Геометријата не е едноставна наука. Тоа може да биде корисно и за училишната програма и во реалниот живот. Познавањето на многу формули и теореми ќе ги поедностави геометриските пресметки. Една од наједноставните фигури во геометријата е триаголник. Една од сортите на триаголници, рамностран, има свои карактеристики.
Карактеристики на рамностран триаголник
По дефиниција, триаголник е полиедар кој има три агли и три страни. Ова е рамна дводимензионална фигура, нејзините својства се изучуваат во средно училиште. Според видот на аголот, постојат остри, тапи и правоаголни триаголници. Правоаголен триаголник е геометриска фигура каде што еден од аглите е 90º. Таквиот триаголник има две кати (создаваат прав агол) и една хипотенуза (тоа е спроти прав агол). Во зависност од тоа кои количини се познати, постојат три едноставни начини да се пресмета хипотенузата на правоаголен триаголник.
Првиот начин е да се најде хипотенузата на правоаголен триаголник. Питагорова теорема
Питагоровата теорема е најстариот начин да се пресмета која било од страните на правоаголен триаголник. Звучи вака: „Во правоаголен триаголник, квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите“. Така, за да се пресмета хипотенузата, мора да се изведе квадратниот корен од збирот на две кати на квадрат. За јасност, дадени се формули и дијаграм.
Втор начин. Пресметка на хипотенузата користејќи 2 познати величини: крак и соседен агол
Едно од својствата на правоаголен триаголник вели дека односот на должината на кракот и должината на хипотенузата е еквивалентен на косинус на аголот помеѓу оваа катета и хипотенузата. Да го наречеме аголот кој ни е познат α. Сега, благодарение на добро познатата дефиниција, можете лесно да формулирате формула за пресметување на хипотенузата: Хипотенуза = leg/cos(α)
Трет начин. Пресметка на хипотенузата користејќи 2 познати величини: крак и спротивен агол
Ако е познат спротивниот агол, можно е повторно да се користат својствата на правоаголен триаголник. Односот на должината на ногата и хипотенузата е еквивалентен на синусот од спротивниот агол. Повторно да го наречеме познатиот агол α. Сега за пресметките ќе користиме малку поинаква формула:
Хипотенуза = нога/грев (α)
Примери кои ќе ви помогнат да ги разберете формулите
За подлабоко разбирање на секоја од формулите, треба да разгледате илустративни примери. Значи, да претпоставиме дека ви е даден правоаголен триаголник, каде што ги има следните податоци:
- Нога - 8 см.
- Соседниот агол cosα1 е 0,8.
- Спротивниот агол sinα2 е 0,8.
Според Питагоровата теорема: Хипотенуза = квадратен корен од (36+64) = 10 cm.
Според големината на кракот и соседниот агол: 8/0,8 = 10 cm.
Според големината на ногата и спротивниот агол: 8/0,8 = 10 cm.
Откако ќе ја разберете формулата, можете лесно да ја пресметате хипотенузата со какви било податоци.
Видео: Питагорова теорема
„И ни кажуваат дека ногата е пократка од хипотенузата...“ Овие редови од познатата песна што се слушна во играниот филм „Авантурите на електрониката“ се навистина точни во геометријата на Евклид. На крајот на краиштата, нозете се две страни кои формираат агол чија мерка степен е 90 степени. И хипотенузата е најдолгата „испружена“ страна што поврзува две нозе нормално една на друга и лежи спроти правиот агол. Затоа е можно хипотенузата да се најде по кати само во правоаголен триаголник, а ако кракот беше подолг од хипотенузата, тогаш таков триаголник не би постоел.
Како да се најде хипотенузата со помош на Питагоровата теорема ако се познати двете страни
Теоремата вели дека квадратот на хипотенузата не е ништо повеќе од збирот на квадратите на катетите: x^2+y^2=z^2, каде што:
- x – прв крак;
- y – втор крак;
- z – хипотенуза.
Но, само треба да ја пронајдете хипотенузата, а не нејзиниот квадрат. За да го направите ова, извлечете го коренот.
Алгоритам за наоѓање на хипотенузата користејќи две познати краци:
- Наведете сами каде се нозете и каде е хипотенузата.
- Квадрат на првиот крак.
- Квадрат на вториот крак.
- Додадете ги добиените вредности.
