. Има само два вида од нив: агол и правоаголник 1×3.
3) Исечете ја оваа фигура на 5 парчиња со еднаква форма:
Најдете го бројот на ќелии што ја сочинуваат секоја таква фигура. Овие бројки личат на буквата Г.
4) Сега треба да исечете фигура од десет ќелии на 4 нееднаковправоаголник (или квадрат) еден до друг.
Инструкции за учител по математика: Изберете правоаголник, а потоа обидете се да вклопите уште три во преостанатите ќелии. Ако не работи, сменете го првиот правоаголник и обидете се повторно.
5) Задачата станува посложена: треба да ја пресечете фигурата на 4 различни по формафигури (не мора правоаголници).
Совет за учител по математика: прво нацртајте одделно сите видови фигури со различни форми (ќе ги има повеќе од четири) и повторете го методот на набројување опции како во претходната задача.
:
6) Исечете ја оваа фигура на 5 фигури од четири ќелии со различни форми, така што во секоја од нив е насликана само една зелена ќелија.
Совет за учител по математика:Обидете се да започнете со сечење од горниот раб на оваа бројка и веднаш ќе разберете како да продолжите.
:
7) Врз основа на претходната задача. Најдете колку фигури со различни форми има, составени од точно четири ќелии? Фигурите може да се извртуваат и вртат, но не можете да ја подигнете масата (од нејзината површина) на која лежи. Односно, двете дадени бројки нема да се сметаат за еднакви, бидејќи не можат да се добијат една од друга со ротација.
Совет за учител по математика:Проучете го решението на претходниот проблем и обидете се да ги замислите различните позиции на овие фигури при вртење. Не е тешко да се погоди дека одговорот на нашиот проблем ќе биде бројот 5 или повеќе. (Всушност, дури и повеќе од шест). Опишани се 7 типа на фигури.
8) Исечете квадрат од 16 ќелии на 4 парчиња со еднаква форма, така што секое од четирите парчиња содржи точно една зелена ќелија.
Совет за учител по математика: Изгледот на малите фигури не е квадрат или правоаголник, па дури ни агол од четири ќелии. Значи, во какви форми треба да се обидете да ги исечете?
9) Исечете ја прикажаната фигура на два дела, така што добиените делови може да се преклопат во квадрат.
Совет за учител по математика: Има вкупно 16 ќелии, што значи дека квадратот ќе биде со големина 4x4. И некако треба да го наполните прозорецот на средина. Како да се направи тоа? Може да има некаква промена? Потоа, бидејќи должината на правоаголникот е еднаква на непарен број ќелии, сечењето треба да се направи не со вертикално сечење, туку по скршена линија. Така што горниот дел е отсечен од едната страна на средната ќелија, а долниот дел од другата.
10) Исечете правоаголник 4x9 на два дела за да може да се свиткаат во квадрат.
Совет за учител по математика: Во правоаголникот има вкупно 36 ќелии. Затоа, квадратот ќе биде со големина 6x6. Бидејќи долгата страна се состои од девет ќелии, три од нив треба да се отсечат. Како ќе продолжи ова намалување?
11) Крстот од пет ќелии прикажан на сликата треба да се исече (можете самите да ги исечете ќелиите) на парчиња од кои може да се свитка квадрат.
Совет за учител по математика: Јасно е дека како и да сечеме по линиите на ќелиите, нема да добиеме квадрат, бидејќи има само 5 ќелии. Ова е единствената задача во која е дозволено сечењето не по клетки. Сепак, сепак би било добро да ги оставите како водич. на пример, вреди да се напомене дека некако треба да ги отстраниме вдлабнатините што ги имаме - имено, во внатрешните агли на нашиот крст. Како да го направите ова? На пример, отсекување на некои испакнати триаголници од надворешните агли на крстот...
