ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪದದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸೋಣ: ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದರೇನು? ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ, ಋತುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ. ಅಥವಾ ಯಾರಾದರೂ ಯಾರೊಬ್ಬರ ಹಿಂದೆ ಇದ್ದಾಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸರದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜನರ ಅನುಕ್ರಮ, ನೀರಿನ ರಂಧ್ರದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಆನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ.

ತಕ್ಷಣ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳುಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರುನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಒಳಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಇಬ್ಬರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಇತರೆಅನುಕ್ರಮ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಎಲ್ಲರೂ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯನೀವು ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ಅಷ್ಟೇ. ಅವಕಾಶ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೆನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರಕಂಪ್ಲೈಂಟ್ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೌದು, ಇನ್ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಭಿನ್ನವಾಗಿ ಜೀವನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳುಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಅನೇಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಇದರಲ್ಲಿ:

ಕರೆ ಮಾಡಿದೆ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯಅನುಕ್ರಮಗಳು;

– ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯಅನುಕ್ರಮಗಳು;

– ಮೂರನೇ ಸದಸ್ಯಅನುಕ್ರಮಗಳು;

– n ನೇಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯಅನುಕ್ರಮಗಳು;

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಸೂತ್ರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

- ಧನಾತ್ಮಕ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:

ಹೀಗಾಗಿ, ದಾಖಲೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ - ಇದು ನಿಯಮ (ಸೂತ್ರ) ಆಗಿದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "x" ಬದಲಿಗೆ ಇತರರನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಅಕ್ಷರಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಧನಾತ್ಮಕ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ:

ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಕ್ರಮ:

ಅನೇಕರು ಬಹುಶಃ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "en" ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕೌಂಟರ್ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನೆನಪಿರಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ನಾನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾರವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಅವಧಿಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು - ಹಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ನಂತರ:

- ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಅವಧಿ;

- ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೂರನೇ ಅವಧಿ;

- ನಾಲ್ಕನೇ;

- ಐದನೇ;

ಮತ್ತು, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, n ನೇ ಪದವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮರುಕಳಿಸುವಸೂತ್ರ

ಸೂಚನೆ: ವಿ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಪಡೆಯಲು, ಹೇಳಲು, ಗೆ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: . ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಒಂದರ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಇದರ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ , ಮೊದಲ ಪದ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು - ಛೇದಕಪ್ರಗತಿ. ಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಪ್ರಗತಿಯು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ;

ಪ್ರಗತಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ;

ಪ್ರಗತಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ;

ಪ್ರಗತಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ .

-1 ಒಂದು ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ -1 ಮತ್ತು ಸಮ ಶಕ್ತಿಗೆ - ಒಂದು.

ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ವೇಳೆ (ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು).

ನಮ್ಮ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಇಬ್ಬರು ಹೊಸ ಸ್ನೇಹಿತರನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ, ಅವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಮಾನಿಟರ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾಕ್ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ:

ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು "ಬ್ಲಿಂಕರ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಎರಡು ಅನಂತ ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಅನುಕ್ರಮವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಕೇಳುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ"ಮೂರು". ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, "en" ಇನ್ನೂ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭವಿದೆ:

ಅಪವರ್ತನೀಯ:

ಕೆಲಸದ ಕೇವಲ ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್:

ಗ್ರಾಫೊಮೇನಿಯಾ ಅಲ್ಲ, ಇದು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ;-) ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗೆ ನಕಲಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ...ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬಂದಿತು: ಅಂತಹ ಉಪಯುಕ್ತ ಗೀಚುಬರಹವನ್ನು ಯಾರೂ ಏಕೆ ರಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ? ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ ರೈಲಿನಲ್ಲಿ ಸವಾರಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ, ಕಿಟಕಿಯಿಂದ ಹೊರಗೆ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ಪಂಕ್‌ಗಳು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ =)

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕೆಲವು ಓದುಗರಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಅದು ಅಪರೂಪದ ಪ್ರಕರಣ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಶಾಟ್ ಜೀವಕ್ಕೆ ಮರಳಿದಾಗ:

ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸೋಣ .

ಮೊದಲಿಗೆ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು n ನೇ ಪದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ:

ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ನಾಲ್ಕು:

ಸರಿ, ಈಗ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂಕ ಗಳಿಸಲು ನಾಚಿಕೆಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ:

ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದು ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಮೊದಲು ಅವರು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಮಿತಿಯ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಜನರು ಹೆಚ್ಚು ಮೋಜು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸರಳ ಸ್ನೇಹಿತನನ್ನು ನೃತ್ಯ ಮಾಡಲು ಆಹ್ವಾನಿಸೋಣ:

"en" ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಇರುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ. ಇದು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ವೇಳೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪರಿಮಿತ.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ. ಮುಂದಿನ ಲೇಖನವನ್ನು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುವುದು, ಆದರೆ ಇದೀಗ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (ಮಿತಿ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ನೆರೆಹೊರೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಅಂಗೈಗಳ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಲಿ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹಿಸುಕು ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಮಿತಿ (ಕೆಂಪು ಬಿಂದು) ಕಡೆಗೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ-ಆಯ್ಕೆ-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ (ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ)ಅದರೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಅನೇಕಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು, ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗೆ - ಮಾತ್ರ ಅಂತಿಮಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ). ಅಂದರೆ, ಎಪ್ಸಿಲಾನ್ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕವಾಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಈ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಬೇಕು.

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವೂ ಇದೆ - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಅನುಕ್ರಮವು ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿದೆ: ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಜಿಗಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಲದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಇತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆ:

ಇಲ್ಲಿ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಮಿತಿಯು "ಎರಡು" ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ , ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ(ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಪರಿಮಿತನಲ್ಲಿ). IN ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ – ಭಿನ್ನವಾದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. IN ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು. ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಗ್ಯಾಲಪ್ ಮಾಡೋಣ:

ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇವೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು, ಅವರ ಸದಸ್ಯರು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಕಡೆಗೆ ಸಾಗುತ್ತಾರೆ:

ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ:

ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಶೂನ್ಯ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ - ಯಾವಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಅನಂತವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅದೃಷ್ಟವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಹೆಸರಿನಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸದಸ್ಯರು ದಣಿವರಿಯಿಲ್ಲದೆ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಅಥವಾ "ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಜಿಗಿಯುತ್ತಾರೆ. ಎ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನಮತ್ತು ಮತಾನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಎಲ್ಲೋ ಏನಾದರೂ ಶ್ರಮಿಸಿದರೆ, ಇದು ಏಕೈಕ ಪಾಲಿಸಬೇಕಾದ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಸೆಯುವಿಕೆಗೆ "ಮಿನುಗುವ ಬೆಳಕು" ಕಾರಣ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ -1 ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕ್ಲ್ಯಾಂಪ್ ಮಾಡುವ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರು ("ಪ್ಲಸ್ ಒನ್ಸ್") ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಿಂದ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ) ಅನುಕ್ರಮದ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಇರಬೇಕು ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿನಿಮ್ಮ ಮಿತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಪಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ. ತೀರ್ಮಾನ: ಆಕಾಶವು ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದುಅನುಕ್ರಮ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಚಿಮ್ಮಿ ರಭಸದಿಂದ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು 100 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು (ಅಂಕಿಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ! ಏಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ 70? ಅದರ ಮೇಲೆ ನನ್ನ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮೈಕ್ರೊಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಕರುಣೆಗಾಗಿ ಬೇಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ನಿಯಂತ್ರಣ ಶಾಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಉಪನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಯುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ.

ಆದರೆ ಈಗ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳು: ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಮತ್ತು ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "ಡೈನಾಮಿಕ್" ವೇರಿಯೇಬಲ್ "en" ಒಲವು ತೋರಬಹುದು "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಮಾತ್ರ- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಕಡೆಗೆ .

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, "x" ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಬಹುದು - "ಪ್ಲಸ್/ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಅಥವಾ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ(ನಿರಂತರ), ಅಂದರೆ, ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ನಾಲ್ಕು, ಐದು, ಬನ್ನಿ ವಾಕ್ ಮಾಡಲು ಹೊರಟಿತು. ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದವು ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಂದರೆ, "X" ಸರಾಗವಾಗಿ, ಘಟನೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಮ್ಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ವಿವೇಚನಾಶೀಲತೆಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಗಳು, "ಮಿನುಗುವ ದೀಪಗಳು", ಪ್ರಗತಿಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳಂತಹ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಹಿ ವಿಷಯಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಪರಿಹಾರ: ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ನಿಜವೇ? ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಅಂದಿನಿಂದ, ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮೊತ್ತಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: . IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ: – ಮೊದಲ ಪದ, – ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ.

ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ ನಾಲ್ಕು ಅಂತಸ್ತಿನ ಭಾಗ:

ತಿನ್ನು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ. ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು a ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದವಾಗಿದೆ.

ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ "en" ಯಾವಾಗಲೂ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ" ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ.
ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಈ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಪಾಠದ ಸಂಖ್ಯೆ 1-3 ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಮಿತಿಗಳು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಏನಾದರೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ? ಲೇಖನದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು.

ಔಪಚಾರಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ - ಇಲ್ಲಿ “x” ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ “en”.

ತಂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

ಅಲ್ಲದೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅದೇ ಲೇಖನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 11-13 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಮಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅನ್ನು ನೋಡಿ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು(ಎರಡನೇ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ). ಪರಿಹಾರವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಬನ್ ಪ್ರತಿಯಂತಿರುತ್ತದೆ.

ಮುಂದಿನ ನಾಲ್ಕು ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಸಂಖ್ಯೆ 3-6) ಸಹ "ಎರಡು-ಮುಖ", ಆದರೆ ಕೆಲವು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಅವು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಗಳಿಗಿಂತ ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, ನಂತರ ಹಂತ-ಹಂತದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು:

(1) ಅಂಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳುಅಂಶದಲ್ಲಿ.

(3) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ("en" ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ) ಭಾಗಿಸಿ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳುಸಹಾಯ ಮಾಡಲು.

ಗಳ ಒಳಗೆ ಸೂಚಕಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಇದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರಅದೇ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಅದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸೋಣ:

(1) ಬಳಸುವುದು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸೂಚಕಗಳಿಂದ ಅನಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇವಲ "en" ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡೋಣ.

(2) ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡಆಧಾರ: . ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ.

(3) ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ, ನಂತರ ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಸ್ಥಿರವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: . ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೇಗಾದರೂ, ಅನರ್ಹವಾಗಿ, ಸೊಗಸಾದ ಕೈಬರಹ, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮರೆವು ಉಳಿಯಿತು. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ಸಮಯ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: "ಶಾಶ್ವತ ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿ" ಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಗಣಿತದ ಗೀಚುಬರಹದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: .

ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೊನೆಯ ಅಂಶವು ಆರು. ಹಿಂದಿನ ಗುಣಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ: 6 - 1 = 5. ಗುಣಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದು ಇನ್ನೂ ಮುಂದೆ ಇದೆ, ನೀವು ಮತ್ತೆ ಐದರಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು: 5 - 1 = 4. ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ, ಇದು ಒಂದನೇ ತರಗತಿಯ ಪಾಠವಲ್ಲ. ತಿದ್ದುಪಡಿ ಶಾಲೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಾವು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆಶೀರ್ಷಿಕೆ " ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು" ನಮ್ಮ ಚಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ದುರುದ್ದೇಶಪೂರಿತ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಎದುರಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೊನೆಯ ಅಂಶವು .

ಹಿಂದಿನ ಗುಣಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು? ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ:

ಮುತ್ತಜ್ಜನನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು? ಒಂದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಕಳೆಯಿರಿ: .

ಸರಿ, ನಾವು ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಆಳವಾಗಿ ಹೋಗೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಹಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ:

ಅಂಶಗಳ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸರಿ, ಸ್ವಲ್ಪ ಗೂಂಡಾಗಳು.

ನಿರ್ಧಾರ ಮಾಡೋಣ:

(1) ನಾವು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ

(2) ಅಂಶವು ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕೆಲಸ. ಚೌಕ ಆವರಣ, ನಾನು ಎಲ್ಲೋ ಒಂದೆರಡು ಬಾರಿ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಆವರಣದಿಂದ ಅವುಗಳ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(3) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ .... ...ಹೂಂ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬಹಳಷ್ಟು ನಯಮಾಡು ಇದೆ.

(4) ಅಂಶವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

(5) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟಿಗೆಅದೃಷ್ಟವಂತ. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಅದರ ನಂತರ ನೀವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು - ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು "en" ನಿಂದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿ.

ತಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಒಡೆಯುವ ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದರೆ ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಯಾವುದೇ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿರಂಜಿತ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ: ಕೆಲಸ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಅಪರಿಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ - ಅನಂತವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ.

"ಮಿತಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಲೇಖನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಸುಮಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಮೂಲಕ, ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ: ಉತ್ಪನ್ನ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯ- ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅನುಕ್ರಮ - ಸೀಮಿತ: , ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ .
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ (xn) ಕಾನೂನು (ನಿಯಮ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಎಲ್ಲರೂ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n= 1, 2, 3, . . . ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ x n ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
x n ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n ನೇ ಅವಧಿಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಅಂಶ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರ್ಲಿ ಬ್ರೇಸ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ n ನೇ ಪದವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಕೆಳಗಿನ ಪದನಾಮಗಳು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ: ಸೂಚ್ಯಂಕ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
, , .