- Извлечете го коренот на бројот добиен во чекор 4.
Како да се најде хипотенузата низ синусот ако се познати кракот и акутниот агол спроти него
Односот на познат крак со остар агол што лежи спроти него е еднаков на вредноста на хипотенузата: a/sin A = c. Ова е последица на дефиницијата за синус:
Односот на спротивната страна со хипотенузата: sin A = a/c, каде што:
- а – прва нога;
- А – остар агол спротивен на ногата;
- в- хипотенуза.
Алгоритам за наоѓање на хипотенузата со помош на синусната теорема:
- Наведете за себе позната нога и аголот спротивен на неа.
- Поделете ја ногата во спротивниот агол.
- Добијте ја хипотенузата.
Како да се најде хипотенузата преку косинус ако се познати ногата и акутниот агол во непосредна близина до неа
Односот на познатиот крак со акутниот соседен агол е еднаков на вредноста на хипотенузата a/cos B = c. Ова е последица на дефиницијата за косинус: односот на соседниот крак со хипотенузата: cos B= a/c, каде што:
- а – втор крак;
- Б – акутен агол во непосредна близина на вториот крак;
- в- хипотенуза.
Алгоритам за наоѓање на хипотенузата со помош на косинусната теорема:
- Наведете за себе позната нога и соседен агол.
- Поделете ја ногата со соседниот агол.
- Добијте ја хипотенузата.
Како да се најде хипотенузата користејќи го египетскиот триаголник
„Египетскиот триаголник“ е трио од броеви, знаејќи кои можете да заштедите време во пронаоѓањето на хипотенузата или дури и друга непозната нога. Триаголникот го има ова име затоа што во Египет некои бројки ги симболизирале боговите и биле основа за изградба на пирамиди и други различни структури.
- Првите три броја: 3-4-5. Овде катетите се еднакви на 3 и 4. Тогаш хипотенузата дефинитивно ќе биде еднаква на 5. Проверете: (9+16=25).
- Втора тројка од броеви: 5-12-13. И овде катетите се еднакви на 5 и 12. Затоа хипотенузата ќе биде еднаква на 13. Проверете: (25+144=169).
Таквите броеви помагаат дури и кога се делат или множат со кој било број. Ако катетите се 3 и 4, тогаш хипотенузата ќе биде еднаква на 5. Ако ги помножите овие бројки со 2, тогаш хипотенузата исто така ќе се помножи со 2. На пример, тројката од броевите 6-8-10 исто така ќе одговара Питагоровата теорема и не мора да ја пресметате хипотенузата ако се сеќавате на овие тројки броеви. 
Така, постојат 4 начини да се најде хипотенузата користејќи ги познатите нозе. Најдобрата опција е Питагоровата теорема, но исто така не би било повредено да се сетите на тројките броеви што го сочинуваат „египетскиот триаголник“, бидејќи можете да заштедите многу време ако наидете на такви вредности.
Меѓу бројните пресметки извршени за пресметување на различни големини е наоѓањето на хипотенузата на триаголник. Потсетиме дека триаголникот е полиедар кој има три агли. Подолу се дадени неколку начини за пресметување на хипотенузата на различни триаголници.
Прво, да погледнеме како да ја пронајдеме хипотенузата на правоаголен триаголник. За оние кои заборавиле, триаголникот со агол од 90 степени се нарекува правоаголен триаголник. Страната на триаголникот што се наоѓа на спротивната страна од правиот агол се нарекува хипотенуза. Покрај тоа, таа е најдолгата страна на триаголникот. Во зависност од познатите вредности, должината на хипотенузата се пресметува на следниов начин:
- Должините на нозете се познати. Хипотенузата во овој случај се пресметува со помош на Питагоровата теорема, која гласи на следниов начин: квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите. Ако земеме правоаголен триаголник BKF, каде што BK и KF се катети, а FB е хипотенузата, тогаш FB2= BK2+ KF2. Од горенаведеното произлегува дека при пресметување на должината на хипотенузата, секоја од вредностите на нозете мора да се квадрати за возврат. Потоа додадете ги научените броеви и извадете го квадратниот корен од резултатот.
Размислете за пример: даден е триаголник со прав агол. Едната нога е 3 см, другата е 4 см. Најдете ја хипотенузата. Решението изгледа вака.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Извадете и добијте FB=5cm.