Задача 1:Правоаголник, чии страни се изразени како цели броеви, може да се исече на фигури од формата (страната на ќелијата на сликата е еднаква на една). Докажете дека може да се исече на правоаголници 1 × 5.
(Д.~Карпов)
Решение:Областа на овој правоаголник е поделена со областа на наведената фигура, односно со 5. Површината на правоаголникот е еднаква на производот на должините на страните. Бидејќи должините на страните се цели броеви, а 5 е прост број, должината на една од страните мора да се дели со 5. Ајде да ја поделиме оваа и спротивната страна на сегменти со должина 5, а другите две страни на сегменти со должина 1, по што ги поврзуваме соодветните точки на спротивните страни со прави линии. Задача 2:Решете го системот на равенки со реални броеви(А.~Храбров)
Решение:Одговор: системот има единствено решение: a = b = c = d = 0. Со собирање на двете равенки на системот ја добиваме равенката 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Од неравенките 2ab ≤ a² + b² и 2cd ≤ c² + d² следува дека десната страна на оваа равенка не е поголема од левата, а еднаквост може да се постигне само ако b = 0, c = 0, a = b и c = d. Ова значи дека единственото можно решение за овој систем е a = b = c = d = 0.Втората опција е решена на сличен начин.
Задача 3:Во ромбот ABCD, точките E и F се земени на страните AB и BC, соодветно, така што CF/BF = BE/AE = 1994 година. Се покажа дека DE = DF. Најдете го аголот EDF.
Од условите на проблемот (во двете верзии) произлегува дека BE = CF. На страната AB да нацртаме отсечка AK еднаква на BE. Триаголниците ADK и CDF се еднакви по двете страни и аголот (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Тоа значи дека DK = DF = DE, односно триаголникот DKE е рамнокрак. Особено, аглите DKE и DEK на неговата основа се еднакви. Според тоа, триаголниците ADK и BDE се еднакви (на две страни и агол: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Оттука AD = BD, односно триаголникот ABD е рамностран. Затоа, ∠ BAD = 60, ∠ABC = 120.
(А.~Храбров)
Решение:Нека тимот А го победи тимот Б во натпревар со овие правила (можеби обезбедувајќи рана победа). Ова значи дека за секој можен исход од преостанатите (неизведени) пенали, резултатот на тимот А ќе биде поголем од оној на тимот Б. Да замислиме дека тимовите продолжија да изведуваат пенали по крајот на натпреварот и ги изведоа сите преостанати пенали, без тимот А да постигне ниту еден повеќе голови, а тимот Б никогаш повеќе не промаши. Во овој случај, вкупниот број на голови постигнати од А сепак ќе остане поголем од оние постигнати од Б (тоа значат зборовите „рана победа“). Уште колку може да биде? Само со 1 или 2. Навистина, ако разликата беше повеќе од два, тогаш победата на тимот А ќе станеше неизбежна уште порано, пред последниот пар на пенали.Понатаму, напоменуваме дека во продолжението од мечот што го разгледуваме точно половина од сите удари го погодиле голот. Така, од сите 129 пара удари, точно половина го погодиле голот, односно точно 129. Овие 129 гола се поделени помеѓу А и Б така што А има уште 1 или 2. Ова јасно го одредува бројот на постигнати голови од тимот А - 65.
Задача 5:Решете ја равенката со природни броеви:(Д.~Карпов)
Решение:Оваа равенка има единствено решение: x = 2, y = 1, z = 2 (во двете верзии). Дека тоа е решение произлегува од општиот идентитет a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, применет во првата верзија на a = 105, а во втората на a = 201.Нема други решенија, бидејќи ако z > 2, тогаш десната страна на равенката е делива со 8, но левата не е, бидејќи 105 x може да даде остаток 1 само кога се дели со 8, а 211 y - само остатоци 1 и 3. Останува да се забележи дека за z = 1 исто така нема решенија, а за z = 2 вредностите y = 1 и x = 2 се уникатно определени.