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಸದಸ್ಯರು ಹೊಂದಿರುವವರು ಕೂಡ ಇರಬಹುದು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

n ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ: . ಈ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ - ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಅನುಕ್ರಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅನಂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.
ಸಂಖ್ಯೆ n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅಂಶಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು: ಫಾರ್ .

ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರು ಇಲ್ಲಿವೆ:
.
ಸಂಖ್ಯೆ n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ, ಆದರೆ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ನಿರಂತರ ಚಿಹ್ನೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ: ನಲ್ಲಿ.

ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ. ಮೊದಲ ಪದಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:
.
ಸಂಖ್ಯೆ n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಅವುಗಳ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು a = 0 : ನಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕಿಂತ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, a ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು = 0 ದೋಷದೊಂದಿಗೆ. n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಈ ದೋಷವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, n ಅನ್ನು ಆರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ದೋಷವನ್ನು ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ε > 0 ನೀವು N ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಅಂದರೆ N: ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಚಲನವು ದೋಷ ε: ಅನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮುಂದೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ. ಅದರ ಕೆಲವು ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು ಇಲ್ಲಿವೆ:
.
ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಸಮ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೆಸ n ಜೊತೆಗಿನ ನಿಯಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ = 0 . ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಕೂಡ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
.
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, ನಾವು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು ε > 0 , ಇದಕ್ಕಾಗಿ N ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಅಂದರೆ N ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ a = 0 ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ದೋಷವನ್ನು ಮೀರದ ಮೊತ್ತದಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ a = 0 : ನಲ್ಲಿ.

ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು:


.
ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು:
,
ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು a 1 = 0 . ಜೊತೆ ಸದಸ್ಯರು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:
,
ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು a 2 = 2 . n ಬೆಳೆದಂತೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮ (0;1)

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸೋಣ. ನಾವು ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವಕಾಶ
.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸೋಣ. ನಾವು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವಕಾಶ
.
ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸೋಣ. ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ


.
ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ (0; 1) . ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾಣಬಹುದು.

ನಂತರ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಒಂದು ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ . ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರು ಪೂರ್ವ-ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ = 0 ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು:
.
= 0 .

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಗಾಗಿ = 1 ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:
.
ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು ಮೌಲ್ಯ a ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ = 1 .

ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಅರ್ಥಗಳು, ನಂತರ ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ

ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ r ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ರೂಪ:
,
ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ; - ನೈಸರ್ಗಿಕ.
ನಾವು ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು p ಮತ್ತು q ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ p ಮತ್ತು q ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು q ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಾವು p ಮತ್ತು q ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಗ್ರಿಡ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಈ ಗ್ರಿಡ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಡ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ನೋಡ್‌ಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ನಂಬುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನೀವು ಚೌಕಗಳ ಮೂಲಕ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿದರೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿವೆ (0; 0) (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚೌಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗಗಳು q < 1 ನಮಗೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಚೌಕದ ಮೇಲಿನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಮುಂದೆ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ ಮೇಲಿನ ಭಾಗಕೆಳಗಿನ ಚೌಕ:

.
ಕೆಳಗಿನ ಚೌಕದ ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

.
ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೋಡ್ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ನಂತರ ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ), ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉಪಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಎತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ .

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ
, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ
ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ
. ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳುಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ - ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. ಇದು "ಅನುಕ್ರಮ" ಪದದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಕಾನೂನನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. , ಅಂದರೆ ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ -ನೇ ಸದಸ್ಯ .

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನುಕ್ರಮ
ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನೀಡಬಹುದು:
.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಇತ್ಯಾದಿ, ಅದರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇ ಸದಸ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನುಕ್ರಮ
‑ಇದು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್
ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ
.

ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು
- ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

ಜೊತೆಗೆ ಉಮ್ಮಾಹ್ಅನುಕ್ರಮಗಳು
ಮತ್ತು
ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿ
, ಅಂದರೆ..

ಆರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿ
, ಅಂದರೆ..

ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ‑ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ
,
ಎಂದು ಕರೆದರು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು
ಮತ್ತು
, ಅಂದರೆ

ಕೆಲಸಅನುಕ್ರಮಗಳು
ಮತ್ತು
ಜೊತೆ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ -ನೇ ಸದಸ್ಯ
, ಅಂದರೆ
.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಖಾಸಗಿ
.

ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶ
ಮತ್ತು
ಅವರನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತಸಂಯೋಜನೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
ಮತ್ತು
, ಎಲ್ಲಿ. ನಂತರ
, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

,
, ಅಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

ನೀವು ಅನುಕ್ರಮದ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ದಾಟಿದರೆ
ಇದರಿಂದ ಅದು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಅಂಶಗಳು, ನಂತರ ನಾವು ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅನುಕ್ರಮಅನುಕ್ರಮಗಳು
. ನೀವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ದಾಟಿದರೆ
, ಅದು ಹೊಸ ಅನುಕ್ರಮಎಂದು ಕರೆದರು ಉಳಿದ.

ಅನುಕ್ರಮ
ಸೀಮಿತಮೇಲೆ(ಕೆಳಗಿನಿಂದ), ಸೆಟ್ ವೇಳೆ
ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ). ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ, ಅದು ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಶೇಷವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಂತಹ
ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದೆ
ಅದು ಯಾರಿಗಾದರೂ
, ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ
. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ
ಅಥವಾ
.

ಉದಾಹರಣೆ.
.

ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ
. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ
. ಅಸಮಾನತೆ
ಗಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಯಿತು
, ಅಂದರೆ
, ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ
. ಅಂದರೆ,
.

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ
ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದರ್ಥ
ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ , ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ
(ಒಂದು ವೇಳೆ) ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ
ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ .

ಅನುಕ್ರಮ
, ಇದರ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ (
, ಅಥವಾ
ನಲ್ಲಿ
) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪರಿಮಿತ.

ಅನಂತಸೂಚಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ:

ಎರಡು ಅಪರಿಮಿತಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ;

ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮತ್ತು ಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ .ಅನುಕ್ರಮದ ಸಲುವಾಗಿ
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗಿತ್ತು
, ಎಲ್ಲಿ - ನಿರಂತರ; - ಅಪರಿಮಿತ .

ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 3. ಮತ್ತು 4. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಭಾಗದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ , ಭಾಗದ ಮಿತಿ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಹಿರಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಬಂಧಗಳು (ಅಂದರೆ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಪದವಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಸ್ಯರು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ).

ಅನುಕ್ರಮ
ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ.

ಪ್ರಮೇಯ . ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ
ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಿತಿಯು ಅದರ ನಿಖರತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನ ಅಂಚು; ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅದರ ಅಸಮರ್ಥತೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಲಿ a n , ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು n =f (n) ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. n ,n=1,2,... ಅಥವಾ (a n ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು a 1 , a 2 , ... ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, a n ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯ, n ಎಂಬುದು ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ a n .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಅಂಕಗಣಿತಪ್ರಗತಿ - ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಗತಿ:

ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ d (ಹಂತ ಅಥವಾ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ):
.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

k ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಸತತ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ n ಸೇರಿದಂತೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯಪ್ರಗತಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ
(ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು), ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ q (ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ), ಅಲ್ಲಿ
,
:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

b 1 > 0 ಮತ್ತು q > 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪ್ರಗತಿಯು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ:
ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪದವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ನಿಯಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು k-th ಪದದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತು n-th ಪದದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ:

ಒಂದು ವೇಳೆ

, ಮತ್ತೆ ಯಾವಾಗ
, ಮತ್ತು

ನಲ್ಲಿ
.

ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿ.

ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

m ಮತ್ತು M ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದಲ್ಲಿ x n ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ
.

n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಿಯಮಿತ ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು (a n ) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯ m ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರತಿ Ε>0 ಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ (Ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) n 0 =n o (Ε) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು X n ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ (ನೈಸರ್ಗಿಕ)n>n 0 .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ
ಅಥವಾ

ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖ.

ಮಿತಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ (ಎಣಿಕೆಯ) ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು, ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ Ε ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಬೀಳುತ್ತಾರೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1) ಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ:

ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಿತಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2)

a n ಅನುಕ್ರಮವು a ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ:
, ನಂತರ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮ
ಅದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3) ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ.

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ: n>N ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ:

∎

ಪ್ರಮೇಯ 4) ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ.

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. .

ಪ್ರಮೇಯ 5)

ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು ಷರತ್ತು x n ≤y n ಯಾವುದೇ n ಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಲಿ

ಮೂರು ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ x n ,y n ,z n ಷರತ್ತು x n ≤y n ≤z n ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ, ನಂತರ
ಮಾಡಬೇಕು
.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿ.

(xn) ಮತ್ತು (yn) ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ:

ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ (ಭಾಗಗಳು).

x n ಮತ್ತು y n ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ k ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ:

x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k, y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m

ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಅಂಶದ ಮಟ್ಟವು ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂಶದ ಮಟ್ಟವು ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂಶದ ಮಟ್ಟವು ಛೇದದ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಮಿತಿಯು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.