- Познати се кракот (БК) и аголот до него, кој е формиран од хипотенузата и овој крак. Како да се најде хипотенузата на триаголник? Да го означиме познатиот агол α. Според својството кое вели дека односот на должината на кракот и должината на хипотенузата е еднаков на косинус на аголот помеѓу овој крак и хипотенузата. Со оглед на триаголникот, ова може да се напише вака: FB= BK*cos(α).
- Кракот (KF) и истиот агол α се познати, само што сега ќе биде спротивен. Како да се најде хипотенузата во овој случај? Ајде да се свртиме кон истите својства на правоаголен триаголник и да откриеме дека односот на должината на кракот и должината на хипотенузата е еднаков на синусот на аголот спроти кракот. Односно, FB= KF * sin (α).
Ајде да погледнеме на пример. Даден е истиот правоаголен триаголник BKF со хипотенуза FB. Нека аголот F е еднаков на 30 степени, вториот агол Б одговара на 60 степени. Познат е и кракот BK чија должина одговара на 8 cm Потребната вредност може да се пресмета на следниов начин:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Познат (R), опишан околу триаголник со прав агол. Како да се најде хипотенузата кога се размислува за таков проблем? Од својството на кружница опкружена околу триаголник со прав агол, познато е дека центарот на таков круг се совпаѓа со точката на хипотенузата, делејќи ја на половина. Со едноставни зборови, радиусот одговара на половина од хипотенузата. Оттука хипотенузата е еднаква на два радиуси. FB=2*R. Ако ви се даде сличен проблем во кој не е познат радиусот, туку медијаната, тогаш треба да обрнете внимание на својството на кругот опкружен околу триаголник со прав агол, кој вели дека радиусот е еднаков на нацртаната средина. до хипотенузата. Користејќи ги сите овие својства, проблемот се решава на ист начин.
Ако прашањето е како да ја пронајдете хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник, тогаш треба да се свртите кон истата Питагорова теорема. Но, пред сè, запомнете дека рамнокрак триаголник е триаголник кој има две идентични страни. Во случај на правоаголен триаголник, страните се еднакви. Имаме FB2= BK2+ KF2, но бидејќи BK= KF го имаме следново: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Како што можете да видите, познавајќи ја Питагоровата теорема и својствата на правоаголен триаголник, решавањето проблеми во кои е неопходно да се пресмета должината на хипотенузата е многу едноставно. Ако е тешко да се запаметат сите својства, научете готови формули, заменувајќи ги познатите вредности во кои можете да ја пресметате саканата должина на хипотенузата.
Инструкции
Видео на темата
Забелешка
При пресметување на страните на правоаголен триаголник, знаењето за неговите карактеристики може да игра улога:
1) Ако кракот од прав агол лежи спроти агол од 30 степени, тогаш тоа е еднакво на половина од хипотенузата;
2) Хипотенузата е секогаш подолга од која било нога;
3) Ако кругот е опкружен околу правоаголен триаголник, тогаш неговиот центар мора да лежи во средината на хипотенузата.
Хипотенузата е страната во правоаголен триаголник што е спротивна на аголот од 90 степени. За да се пресмета нејзината должина, доволно е да се знае должината на една од катетите и големината на еден од акутните агли на триаголникот.
Инструкции
Дозволете ни да знаеме една од краците и аголот во непосредна близина до неа. Да бидеме конкретни, овие нека бидат страната |AB| и агол α. Потоа можеме да ја користиме формулата за тригонометрискиот сооднос косинус - косинус на соседната катета до. Оние. во нашата нотација cos α = |AB| / |AC|. Од ова ја добиваме должината на хипотенузата |AC| = |AB| / cos α.
Ако ја знаеме страната |П.н.е.| и агол α, тогаш ќе ја искористиме формулата за пресметување на синусот на аголот - синусот на аголот е еднаков на односот на спротивната катета со хипотенузата: sin α = |BC| / |AC|. Откривме дека должината на хипотенузата е |AC| = |П.н.е.| / cos α.
За јасност, да погледнеме на пример. Дадена е должината на ногата |AB|. = 15. И агол α = 60°. Добиваме |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0,5 = 30.
Ајде да погледнеме како можете да го проверите вашиот резултат користејќи ја Питагоровата теорема. За да го направите ова, треба да ја пресметаме должината на вториот крак |BC|. Користење на формулата за тангента на аголот tan α = |BC| / |AC|, добиваме |BC| = |AB| * тен α = 15 * тен 60° = 15 * √3. Следно, ја применуваме Питагоровата теорема, добиваме 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Проверката е завршена.
Корисен совет
Откако ќе ја пресметате хипотенузата, проверете дали добиената вредност ја задоволува Питагоровата теорема.
Извори:
- Табела со прости броеви од 1 до 10000
Нозетесе двете кратки страни на правоаголен триаголник што го сочинуваат темето чија големина е 90°. Третата страна во таков триаголник се нарекува хипотенуза. Сите овие страни и агли на триаголникот се меѓусебно поврзани со одредени врски што овозможуваат да се пресмета должината на кракот ако се познати неколку други параметри.
Инструкции
Користете ја Питагоровата теорема за катета (А) ако ја знаете должината на другите две страни (B и C) на правоаголен триаголник. Оваа теорема вели дека збирот на квадратните должини на краците е еднаков на квадратот на хипотенузата. Од ова произлегува дека должината на секоја катета е еднаква на квадратниот корен на должините на хипотенузата и втората катета: A=√(C²-B²).
Користете ја дефиницијата за директната тригонометриска функција „синус“ за остар агол ако ја знаете големината на аголот (α) што лежи спроти кракот што се пресметува и должината на хипотенузата (C). Ова наведува дека синусот на овој познат однос на должината на саканата нога до должината на хипотенузата. Тоа значи дека должината на саканиот крак е еднаква на производот од должината на хипотенузата и синусот од познатиот агол: A=C∗sin(α). За истите познати величини, можете исто така да ја користите косекантата и да ја пресметате потребната должина со делење на должината на хипотенузата со косекантот од познатиот агол A=C/cosec(α).
Користете ја дефиницијата за директна тригонометриска косинус функција ако, покрај должината на хипотенузата (C), е позната и големината на акутниот агол (β) во непосредна близина на саканиот. Косинусот на овој агол е односот на должините на саканиот крак и хипотенузата, и од ова можеме да заклучиме дека должината на кракот е еднаква на производот од должината на хипотенузата и косинусот на познатиот агол: A=C∗cos(β). Можете да ја искористите дефиницијата за функцијата на секантот и да ја пресметате саканата вредност со делење на должината на хипотенузата со секантот на познатиот агол A=C/sec(β).
Изведете ја потребната формула од слична дефиниција за изводот на тангентата на тригонометриската функција, ако покрај вредноста на акутниот агол (α) што лежи спроти саканиот крак (A), се знае и должината на вториот крак (B). . Тангентата на аголот спротивен на саканиот крак е односот на должината на овој крак до должината на вториот крак. Тоа значи дека саканата вредност ќе биде еднаква на производот од должината на познатата катета и тангентата на познатиот агол: A=B∗tg(α). Од овие исти познати величини, може да се изведе друга формула ако ја користиме дефиницијата за функцијата котангента. Во овој случај, за да се пресмета должината на кракот, ќе биде потребно да се најде односот на должината на познатата катета со котангенсот на познатиот агол: A=B/ctg(α).
Видео на темата
Зборот „катет“ дојде на руски од грчки. Во точен превод, тоа значи водоводна линија, односно нормална на површината на земјата. Во математиката, катетите се страните што формираат прави агли на правоаголен триаголник. Страната спроти овој агол се нарекува хипотенуза. Терминот „катет“ се користи и во архитектурата и технологијата на заварување.
Секантот на овој агол се добива со делење на хипотенузата со соседната катета, односно secCAB = c/b. Резултатот е реципроцитет на косинусот, односно може да се изрази со помош на формулата secCAB=1/cosSAB.
Косекантот е еднаков на количникот на хипотенузата поделен со спротивната страна и е реципрочен на синусот. Може да се пресмета со помош на формулата cosecCAB=1/sinCAB
Двете нозе се поврзани едни со други и со котангенс. Во овој случај, тангентата ќе биде односот на страната a на страната b, односно спротивната страна на соседната страна. Оваа врска може да се изрази со формулата tgCAB=a/b. Според тоа, инверзниот однос ќе биде котангента: ctgCAB=b/a.
Односот помеѓу големините на хипотенузата и двете нозе бил одреден од античкиот грчки Питагора. Луѓето сè уште ја користат теоремата и неговото име. Таа вели дека квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите, односно c2 = a2 + b2. Соодветно на тоа, секој крак ќе биде еднаков на квадратниот корен од разликата помеѓу квадратите на хипотенузата и другиот крак. Оваа формула може да се запише како b=√(c2-a2).
Должината на ногата може да се изрази и преку врските што ви се познати. Според теоремите на синусите и косинусите, кракот е еднаков на производот на хипотенузата и една од овие функции. Може да се изрази како и или котангента. Ногата a може да се најде, на пример, користејќи ја формулата a = b*tan CAB. На ист начин, во зависност од дадената тангента или , се одредува вториот крак.
Терминот „катет“ се користи и во архитектурата. Се нанесува на јонскиот главен град и се пробива низ средината на грбот. Тоа е, во овој случај, овој член е нормален на дадена линија.
Во технологијата на заварување постои „нога за заварување со филе“. Како и во други случаи, ова е најкраткото растојание. Овде зборуваме за јазот помеѓу еден од деловите што се заваруваат до границата на шевот лоциран на површината на другиот дел.
Видео на темата
Извори:
- што се нога и хипотенуза во 2019 година
Во превод од грчки, хипотенузата значи „тесна“. За да разберете правилно, замислете врвка за лак што ги поврзува двата краја на флексибилен стап. Исто така, во правоаголен триаголник, најдолгата страна е хипотенузата, која лежи спроти правиот агол. Тој делува како конектор на другите две страни, наречени нозе. За да дознаете колку е долга оваа „низа“, треба да ја имате должината на нозете или големината на два остри агли. Со комбинирање на овие податоци, можете да ја пресметате саканата вредност користејќи формули.
Како да ја пронајдете хипотенузата по нозете
Најлесен начин да се пресмета е ако ја знаете големината на две нозе (да ја означиме едната како A, другата како B). Самиот Питагора и неговата светски позната теорема доаѓаат на помош. Таа ни кажува дека ако ја квадратиме должината на краците и ги собереме пресметаните вредности, тогаш како резултат ќе ја знаеме квадратната вредност на должината на хипотенузата. Од горенаведеното, заклучуваме: за да се најде вредноста на хипотенузата, потребно е да се извлече квадратниот корен од вкупниот збир на квадратите на катетите C = √ (A² + B²). Пример: страна A=10 cm, страна B=20 cm Хипотенузата е еднаква на 22,36 cm Пресметката е следна: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.
Како да се најде хипотенузата низ агол
Малку потешко е да се пресмета должината на хипотенузата низ даден агол. Ако ја знаете големината на една од двете краци (означени со A) и големината на аголот (означен со α) што се наоѓа наспроти него, тогаш големината на хипотенузата се наоѓа со помош на тригонометријата, и конкретно, синусот. Сè што треба да направите е да ја поделите вредноста на познатата нога со синусот на аголот. C=A/sin(α). Пример: должина на кракот A = 30 cm, аголот спроти него е 45 °, хипотенузата ќе биде 42,25 cm Пресметката е следна: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Друг начин е да се најде големината на хипотенузата со помош на косинус. Се користи ако ја знаете големината на ногата (означена со B) и акутниот агол (означен со α) што е во непосредна близина на неа. Сè што треба да направите е да ја поделите вредноста на ногата со синусот на аголот. С=В/ cos(α). Пример: должина на кракот B = 30 cm, аголот спроти него е 45 °, хипотенузата ќе биде 42,25 cm Пресметката е следна: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Како да се најде хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник
Секое самопочитување ученик знае дека триаголникот е рамнокрак, под услов две од трите страни да се еднакви една со друга. Овие страни се нарекуваат странични, а онаа што останува се нарекува основа. Ако еден од аглите е 90°, тогаш имате рамнокрак правоаголен триаголник.
Пронаоѓањето на хипотенузата во таков триаголник е едноставно, бидејќи има неколку својства кои ќе помогнат. Аглите во непосредна близина на основата се еднакви по вредност, вкупниот збир на вредностите на аголот е 180 °. Ова значи дека правиот агол лежи спроти основата, што значи дека основата е хипотенузата, а страните се нозете.